Mtemtik Gbrijel Tomšič Bojn Orel Než Mrmor Kost. pril 008
50
Poglvje 5 Integrl 5. Nedoločeni in določeni integrl Nedoločeni integrl V poglvju o odvjnju funkcij smo se nučili dni funkciji f poiskti njen odvod f ozirom diferencil df = f (x). Ugotovili smo, d je vsk odvedljiv funkcij zvezn, zvezn funkcij p ni nujno odvedljiv. Tu zstvimo obrtno nlogo k dni funkciji f iščemo tisto funkcijo F, ktere odvod je f: F (x) = f(x). Definicij 5... Funkcijo F, ktere odvod je enk f, imenujemo nedoločeni integrl funkcije f in pišemo F(x) = f(x). Kdr nedoločeni integrl funkcije f obstj, to ni en sm funkcij če je F integrl funkcije f in C poljubn konstnt, je tudi F + C integrl iste funkcije, sj imt funkciji F in F +C isti odvod f. Iz izrek 4.6.5 sledi: Izrek 5... Če je F kk nedoločeni integrl funkcije f, dobimo vsk drug njen integrl tko, d funkciji F prištejemo konstnto. Primer 5... V primeru 4.. smo ugotovili, d je (sinx) = cos x, torej je cos x = sin x. 5
5 POGLAVJE 5. INTEGRAL N podoben nčin iz vske formule v tbeli 4. dobimo prvilo z integrl. Tko poznmo integrle vseh funkcij, ki nstopjo v desnem stolpcu te tbele. Ob tem se zstvi zpršnje, kkšn mor biti funkcij f, d bo imel svoj nedoločni integrl. Preden bomo lhko odgovorili n to vpršnje mormo vpeljti pojem določeneg integrl funkcije n nekem intervlu (ki n prvi pogled z nedoločenim integrlom nim nič skupneg). Izkzlo se bo, d st ob n videz povsem rzličn pojm tesno povezn. Določeni integrl Do pojm določeneg integrl njnrvneje pripelje problem rčunnj ploščin krivočrtnih likov. Nj bo funkcij f n intervlu [, b] zvezn in povsod pozitivn: f(x) > 0. Rdi bi izrčunli ploščino S lik, ki g omejujejo t krivulj, krjni ordinti x = in x = b ter odsek bscisne osi. Problem se lotimo tko, d nmesto ploščine krivočrtneg lik izrčunmo ploščino stopničsteg lik, ki se dnemu krivočrtnemu liku čim bolje prileg. f( ξ i ) y x i- x i b ξ i x Slik 5.: Integrlske vsote so približek z ploščino lik pod krivuljo V t nmen izberemo delitev intervl [, b], to je množico n + točk D = {x 0, x,...,x n, x n }, z ktere velj: x 0 = x x x n b = x n.
5.. NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL 53 Te točke rzdelijo intervl n n podintervlov [x k, x k ] z dolžinmi δ k = x k x k, k =,,..., n. N vskem podintervlu izberemo točko ξ k [x k, x k ], k =,...,n. Produkt f(ξ k )δ k je enk ploščini prvokotnik, ki im δ k z osnovnico in višino f(ξ k ). Vsoti vseh teh ploščin σ D = n f(ξ k )δ k = f(ξ )δ + f(ξ )δ + + f(ξ n )δ n, (5.) k= prvimo integrlsk vsot funkcije f in je približek z iskno ploščino, ki je tem boljši, čim mnjše so dolžine podintervlov δ k. Omejitev f(x) > 0 prvzprv ni potrebn. Integrlske vsote lhko definirmo tudi z funkcije, ki so kje n intervlu negtivne. Zvez s ploščino je podobn, če ploščine likov pod osjo x obrvnvmo kot negtivne količine. Nj bo funkcij f n intervlu [, b] omejen in nj bo m = inf f(x) in M x b = sup f(x). x b Če je D = {x 0, x,...,x n, x n } delitev intervl, je tudi n vskem podintervlu [x k, x k ] funkcij f omejen, z vsk k obstjjo Vsotm m k = inf f(x) in M k = sup f(x). x k x x k x k x x k s D = n m k δ k in S D = k= n M k δ k prvimo spodnje in zgornje integrlske vsote. Z vsko delitev D in z vsko integrlsko vsoto σ D velj: k= m(b ) s D σ D S D M(b ). (5.) Z spodnje in zgornje integrlske vsote velj:. Če delitvi intervl D dodmo dodtne delilne točke, dobimo novo delitev D D ter je s D s D in S D S D. (5.3) T lstnost spodnjih in zgornjih vsot se lepo vidi n sliki 5.3, ntnčen dokz bi zhtevl precej besed in g izpustimo.
54 POGLAVJE 5. INTEGRAL Mi m i x i- x i b Slik 5.: Spodnj in zgornj integrlsk vsot. x i- x i-/ x i b Slik 5.3: Spodnje in zgornje vsote.. Če st D in D poljubni delitvi, je s D S D. Drugče povedno: vsk spodnj vsot je mnjš od kterekoli zgornje vsote. To lstnost dokžemo tko, d obe delitvi sestvimo v novo delitev D = D D, ki vsebuje vse delilne točke delitev D in D. Zrdi (5.3) je s D s D in S D S D, torej velj: s D s D S D S D. Vse spodnje vsote so omejene nvzgor, sj je s D M(b ) z vsko delitev D. Vse zgornje vsote p so omejene nvzdol, sj z vsko delitev D velj S D m(b ). Zto obstj I = sup s D in I = inf S D.
5.. NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL 55 Definicij 5... Funkcij f je integrbiln n intervlu [, b], če je I = I. Število I = I imenujemo določeni integrl funkcije f n intervlu [, b] in pišemo: Drugče povedno, b f(x). Izrek 5... Funkcij f je integrbiln n intervlu [, b], če z vsk ε > 0 obstj tk delitev D intervl, d je S D s D < ε. Če je funkcij integrbiln n intervlu [, b], očitno velj m(b ) b f(x) M(b ). (5.4) Pri uporbi določeneg integrl se pogosto sklicujemo n posledico ocene (5.): če je funkcij f integrbiln n intervlu [, b] in je (D m ) poljubno zporedje delitev, ki im to lstnost, d gredo vse dolžine δ k proti 0, ko m, ter je (σ m ) pripdjče zporedje integrlskih vsot, potem je lim σ m = m b f(x). Primer 5... Izrčunjmo ploščino lik, ki g določ krivulj y = x nd intervlom [0, ]. Intervl rzdelimo n n enkih delov dolžine δ = /n, delilne točke so x k = k/n. N vskem podintervlu izberemo z ξ k kr desno krjišče intervl, torej točko x k = k/n. Integrlsk vsot, ki jo tko dobimo je enk σ n = n x kδ = k= n k= ( ) k n n = 8 n 3 n k. k= Uporbimo dobro znno formulo (ki jo lhko dokžemo z mtemtično indukcijo): n k n(n + )(n + ) = 6 k=
56 POGLAVJE 5. INTEGRAL y 4 x Slik 5.4: Ploščin lik pod krivuljo y = x. in dobimo: 8n(n + )(n + ) σ n =. 6n 3 Ko n, je ploščin σ n čedlje bliže iskni ploščini in v limiti dobimo: S = lim σ n = 8 3. Izrek 5.. lhko uporbimo kot kriterij z ugotvljnje integrbilnosti funkcij. Z njegovo pomočjo lhko pokžemo integrbilnost treh rzredov funkcij. Izrek 5..3. Funkcij, ki je zvezn n intervlu [, b], je n tem intervlu tudi integrbiln. Dokz. Ker je funkcij zvezn n zprtem intervlu, lhko po izreku 3..3 z vsk ε > 0 dobimo tk δ > 0, d je f(x) f(y) < ε/(b ), če st x in y poljubni točki n intervlu, z kteri velj x y < δ. Vzemimo tko delitev intervl [, b], d bodo dolžine vseh podintervlov δ k < δ in nj bo m k ntnčn spodnj in M k ntnčn zgornj mej funkcije f n podintervlu [x k, x k ]. Potem je M k m k < ε z vsk k, zto je S s = k (M k m k )δ k < k ε b δ k = ε (b ) = ε. b
5.. LASTNOSTI DOLOČENEGA INTEGRALA 57 Prvimo, d je funkcij f(x) n intervlu [, b] odsekom zvezn, če im končno mnogo točk nezveznosti in v vski od njih končno levo in desno limito. Izrek 5..4. Če je funkcij f n intervlu [, b] odsekom zvezn, je integrbiln. Dokz izrek 5..4 ne nvjmo. Rzlog, d izrek velj, je v osnovi tle: če je f odsekom zvezn funkcij n [, b] in so x,...,x k točke nezveznosti, lhko f n vskem intervlu [x i, x i+ ] posebej dopolnimo do zvezne funkcije, tko d njene vrednosti v krjiščih ndomestimo z levo in desno limito. Vse dobljene funkcije n posmeznih intervlih so potem integrbilne, vsot njihovih integrlov je enk integrlu funkcije f po celem intervlu. Izrek 5..5. Vsk monoton funkcij je integrbiln. Dokz. Nj bo funkcij f nrščjoč in nj bodo x k, k = 0,,...,n delilne točke n intervlu [, b]. Ker je f nrščjoč, je m k = f(x k ) in M k = f(x k ). Zgornj integrlsk vsot je enk S = k f(x k)δ k, spodnj integrlsk vsot p s = k f(x k )δ k. Njun rzlik je S s = [f(x k ) f(x k )]δ k. k Nj bodo delilne točke dovolj goste, d so vse dolžine podintervlov δ k < δ. Rzliko S s lhko ocenimo S s k [f(x k ) f(x k )]δ = δ k [f(x k ) f(x k )] = δ[f(b) f()]. T rzlik postne pri dovolj gostih delitvh poljubno mjhn, zto je vsk nrščjoč funkcij integrbiln. 5. Lstnosti določeneg integrl Zenkrt smo definirli določeni integrl b f(x) v primeru, ko je [, b] intervl, torej ko je b. Definicijo dopolnimo: če je b, je b f(x) = b f(x). (5.5)
58 POGLAVJE 5. INTEGRAL. Iz definicije določeneg integrl vidimo, d smemo integrcijsko spremenljivko poljubno imenovti, tko d je b f(x) = b f(y) dy = b f(t) dt.. Iz relcije (5.5) sledi, d je določeni integrl, v kterem je spodnj mej enk zgornji, enk 0: y f(x) = f(x) = 0. (5.6) c b Slik 5.5: Integrl n intervlu [, b] je vsot integrlov po podintervlih x 3. Nj bo c b. Funkcij f je n intervlu [, b] integrbiln ntnko tedj, ko je integrbiln n obeh podintervlih [, c] in [c, b]. Pri tem velj relcij b f(x) = c f(x) + b c f(x). (5.7) Geometrijsk vsebin te lstnosti je očiten: če lik pod krivuljo y = f(x) nd intervlom [, b] rzrežemo pri x = c, dobimo dv lik, kterih skupn ploščin je enk ploščini prvotneg lik (slik 5.5). Dokz. Ker je f integrbiln n [, b], obstj tk delitev D intervl, d je S D s D < ε, kjer je ε > 0 poljubno mjhen. Če delitvi D dodmo
5.. LASTNOSTI DOLOČENEGA INTEGRALA 59 delilno točko c, dobimo novo delitev D in velj S D s D < ε. Vsoti S D in s D rzpdet n dv člen: s D = s + s, S D = S + S, kjer se vsoti s in S nnšt n intervl [, c], vsoti s in S p n intervl [c, b]. Ker je S D s D = (S s ) + (S s ) < ε, kjer st ob člen pozitivn, mor veljti tudi S s < ε in S s < ε, torej je f integrbiln n intervlih [, c] in [c, b]. Z vsoto integrlov velj: c c f(x) + f(x) + b c b c f(x) = sup s + sup s = sup c D s D b f(x), b f(x) = inf S + inf S = inf S c D D f(x), tko mor biti c f(x) + b f(x) = b c f(x). 4. Povprečn vrednost integrbilne funkcije f n intervlu [, b] je število P = b b f(x). Iz ocene (5.4) sledi, d je P med ntnčno spodnjo mejo m in ntnčno zgornjo mejo M funkcije, torej m P M. Povprečno vrednost funkcije si lhko predstvljmo kot višino tisteg prvokotnik nd intervlom [, b], ki im enko ploščino kot lik, ki g nd intervlom [, b] določ krivulj y = f(x) (slik 5.6). Če je funkcij f zvezn n [, b], po izreku 3..7 o vmesnih vrednostih, zvzme vse vrednosti med m in M, torej velj:
60 POGLAVJE 5. INTEGRAL y p c b x Slik 5.6: Izrek o povprečni vrednosti Izrek 5... Izrek o povprečni vrednosti. Če je f zvezn n intervlu [, b], obstj vsj en točk c [, b], kjer je f(c) = b b f(x) = P. 5. Če st f in g integrbilni funkciji n intervlu [, b] in če z vsk x [, b] velj f(x) g(x), je b f(x) b g(x). Dokz. Pri vski delitvi D intervl je spodnj vsot (s D ) f funkcije f mnjš od spodnje vsote (s D ) g funkcije g. Tko je tudi b f(x) = sup(s D ) f sup(s D ) g = b g(x). 6. Če je f(x) integrbiln n intervlu [, b], je tudi f(x) integrbiln n [, b] in velj: b b f(x) f(x). Dokz. Če upoštevmo, d z vsk x velj f(x) f(x) f(x),
5.3. ZVEZAMED DOLOČENIMINNEDOLOČENIMINTEGRALOM 6 sledi neposredno iz prejšnje lstnosti, d je b f(x) b f(x) b to p je res ntnko tkrt, kdr je b b f(x) f(x). f(x), 5.3 Zvez med določenim in nedoločenim integrlom Rčunnje določeneg integrl s pomočjo integrlskih vsot je lhko zmudno in neprktično. V tem rzdelku bomo spoznli še eno uporbno pot do določeneg integrl. Hkrti bomo odgovorili n vpršnje o obstoju nedoločeneg integrl. Nj bo f zvezn funkcij n intervlu [, b]. Z vsk x [, b] je f zvezn n intervlu [, x], zto obstj F(x) = x f(t) dt. (5.8) Tko smo dobili novo funkcijo, ki je defnirn n intervlu [, b]. Izrek 5.3.. Funkcij F(x), definirn s predpisom (5.8) je zvezn n [, b]. Drugče povedno: Določeni integrl je zvezn funkcij zgornje meje. Dokz. Če spremenimo vrednost neodvisne spremenljivke x z h, se vrednost odvisne spremenljivke y = F(x) spremeni z F = F(x + h) F(x) = x+h f(t) dt x f(t) dt = x+h x f(t) dt. Po izreku 5.. o povprečni vrednosti obstj tko število ξ = x + θh med x in x + h (t.j. 0 < θ < ), d je x+h x f(t) dt = hf(x + θh). (5.9)
6 POGLAVJE 5. INTEGRAL Ker je f zvezn funkcij, je n [, b] tudi omejen, zto je rzlik lim F(x) = lim hf(x + θh) = 0. h 0 h 0 Nslednji izrek opisuje zvezo med določenim in nedoločnim integrlom neke funkcije in je osrednjeg pomen. Po eni strni dje odgovor n vpršnje o obstoju nedoločeneg integrl zvezne funkcije f, po drugi strni p omogoč izpeljvo uporbne formule z rčunnje določenih integrlov. Izrek 5.3.. Osnovni izrek integrlskeg rčun Funkcij F(x), definirn z enčbo (5.8), je odvedljiv n intervlu [, b], njen odvod je F (x) = d x f(t) dt = f(x). Drugče povedno: določeni integrl F(x) kot funkcij zgornje meje je nedoločeni integrl funkcije f(x). Dokz. Enčbo (5.9) lhko zpišemo kot F(x + h) F(x) h = f(x + θh). Ko h 0, konvergir f(x + θh) f(x), zto je F (x) = lim h 0 F(x + h) F(x) h = f(x). Od tod neposredno sledi: Izrek 5.3.3. Vsk zvezn funkcij im nedoločeni integrl. Nj bo G(x) poljuben nedoločeni integrl funkcije f(x). Ker se dv nedoločen integrl funkcije f rzlikujet le z ditivno konstnto, je G(x) = x f(t) dt + C.
5.3. ZVEZAMED DOLOČENIMINNEDOLOČENIMINTEGRALOM 63 Če v to zvezo vstvimo x =, dobimo vrednost konstnte C: zto je G() = x f(t) dt + C = C, f(t) dt = G(x) G(). Če vstvimo x = b, dobimo dobro znno in zelo uporbno Newton -Leibnizovo formulo z rčunnje določenih integrlov: Izrek 5.3.4. Newton-Leibnizov formul Če je f zvezn funkcij n intervlu [, b] in F njen poljuben nedoločeni integrl, je b f(x) = F(b) F(). Pri rčunnju določenih integrlov večkrt uporbljmo simboličen zpis [F(x)] x=b x= = F(b) F(). Ko uporbljmo Newton-Leibnizovo formulo ne smemo pozbiti n predpostvke, pri kterih velj. Pokžimo n primeru, kkšnim npkm se mormo izogibti pri njeni uporbi. Primer 5.3.. Vsk nedoločeni integrl F je po definiciji odvedljiv, torej zvezn funkcij. Funkcij F v Newton-Leibnizovi formuli je lhko sicer kterikoli nedoločeni integrl funkcije f, vendr p mor biti zvezn n celem intervlu. Vzemimo n primer funkcijo Če izrčunmo odvod F(x) = x rc tg x. F (x) = x + x = + 4x ( x ) + x, ( x ) Sir Isc Newton (64 77), ngleški mtemtik, fizik in stronom, skupj z G. W. Leibnizom zčetnik diferencilneg in integrlneg rčun.
64 POGLAVJE 5. INTEGRAL se lhko zzdi, d je F nedoločeni integrl funkcije f(x) = + x in jo uporbimo pri rčunnju integrl 3 0 f(x) = 3 0 + x = F( 3) F(0) = rc tg( 3) rc tg 0. Ker je rc tg 0 = 0 in rc tg( 3) = π/3, dobimo rezultt 3 0 = π/3. + x To ni prvilen rezultt, kjti funkcij pod integrlom je n integrcijskem intervlu povsod pozitivn in mor biti tudi njen integrl pozitiven. Npk je seved v tem, d F(x) ni nedoločeni integrl funkcije f(x), ker F ni zvezn n intervlu [0, 3] v točki s teg intervl funkcij F sploh ni definirn, kj šele d bi bil tm zvezn in odvedljiv. Z nedoločeni integrl funkcije f(x) = /(+x ) lhko vzmemo funkcijo F(x) = rc tg x, ki je zvezn funkcij, ki je zvezn funkcij n intervlu ( π/, π/). Prvilen rčun je torej 3 0 + x = rc tg 3 rctg 0 = π/3. 5.4 Prvil z integrirnje Rčunnje nedoločeneg integrl neke funkcije je odvjnju inverzn opercij, zto dobimo tbelo 5. elementrnih integrlov iz tbele odvodov elementrnih funkcij (tbel 4.). Prv tko so prvil z integrirnje preproste posledice ustreznih prvil z odvjnje. Zrdi tesne zveze med določenim in nedoločenim integrlom je v večini primerov dovolj, če nvedemo ustrezno prvilo z rčunnje nedoločnih integrlov.
5.4. PRAVILA ZA INTEGRIRANJE 65 funkcij integrl opomb x r x r+ r + + C r x log x + C x x log + C > 0; e x e x + C cosx sin x + C sin x cos x sin x x cosx + C tg x + C ctg x + C rc sin x + C + x rc tg x + C ch x sh x + C sh x ch x + C ch x th x + C sh x cth x + C x + log(x + x + ) + C Tbel 5.: Tbel elementrnih integrlov
66 POGLAVJE 5. INTEGRAL. Če st f in g integrbilni funkciji, st integrbilni tudi njun vsot in rzlik in velj [f(x) + g(x)] = [f(x) g(x)] = f(x) + f(x) g(x), (5.0) g(x). (5.) Dokz. Nj bo F(x) = f(x) in G(x) = g(x). Ker je F (x) = f(x) in G (x) = g(x), je [F (x) + G (x)] = [F(x) + G(x)] = f(x) + g(x), zto je F + G nedoločeni integrl funkcije f + g, podobno velj tudi z rzliko. To prvilo lhko rzširimo n vsoto poljubneg končneg števil funkcij. Vsoto funkcij torej lhko členom integrirmo. Primer 5.4.. (x x + ) = x3 3 x + x + C.. Če je f integrbiln funkcij in k konstnt, je funkcij kf tudi integrbiln in velj kf(x) = k f(x). (5.) Konstntni fktor smemo izpostviti pred znk integrl. Dokz. Če je F(x) = f(x), potem je [kf(x)] = kf (x) = kf(x), torej je kf(x) nedoločeni integrl funkcije kf(x).
5.4. PRAVILA ZA INTEGRIRANJE 67 Primer 5.4.. Izrčunjmo integrl 3x = 3 x = x 3 + C. Splošno je integrl polinom ( n x n + + x + 0 ) = n n + xn+ + + x + 0 x + C spet polinom, njegov stopnj se pri integrirnju zviš z. 3. Vpeljv nove spremenljivke. Če je x = x(t) odvedljiv funkcij, je f(x) = f[x(t)]x (t) dt. (5.3) Dokz. Odvod nedoločeneg integrl F(x) = f(x) je f(x). Po prvilu z posredno odvjnje je zto je df(x(t)) dt = df(x) F(x(t)) = dt = f(x)x (t), f[x(t)]x (t) dt. Kdr pri rčunnju integrlov uporbimo formulo (5.3) prvimo, d smo vpeljli novo spremenljivko. S pmetno uvedbo nove spremenljivke si lhko oljšmo integrcijo. Primer 5.4.3. () Integrle oblike f (x), (5.4) f(x) kjer je f poljubn odvedljiv funkcij, lhko izrčunmo z vpeljvo nove spremenljivke u = f(x). Njen diferencil je du = f (x) in immo f (x) du f(x) = = log u + C = log f(x) + C. u
68 POGLAVJE 5. INTEGRAL N primer: tg x = sin x = log cosx + C. cosx () Recimo, d je f(x) = F(x) + C. Izrčunjmo integrl premik f(x + ) in rzteg f(x) funkcije f(x). Nj bo u = x +. Potem je du = u (x) =, torej je f(x + ) = f(u(x)) (5.5) = f(u) du = F(u) + C = F(x + ) + C. Nj bo u = x. Potem je du = in f(x) = f(u(x)) = f(u) du = F(u) + C = F(x) + C. Nekj konkretnih primerov: ker je x = 3 x3/ + C = x 3 + C, 3 sledi iz prvil (5.5) z integrl premik x + = (x + )3 + C; 3 ker je = rctg x + C, je + x + x = rc tg(x) + C;
5.4. PRAVILA ZA INTEGRIRANJE 69 izrčunjmo integrl + cos x cos x = = (x + ) sin x + C. Pri vpeljevnju nove spremenljivke v določeni integrl mormo pziti n meje. Prvilo se v tem primeru glsi tkole: Vpeljv nove spremenljivke v določeni integrl. Nj bo f zvezn funkcij. Če je funkcij x = x(t) monoton, zvezno odvedljiv n intervlu [α, β] in je x(α) = in x(β) = b, velj formul b f(x) = β α f[x(t)]x (t) dt. (5.6) Primer 5.4.4. Integrle, v kterih nstopjo koreni kvdrtnih izrzov, lhko pogosto poiščemo s pomočjo ustrezne trigonometrične li hiperbolične substitucije. () V integrl 0 x vpeljimo novo spremenljivko s predpisom x = sin t. Potem je = costdt, pri t = 0 je x = 0, pri t = π/ je x = in funkcij x(t) = sin t je monoton, zvezno odvedljiv n intervlu [0, π/], zto je 0 x = π/ Ker je cost 0 z vsk t [0, π/], je sin t = cos t = cost, 0 sin t costdt. torej je π/ [ cos t dt = (x + )] π/ sin x 0 0 = π 4.
70 POGLAVJE 5. INTEGRAL () S substitucijo x = sh t, zto = ch t dt izrčunjmo integrl x x +. Dobimo dt sh t = cth t + C = ch t sh t + C = x + x + C. 4. Integrcij po delih (Integrtio per prtes) Metodo dobimo iz formule z odvod produkt dveh funkcij. Nj bost u in v odvedljivi funkciji. Znju velj (uv) = u v + uv, zto je po definiciji določeneg integrl uv = u v + uv. Od tod dobimo uv = uv u v li krjše u dv = uv v du. (5.7) Primer 5.4.5. Integrcij po delih:. Tipičen integrl, ki g rčunmo z integrcijo po delih, je (x ) sinx. Vzemimo x = u, sin x = dv, = du, cosx = v, in je (x ) cosx + cosx = (x ) cosx + sin x + C.
5.5. INTEGRALI ELEMENTARNIH FUNKCIJ 7. Izrčunjmo še Nj bo x = u, = du, x ( + x ). x = dv, ( + x ) x ( + x ) = ( + x ) = v, in x ( + x ) + x = ( + x ) + rc tg x + x + C. 5.5 Integrli elementrnih funkcij Rčunnje integrlov je dosti bolj zpleten problem kot rčunnje odvodov. Z vsko funkcijo, ki je sestvljen iz elementrnih funkcij vedno obstj točno določen postopek, s kterim izrčunmo njen odvod, t se spet izrž z elementrnimi funkcijmi. Z integrle to še zdleč ne velj, sj n primer ni prvil, ki bi ntnčno povedlo, kko izrčunti integrl produkt li kvocient dveh funkcij. Še več integrl funkcije, ki se izrž kot produkt, kvocient, potenc li kompozitum elementrnih funkcij, se pogosto ne izrž več z elementrnimi funkcijmi. Tko st, n primer integrl sin x in e x, x povsem novi funkciji, ki ju ne moremo izrziti z vsoto, produktom, potenco li kompozitumom elementrnih funkcij. Z nektere rzrede funkcij p vseeno obstj lgoritem z rčunnje nedoločenih integrlov. Veliko teh lgoritmov je uporbljenih v rzličnih rčunlniških progrmih z simbolično rčunnje, s pomočjo kterih lhko zelo uspešno rčunmo nedoločene integrle. Z
7 POGLAVJE 5. INTEGRAL boljše rzumevnje delovnj teh progrmov in tudi smeg pojm integrl bomo v tem rzdelku bomo opisli nekj tkih lgoritmov. Določene integrle lhko zelo uspešno rčunmo tudi s pomočjo rzličnih numeričnih metod, ki jih tu ne bomo obrvnvli. Integrli rcionlnih funkcij Primer 5.5.. Zčnimo z nekj znčilnimi zgledi integrlov rcionlnih funkcij:. Integrl x + (x ) 3 brez težv izrčunmo z vpeljvo nove spremenljivke t = x. Tko je x = t + in = dt: = t + t + dt t 3 (t + t + t 3 ) dt = log t t t + C. N podoben nčin izrčunmo vse integrle oblike P m (x). (5.8) (x ) n Z novo spremenljivko t = x, dt = integrl prevedemo n Pm ( + t) Sm (t) dt = dt, t n t n kjer je S m (t) polinom.. Funkcij v integrlu x + 4 x + x +
5.5. INTEGRALI ELEMENTARNIH FUNKCIJ 73 im v imenovlcu nerzcepno kvdrtno funkcijo (njen diskriminnt D je enk 4). Zpišemo jo kot vsoto dveh členov, kjer im prvi člen v števcu odvod imenovlc: x + 4 A(x + ) = x + x + x + x + + B x + x +. Konstnti A in B določimo iz enčbe x + 4 = A(x + ) + B tko, d izenčimo koeficiente pri potench spremenljivke x: A = in A + B = 4, od koder dobimo A =, B = in (x + ) x + x + + x + x +. Prvi integrl je oblike (5.4) in g že poznmo, drugeg prevedemo n elementren integrl tko, d imenovlec zpišemo kot vsoto popolneg kvdrt in konstnte: x + x + = (x + ) + = rc tg (x + ) + C in dobimo log(x + x + ) + rctg (x) + C. Podoben postopek lhko uporbimo z rčunnje poljubneg integrl oblike x + b, (5.9) x + px + q kjer je imenovlec nerzcepn kvdrtn funkcij. Integrl tke oblike se vedno izrž kot vsot A log(x + px + q) + B rc tg x + p D + C, kjer je D = p 4q diskriminnt kvdrtne funkcije x +px+q, števec x + p = (x + px + q) p njen odvod.
74 POGLAVJE 5. INTEGRAL 3. Funkcijo v integrlu x + x 3 + x x = x + x(x )(x + ) zpišemo kot vsoto prcilnih ulomkov: x + x(x )(x + ) = A x + Koeficiente A, B in C določimo iz enčbe B x + C x +. x + = A(x )(x + ) + Bx(x + ) + Cx(x ), ki mor veljti pri vskem x. Če vnjo vstvimo x = 0, dobimo A =. Pri x = dobimo B =, pri x = p C =. Od tod sledi: x + x 3 + x x = x + x + x + = log x + log x + log x + + C = log (x )(x + ) x + C. Podoben postopek kot v zdnjem primeru lhko uporbimo pri rčunnju integrl poljubne rcionlne funkcije P m (x) Q n (x) = p mx m + + p 0 q n x n + + q 0, (5.0) kjer je polinom P m stopnje m in polinom Q n stopnje n. Če je m > n, polinom delimo in dobimo P m (x) Q n (x) = A m n(x) + R k(x) Q n (x), kjer je A m n polinom stopnje m n, R k (x) p je ostnek pri deljenju, ki im stopnjo k < n. Rcionlno funkcijo R k (x) Q n (x), k < n lhko zpišemo kot vsoto prcilnih ulomkov, ki imjo v imenovlcu nerzcepne fktorje polinom Q n in integrirmo vsk člen posebej. Integrl tko rzpde n integrle posmeznih členov, med njimi p so lhko le funkcije nslednjih oblik:
5.5. INTEGRALI ELEMENTARNIH FUNKCIJ 75.. 3. u j (x) (x ) i, j < i, x + b x + px + q, z diskriminnto D = p 4q < 0 in v j (x) (x + px + q) i, j < i. Integrl prve in druge funkcije smo že izrčunli, s tretjim integrlom je več del. Izrčunmo g tko, d z ustreznimi substitucijmi in z integrcijo per prtes (tko kot v primeru 5.4.5) znižmo stopnjo i in g prevedemo n integrl druge vrste. Če posmezne integrle seštejemo, dobimo splošno obliko integrl rcionlne funkcije: Pm (x) Q n (x) = S l (x) T l (x) + j A j log x i + j B j log (x + p j x + q j ) + j C j rctg x + p j Dj + D, kjer v imenovlcu T l (x) nstopjo vsi nerzcepni fktorji funkcije Q n (x) s potenco, ki je z mnjš od prvotne, (x i ) so vsi linerni nerzcepni fktorji polinom Q n ( i so vse relne ničle polinom Q n ), x + p j x + q j p so vsi nerzcepni kvdrtni fktorji v rzcepu polinom Q n (D j so njihove diskriminnte). Primer 5.5.. Integrl je vsot Ax + Bx + C x(x + ) x 5 x 4 + x + x (x + ) + D log x + E log(x + ) + F rctg x + G. (5.) Neznne koeficiente A, B, C, D, E in F določimo tko, d enčbo (5.) odvjmo x 5 x 4 + x + x (x + ) = (x3 + x)(ax + B) (Ax + Bx + C)(3x + ) x (x + ) pomnožimo s skupnim imenovlcem + D x + Ex x + + F x +, x 5 x 4 + x + = Ax 4 + Ax + Bx 3 + Bx 3Ax 4 3Bx 3 3Cx Ax Bx C +D(x 5 + x 3 + x) + Ex 3 (x + ) + Fx (x + )
76 POGLAVJE 5. INTEGRAL in primerjmo koeficiente pri vski od potenc spremenljivke x. Tko dobimo sistem linernih enčb +D +E = A +F = B +D +E = 0 A 3C +F = 0 D = C = od koder izrčunmo koeficiente in integrl je enk A =, B =, C =, D =, E = 0, F =, x + x + x 5 x 4 + log x + rctg x + G. + x + Integrli nekterih lgebričnih funkcij Oglejmo še nekj tipičnih integrlov, ki jih lhko s primerno substitucijo prevedemo n integrle rcionlnih funkcij li kko drugče integrirmo.. Zčnimo s primerom: Primer 5.5.3. x + x prevedemo n rcionlen integrl z vpeljvo nove spremenljivke in dobimo x + x = t, x = t 4t dt + t, = ( + t ) 4 to p smo že izrčunli v primeru 5.4.5. t ( + t ) dt, N podoben nčin lhko integrl vske funkcije, ki se izrž kot rcionln funkcij rzličnih korenov isteg ulomljeneg linerneg izrz (x + b)/(cx + d), prevedemo n integrl rcionlne funkcije.
5.5. INTEGRALI ELEMENTARNIH FUNKCIJ 77. Integrle, ki vsebujejo izrz x + bx + c lhko pogosto izrčunmo s kkšno trigonometrično li hiperbolično substitucijo (glej primer 5.4.4). Z integrle oblike P n (x) (5.) x + bx + c p lhko vnprej ugnemo, s kkšnimi funkcijmi se izržjo, kjti funkcijo pod integrlom lhko vedno zpišemo v obliki P n (x) x + bx + c ( = Q n (x) ) λ x + bx + c + x + bx + c. Od tod dobimo Q n (x) x + bx + c + λ x + bx + c, integrl, ki je ostl lhko prevedemo n elementren integrl tko, d izrz pod korenom dopolnimo do popolneg kvdrt. Primer 5.5.4. Npišimo nstvek z integrl x x x x = x x = (Ax + B) x x + λ x x. Neznne koeficiente A, B in λ določimo tko, d to enčbo odvjmo: x x x x = A x x + (Ax + B)(x ) x x + λ x x, pomnožimo z imenovlcem x x x x = A(x x ) + A(x x) + B(x ) + λ,
3. Integrli oblike Pn (x), 78 POGLAVJE 5. INTEGRAL in primerjmo koeficiente n obeh strneh, d pridemo do sistem linernih enčb: A = 3A +B = A B +C =, od koder dobimo A = /, B = / in C =. Ker je x x x = (x ) = log + x x, je končni rezultt (x ) x x log x + x x. kjer je P n (x) polinom stopnje n > se ne izržjo vedno z elementrnimi funkcijmi. Če je n = 3 li n = 4 jim prvimo eliptični integrli in jih lhko z ustrezno vpeljvo nove spremenljivke prevedemo n eno od nslednjih oblik: eliptični integrl prve vrste ( x )( k x ) x ( x )( k x ) (+hx ) ( x )( k x ) ki so vsi neelementrne funkcije. eliptični integrl druge vrste eliptični integrl tretje vrste, 4. Integrle oblike x m ( + bx n ) p, (5.3)
5.5. INTEGRALI ELEMENTARNIH FUNKCIJ 79 kjer so eksponenti m, n in p rcionln števil, in b p poljubni, od 0 rzlični relni konstnti, imenujemo binomski integrli. Binomski integrli se izržjo z elementrnimi funkcijmi smo v nslednjih treh primerih: () p je celo število v tem primeru se integrl s substitucijo t = x k, kjer je k imenovlec ulomk m, prevede n integrl rcionlne funkcije; () (m + )/n je celo število v tem primeru vpeljemo novo spremenljivko kot + bx n = t s, kjer je s imenovlec ulomk p; (3) p + (m + )/n je celo število. Novo spremenljivko v tem primeru vpeljemo kot x n + b = z s, kjer je s imenovlec ulomk p. Kdr binomski integrl ne ustrez nobenemu od teh treh primerov, g ne moremo izrziti z elementrnimi funkcijmi. Primer 5.5.5. Izrčunjmo integrl 3. + x 3 To je binomski integrl (5.3) z m = 0, n = 3 in p = /3, zto novo spremenljivko vpeljemo kot x 3 + = t 3, oz x 3 = /(t 3 ), od koder je 3x 4 = 3t dt. Tko dobimo x 3 t dt x 4 3 x 3 + = t 3, kr je integrl rcionlne funkcije, ki g znmo izrčunti: 6 log t + t + (t ) 3 rc tg t + 3 + C. Končni rezultt dobimo ko vstvimo t = 3 + x 3 /x. Integrli trigonometričnih funkcij Pri integrciji trigonometričnih funkcij si pogosto lhko pomgmo z znnjem trigonometrije.
80 POGLAVJE 5. INTEGRAL. Integrle oblike cos m x sin n x (5.4) njlže izrčunmo, če je vsj eden od eksponentov liho število. Če je, npr., m = k + liho število, vzmemo z novo spremenljivko t = sin x (torej dt = cosx) in dobimo, upoštevjoč še zvezo cos x = sin x, d je ( t ) k t n dt. To je integrl polinom, kdr st eksponent pozitivni števili, sicer p integrl rcionlne funkcije. Če p st ob eksponent v integrlu (5.4) sodi števili, v integrndu znižmo eksponente s pomočjo formul sin x = cos x = sin x cosx = cos x (5.5) + cos x (5.6) sin x. (5.7) Primer 5.5.6. Izrčunjmo integrl sin 4 x cos x = sin x( cos x) 8 = ( cos 4x) sin xd(sin x) 6 8 = x 6 sin 4x 64 sin3 x 48 + C. Integrle oblike sin mx sin nx, sin mx cosnx, cosmx cosnx
5.5. INTEGRALI ELEMENTARNIH FUNKCIJ 8 poenostvimo s pomočjo formul sin mx sin nx = (cos (m n)x cos (m + n)x), (5.8) sin mx cos nx = (sin (m n)x + sin (m + n)x), (5.9) cosmx cosnx = (cos (m n)x + cos (m + n)x). (5.30) Primer 5.5.7. Izrčunjmo integrl sin 5x cosx = sin 6x + sin 4x = cos 6x cos 4x + C. 8 3. Integrle oblike R(sin x, cos x), (5.3) kjer je R rcionln funkcij spremenljivk sin x in cos x, lhko z uvedbo nove spremenljivke t = tg(x/) prevedemo v integrl rcionlne funkcije, sj se sin x, cosx in izržjo kot rcionlne funkcije s tg x/: sin x = sinx/ cosx/ sin x/ + cos x/ = t + t (5.3) cosx = sin x/ cos x/ sin x/ + cos x/ = t + t (5.33) x = rctg t; = dt + t. (5.34) Primer 5.5.8. Izrčunjmo integrl + sin x + cosx. Z zgornjo substitucijo dobimo dt + t + t + + t ) = = log ( + tg(x/)) + C. dt + t
8 POGLAVJE 5. INTEGRAL 4. Kdr v integrlu (5.3) funkcij R zdošč relciji R( sin x, cosx) = R(sin x, cosx), (tj. tkrt, kdr so vsi členi funkcije R sode stopnje), pridemo do integrl rcionlne funkcije učinkoviteje z uvedbo nove spremenljivke t = tg x, sj je sin x = t + t (5.35) cosx = + t (5.36) = dt + t (5.37) Čeprv substitucij sm ni rcionln, je njen rezultt, zrdi predpostvke o sodih stopnjh, vedno integrl rcionlne funkcije, ki je prvilom z polovico nižje stopnje, kot če bi uporbili substitucijo t = tg(x/). Primer 5.5.9. Izrčunjmo integrl + cos x. Nov spremenljivk bo t = tg x, upoštevmo (5.35 5.37) in immo dt ( + t )( + ) = dt + t +t = rc tg t + C = rctg tg x + C Integrli trnscendentnih funkcij Med integrli trnscendentnih funkcij je veliko tkih, ki jih ne moremo izrziti z elementrnimi funkcijmi, nektere p s primerno substitucijo li integrcijo po delih prevedemo n rcionlne.
5.5. INTEGRALI ELEMENTARNIH FUNKCIJ 83 Primer 5.5.0.. Integrle oblike R(e x ), kjer je R rcionln funkcij, prevedemo n rcionlne integrle s substitucijo t = e x, x = log t, = dt/t. N primer = e x e x th x = e x + e x t /t t + /t dt t = t t(t + ) dt. Funkcijo pod integrlom rzcepimo n prcilne ulomke: t = A t(t + ) t + Bt + C t +, t = A(t + ) + (Bt + C)t, od koder sledi A =, B =, C = 0 in t dt + t t + dt = log t + log(t + ) + C = log t + t + C.. Če v integrl vpeljemo rc tg x u = rc tg x, dv =, du = + x, v = x,
84 POGLAVJE 5. INTEGRAL dobimo x rc tg x + x + x = x rc tg x + log + x + C. 5.6 Neprvi (posplošeni) integrli Določeni integrl smo definirli ob predpostvki, d je integrcijski intervl končen, funkcij, ki jo integrirmo, p omejen. V tem rzdelku bomo pojem integrl posplošili tudi n funkcije, ki niso omejene, in n neskončn integrcijsk območj. Vzemimo njprej, d je integrcijski intervl [, b] končen, funkcij f p n njem ni omejen. Nj bo funkcij f zvezn n [, b), v točki b nj im pol. Izberimo si pozitivno število ε < b. N intervlu [, b ε] je funkcij f zvezn, zto tudi omejen, in določeni integrl obstj. I(ε) = b ε f(x) (5.38) Definicij 5.6.. Če obstj limit integrl I(ε) (5.38), ko ε 0, ji prvimo posplošeni li neprvi integrl funkcije f n intervlu [, b] in pišemo: b b ε f(x) = lim I(ε) = lim f(x). εց0 εց0 Če im f pol v točki in je drugod n (, b] zvezn, definirmo podobno: če t limit obstj. b b f(x) = lim f(x), εց0 +ε
5.6. NEPRAVI (POSPLOŠENI) INTEGRALI 85 Kdr im f pol v kki notrnji točki c [, b], intervl rzdelimo n dv podintervl [, c] in [c, b] ter poiščemo limiti Primer 5.6.. b f(x) = lim εց0 c ε. Rziščimo obstoj integrl b f(x) + lim f(x). ηց0 c+η 0 x p ; p < 0. Funkcij /x p im pol v x = 0, zto je po zgornji definiciji lim εց0 ε [ ] x x p p = lim. εց0 p ε Če je p <, limit n desni obstj in je enk /( p), če je p >, p funkcij /ε p z ε 0 divergir proti in integrl ne obstj.. Preverimo integrbilnost funkcije /(3 x) n intervlu [, 3]. Funkcij im pol pri x = 3, zto je 3 (3 x) = lim = lim εց0 εց0 3 ε [ 3 x (3 x) ] 3 ε = lim εց0 ε, t limit p ne obstj, zto funkcij /(3 x) ni integrbiln n intervlu [, 3]. Nj bo funkcij f(x) definirn in omejen n neomejenem intervlu, n primer [, ) in nj bo integrbilnn vskem končnem podintervlu [, b]. Definicij 5.6.. Če obstj limit I(b) = lim b b f(x),
86 POGLAVJE 5. INTEGRAL ji prvimo posplošeni li neprvi integrl funkcije f n intervlu [, ) in pišemo: f(x) = lim b b f(x). Podobno definirmo integrl n intervlu (, b]. Integrl n intervlu (, ), ki je n obe strni neomejen, je enk f(x) = lim 0 f(x) + lim in obstj, če obe limiti obstjt in st končni. Primer 5.6.. Izrčunjmo: I(p) = x p = lim b b x p = lim b b b ] b [ x p = lim p b 0 f(x), Če je p <, integrl ne obstj, z p > je I(p) = /(p ). b p p p. Vrednost posplošeneg integrl lhko približno izrčunmo tko, d g ndomestimo z določenim integrlom, ki se od posplošeneg le mlo rzlikuje, n primer f(x) b f(x), z dovolj velik b. Pri tem p mormo vedeti, li posplošeni integrl sploh obstj, zto nvedimo še nekj kriterijev, s kterimi si lhko pomgmo pri ugotvljnju obstoj posplošenih integrlov. Limit v definiciji 5.6. obstj ntnko tkrt, kdr se vrednosti integrl funkcije f n intervlih [, b ] in [, b ] ne rzlikujet dosti, če st b in b dovolj veliki števili. Drugče povedno: Izrek 5.6.. Integrl funkcije f n intervlu [, ) obstj, ntnko tkrt, kdr z vsk ε obstj tk b, d je b b b f(x) f(x) = f(x) < ε, če st b, b > b. b
5.6. NEPRAVI (POSPLOŠENI) INTEGRALI 87 Podoben sklep lhko zpišemo z integrl funkcije f n intervlu [, b], kjer im pol. S tem opisom si lhko pomgmo, d dokžemo nslednji izrek: Izrek 5.6.. (Primerjlni kriterij) Nj bo g(x) > 0 tk funkcij, definirn n [, ), d z vsk x [, ) velj f(x) g(x). Če obstj integrl funkcije g n [, ), obstj tudi integrl funkcije f n [, ). Dokz je preprost: z vsk ε obstj tk b, d je b b b f(x) b < f(x) < g(x) < ε, b b če je b < b < b. Primerjlni kriterij smo srečli že pri ugotvljnju konvergence vrst. Tko kot pri vrsth, g lhko tudi pri integrlih uporbljmo v obe smeri: z njim lhko dokžemo, d integrl funkcije f obstj, li p, d integrl funkcije g ne obstj. Podoben kriterij lhko zpišemo z integrl n omejenem intervlu, kjer im funkcij pol. Primer 5.6.3.. Integrl cosx x 3. (5.39) obstj, ker z vsk x [, ) velj cosx, torej tudi x 3 cosx x 3, in ker obstj integrl. Prv tko obstj integrl sj je z vsk x (0, ] x 3 = lim x [ x ] x =. 0 x + 3 x, x + 3 x x,
88 POGLAVJE 5. INTEGRAL integrl p očitno obstj. 0 x = [ x ] 0 = 3. Integrl x + 3 x, ne obstj, sj z vsk x velj 3 x x, torej je x + 3 x x, integrl ne obstj. x = lim x x Zvez med vrstmi in posplošenimi integrli p se še ndljuje: Izrek 5.6.3. Če je f(x) nenegtivn zvezn in pdjoč funkcij n [, ), posplošeni integrl in vrst f(x) in f(n) konvergirt li p divergirt hkrti. Izrek 5.6.3 lhko uporbljmo z dokzovnje konvergence li divergence integrlov, še bolj pogosto p g uporbljmo z dokzovnje konvergence li divergence vrst. V tem primeru mu prvimo integrlski kriterij z konvergenco vrst. Dokz. Ker je funkcij f(x) pdjoč, je z vsk n N, f(n) n+ n f(x) f(n + ),
5.6. NEPRAVI (POSPLOŠENI) INTEGRALI 89 in z delne vsote vrste veljt oceni: S N = = N f(n) n= N+ N n= f(x) n+ n N+ n= f(x) f(n) = S N+ S. Če je integrl konvergenten, z vsk N velj: S N N+ f(x) f(x). Zporedje delnih vsot je omejeno in, ker im sme pozitivne člene, je vrst konvergentn. Če je vrst konvergentn, velj z vsk N I N = N f(x) N f(n) f(n). Zporedje integrlov I N je nrščjoče in omejeno, torej konvergentno, to p že pomeni, d posplošeni integrl obstj. Primer 5.6.4. V. poglvju smo s precej težvmi dokzli, d je vrst n= konvergentn ntnko tkrt, kdr je p >. Preprosteje bi do teg rezultt prišli z uporbo integrlskeg kriterij, sj je enostvno ugotoviti, d je integrl x p n p konvergenten z p > (glej primer 5.6..