Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο ζεύγος αριθµών (χ 0,ψ 0 ) που οι συντεταγµένες του την επαληθεύουν, δηλαδή αχ 0 +βψ 0 =γ. Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=. ύση 6χ-ψ= ψ=6χ-. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. ια να τη χαράξουµε αρκεί να βρούµε δυο σηµεία της. χ 0 0,5 ψ - 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 94
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Άρα οι λύσεις της εξίσωσης 6χ-ψ= είναι άπειρες, αφού είναι όλες οι συντεταγµένες των σηµείων της ευθείας ε, που την επαληθεύουν και είναι της µορφής (κ, 6κ-). Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους ρισµός : Σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο γραµµικές εξισώσεις για τις οποίες αναζητούµε τις κοινές λύσεις τους. Η γενική µορφή του συστήµατος είναι η παρακάτω : α χ + β ψ = γ α χ + β ψ = γ πίλυση ενός συστήµατος ονοµάζουµε την διαδικασία που ακολουθούµε για να βρούµε την λύση του δηλαδή τα διατεταγµένα ζεύγη ( χ,ψ) που οι τιµές τους επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις. Παραδείγµατα : Το σηµείο (, -) αποτελεί λύση του παρακάτω συστήµατος διότι επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις. χ + ψ = 4χ -5ψ = Πράγµατι : =, 4 5(-) = Η επίλυση ενός συστήµατος γίνεται µε δύο τρόπους : o ραφικά o λγεβρικά ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 95
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΦΗ ΠΣΗ ΣΣΤΗΜΤΣ ραφική λύση ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων είναι ο προσδιορισµός των σηµείων τοµής δύο ευθειών. Η γραφική επίλυση όµως έχει ένα σοβαρό µειονέκτηµα, τον µη ακριβή προσδιορισµό των λύσεων του συστήµατος που οφείλεται σε σχεδιαστικά σφάλµατα ή στην αδυναµία να προσδιορίσουµε µε ακρίβεια πάνω στους άξονες κλασµατικούς ή άρρητους αριθµούς πειδή κάθε εξίσωση της µορφής αχ + βψ = γ παριστάνει µια ευθεία για ένα σύστηµα δύο τέτοιων γραµµικών εξισώσεων υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις : ι δύο ευθείες να τέµνονται σε ένα σηµείο οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση ( χ, ψ ) τις συντεταγµένες του σηµείου αυτού. Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων έχει µοναδική λύση τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής του δηλαδή την ( 0, ). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 96
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ι δύο ευθείες είναι παράλληλες και οι δύο ευθείες δεν έχουν κοινό σηµείο οπότε το σύστηµα δεν έχει λύση δηλαδή είναι αδύνατο. Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων είναι αδύνατο αφού οι ευθείες είναι παράλληλες. ι δύο ευθείες ταυτίζονται οπότε το σύστηµα είναι αόριστο δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Π.χ Το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων είναι αόριστο αφού οι ευθείες ταυτίζονται. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 97
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης φαρµογές ΤΗ : ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Φ. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα + ψ = + ψ = ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα αξόνων. ( Την κατασκευή των γραφικών παραστάσεων την επιτυγχάνουµε µε τον τρόπο που περιγράψαµε στο εφ. 4 δηλαδή φτιάχνουµε πίνακα τιµών κ.τ.λ.). Όπως παρατηρούµε από το σχήµα, οι γραφικές παραστάσεις είναι ευθείες παράλληλες. υτό σηµαίνει ότι δεν έχουν κοινό σηµείο. ποµένως το σύστηµα δεν έχει λύση, είναι αδύνατο. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 98
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα + ψ = 8 4ψ = ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Όπως διαπιστώνουµε οι δύο ευθείες έχουν ένα κοινό σηµείο µε συντεταγµένες το ζεύγος (, ). ποµένως η λύση του συστήµατος είναι =, y =.. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα + ψ = 4 = ψ ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις των δύο εξισώσεων στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Πίνακας τιµών ης εξίσωσης 0 y 4 Πίνακας τιµών ης εξίσωσης 0 y 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 99
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ποµένως η λύση είναι το ζεύγος (, ). 4. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα γίνει επαλήθευση + 4ψ = = και να ΠΝΤΗΣΗ ια την πρώτη εξίσωση δηµιουργούµε ένα πίνακα τιµών που µας βοηθάει στην δηµιουργία της γραφικής παράστασης. Πίνακας τιµών ης εξίσωσης -4 0 y 0 ια την δεύτερη εξίσωση δεν χρειάζεται πίνακας τιµών αφού η = είναι µια ευθεία παράλληλη του άξονα y y που τέµνει τον άξονα στο σηµείο (-, 0). 5 4 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 00
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ποµένως η λύση είναι το ζεύγος (-, 9 4 ). παλήθευση : - + 4y = ή -(-) + 4 9 4 = ή = επίσης έχουµε = - ή - = - οπότε επαληθεύονται και οι δύο εξισώσεις από τις λύσεις που βρήκαµε. ΤΗ : ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΗ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Φ. Να επιλυθεί γραφικά το σύστηµα ψ = ψ = ΠΝΤΗΣΗ άνουµε τις γραφικές παραστάσεις της παραβολής ( πρώτη εξίσωση ) και της ευθείας στο ίδιο σύστηµα αξόνων ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ποµένως οι συντεταγµένες των κοινών σηµείων των γραφικών παραστάσεων είναι η λύση του προβλήµατος. ηλαδή τα ζεύγη (0, 0 ), (, 4 ). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0
Άλγεβρα υκείου ΣΗΣΣ επιµ.: άτσιος ηµήτρης. Να εξετάσετε τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση: + + = + + για τις διάφορες τιµές του µ. µ χ µ ψ µ ψ µχ ( ) (5 ). Να λύσετε γραφικά το σύστηµα: χ+ ψ = χ ψ = Σ. Να λύσετε γραφικά τα συστήµατα: χ ψ = 5 4 ψ = χ+ 5 Σ 4χ 5ψ + = 0 4 ψ = χ 5 4. Να βρείτε το σύστηµα που παριστάνεται γραφικά από το παρακάτω σχήµα: Σ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Η ΠΣΗ ΣΣΤΗΜΤΩΝ Η αλγεβρική επίλυση των συστηµάτων γίνεται µε τρεις τρόπους : Με αντικατάσταση Με αντίθετους συντελεστές Με ορίζουσες ντικατάσταση : Με τη µέθοδο αυτή για να επιλύσουµε ένα σύστηµα λύνουµε την εξίσωση του συστήµατος ως προς τον ένα άγνωστο. Την τιµή που βρίσκουµε την αντικαθιστούµε στην άλλη εξίσωση έτσι προκύπτει µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. Παράδειγµα : Να επιλύσετε µε την µέθοδο της αντικατάστασης το παρακάτω σύστηµα: χ + ψ = 4χ -5ψ = - ύση ύνουµε την πρώτη εξίσωση ως προς χ : χ + ψ = ή χ = ψ () ντικαθιστούµε την τιµή του χ που βρήκαµε στην δεύτερη εξίσωση οπότε 4( ψ ) 5ψ = - ή 8ψ 5ψ = - ή -8ψ 5ψ = - ή -ψ = - ή ψ = ντικαθιστώ την τιµή ψ = στην σχέση () άρα χ = ψ ή χ = - = ποµένως η λύση του συστήµατος είναι οι χ =, ψ =. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 04
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης φαρµογές. Να λυθεί το σύστηµα ΠΝΤΗΣΗ ήµα ο : πιλύουµε τη δεύτερη εξίσωση ως προς αφού έχει συντελεστή το Έχουµε : + y = - ή = -y ( ) ήµα ο : ντικαθιστούµε τη σχέση ( ) στην πρώτη, δηλαδή όπου θα αντικαταστήσουµε y. Άρα είναι : - 5y = ή - (-y ) 5y = ( ) ήµα ο : Η εξίσωση ( ) που προέκυψε έχει έναν άγνωστο, τον y. Τη λύνουµε και υπολογίζουµε τον άγνωστο y. Έχουµε : - (-y ) 5y = ή 6y + 4 5y = ή y = 4 ή y = - ήµα 4ο : ντικαθιστούµε σε µία από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος όπου y = - και υπολογίζουµε το. Έχουµε : + y = - ή + (-) = - ή 6 = - ή = 4 ποµένως, το σύστηµα έχει µία µοναδική λύση την (4, -). ΠΝΤΗΣΗ 5 y = + y =. Να λυθεί το σύστηµα 4 y = = 6 + y = ήµα ο : Παρατηρούµε ότι κανένας άγνωστος δεν έχει συντελεστή ±. πιλέγουµε να επιλύσουµε ως προς τον άγνωστο µε το µικρότερο συντελεστή, δηλαδή τη δεύτερη εξίσωση ως προς y. Έχουµε : 6 + y = - ή y = - 6 ή y 6 = ( ) ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 05
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ήµα ο ο : ντικαθιστούµε την ( ) στην πρώτη εξίσωση. Έχουµε διαδοχικά : 4y = ή 6 4 = ή (-6 ) = ή + + 6 = ή 5 = 6 ή 5 = 5 ή ήµα 4ο : ντικαθιστούµε το 6 + y = - ή 6 y 5 = = 5 = στη δεύτερη και έχουµε : + = ή + y = - ή y = -5 ή Τελικά το σύστηµα έχει µία λύση, την 5,. 5 y=. Να λυθεί το σύστηµα y = 7 4 + 6 y = 4 ΠΝΤΗΣΗ πιλύουµε την πρώτη ως προς. Έχουµε : y = 7 ή = y + 7 ή y+ 7 = ( ) ντικαθιστούµε την ( ) στη δεύτερη εξίσωση και έχουµε διαδοχικά : -4 + 6y = -4 ή y+ 7 4 6y 4 + = ή - (y + 7) + 6y = -4 ή -6y 4 + 6y = -4 ή -6y + 6y = 4 4 ή 0 y = 0 Η τελευταία εξίσωση που προέκυψε είναι προφανώς αδύνατη. Άρα και το σύστηµα θα είναι αδύνατο. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 06
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 4. Να λυθεί το σύστηµα 5 + y = 0 4 y = 6 ΠΝΤΗΣΗ πιλύουµε την εξίσωση ως προς y, και έχουµε : -5 + y = ή y = 5 + ή y 5+ = ( ) ντικαθιστούµε την ( ) στη δεύτερη και έχουµε διαδοχικά : 0 4y = -6 ή ή 0 = 0 5+ 0 4 6 = ή 0 (5 + ) = -6 ή 0 0 6 = -6 Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται για κάθε τιµή του, είναι δηλαδή αόριστη. ια κάθε όµως τιµή του µπορεί να προκύπτει µε αντικατάσταση στην ( ) και µία τιµή του y. Άρα το σύστηµα θα έχει άπειρες λύσεις (, y) (αόριστο). Με αντίθετους συντελεστές : Με τη µέθοδο αυτή προσπαθούµε να εµφανίσουµε στον ίδιο άγνωστο των δύο εξισώσεων του συστήµατος αντίθετους συντελεστές. ια αυτό το λόγο πολλαπλασιάζουµε τις δύο εξισώσεις µ κατάλληλους αριθµούς. Στην συνέχεια προσθέτουµε τις δύο εξισώσεις οπότε προκύπτει µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. Παράδειγµα : Να επιλύσετε µε την µέθοδο των αντίθετων συντελεστών το παρακάτω σύστηµα: χ + ψ = 4χ -5ψ = - ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 07
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ύση Θέλουµε να απαλείψουµε τον χ. πότε προσπαθώ να δηµιουργήσω αντίθετους συντελεστές για το χ. ποµένως πολλαπλασιάζω και τα δύο µέλη της πρώτης εξίσωσης µε το 4. χ + ψ = (-4) -4χ + -8ψ = - ή 4χ -5ψ = - 4χ -5ψ = - Προσθέτω τις δύο εξισώσεις κατά µέλη : -4χ + -8ψ + 4χ -5ψ = - ή -ψ = - ή ψ =. ντικαθιστούµε την τιµή ψ = σε µια από τις δύο εξισώσεις του συστήµατος. πότε 4χ -5ψ = - ή 4χ 5 = - ή 4χ = 5 ή 4χ = 4 ή χ =. ποµένως η λύση του συστήµατος είναι οι χ =, ψ =. φαρµογές. Να λύσετε µε τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών τα συστήµατα : i) + 5 y = + 7 y =, ii) ψ 5 + = 5 + ψ = 45 ΠΝΤΗΣΗ i) Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη των εξισώσεων του συστήµατος µε τους αριθµούς και αντίστοιχα : + 5y= + 7 y= ή 6+ 5y= 6 + 4y = 6 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 08
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις και έχουµε 9y = 9, δηλαδή y =. Η η εξίσωση του αρχικού συστήµατος για y = δίνει + 5 = ή = -4 ή = -. Άρα η λύση του συστήµατος είναι (, y) = (-, ). ii) Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη των εξισώσεων του συστήµατος µε τους αριθµούς 5 και αντίστοιχα : 5 + ψ = 5 5+ ψ = 45 ή 5+ 0ψ = 5 5 + ψ = 5 Προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο εξισώσεις, οπότε έχουµε : -5 + 0ψ + 5 + ψ = 5 + 5 ή 0ψ + ψ = 60 ή ψ = 60 ή ψ = 0. ντικαθιστούµε στην 5 + ψ = 45 όπου ψ = 0, οπότε είναι 5 + 0 = 45 ή 5 = 45 0 ή = 5. Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (5, 0).. Να λυθεί το σύστηµα 4( ) y = ( ) = 5 ( y + ) = ( y ) y + ΠΝΤΗΣΗ φαρµόζοντας την ταυτότητα ( ) α± β = α ± αβ + β, έχουµε διαδοχικά : ( ) y ( ) 4 = ή 5 y+ = y y + ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) 4 4 + 4 = 4 4 + ή 5 y + 4y+ 4 = y y+ y + ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 09
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 4 6+ 6 y= 4 4+ 5 y 4y 4= y y+ y + ή 4 6 y 4 + 4= 6+ + + = + + 5 y 4y y y y 4 y= 5 5 y= 8 ή ( ) κολουθούµε τη µέθοδο αντίθετων συντελεστών. y= 5 ( + ) 5 y= 8 ( ) ή 4 6y= 0 5+ 6y= 4 Προσθέτουµε κατά µέλη και έχουµε : - 6y + 5 + 6y = -0 4 ή -9 = -54 ή = 6 ντικαθιστώντας στο ( ) το = 6 έχουµε : -5 y = 8 ή -5 6 y = 8 ή y = -8 ή y = -9 Άρα η λύση του συστήµατος είναι η (6, -9). ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΗ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Π ΜΤΤΠΤ Σ ΜΜ.. Να λυθεί το σύστηµα ΠΝΤΗΣΗ λέπουµε ότι οι εξισώσεις του συστήµατος ορίζονται, όταν 0 και y 0. Το σύστηµα που µας δίνεται δεν είναι γραµµικό. ια να το µετατρέψουµε σε γραµµικό, θέτουµε a = και y + = 5 y = y α + β = 5 α β = = β, οπότε γίνεται : Παρατηρούµε ότι οι συντελεστές του β στις δύο εξισώσεις είναι αντίθετοι. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Έτσι, µε πρόσθεση κατά µέλη παίρνουµε α = 6 ή α =. ντικαθιστώντας την τιµή του α στην πρώτη εξίσωση προκύπτει + β = 5 ή β = 5 =. Συνεπώς θα έχουµε : ή ( µε χιαστί ) = και y = = και y= Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος ( y), =,. 4. Να λυθεί το σύστηµα + y = y = 5 ΠΝΤΗΣΗ Το σύστηµα δεν είναι γραµµικό. ια να το µετατρέψουµε σε γραµµικό, θέτουµε = α και y = β µε α 0 και β 0, οπότε γράφεται : α + β = α β = 5 Προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις κατά µέλη παίρνουµε : α = + 5 ή α = 8 ή α = 9 οπότε από την α + β = προκύπτει β = 9 = 4. Έχουµε λοιπόν : = 9 και y = 4 απ όπου προκύπτει : ( = ή = -) και (y = ή y = -) Συνεπώς οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (, y) = (, ), (, y) = (, -), (, y) = (-, ) και (, y) = (-, -). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 5. Να λυθεί το σύστηµα 5 y = 4 7 + y = ΠΝΤΗΣΗ Θέτουµε κ 0 συντελεστών : 5κ λ= 4 ( + ) 7κ + λ = ( + ) =, y λ 0 ή = και χρησιµοποιούµε την µέθοδο των αντίθετων 5κ 6λ = 4κ + 6λ = 4 Προσθέτουµε κατά µέλη και έχουµε : 5κ 6λ 4κ +6λ = 4 ή κ = 8 ντικαθιστούµε το κ = 8 στην 5κ λ = 4 και έχουµε : 5 8 λ = 4 ή -λ = -6 ή λ = 8 ποµένως θα είναι : = κ ή 8 = ή ( ) = 8 ή = 64 y = λ ή 8 y = ή ( ) 8 y = ή y= 4 Το σύστηµα τελικά έχει µία λύση, την (64, 4). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΗΣΣ Π ΜΣ ΖΗΤΝ Ν Μ ΤΗΝ ΣΗ ΝΣ ΜΗ ΜΜ ΣΣΤΗΜΤΣ Π Ν ΜΤΤΠΤ Σ ΜΜ 6. Να λυθούν τα συστήµατα : + y = α), β) y= ΠΝΤΗΣΗ α) Στο σύστηµα παρατηρούµε ότι η πρώτη εξίσωση είναι γραµµική, ενώ η δεύτερη δεν είναι. Θα το λύσουµε µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. ύνοντας την πρώτη εξίσωση ως προς y προκύπτει y = και αντικαθιστώντας στη δεύτερη έχουµε διαδοχικά : y = ή ( ) = ή = ή + = 0 () Η διακρίνουσα της () είναι = (-) 4 = 9 8 =, οπότε + = = ή = = πό την y = για = βρίσκουµε y = = και για = βρίσκουµε y = =. ποµένως οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (, y) = (, ) και (, y) = (, ). β) Παρατηρούµε ότι η πρώτη εξίσωση του συστήµατος δεν είναι γραµµική. ργαζόµαστε λοιπόν και εδώ µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. ύνουµε τη δεύτερη εξίσωση ως προς y και παίρνουµε y =. ντικαθιστώντας το y στην πρώτη έχουµε διαδοχικά : y =6 ή ( ) = 6 ή + 6 6 = 0 ή 0 = 0 Η διακρίνουσα της τελευταίας εξίσωσης του είναι = (-) 4 (-0) = 49. οπότε: y = 6 y = + 7 7 = = 5 ή = = ια = 5 είναι y = = και για = - είναι y = = - = -4. Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (, y) = (5, ) και (, y) = (-,-4). ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης Με ορίζουσες : ια να επιλύσουµε το σύστηµα µε αυτό τον τρόπο ακολουθούµε την εξής διαδικασία. α χ + β ψ = γ α χ + β ψ = γ γ β α γ D= =, D χ = = γ β γ β, D γ β ψ = = αγ α γ α γ α β αβ αβ α β ν D 0 τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την χ, D D = ψ = D D ν D = 0 και D χ = 0, D ψ = 0 τότε το σύστηµα είναι αόριστο (εκτός αν α =α =β =β =0 και γ 0 ή γ 0 οπότε το σύστηµα είναι αδύνατο) ν D = 0 και D χ 0 ή D ψ 0 τότε το σύστηµα είναι αδύνατο φαρµογή: Να επιλύσετε µε την µέθοδο των οριζουσών το παρακάτω σύστηµα: χ + ψ = 4χ -5ψ = - ύση πολογίζουµε τα D, D χ, D ψ ψ D= = ( 5) 4 = 5 8= 4 5 D χ = = ( 5) ( ) = 5+ = 5 D ψ = = ( ) 4= = 4,, φού D 0 τότε έχει µοναδική λύση την D χ = = = D, Dψ ψ = = = D ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 4
Άλγεβρα υκείου φαρµογή: ίνεται το παρακάτω σύστηµα επιµ.: άτσιος ηµήτρης ( λ ) + y=, λ R + ( λ ) y = I) να επιλυθεί για τις διάφορες τιµές του λ II) στη περίπτωση που το παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική λύση ( 0, y 0 ) και επιπλέον ισχύει 4 0 + y 0 =, να βρεθεί ο λ. ύση ) λ D= = λ = λ λ + = λλ λ y 0 0 ( ) ( )( ) ( ) D = = ( λ ) = λ 4= ( λ ) λ D λ = = ( λ ) = λ 4 = ( λ ) ια D 0 για λ 0 και λ µοναδικη λυση D ( λ ) Dy ( λ ) = = =, y = = = D λ( λ ) λ D λλ ( ) λ ρα ( 0, y0) = (, ) λ λ ια λ= 0, D= 0, D = 4 0, αρα συστηµα αδυνατο ια λ=, D= 0, D = 0 = D, αρα συστηµα αοριστο y + y= = y για λ= το ( Σ) γινεται θετουµε y= κ R + y= + y= αραοιαπειρεςλυσειςθαειναιτης µορφης (, y) = ( κκ, ) ) 4 4 6 4 4 0 + y0 = ( ) + ( ) = + = 6+ 4λ = λ 4 λ λ λ λ 4 4 8+ λ = λ λ λ 8= 0. Θ ετουµε ω= λ 0 8= 0 =. = 4 = 4 =± λ= ( λ= απορ. γιατι D 0) ω ω ω απορ η ω λ λ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 5
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΗΣΣ Να σηµειώσετε το Σ αν είναι σωστή ή το αν είναι λάθος σε κάθε µια από τις παρακάτω περιπτώσεις : α. Το σύστηµα αχ-ψ=β χ+αψ=γ έχει µια µόνο λύση για κάθε α,β,γ R Σ β. Το σύστηµα αχ+βψ=γ λαχ+λβψ=λγ λ 0 είναι αόριστο για κάθε α,β.γ R Σ γ. ν για το σύστηµα αχ+βψ=γ α χ+β ψ=γ ισχύει : i. D +D ψ +D =0 τότε το σύστηµα είναι αόριστο Σ ii. έχει δύο λύσεις τότε είναι αόριστο Σ iii. D=0 και D 0 τότε είναι αδύνατο Σ iv. γ=γ =0 τότε δεν µπορεί να είναι αδύνατο Σ δ. Το σύστηµα αχ+0ψ=β α χ+0ψ=β µε αα 0 έχει λύσεις µόνο αν D ψ =0 Σ ε. ν D=D =D ψ =0 και α 0 τότε το σύστηµα έχει λύσεις της µορφής ( γ βκ, κ ) µε κ R Σ α στ. ν ένα σύστηµα έχει µια µόνο λύση τότε D 0 Σ ζ. ν ένα σύστηµα είναι αδύνατο τότε D=0 και D 0 ή D ψ 0 Σ η. Το σύστηµα είναι αόριστο D=D =D ψ =0 Σ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 6
Άλγεβρα υκείου. Να λύσετε την εξίσωση: επιµ.: άτσιος ηµήτρης χ -χ 9χ 5 4χ = - χ. ια τις διάφορες τιµές του λ να λυθεί η εξίσωση: λ λ-χ = 0 - χ-λ. ια τις διάφορες τιµές του λ να λυθεί το σύστηµα: χ+ λψ = 4 λχ+ ψ = λ 4. ια ποιες τιµές του µ το σύστηµα i) έχει µοναδική λύση ii) είναι αδύνατο; µ χ µψ + = χ + µψ = µ ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 7
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 5. Να βρεθούν τα κ, λ ώστε το σύστηµα α) έχει µια λύση β) είναι αδύνατο. 6. Να βρεθούν τα α και β ώστε το σύστηµα αόριστο. ( α β) ( ) ( ) ( ) + + α ψ = αβ α β + β 5 ψ = αβ 5ψ= 9 4+κψ=λ να είναι 7. Να βρεθούν τα κ και λ ώστε οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις κ (λ )ψ + = 0 και 4 + ψ + = 0 α) να είναι παράλληλες β) να ταυτίζονται. 8. ια ποιες τιµές του λ οι ευθείες ε : (λ -)χ-λy=λ και ε : (λ-)χ+y=λ- είναι: παράλληλες; ταυτίζονται; τέµνονται; 9. α) Να λυθεί το σύστηµα ) (Σ : a+ 5β = 7 5α 4β = β) Με τη βοήθεια της λύσης του συστήµατος (Σ) να λυθούν τα συστήµατα: + 5 y+ 4 = 7 ( Σ ) : 5 4 y+ 4 = 5 + = 7 7 + ( Σ ) y : 5 4 = 7 y+ { ( Σ ) : + 5y 7 + 5 4y+ = 0 0. ίνεται η εξίσωση: a όπου α, β R. ( + β ) + a β + = 0 Να βρείτε τις τιµές των από 00 λύσεις. α, β έτσι, ώστε η εξίσωση να έχει περισσότερες ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 8
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. Να λυθεί το σύστηµα µε τη µέθοδο των οριζουσών = y ( + y) + = ( ) + y + λy= 4. α) Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστηµα: ( Σ) :, λ R λ+ y= λ για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου λ. β) ν (, y ) είναι η µοναδική λύση του συστήµατος ( Σ ), βρείτε το λ 0 αν ισχύει ότι: 0+ y0 = 0 y= µ. ίνεται το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : + 5y = 7 + µε αγνώστους, y µ και µ R. α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D, D και D y του συστήµατος (Σ). β) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του µ το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση, την οποία και να βρείτε. γ) ια µ =, να βρείτε το σηµείο που τέµνονται οι ευθείες που αντιστοιχούν στις εξισώσεις του λ y= 5λ 4. ίνεται το γραµµικό σύστηµα ( Σ) : + λy = λ και λ R. µε αγνώστους, y α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D, D και D y του συστήµατος (Σ). β) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του λ το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση, την οποία και να βρείτε και να γράψετε µε την πιο απλοποιηµένη της µορφή. γ) Να βρείτε για ποια τιµή του λ, η ευθεία που αντιστοιχεί στην πρώτη εξίσωση του συστήµατος (Σ) είναι παράλληλη προς την ευθεία ε: y= 67. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 9
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 5. ίνεται ένα γραµµικό σύστηµα (Σ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, y που έχει µοναδική λύση, ενώ ακόµα ισχύουν ότι: D + Dy 4D + 7D Να βρεθεί η µοναδική λύση του (Σ). y = D = D 6. ίνεται ένα γραµµικό σύστηµα (Σ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, y ώστε: Να λυθεί το σύστηµα. D + D + 0 + D 8 = 0. y παναληπτικές ασκήσεις στα γραµµικά συστήµατα. ια τους αριθµούς, y Rαντιστοιχίστε τους αριθµούς της στήλης µε τα γράµµατα της στήλης αιτιολογώντας την αντιστοίχιση. Στήλη... ι, y έχουν διαφορά 0 και πηλίκο 0 ι, y είναι πλευρές τετραγώνου µε εµβαδόν 40 ι, yέχουν άθροισµα 0και ο y είναι το µισό του ελαττωµένο κατά. Στήλη α. β. γ. = y y= 0 y= 0 y+ 6= y= 0 y= 0 δ. y= 0 y 40= 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 0
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. ια τους αριθµούς, y R * ισχύουν: α) Η διαίρεση του µε τον y δίνει πηλίκο το διπλάσιο του αυξηµένο κατά και υπόλοιπο τα δύο τρίτα του y ελαττωµένο κατά 5 και β) η διαφορά του πενταπλασίου του από το ένα πέµπτο του y είναι 40. Ένας µαθητής έγραψε τις παραπάνω προτάσεις α) και β) µε τη µορφή συστήµατος: = y(+ ) + ( y 5) 5 y= 40 5 ίναι σωστό ή λάθος το σύστηµα; ν είναι λάθος διορθώστε το ώστε να γίνει σωστό.. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A (, 4) και B (, ). 4. ίνεται η εξίσωση 7 y = 4. Να γράψετε µια δεύτερη εξίσωση ώστε το σύστηµα που θα προκύψει: α) να έχει λύση πάνω στη διχοτόµο της πρώτης και τρίτης γωνίας. β) να έχει λύση το ζεύγος, ) (. γ) να έχει λύση ένα ζεύγος αντίθετων αριθµών. Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση που γράψατε σε κάθε περίπτωση, ικανοποιεί τη ζητούµενη συνθήκη. 5. Να λυθεί η ανίσωση: 5+ 0 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 6. Έστω οι ευθείες ε : y λ = και ε : y+ 4=. ν ε //ε να λυθεί η εξίσωση: 7. Να λυθεί το σύστηµα µε τη µέθοδο των οριζουσών = y ( + y) + = ( ) + y 8. Να βρείτε για ποια τιµή του λ Rέχει άπειρες λύσεις το σύστηµα: λ y = 4 4 y= 9. Να βρείτε για ποιες τιµές του λ Rείναι αδύνατο το σύστηµα: y= y= λ µ λ+ = µ λ y = 0. α) Να λυθεί το σύστηµα: + y = λ β) ια την λύση (, y ) 0 0 που βρήκατε στο ερώτηµα α) να λύσετε την 9 ανίσωση: 0 + y 0. Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστηµα: λ+ y= λ+ + λ y = ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης. ν σε ένα σύστηµα (Σ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους, y ισχύουν: D + D y = D 4D + 7Dy = D και το σύστηµα έχει µοναδική λύση, να βρεθούν τα το σύστηµα)., y. ( ηλαδή να λυθεί. Aν σε ένα γραµµικό σύστηµα Χ ισχύει: D + D + Dy = D 6D + 4Dy 4. α) Να λυθεί το σύστηµα ) 4 τότε αυτό να λυθεί. (Σ a+ 5β = 7 : 5α 4β = β) Με τη βοήθεια της λύσης του συστήµατος (Σ) να λυθούν τα συστήµατα: + 5 y+ 4 = 7 ( Σ ) : 5 4 y+ 4 = + 7 ( Σ ) : 5 7 5 = 7 y+ 4 = y+ ( Σ ) :{ + 5y 7 + 5 4y+ = 0 + y+ z= y + z + t = 5 5. Να λυθούν τα συστήµατα ( ) : και Σ z + t + = t+ + y= 8 y= ( Σ ) : yt= t= 8 6. Να λυθούν τα συστήµατα 5( + ) + = 9 ( Σ ) y y : ( + y) y= 9 ( Σ ) + y= + y = : ( Σ ) : y= y= 0 58 ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ
Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης 7. Μια ευθεία ε περνά από τα σηµεία (-,0) και (0,) µια δε άλλη ευθεία ε περνά από το σηµείο (0,-) και σχηµατίζει µε τον άξονα χ χ γωνία 45 0. Να βρεθεί το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ε και ε και µετά οι συντεταγµένες του κοινού σηµείου των. 8. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας αχ+βψ=γ, µε β 0 αν γνωρίζουµε ότι περνά από τα σηµεία (,) και (-,5) 9. Ένας µαθητής γράφει διαγώνισµα το οποίο αποτελείται από 8 θέµατα πολλαπλής επιλογής. ια να αποφευχθεί η απάντηση στην τύχη δόθηκε ο εξής περιορισµός : ια κάθε θέµα σωστό παίρνει 0 βαθµούς ενώ για κάθε λανθασµένο θα χάνει 5 βαθµούς. ν η τελική βαθµολογία είναι 5 βαθµοί, να βρεθεί το πλήθος των σωστών και το πλήθος των λανθασµένων θεµάτων 0. υο κινητά κινούνται ευθύγραµµα στο επίπεδο, το πρώτο από το σηµείο (-,) προς το (0,0) και το δεύτερο από το (-5,5) προς το (0,-). Να βρείτε το κοινό σηµείο της διαδροµής τους. ΘΩ - ΜΘ - ΣΗΣΣ Σ 4