ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Διατύπωση της μεθόδου των υποφορέων σε επίπεδο πλαίσιο. Διατύπωση της μεθόδου των υποφορέων με τη θεώρηση παγιωμένου και ισοδύναμου φορέα. Εφαρμογή Επίλυση επίπεδου δικτυώματος με τη μέθοδο των υποφορέων 5. Εφαρμογή Ανάλυση επίπεδου μικτού φορέα με τη μέθοδο των υποφορέων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κατά την ανάλυση πολύπλοκων φορέων του μηχανικού, όπως πολυόροφα κτίρια ή χωροδικτυώματα ευρέων, πολύπλοκων κατόψεων είναι προφανές ότι ο αριθμός των κόμβων του εξεταζόμενου φορέα και επομένως τόσο ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας κίνησης του όσο και η διάσταση της τελικής εξίσωσης στιβαρότητας προς επίλυση (για τον υπολογισμό των άγνωστων επικόμβιων μετακινήσεων και αντιδράσεων στήριξης) αυξάνεται σημαντικά. Στις περιπτώσεις κατά τις οποίες είτε η προαναφερθείσα αύξηση προκαλεί πιθανή υπολογιστική δυσχέρεια χειρισμού των μεγάλων διαστάσεων μητρώων με ταυτόχρονη σημαντική αύξηση του υπολογιστικού χρόνου ανάλυσης είτε προτιμάται ο υπολογισμός κατ αρχήν χαρακτηριστικών άγνωστων επικόμβιων μετακινήσεων του φορέα και σε δεύτερο στάδιο των υπολοίπων, η ανάλυση του εν λόγω φορέα μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη βοήθεια της Μεθόδου των Υποφορέων.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Μέθοδο των Υποφορέων ο αρχικός φορέας χωρίζεται σε μικρότερα τμήματα που ονομάζονται υποφορείς ή υπερστοιχεία. Στην περίπτωση κατά την οποία η Μέθοδος των Υποφορέων επιλέγεται για την αντιμετώπιση της υπολογιστικής δυσχέρειας χειρισμού των μεγάλων διαστάσεων μητρώων, κατά τον χωρισμό του αρχικού φορέα σε υποφορείς καταβάλλεται προσπάθεια έτσι ώστε οι υποφορείς να έχουν παρόμοιο πλήθος βαθμών ελευθερίας. Στη συνέχεια οι υποφορείς αναλύονται ως ανεξάρτητοι φορείς και ακολούθως θεωρούνται ως υπερστοιχεία του αρχικού φορέα. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται η επίλυση φορέων με πολύ μεγάλο πλήθος βαθμών ελευθερίας, λόγω της δυνατότητας διαχείρισης μικρότερων μητρώων και της μείωσης του υπολογιστικού χρόνου ανάλυσης. 5

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 6

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Θεωρείται το επίπεδο πλαίσιο το 7 8 οποίο χωρίζεται σε τρεις υποφορείς (Α, Β, C) με τη 6 βοήθεια των τομών - και -. Η τομή - τέμνει το φορέα στα 5 0 άκρα j των στοιχείων (-5) και 50kN 0kNm 60kN 5 (0-), ενώ η τομή - τον τέμνει στα άκρα j των στοιχείων 60kNm 6 7 (-5), (-6) και (-7). Οι κόμβοι κάθε υποφορέα που πρόσκεινται στις τομές ονομάζονται ενδοσυνοριακοί 8 κόμβοι ενώ οι υπόλοιποι κόμβοι κάθε υποφορέα ονομάζονται εσωτερικοί. Ο κάθε ένας από τους τρεις υποφορείς ισορροπεί με τις εξωτερικές δράσεις που φορτίζουν τους κόμβους του και τις άγνωστες εσωτερικές αντιδράσεις των άλλων υποφορέων, οι οποίες προκύπτουν από τις τομές - και -. 7

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Μητρωϊκές εξισώσεις ισορροπίας των υποφορέων υποφορέας Β υποφορέας Α C C C υποφορέας C 7 8 6 5 0 0kNm 60kNm όπου 50kN 60kN 7 8 5 6 8 C τα μητρώα στιβαρότητας των υποφορέων Α, Β, C, τα οποία αντιστοιχούν στους μη δεσμευμένους (ελεύθερους) β.ε.

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Χωρισμός των ενεργών β.ε. των υποφορέων σε εσωτερικούς e και ενδοσυνοριακούς c A A A A P e ee ec e A A A R Pcc ce cc c υποφορέας Α B B B B P e ee ec e B B B B B R Pcc ce cc c C C C C P e ee ec e C C C C C R Pcc ce cc c υποφορέας Β υποφορέας C Αναδιατεταγμένες μητρωικές σχέσεις στιβαρότητας

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ όπου τα επιμέρους μητρώα της αναδιατεταγμένης A μητρωικής σχέσης του υποφορέα Α γράφονται ως Pe R P υποφορέας Α A e 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A ee ec e A A A cc ce cc c A cc 0 0 0 0 0 0 A (5) (6) (7) (8) () e,,,,,,,,,, A (A) (0A) R R,, R,, A () (0) c,,,, υποφορέας Β υποφορέας C 0

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ όπου τα επιμέρους μητρώα της αναδιατεταγμένης B Pe μητρωικής σχέσης του υποφορέα Β γράφονται ως R P B B B ee ec e B B B B B cc ce cc c υποφορέας Α e 0 0 0 50 0 0 B cc 60 0 0 0 0 0 60 50 0 0 0 60 0 0 0 () (0) () () () c,,,,,,,,,, B ( ) (0 B) ( B) ( B) ( B) R R,, R,, R,, R,, R,, () () e,,,, υποφορέας Β υποφορέας C

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ όπου τα επιμέρους μητρώα της αναδιατεταγμένης μητρωικής σχέσης του υποφορέα C γράφονται ως υποφορέας Α C C C C P e ee ec e C C C C C R Pcc ce cc c C e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C ( C) ( C) ( C) R R,, R,, R,, C cc 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C (5) (6) (7) e,,,,,, C () () () c,,,,,, υποφορέας Β υποφορέας C

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Λαμβάνοντας υπόψη την Αρχή Δράσης Αντίδρασης είναι προφανές ότι το άθροισμα των αντιδράσεων που φορτίζουν κοινούς κόμβους των υποφορέων μηδενίζεται υποφορέας Α R (A) ( ),, R,, 0 R (0A) (0 ),, R,, 0 (A) (C) R,, R,, 0 (B) (C) R,, R,, 0 (B) (C) R,, R,, 0 υποφορέας Β υποφορέας C

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Στατική συμπύκνωση των εσωτερικών β.ε. e κάθε υποφορέα υποφορέας Α A A A A P e ee ec e A A A R Pcc ce cc c C C C C P e ee ec e C C C C C R Pcc ce cc c A A A e ee e ec c B B B B B e ee e ec c B B B B P e ee ec e B B B B B R Pcc ce cc c C C C C C e ee e ec c υποφορέας Β υποφορέας C

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Συμπυκνωμένες μητρωϊκές εξισώσεις ισορροπίας υποφορέων A A A A P e ee ec B B B B P e e ee ec e A A A R Pcc B B B B B ce cc c R Pcc ce cc c C C C C P e ee ec e C C C C C R Pcc ce cc c υποφορέας Α R P cc ce ee e cc ce ee ec c B R P cc ce ee e cc ce ee ec c R P cc ce ee e cc ce ee ec c A A A A A A A A A A C C C C C C C C C C υποφορέας Β υποφορέας C 5

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Συμπυκνωμένες μητρωϊκές εξισώσεις ισορροπίας υποφορέων = εξισώσεις ισορροπίας C υπερστοιχείων P υποφορέας Α A A A A P e ee ec B B B B P e e ee ec e A A A R Pcc B B B B B ce cc c R Pcc ce cc c C C C e ee ec e C C C C C R Pcc ce cc c ή πιο συνοπτικά A A A Pc R cc Sc c c P R c cc S c c c Pc C R C C cc Sc C C c C c όπου I c, Sc I τα συμπυκνωμένα μητρώα στιβαρότητας και εξωτερικών δράσεων των υποφορέων Α, Β, C A A A A c cc ce ee ec υποφορέας Β υποφορέας C c cc ce ee ec C C C C C c cc ce ee ec 6

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Σχηματική παράσταση του φορέα αποτελούμενου από τρία υπερστοιχεία (Α, Β, C) και δύο υπερκόμβους (, ) Βαθμοί ελευθερίας υπερκόμβων A B () (0) T c,,,, () () () c,,,,,, Σχέσεις συμβιβαστού των μετακινήσεων c c c T υποφορέας Β υποφορέας C c c B Ο διαχωρισμός των β.ε. σε κάθε υπερστοιχείο c οδηγεί σε αντίστοιχο διαχωρισμό των μητρώων c c στιβαρότητας των υπερστοιχείων C c C c c A c c c B B P c c c c C B B P c c c c C c C c C c 7 υποφορέας Α

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Μόρφωση ολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα αποτελούμενου από τρία υπερστοιχεία (Α, Β, C) και δύο υπερκόμβους (, ) Εξίσωση ισορροπίας φορέα A c c c c c c c c όπου από τη σύνθεση των μητρώων στιβαρότητας υποφορέας Α B c c c c c c c C c c c C υποφορέας Β A c c c C c c c υποφορέας C ενώ τα μητρώα επικόμβιας φόρτισης θα δίνονται από τις σχέσεις 8

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Εκφράσεις δράσεων του φορέα στους δύο υπερκόμβους (, ) A Τα μητρώα επικόμβιας φόρτισης όπως αναφέρθηκε δίνονται από τις σχέσεις A c c c C c c c υποφορέας Α B Γνωρίζοντας ότι A A A Pc R cc Sc c c P R c cc S c c c Pc C R C C cc Sc C C c C c C Εκφράσεις δράσεων στους δύο υπερκόμβους (, ) υποφορέας Β και ότι υποφορέας C R R 0 B C R R 0 A c cc Sc cc Sc c cc Sc C cc Sc C

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Επίλυση μητρωικής εξίσωσης ισορροπίας φορέα ως προς Βαθμούς ελευθερίας υπερκόμβων () (0) T c,,,, () () () c,,,,,, Οι μετακινήσεις αυτές δίνουν τις μετακινήσεις των ενδοσυνοριακών κόμβων των υπερστοιχείωνυποφορέων Στη συνέχεια υπολογίζονται οι μετακινήσεις των εσωτερικών βαθμών ελευθερίας κάθε υποφορέα με τη βοήθεια των σχέσεων αποσυμπύκνωσης T υποφορέας Β υποφορέας Α A A A e ee e ec c B B B B B e ee e ec c C C C C C e ee e ec c υποφορέας C 0

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Ένα εμφανές πλεονέκτημα της Μεθόδου των Υποφορέων είναι η αποθήκευση και διαχείρηση από τον υπολογιστή μητρώων μικρότερης τάξης. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η απαιτούμενη μνήμη του υπολογιστή να είναι περιορισμένη, αλλά και ο υπολογιστικός χρόνος εκτελέσης της επίλυσης των εξισώσεων να είναι μικρότερος. Όπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή και τα δύο αυτά πλεονεκτήματα αποκτούν ιδιαίτερη σημασία κατά την ανάλυση κατασκευών με πολλούς βαθμούς ελευθερίας. Στο παράδειγμα, οι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας του φορέα είναι n = 5, ενώ των υποφορέων είναι n Α =, n Β =, n C = 8 και του συμπυκνωμένου φορέα n c = 5. Με δεδομένο το γεγονός ότι κατά την αριθμητική επίλυση των εξισώσεων των υποφορέων δεν είναι απαραίτητη η ταυτόχρονη αποθήκευση των μητρώων στιβαρότητας όλων των υποφορέων, αλλά ενός εκάστου διαδοχικά, γίνεται αντιληπτή η σημαντική μείωση των απαιτούμενων θέσεων αποθήκευσης των δεικτών στιβαρότητας.

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ 5 0 6 6 8 7 5 0 8 5 Θεωρείται το δικτύωμα του σχήματος. Ο φορέας χωρίζεται σε τρεις υποφορείς με τις τομές - και -. 6 7

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ Υπερστοιχεία και υπερκόμβοι του επίπεδου δικτυώματος, που προκύπτουν από τις τομές - και -. 5 0 6 6 5 0 8 7 6 A 0 B 6 5 0 C 0 8 7 6 5 5 0 5 8 7 8 6 7

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ 5 0 0 6 6 και οι ενδοσυνοριακοί βαθμοί ελευθερίας ορίζονται ως 8 7 6 A B 5 0 C 0 8 7 5 A () (0) c,, () (0) (0) () c,,,, C (0) () c,, T T T Έτσι, οι εσωτερικοί βαθμοί ελευθερίας των υπερστοιχείων ορίζονται ως A () () () () (5) (6) (7) (8) e,,,,,,,, () () () () (5) (6) T e,,,,,, C (7) (8) () () () () (5) (6) e,,,,,,,, 5 T T

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ Σχηματική παράσταση του φορέα αποτελούμενου από τρία υπερστοιχεία (Α, Β, C) και δύο υπερκόμβους (, ) Οι ενδοσυνοριακοί βαθμοί ελευθερίας των υπερστοιχείων 6 χωρίζονται στους αντίστοιχους 5 0 0 6 βαθμούς ελευθερίας των 0 5 υπερκόμβων ως 8 7 6 A 5 () (0) c,, (0) () c,, B T C T 0 8 7 A A c c c 6 c c c c c c C c C c όπου

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ 5 0 8 7 6 A 0 B 6 5 0 Pe P P P P P Β Pe 0 0 0 P 0 0 0 P 0 0 0 P C P e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05. P C 7 0 8 7 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0 T 6 5 και σε δράσεις που ασκούνται στους ενδοσυνοριακούς βαθμούς ελευθερίας, τις οποίες αντιστοιχούμε στους υπερκόμβους και ως () (0) T P P, P, 0 0 0 P (0) () T P P, P, 0 0 0 P Οι εξωτερικές δράσεις που φορτίζουν τον φορέα χωρίζονται και αυτές σε δράσεις που ασκούνται στους εσωτερικούς βαθμούς ελευθερίας T T

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ 0 0 0 0 αρχικός φορέας = παγιωμένος φορέας Θεώρηση παγιωμένου και ισοδύναμου φορέα + 0 0 ισοδύναμος φορέας 8

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ 0 0 0 = 0 + 0 0 αρχικός φορέας παγιωμένος φορέας ισοδύναμος φορέας Τα μητρώα στιβαρότητας των υπερστοιχείων προκύπτουν από τη στατική συμπύκνωση των εσωτερικών βαθμών ελευθερίας I I I I P e ee ec e I I I I P cc ce cc c I I I I I c cc ce ee ec (I=A, B, C) Τα συμπυκνωμένα μητρώα στιβαρότητας των υπερστοιχείων χωρίζονται σε υπομητρώα ανάλογα με το πλήθος των υπερκόμβων με τα οποία συνδέονται μεταξύ τους. Έτσι ακολουθώντας τον χωρισμό των ενδοσυνοριακών βαθμών ελευθερίας C C c c c c c c c c c

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ 0 0 0 = 0 + 0 0 αρχικός φορέας παγιωμένος φορέας ισοδύναμος φορέας Τα συμπυκνωμένα μητρώα στιβαρότητας των υπερστοιχείων χωρίζονται σε υπομητρώα ανάλογα με το πλήθος των υπερκόμβων με τα οποία συνδέονται μεταξύ τους. Έτσι ακολουθώντας τον χωρισμό των ενδοσυνοριακών βαθμών ελευθερίας C C c c c c c c c c c όπου 0 Im c είναι οι δράσεις που αναπτύσσονται από το υπερστοιχείο I και ασκούνται στους βαθμούς ελευθερίας του υπερκόμβου λόγω μοναδιαίων και μοναδικών μετακινήσεων στους βαθμούς ελευθερίας του υπερκόμβου m=, (I=A, B, C) m=,

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ 0 0 0 = 0 + 0 0 αρχικός φορέας παγιωμένος φορέας ισοδύναμος φορέας Ο υπολογισμός των δράσεων παγίωσης J S (J=,) του παγιωμένου φορέα λόγω των εσωτερικών δράσεων e I επιτυγχάνεται από τη δεύτερη εξίσωση της σχέσης I I I I Pe ee ec e για c I 0 I I I e ee e (I=A, B, C) I I I I δηλαδή Pcc ce cc c I I I I S c ce ee e Οι υπολογισθείσες δράσεις παγίωσης υπερστοιχείων S C c Sc Sc S χωρίζονται σε υπομητρώα ανάλογα με το πλήθος των υπερκόμβων με τα οποία συνδέονται μεταξύ τους. Έτσι S ακολουθώντας τον χωρισμό των ενδοσυνοριακών β.ε. c Sc Sc C c

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ 0 0 0 = 0 + 0 0 αρχικός φορέας παγιωμένος φορέας ισοδύναμος φορέας Οι υπολογισθείσες δράσεις παγίωσης υπερστοιχείων χωρίζονται σε υπομητρώα ανάλογα με το πλήθος των υπερκόμβων με τα οποία συνδέονται μεταξύ τους. Έτσι ακολουθώντας τον χωρισμό των ενδοσυνοριακών β.ε. Οι δράσεις παγίωσης των υπερκόμβων του παγιωμένου φορέα προκύπτουν από την ισορροπία των δράσεων παγίωσης των υπερστοιχείων και δίνονται από τις σχέσεις Οι δράσεις του ισοδύναμου φορέα που αντιστοιχούν στους υπερκόμβους ορίζονται από τις σχέσεις J όπου P είναι οι εξωτερικές δράσεις που ασκούνται στους ενδοσυνοριακούς κόμβους, δηλαδή Sc Sc c c S S Sc C C Sc Sc S Sc Sc C S Sc Sc J J J c P S, (J,) () (0) T, P, 0 0 0 T P (0) () T, P, 0 0 0 P T

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ 0 0 0 = 0 + 0 0 αρχικός φορέας παγιωμένος φορέας ισοδύναμος φορέας Σύμφωνα με τα προηγούμενα, η εξίσωση ισορροπίας του ισοδύναμου φορέα ως προς τους υπερκόμβους J=, γράφεται ως Ρc Kc Δc όπου Ρ c Pc Pc Δ c c c μητρώο στιβαρότητας που προκύπτει από τη εξωτερικές δράσεις των σύνθεση των αντίστοιχων μ.σ. των υπερστοιχείων, υπερκόμβων ακολουθώντας την κλασική διαδικασία μόρφωσης του μ.σ. φορέα J J J c c c c P S, (J,) Κc C c c c

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ 0 0 0 = 0 + 0 0 αρχικός φορέας παγιωμένος φορέας ισοδύναμος φορέας Σύμφωνα με τα προηγούμενα, η εξίσωση ισορροπίας του ισοδύναμου φορέα ως προς τους υπερκόμβους J=, γράφεται ως Ρc Kc Δc όπου Ρ c Pc Pc Δ c c c μετακινήσεις υπερκόμβων Επίλυση εξίσωσης στιβαρότητας Δ c μετακινήσεις ενδοσυνοριακών β.ε. I I I e ee e ec I c όπου e I A A c c c c C c C c c μετακινήσεις εσωτερικών β.ε. c c c c εξωτερικές δράσεις στους εσωτερικούς β.ε. του υπερστοιχείου I

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ Βήμα. Χωρίζεται ο φορέας σε υποφορείς ή υπερστοιχεία (Ι) έτσι ώστε το πλήθος των εσωτερικών β.ε. του κάθε υπερστοιχείου να είναι της ίδιας τάξης με το σύνολο των ενδοσυνοριακών β.ε. Βήμα. Μορφώνονται τα μητρώα στιβαρότητας των υπερστοιχείων Ι και αναδιατάσσονται έτσι ώστε να προηγούνται οι εσωτερικοί και να έπονται οι ενδοσυνοριακοί β.ε. Στη συνέχεια υπολογίζονται τα συμπυκνωμένα μ.σ. των υπερστοιχείων από τη σχέση I I I I I c cc ce ee ec Βήμα. Υπολογίζονται οι δράσεις παγίωσης των υπερστοιχείων του παγιωμένου φορέα I I I I από τις σχέσεις S c ce ee e Βήμα. Υπολογίζονται οι δράσεις του ισοδύναμου φορέα που αντιστοιχούν στους υπερ- J c P J S J κόμβους από τις σχέσεις Βήματα Μεθόδου Υποφορέων 5

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΑΓΙΩΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΦΟΡΕΑ Βήμα 6. Επιλύεται η σχέση στιβαρότητας ως προς τις μετακινήσεις των υπερκόμβων Ρ K Δ και υπολογίζονται οι ενδοσυνοριακές μετακινήσεις c c c Βήματα Μεθόδου Υποφορέων Βήμα 5. Μορφώνεται το μητρώο στιβαρότητας ως προς τους υπερκόμβους του φορέα ακολουθώντας την κλασική διαδικασία μόρφωσης του μ.σ. φορέα c c c Κc C c c c Βήμα 7. Υπολογίζονται οι μετακινήσεις των εσωτερικών βαθμών ελευθερίας των υπερστοιχείων από τις σχέσεις I I I e ee e ec I c Βήμα 8. Υπολογίζονται τα εσωτερικά ενατικά μεγέθη των μελών του φορέα 6

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ 7

0.508m ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ 6 5 6 7 8 0 5 0.508m 0.508m Εξεταζόμενο δικτύωμα Στοιχεία γεωμετρίας και υλικού μελών 7 E 6.8 0 kn / m A,,5,6,8,0 6.50 A,,7,,56 0 m m Υποφορέας Β Χωρισμός σε υποφορείς, διαγράμματα ελεύθερου σώματος υποφορέων Υπερκόμβος Υποφορέας Α 8

0.508m 6 5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ 6 7 8 0 5 0.508m 0.508m Μόρφωση αναδιατεταγμένων μητρώων στιβαρότητας υποφορέων (υπερστοιχείων) A A A A P e ee ec e A A A A A R P cc ce cc c Υποφορέας Β Υπερκόμβος Υποφορέας Α B B B B P e ee ec e B B B B B R P cc ce cc c

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Μόρφωση αναδιατεταγμένων μητρώων στιβαρότητας υποφορέων (υπερστοιχείων) Υποφορέας Β Υπερκόμβος Στατική συμπύκνωση εσωτερικών βαθμών # # ελευθερίας 0 0 0 0 υποφορέων A 6 0 0 K c 7.6 0 0 0 0 0 0 0 A A K ee K ec # # # # 5 Υποφορέας Α 5 0 0 5 A 6 0 5 K.8 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 A A K ce K cc 0

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ B K cc # # #5 #6 5 5 Υποφορέας Β Υπερκόμβος Υποφορέας Α 0 0 5 Στατική συμπύκνωση B 6 0 5 εσωτερικών βαθμών K.8 0 0 5 ελευθερίας # # 0 0 5 υποφορέων 5 0 0 0 0 0 5 B 6 5 0 B B B K c.8 0 ee ec ce 0 0 0 5 0 0 0 5 B B cc B 0 5 K cc Μόρφωση αναδιατεταγμένων μητρώων στιβαρότητας υποφορέων (υπερστοιχείων) όπου το συμπυκνωμένο μητρώο έχει προκύψει από το αναδιατεταγμένο μ.σ. του υποφορέα Β, μετά την αφαίρεση των δεσμευμένων βαθμών ελευθερίας των κόμβων 5, 6.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Μόρφωση μητρώου στιβαρότητας ως προς τους υπερκόμβους του φορέα Υποφορέας Β Υπερκόμβος Υποφορέας Α # # 55 0 0 A B 6 5 0 8 Κ c K c K c. 0 0 0 55 0 8 5 Α Α c c όπου Im c B B c c (I=A, B) m= είναι οι δράσεις που αναπτύσσονται από το υπερστοιχείο I και ασκούνται στους βαθμούς ελευθερίας του υπερκόμβου λόγω μοναδιαίων και μοναδικών μετακινήσεων στους βαθμούς ελευθερίας του υπερκόμβου m=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Υποφορέας Β A B P c Pc Pc Υπερκόμβος Υποφορέας Α A A A B B B cc c cc c R P R R P R A A B B cc c cc c P R P R A A A A A R c P cc K ce K ee Pe Υπολογισμός δράσεων υπερκόμβων ισοδύναμου φορέα Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο υπερκόμβος του εξεταζόμενου δικτυώματος είναι μόνο ένας Ρ c Pc Λαμβάνοντας υπόψη ότι A B R R 0 όπου λόγω της στατικής συμπύκνωσης των εσωτερικών β.ε. του υποφορέα Α (κατά τους οποίους υπάρχει εξωτερική φόρτιση), οι συμπυκνωμένες εξωτερικές δράσεις του προκύπτουν μετά την αντικατάσταση στη σχέση

A P cc ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Υποφορέας Β όπου 0 0 0 0 Υπερκόμβος A A A A Rc P cc K ce K ee Pe A P () P () A P e () P 0 Υποφορέας Α και επομένως Ρc Rc Υπολογισμός δράσεων υπερκόμβων ισοδύναμου φορέα Ρ c Pc P A A B B c Pcc Rc Pcc Rc όπου λόγω της στατικής συμπύκνωσης των εσωτερικών β.ε. του υποφορέα Α (κατά τους οποίους υπάρχει εξωτερική φόρτιση), οι συμπυκνωμένες εξωτερικές δράσεις του προκύπτουν μετά την αντικατάσταση στη σχέση 0 () P A 5 () P 0 () P 6 B B A A A A A B B B B μια και Rc Pcc 0 Pc Rc Pcc Pcc Rc Rc Pcc Pcc Rc Rc

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Υποφορέας Β Υπερκόμβος Υποφορέας Α Μόρφωση και επίλυση εξίσωσης στιβαρότητας ως προς τους υπερκόμβους του φορέα Λαμβάνοντας υπόψη το μητρώο στιβαρότητας Κ c και το διάνυσμα επικόμβιων δράσεων Ρ c ως προς τους υπερκόμβους του ισοδύναμου φορέα η εξίσωση στιβαρότητας γράφεται ως () 0 () 55 0 0 P () 5 () 6 5 0 8 P. 0 0 0 0 55 () () P 6 0 8 5 () () () 0 6 P () 7 56 55 () 8.7 0 P () από την επίλυση της οποίας προκύπτει 7 0 () () 55 6 76 P 5

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ 6

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ 0kN/m 50kN 50kN 8 0 0 6 5 8 7 5 6 6 7 7 5 00kN 8.0.0.0 Εξεταζόμενος μικτός φορέας Χωρισμός σε υποφορείς Eb.0.0.0.0.0 Στοιχεία γεωμετρίας και υλικού μελών 7.0 kn / m 8 E.0 kn / m A,,5,6 0.0m 0.70m A,8 0.0m.00m s,5,6,7,8,,0,,,,,7 0 m A 7

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Υποφορέας Α 50kN 50kN Υποφορέας C Χωρισμός σε υποφορείς, διαγράμματα ελεύθερου σώματος υποφορέων 0 Υπερκόμβος Υπερκόμβος Αρίθμηση κόμβων, καθολικό σύστημα αξόνων, βαθμοί ελευθερίας Υποφορέας Β 8

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Στοιχεία γεωμετρίας και υλικού μελών Υποφορέας Α Υποφορέας C 50kN 50kN 0 Υπερκόμβος Υπερκόμβος Υποφορέας Β Χωρισμός σε υποφορείς, υπερκόμβοι, εσωτερικοί β.ε., ενδοσυνοριακοί β.ε.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Υποφορέας Α Υποφορέας C Μόρφωση αναδιατεταγμένων μητρώων στιβαρότητας υποφορέων (υπερστοιχείων) 50kN 50kN 0 Υπερκόμβος Υπερκόμβος I I I I P e ee ec e I I I I I R P cc ce cc c (I=A, B, C) Υποφορέας Β Στα επόμενα θα υπολογιστεί αναλυτικά το αναδιατεταγμένο μητρώο στιβαρότητας του υποφορέα Α, ενώ θα δοθούν τα αντίστοιχα μητρώα για τους υπόλοιπους δύο υποφορείς μια και ο υπολογισμός τους δεν παρουσιάζει κάποια ιδιαίτερη δυσκολία (ο υποφορέας Β είναι απλό δικτύωμα), ενώ ο υποφορέας C είναι συμμετρικός του Α και επομένως ο υπολογισμός του μητρώου είναι ανάλογος αυτού του Α). 50

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α.0.0.0 0 0 5 6 5.0.0 0kN/m 8 7 Αρίθμηση κόμβων, μελών, καθολικό και τοπικά συστήματα αξόνων, βαθμοί ελευθερίας 5 6 88. 0.787 0.8.06 k 0 88. 0 0 88. 0.787.58 0.787 5 0.8 7.0 0.8.066 5 6 7 8 88. 0.787 5 0.8.06 6 k 0 88. 0 0 88. 7 0.787.58 0.787 8 0.8 7.0 0.8.06 Τοπικά μητρώα στιβαρότητας μελών 5

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α.0.0.0 0 0 5 6 5.0.0 0kN/m 8 7 Αρίθμηση κόμβων, μελών, καθολικό και τοπικά συστήματα αξόνων, βαθμοί ελευθερίας 5.5 5.5 k 0 5.5 5.5 7 8 0 Τοπικά μητρώα στιβαρότητας μελών 7.75 7 0.0008 8 0.507.5786 k 0 7.75 0 0 7.75 0 0.0008.507 0.0008 0.507.8 0.507.5786 5

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α 0 0kN/m Μητρώα μετασχηματισμού μελών 0.8 0.6 0 0.6 0.8 0 0.0 0 0 0 8 PF PF 7 0.8 0.6 0 0 0.6 0.8 0.0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0.0 6 PT 0 0 0 0 0 0 0.6 0.5 0 0.5 0.6 0.0.0 0 0 0 PF 0.6 0.5 0 0 0.5 0.6 0 0 0 5 I

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α 0 0kN/m Καθολικά μητρώα στιβαρότητας μελών 5 6.0 0 8 57.070 7.506.8588.508.57.06.0 k 0 57.070.506.508 57.070 5 5.506.8588.57.506.8588 5.508.57 7.0.508.57.066.0 6.0.0 5 6 7 8 57.070.506.8588 5.508.57.06 6 k 0 57.070.506.508 57.070 7.506.8588.57.506.8588 8.508.57 7.0.508.57.06 5

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α 0 0kN/m Καθολικά μητρώα στιβαρότητας μελών.0 0 8 5 7 5.5.0 0 0 k 0 5.5 0 5.5 5 5 0 0 0 0 5.0 6 7 8 0 6.767 7.0.0.087.768 8.55.00.5786 k 0 6.767.087.55 6.767 0.087.768.58.087.768.55.00.8.55.00.5786 55

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α.0 0.0 5.0 0 K 0 6 5.0.0 0kN/m 8 7 Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας υποφορέα Α # # # # #5 5 6 7 8 0 57.070.506.8588.508.57.06 57.070.506.508.07.506.8588.57 8.0 65.768 5.508.57 7.0 0 0 8.80 6 0 0 0 57.070.506.5.80 7 0 0 0.506.858.57 7.56.87 8 0 0 0.5.57 7.00.0780 7.78 8.86 0 0 0 0 0 0 6.767.0.55 6.767 0 0 0 0 0 0 0.0.76.58.0.768 0 0 0 0 0 0.55.00.8.55.00.5786 0 0 0 5.5 0 0 0 0 0 0 0 0 5.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 56

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α.0.0.0 0 0 5 5 6.0.0 0kN/m 8 7 Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας υποφορέα Α λόγω κεκλιμένης στήριξης o o r o 0 arctan.0 / 8.0 6. o o cos 6. sin 6. 0 sin 6. cos 6. 0 0 0 o 57

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α.0.0.0 0 0 5 5 6.0.0 0kN/m 8 7 R Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας υποφορέα Α λόγω κεκλιμένης στήριξης 5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 58

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α.0 0.0 5.0 0 6 5.0.0 0kN/m 8 7 Τροποποιημένο (λόγω περιστροφής του καθολικού συστήματος αξόνων στον κόμβο ) καθολικό μητρώο στιβαρότητας υποφορέα Α K m R K R T # # # # 5 6 7 8 0 57.070.506.8588.508.57.06 57.070.506.508.07.506.8588.57 8.0 65.768 5.508.57 7.0 0 0 8.80 6 0 0 0 57.070.506.5.80 7 K m 0 0 0 0.506.858.57 7.56.87 8 0 0 0.5.57 7.00.0780 7.78 8.86 0 0 0 0 0 0 0.7 0.886.706.006 0 0 0 0 0 0 0 6.060 5.876.0068 0.0075 7.777 0 0 0 0 0 0.55.00.8.67 0.0007.5786 0 0 0 5.5 0 0 0 0 0 0 0 0 5.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 #5 5

.0.0.0 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α 0 5 0 6 5.0.0 0kN/m Αναδιάταξη καθολικού μητρώου στιβαρότητας υποφορέα Α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ύ 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ί ( free ) 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 έ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ί 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (sup ported ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 60

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α 0 0kN/m.0 0.0 5.0 5 6 8 7 Αναδιατεταγμένο (λόγω συνθηκών στήριξης) καθολικό μητρώο στιβαρότητας υποφορέα Α.0.0 K ff K fs T K mm V K m V K sf K ss 5 6 7 8 0'.07 8.0 65.768 5 0 0 8.80 6 57.070.506.508.80 7.506.8588.57 7.56.87 8.5.57 7.0.0780 7.78 8.86 0 0 0 0.7 0.886.706.006 0' 0 57.070.506.508 0 0 0 0 57. 070.506.8588.57 0 0 0 0.506.8588.508.57 7.0 0 0 0 0.508.57.06 0 0 0 6.060 5.876.0068 0.0075 0 0 0 7.777 0 0 0.55.00.8.67 0 0 0 0.0007.5786 5.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α K A A A K ce K cc Υπολογισμός αναδιατεταγμένου μ.σ. υπερστοιχείου Α A A K ee K ec 6 7 5 8,8 7, 0 8,86 6 0,507, 0008 7 0 0,508 0,068 0, 57 0 8, 0 65, 7676,508, 0776 0,566 57, 070,506,8006, 57 7, 776 0,577,506,8588 7, 565,866 5 6

φορέας Α ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ 50kN ΜΕΘΟΔΟ 50kN ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Β Υποφορέας C κόμβος Υπερκόμβος 0 Όμοια με τα προηγούμενα Υπολογισμός αναδιατεταγμένου μ.σ. υπερστοιχείου Β B B Υποφορέας Β K ee K ec 8 0 5 5 6 K B,5 8 0,8, 6 0,5 0 0 0 0,8, 6 0 0 0,5 0 0 0 0 0,8 0, 88 0 0 0 0,5 0,8 0,5 0,8, 0 0,5 0,8 0, 88 0,8 0, 88 0,50 5 0 0 0 0 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8 0, 88 0,5 0,8 0 0 0 0 0 0,5 0,8, 0 5 0,8 0, 88 0,5 0 0 0 0 0,8 0, 88 0,06 B B K ce K cc 6

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα C Υποφορέας C 50kN 0 Υπολογισμός αναδιατεταγμένου μ.σ. υπερστοιχείου C C C K ee K ec Υπερκόμβος 7 8 5 6 Όμοια με τα προηγούμενα Υποφορέας Β 8,8 7, 0 8,86 7 0,507, 0008 8 0 0,508 0,068 0, 57 0 8, 0 65, 7676,508, 0776 0,566 57, 070,506,8006 5, 57 7, 776 0,577,506,8588 7, 565,866 6 C K C C K ce K cc 6

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α 0 Στατική συμπύκνωση εσωτερικών βαθμών ελευθερίας υποφορέα Α 0kN/m.0.0.0 0 5 6 5.0.0 Συμπυκνωμένο μ.σ. υπερστοιχείου Α 8 7 5.0 8.05 56.80.868 A 8.05 65.07.868.80 K c c 0 56.80.868.80 7.8.868.80 7.8. 756 5 65

φορέας Α ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Υποφορέας C ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Β 50kN 50kN 0 κόμβος Υπερκόμβος Στατική συμπύκνωση εσωτερικών βαθμών ελευθερίας υποφορέα Β Υποφορέας Β.08 0.8 0.586 0.655 0.087 0 0.068 0. 0.8 0.88 0.8 0.88 0 0 0 0 0.586 0.8.875 0.686 0.87 0.066 0.56 B 0.655 0.88 0.686 0.78 0.5 0 0.5 0.607 K c 0 5 0.087 0 0.87 0.5 0.8675 0.8 0.55 0.5087 0 0 0 0 0.8 0.88 0.8 0.88 0.068 0.066 0. 5 0.55 0.8.875 0.65 0. 0 0.56 0.607 0.5087 0.88 0.6 0.5860666 Συμπυκνωμένο μ.σ. υπερστοιχείου Β c c 5 5 6 c c 66

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα C Στατική συμπύκνωση εσωτερικών βαθμών ελευθερίας υποφορέα C Υποφορέας C 50kN 0 5 6 Υπερκόμβος.0 8.06 56.80.868 C C 8.06 65.07.868.80 K 0 Συμπυκνωμένο c c 56.80.868.80 7.8 μ.σ. 5.868.80 7.8.7566 Υποφορέας υπερστοιχείου Β C 67

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Υποφορέας Α 50kN 50kN Υποφορέας C Μόρφωση μητρώου στιβαρότητας ως προς τους υπερκόμβους του φορέα Σύνθεση μητρώων στιβαρότητας υπερστοιχείων φορέα 0 Υπερκόμβος Υπερκόμβος Κ c c c c C c c c Υποφορέας Β 5 5 6 0.06 8.876 65.67 57.000.88.5.06.668 8.0058. Κ c 0 5 0.087 0 0.87 0.5.8 0 0 0 0 8.876 65.67 0.068 0.066 0.5 57..88.5 5 0. 0 0.56 0.607.60.668 8.0066.767 6 68

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α 0 0kN/m.0 0 8 7.0 5 5.0 6 j F F 7.0.0 j F F8 j Ar j M M Ar k k Ar F F0 Υπολογισμός δράσεων παγίωσης κόμβων παγιωμένου υποφορέα Α 0 0.0 60 0 k 0.0 F F 60 k M M Υπολογισμός δράσεων υπερκόμβων ισοδύναμου υποφορέα Α καθολικό διάνυσμα ακραίων δράσεων του μέλους 6

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α.0.0.0 0 0 5 6 5 0kN/m 8 7 Υπολογισμός δράσεων παγίωσης κόμβων παγιωμένου υποφορέα Α Υπολογισμός δράσεων υπερκόμβων ισοδύναμου υποφορέα Α Τροποποιημένο καθολικό διάνυσμα ακραίων δράσεων του μέλους (λόγω κεκλιμένης στήριξης) F.0.0 7 0 0 0 0 0 0 0 F 8 0 0 0 0 0 0.0 0.0 M 0 0 0 0 0 60 60. 0 Ar r Ar o o m F 0 0 0 cos 6. sin 6. 0 0 0.6 o o 0 0 0 sin 6. cos 6. 0 0.0. F 0 0 0 0 0 60 60.0 M 70

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α 0 0kN/m Υπολογισμός δράσεων υπερκόμβων ισοδύναμου υποφορέα Α.0.0.0 0 5 6 5.0.0 8 7 Υπολογισμός δράσεων παγίωσης κόμβων παγιωμένου υποφορέα Α 0 () j S Ar 0 () k j k S Ar Ar Ar 0 0 0.0 60.0 () k j S Ar Ar (5) j S A r 0 0 0 0 0 0 () k S A r.6. 60.0 7

.0.0.0 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α 0 0 5 6 5.0.0 0kN/m 8 7 P P5 M 6 P 7 M P f P P s P P M P M P P Υπολογισμός δράσεων υπερκόμβων ισοδύναμου υποφορέα Α nodal Pmm Pmm Smm Μόρφωση διανύσματος ισοδύναμων δράσεων υποφορέα Α P8 () 0 R () R () R () R () R (5) R (5) R 0 0 5 0 6 0 7 0.0 8 60.0.6 0. 60.0 7

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α 0 0kN/m Υπολογισμός διανύσματος 5 μετακινήσεων υπερκόμβων 5 5 ισοδύναμου υποφορέα Α 6 6 6.0 0 7 8 7 7 7 8 8 8.0 f 5 0 5 mm 0 0 s.0 6 0 0 0 0.0.0 Μόρφωση διανύσματος επικόμβιων μετακινήσεων 0 υποφορέα Α 0 0 7

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α.0.0.0 0 0 5 5 6.0.0 0kN/m 8 7 Αναδιατεταγμένα διανύσματα ισοδύναμων A M δράσεων και επικόμβιων 0 A μετακινήσεων του 60.0 M6 6 υποφορέα Α A A P.6 P 7 7 e A A P R R Pcc A A P R A A A P R A 6 6 A A A P R5 70 A 5 5 7 7 e A A c A A A 5 5 7

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 50kN ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ 50kN ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Β 0 B περκόμβος Υπερκόμβος P 8 0 8 B P 00.0 B P0 0 0 B 0 P Υποφορέας Β B B R P B B Όμοια με τα Pe B R P προηγούμενα B B B B R R P cc P B B R 5 5 Αναδιατεταγμένα P5 B B διανύσματα ισοδύναμων R P B δράσεων και επικόμβιων B R P μετακινήσεων του B B R5 υποφορέα Β P 5 5 B B R P 6 6 6 B 8 8 B B 0 0 B B B e B B B c B 5 5 B B B 5 5 B 6 6 75

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα C Υποφορέας C Όμοια με τα προηγούμενα Αναδιατεταγμένα διανύσματα ισοδύναμων δράσεων και επικόμβιων μετακινήσεων του υποφορέα C 50kN 0 Υπερκόμβος C M 0 C 0 M7 7 C C P 0 P 8 8 e C C P R C C R Pcc C C P R C C P R 5 5 5 C C P R6 50 6 6 C C 7 7 C C 8 8 e C C c C C 5 5 C 6 6 Υποφορέας Β 76

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Α Υποφορέας C Υποφορέας Α 50kN 50kN 0 Υπερκόμβος Υπερκόμβος Στατική συμπύκνωση επικόμβιων δράσεων υπερκόμβων ισοδύναμου φορέα λόγω απαλοιφής των εσωτερικών βαθμών ελευθερίας των υποφορέων Συμπυκνωμένο διάνυσμα επικόμβιων δράσεων του υπερστοιχείου Α A R.55 A R 5.007 A R 7.67 A R5 0.506 5 Υποφορέας Β A A A A A A c R Pcc ce ee e 77

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα Β Υποφορέας Α 50kN 50kN 0 Υποφορέας C Στατική συμπύκνωση επικόμβιων δράσεων υπερκόμβων ισοδύναμου φορέα λόγω απαλοιφής των εσωτερικών βαθμών ελευθερίας των υποφορέων Υπερκόμβος Υπερκόμβος B R.77 B R B Υποφορέας Β R.0565 B P B c B R5 87.66 5 Συμπυκνωμένο B R Pcc ce ee e B P διάνυσμα c R.5 επικόμβιων B R δράσεων του B R5 8.76 5 υπερστοιχείου Β B R6.765 6 78

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ - Ανάλυση Υποφορέα C Υποφορέας C Υποφορέας Α 50kN 50kN 0 Υπερκόμβος Υπερκόμβος Στατική συμπύκνωση επικόμβιων δράσεων υπερκόμβων ισοδύναμου φορέα λόγω απαλοιφής των εσωτερικών βαθμών ελευθερίας των υποφορέων Συμπυκνωμένο διάνυσμα επικόμβιων δράσεων του υπερστοιχείου C Υποφορέας Β C R C R C R5 5 C R 6 506 C C C C C C c R Pcc ce ee e 7

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Υποφορέας C Υποφορέας Α 50kN 50kN 0 Υπερκόμβος Υπερκόμβος Υποφορέας Β Μόρφωση τελικής μητρωικής εξίσωσης στιβαρότητας ως προς τις μετακινήσεις των υπερκόμβων του επίπεδου μικτού φορέα Ρ K Δ A P B P c c c c c B c c c c c c C C c c c c 5 5 6 56.05 0.06 5.007 8.876 65.67 70.5 57.000.88.5 8.5768.06.668 8.0058. 0 5 5.5 0.087 0 0.87 0.5.8 0 0 0 0 0 8.876 65.67 8.70 0.068 0.066 0.5 57..88.5 5 5 6.77 0. 0 0.56 0.607.60.668 8.0066.767 6 6 80

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Υποφορέας C Υποφορέας Α 50kN 50kN 0 Υπερκόμβος Υπερκόμβος Μόρφωση τελικής μητρωικής εξίσωσης στιβαρότητας ως προς τις μετακινήσεις των υπερκόμβων του επίπεδου μικτού φορέα Ρ K Δ c c c B A A B R R Υποφορέας Β 0 B A A B R R 0 όπου κατά τη B A A B R R 0 μόρφωση της τελικής B A A B R R A B εξίσωσης έχουν 5 5 5 5 R5 R5 0 5 B C B C ληφθεί υπόψη οι B C 0 R R R R σχέσεις συμβιβαστού B C B C 0 παραμορφώσεων και R R 5 B C B C 0 αρχής δράσης 5 5 5 R5 R5 0 5 αντίδρασης 6 B C B C 6 6 6 R6 R 6 6 8

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΙΚΤΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Υποφορέας C Υποφορέας Α 50kN 50kN 0 Υπερκόμβος Υπερκόμβος Απομένοντα βήματα για την πλήρη επίλυση του επίπεδου μικτού φορέα Υποφορέας Β Επίλυση για τον υπολογισμό των άγνωστων ενδοσυνοριακών μετακινήσεων των υπερκόμβων,. Υπολογισμός των άγνωστων μετακινήσεων των εσωτερικών βαθμών ελευθερίας κάθε υποφορέα. Υπολογισμός των ακραίων δράσεων και των διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών των μελών του μικτού φορέα. 8