Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml 30 Ιουνιου 01 If you can reduce a mathematical problem to a problem in Linear Algebra, you can most likely solve it, provided that you know enough Linear Algebra Peter Lax Βραβείο Abel 005

Περιεχόµενα Μέρος 1 Ασκήσεις Προς Λύση 4 Μέρος Πρόχειρες οκιµασίες στην Τάξη 4 Μέρος 3 Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση 7 Μέρος 4 Επίλυση Πρόχειρων οκιµασιών στην Τάξη 46 Μέρος 5 Επίλυση Επιλεγµένων Ασκήσεων 64 Μέρος 6 Θεωρητικά Θέµατα 147 Ι Η οµή Ενός Ενδοµορφισµού 147 1 Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων 147 11 Ιδιοτιµές Σύνθεσης Γραµµικών Απεικονίσεων και Γινοµένου Πινάκων 147 1 Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων 148 Τριγωνοποίηση 150 1 Άνω Τριγωνικοί Πίνακες και Κάτω Τριγωνικοί Πίνακες 150 Πότε είναι ένας πίνακας όµοιος µε έναν άνω τριγωνικό πίνακα; 151 3 Αλγόριθµος Τριγωνοποίησης Πίνακα 153 3 Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton 158 31 Πολυωνυµικές Γραµµικές Απεικονίσεις και Πολυωνυµικοί Πίνακες 158 3 Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton 158 33 Μια άλλη απόδειξη τού Θεωρήµατος Cayley-Hamilton 161 4 Ελάχιστο Πολυώνυµο 163 41 Πυρήνες Πολυωνυµικών Γραµµικών Απεικονίσεων 163 4 Κριτήριο ιαγωνοποίησης 165 43 Μηδενοδύναµοι Ενδοµορφισµοί και Πίνακες 167 5 Κανονική Μορφή Fitting 169 51 Αποσύνθεση Fitting 169 5 Κανονική Μορφή Fitting 171 53 Ευθύ Άθροισµα Γραµµικών Απεικονίσεων και Πινάκων 17 6 Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 174 61 Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Πινάκων 174 6 Ταυτόχρονη διαγωνοποίηση Γραµµικών Απεικονίσεων 176 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I 178 71 Μηδενοδύναµες Γραµµικές Απεικονίσεις 178 7 Μηδενοδύναµοι Πίνακες 18 73 Βάσεις Jordan 18 74 Η Κανονική Μορφή Jordan ενός πίνακα 184 75 Αλγόριθµος Εύρεσης Κανονικής Μορφής Jordan 184 76 Αλγόριθµος Εύρεσης Αντιστρέψιµου Πίνακα P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 AP να είναι η Κανονική Μορφή Jordan του A 186

3 77 Κριτήριο Οµοιότητας Πινάκων 188 78 Κριτήριο ιαγωνοποίησης Πινάκων 188 8 Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan 189 81 Κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι όµοιος µε τον ανάστροφό του 189 8 Ανάλυση τετραγωνικού πίνακα σε γινόµενο δύο συµµετρικών πινάκων ένας εκ των οποίων είναι αντιστρέψιµος 190 83 Ανάλυση τετραγωνικού πίνακα σε άθροισµα διαγωνοποιήσιµου και µηδενοδύναµου πίνακα 191 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II 194 91 Αναλλοίωτοι και κυκλικοί υπόχωροι 194 9 Μηδενοδύναµοι ενδοµορφισµοί κυκλικοί υπόχωροι 197 ΙΙ Ευκλείδειοι Χώροι 01 10 Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι 01 101 Σταθµητοί Χώροι 01 10 Το Θεώρηµα των Jordan-Von Neumann 01 11 Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της 07 111 Πίνακας και Ορίζουσα Gram 07 11 ιαδικασία Gram-Schmidt 10 113 Ογκος Παραλληλεπιπέδου σε Ευκλείδειους Χώρους 13 114 Η Γεωµετρική Ερµηνεία της Ορίζουσας και η Ανισότητα του Hadamard 15 1 Ισοµετρίες 0 11 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών 0 1 Κανονική µορφή Ορθογωνίων Πινάκων 1 13 Ανακλάσεις 13 Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων 4 131 Η Παραγοντοποίηση QR ενός πίνακα 4 13 Πολική Ανάλυση 7 133 Ορθογώνια Τριγωνοποίηση 9 14 Αντισυµµετρικοί Πίνακες 30 15 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 31 16 Ο υϊκός Χώρος 3 17 Κανονικοί Ενδοµορφισµοί και Κανονικοί Πίνακες 33 18 Τετραγωνικές Μορφές 34 19 Μέτρο Πίνακα 35 0 Βιβλιογραφία 36

4 Μέρος 1 Ασκήσεις Προς Λύση Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebraii/laiihtml 1-3 - 01 Ασκηση 1 Θεωρούµε τους υπόχωρους του R 3 : V = { (x, y, z) R 3 x + y + z = 0, 3x + y + z = 0 } W = { (x, y, z) R 3 5x + 4y + 3z = 0 } Να εξετάσετε αν ισχύει ότι : R 3 = V W Αν αυτό δεν ισχύει να ϐρείτε υπόχωρους U και Z έτσι ώστε R 3 = V U = W Z Ασκηση Θεωρούµε τους ακόλουθους υπόχωρους του R 4 : V = (1,, 1, 1), (1, 1, 1, 1) και W = ( 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1) (1) Είναι το άθροισµα V + W ευθύ ; () Πόσοι υπόχωροι Z του R 4 υπάρχουν έτσι ώστε V Z = R 4 ; ικαιολογήστε την απάντηση σας Ασκηση 3 Θεωρούµε τους ακόλουθους υπόχωρους του C-διανυσµατικού χώρου C 3 : V = (1, 1, 0), (i, 1 + i, 1), (1 + i, 1 + i, 0) και W = (1, 0, 1), (i, i, 0), (0, i, i) Να ϐρείτε υπόχωρο U του C 3 έτσι ώστε (V W) U = C 3 Ασκηση 4 Να εξετάσετε αν ισχύει ότι : R 3 [t] = V W, όπου V και W είναι οι ακόλουθοι υπόχωροι του R 3 [t]: V = 1, t + t, + 3t + 3t και W = t, t 3 Ασκηση 5 Να δείξετε, µε ένα αντιπαράδειγµα, ότι αν V 1,, V n είναι υπόχωροι του διανυσµατικού χώρου E, και ισχύουν οι σχέσεις : V i V j = { 0}, i, j = 1,, n, i j τότε δεν ισχύει απαραίτητα ότι το άθροισµα V 1 V V n είναι ευθύ Ασκηση 6 Θεωρούµε τα ακόλουθα υποσύνολα του R 4 : W 1 = {(t, t, t, t) R 4 t R}, W = {(t, s, t 3s, s) R 4 t, s R} W 3 = {(t, s, 0, r) R 4 t s + r = 0}

5 (1) Να δείξετε ότι τα υποσύνολα W 1, W, W 3 είναι υπόχωροι του R 4 και να ϐρεθεί η διάσταση τους () Να εξετασθεί αν το άθροισµα W 1 + W + W 3 είναι ευθύ (3) Να δείξετε ότι R 4 = W 1 (W + W 3 ) Ασκηση 7 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση (1) Αν f = f, να δείξετε ότι E = Ker f Im f () Αν f = Id E, να δείξετε ότι E = V 1 V όπου : V 1 = { x E f( x) = x } και V = { x E f( x) = x } Ασκηση 8 Εστω A M n n (K) (1) Αν A = A, να δείξετε ότι ο A είναι όµοιος µε τον πίνακα : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) O(n r) (n r) O B = r (n r) = 0 0 0 0 0 O (n r) r I r 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 όπου I r είναι ο µοναδιαίος r r πίνακας και r = r(a) () Αν A = I n, να δείξετε ότι ο A είναι όµοιος µε τον πίνακα 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ( ) In r O B = r (n r) = 0 0 1 0 0 O (n r) r I r 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 όπου r είναι η διάσταση του υπόχωρου {X K n A X = X} του K n Ασκηση 9 Εστω ότι V 1, V,, V m είναι υπόχωροι ενός K-διανυσµατικού χώρου E Θεωρούµε τον K-διανυσµατικό χώρο V 1 V V m και ορίζουµε µια απεικόνιση f : V 1 V V m E, f( v 1, v,, v m ) = v 1 + v + + v m (1) Να δείξετε ότι η f είναι γραµµική () Ποιά είναι η εικόνα Im(f) της f; (3) Να δείξετε ότι η f είναι µονοµορφισµός αν και µόνον αν το άθροισµα V 1 + V + + V m είναι ευθύ (4) Να δείξετε ότι η f είναι ισοµορφισµός αν και µόνον αν E = V 1 V V m Ασκηση 10 Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση, όπου E και F είναι K-διανυσµατικοί χώροι πεπερασµένης διάστασης Υποθέτουµε ότι η f είναι επιµορφισµός (1) Να δείξετε ότι υπάρχει µια γραµµική απεικόνιση g : F E έτσι ώστε : f g = Id F

6 () Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός : E = Ker(f) Im(g)

7 Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 8-3 - 01 Ασκηση 11 (1) Να εφαρµόσετε την Ευκλείδεια διαίρεση στα πολυώνυµα P (t) = 9t 6 + 4t 3 + 1 και Q(t) = t + t + 3 () Βρείτε τις ϱίζες των πολυωνύµων t 3 t +t και t εξετάζοντας τους διαιρέτες των σταθερών όρων (3) ίνεται το πολυώνυµο P (t) = t 4 7t 3 +18t 0t+8 Να ϐρείτε τις ϱίζες του και την πολλαπλότητα κάθε ϱίζας Ασκηση 1 Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και f : E E ένας ενδοµορ- ϕισµός του E Εστω x και y δύο ιδιοδιανύσµατα του f τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές του f Αν a, b K και ab 0, να δείξετε ότι το διάνυσµα a x + b y δεν είναι ιδιοδιάνυσµα της f Ασκηση 13 Βρείτε τις ιδιοτιµές καθώς και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους του πίνακα 0 i i i 0 i M 3 3 (C) i i 0 Ασκηση 14 Θεωρούµε τον ακόλουθο ενδοµορφισµό του R-διανυσµατικού χώρου R 3 : f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x y, x + y, y z) Να ϐρείτε τις ιδιοτιµές του f καθώς και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους Ασκηση 15 Βρείτε τις ιδιοτιµές και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους του πίνακα 1 1 3 M 3 3 (R) 1 1 Ασκηση 16 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του πίνακα 1 1 1 0 1 M 3 3 (R) 4 4 Ασκηση 17 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του ενδοµορφισµού f : R [t] R [t], P (t) f(p (t)) = P (t) P (t)

8 Ασκηση 18 Αν λ είναι µια ιδιοτιµή ενός ενδοµορφισµού f : E E ή ενός πίνακα A M n n (K), να δείξετε ότι το λ m είναι ιδιοτιµή του ενδοµορφισµού f m ή του πίνακα A m αντίστοιχα, m 1 Ποιά είναι η σχέση των ιδιοχώρων V f (λ) και V f m(λ m ) ή των ιδιοχώρων V A (λ) και V A m(λ m ) αντίστοιχα ; Ασκηση 19 Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του K-διανυσµατικού χώρου E Αν ο f είναι ισοµορφισµός, να δείξετε ότι το λ K είναι ιδιοτιµή του f αν και µόνον αν το λ 1 είναι ιδιοτιµή του f 1 Ποιά είναι η σχέση των ιδιοχώρων V f (λ) και V f 1(λ 1 );

9 Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 4-4 - 01 Ασκηση 0 Θεωρούµε τη γραµµική απεινόνιση f : C 3 C 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (x y, x + y, y z) Είναι η f διαγωνοποιήσιµη ; Αν ναι να διαγωνοποιηθεί Ασκηση 1 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και ϐάσεις των αντίστοιχων ιδιοχώρων του πίνακα A = 3 1 1 1 3 1 M 3 3 (R) 1 1 3 Ακολούθως να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 AP να είναι διαγώνιος Ασκηση Θεωρούµε τον πίνακα A = 3 0 1 0 0 M 3 3 (R) 1 0 3 Να ϐρεθεί ο πίνακας A m, m 1 Ασκηση 3 Ποιες συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν οι αριθµοί α, β, γ, δ, ɛ, ζ, έτσι ώστε ο πίνακας 3 α β γ A = 0 3 δ ɛ 0 0 4 ζ 0 0 0 4 να είναι διαγωνοποιήσιµος ; Ασκηση 4 Θεωρούµε τον πίνακα A = 4 3 0 0 0 M 3 3 (R) 1 5 Να δειχθεί ότι : A 593 A 15 = A

10 Ασκηση 5 Να ϐρεθούν αναγκαίες και ικανές συνθήκες τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν τα µ, ν R, έτσι ώστε ο πίνακας A = 0 0 0 µ 3 0 ν να είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 6 Να δείξετε ότι οι πίνακες 1 1 1 1 και 1 0 0 0 0 0 1 3 0 0 3 είναι όµοιοι Ασκηση 7 Να ϐρεθεί ένας 3 3-πίνακας A για τον οποίο τα διανύσµατα στήλες X = 1 1, Y = 0 1, Z = 0 1 1 1 1 είναι ιδιοδιανύσµατα του A µε αντίστοιχες ιδιοτιµές 1, και 3 Ασκηση 8 (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E < (α ) Αν f = Id E, να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη (ϐ ) Αν f = f, να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη () Εστω A M n n (K) (α ) Αν A = I n, να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος (ϐ ) Αν A = A, να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 9 Εστω (x n ) n 0, (y n ) n 0 και (z n ) n 0 ακολουθίες πραγµατικών αριθµών οι οποίες συνδέονται µε τις παρακάτω αναγωγικές σχέσεις, n 1: x n = x n 1 y n = x n 1 3y n 1 z n 1 z n = x n 1 + 4y n 1 + 3z n 1 Να ϐρεθούν οι ακολουθίες, αν γνωρίζουµε ότι : x 0 =, y 0 = 3, z 0 = 1

Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 11-5 - 01 Ασκηση 30 Βρείτε τα ελάχιστα πολυώνυµα των ακόλουθων πινάκων πραγµατικών αριθµών : 3 4 0 0 A = 4 5 0 0 1 0 3 και B = 4 0 1 0 4 1 1 1 5 0 1 1 Ασκηση 31 Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A (t) του πίνακα A = 1 3 1 0 4 0 και στη συνέχεια µε τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να υπολογίσετε τον πίνακα B = A 3 3A 4A 1 + 10A 0 A 6 + 3A 5 + 4A 4 11A 3 + 4A + 5A + I 3 Ασκηση 3 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : 4 0 A = 0 1 0 5 1 3 (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; () Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; (3) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικος ( ) 5 Ασκηση 33 Εστω A = Με τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να εκφράσετε 1 3 τον αντίστροφο του πίνακα B = A 4 + 5A 3 48A I µε τη µορφή κa + λi, κ, λ R Ασκηση 34 Εστω A ένας πίνακας µε στοιχεία από το R, και έστω k ένας ϕυσικός αριθµός, k > Με τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να αποδείξετε ότι A k = 0 = A = 0 Ασκηση 35 Εστω R(t) = a 0 + a 1 t + + a k t k ένα πολυώνυµο υπεράνω του K µε a 0 0 (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου E είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K Αν R(f) = 0, δείξτε ότι η f είναι ισοµορφισµός Να υπολογισθεί η f 1 () Αν A M n n (K) και R(A) = 0, δείξτε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και υπολογίστε τον A 1

1 Ασκηση 36 Εστω ο n n πίνακας 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 1 (1) Να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 n A είναι ταυτοδύναµος, δηλαδή ( 1 n A) = 1 n A () Να ϐρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του 1 n A (3) Να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 na είναι διαγωνοποιήσιµος Ποιά είναι η διαγώνια µορφή του ; Ασκηση 37 Εστω A M n (C) Αν η µόνη ιδιοτιµή του A είναι η λ = 0, να δειχθεί ότι A n = 0 Ασκηση 38 Θεωρούµε τον πίνακα A = 1 1 1 0 1 4 4 5 (1) Να ϐρεθεί µη-µηδενικό πολυώνυµο Q(t) έτσι ώστε Q(A) = 0 () Να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί πολυώνυµο P (t) έτσι ώστε P (A) = A 1 Ασκηση 39 Να δείξετε ότι αν A M n n (R) είναι ένας πίνακας τέτοιος ώστε A 3 = A τότε ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Αν ο A είναι πίνακας ϱητών αριθµών, δηλαδή A M n n (Q), είναι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος ; Ασκηση 40 Εστω A και B δύο όµοιοι n n πίνακες µε στοιχεία από ένα σώµα K Να δείξετε ότι οι πίνακες A και B έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο : Q A (t) = Q B (t) Ασκηση 41 Να δείξετε ότι ένας µηδενοδύναµος πίνακας A M n n (K), δηλαδή A m = O, είναι διαγωνοποιήσιµος αν και µονο αν A = O Ασκηση 4 Εστω A ένας 4 4 πίνακας πραγµατικών αριθµών για τον οποίο ισχύουν τα εξής : 1 0 0 0 0 0 1 A 0 1 = 0 0, A 0 0 = 0 0, A 0 = 4 0, A 0 = 0 4 0 0 1 1 1 1 Να ϐρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του A Ασκηση 43 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : A = 0 1 0 3 (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; () Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικός

13 Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 11-5 - 01 Ασκηση 44 Εστω η απεικόνιση, : R R R η οποία ορίζεται ως εξής : (x 1, y 1 ), (x, y ) = 5x 1 x (x 1 y + y 1 x ) + y 1 y ) (1) είξτε ότι η παραπάνω απεικόνιση ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R () Βρείτε τα µήκη των διανυσµάτων (1, 0), (0, 1), (1, 3), ( 1, ) ως προς το παραπάνω το εσωτερικό γινόµενο Ασκηση 45 Εστω R n [t] ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων ϐαθµού n, µε πραγµατικούς συντελεστές Εστω α 0, α 1,, α n ανα δύο διαφορετικοί πραγµατικοί αριθµοί είξτε ότι η σχέση P (t), Q(t) = P (α 0 )Q(α 0 ) + + P (α n )Q(α n ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στο R n [t] Να ϐρεθεί το µήκος καθενός από τα διανύσµατα της κανονικής ϐάσης B = {1, t, t,, t n } του R n [t] ως προς το παραπάνω εσωτερικό γινόµενο Ασκηση 46 Εστω B = { ε 1 = (1, 1), ε = (1, 1)} µια ϐάση του R-διανυσµατικού χώρου R Υπο- ϑέτουµε ότι η απεικόνιση, : R R R ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο επί του R έτσι ώστε : ε 1, ε 1 = ε, ε = 1, ε 1, ε = 0 Να υπολογισθούν οι αριθµοί (x 1, y 1 ), (x, y ), όπου (x 1, y 1 ), (x, y ) R Ασκηση 47 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R [t] µε εσωτερικό γινόµενο P (t), Q(t) = 1 0 P (t)q(t) dt, P (t), Q(t) R [t] και τα πολυώνυµα P (t) = 1, Q(t) = t 1, W (t) = t t + 1 6 Να υπολογίσετε τα µήκη P (t), Q(t), W (t) Ασκηση 48 Να υπολογισθεί η γωνία των διανυσµάτων x = (1, 0, 1), y = ( 1, 1, 0) R 3 ως προς το συνήθες εσωτερικό γινόµενο του R 3 Ακολούθως να ϐρείτε όλα τα διανύσµατα του R 3 τα οποία είναι κάθετα στα διανύσµατα x, y

14 Ασκηση 49 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και B = { ε 1,, ε n } µια ϐάση του E Θεωρούµε τον πίνακα : A = (a ij ), a ij = ε i, ε j, 1 i, j n Αν x, y E, να δείξετε ότι : όπου : είναι οι συνιστώσες των x, y στη ϐάση B x, y = X A Y X = (x 1 x n ) και Y = y 1 y n Ασκηση 50 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και { ε 1,, ε m } ένα ορθοκανονικό σύνολο διανυσµάτων του E Να δείξετε ότι y, ε 1 + + y, ε m y, y E Ασκηση 51 Εστω η απεικόνιση, : R 3 R 3 R η οποία ορίζεται ως εξής : (x 1, x, x 3 ), (y 1, y, y 3 ) = x 1 y 1 + x y + 3x 3 y 3 (1) είξτε ότι η παραπάνω απεικόνιση ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R 3 () Να ϐρεθούν όλα τα διανύσµατα του R 3 τα οποία είναι κάθετα, ως προς το εσωτερικό γινόµενο,, µε κάθε διάνυσµα του υπόχωρου V = {(x, y, z) x y + z = 0} Ασκηση 5 Εστω x = (x 1,, x n ) και y = (y 1,, y n ) δύο διανύσµατα του Ευκλείδειου χώρου (R n,, ), ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το κανονικό (συνηθισµένο) εσωτερικό γινόµενο Θεωρούµε τον πίνακα-γραµµή Y = (y 1 y n ) M 1 n (R) των συνιστωσών του y και τον πίνακα-στήλη X = x 1 x n M n 1 (R) των συνιστωσών του x Να υπολογίσετε το µήκος του n n πίνακα X Y M n n (R) στον Ευκλείδειο χώρο (M n n (R),, ), ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το κανονικό εσωτερικό γινόµενο, συναρτήσει των µηκών των διανυσµάτων x και y του Ευκλείδειου χώρου (R n,, ) Ποιό είναι το µήκος του πίνακα Y X;

15 Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 16-5 - 01 Ασκηση 53 Εστω V και W δυο υπόχωροι του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) (1) Αν V W να δείξετε ότι : W V () Να δείξετε ότι : (V + W) = V W (3) Αν dim R E <, να δείξετε ότι : (α ) (V ) = V (ϐ ) (V W) = V + W Ασκηση 54 Θεωρούµε τον ακόλουθο υπόχωρο του R n : V = { x = (x 1,, x n ) R n x 1 + x + + nx n = 0 } R n Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου V, όταν : (1) Ο R n είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο () Ο R n είναι εφοδιασµένος µε το εσωτερικό γινόµενο x, y = x 1 y 1 + x y + + nx n y n όπου : x = (x 1,, x n ) και y = (y 1,, y n ) Ασκηση 55 Στον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο να ϐρείτε µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου V ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα x 1 = (1, 1, 0, 0), x = (0, 1, 0, ), x 3 = (0, 0,, 1) και ακολούθως µια ορθοκανονική ϐάση του V Ασκηση 56 Θεωρούµε τους υπόχωρους V και W του R 3, όπου : V = { (x, y, z) R 3 x + y + z = 0 } και W είναι ο χώρος λύσεων του οµογενούς συστήµατος x y + 3z = 0 x + y 3z = 0 Θεωρούµε τον Ευκείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο Να ϐρεθούν : (1) Ορθοκανονικές ϐάσεις των V και W () Τις προβολές των διανυσµάτων τυχούσας ϐάσης του W στον υπόχωρο V

16 Ασκηση 57 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και τους υποχώρους του V = {(x, y, z, w) R 4 x + 3y + z = 0} W = {(x, y, z, w) R 4 x y + w = 0} (1) Να εξετάσετε αν οι V και W είναι ορθοσυµπληρωµατικοί () Βρείτε το ορθογώνιο συµπλήρωµα (V W) του υπόχωρου V W Ασκηση 58 Εστω ο Ευκλείδειος χώρος R 3 εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και έστω V = { (x, y, z) R 3 x y z = 0 } (1) Να ϐρεθούν ορθοκανονικές ϐάσεις των υποχώρων V και V () Να γραφεί το διάνυσµα x = (, 1, 0) ως x = y + z, όπου y V και z V Ασκηση 59 Εστω ο Ευκλείδειος χώρος R 3 εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και έστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x y, y z, z x) (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση της εικόνας Im(f) της f () Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του ορθοσυµπληρωµατικού υποχώρου Im(f) Ασκηση 60 Θεωρούµε έναν Ευκλείδειο χώρο (E,, ) και έστω U, V, W τρείς υπόχωροι του E εξετάσετε ποιοί από τους παρακάτω ισχυρισµούς είναι σωστοί : (1) { 0} = E () E = { 0} (3) V W = V W (4) V W και W U = V U Να Ασκηση 61 Θεωρούµε τα ακόλουθα διανύσµατα του R 4 : ε 1 = (, 3, 1, 0), ε = (7, 3, 0, 1), ε 3 = ( 1, 0, 1, 0), ε 4 = (0, 1, 1, 1) Να ϐρεθεί ένα εσωτερικό γινόµενο, στον R 4 έτσι ώστε το σύνολο B = { ε 1, ε, ε 3, ε 4 } να αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του R 4 Ασκηση 6 Εστω e ένα µοναδιαίο διάνυσµα σε έναν Ευκλείδειο χώρο (E,, ) διάνυσµα x E γράφεται µοναδικά ως εξής : x = α e + y, όπου : α R και y, e = 0 Να δείξετε ότι κάθε Ο µοναδικά προσδιορισµένος από το διάνυσµα x αριθµός α καλείται η αριθµητική προβολή του x στην διεύθυνση του e και συµβολίζεται µε : α := π e ( x) 1 Να αποδείξετε τα ακόλουθα, x, y E και r R: (1) π e ( x + y) = π e ( x) + π e ( y) () π e (r x) = rπ e ( x) (3) π e ( x) = x, e 1 Ετσι, επειδή το e είναι µοναδιαίο, η προβολή του x στο διάνυσµα e είναι το διάνυσµα Π e ( x) = π e ( x) e

17 (4) Αν B = { ε 1, ε,, ε n } είναι µια ορθοκανονική ϐάση του E, να δείξετε ότι : n n x = π εi ( x) ε i = x, ε i ε i = x, ε 1 ε 1 + x, ε ε + + x, ε n ε n i=1 i=1

18 Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 30-5 - 01 Ασκηση 63 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και ϑεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : E E, f( x) = λ x όπου λ R, λ 0 Να δείξετε ότι η f είναι ισοµορφισµός, αλλά γενικά όχι ισοµετρία Να ϐρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη έτσι ώστε η f να είναι ισοµετρία Ασκηση 64 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης (1) Αν x, y είναι δύο διανύσµατα του E έτσι ώστε x = y, να δείξετε ότι υπάρχει µια ισοµετρία f : E E, έτσι ώστε : f( x) = y () Αν x, y, z, w είναι τέσσερα διανύσµατα του E έτσι ώστε x = y και z = w να εξετασθεί αν υπάρχει ισοµετρία f : E E, έτσι ώστε : f( x) = y και f( z) = w Ασκηση 65 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης, και f : E E µια ισοµετρία Να δείξετε ότι αν V είναι ένας υπόχωρος του E, τότε : f(v) V = f(v ) V Ισχύει η αντίστροφη συνεπαγωγή ; Ασκηση 66 (1) Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και τους υποχώρους του V = {(x, y, z, w) R 4 x + 3y + z = 0} W = {(x, y, z, w) R 4 x y + w = 0} Να ϐρεθεί µια ισοµετρία f : (V,, ) (R [t],, ) και µια ισοµετρία g : (W,, ) (R 3,, ) () Να εξετασθεί αν υπάρχει ισοµετρία h: (V W,, ) (M n n (R),, ), για κατάλληλο n 1

19 Ασκηση 67 Θεωρούµε τον πίνακα A = 14 14 3 14 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Συµπληρώστε τον πίνακα A έτσι ώστε να είναι ορθογώνιος Ασκηση 68 Θεωρούµε την απεικόνιση, : R 3 R 3 R, (x1, x, x 3 ), (y 1, y, y 3 ) = 4x1 y 1 + x y + 8x 3 y 3 (1) είξτε ότι η απεικόνιση, ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R 3 () Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση ( f : R 3,, ) ( R 3,, ), f(x, y, z) = ( x, y z, ) είναι µια ισοµετρία, όπου, είναι το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο του R 3 Ασκηση 69 Να δείξετε ότι ο πίνακας A = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 παριστάνει στροφή επιπέδου περί άξονα κάθετο σ αυτό και να προσδιορίσετε τον άξονα και τη γωνία στροφής Ασκηση 70 Στον Ευκλείδειο χώρο R 3, εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, ϑεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση ( f : R 3 R 3, f(x, y, z) = 3 x + 3 y + az, 3 x 1 3 y + bz, 1 3 x + ) 3 y + cz (1) Να υπολογίσετε τις τιµές των πραγµατικών αριθµών a, b και c έτσι ώστε η f να είναι ισοµετρία η οποία παριστά στροφή επιπέδου γύρω από άξονα κάθετο σ αυτό () Αν η f είναι ισοµετρία, (α ) να υπολογίσθεί η γωνία των διανυσµάτων f(1, 0, 0) και f(0, 1, 0) (ϐ ) να ϐρεθεί το επίπεδο και ο άξονας περιστροφής του ερωτήµατος (1)

0 Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 6-6 - 01 Ασκηση 71 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι : f( x), x = 0, x E f = f Αν f = f, ποιές είναι οι πραγµατικές ιδιοτιµές της f; Ασκηση 7 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο Εστω f : R 3 R 3 η µοναδική γραµµική απεικόνιση της οποίας ο πίνακας στην κανονική ϐάση του R 3 είναι ο πίνακας A = 1 4 3 0 3 4 1 Να προσδιοριθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f : R 3 R 3 της f Ασκηση 73 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο Εστω f : R 3 R 3 µια γραµµική απεικόνιση για την οποία ισχύει : f(1, 0, 1) = (1, 4, 1), f(1, 0, 1) = ( 3, 0, 3), f(0, 1, 0) = (, 1, ) Να προσδιορισθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f : R 3 R 3 της f Ασκηση 74 Στον Ευκλείδειο χώρο M (R) εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο A, B = Tr(A tb) ϑεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : M (R) M (R), f ( ) ( x y z w = x z ) y w Να εξετάσετε αν η f είναι : (α) ισοµετρία, και (β) αυτοπροσαρτηµένη Ασκηση 75 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Εστω f, g : E E δύο γραµµικές απεικονίσεις, και λ, µ R Να δείξετε ότι : (1) (λf + µg) = λf + µg () (f ) = f

1 Ασκηση 76 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R [t] µε εσωτερικό γινόµενο P (t), Q(t) = 1 0 P (t)q(t) dt, P (t), Q(t) R [t] Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : R [t] R [t] της οποίας ο πίνακας στην κανονική ϐάση B = { 1, t, t } του R [t] είναι ο πίνακας : A = 1 1 0 1 1 0 1 1 Να προσδιορίσετε τη προσαρτηµένη απεικόνιση f : R [t] R [t] της f Ασκηση 77 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και f γραµµική απεικόνιση, έτσι ώστε : f = f : E E µια (1) Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση Id E + f : E E είναι ισοµορφισµός () Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση (Id E f) (Id E + f) 1 : E E είναι ισοµετρία Ασκηση 78 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης, και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι : (1) Ker(f ) = Im(f) () Ker(f) = Im(f ) (3) Im(f ) = Ker(f) (4) Im(f) = Ker(f ) (5) Αν V είναι ένας υπόχωρος του E, τότε : f(v) V f (V ) V

Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 13-6 - 01 Ασκηση 79 Θεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών A = a 4 4 4 8 8 4 8 b (1) Να προσδιορισθούν οι αριθµοί a, b, έτσι ώστε ο πίνακας A να έχει ως ιδιοτιµή το 0 µε πολλαπλότητα () Για τις τιµές των a, b που ϑα ϐρείτε, να υπολογίσετε ορθογώνιο πίνακα P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι διαγώνιος (3) Να υπολογίσετε τον πίνακα A m, m 1 Ασκηση 80 Να πρσδιορισθεί ο αριθµός a έτσι ώστε ο πίνακας A = 1 a a a 4 4 a 4 4 να είναι µη-αρνητικός Ασκηση 81 Θεωρούµε τον πίνακα 0 7 A = 0 1 0 7 9 0 Να ϐρεθεί πίνακας B M 3 3 (R), έτσι ώστε : B 3 = A 9 Ασκηση 8 Θεωρούµε τον πίνακα A = 3 0 1 0 0 1 0 3 (1) Να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι ϑετικός () Να ϐρείτε συµµετρικό και αντιστρέψιµο πίνακα B έτσι ώστε : A = B Ασκηση 83 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και f : E E µια αυτοπροσαρτηµένη γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι αν f n = 0, τότε f = 0 ( f n = f f f είναι η σύνθεση της f µε τον εαυτό της n-ϕορές )

Ασκηση 84 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και f γραµµική απεικόνιση 3 : E E µια (1) Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση f f : E E είναι αυτοπροσαρτηµένη και µη-αρνητική () Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση f f είναι ϑετική αν και µόνον αν η f είναι ισοµορφισµός Ασκηση 85 Εστω A M n n (R) ένας αντισυµµετρικός πίνακας Να δείξετε ότι υπάρχει ορθογώνιος πίνακας P και πίνακας B µε την ιδιότητα ο πίνακας B να είναι διαγώνιος, έτσι ώστε : P 1 B P = A Ασκηση 86 Να αναχθεί η τετραγωνική µορφή q : R 3 R, q(x, y, z) = 7 x + 7 y + 5z xy xz + yz στους κύριους άξονές της, οι οποίοι και να ϐρεθούν Ασκηση 87 Να προσδιορισθεί το είδος των καµπύλων οι οποίες ορίζονται από τις εξισώσεις : (C 1 ) : xy = 1 (C ) : 5x 4xy + 8y = 1 Ασκηση 88 Να προσδιορισθεί το είδος της τετραγωνικής επιφάνειας η οποία ορίζεται από την εξίσωση : (S) : 9x 4xy + 6y + 3z + 5x + 4 5y + 1z + 16 = 0 Ασκηση 89 Θεωρούµε την τετραγωνική µορφή q : R 3 R, q(x, y, z) = 3x + 3y + z xy (1) Να αναχθεί η τετραγωνική µορφή q στους κύριους άξονές της, οι οποίοι και να ϐρεθούν () Να προσδιορισθεί το είδος της τετραγωνικής επιφάνειας η οποία ορίζεται από την εξίσωση : (S) : 3x + 3y + z xy = 8 (3) Να δείξετε ότι ο πίνακας A της τετραγωνικής µορφής q είναι ϑετικός και στη συνέχεια να ϐρεθεί συµµετρικός και αντιστρέψιµος πίνακας B έτσι ώστε : B = A

4 Μέρος Πρόχειρες οκιµασίες στην Τάξη Προχειρη οκιµασια 1 1-3 - 01 οκιµασία 1 ϑεωρούµε τους ακόλουθους υποχώρους του R 4 : V = { (x 1, x, x 3, x 4 ) R 4 x x 3 + x 4 = 0 } W = { (x, x, x, x) R 4 x R } (1) Να εξετασθεί αν ισχύει ότι R 4 = V W () Αν R 4 V W, να ϐρεθούν υπόχωροι U και Z του R 4 έτσι ώστε : R 4 = V U = W Z Προχειρη οκιµασια 8-3 - 01 οκιµασία ϑεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : A = 1 3 3 0 1 0 3 4 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του A και ϐάσεις των αντίστοιχων ιδιοχώρων Προχειρη οκιµασια 3 4-4 - 01 οκιµασία 3 Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση : f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x + kz, ky, ky + z) Να ϐρεθούν οι τιµές του k R για τις οποίες η f είναι διαγωνοποιήσιµη

Προχειρη οκιµασια 4-5 - 01 5 οκιµασία 4 ϑεωρούµε έναν πίνακα A M 3 3 (R) για τον οποίο ισχύει ότι : A 5A + 6I 3 = O (1) Να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος () Να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος (3) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος A 1 συναρτήσει των πινάκων A και I 3 Προχειρη οκιµασια 5 11-5 - 01 οκιµασία 5 Να εξετασθεί αν οι παρακάτω απεικονίσεις ορίζουν εσωτερικό γινόµενο στον R-διανυσµατικό χώρο M n n (R) των n n πινάκων :, 1 : M n n (R) M n n (R) R, A, B 1 = det(a B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = Tr(A B), 3 : M n n (R) M n n (R) R, A, B 3 = Tr(A + B), 4 : M n n (R) M n n (R) R, A, B 4 = det(a + B) Προχειρη οκιµασια 6 3-5 - 01 οκιµασία 6 Εστω ο Ευκλείδειος χώρος (R 4,, ), όπου, είναι το κανονικό (συνηθισµένο) εσωτερικό γινόµενο Θεωρούµε τον ακόλουθο υπόχωρο V του Ευκλείδειου χώρου R 4 : V = { (x, y, z, w) R 4 x y z = 0 και y z w = 0 } 1 Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του V Να ϐρεθεί ο ορθογώνιος υπόχωρος V του V Προχειρη οκιµασια 7 30-5 - 01 οκιµασία 7 (1) Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και υποθέτουµε ότι B = { } e 1, e, e 3, e 4 µια ορθοκανονική ϐάση του E Εστω f : E E η µοναδική γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε : f( e 1 ) = e, f( e ) = e 3, f( e 3 ) = e 4, f( e 4 ) = e 1 Να εξετάσετε αν η f είναι ισοµετρία () Να εξετασθεί αν το άθροισµα f + g δύο ισοµετριών f, g : E E είναι ισοµετρία

6 (3) Να εξετασθεί αν το άθροισµα A + B ή A + B, όπου A και B είναι δύο n n ορθογώνιοι πίνακες, είναι ορθογώνιος πίνακας Προχειρη οκιµασια 8 6-6 - 01 οκιµασία 8 Να δείξετε ότι ο πίνακας 1/ 1/ / A = 1/ 1/ / / / 0 παριστάνει στροφή επιπέδου (Π) κατά γωνία ϑ, γύρω από άξονα (ε) ο οποίος είναι κάθετος στο (Π) Στη συνέχεια να ϐρεθούν : (1) Η γωνία στροφής ϑ () Ο άξονας (ε) (3) Το επίπεδο (Π) Προχειρη οκιµασια 9 13-6 - 01 οκιµασία 9 Να δείξετε ότι ο πίνακας πραγµατικών αριθµών ( ) 3 1 A = 1 3 είναι ϑετικός και ακολούθως να ϐρεθεί µια τετραγωνική ϱίζα A του A Επιπρόσθετα να δείξετε ότι : { A ( 1 1 1 1 ) }01 = 1005 ( ) 1 1 1 1 Προχειρη οκιµασια 10 0-6 - 01 οκιµασία 10 Να ϐρεθούν οι κύριοι άξονες της τετραγωνικής µορφής q : R 3 R, q(x, y, z) = xy + yz

7 Μέρος 3 Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebraii/laiihtml 1-3 - 01 Ασκηση 90 Εστω ε 1 = (1, 1, 1), ε = (1, 0, 1) R 3 Αν V = ε 1, ε, να ϐρεθεί υπόχωρος W του R 3 έτσι ώστε R 3 = V W Ασκηση 91 Στον διανυσµατικό χώρο M n n (K) ϑεωρούµε τα ακόλουθα υποσύνολα : V = { A = (a ij ) M n n (K) a ij = 0, i, j = 1,, n, j i } W = { A = (a ij ) M n n (K) a ij = 0, i, j = 1,, n, i j } Z = { A = (a ij ) M n n (K) a ij = 0, i, j = 1,, n, i j } Να δείξετε ότι τα υποσύνολα V, W, Z είναι υπόχωροι του M n n (K) και ακολούθως να δείξετε ότι : M n n (K) = V Z W Ασκηση 9 Θεωρούµε τους ακόλουθους υπόχωρους του R n : V = { (x 1, x,, x n ) R n x 1 + x + + x n = 0 } Να δείξετε ότι R n = V W W = { (x 1, x,, x n ) R n x 1 = x = = x n } Ασκηση 93 Θεωρούµε τους ακόλουθους υποχώρους του R 3 : W 1 = { (a, b, 0) R 3 a, b R } να εξετασθεί αν ισχύει ότι : R 3 = W 1 W W 3 W = { (0, 0, c) R 3 c R } W 3 = { (d, 0, d) R 3 d R }

8 Ασκηση 94 Θεωρούµε τις ακόλουθες γραµµικές απεικονίσεις f i : R 3 R 3, i = 1,, 3, 4: Να δείξετε ότι, i = 1,, 3, 4: f 1 (x, y, z) = (x + y, y + z, z + x) f (x, y, z) = (x y, y z, 0) f 3 (x, y, z) = ( y, x, z) f 4 (x, y, z) = (x, y, y) R 3 = Im(f i ) Ker(f i ) Ασκηση 95 Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω από το σώµα K µε dim K E <, και f : E E µια γραµµική απεικόνιση (1) Αν dim K Ker(f) = dim K Ker(f ), τότε : E = Ker(f) Im(f) () Αν dim K Im(f) = dim K Im(f ), τότε : E = Ker(f) Im(f) Ασκηση 96 Εστω f : E F και g : F G γραµµικές απεικονίσεις µεταξύ διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ένός σώµατος K Συµβολίζουµε µε r(f) = dim K Im(f) και r(g) = dim K Im(g) τη ϐαθµίδα των f και g αντίστοιχα (1) Να δείξετε ότι r(g f) = r(f) αν και µόνο αν Im(f) Ker(g) = { 0} () Να δείξετε ότι r(g f) = r(g) αν και µόνο αν Im(f) + Ker(g) = F (3) Να δείξετε ότι r(f) = r(g f) = r(g) αν και µόνο αν F = Im(f) Ker(g) Ασκηση 97 Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ των K-διανυσµατικών χώρων πεπε- ϱασµένης διάστασης E και F Υποθέτουµε ότι η f είναι µονοµορφισµός (1) Να δείξετε ότι υπάρχει µια γραµµική απεικόνιση g : F E έτσι ώστε : g f = Id E () Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφσιµός : E = Im(f) Ker(g) Ασκηση 98 Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω του σώµατος K Συµβολίζουµε µε f k = f f f (k-ϕορές) την σύνθεση της f µε τον εαυτό της k-ϕορές, όπου k 1 (1) Να δείξετε ότι υπάρχει µια (αύξουσα) ακολουθία υποχώρων του E: { 0} Ker(f) Ker(f ) Ker(f k ) Ker(f k+1 ) E για την οποία υπάρχει κ 0 έτσι ώστε : Ker(f κ ) = Ker(f κ+1 ) = Ker(f κ+ ) = () Να δείξετε ότι υπάρχει µια (ϕθίνουσα) ακολουθία υποχώρων του E: { 0} Im(f λ+1 ) Im(f λ ) Im(f ) Im(f) E για την οποία υπάρχει λ 0 έτσι ώστε : Im(f λ ) = Im(f λ+1 ) = Im(f λ+ ) = (3) Να δείξετε ότι υπάρχει m 1 έτσι ώστε : E = Ker(f m ) Im(f m ) Υπόδειξη: Θέτουµε m = max{κ, λ}, όπου τα κ και λ είναι όπως στο (1) και () αντίστοιχα

9 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 8-3 - 01 Ασκηση 99 Αν n 1, να υπολογισθούν οι ιδιοτιµές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του n n-πίνακα 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 1 Ασκηση 100 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και ϐάσεις για τους αντίστοιχους ιδιοχώρους της γραµµικής απεικόνισης f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (y, x + z, y) Ασκηση 101 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και οι ιδιοχώροι του πίνακα ( ) 1 1 A = 1 0 Ασκηση 10 Θεωρούµε το πολυώνυµο P (t) = ( 1) n( a 0 + a 1 t + + a n 1 t n 1 + t n) K[t] και τον πίνακα 0 0 0 0 0 a 0 1 0 0 0 0 a 1 0 1 0 0 0 a A = 0 0 0 0 0 an 3 0 0 0 1 0 a n 0 0 0 0 1 a n 1 ο οποίος καλείται ο συνοδεύων πίνακας του πολυωνύµου P (t) Να δείξετε ότι P A (t) = A ti n = ( 1) n( a 0 + a 1 t + + a n 1 t n 1 + t n) Ασκηση 103 Με τη ϐοήθεια της σκησης 4 να ϐρείτε το πολυώνυµο A ti 4, όπου A είναι ο πίνακας 0 0 0 A = 1 0 0 4 0 1 0 8 0 0 1 3

30 Ασκηση 104 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και ϐάσεις για τους αντίστοιχους ιδιοχώρους της γραµµικής απεικόνισης ( ) ( ) a b a b + c f : M (R) M (R), f = c d 5b + c d Ασκηση 105 Εστω A M n n (R) µε την ιδιότητα ότι A = I n Να υπολογίσετε τις ιδιοτιµές του πίνακα A και να αποδείξετε ότι ο n δεν µπορεί να είναι περιττός αριθµός Ασκηση 106 Θεωρούµε ένα πίνακα A M n n (R) µε ϑετικές ιδιοτιµές Να εξετάσετε αν ο πίνακας A+I είναι αντιστρέψιµος Ασκηση 107 Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : M (R) M (R), f(a) = t A Να ϐρείτε τις ιδιοτιµές της f και ϐάσεις των αντίστοιχων ιδιοχώρων Ασκηση 108 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου E είναι ένας K-διανυσµατικός χώρος Υποθέτουµε ότι κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα του E είναι ιδιοδιάνυσµα της f Να δείξετε ότι υπάρχει λ K έτσι ώστε f( x) = λ x, x E Ασκηση 109 Εστω A ένας n n-πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Υποθέτουµε ότι το άθροισµα των στοιχείων καθεµιάς γραµµής του είναι ίσο µε 1 (1) Να δείξετε ότι το 1 είναι ιδιοτιµή του A () Αν κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα στήλη του χώρου K n είναι ιδιοδιάνυσµα του A, να δείξετε ότι ο A είναι ο µοναδιαίος πίνακας : A = I n

31 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 4-4 - 01 Ασκηση 110 Θεωρούµε τον πίνακα A = Να υπολογισθεί ο πίνακας A 011 (A I ) 01 ( 1 ) 3 Ασκηση 111 Να ϐρεθεί ένας 3 3-πίνακας A για τον οποίο τα διανύσµατα στήλες X = 1 1, Y = 1 1, Z = 1 1 1 0 0 είναι ιδιοδιανύσµατα του A µε αντίστοιχες ιδιοτιµές 1, 1 και 0 Ασκηση 11 Να εξετασθεί εαν ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιµος A = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0 Ασκηση 113 Θεωρούµε τη γραµµική απεινόνιση f : R 3 R 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (3x + y z, x + 3y + z, x + y + 3z) Να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη και ακολούθως να την διαγωνοποιήσετε Ασκηση 114 Να ϐρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες τις οποίες πρέπει να πληρούν τα α, β, γ R έτσι ώστε ο πίνακας A = 3 α β 0 3 γ 0 0 να είναι διαγωνοποιήσιµος

3 Ασκηση 115 Να εξετασθεί ως προς τη διαγωνοποίηση ο πίνακας µιγαδικών αριθµών A = 0 i i i 0 i i i 0 Ασκηση 116 Να υπολογισθεί η m-οστή δύναµη A m, m 1, του πίνακα A = 1 3 6 6 Ασκηση 117 Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση είναι διαγωνοποιήσιµη f : M n n (K) M n n (K), A f(a) = t A Ασκηση 118 Εστω A M n (K) Υποθέτουµε ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος και η µοναδική ιδιοτιµή του είναι το λ K Να δείξετε ότι λ 0 0 0 λ 0 A = 0 0 0 λ Ασκηση 119 Εστω (x n ) n 0, (y n ) n 0 και (z n ) n 0 ακολουθίες πραγµατικών αριθµών έτσι ώστε x n = x n 1 + y n 1 z n 1 y n = x n 1 + 3y n 1 z n 1 z n = x n 1 + z n 1 για κάθε n 1 Αν x 0 = 1, y n = 0, z n = 1, να ϐρεθούν οι ακολουθίες (x n ) n 0, (y n ) n 0, (z n ) n 0

Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 33-5 - 01 Ασκηση 10 ίνεται ο πίνακας Ποιο είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; A = 4 3 0 0 0 1 5 Ασκηση 11 (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεκόνιση Αν f = f να υπολογισθεί το ελάχιστο πολυώνυµο της f () Αν A M n n (K) µε A = A, να υπολογισθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του A Ασκηση 1 Να προσδιοριστούν οι πίνακες A M n n (K) των οποίων το ελάχιστο πολυώνυµο είναι της µορφής Q A (t) = t λ Ασκηση 13 Να ϐρείτε όλους τους πίνακες A M (R) που είναι διαγωνιοποιήσιµοι και ικανοποιούν τη σχέση A 3A + I = 0 Ασκηση 14 Να δείξετε ότι αν A M n n (R) είναι ένας πίνακας τέτοιος ώστε A 3 = 7A τότε ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Είναι ο A διαγωνοποιήσιµος όταν ϑεωρηθεί ως πίνακας ϱητών αριθµών ; Ασκηση 15 Εστω k 1 και A ο n n πίνακας k k k k k k A = k k k (1) Να ϐρεθεί το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A () Να εξετάσετε αν ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος (3) Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A;

34 Ασκηση 16 Ενας πίνακας B = (b ij )M n n (K) καλείται δίκαιος αν : (a) b ij > 0, i, j = 1,,, n (b) b ij b jk = b ik, i, j, k = 1,,, n Για τους δίκαιους πίνακες να δείξετε τα ακόλουθα : (1) Να δείξετε ότι ο πίνακας 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 1 είναι δίκαιος () Να δείξετε ότι αν B είναι ένας δίκαιος πίνακας, τότε : B = nb (3) Κάθε δίκαιος πίνακας είναι όµοιος µε τον A (4) Να δείξετε ότι κάθε δίκαιος πίνακας B είναι διαγωνοποιήσιµος και να προσδιορισθεί ένας αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 BP να είναι διαγώνιος Ποιά είναι η διαγώνια µορφή του ; Ασκηση 17 Εστω R(t) K[t] ένα πολυώνυµο το οποίο έχει όλες τις ϱίζες του στο σώµα K και καθε ϱίζα έχει πολλαπλότητα 1, δηλαδή το R(t) αναλύεται σε γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E < Αν R(f) = 0, να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη () Εστω A M n n (K) Αν R(A) = 0, να δείξετε ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 18 Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A δείξτε ότι ο A και ο t A έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο και το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο Ασκηση 19 Αν οι αριθµοί λ 1,, λ n είναι όλες οι ιδιοτιµές του διαγωνοποιήσιµου πίνακα A, τότε να δείξετε οτι οι αριθµοί λ 1,, λ n είναι όλες οι ιδιοτιµές του πίνακα A Ισχύει αυτό το συµπέρασµα αν ο A δεν είναι διαγωνοποιήσιµος ; Ασκηση 130 Εστω k 1 ένας ϕυσικός αριθµός (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E = n Να δείξετε ότι : f k = 0 = f n = 0 () Εστω A M n n (K) Να δείξετε ότι : A k = 0 = A n = 0 Ασκηση 131 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : A = 1 0 0 1 1 0 4 (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ;

35 () Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; (3) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικός Ασκηση 13 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα µιγαδικών αριθµών : A = 0 i i i 0 i i i 0 (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; () Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; (3) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικος Οι παρακάτω δύο ασκήσεις είναι αυξηµένης δυσκολίας Ασκηση 133 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E < Να δείξετε ότι η f µπορεί να γραφεί ώς ευθύ άθροισµα κατάλληλων γραµµικών απεικονίσεων : f = g + h όπου V και W είναι κατάλληλοι υπόχωροι του E έτσι ώστε E = V W και : (1) η γραµµική απεικόνιση g : V V είναι ισοµορφισµός () η γραµµική απεικόνιση h : W W είναι µηδενοδύναµη, δηλ h m = 0, για κάποιο m 1 Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε την σκηση 9 του Φυλλαδίου 1 Ασκήσεων πρός Λύση Ασκηση 134 Εστω A M n n (K) ένας τετραγωνικός πίνακας Να δείξετε ότι ο A µπορεί να γραφεί ώς ευθύ άθροισµα πινάκων : A = B + C όπου για κατάλληλα 1 r, s n έτσι ώστε s + r = n: (1) ο B είναι αντιστρέψιµος s s πίνακας () ο C είναι µηδενοδύναµος r r πίνακας, δηλ C m = 0, για κάποιο m 1 Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε την Ασκηση 14 παραπάνω

36 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 11-5 - 01 Ασκηση 135 Να δείξετε ότι η απεικόνιση, : R R R η οποία ορίζεται ως εξής : ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R (x 1, x ), (y 1, y ) = x 1 y 1 + x 1 y + x y 1 + 5x y Ασκηση 136 Θεωρούµε τα ακόλουθα διανύσµατα του R 4 : x 1 = (, 3, 1, 0), x = (7, 3, 0, 1), x 3 = ( 1, 0, 1, 0), x 4 = (0, 1, 1, 1) Να ϐρεθεί ένα εσωτερικό γινόµενο, : R 4 R 4 R έτσι ώστε τα { x 1, x, x 3, x 4 } να αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του Ευκλείδειου χώρου (R 4,, ) Ασκηση 137 Εστω ( ) x y A = z w ένας πίνακας πραγµατικών αριθµών Να δείξετε ότι η απεικόνιση, : R R R, (a 1, a ), (b 1, b ) = (a 1 a ) A ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο επί του R αν και µόνον αν ο πίνακας A είναι συµµετρικός και ισχύει : x, w, xw y > 0 ( b1 b ) Ασκηση 138 Εστω x, y R n µε x 0 και y 0 Να δείξετε ότι (1) x = a y όπου a > 0 αν και µόνο αν η γωνία την οποια σχηµατίζουν τα x, y είναι ίση µε 0 () x = a y όπου a < 0 αν και µόνο αν η γωνία την οποια σχηµατίζουν τα x, y είναι ίση µε π Ασκηση 139 Να ϐρεθούν όλα τα διανύσµατα τα οποία είναι κάθετα προς τα : (1) x = ( 1, 1,, 1) R 4 () x = t R 3 [t] Ασκηση 140 Εστω { e 1,, e n } µια ϐάση του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) και x E Να δείξετε ότι x, e i = 0 για κάθε i = 1,,, n αν και µόνο αν x = 0

37 Ασκηση 141 Χρησιµοποιώντας ιδιότητες του Ευκλείδειου χώρου R n, ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, να δείξετε ότι αν a 1,, a n είναι ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί τότε n (a 1 + + a n )( 1 a 1 + + 1 a n ) Ασκηση 14 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και x, y E Να δείξετε ότι : x, y = 0 x x + λ y, λ R Ασκηση 143 Να εξετασθεί αν οι παρακάτω απεικονίσεις ορίζουν εσωτερικό γινόµενο :, : M n n (R) M n n (R) R, A, B = det(a B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = Tr(A B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = Tr(A + B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = det(a + B) Ασκηση 144 Στον Ευκλείδειο χώρο (R 3,, ), ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, ϑεωρούµε δύο διανύσµατα x και y Αν x y είναι το εξωτερικό γινόµενο των x και y, να δείξετε ότι : x y = x y x, y

38 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 16-5 - 01 Ασκηση 145 Εστω B = { } e 1,, e n µια ορθοκανονική ϐάση του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) προκύπτει µε την εφαρµογή της διαδικασίας Gram-Schmidt στο σύνολο B; Τι Ασκηση 146 Στον Ευκλείδειο χώρο R 3, εφοδιασµένον µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, να ϐρείτε µια ορθοκανονική ϐάση του υποχώρου V ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα : x = (1, 1, 0, 1), y = ( 1, 0, 0, ), z = (1, 0,, 1) Ασκηση 147 Να επεκταθεί σε µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 το σύνολο διανυσµάτων { x 1, x }, όπου : x 1 = ( 1 1 ), 0,, x = (0, 1, 0) Ασκηση 148 Θεωρούµε τα ακόλυθα διανύσµατα του R 4 : x = (, 1, 3, 1), y = (7, 4, 3, 3), z = (1, 1, 6, 0), w = (5, 7, 7, 8) Με την διαδικασία Gram-Schmidt, να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου V ο οποίος παράγεται από τα παραπάνω διανύσµατα Ασκηση 149 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο M (R), εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω οι ακόλουθοι πίνακες πραγµατικών αρθµών : ( ) ( ) 1 1 1 0 A = και B = 0 1 1 0 Εστω V ο υπόχωρος του M (R) ο οποίος παράγεται από τους πίνακες A και B (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονονική ϐάση B 1 του V () Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση B του V (3) Να συµπληρωθεί η B 1 σε µια ορθοκανονική ϐάση B του M (R) (4) Να ϐρεθεί η ορθογώνια προβολή του πίνακα ( ) 1 1 X = 1 1 στον υπόχωρο V

39 Ασκηση 150 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και { ε 1,, ε m } ένα ορθοκανονικό σύνολο διανυσµάτων του E Εστω y E Αν dim R E = n <, τότε να δείξετε ότι στην ανισότητα ισχύει η ισότητα αν και µόνον αν m = n y, ε 1 + + y, ε m y Ασκηση 151 ίνεται ο υπόχωρος του R 4 : V = { (x, y, z, w) R 4 x y z = 0, y z w = 0 } (1) Να ϐρεθούν δυο διαφορετικοί υπόχωροι V 1 και V του R 4 διάστασης 3 έτσι ώστε V = V 1 V () Να ϐρεθεί ένα ορθογώνιο συµπλήρωµα του V 1 και ένα ορθογώνιο συµπλήρωµα του V στον R 4, ως προς το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο του R 4 (3) Είναι το u = (0, 0, 1, 1) στοιχείο του V; Αν όχι ϐρείτε την προβολή του u στον V Ασκηση 15 Θεωρούµε τους Ευκλείδειους χώρους R 4 και R 3, εφοδιασµένους µε το συνηθισµένο εσωτε- ϱικό γινόµενο, και έστω η γραµµική απεικόνιση : f : R 4 R 3, f(x, y, z, w) = (x + y, z + w, x + z) (1) Να ϐρεθούν ορθοκανονικές ϐάσεις των υποχώρων Ker(f) και Ker(f) () Να ϐρεθούν οι ορθογώνιες προβολές το διανύσµατος στους υποχώρους Ker(f) και Ker(f) z = (5,, 1, 4) Ασκηση 153 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3, εφοδιασµένον µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω V = { (x, y, z) R 3 x 5y z = 0 } (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 η οποία να περιέχει δύο διανύσµατα του V () Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 η οποία να περιέχει ένα διανύσµα του V Ασκηση 154 Εστω a 1, a,, a n, b 1, b,, b n, και c 1, c,, c n πραγµατικοί αριθµοί Αν c 1, c,, c n > 0, να δείξετε ότι : n c i a i b i n c i a i n c i b i i=1 i=1 i=1 Ασκηση 155 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Να δείξετε την ισότητα του Απολλώνιου : z x + z y = 1 x y + z 1 ( x + y z, x, y E

40 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 30-5 - 01 Ασκηση 156 Να ορίσετε µια ισοµετρία από τον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, στον Ευκλείδειο χώρο M (R) ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο A, B = Tr(A tb) Υπάρχει ισοµετρία από τον R 3 στον Ευκλείδειο χώρο M n n (R), για κατάλληλο n; Ασκηση 157 Να δείξετε ότι ο πραγµατικός πίνακας ( ) 1/ 3/ A = 3/ 1/ παριστάνει συµµετρία ως προς άξονα ο οποίος και να ϐρεθεί Ασκηση 158 Να συµπληρωθεί ο ακόλουθος πίνακας A σε έναν 3 3 ορθογώνιο πίνακα A = 1 1 0 0 1 0 Ασκηση 159 Στον διανυσµατικό χώρο R ϑεωρούµε την απεικόνιση, : R R R, (x, y), (x, y ) = xx yx xy + 4yy (1) Να δειξετε ότι η παραπάνω( απεικόνιση είναι ένα εσωτερικό γινόµενο στον R () Να ορίσετε ισοµετρία f : R,, ) ( R 1 [t],, ), όπου, συµβολίζει το συνηθισµένο εσωτε- ϱικό γινόµενο του R 1 [t] Ασκηση 160 Εστω B = { e 1, e, e 3, e 4 } µια ορθοκανονική ϐάση του Ευκλειδείου χώρου E Αν f : E E είναι η µοναδική γραµµική απεικόνιση, έτσι ώστε να εξετάσετε αν η f είναι ισοµετρία f( e 1 ) = e, f( e ) = e 3, f( e 3 ) = e 4, f( e 4 ) = e 1 Ασκηση 161 Εστω A = (a ij ) M n n (R) ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει : a ij = 1 4 ή a ij = 1 4 Αν ο A είναι ορθογώνιος, να ϐρεθεί το n

41 Ασκηση 16 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και τη γραµµική απεικόνιση ( ) f : R 3 R 3, f(x, y, z) = x, y + z, y + z (1) είξτε ότι η f είναι ισοµετρία και υπολογίστε την γωνία µεταξύ των διανυσµάτων f(3, 7, 1) και f(, 1, 3) () Τι παριστάνει η ισοµετρία f γεωµετρικά ; (εξηγήστε χωρίς απόδειξη) Ασκηση 163 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Μια γραµµική απεικόνιση f : E E καλείται απεικόνιση οµοιότητας αν : υπάρχει λ R \ {0} : f( x) = λ x, x E είξτε ότι µια µη-µηδενική γραµµική απεικόνιση f : E E είναι απεικόνιση οµοιότητας αν και µόνον αν : x y = f( x) f( y), x, y E Τι µορφή έχει ο πίνακας µιας οµοιότητας σε µια ορθοκανονική ϐάση του E; Ασκηση 164 (1) Να εξετασθεί αν το άθροισµα f + g δύο ισοµετριών f, g : E E είναι ισοµετρία () Να εξετασθεί αν το άθροισµα A + B δύο ορθογωνίων πινάκων A, B M n n (R) είναι ορθογώνιος πίνακας

4 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 6-6 - 01 Ασκηση 165 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R n, εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω η γραµµική απεικόνιση f : R n R n, f(x 1, x,, x n ) = (0, x 1, x,, x n 1 ) Να προσδιορισθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f : R n R n της f Ασκηση 166 Να προσδιορισθούν οι προσαρτηµένες απεικονίσεις f και g των γραµµικών απεικονίσεων : g : R R, f(x, y) = (x + 3y, x + y) f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x y + z, x + y, z x) Ασκηση 167 Εστω { e 1, e, e 3, e 4 } µια ορθοκανονική ϐάση του Ευκλειδείου χώρου E Αν f : E E είναι µια γραµµική απεικόνιση, έτσι ώστε f( e 1 ) = e, f( e ) = e 3, f( e 3 ) = e 4, f( e 4 ) = e 1 Να προσδιορισθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f της f Ασκηση 168 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι η f είναι ισοµετρία αν και µόνο αν f f = Id E Ασκηση 169 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Να δείξετε ότι για κάθε γραµµική απεικόνιση f : E E, υπάρχουν γραµµικές απεικονίσεις g, h : E E έτσι ώστε : f = g + h, όπου : g = g και h = h Επιπλέον αν g, h : E E είναι γραµµικές απεικονίσεις, έτσι ώστε f = g + h, όπου : (g ) = g και (h ) = h, τότε g = g και h = h Ασκηση 170 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι αν η f ικανοποιεί δύο από τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες : (1) η f είναι αυτοπροσαρτηµένη () η f είναι ισοµετρία (3) f = Id E τότε ικανοποιεί και την τρίτη Τι µορφή έχει η f αν ικανοποιούνται οι παραπάνω ιδιότητες

43 Ασκηση 171 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Εστω f, g : E E δύο γραµµικές απεικονίσεις, και λ, µ R Να δείξετε ότι : (1) (f g) = g f () Η f είναι ισοµορφισµός αν και µόνο αν η προσαρτηµένη της f είναι ισοµορφισµός Αν η f είναι ισοµορφισµός, να δείξετε ότι : (f ) 1 = (f 1 ) Ασκηση 17 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Αν f : E E είναι µια γραµµική απεικόνιση, για την οποία ισχύει : f f = f f να δείξετε ότι : f( x) = 0 = f ( x) = 0

44 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml 13-6 - 01 Ασκηση 173 Θεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών 7/ 1/ 1 A = 1/ 7/ 1 1 1 5 Να ϐρεθεί ορθογώνιος πίνακας P έτσι ώστε : P 1 A P να είναι διαγώνιος Ασκηση 174 Θεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών A = 1 1 0 1 1 0 1 1 Να ϐρεθεί ορθογώνιος πίνακας P έτσι ώστε : P 1 A P να είναι διαγώνιος Ασκηση 175 Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι ϑετικοί ή µη-αρνητικοί : ( ) ( ) 1 1 1,, 1 3 0 1 1 1 3 1 1 Ασκηση 176 Εστω A, B δυο συµµετρικοί n n πίνακες πραγµατικών αριθµών Αν οι πίνακες A, B είναι ϑετικοί, να δείξετε ότι και ο πίνακας κa + λb είναι ϑετικός, για κάθε Ϲεύγος µη-αρνητικών πραγµατικών αριθµών (κ, λ) (0, 0) Ασκηση 177 Εστω A M n n (R) ένας συµµετρικός πίνακας Αν A = A, να δείξετε ότι : (1) Οι ιδιοτιµές του A είναι 0 ή 1 () Η ϐαθµίδα r(a) του A είναι ίση µε το ίχνος Tr(A) του A (3) Πότε ο A είναι ϑετικός ; Ασκηση 178 Εστω A M n n (R) ένας συµµετρικός πίνακας Αν A 3 = A, να δείξετε ότι A = A Ασκηση 179 Εστω A M n n (R) ένας συµµετρικός ορθογώνιος πίνακας Αν A > 0, να δείξετε ότι A = I n