EI E SUII EONOIE EOI OOFOLIULUI ro. uiv. dr. oisă ltăr 00 by oisă ltar. ll rights rsrvd. Short sctios o tt, ot cdig two aragrahs may b quotd without rmissio rovidd that ull crdit, icludig th otic, is giv to th sourc. oyright 00, oisă ltar. oat drturil asura acsti lucrări aarţi autorului. Scurt ragmt d tt, car u dăşsc două aragra ot i citat ără rmisiua autorului dar cu mţioara sursi. ucurşti, iauari 00
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L -9 EOI OOFOLIULUI ro. uiv. dr. oisă ltăr uris IOLUL I - OOFOLII EFIIENE. FONIE KOWIZ.... 3. ISUL ŞI ENILIE UNEI ŢIUNI.... 3. EI, VINŢ ŞI OVINŢ... 4 3. EUŢIILE OOFOLIULUI E ŢIUNI... 7 4. LIŢI.... 5. OOFOLII EFIIENE... 3 6. EOE ELO OUĂ OOFOLII FUNENLE (FONUI UULE) (I)... 9 7. OIEĂŢI LE FONIEEI KOWIZ... 4 8. EOE ELO OUĂ OOFOLII FUNENLE (FONUI UULE) (II)... 3 9. LIŢIE... 35 0. OVINŢ INE OUĂ OOFOLII EFIIENE. OOFOLII ONJUGE.... 39. UN OEL E EVLUE IVELO FINNIE... 43. LIŢIE... 48 IOLUL II OOFILII OIE. E FUNENLĂ IEŢEI E IL IL KE LINE (L)... 50. INOUEE... 50. FONIE OOFOLIILO EFIIENE ENU ZUL ÎN E E IŢĂ EXISĂ ŞI UN IV FĂĂ IS. 5 3. E FUNENLĂ IEŢEI E IL (L IL KE LINE).... 58 4. OILIE OOFOLIILO SIUE E L... 64 5. LIŢIE... 68 IOLUL III OELUL (IL SSES IING OEL)... 70. EHILIUL IEŢEI FINNIE... 70. OELUL... 7 3. LIŢIE:... 77 IOLUL IV - OLIGŢIUNI... 79. EVLUE UNEI OLIGŢIUNI... 80. U UNEI OLIGŢIUNI... 85 3. OIEĂŢILE UEI... 89
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 3-9 EOI OOFOLIULUI aitolul I - ortoolii icit. Frotira arowitz. ro. uiv. dr. oisă ltăr. iscul şi rtabilitata ui acţiui. S va cosidra că iaţă cotază u umăr d acţiui. tabilitata acţiuii i ), î itrvalul d tim d la t0 la t, st dată d următoara ormulă: ( i ( 0 ) () 0 i u 0 şi s-a otat cursul acţiuii la momtl t0, rsctiv t, iar cu s-a otat mărima dividdului. Î ormula () mărimil şi sut variabil alatoar, ca c ac ca şi variabilă alatoar. i să i Vom rsuu că tru momtul viitor t au ost idtiicat u umăr d q stări osibil al coomii, rcum şi robabilităţil d ralizar a icări stări. Î idtiicara stărilor osibil s va lua î calcul şi situaţia ramurii coomic î car s ală îtrridra mittă a acţiuii i. tru icar star, baza idtiicării cursurilor i şi al dividdului calculat rtabilităţil. Î acst mod, s ormază distribuţia: i i vor i i : i i,...,,..., q iq () ud 0,, q şi q.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 4-9 tabilitata mdi (aşttată) a acţiuii i st: E( ) i q i (3) batra rtabilităţii aţă d mdi st: i E( ) : i i E( ) i i E( ) i,...,,..., iq q E( ) i iar variaţa (disrsia) rtabilităţii st: i var( ) E([ E( )] ) (4) i i i oorm covţii adotată î domiul iaciar-motar i var( i ) cuatiică mărima riscului acţiuii i. u cât mărima lui i st mai mar cu atât riscul asumat d u ivstitor car achiziţioază acţiua i st mai mar. irmaţia d mai sus st valabilă umai dacă ivstitorul achiziţioază acţiua i ără a o itroduc îtr-u ortooliu î car s ală şi alt acţiui. iiţi: S umşt ortooliu d acţiui u vctor,,..., ) cu..., ud cu i acţiua i î totalul sumi ivstit. ( ( i, ) s-a otat odra sumi ivstit î Obsrvaţi: Î cazul î car rglmtăril iţi rmit oraţii d tiul short sllig ul ditr comotl vctorului ot i gativ.. dia, variaţa şi covariaţa. tru scrira cuaţiilor uui ortooliu vor i ramitit ul ditr rorităţil mdii, rsctiv al variaţi ui variabil alatoar. u litra z vor i otat variabill alatoar, iar cu litra c vor i otat costat. rorităţil mdii E ( c) c E ( c z) ce( z) E z z ) E( z ) E( ( z ) (5)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 5-9 rorităţil variaţi var( c ) 0 var( c z) c var( z) var( z z) var( z) var( z) cov( z, z) ovariaţa a două variabil alatoar st, ri diiţi: (6) cov( z, z) E[( z E( z))( z E( z))] (7) ovariaţa ditr două variabil alatoar cuatiică ivlul ddţi ditr cl două variabil. acă ij 0, atuci rzultă că cl două variabil voluază rlativ iddt ua d calaltă. acă ij > 0, rzultă că variabill alatoar z i şi z voluază î aclaşi ss, iar dacă < 0 j ij atuci s oat trag cocluzia că variabill alatoar voluază î ss cotrar. mlu, dacă cov( i, j ) < 0, atuci rzultă că dacă rtabilitata i a acţiuii i va crşt, rtabilitata acţiuii j ) va ava tdiţa d a scăda. ( j oicitul d corlaţi ditr două variabil alatoar zi şi z j st: ρ ij cov( z, z i i j j ) (8) oicitul d corlaţi ρ ij variază î itrvalul [-, ]. S şti di toria robabilităţilor atul că dacă ρ ij, atuci îtr variabill alatoar z i şi z j istă o ddţă liiară d orma: zi a z j b (9) cu a > 0 dacă ρ şi cu a < 0 dacă rorităţi al covariaţi ij ρ. ij cov( z, z ) E[( z E( z ))( z E( z )) (0) ii ij ji i j i i j j ()
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 6-9 ij ρ ij i j i galitata avâd loc dacă şi umai dacă ρ j ij () Î cazul î car variabila alatoar alatoar, rsctiv: z j st o combiaţi liiară d alt variabil z c z c z... c j z (3) atuci: z, z ) c cov( z, z ) c cov( z, z )... c cov( z, z ) (4) cov( i j i i i roritata (4) rzultă di ormula (7) car dişt covariaţa: E[( z i E( z ))( c z i i c c... c i c z i... c z c E( z ) c E( z )... c E( z )) (5) Vom ac obsrvaţia că ormull (5) s ot graliza tru u umăr d variabil alatoar: E c z c z... c z ) c E( z ) c E( z )... c E( z ) (6) ( var( c z cz... cz) c var( z) c var( z)... c var( z) c c cov( z, z) cc cov( z, z)... cc cov( z, z) c c cov( z, z ) c c cov( z, z )... c c cov( z, z ) 3 3 4 4 (7) Formula (7) s mai oat scri astl: var( c z cz... c z ) c cc j j (7 ) j acă s otază cu matrica d variaţă-covariaţă : ( ) j (8) şi cu c vctorul coloaă (cu "" s otază vctorul trasus) ormula (7 ) s mai oat scri matrical astl: atuci c c, c,... ) ( c
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 7-9 var( c z cz... cz) c c (9) Î ormula (9) s-a ţiut sama că matrica d variaţă-covariaţă st simtrică, rsctiv, i, j,. ij ji 3. Ecuaţiil ortooliului d acţiui. Vom rsuu u ortooliu (,,..., ) ormat di acţiui. tru icar acţiu s cuoaşt rtabilitata mdi E ( i ) şi riscul i ( i, ). asma, s rsuu cuoscut covariaţl ( i, j, ). ij zultă că tru activl car ot itra î structura ortooliului s cuoaşt: Vctorul rtabilităţilor aşttat ( E ( ), E( ),..., E( )) atrica d variaţă-covariaţă (0)..................... () amitim că matrica st simtrică, rsctiv lmtl simtric aţă d diagoala ricială sut gal:, i, j,. licâd rorităţil rztat î aragraul rzt, rzultă: ij ji E( ) E( ) () (3) j j j (4)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 8-9 u E( ) şi s-au otat rtabilitata, rsctiv riscul ortooliului. Ecuaţiil ()-(4) rrzită cuaţiil ortooliului d activ iaciar şi ot i scris matricial astl: E ( ) (5) (6) (7) u ost utilizat următoarl otaţii: (,,..., ) ( E( ), E( ),..., E( )) (,,...,) (8) u s-a otat vctorul coloaă al rtabilităţilor, iar cu u vctor - coloaă dimsioal avâd toat comotl gal cu uu. Ecuaţia (3) s oat scri: j j j (9) Vom mai scri cuaţia (9) şi astl: (... ) (... (... )... ) (30) Ţiâd sama d rorităţil covariaţi, rztat î aragraul, avm că rsia... rrzită covariaţa ditr activul iaciar şi îtrgul ortooliu. Vom ota acastă covariaţă cu, rsctiv:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 9-9... ), cov( (3) u acastă otaţi variaţa ortooliului s mai oat scri:... (30 ) sau: (30 ) Vom calcula szitivitata riscului ortooliului,, î raort cu variaţia odrii activului i î ortooliu. Î ralabil, vom obsrva utilizâd ormula (3) că: i i (3 ) Folosid ormula (3 ) avm succsiv: ( ) i i i i...... i i i i i i i i i i...... Ţiâd sama d rlaţia (3 ), şi rarajâd trmii di ormula d mai sus rzultă: ( ) i i i i i ii i i i i ) (...... Vom ota: i i i γ i, (3) oicitul i γ va i umit coicit d szitivitat a riscului ortooliului î raort cu activul i.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 0-9 Vom obsrva că st o ucţi omogă d gradul uu î raort cu Utilizâd ormula lui Eulr tru ucţiil omog, rzultă:,...,,.... şi, utilizâd (3) s obţi: γ γ... γ Obsrvaţii: (33). laţia (33) s oat obţi dirct şi di (30 ) ri îmărţira ambilor mmbrii cu i,.. oiciţii γ i sut idicatori d risc, i cuatiicâd riscul icărui activ i î raort cu ortooliul cosidrat. 3. Î raort cu ormula obişuită a riscului j i j ij car st o ormulă liiară, ormula (33) ar avatajul că st o ormulă liiară. 4. Îmărţid ambii mmbrii ai ormuli (33) cu s obţi: β β... β (34) S-a otat: γ i β i i (35) Idicatorul β i va i umit volatilitata activului i î raort cu ortooliul.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L -9 4. licaţia. Vom cosidra u ortooliu ormat di tri activ. S cuosc următoarl lmt: E ( ) 4%, E ( ) 6%, E ( 3 ) 0%. oiciţii d risc itrisc sut: 0%, 5%, 3 30%. oiciţii s rsuu a i: ρ 0, 5, ρ 3 0, ρ 3 0, 5. oiciţii d covariaţă vor i: ρ 3 ρ3 3 3 ρ3 3 0,00375 0 0,05 atrica d variaţă-covariaţă st: 0,0 0,00375 0 0,00375 0,0 0,05 0 0,05 0,09 S va cosidra u ortooliu avâd următoara structură: 40%, 30%, 3 30%. zultă că ortooliul st: ( 0, 4 ;0,3 ;0,3 ) Variaţa ortooliului va i:. 0,0 0,00375 0 0,4 (0,4;0,3;0,3) 0,00375 0,0 0,05 0,3 () 0 0,05 0,09 0,3 0,0055 (0,4;0,3;0,3) 0,005 0,005 0,008575 iscul ortooliului va i: 0,008575 0, 096.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L -9 tabilitata aşttată a ortooliului st: E ( ) 0,4 0,4 0,3 0,6 0,3 0, 0,60. şadar, ortooliul costruit ar o rtabilitat E ( ) 6,0% şi u risc 9,6%. i calcull ctuat mai sus (ormula () rzultă următorii coiciţi d corlaţi ditr icar activ şi ortooliul : 0,0055 ; 0, 005 ; 3 0, 005. oiciţii d szitivitat sut: γ 0,0553 5,53% γ 0,06,6% γ 3 γ 3 0,87,87% iar coiciţii d volatilitat a activlor î raort cu ortooliul sut: γ γ γ 3 β 0,597, β 0, 749, β 3, 368. Obsrvaţi: Vom obsrva că dşi activul ar riscul itrisc 5%, rsctiv d,5 ori mai mar dcât riscul activului ( 0%), coicitul d szitivitat γ st mult mai mic dcât γ. casta îsamă că di uct d vdr al riscului ortooliului, activul s comortă mult mai bi dcât activul. casta coduc la cocluzia că idicatorii d risc itrisc urizază iormaţii dstul d sumar, l trbuid să i corrlat cu iormaţiil urizat d idicatori γ şi β.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 3-9 5. ortoolii icit iiţi: U ortooliu d activ iaciar s umşt icit (otim arto) dacă u s oat orma ici u ortooliu Q car să aibă acaşi rtabilitat cu, dar să aibă u risc mai mic dcât acsta. Î mod chivalt s oat su că ortooliul st icit (otim arto) dacă u s oat orma ici u ortooliu Q car să aibă aclaşi risc cu, dar să aibă o rtabilitat mai mar dcât acsta. tru a gra ortoolii icit, vom calcula structura uui ortooliu car să asigur o rtabilitat mdi gală cu ρ (mărim dată) cu u risc miim. licâd cuaţiil d ortooliu () - (4) şi otâd tru uşurara scririi: E ( ) (37) vom ormula următoara roblmă d miim: mi ρ mi j j j (38) Lagragaul roblmi st: L j j ρ j (39)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 4-9 u şi s-au otat multilicatorii Lagrag corsuzători clor două rstricţii al roblmi d otim. odiţiil csar d otim, dsr car s dmostrază uşor că sut şi suicit sut: L L 0; L L L 0; K K 0; 0; 0 (40) vm: L j j j j 0,, (4) Ţiâd sama că rzultă că cl două sum di ormula (4) sut gal; j j rzultă: j j j 0,, (4) Sistmul d cuaţii cu cuoscut d mai sus s oat scri matricial astl: 0 (43),, K, iar st vctorul coloaă d dimsiu cu toat S-a otat ( ) K comotl gal cu uu ( (,, KK, ) S obţi: d ud: ). (44)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 5-9 Soluţia (44) coţi două cuoscut, rsctiv multilicatorii şi. tru calculul lui şi vom olosi ultiml două cuaţii di (38). csta s ot scri vctorial astl: ρ (45) (46) i (44) rzultă : (47) i rlaţiil (45)-(46) rzultă: ρ (48) Vom utiliza următoarl otaţii: şi ; ; (49) ţioăm că, şi sut scalari. Sistmul d cuaţii (48) dvi: ρ (50) Soluţia tru ci doi multilicatori şi st: ρ ρ
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 6-9 ρ ρ (5) Utilizâd valoril tru multilicatori şi dat d (5), soluţia (44) dvi: ( ) ( ) [ ] ρ ρ (5) oorm ormuli (3), vctorul coicit d covariaţă a icărui activ cu ortooliul car asigură rtabilitata ρ cu u risc miim va i: ( ) ( ) [ ] ρ ρ K (53) Variaţa ortooliului va i: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ρ ρ ρ ρ ( ) ( )( ) ( ) [ ] ρ ρ ρ ρ [ ] [ ] 3 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ( ) ( ) [ ] ) ( ρ ρ
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 7-9 Ţiâd sama că coorm (46) avm, rzultă: [ ρ ] ρ (54) Formula (54) u î vidţă rlaţia ditr rtabilitata ρ a ortooliului şi riscul miim obtabil corsuzător. Graicul ucţii (54) st rztat î igura, a iid o hirbolă. ρ Figura ortooliul V cu cl mai mic risc osibil (risc miim global) corsud valorii: ρ V (55) iscul ortooliului cu cl mai mic risc osibil (ortooliul d risc miim) st:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 8-9 V (56) Îlocuid î (5) ρ V di ormula (55) rzultă că ortooliul d risc miim global ar următoara structură: V (57) Ţiâd sama d (49), ormull (55)-(57) car caractrizază ortooliul d risc miim global V s ot scri: ρv ; V V (58) Obsrvaţii:. alcull d mai sus au ost ctuat î iotza că matrica d variaţăcovariaţă u st dgrată ( dt 0 ), şi dci a st ivrsabilă. Î cazul î car dt 0, calculul ctuat trbui rluat şi trbui ţiut sama d atul că matrica d variaţă-covariaţă u st ivrsabilă. tru mliicar acst lucru va i ăcut tru cazul. Î acst caz dacă ρ, matrica d variaţă-covariaţă dvi: trmiatul matrici st zro.. Vom obsrva că mărima:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 9-9 st gală cu suma tuturor lmtlor matricii. Ersia st u vctor coloaă avâd comotl gal cu suma lmtlor liii al matricii. cst obsrvaţii rmit o mai buă itrrtar iaciară a ormullor (58). Vctorii (,, K, ) şi (,, K,) s umsc oratori d îsumar, datorită atului că îmulţiţi cu o matric ctuază oraţia d aduar a lmtlor liii, rsctiv coloa, al matrici. 6. orma clor două ortoolii udamtal (oduri mutual) (I) Formula (44) car urizază rsia grală tru u ortooliu icit, s scri: (59) ud şi sut multilicatorii Lagrag. Vom rsuu că: 0 0 Î acst caz ormula (59) s mai oat scri: ( ) ( ) (60) (6) Obsrvăm că: V coicid cu a tria ormulă di (58), şi st ormula car dă structura ortooliului d risc miim global. Vom ota cu W ortooliul avâd structura:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 0-9 W (6) Vom mai ac obsrvaţia că ormula a doua di (50) arată că (63) a c arată că oric ortooliu icit s oat scri ca o combiaţi covă a ortooliilor şi (rlaţia (6)). V W ( ) W V (64) ud s-a otat cu, rsctiv. şadar st suicit să cuoaştm structura ortooliilor V şi W tru a i î măsură să utm scri cuaţia oricărui ortooliu icit (car sut î umăr iiit) utilizâd ormula (64). mlu, algâd 0, 5 utm scri: 0,5 V 0, 5 W (64 ) vm siguraţa că ormula (64 ) urizază structura uui ortooliu icit. Obsrvaţi imortată: di uct d vdr iaciar, ormula (64) vidţiază atul că tru a obţi u ortooliu icit st suicit să ivstim roorţia : ( ) î ortooliil (oduril mutual) car au structura V, rsctiv W. Î ucţi d algra lui vom obţi o rtabilitat dată cu u risc miim. tru a vidţia rtabilitata ortooliului î ucţi d aramtrul, vom utiliza rlaţia (50): ρ Ştiid că şi obţim: ( ) ρ ri calcul obţim: ρ [ ρ] (65) (65 )
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L -9 acă ivstitorul stabilşt rtabilitata ρ car dorşt să o obţiă, atuci va olosi ormula (65) tru a dduc c odr să ivstască î odul mutual V, iar ( ) va ivsti î odul mutual W. şi ( ) Î cazul î car s-a ivstit o odr î odul mutual V î odul mutual W, utilizâd ormula (65 ) vom calcula rtabilitata ρ a ortooliului. mlu, dacă, di (65 ) obţim: ρ V, rsctiv ρ V, ca c coicid cu rima ormulă di (58). acă 0, obţim: ρ W zultă că rtabilitata ortooliului st: W ρw Obsrvăm că, di ormula (65) rzultă ρ 0, ca c imlică ρ ρ W (66) (67) i (66) rzultă că ortooliul W st ortooliul icit car asigură ca mai mar rtabilitat iaţă, cluzâd biîţls oraţiuil d ti short-sllig îtr cl două ortoolii (V şi W). Î cazul î car s admit oraţiui d ti short-sllig, multilicatorul oat i surauitar şi, î cosciţă, s ot obţi rtabilităţi mai mari dcât ρ W tru a calcula variaţa ortooliului W vom olosi ormull (54) şi (66): W d ud
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L -9 W W ρ zultă că ortooliul W ar următoarl caractristici: ( ) ρ ; W W W (68) i atul că: > 0 rzultă că : >, rsctiv W V > ca c st ormal, îtrucât ortooliul W ar o rtabilitat aşttată mai mar. ovariaţa ditr ortooliil V şi W st: W V VW ( ) VW rzultă că: VW (69) Vom dmostra că ortooliul cu cl mai mic risc global V ar roritata că ar acaşi covariaţă cu oric ortooliu icit. Îtr-advăr, i u ortooliu icit: ( ) W V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vw V W V V V W V V V V zultă aşadar că oricar ar i ortooliul icit ( ) w v,
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 3-9 v, costat (70) roritata (70) rrzită o caractristică rmarcabilă a ortooliului V (cu cl mai mic risc global).
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 4-9 7. rorităţi al rotiri arowitz La l ca şi îait, s va cosidra că iaţă cotază u umăr d activ cu risc (acţiui). tru icar activ s cuoaşt: tabilitata aşttată: E( ) ;, iscul, măsurat ri abatra mdi ătratică: ;, oiciţii d covariaţă a icărui activ cu cllalt activ: ; j, j,, j u ajutorul coiciţilor d variaţă ( ormază matrica d variaţă-covariaţă: ( j ) ) şi al clor d covariaţă s Vom ac obsrvaţia că î cazul î car î locul coiciţilor d covariaţă s dau coiciţii d corlaţi ρ (, j ) matrica (ρ j ) j, j, atuci cu ajutorul acstora s ormază (7) iar matrica d variaţă-covariaţă s scri: S S (7) S 0... 0 ud S st matrica diagoală: 0... 0............ 0 0... (73)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 5-9 Vom ac obsrvaţia că: S S (74) S atrica S s ivrsază uşor, rsctiv: 0... 0 0... 0............ 0 0... (75) Îtrucât matrica S st îtotdaua ivrsabilă, tru ca matrica să i ivrsabilă st csar ca matrica să i ivrsabilă. trior s-a dmostrat că oric ortooliu icit (otim arto) d rtabilitat (iată og) ar următoara structură (vzi ormula (5)): [( ) ( ) ] (76) Notaţiil utilizat sut următoarl: ( ),,..., (,,..., ) (77) S obsrvă că şi sut vctori coloaă cu comot, iar,, şi sut scalari (umr).
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 6-9 acă matrica > 0 şi > 0 st ozitiv-diită atuci avm: (78) iar di igalitata auchy-uiaowsi-schwarz rzultă: > 0 (79) i ormula (76) rzultă că î cazul î car s cuosc lmtl d structură a iţi d caital:,,, şi, tru icar mărim a rtabilităţii a ortooliului stabilită î mod og d cătr ivstitor, s oat calcula vctorul d structură a ortooliului icit. cst ortooliul asigură obţira rtabilităţii cu cl mai mic risc ( ) osibil. rtabilitata oorm ormuli (54), tru oric ortooliul icit rlaţia ditr şi variaţa acstuia st dată d rlaţia: [ ] (80) Îtrucât discrimiatul triomului di mmbrul drt al ormuli (80) st < 0 iar > 0, rzultă că acst triom st ozitiv, oricar ar i rtabilitata. Î sistmul d coordoat (, ) di laul iaciar, ormula (80) rrzită o hirbolă. Îtr-advăr, ormula (80) s mai oat scri, succsiv:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 7-9 (8) rsctiv: (8) car rrzită orma caoică a ui hirbol. i ormula (8) rzultă: ± (83) Est vidt că ditr cl două ormul (83), di uct d vdr al itrrtării iaciar ar smiicaţi umai aca cu smul lus, rsctiv: (84) Formula (84), valabilă tru, urizază tru oric ortooliu icit mărima rtabilităţii î ucţi d riscul asumat. tru oric ortooliu icit variaţia rtabilităţii î ucţi d riscul asumat st dată d ormula:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 8-9 (85) S obsrvă că: > 0 şi < 0 (86) i ormull (86) rzultă că ucţia (84) car dă valoara a rtabilităţii uui ortooliu icit î ucţi d riscul asumat st o ucţi crscătoar şi cocavă. u alt cuvit, tru oric ortooliu icit uui risc mai mar îi corsud şi o rtabilitat mai mar, sorul d rtabilitat iid îsă o ucţi dscrscătoar. Ţiâd sama d atul că drivata ui ucţii rrzită, di uct d vdr gomtric ata tagti dusă la graicul ucţii î uctul rsctiv, rzultă că cuaţia tagti dusă î uctul (, ) la hirbola (8), rsctiv (84) car rrzită rotira arowitz (rotira ortooliilor icit) va i: ( ) (87) agta (87) va itrscta aa vrticală (d risc zro) î uctul: 0 (88) Ţiâd sama d ormula (84), rzultă:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 9-9 0 (88 ) tru a vda oziţia uctului (, ) d rotira arowitz di car tagta dusă trc ri origi, vom lua 0. zultă: iar di ormula (84) rzultă: şadar ortooliul avâd caractristicil: W : W W (89) ar roritata că tagta dusă la hirbolă (rotira arowitz) î uctul rsctiv trc ri origia alor d coordoat. Vârul ramurii (84) a hirboli (8), rsctiv (83) ar caractristicil:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 30-9 V V : V (90) şi st aclaşi cu ortooliul d risc miim global dscris d (58). i (85) mai rzultă că: (9) lim şi dci cuaţia asimtoti dusă la ramura (84) a rotiri arowitz st: (9) tru a uta trasa cât mai act hirbola (83), vom calcula şi coordoatl uctului î car acasta itrsctază aa orizotală ( 0 ). Evidt că aa orizotală st itrsctată d ramura: Făcâd 0 rzultă: (93)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 3-9 Făcâd î (84), rzultă: V (94) u alt cuvit ortooliul icit car corsud ramura surioară a hirboli uctului î car ramura irioară a hirboli itrsctază aa orizotală corsud ui rtabilităţi gal cu dublul rtabilităţii corsuzătoar vârului (ortooliul corsuzător clui mai mic risc osibil). W V
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 3-9 8. orma clor două ortoolii udamtal (oduri mutual) (II) Î cazul î car rtabilitata ortooliului icit ( ) st iată, structura acstuia st dată d ormula (76). tru ortooliul V, coorm (90) avm coorm ormuli (76), va i: V V, iar structura acstuia, rsctiv: V (95) tru ortooliul W, coorm (89), avm W, iar structura acstuia va i: W (96) şa cum s-a arătat atrior, oric ortooliu icit oat i rimat astl (vzi ormula (6)): V ( ) W (97) ud aramtrul st dat d ormula (vzi ormula (65)): [ ] (98)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 33-9 Formull (97) şi (98) arată că î cazul î car u ivstitor dorşt să-şi asigur o rtabilitat (aşttată) st suicit să ivstască o odr [ ] di totalul ivstiţii î odul mutual (ortooliul) V şi o odr [ ] î odul mutual (ortooliul) W. odalitata d ivstir rrztată mai sus st ralizabilă umai î cazul iaţă istă oduril mutual V şi W car asigură rtabilităţil, rsctiv. Vom rsuu că iaţă u ucţioază oduril mutual V şi W, î schimb istă alt două oduri mutual H şi G cu rtabilităţil aşttat H, rsctiv G. Îtrucât oric od mutual st u ortooliu icit, coorm ormuli (97), utm scri: H G H V ( H ) W ( G ) W G V (99) ud: [ ] H H [ ] G G (00) Vom arăta că, tru a obţi o rtabilitat aşttată, ivstitorul trbui să ivstască o odr di totalul ivstiţii î odul mutual H şi o odr (-) î odul mutual G. Îtr-advăr avm: H ( ) G (0) Ţiâd sama d (99), avm:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 34-9 ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] W G H V G H W G V G W H V H (0) acă s otază: ( ) G H l (03) atuci (0) s oat scri: ( ) W V l l (04) oorm ormuli (98) avm: [ ] l (05) i (03) rzultă: G H G l (06) Ţiâd sama d ormull (00) şi (05), di (06) rzultă: H G G (07) zultă că tru a obţi o rtabilitat (aşttată) d, ivstitorul trbui să ivstască o odr gală cu H G G di totalul ivstiţii î odul mutual H şi o odr gală cu H G H î odul mutual G.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 35-9 9. licaţi Vom rsuu că iaţă cotază u umăr d tri activ. atrica-diagoală a coiciţilor d risc st: 0.4 0 0 S 0 0.4 0 0 0 0.8 iar matrica coiciţilor d corlaţi st: 0.40 0.5 0.40 0.60 0.5 0.60 atrica d variaţă-covariaţă, coorm ormuli (7) va i: 0.0576 0.034 0.008 S S 0.034 0.096 0.05 0.008 0.05 0.034 Ivrsa matricii d variaţă-covariaţă st: 0.678 3.847 0.4307 3.847 88.989 36.940 0.4307 36.940 48. 343 Obsrvaţi imortată: tru alicaţiil d calcul matricial s rcomadă utilizara rogramlor H sau L. Evidt că tru matrici d dimsiui rdus s ot utiliza şi calculatoarl d buzuar. Vctorul coiciţilor d rtabilitat st: ( 0.70 0.0 0.45) Vctorul st:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 36-9 ( ) Vom ota cu, rsctiv vctorii: vm: 34.0839 39.7458 ; 84.776 4.9745 7.4946 0.983 cu ajutorul vctorilor şi vom calcula: 58.5473 ( ρ j ) 4.364 8.948 ortooliil udamtal sut: ortooliul icit cu cl mai mic risc global (vârul hirboli ortooliilor icit): 0.38 V 0.5405 0.377 V avâd riscul: 6.% şi rtabilitata: V.94%
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 37-9 W 0.487 0.530 0.383 ortooliul W (car ar roritata că tagta dusă la hirbolă ri uctul ( avâd riscul: W, W 6.4% W ) trc ri origia alor d coordoat): şi rtabilitata: W 3.04 % Vom rsuu acum că u ivstitor dorşt să-şi ormz u ortooliu car săi asigur o rtabilitat aşttată d 5.40%. oorm ormullor (97) şi (98), ortooliul 5.40% va i: ud: V ( ) W [ ] W, iar car asigură rtabilitata [ ] [ ] V Ectuâd calcull rzultă:.797 şi 3. 797 zultă că 0.5336 0.40 0.344
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 38-9 iscul corsuzător ortooliului st: 4.6% cst risc oat i calculat şi cu ajutorul ormuli (80) obţiâdu-s aclaşi rzultat şadar, tru a obţi o rtabilitat d 5,40% ivstitorul trbui să cumr 3,797 uităţi di odul mutual W şi vid (short-sllig),797 uităţi di odul mutual V. Vom rsuu acum că iaţă ucţioază două oduri mutual (ortoolii icit) G şi H avâd rtabilităţil aşttat 4%, rsctiv 6.5%. Structura clor două ortoolii, calculat baza ormullor (97) şi (98) sut: 0.305 0.3608 ; G G 9. 66; G 0. 66 şi G 8.44% 0.3340 0.73 0.06 ; H H 33. 487 ; H 34. 487 şi H 0.3% 0.3490 licâd ormull (0) şi (07) avm: H ( ) G G H G G zultă: H H 0.4 0.54 0.4 0.65 0.56 0. 44 G 0.56 şadar, d acastă dată ivstitorul îşi va asigura rtabilitata dorită cumărâd 0,64 uităţi di odul mutual H şi 0,36 uităţi di odul mutual G.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 39-9 0. ovariaţa ditr două ortoolii icit. ortoolii cojugat. Fi şi două ortoolii icit. oorm clor stabilit, cl două ortoolii s ot rima î ucţi d ortooliil V şi W astl: ( ) W V ( ) W V ovariaţa ditr l st: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] W V W V, cov ( ) ( ) ( )( ) W W W V V W V V (08) S şti că: V V V V W W V W W W (09) Ţiâd sama d (09), ormula (08) dvi: ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ), cov ( ) [ ] ( )( ), cov Idicii şi car îsoţsc, u au ici o lgătură cu umrl şi diit atrior.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 40-9 cov cov (, ) ( )( ) d ud: (0) (, ) ( )( ) S şti că (ormula 98): rsctiv: ( ) şi dci: cov [ ] (, ) zultă: cov (, ) () S şti că: V d ud: cov (, ) [ V ][ V ] () i ormula () s obsrvă că tru două ortoolii şi tru car > V şi V >, rsctiv uctl (, ) şi (, ) sut situat ramura surioară a hirboli (vzi ormula (84)) car dscri rotira arowitz, (, ) 0 cov >.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 4-9 Fi acum ortooliul iat, cu (, ) 0 cov Z >. Vom căuta ortooliul Z astl îcât: V (3) Z < V Est vidt că tru ortooliul Z vom ava: (4) u alt cuvit, ortooliul Z va i situat ramura irioară a hirboli, rsctiv ramura (vzi ormula (83)): (5) Z vm: cov (, ) [ ][ ] zultă: Z V rsctiv: Z zultă: Z Şi dci: Z V V Z V [ ] [ ] (6) ortooliul Z a cărui rtabilitat st dată d ormula (6) s umşt cojugatul ortooliului.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 4-9 Vom obsrva că ormula (6) s mai oat scri: Z rsctiv: V W V Z (7)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 43-9. U modl d valuar a activlor iaciar. odlul c va i aalizat î acst aragra rmit valuara rtabilităţii oricărui activ î ucţi d rtabilitata uui ortooliu talo şi al cojugatului său Z. tru îcut vom valua dirţa: Z Ţiâd sama d ormula (80), rzultă: Z rsctiv: Z (8) d altă art, îtrucât ormuli (3) covariaţa ditr u activ şi ortooliul î car l st iclus st dată d ormula:... (9) rzultă că vctorul ar drt comot coiciţii d covariaţă, ditr activ şi ortooliul., Utilizâd ormula (76) avm: [( ) ( ) ] d ud avm succsiv: [( ) ( ) ]
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 44-9 ( ) Ţiâd sama d ormula (6) rzultă: [ Z ] Ţiâd sama şi d ormula (8) rzultă: sau, î sârşit: Z Z [ ] Z ( ) (0) Z Formula (0) rrzită orma vctorială a uui modl d valuar a activlor iaciar. Vom ota vctorul: E () u otaţia (), modlul (0) s scri: Z ( ) E () Z Scriid cuaţia () comot avm: ( ), Z β Z, (3) Îtrucât E( ) (3) s mai oat scri: E, iar şi ( ) E( ) [ E( ) E( )], Z Z, Z sut î at rtabilităţil aşttat, cuaţia β (4)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 45-9 β ud, coorm () avm: (5) aramtrul cu ortooliul-talo. Ersia: E ( ) E( ) Z β s umşt coicitul d volatilitat al activului î raort (6) rrzită o rimă d risc. zultă că ormula (4) arată că: tabilitata (aşttată) a oricărui activ trbui să i gală cu rtabilitata ortooliului-cojugat Z la car s adaugă rima d risc multilicată cu coicitul β d volatilitat a activului La râdul său coicitul d volatilitat raortâd coicitul d covariaţă β s obţi coorm ormuli (5), a activului cu ortooliul la variaţa ortooliului,. ri covţi activl tru car β > s umsc activ agrsiv. Q oicitul d volatilitat a uui ortooliu Q avâd structura Q st: β β β... β (7) ud,...,, sut comotl vctorului Q. β Vom obsrva că coicitul d volatilitat a ortooliului talo st: (8) Îtr-advăr, di (), îmulţid la stâga cu vctorul-lii [ ] obţim: Z E Z (9)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 46-9 Ţiâd sama că: şi E β β Z 0 rzultă: sau β β Z [ ] ca c trbui dmostrat. Î mod asmăător s dmostrază că: Z (30) Obsrvaţii imortat:. odlul udamtal (4) rmit valuara activlor orid d la u ortooliu-talo. Î acastă situaţi, st vidt că volatilităţil did d modul d algr a ortooliului-talo.. Fi Q vctorul d structură a uui ortooliu icit Q. i ormula (): β Q Q E β Q ud β Q st volatilitata ortooliului Q. licâd ormula () rzultă:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 47-9 cov (, ) Q β Q var( ) (3) Q Formula (3) rmit calculul raid al volatilităţii uui ortooliu Q. Î cazul î car s cuosc rtabilităţil (aşttat) i ormula (3) s vd uşor că: β şi 0 Z şi Q. β doarc cov (, ) 0. Q ot di ormula (3) rzultă că β V (doarc iar tru ortooliil situat ramura irioară a hirboli avm Q V V ), β < β, doarc î acst caz Q < V. asma, di (3) s vd că cu cât u ortooliu Q ar o rtabilitat mai mar, cu atât volatilitata lui va i mai mar.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 48-9. licaţi. Vom cosidra aclaşi dat olosit î acst caitol. rt ortooliu-talo vom cosidra ortooliul d rtabilitat ( ) 5% E. licâd ormula (76) obţim structura ortooliului-talo: 0.4683 0.97 0.3400 iscul ortooliului st.7%. oorm ormuli (6) rtabilitata ortooliului-cojugat va i: Z.9% Vctorul d covariaţă va i: 0.08 0.0077 0.03 Ştiid că variaţa lui st 0. 06. oorm ormuli () vctorul E va i: E.7376 0.4753 0.856 rsctiv: β.7376; β 0. 4753 şi β 3 0. 856 rima d risc st: E ( ) E( ) 0.5 0.9.7% Z
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 49-9 Vom rsuu acum că u ivstitor dorşt să-şi ormz u ortooliu icit, asumâdu-şi u risc 4%. oorm ormuli (84) rtabilitata ortooliului va i 5.58%. Q Q licâd ormula (5) obţim structura ortooliului: Q 0.568 0.0937 0.3435 Volatilitata ortooliului Q va i: β Q E.36 Q zultă că î raort cu ortooliul talo a cărui rtabilitat st ( ) 5% E şi volatilitat β, ortooliul Q a cărui rtabilitat st ( ) 5.58% E ar coicitul d volatilitat cu,36% mai mar. Q
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 50-9 EOI OOFOLIULUI aitolul II ortoilii otim. rata udamtală a iţi d caital aital art Li (L). Itroducr Î aragraul 5 al caitolului rcdt s-a rztat u modl d valuar a activlor orid d la u ortooliu icit si d la cojugatul său Z. Est vidt că acst modl d valuar st u modl,,subictiv, doarc icar ivstitor oat alg u aum ortooliu icit, şi astl sa obţiă roriul său modl d valuar a activlor d iaţă. Î acst caitol s va arăta că istă u modl d valuar,,obictiv car-l olossc toţi oratorii d iaţă. csta st modlul udamtat î aul 964 d cătr W. Shar, laurat al rmiului Nobl aul 989 (îmruă cu H. arowitz şi H. illr).rbui mţioat că iddt d W. Shar, la cocluzii asmăătoar au ajus, tot î aul 964, şi J.Litr, rcum şi J. ossi.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 5-9. Frotira ortooliilor icit tru cazul î car iaţă istă şi u activ ără risc. Î acst aragra s va rsuu că iaţă istă u activ al cărui radamt st crt şi al cărui risc st zro. tru acasta utm gâdi la u lasamt î bouri d tzaur sau î o casă d coomii, al cări dozit sut garatat d stat. Nu s va lua î calcul roblma ilaţii car oat roda valoara ivstiţii. a şi î caitoll rcdt, vom rsuu că ivstitorii au u comortamt d ti arowitz, rsctiv car să asigur o rtabilitat dată: E ( ) ρ () cu u risc miim: miim () Notâd ca şi î caitoll rcdt cu,, mărima ivstiţii î activul cu risc(acţiua) raortată la totalul ivstiţii şi cu 0 odra ivstiţii î activul ără risc, avm: (... ) (3) 0 odlul d rogramar car trbui să-l soluţioz ivstitorul st: mi mi j j ρ j (4)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 5-9 a şi î caitoll rcdt, cu j s-a otat covariaţa ditr activl cu risc şi j, iar cu ( ) E s-a otat rtabilitata aşttată a activului. odlul (4) s mai oat scri: ( ) j j j mi mi ρ (5) Lagragaul sistmului st: ( ) ( ) j j j L ρ (6) u s-a otat multilicatorul Lagrag. odiţiil csar d otim sut: 0, 0, L L (7) S dmostrază că acst codiţii rrzită şi codiţii suicit d otim. Ţiâd sama d (6), codiţiil d otim dvi: ( ) j j j, (8)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 53-9 l codiţii (8), dsăşurat s scriu:...... ( ) ( ).......... ( ) (9) Utilizâd otaţiil dja itrodus î caitoll rcdt, sistmul (9) matricial s scri astl: ( ) (0) ud: ( ij ) st matrica d variaţă-covariaţă; ( ),,..., ( ),...,, (,, )..., u alt cuvit, rrzită vctorul-coloaă al odrilor ivstiţiilor î activ cu risc, iar vctorul coloaă al rtabilităţilor aşttat al activlor cu risc. u s-a otat, ca şi âă acum, u vctor coloaă cu comot, avâd toat comotl gal cu uu. a şi âă acum, s va rsuu că matrica d variaţă-covariaţă st ivrsabilă ( dt 0). i rlaţia (0) rzultă:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 54-9 ( ) () doua rlaţi di (5), s oat scri vctorial astl: ( ) ρ () Ţiâd sama d rlaţia (), rlaţia () dvi: [ ] [ ] ρ (3) vm: [ ] [ ] ρ (4) ri calcul rzultă: [ ] [ ] (5) S-a ţiut sama că matrica st simtrică şi dci: (6) Ţiâd sama că î caitoll rcdt s-a otat: (7)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 55-9 avm: [ ] [ ] (5 ) laţia (4) s scri: ρ (8) sau: ( ) E (8 ) Ţiâd sama d rlaţia (8), vctorul d structură (structura activ cu risc a ortooliului) s scri (vzi ()): [ ] ρ (9) Ţiâd sama că odra ivstiţiilor î activul ără risc st: 0 (3 ) rzultă:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 56-9 [ ] ρ 0 d ud: ( )( ) 0 ρ (0) Ţiâd sama d (9), variaţa ortooliului s scri: ( ) ( ) ( ) [ ] ρ ( ) ( ) ( ) ρ Ţiâd sama d (5 ) rzultă: ( ) ρ () i () rzultă: ( ) ρ () sau
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 57-9 [ E( ) ] ( ) Formula ( ) u î vidţă atul că îtr riscul uui ortooliu şi csul d rtabilitat E( ) a ortooliului î raort cu rtabilitata activului ără risc istă o rlaţi liiară (d roorţioalitat), coicitul d roorţioalitat iid costat: (3) laţia () s mai oat scri: ρ (4) rsctiv: E ( ) (5) i (4) mai rzultă: ( ρ ) (6) Ţiâd sama d (6) rlaţia (9) dvi: [ ] (7) Formula (7) rmit calculul structurii ortooliului î ucţi d riscul asumat.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 58-9 3. rata udamtală a iţi d caital (L aital art Li). i ormula (5) rzultă atul că oricar ar i două ortoolii icit şi Q avm: E ( ) E( ) Q Q d ud: E E ( ) Q ( ) (8) Q ( ) Ersia: E Q Q (9) rzită rima d risc a ortooliului Q. zultă că ormula (8) rimă rtabilitata ortooliului icit î ucţi d rtabilitata ără risc, d riscul ortooliului şi d rima d risc a ortooliului Q. Structura uui ortooliu icit st coorm (9) şi (0) următoara: 0 ρ [ ] ( ρ )( ) (30) iiţi: U ortooliu icit (30) s umşt ortooliul iţi şi s otază cu dacă odra activlor ără risc st zro, rsctiv 0 0. ortooliul iţi va i otat cu.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 59-9 Vom obsrva că dacă 0 0 rzultă: ( )( ) 0 ρ d ud: ( ) E ρ (3) i rima rlaţi di (30) rzultă că structura ortooliului iţi st: [ ] (3) iar rtabilitata sa st: [ ] rsctiv ( ) E (33) i (33) rzultă: ( ) E, iar di () rzultă că riscul ortooliului iţi st: (34) tralizâd rzultatl avm:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 60-9 [ ] ( ) E (35) Î cazul î car î ormula (8) vom îlocui ortooliul Q cu ortooliul iţi, obţim: ( ) ( ) E E (36) Formula (36) rrzită cuaţia drti udamtal a iţi d caital (L). Vom arăta că drata L st tagtă la rotira arowitz î uctul d coordoat ( ) ( ) E,. Îtr-advăr, coorm clor arătat î caitolul rcdt (ormula 85), ata tagti la rotira arowitz î uctul st: ( ) E (37) vm: ( ) şi dci
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 6-9 ( ) E d ud: ( ) E (38) d altă art avm: ( ) E d ud: ( ) E şi dci: ( ) E (39) omarâd (38) cu (39) rzultă că ( ) ( ) E E (40) şi dci drata (36) st tagtă la rotira arowitz î uctul. S obsrvă că drata (36) trc ri uctul ( ), 0, d ud cocluzia: rata L st tagta la rotira arowitz dusă ri uctul d coordoat ( ), 0. castă drată trc ri uctul (ortooliul iţi)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 6-9 L. O altă obsrvaţi imortată rivşt structura uui ortooliu situat drata i ormula (7), car dă structura activlor cu risc î ortooliu: [ ] (4) rzultă: [ ] Ţiâd sama d rima şi a tria ormulă di (35) rzultă: (4) Formula (4) arată că vctorul (odra activlor cu risc î ortooliul ) st roorţioal cu vctorul, coicitul d roorţioalitat iid. tru a calcula odra activului ără risc î ortooliul vom ori d la rlaţia (3 ). vm: 0 (43) doarc. şadar, rzultă următoara cocluzi: U ivstitor car dorşt să-şi ormz u ortooliu situat drata udamtală a iţi d caital (L) şi car-şi asumă u risc urmază a ivsti o odr gală cu î ortooliul iţi şi o odr
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 63-9 gală cu î activul ără risc. El va obţi o rtabilitat gală cu ca dată d ormula (36). Î vdra alicării tormi clor două oduri mutual tru ortooliul iţi (caitolul I, aragraul 8) vom obsrva că rima ormulă di (35) s mai oat scri: Notăm cu: (44) ormula d mai sus s scri: V ( ) W (45) ud ortooliil V şi (96)). W sut cl diit î caitolul rcdt (ormull (95) şi zultă că, dacă ivstitorul u găsşt iaţă u od mutual car să aibă structura ortooliului iţi, l va uta ivsti î oduril mutual V şi W, algâd odra, rsctiv, ud st dat d ormula (44). şa cum s-a arătat î aragraul 8 di caitolul rcdt, dacă ici oduril mutual V şi W u sut disoibil iaţă, ivstitorul oat ivsti î oricar două oduri mutual G şi algâd odril corsuzătoar cu ormula (06) di caitolul rcdt. H
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 64-9 4. Otimalitata ortooliilor situat L. Î acst aragra vom rsuu că oric ivstitor raţioal st caractrizat d o ucţi d utilitat d orma: U ( E( ) ) U (45), avâd următoarl rorităţi: a) U E ( ) U > 0; < 0 (46) b) ucţia U st cocavă î asamblul argumtlor. Fucţia d utilitat U arată modul î car ivstitorul rc raortul ditr rtabilitata şi riscul uui ortooliu. Notâd cu o costată oarcar, cuaţia U ( E( ) ), (47) rrzită o izocuată î laul iaciar di igura O izocuată st ormată di totalitata ortooliilor, rsctiv a uctlor d coordoat car asigură ivstitorului acaşi utilitat. Î igura sut rrztat mai mult izocuat al ucţii U.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 65-9 E ( ) Figura Î acst cadru roblma d otim a uui ivstitor st: mau E( ) ( E( ), ) j j j (48) Vom arăta că ortooliul otim tru oric ivstitor, car rrzită soluţia roblmi (48), s ală î uctul d tagţă al izocuatlor ucţii U cu drata L (ig. ).
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 66-9 E ( ) izocuat Frotira arowitz Figură Îtr-advăr, codiţiil csar d otim tru roblma (48) sut: U E ( ) sau E ( ) U E U 0,, E ( ) U,, ( ) (49) (50) Î ormull (50) valoril drivatlor sut calculat î uctul d otim. Îtrucât raortul dat d cl două drivat st o costată corsuzâd valorilor drivatlor î uctul d otim, vom ota:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 67-9 U U E( ) > 0 (5) Î acst caz, sistmul (50) dvi: E ( ),, (5) Est uşor d arătat că sistmul (5) st idtic cu sistmul (9). Î acastă situaţi rzultă că soluţia roblmi (48) st, la l ca şi î cazul roblmi (4), dată d rlaţiil (9) şi (0). Î ca c rivşt coicitul d substituir: U U E( ) (53) Valoara acstuia va i dată d rlaţia (8), rsctiv: ( ) U U E E( ) (54) Îlocuid î (54), coorm rlaţii ( ): [ E( ) ] cuaţia (5) ar o sigură cuoscută, rsctiv ρ E ). ( alculâd ρ E ) rzultat di cuaţia (54) şi îlocuid î rlaţiil (9) şi ( (0), soluţia roblmi d otim (48) st comlt dtrmiată. oorm clor dmostrat î aragraul rcdt soluţia roblmi d otim (48) s va ala drata udamtală a iţi d caital (L), ca c trbuia dmostrat.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 68-9 5. licaţi. Vom rsuu că matrica d variaţă-covariaţă st acaşi ca şi î alicaţiil rcdt: 0,0576 0,034 0,008 0,034 0,096 0,05 0,008 0,05 0,034 iar vctorul rtabilităţilor st: ( 0,70 0,0 0,450) uă cum s-a mai calculat, avm: 58,5473 33,4504 4,364 8,948 Vom rsuu acum că rtabilitata activului ără risc st: 0% licâd ormull (35) rzultă că ortooliul iţi ar următoara structură: ( 0.06 0.4634 ) 0.3304 u alt cuvit ortooliul iţi ar î comoţa sa 0.6% di activul uu, 46.34% di activul doi şi 33.04% di activul tri. tabilitata ortooliului iţi st: E ( ) 3.39% iar riscul acstuia st: 6.68%
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 69-9 Ecuaţia drti udamtal a iţi d caital st (L) st, coorm ormuli (34), următoara: E 0.339 0.0 0.0668 ( ) 0.0 rsctiv: E ( ) 0.0 0. 5077 Vom rsuu că u ivstitor dorşt să-şi asum u risc d 5.50% Î acst caz, rtabilitata ortooliului car va situat L st: E ( ).79% iar structura sa va i: ( 0.697 0.383 0.79) iar odra ivstiţii î activul ără risc st: 0 7.7% Î cazul î car ivstitorul dorşt să-şi asum u risc gal cu 9%, atuci ortooliul său va i: ( 0.776 0.640 0.4449) iar ivstiţia î activul ără risc va i: 0.3465 34.65% (short sllig) 0 tabilitata oului ortooliu va i: E ( ) 4.57%
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 70-9 EOI OOFOLIULUI aitolul III odlul (aital ssts ricig odl) Î acst caitol va i aalizat modul d ormar a cursului d chilibru o iaţă iaciară. La baza aalizi va sta modlul.. Echilibrul iţi iaciar odlul rmit valuara activlor iaciar o iaţă î chilibru. Echilibrul iţi iaciar s caractrizază astl: E: cursul icări acţiui s stabilşt astl îcât crra să i gală cu orta E: icar agt s ală îtr-o situaţi d otim, rsctiv l dţi u ortooliu otim. Î cotiuar va i usă î vidţă rlaţia ditr rtabilitat şi risc, d o art, şi chilibru, d altă art. odlul orşt d la admitra următoarlor iotz:. Iotz cu rivir la iaţa iaciară. iaţa iaciară st rctă.. odlul s rră la o iaţă iaciară c ucţioază u orizot d tim dtrmiat ( modlul st u modl static). Iotza imlică următoarl lmt:. iaţa st d ti cocurţial.. itluril iaciar sut rct divizibil. 3. Oratorii d iaţă au accs limitat la iormaţiil iaciar. 4. osturil tru obţira iormaţiilor sut ul. 5. ursuril d chilibru rlctă îtraga iormaţi isttă iaţă.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 7-9 6. iaţă cotază activ cu risc (acţiui) şi activ ără risc (bouri d tzaur, tc.) 7. tabilitata activului ără risc st gală cu rata dobâzii iaţa motară. ata activă a dobâzii st gală cu rata asivă a dobâzii. 8. glmtăril iţi rmit oraţii d ti short-sllig. 9. osturil d trazacţii bursir sut ul.. Iotz cu rivir la oratorii d iaţa iaciară. Oratorii au u comortamt otimal d ti arowitz.. Oratorii au aclaşi ti d aticiări (aticiăril sut omog). oţi oratorii d iaţă au aclaşi aticiări cu rivir la rtabilităţil şi riscul activlor iaciar, rcum şi cu rivvir la covariaţa ditr acsta. Iotza s rră la iormaţia rctă iaţa iaciară. şa cum s-a arătat î aitolul II, rotira ortooliilor icit (rotira arowitz) s vidţiază u ortooliu scial dumit ortooliul iţi, avâd următoara structură (vzi ormula 35 di aitolul II): ( ) () tabilitata, rsctiv riscul acstui ortooliu sut: E( ) () (3) şa cum s vd di ormull () (3), atât structura ortooliului iţi, cât şi rtabilitata şi riscul acstuia did î mod sţial d rtabilitata activului ără risc, rtabilitat c rzultă di chilibrul crrii şi al orti tru acst ti d activ. Î codiţiil valabilităţii iotzlor d chilibru al iţi rztat mai sus, s dmostrază următoara roritat imortată: odra icărui activ cu risc î ortooliul iţi st gală cu odra valorii caitalizat a activului (a irmi) î valora caitalizată totală a iţi.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 7-9 sus rzultă: Notâd cu odra activului î ortooliul iţi, coorm clor d mai N, W, (4) ud: W j j N j (5) S-au utilizat următoarl otaţii: - cursul acţiuii iaţă N - umărul d acţiui al irmi W valoara caitalizată a iţi. odlul Î aragraul al caitolului II, s-a ddus următorul modl d valuar a activlor iaciar: E ) (6) z ( z ud: X E (7) odlul d valuar (6) ar la bază ortooliul icit (umit ortooliu talo ). u Z s-a otat ortooliul cojugat lui. oorm ormuli (6) di caitolul I avm: Z (8) Scriid modlul (6) comot, avm (vzi ormull 4 şi 5 di caitolul I):
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 73-9 E( ) E( ) β [ E( ) E( )],, (9) Z Z ud coicitul d volatilitat β st dat d ormula: β, (0), Vom cosidra î cotiuar ca ortooliu talo ortooliul iţi. Ţiâd sama d ormull şi 8, rzultă: Z ud: E( E( E( ) ) ) Ectuâd calcull rzultă: Z u acsta modlul dvi (vzi ormull (6) şi (7)): E E( ) ] () ud: [ E () comot avm: E( ) β [ E( ) ],, (3) ud: β,, (4) activului. oicitul d volatilitat β rrzită o măsură a riscului sistmatic al
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 74-9 Î sistmul d a d coordoat ( β E( ) ), cuaţia (3) rrzită graic o, drată, umită drata udamtală a activlor iaciar (SL Scuritis art Li) vzi ig.. E() SL E( ) β ig. Ţiâd sama că: ρ (5) ud ρ st coicitul d corlaţi ditr activul şi ortooliul iţi. Ţiâd sama d (5), rlaţia (4) s scri: β ρ (6) Ţiâd sama d d (6), modlul (3) s scri:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 75-9 E( ) E( ) ρ,, Notâd cu: π E( ) Formula (7) s scri: (7) cu E( ) π ρ,, (8) ărima π rrzită rima d risc. i ormula (8) rzultă că, tru icar activ, rima d risc st roorţioală ρ, şi u cu îtrgul risc al activului. rima d risc va i roorţioală cu îtrgul risc umai tru acl activ car au coicitul d corlaţi cu ortooliul iţi gal cu ( ρ ). Vom rsuu acum că rtabilitata activului s calculază baza ui cuaţii d rgrsi: ud distribuit şi: a) E( ε ) 0 a b ε (9) ε rrzită abatri alatoar. sr ε s va rsuu că sut ormal b) < c) cov(, ε ) 0 oiciţii statistică s şti că: b a şi b s calculază utilizâd mtoda clor mai mici ătrat. i cov(, ) (0) Formula (0) u î vidţă că b β ()
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 76-9 Ţiâd sama d (), ormula (9) dvi: a β ε (9 ) licâd ormuli (9 ) oratorul d variaţă obţim: β () ε Formula () u î vidţă atul că variaţa (riscul) uui activ s oat dscomu î două comot: iscul sistmatic: β iscul sistmatic (divrsiicabil): ε iscul sistmatic (divrsiicabil) u st lătit d o iaţă iaciară î chilibru. Î îchira acstui aragra vom rzta modul î car modlul oat i utilizat tru valuara cursului d chilibru al ui acţiui. oorm ormuli () di aitolul I avm: ( 0 ) (3) 0 ud şi 0 rrzită cursul acţiuii la momtl t, rsctiv t 0, iar rrzită mărima dividdului. Formula (3) s mai scri: 0 (4) licâd oratorul d aticiar avm: E( ) [ E( ) E( )] (5) d ud: E( ) E( ) 0 E( ) 0 Ţiâd sama d ormula (3) obţim: 0 E( ) E( ) β [ E( ) ] (6)
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 77-9 Formula (6) arată că rţul d chilibru 0 st suma ditr rţul aticiat şi dividdul aticiat, actualizat cu ajutorul coicitului d actualizar: h β [ E( ) ] (7) 3. licaţi: Vom cotiua alicaţia di caitolul rcdt, ud s-a cosidrat că rtabilitata activului ără risc st: 0% otooliul iţi st: ( 0.06 0.4634 0. ) 3304 tabilitata, rsctiv riscul ortooliului iţii, sut: E( ) 3.39%, 6.68% Vctorul coiciţilor d covariaţă ditr activ şi ortooliul iţi st: ( 0.009 0.003 0. ) 0059 iar variaţa ortooliului iţi: 0.0045 Vctorul E st: E 36 rsctiv: β.068, β 0.947, β 3 (.068 0.947. ).36 Vom rsuu acum că tru activul rţul viitor aticiat st: E ( ) 0u. m. iar mărima aticiată a dividdului st E ( ) 7u. m.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 78-9 Ştiid că volatilitata activului st β. 068, alicâd ormula (6) rzultă următorul curs d chilibru: 0 7 0 00.006 0.0.068(0.339 0.0) şadar, î codiţiil dat, cursul d chilibru rzt al activului st 00.006. Î cazul î car cursul va i mai mar dcât 00.006, va rzulta că activul st suravaluat, şi dci oratorii vor i itrsaţi să vâdă activul, âă câd crra şi orta vor aduc rţul activului la valoara sa d chilibru. Ivrs, dacă cursul iaţă va i mai mic dcât 00.006, va rzulta că activul st subvaluat. Î acastă situaţi, oratorii d iaţă vor i itrsaţi să cumr activul. 8%. Vom rsuu acum că rtabilitata activului ără risc scad d la 0% la uă cum s şti, î acst caz s va rduc cursul tuturor activlor d iaţă. Î oua situaţi ortooliul iţi va i: ( 0.67 0.4946 0. ) 393 iar rtabilitata, rsctiv riscul ortooliului iţi vor i: E( ) 3.%, 6.39% oiciţii d volatilitat vor i: β.778, β 0.5759, β 3.479 rsuuâd că aticiăril tru rţul viitor, rsctiv tru dividdul activului sut aclaşi ca mai sus, rsctiv E ) 0u. m., E( ) 7u.., alicara ormuli (6) arată că: 0 7 0.08.778(0.3 0.08) 0 ( m 99.99
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 79-9 EOI OOFOLIULUI aitolul IV - Obligaţiui Obligaţiuil ocuă o odr imortată iţl d caital dzvoltat, iar rtabilitata acstora dăşşt adsa rtabilitata acţiuilor. Î ortooliul d activ iaciar al uor ivstitori istituţioali obligaţiuil dţi o odr oart mar. ritr acsta mţioăm î rimul râd oduril rivat d sii, istituţiil d asigurări, ş.a. şi obligaţiuil sut umit adsa activ ără risc, l au cl uţi două tiuri d risc, rsctiv: riscul d rată a dobâzii; riscul d rtabilitat; Î lus, obligaţiuil cororativ au şi aşa umitul risc d alimt, rsctiv riscul ca mittul să u oată să-şi oorz obligaţiil asumat atuci câd a ăcut misiua d obligaţiui. Î cadrul acsui caitol vor i abordat următoarl roblm:. odul d valuar a ui obligaţiui;. iuril d rtabilităţi al ui obligaţiui car sut imortat tru ivstitori; 3. octul d durată al ui obligaţiui, modul d calcul şi actorii d car did mărima acstui idicator; 4. octul d covitat al ui obligaţiui, modul d calcul şi actorii d car did mărima acstui idicator; 5. Utilizara durati şi a covităţii î maagmtul orooliului d obligaţiui.
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 80-9. Evaluara ui obligaţiui Vom utiliza următoarl otaţii: F - valoara omială a obligaţiuii (î glză ac valu sau ar valu sau valu at maturity ); - valoara cuoului tru aul t; t - valoara d iaţă a obligaţiuii; - umărul d ai âă la scadţa (maturitata) obligaţiuii; o, - valoara stimată (aşttată) a rati dobâzii tru o obligaţiu misă î aul t t cu scadţa st u a; riciiul gral d valuar al oricărui activ iaciar st următorul: Valoara d iaţă a uui activ iaciar o iaţă î chilibru st gală cu valoara actualizată a tuturor viturilor car activul l grază. Ţiâd sama d cl d mai sus, s oat scri: t t j t ( F 0, j ) ( 0, j ) j () Î cazul î car avm: 0, 0,... 0, ( ) ormula () dvi: F t t t ( ) ( ) ()
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 8-9 Formula () rrzită ormula obişuită d actualizar, utilizâd o rată a dobâzii r. tru o obligaţiu, idicatorii d rtabilitat cl mai ds utilizaţi d cătr ivstitori sut următorii: rtabilitata curtă: c, t t rtabilitata la maturitat ( yild to maturity ): y. ărima lui y s calculază ca soluţi a cuţii: F t t t ( y) ( y) (3) rbui obsrvat că dşi ormull () şi (3) ar idtic, di uct d vdr iaciar l diră udamtal. Î tim c î ormula () s cosidră că ivstitorul a ralizat o rogoză tru rata dobâzii şi baza acstia calculază rţul corct car-l oat acorda tru obligaţiu, î ormula (3) mărima lui st cosidrată ca dată d iaţă. baza cuoaştrii rţului, ivstitorul calculază cuoscuta y, rsctiv rtabilitata la scadţă. zultă că rtabilitata la scadţă, y, rrzită o rată a dobâzii car utilizată tru actualizar coduc la galitata ditr rţul lătit şi valoara actualizată a viturilor obţiut. Î cotiuar vom rsuu că toat cuoal au acaşi valoar, rsctiv:... c F (4) ud cu c s-a otat rata cuoului. Î acst caz, ormula (3) dvi: F c t t ( y) ( y) (5) Ţiâd sama d ormula car dă suma ui rogrsii gomtric:
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 8-9 q q q 3... q ormula (5) dvi: v F c y v q q q (6) v u v s-a otat actorul d actualizar: y (7) F Formula (6) s mai oat scri: [ v ] v c (8) y i ormula (8) rzultă următoarl cocluzii imortat: a) dacă c y atuci F, rsctiv rţul st la aritat. b) dacă c < y atuci < F, rsctiv avm subaritat; c) dacă c > y atuci > F, rsctiv avm suraaritat. Î ca c rivşt calculul ctiv al lui y, î riciiu acsta s ac baza cuaţii (8), car s mai oat scri astl: F y c y ( y) (8 ) uă aducra la aclaşi umitor şi dzvoltara lui ( y), cuaţia (8 ) dvi o cuaţi d gradul. castă cuaţi st, î riciiu, gru d soluţioat. aca, s-a
EOI OOFOLIULUI - ro. uiv. dr. OIS L 83-9 ddus următoara ormulă car aroimază dstul d bi soluţia cuaţii (8 ) car rrzită rtabilitata la scadţă: F y (9) F ud st valoara cuoului rsctiv: c F (0) LIŢII. Vom rsuu că o obligaţiu ar următoarl caractristici: rata cuoului: c 8% ; scadţa: 0 ai; valoara omială: 000 u.m. Vom rsuu că rţul d iaţă al obligaţiuii st 900 u.m. oorm ormuli (9) avm: 000 900 0,08 000 y 0 000 900 80 0 9,47% 950 Î cazul î car rţul d iaţă al obligaţiuii st 50, rtabilitata la scadţă dvi: 000 50 0,08 000 y 0 000 900 6,04%