ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ένς Πίνκς συντελεστών Α µπορεί ν έχει ντίστροφο δηλδή, µπορεί ν είνι «µηιδιάζων» µόνο εάν είνι τετργωνικός Η συνθήκη τετργωνικότητς είνι νγκί λλά όχι κι ικνή γι την ύπρξη ντιστρόφου Α - Ένς πίνκ µπορεί ν είνι τετργωνικός λλά χωρίς ντίστροφο ιδιάζων Ανγκί κι ικνή συνθήκη γι την ντιστροφή ενός πίνκ είνι η τετργωνικότητ κι η γρµµική νεξρτησί των γρµµών στηλών του πίνκ
Γρµµική νεξρτησί: u u u ku ν είνι k γι όλ τ Ο Έλεγχος της τετργωνικότητς ενός πίνκ είνι εύκολος: ριθµός στηλώνριθµό γρµµών Ο Έλεγχος της γρµµικής νεξρτησίς γίνετι µε την βοήθει της Ορίζουσς Η Ορίζουσ ενός τετργωνικού πίνκ Α, είνι ένς µονδικά ορισµένος ριθµός που συνδέετι µε υτόντονπίνκ Οι ορίζουσες ορίζοντι µόνο γι τετργωνικούς πίνκες Ορίζουσ ης τάξης
ΤΑΞΗ ΕΝΌΣ ΠΙΝΑΚΑ r RNK OF TRX Η τάξη ενός Πίνκ είνι ο µέγιστος ριθµός των γρµµικά νεξάρτητων γρµµών του Α Αν ο µέγιστος ριθµός των γρµµικά νεξάρτητων γρµµών σε ένν πίνκ είνι r τότε η τάξη του πίνκ είνι ίση µε r Η τάξη ενός πίνκ διστάσεων mx µπορεί ν είνι το πολύ m ή, όποιο είνι µικρότερο rα m{m,} Η µέθοδος νεύρεση της τάξης ενός πίνκ δηλδή του ριθµού των νεξάρτητων γρµµικά γρµµών, είνι ο µετσχηµτισµός του πίνκ σε υτό που ονοµάζετι στοιχειώδης πίνκς µε την χρήση «στοιχειωδών γρµµοπράξεων» Υπάρχουν µόνο τρείς τύποι στοιχειωδών γρµµοπράξεων σ ένν πίνκ Ενλλγή οποιονδήποτε δύο γρµµών µετξύ τους Πολλπλσισµός 9ή διίρεσηµίς γρµµής µεέννκέριο k 3Πρόσθεση «k φορές οποισδήποτε γρµµής» σε άλλη γρµµή
6 Α Πράδειγµ: Ν βρεθεί η τάξη του πίνκ Α 5 3 Α 6 Α 6 Α 5 3 Α 3 r που σηµίνει ότι ο πίνκς Α 3x3 έχει νεξάρτητες γρµµές πράγµ πουσηµίνει ότι δεν είνι γρµµικά νεξάρτητος άρ δεν έχει ντίστροφο πίνκ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ ΤΡΙΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3 3 3 33 3 3 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 - - - ελάσσων του στοιχείου
ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Μίέννοιστενάσυνδεδεµένη µε την έννοι της ελάσσων είνι υτή του λγεβρικού συµπληρώµτος, κι είνι µί ελάσσων µεκθορισµένο πρόσηµο Κθορισµός πρόσηµου: Εάν το άθροισµ των δύο δεικτών στην ελάσσον είνι άρτιο τότε το λγεβρικό συµπλήρωµ πίρνει το ίδιο πρόσηµο µετην ελάσσον Εάν είνι περιττό, τότε το λγεβρικό συµπλήρωµέχειτοντίθετο πρόσηµο πό υτό της ελάσσονος - - Μ 3 Μ 3 3 3 Ανάπτυξη µίς Ορίζουσς ης τάξης B Ανάπτυξη Lp µίς ορίζουσς -στης τάξης
ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΖΩΝ Η ενλλγήγρµµών κι στηλών δεν λλάζει την τιµή της ορίζουσς Η ενλλγή οποιωνδήποτε των δύο γρµµών στηλών θ λλάξει το πρόσηµο, λλά όχι την ριθµητική τιµή της ορίζουσς 3 Ο πολλπλσισµός µις οποιδήποτε γρµµής στήλης µεέννβθµωτό k θ µετβάλλει την τιµή της ορίζουσς k φορές k k k k k k
Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΖΩΝ Η πρόσθεσηφίρεση ενός γινοµένου µις οποιδήποτε γρµµής στήλης σε πό µι άλλη γρµµή στήλη θ φήσει την τιµή της ορίζουσς µετάβλητη k k k k 5 Εάν µί γρµµή στήλη είνι πολλπλάσιο κάποις άλλης γρµµής στήλης η τιµή της ορίζουσς θ είνι µηδέν 6 Η νάπτυξη της ορίζουσς µε µη σχετικά λγεβρικά συµπληρώµτ τ λγεβρικά συµπληρώµτ µίς λάθος γρµµής ή στήλης δίνει πάντ την τιµή µηδέν
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ
ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΝΌΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Α ο βήµ: Βρίσκουµε την Α εάν Α προχωρούµε στο ο βήµ ο βήµ Βρίσκουµε τ λγεβρικά συµπληρώµτ όλων των στοιχείων πίνκ Α κι τις τοποθετούµε σ ένν πίνκ ριθµητικών συµπληρωµάτων [ ] 3 ο βήµ Πίρνουµε τον νάστροφο του οοποίοςµς δίνει τον µε την ορίζουσ Α
ΟΚΑΝΟΝΑΣΤΟΥRER εδοµένου ενός συστήµτος εξισώσεων x όπου Α ένς x πίνκς, η λύση µπορεί ν γρφτεί ως: x x x x x x
ΟΚΑΝΟΝΑΣΤΟΥRER 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3 3 x x x,
ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Εάν στο σύστηµ εξισώσεωνx, το διάνυσµ ισούτι µε µηδέν, το σύστηµ θγίνει x Εάν ο πίνκς Α είνι µηιδιάζων, το σύστηµ θέχειµί «τετριµµένη λύση», x x x 3 x Ο µόνος τρόπος γι ν πάρουµε µί µητετριµµένηλύσηείνιότν Α ηλδή έχουµε ιδιάζοντ πίνκ συντελεστών Α
Είδη Λύσεων γι το γρµµικό σύστηµ Αx Ορίζουσ ιάνυσµ Μη Οµογενές Σύστηµ Οµογενές Σύστηµ Πίνκς µη ιδιάζων Πίνκς Α ιδιάζων Εξισώσεις εξρτηµένες Εξισώσεις συµβίβστες Υπάρχει µί µονδική µη τετριµµένη λύση x Υπάρχει ένς άπειρος ριθµός λύσεων εκτός πό την τετριµµένη εν υπάρχει λύση Υπάρχει µί µονδική τετριµµένη λύση x Υπάρχει ένς άπειρος ριθµός λύσεων περιλµβνοµένης κι της τετριµµένης [Μη εφρµόσιµο]
Εφρµογή Εφρµογή στ στ υποδείγµτ υποδείγµτ του του εθνικού εθνικού εισοδήµτος εισοδήµτος το Κεϋνσινό υπόδειγµ Εθνικού Εισοδήµτος, < < > * *
Εφρµογή Εφρµογή στ στ υποδείγµτ υποδείγµτ του του εθνικού εθνικού εισοδήµτος εισοδήµτος β Το υπόδειγµ S-L ύο τοµείς: Τοµές πργµτικών γθών κι τον νοµισµτικό τοµέ Στην γορά πργµτικών γθών έχουµε: Στην γορά χρήµτος έχουµε: k s s k Οι δύο τοµείς µζί µς δίνουν το κόλουθο σύστηµ: k k
] [ ] [ k k ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ { ] [ ] [ ] [ ] [ 3 * Πολλπλσιστής Πολλπλσιστής προσφοράς προσφοράς χρήµτος χρήµτος Πολλπλσιστής Πολλπλσιστής δηµοσίων δηµοσίων δπνών δπνών