Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2 Integrala stochastică 5

CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală cel mai adesea mişcare Browniană) iar H s este un proces stochastic adaptat filtraţiei corespunzătoare lui M s, cu proprietatea că E H2 s d M s <. Începem prin a considera cazul în care integratorul M s este mişcarea Browniană 1- dimensională. Deoarece conform Propoziţiei 1.7.2 traiectoriile mişcării Browniane B t au variaţie infinită, nu putem defini integrala H sdb s ca o integrală de tip Lebesgue- Stieltjes. Cheia construcţiei este izometria în L 2 2.3) de mai jos, care ne va permite să definim integrala stochastică H sdb s ca fiind limita în L 2 P ) a unui şir de variabile aleatoare convenabil alese. Pe un spaţiu de probabilitate Ω, F, P ) fixat, considerăm o mişcare Browniană 1- dimensională B t începută la B =, şi presupunem că filtraţia corespunzătoare F t ) t verifică condiţiile uzuale σ-algebra F t este continuă la dreapta şi completă pentru orice t ). Ideea construcţiei este următoarea: 1. dacă fs, ω) = ϕω)1 [a,b) s) este un proces elementar, definim fs, ω)db s = ϕω) B b t B a t ), şi extindem prin linearitate definiţia la cazul în care fs, ω) este un proces simplu o combinaţie liniară finită de procese elementare); 2. dacă E f 2 s, ω)ds <, aproximăm procesul fs, ω) prin procese simple f n s, ω), şi definim fs, ω)db s = lim f n s, ω)db s în L 2 P )). În această construcţie, sunt câteva elemente care trebuiesc demonstrate: existenţa şirului de aproximare f n s, ω), convergenţa şirului f ns, ω)db s în L 2 P )), şi independenţa limitei în raport cu alegerea şirului de aproximare f n s, ω). 2.2 Integrala stochastică Itô Definim clasa I a integranzilor ca fiind clasa funcţiilor ce verifică următoarele condiţii: ft, ω) : [, ) Ω R i) ft, ω) este un proces stochastic, adică funcţia t, ω) [, ) Ω ft, ω) este măsurabilă în raport cu σ-algebra produs B F; ii) ft, ) este o variabilă aleatoare măsurabilă în raport cu σ-algebra F t pentru orice t ;

CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 52 iii) E f 2 s, ω)ds <. Numim proces elementar un proces stochastic ft, ω) I de forma ft, ω) = ϕω)1 [a,b) t). Observăm că proprietăţile ii) şi iii) mai sus revin în acest caz la faptul că variabila aleatoare ϕ = ϕω) este o variabilă aleatoare măsurabilă în raport cu σ-algebra F a, respectiv că variabila aleatoare ϕ 2 este integrabilă. Definim în acest caz integrala stochastică prin ϕω)1 [a,b) s)db s ω) = ϕω) B b t ω) B a t ω)). 2.1) Numim proces simplu un proces stochastic ft, ω) I ce poate fi scris ca o combinaţie liniară finită de procese elementare, adică ft, ω) = N ϕ i ω)1 [ai,b i )t), unde ϕ i = ϕ i ω) sunt variabile aleatoare F ai -măsurabile de pătrat integrabil, 1 i N, şi a 1 < b 1... a N < b N. Definim integrala stochastică în acest caz prin liniaritate, adică N N ϕ i ω)1 [ai,b i )s)db s ω) = ϕ i ω) B bi tω) B ai tω)). 2.2) Integrala stochastică a funcţiilor simple astfel definită are următoarele proprietăţi: Proposition 2.2.1 Dacă f I este un proces simplu mărginit, atunci integrala stochastică N t ω) = fs, ω)db s ω) este o martingală continuă şi are loc egalitatea [ ) 2 ] E fs, ω)db s ω) = E f 2 s, ω)ds. 2.3) Proof. Pentru a demonstra prima afirmaţie, datorită linearităţii integralei stochastice, este suficient să considerăm cazul în care f I este un proces elementar mărginit ft, ω) = ϕω)1 [a,b) t), unde ϕω) este o variabilă aleatoare F a -măsurabilă mărginită de pătrat integrabil şi a < b. Dacă procesul ϕ este mărginit de constanta K, obţinem N t N s = ϕω) B b t ω) B a t ω)) ϕω) B b s ω) B a s ω)) K B b t ω) B b s ω) + K B a t ω) B a s ω),

CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 53 şi continuitatea procesului N t rezultă din continuitatea mişcării Browniene B t. Pentru a arăta că N t este o martingală în raport cu filtraţia F t ) t, trebuie să arătăm că oricare ar fi s < t avem E N t F s ) = N s. În funcţie de poziţiile relative ale lui a, b, s şi t, distingem următoarele cazuri: 1. a < s < t < b Avem E N t F s ) = E ϕω) B t ω) B a ω)) F s ) = ϕω) E B t ω) B s ω) F s ) + E B s ω) B a ω) F s )) = ϕω) E B t ω) B s ω)) + B s ω) B a ω)) = ϕω) + B s ω) B a ω)) = ϕω) B s ω) B a ω)) = N s, deoarece în acest caz B t B s este o variabilă aleatoare independentă de σ-algebra F s iar B s B a este o variabilă aleatoare F s -măsurabilă. 2. a < s < b < t Avem E N t F s ) = E ϕω) B b ω) B a ω)) F s ) = ϕω) E B b ω) B s ω) F s ) + E B s ω) B a ω) F s )) = ϕω) E B b ω) B s ω)) + B s ω) B a ω)) = ϕω) + B s ω) B a ω)) = ϕω) B s ω) B a ω)) = N s, deoarece în acest caz B b B s este o variabilă aleatoare independentă de σ-algebra F s iar B s B a este o variabilă aleatoare F s -măsurabilă. 3. Pentru cele patru cazuri rămase de considerat demonstraţia fiind similară, o omitem. Pentru a demonstra ultima afirmaţie, considerăm un proces simplu f I, dat de ft, ω) = N ϕ i ω)1 [ai,b i )t), unde ϕ i ω) sunt variabile aleatoare F ai -măsurabile mărginite de pătrat integrabil, 1 i N, şi a 1 < b 1... a N < b N.

CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 54 Folosind independenţa incremenţilor mişcării Browniene şi faptul că variabilele aleatoare ϕ i, ϕ j sunt F ai, respectiv F aj -măsurabile, obţinem: de unde rezultă [ E + E E [ ϕ i ω)ϕ j ω) B bi t B ai t) )] B bj t B aj t { E ϕ 2 = i ω) ) b i t a i t), i = j, i j ) 2 ] [ N fs, ω)db s ω) = E 1 i<j N [ N ] = E ϕ 2 i ω) b i t a i t) = E f 2 s, ω)ds, ϕ 2 i ω) B bi t B ai t) 2 ] + ϕ i ω)ϕ j ω) B bi t B ai t) B bj t B aj t ) 2.4) încheiând astfel demonstraţia. Pentru de a extinde definiţia integralei stochastice la cazul general al unui proces fs, ω) I avem nevoie de următoarea lemă, care arată că un proces fs, ω) I poate fi aproximat prin procese simple mărginite, în următorul sens: Lemma 2.2.2 Dacă ft, ω) I, există un şir de procese simple mărginite f n t, ω) I astfel încât E fs, ω) f n s, ω)) 2 ds. 2.5) Folosind acest rezultat, putem acum demonstra următoarea: Theorem 2.2.3 Oricare ar fi procesul ft, ω) I şi şirul de procese simple f n t, ω)) n N I cu E fs, ω) f n s, ω)) 2 ds, procesul N n t ω) = f ns, ω)db s ω) converge în L 2 P ), uniform în raport cu t [, ), către o martingală continuă N t ω). Mai mult, limita este independentă de alegerea şirului f n t, ω)) n N folosit în aproximarea funcţiei ft, ω). Înainte de a prezenta demonstraţia, să observăm că dat fiind un proces f I, din Lema 2.2.2 rezultă că există un şir de funcţii simple f n I ce verifică condiţia 2.3) mai sus. Putem aşadar enunţa următoarea:

CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 55 Definition 2.2.4 Integrala stochastică Itô ) Definim integrala stochastică Itô a unui proces stochastic ft, ω) I în raport cu mişcarea Browniană B t prin fs, ω)db s = lim f n s, ω)db s, unde f n t, ω) este un şir de procese simple mărginite ce verifică relaţia 2.5) de mai sus. Proof. Să observăm mai întâi că dacă g I este un proces simplu mărginit, din Propoziţia 2.2.1 rezultă că M t = gs, ω)db sw) este o martingală continuă şi are loc egalitatea 2 EMt 2 = E gs, ω)db s ω)) = E g 2 s, ω)ds <, şi deci sup EMt 2 E t g 2 s, ω)ds <. Conform teoremei de convergenţă a martingalelor Teorema 1.6.7) rezultă că limita M = lim t M t există aproape sigur şi avem EM 2 = lim E t E t = lim = E ) 2 gs, ω)db s ω) g 2 s, ω)ds g 2 s, ω)ds <. Cum diferenţa a două procese simple este de asemenea un proces simplu, aplicând rezultatul anterior procesului gs, ω) = f n s, ω) f m s, ω) şi folosind inegalitatea Doob Teorema 1.6.6 iv)), obţinem ) E sup Nt n Nt m ) 2 ce f n s, ω) f m s, ω)) 2 ds t 2cE f n s, ω) fs, ω)) 2 ds + f m s, ω) fs, ω)) 2 ds pentru n, m, conform ipotezei. Rezultă că N t ω) este un şir Cauchy în L 2 P ), uniform în raport cu t. Cum L 2 P ) este un spaţiu metric complet, rezultă că Nt n converge în L 2 P ) către un proces pe care îl notăm N t = N t ω). Deoarece Nt n converge la N t în L 2 P ) uniform în raport cu t ), există un subşir N n k t care converge aproape sigur către N t, uniform în raport cu t. Din Propoziţia 2.2.1 rezultă că procesele Nt n sunt continue, şi deci procesul limită N t este de asemenea un proces continuu în variabila t.

CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 56 Conform aceleiaşi propoziţii, N n t este o martingală, şi deci oricare ar fi s < t avem E N n t F s ) = N n s, de unde prin trecere la limită cu n rezultă că N t este de asemenea o martingală faptul că E Nt n F s ) E N t F s ) pentru n rezultă din E E Nt n F s ) E N t F s )) 2) = E E Nt n N t F s )) 2) )) E E Nt n N t ) 2 F s = E Nt n N t ) 2), pentru n ). Pentru a demonstra independenţa limitei de şirul de aproximare f n I considerat, să considerăm un alt şir de procese simple f n I cu E şi să notăm Ñ t n = f n s, ω)db s ω). Conform demonstraţiei anterioare, avem ) ) 2 E Nt n Ñ t n ce sup t fs, ω) f n s, ω)) 2 ds, f n s, ω) f ) ) 2 n s, ω) ds pentru n, şi deci limita N t este independentă de alegerea şirului de aproximare N n t considerat. Example 2.2.5 Ca un exemplu, să calculăm integrala stochastică B sdb s folosind definiţia integralei stochastice. Considerăm ft, w) = B t şi definim şirul f n t, ω) = 2 n 1 n= B t j 1 [tj,t j+1 )t), unde t j = t n j = t j 2. n Din independenţa incremenţilor mişcării Browniene obţinem: ) E f n s, ω) fs, ω) 2 ds = E = = 2 n 1 j= 2 n 1 j= 2 n 1 j+1 j= t j j+1 t j = t2 2 2 n Btj B s ) 2 ds s t j )ds 1 2 t j+1 t j ) 2

CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 57 pentru n, şi deci f n t, ω) este de fapt un şir de aproximare al procesului ft, ω) în sensul relaţiei 2.5). Conform definiţiei integralei stochastice avem deci B s db s = lim = lim 1 = lim 2 2 n 1 f n s, ω)db s ω) B tj B tj+1 B tj ) j= 2 n 1 j= = 1 2 B2 t B 2 ) 1 2 t. B 2 tj+1 B 2 tj B tj+1 B tj ) 2) Încheiem această secţiune cu două observaţii. Remark 2.2.6 În exemplul anterior am obţinut B t db t = 1 2 formulă ce diferă de formula obişnuită de integrare B 2 t B 2 ) 1 2 t, B s db s = 1 2 B2 s=t s s= = 1 2 B2 t B), 2 în cazul integralei Lebesgue-Stieltjes dacă aceasta integrală s-ar fi putut aplica procesului B t ). Aceasta se datorează faptului că mişcare Browniană nu este un proces cu variaţie mărginită şi deci integrala B sdb s nu este definită în sensul Lebesgue-Stieltjes), dar este un proces cu variaţie pătratică local mărginită, fapt ce conduce, conform definiţiei integralei stochastice, la apariţia termenului suplimentar 1 2t din formula anterioară. În Secţiunea 2.4 vom obţine formula generală de integrare prin părţi pentru integrala stochastică, numită formula Itô. Remark 2.2.7 Spre deosebire de integrala Lebesgue-Stieltjes, alegerea punctului intermediar s i produce valori diferite ale integralei stochastice. În această secţiune am construit integrala stochastică Itô, integrală ce corespunde alegerii punctului intermediar ca limita inferioară a intervalului considerat, adică este s i = s i. Există şi alte construcţii ale integralei stochastice, spre exemplu alegerea s i = s i+s i+1 2 conduce la integrala stochastică Stratonovich. 2.3 Extensii ale integralei stochastice Există câteva extensii ale integralei stochastice construite în secţiunea anterioară, obţinute în principal prin înlocuirea integratorului mişcare Browniană B t o martingală continuă),

CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 58 printr-o martingală continuă generală M t cu variaţie pătratică local) finită. Aplicaţiile din partea a doua a cărţii au în vedere mişcarea Browniană, pentru care construcţia prezentată este suficientă; din acest motiv, nu vom prezenta construcţia integralei stochastice în cazul general. Pentru construcţia generală a integralei stochastice Itô se poate consulta spre exemplu [?], [?] sau [?]. Prezentăm în continuare câteva definiţii necesare prezentării rezultatelor din secţiunea următoare. Un proces M t se numeşte martingală locală dacă există un şir S n ) n N de timpi de oprire cu proprietatea că S n a.s. şi M t Sn ) t este o martingală de pătrat integrabil pentru orice n N. În mod similar, un proces A t ) t se numeşte proces cu variaţie locală mărginită dacă există un şir S n ) n N de timpi de oprire cu proprietatea că S n a.s. şi A t Sn ) t este un proces cu variaţie mărginită pentru orice n N. Numim semimartingală un proces X t = M t + A t, unde M t este o martingală locală iar A t este un proces cu variaţie locală mărginită. Dacă X t este o martingală de pătrat integrabil cu traiectorii continue, din inegalităţii Jensen pentru aşteptarea condiţionată rezultă căxt 2 este o submartingală cu traiectorii continue. Conform teoremei de descompunere Doob-Meyer rezultă că Xt 2 poate fi scris în mod unic sub forma Xt 2 = M t + A t, unde M t este o martingală cu traiectorii continue, A t este un proces crescător cu traiectorii continue cu A =, şi M t, A t sunt adaptate filtraţiei lui X t. Procesul crescător A t astfel construit se numeşte variaţia pătratică a procesului X t, şi se notează X t. Din discuţia de mai sus, rezultă că acest proces poate fi caracterizat ca fiind unicul proces crescător început la X =, adaptat filtraţiei lui X t, pentru care procesul X 2 t X t este o martingală în raport cu filtraţia lui X t. Extindem noţiunea de variaţie pătratică în cazul a două procese, după cum urmează: dacă X t şi Y t sunt martingale de pătrat integrabil cu traiectorii continue, definim variatia pătratică a lui X t şi Y t prin X, Y t = 1 2 X + Y t X t Y t ), şi observăm că această definiţie o generalizează pe cea precedentă, în sensul că variaţia pătratică a lui X t este dată de X t = X, X t. Dacă X t = M t + A t este o semimartingală unde M t este o martingală locală iar A t este un proces de variaţie locală mărginită), definim variaţia pătratică a procesului X t ca fiind variaţia pătratică a părţii sale martingale, adică X t = M t.

CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 59 Exerciţii Exercise 2.3.1 Fie B t o mişcare Browniană 1-dimensională începută la B =. Să se arate că sdb s = tb t B sds. Exercise 2.3.2 Fie B t o mişcare Browniană 1-dimensională începută la B =. Să se arate că B2 s db s = 1 3 B3 t B sds. Exercise 2.3.3 Să se arate că dacă B t este o mişcare Browniană 1-dimensională începută la B =, atunci M t = B 2 t t este o martingală. Care este variaţia pătratică a lui B t? Exercise 2.3.4 Să se arate că dacă M t este o martingală continuă de pătrat integrabil, atunci n 1 ) 2 Mti+1 M ti i= converge în probabilitate la variaţia pătratică M t atunci când norma partiţiei = t < t 1 <... < t n = t tinde către.