Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα σ ένα ηλεκτρικό κύκλωµα, οι ταλαντώσεις παλλόµενου ελατηρίου, η ροή θερµότητας σε µονωµένο αγωγό κλπ Αυτές οι εξισώσεις σε συνδυασµό µε τις αρχικές συνθήκες περιγράφουν την κατάσταση του συστήµατος κάθε χρονική στιγµή Μια σηµαντική µέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβληµάτων είναι και η µέθοδος του µετασχηµατισµού Lplce Ο µετασχηµατισµός Lplce είναι σηµαντικός διότι: εφαρµόζεται σε µια µεγάλη ποικιλία συναρτήσεων και σε συναρτήσεις/σήµατα βραχέας ή και στιγµιαίας διάρκειας Επιλύει προβλήµατα αρχικών συνθηκών σε µη οµογενείς γραµµικές δε µε σταθερούς συντελεστές όπου ο σταθερός όρος µπορεί να µην είναι συνεχής αλλά µια γενικευµένη συνάρτηση, όπως πχ η συνάρτηση Dirc 5 Ορισµός µετασχηµατισµού Lplce Ορισµός 5 Εστω f :, [ ) Lplce της f, συµβολικά L ( f ) τη συνάρτηση Καλούµε µετασχηµατισµό b = = = F L f f() e d lim f() e d, (5) b η οποία ορίζεται για όλες τις τιµές του για τις οποίες το µη γνήσιο ολοκλήρωµα της f () e συγκλίνει Παρατηρήσεις (α) Ο µετασχηµατισµός Lplce ορίζεται και για f :, ως µιγαδικές συναρτήσεις [ ) ( Re ) ( Im) L f = L f + i L f 3

Επίσης ο µετασχηµατισµός Lplce επεκτείνεται και για όλες τις τιµές του για τις οποίες το µη γνήσιο ολοκλήρωµα της f () e συγκλίνει Στο εξής για απλότητα θεωρούµε πραγµατικές συναρτήσεις f και (β) Ο µετασχηµατισµός Lplce απεικονίζει µια συνάρτηση f F = F ορισµένη στο πεδίο του χρόνου σε µια νέα συνάρτηση στο πεδίο συχνοτήτων ηλαδή: f L F (β) Εφόσον ο µετασχηµατισµός Lplce απεικονίζει συναρτήσεις σε συναρτήσεις, είναι λογικό να αναρωτηθούµε αν υπάρχει αντίστροφος µετασχηµατισµός L Πράγµατι, υπό κατάλληλες συνθήκες υπάρχει αντίστροφος µετασχηµατισµός L όπως θα δούµε παρακάτω Τότε γράφουµε: f F Μια ικανή συνθήκη ύπαρξης του µετασχηµατισµού Lplce δίνει το ακόλουθο: Θεώρηµα 5 Εστω f :, [ ) είναι: (i) τµηµατικά συνεχής συνάρτηση (δηλαδή είναι συνεχής παντού πλην πεπερασµένου πλήθος σηµείων,, N για τα οποία υπάρχουν τα πλευρικά όρια lim f και lim f, i=,, N και είναι πεπερασµένα) και + i (ii) εκθετικής τάξης α (δηλαδή, είναι πραγµατικές σταθερές µε M, c > ) i f Me > c, όπου M, c, Τότε ο µετασχηµατισµός Lplce της f ορίζεται για κάθε > και µάλιστα ισχύει: lim F = Απόδειξη Εφόσον f Me c >, έχουµε: 33

() () c f () e d= f e d+ f e d To πρώτο ολοκλήρωµα είναι καλά ορισµένο, διότι η f e ολοκληρώσιµη ως τµηµατικά συνεχής συνάρτηση στο [,c ] Για το δεύτερο ολοκλήρωµα έχουµε: c ( ) ( ) Me f () e d Me d =, > c c c είναι Aρα το δεύτερο ολοκλήρωµα συγκλίνει απόλυτα (άρα συγκλίνει) µόνον για > Το γεγονός ότι lim F = είναι εύκολο Ας υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό Lplce ορισµένων στοιχειωδών συναρτήσεων :, : = f [ ) f Tότε: Αρα: e e d =, = > L () =, > f f = :, [ ) : Mε ολοκλήρωση κατά παράγοντες παίρνουµε e e e d = e d, + = = > Yπενθυµίζουµε εδώ ότι e, (, n ) lim n = > όπως µπορεί εύκολα να δειχθεί µε εφαρµογή του κανόνα L Hopil n φορές Αρα e = e = > Tελικά: lim lim 34

L () =, > Σηµείωση Μπορεί να αποδειχθεί επαγωγικά ότι n! L =, >, n n n +, ( ) f :, [ ) : f() =ηµ ( ) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες παίρνουµε ηµ e I = ηµ ( ) e d = + συν ( ) e d ( ) συν e = ηµσυν ( ) e d I = I I =, + > Υπενθυµίζουµε ότι lim ηµ ( ) e = και συν ( ) e =, ( > ) lim µε χρήση του κριτηρίου παρεµβολής Αρα: L ( ηµ ( ) ) =, + >, f :, [ ) : f() = συν ( ) Εργαζόµαστε όπως στην περίπτωση του ηµ και βρίσκουµε L ( συν ( ) ) =, + > 35

f :, [ ) : f() = e ( ) Τότε: Tελικά: ( ) ( ) e e e d = e d = =, > L ( e ) =, > Ασκήσεις Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των συναρτήσεων f = e, Απ F f =, Απ F u () = e < Απ F 53 Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Lplce =, > ( ) 4e + =, > e e = +, > Αν εξαιρέσουµε κάποιες στοιχειώδεις συναρτήσεις των οποίων ο µετασχηµατισµός Lplce υπολογίζεται από τον τύπο (5) µε απ ευθείας ολοκλήρωση, για συναρτήσεις µε πιο πολύπλοκο τύπο τα πράγµατα δυσκολεύουν Απ την άλλη µεριά ένα κριτήριο χρησιµότητας ενός µετασχηµατισµού είναι αν υπάρχουν ιδιότητες αυτού που να διευκολύνουν τους υπολογισµούς Στην ενότητα αυτή αναφέρουµε τέτοιες ιδιότητες του µετασχηµατισµού Lplce A Γραµµικότητα Θεώρηµα 5 Εστω f, g :[, ) Lplce L ( f ) και ( g ) µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης f bg, (, b ) ισχύει έχουν µετασχηµατισµούς L αντιστοίχως Τότε ορίζεται και ο ± και 36

( f ± bg ) = ( f ) ± b ( g ) L L L για κάθε στο κοινό πεδίο ορισµού των L ( f ) και ( g ) L Απόδειξη Αµεση συνέπεια του τύπου 5 και της γραµµικότητας του ολοκληρώµατος Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των f () inh g () coh h () = ηµ για συναρτήσεων =, = και,, b Λύση Λόγω γραµµικότητας έχουµε e e L( f ) = L( inh( ) ) = L = L( e ) L ( e ) Επειδή, L ( e ) = > και L e =, > + (βλέπε προηγούµενη ενότητα), παίρνουµε Tελικά: L ( inh ( ) ) = =, > + L ( inh ( ) ) =, > Mε παρόµοιο τρόπο υπολογίζουµε e + e L( f ) = L coh( ) = L = L e + L e = + =, > + Tελικά: L ( coh ( ) ) =, > 37

Τέλος για την h ηµ ( ) = έχουµε ( ) συν L( h) = L ( ) = L = L L ( ηµ ) ( () ( συν ( )) ) =, = > + 4 + 4 Β Μετάθεση στο πεδίο των συχνοτήτων Θεώρηµα 53 Εστω f :, [ ) L ( f ) = F >, ( ) Τότε ορίζεται και ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης έχει µετασχηµατισµό Lplce f e b b b και ισχύει L f () e = F b, > + b Απόδειξη Αµεση απ τον τύπο (5) Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των () b b f e inh h () = e ηµ για συναρτήσεων = και,, b Λύση Από το προηγούµενο παράδειγµα έχουµε L ( inh ( ) ) =, > Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα 53 παίρνουµε L e inh = L inh b =, b> b ( ) ( ) b Τελικά: L e inh =, > b+ b ( ) b b Mε παρόµοιο τρόπο εργαζόµαστε για την h () e ηµ ( ) = Είδαµε 38

στο προηγούµενο παράδειγµα ότι Τότε L ( ηµ ( ) ) =, > ( + 4 ) b L ( e ηµ ( ) ) =, b> b b + ( 4 ) Γ Μετάθεση στο πεδίο του χρόνου Θεώρηµα 54 Εστω f :, [ ) L ( f ) = F, >, ( ) Τότε ορίζεται και ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης έχει µετασχηµατισµό Lplce και ισχύει ( ) f b b g() =,, b> < b ( ) b, L g = e F > Απόδειξη Αµεση απ τον τύπο (5) Σηµείωση Εστω, > b ub () =,, b>, < b είναι η µοναδιαία συνάρτηση βήµατος Ηeviide Για f όπως στο θεώρηµα 54, η παραπάνω ιδιότητα γράφεται ως εξής: ( ) b b, L u f b = e F > ιαστολή/στάθµιση Τότε ορίζεται και ο µετασχηµα- Θεώρηµα 55 Εστω f :, [ ) L ( f ) = F, >, ( ) τισµός Lplce της συνάρτησης έχει µετασχηµατισµό Lplce f b b> και ισχύει 39

L ( f ( b) ) = F, > b b b Απόδειξη Από τον τύπο (5), µε αλλαγή µεταβλητής b = έχουµε y / b L ( f ( b) ) = f ( b) e d = f ( y) e dy b y y b = f ye dy F, b = > b b b Ε Momen Θεώρηµα 56 Εστω f :, [ ) είναι τµηµατικά συνεχής και εκθετικής τάξης ( ) συνάρτηση µε µετασχηµατισµό Lplce L ( f ) = F, > Τότε oρίζεται και ο µετασχηµατισµός n Lplce της συνάρτησης f() ( n ) και ισχύει Aπόδειξη Για n = έχουµε n n ( n) L f() = ( ) F (), > F = f e d = f e d = F ( () ) (), (λόγω οµοιόµορφης σύγκλισης του ολοκληρώµατος ως προς ) Αρα η πρόταση ισχύει για n = Στη συνέχεια εργαζόµαστε επαγωγικά Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της f () = συν για, συνάρτησης Λύση Λαµβάνοντας υπόψη το θεώρηµα 56 και το γεγονός ότι L + ( συν ( ) ) = F =, > όπως είδαµε σε προηγούµενο παράδειγµα, παίρνουµε 4

( συν ( ) ) ( ) F L = =, = > + + Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης f () = e για, Λύση Λαµβάνοντας υπόψη το θεώρηµα 56 και το γεγονός ότι L e = F =, > όπως είδαµε σε προηγούµενο παράδειγµα, παίρνουµε L ( e ) = ( ) F = =, > 3 ΣΤ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ στο πεδίο του χρόνου Θεώρηµα 57 Εστω f :, [ ) είναι τµηµατικά συνεχής και εκθετικής τάξης ( ) συνάρτηση µε µετασχηµατισµό Lplce L ( f ) = F, > Τότε ορίζεται και ο µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης g() = f ( u) du και µάλιστα F ( ) { } L f udu =, > mx, Απόδειξη Αµεση απ τον τύπο (5) Ζ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ στο πεδίο των συχνοτήτων Θεώρηµα 58 Εστω f :, [ ) και έχει µετασχηµατισµό Lplce L ( f ) = F, ( ) f υπάρχει το όριο lim Lplce της συνάρτησης είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη > Αν, τότε ορίζεται και ο µετασχηµατισµός f και µάλιστα 4

() f L = F( ω) dω, > Απόδειξη Ξεκινούµε απ το δεξιό µέλος της παραπάνω χρησιµοποιώντας τον τύπο (5) Θεώρηµα 59 Εστω f :, [ ) Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ είναι n φορές παραγωγίσιµη ( n) µε παραγώγους f,, f εκθετικής τάξης και τµηµατικά συνεχή ( n) παράγωγο f για κάθε Αν F = L ( f ), > είναι ο µετασχηµατισµός Lplce της f, τότε ορίζεται ο µετασχηµατισµός ( k Lplce των παραγώγων συναρτήσεων f ), k =,, n και ισχύει ( k) k k ( k ) k L f = L f f f f, > Απόδειξη Χρησιµοποιούµε παραγοντική ολοκλήρωση n φορές στον τύπο (5) Σηµείωση Στην περίπτωση κατά την οποία η f είναι ασυνεχής στο µηδέν όπως πχ η συνάρτηση Heviide, συνήθως επεκτείνουµε τον ορισµό του µετασχηµατισµού Lplce ως εξής: lim L = f f e d ε ε Στην περίπτωση αυτή το θεώρηµα 59 γράφεται ως εξής: ( k) k k ( ( k ) ) k ( ) ( ) L f = L f f f f, > έχει τµηµατικά συνεχή παράγωγο και είναι εκθετικής τάξης Τότε Πόρισµα 5 (αρχικού σηµείου) Εστω f :, [ ) ( F ) f lim = Παράδειγµα Εστω παραγωγίσιµη συνάρτηση y :, [ ) ικανοποιεί το πρόβληµα αρχικών τιµών που 4

y + y= e y = 3 Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της y Λύση Παίρνουµε το µετασχηµατισµό Lplce και στα δυο µέλη της δε και έχουµε 3 3 ( y + y) = ( e ) ( y ) + ( y) = ( e ) L L L L L Επειδή ( y ) = ( y) y L L και ( e ) 3 L =, > 3 έχουµε + 3 L ( y) y + L ( y) = + L y =, >3 + 3 + 3 + 4 L =, >3 ( y) ( + )( + 3) Παράδειγµα Εστω συνάρτηση y :, [ ) πρόβληµα αρχικών τιµών y + y 3y= y = y = Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της y που ικανοποιεί το Λύση Παίρνουµε το µετασχηµατισµό Lplce και στα δυο µέλη της δε και έχουµε ( y + y 3y) = ( y ) + ( y ) 3 ( y) = L L L L L L Επειδή L( y ) = L ( y) y y και ( y ) = ( y) y L () =, >, έχουµε ( ) L L και L y y y + L y y 3 L y =, > 43

( ) L y + L y 3 L y =, > L + y = + + > ( y) 3 5, + 5+ L =, > ( )( + 3) Θ ΣΥΝΕΛΙΞΗ Ορισµός 5 Εστω f, g :[, ) είναι τµηµατικά συνεχείς συναρτήσεις σε κάθε διάστηµα [, ], > Καλούµε συνέλιξη των f, g, συµβολικά f g να είναι η συνάρτηση () f g = f ω g ω dω Η παραπάνω είναι καλά ορισµένη Με χρήση του ορισµού η συνέλιξη ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: f g = g f (αντιµεταθετική) ( f g) h = f ( g h) (προσεταιριστική) f ( g + h) = f g + f h (επιµεριστική) Θεώρηµα 5 Εστω f, g :[, ) και εκθετικής τάξης συναρτήσεις και L ( f ), ( g ) είναι τµηµατικά συνεχείς L είναι οι µετασχηµατισµοί Lplce των f και g αντιστοίχως Τότε ορίζεται ο µετασχηµατισµός Lplce της f g και ισχύει, L f g = L f L g > Απόδειξη Ξεκινούµε απ το δεύτερο µέλος και θυµόµαστε ότι g u = u< Εχουµε, u ( ) L f L g f e d g u e du = 44

u ( ) () () u ( + ) g u e du f e d f g u e dud = = Θέτουµε (για το εσωτερικό ολοκλήρωµα) u+ = w και έχουµε () () u ( + ) w f g u e dud = f g w e dwd Επειδή όµως g( w ) =, w< µπορούµε να γράψουµε w () ( ) = () ( ) w f g w e dwd f g w e dwd w Λόγω απόλυτης σύγκλισης του διπλού ολοκληρώµατος µπορούµε να εναλλάξουµε την ολοκλήρωση και έχουµε w ( ) = ( ) w f g w e dwd f g w e ddw w w () () w w w f g w e ddw f g w d e dw = = ( f g) = L Παράδειγµα Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της συνέλιξης ( b e e ) για,, b Λύση Εχουµε L b b e e = L e L e =, > mx {, b} b Παράδειγµα Για y :, [ ) συνεχή, υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce της ολοκληρωτικής εξίσωσης Λύση Εχουµε () = + ( ) y e yω ηµ ω dω ( ω ηµ ω ω) ( ηµ ) L y = L e + L y d = L e + L y L 45

+ L( y) = + L( y) L ( y) =, > + + + Θεώρηµα 5 Εστω f :, [ ) Ι ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑ R είναι τµηµατικά συνεχής και εκθετικής τάξης T -περιοδική συνάρτηση Τότε ο µετασχηµατισµός Lplce της f ικανοποιεί τη σχέση T L ( f ) = f () e d, > T e Απόδ Χρησιµοποιούµε τον ορισµό και την περιοδικότητα της f Ασκήσεις Με χρήση ιδιοτήτων υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των παρακάτω συναρτήσεων για : f () = + Απ F () =, + > 3 f () = + 3ηµ Απ F () = +, > 3 + () = + Απ F () = +, > + + 4 f ηµ συν f () = + Απ F () = +, > 3 f () = e Απ F () =, > ( ) f () e ηµ ( 5) = Απ 5 F () =, > 5 + + ( ) 5 = Απ F () =, + 5+ > f () e ηµ ( 5) 46

3 f () = e συν Απ 3 F () =, > 3 + ( 3) e e f () =, f περιοδική Απ F () =, > e, < < f() =,, < < f περιοδική Απ e e + F () =, > ( e ) Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των ακολούθων προβληµάτων αρχικών τιµών y + y= y = Απ F = ( + ) y + y=συν y = 3 y + 4y= = = y y y + y + y= e y = y = Απ F Απ F = F 3 + + 3 ( + ) = + 4 Απ = + 4 + 3 ( + ) ( ) 3 Υπολογίστε το µετασχηµατισµό Lplce των ολοκληρωτικών εξισώσεων + y () = + y( ω) συν ( ω) dω Απ F = + e = y( ω) y( ω) dω Απ F = ±, > ( ) 47

54 Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce Ορισµός 53 Εστω F: A : F = F Αν υπάρχει f :, : f = f() L f = F, τότε η συνάρτηση [ ) τέτοια ώστε f καλείται αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce της F και γράφουµε f = L F Παρατηρήσεις (α) εν ορίζεται πάντοτε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce συνάρτησης F (β) Αν µια συνάρτηση f έχει µετασχηµατισµό Lplce F = F(),, τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce της F ορίζεται µέσω του τύπου ir f () = γ lim e F d π i +, R γ ir όπου γ οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός που εκλέγεται έτσι ώστε η κατακόρυφος Re = γ να περιέχει όλους τους πόλους της F στο αριστερό της µέρος Ο τύπος αυτός είναι ο τύπος αντιστροφής του µετασχηµατισµού Lplce και η χρήση του απαιτεί γνώσεις µιγαδικής ανάλυσης Στο εξής για την εύρεση του αντιστρόφου µετασχηµατισµού Lplce θα χρησιµοποιούµε ιδιότητες που θα αναπτύξουµε παρακάτω (γ) Οσον αφορά στο ερώτηµα αν υπάρχουν δυο διαφορετικοί αντίστροφοι µετασχηµατισµοί Lplce που αντιστοιχούν στην ίδια συνάρτηση f, η απάντηση είναι πως όχι αν η αρχική συνάρτηση f είναι συνεχής Εστω FG, είναι οι µετασχηµατισµοί Lplce δυο συναρτήσεων f, g :[, ) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού Lplce αποδεικνύονται άµεσα οι ακόλουθες ιδιότητες του αντίστροφου µετασχηµατισµού Lplce: Α Γραµµικότητα ( F ± bg) = ( F ) ± b ( G) L L L 48

Πράγµατι: ( F ± bg) = ( ( f ) ± b ( g )) = ( ( f ± bg ) ) L L L L L L Β Μετάθεση στο πεδίο συχνοτήτων ( ( f bg )) f bg ( F ) b ( G) = ± = ± = ± L L L L Πράγµατι: ( ) b L F b = f() e, ( ) ( b ) b L F b = L L f() e = f() e Γ Μετάθεση στο πεδίο χρόνου L ( b e F )( ) = u f( b), (, b> ) b ιαστολή Ε Momen ( )() L F b = f,, b> b b L ( ) n F n = n f, ΣΤ Αντιπαράγωγος ( ( ω) ω) f F d L =, Ζ Συνέλιξη ( ) = () L F G f g Παράδειγµα Να βρεθεί ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lplce της συνάρτησης F = + 9 Λύση Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του αντίστροφου 49

µετασχηµατισµού Lplce και λαµβάνοντας υπόψη το µετασχηµατισµό Lplce των στοιχειωδών συναρτήσεων συν ( ) και ηµ ( ) έχουµε L = συν = ( 3) ηµ ( 3 ), + 9 L + 9 L + 9 Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () = 3+ Λύση Χρησιµοποιούµε τη µέθοδο ανάλυσης σε απλά κλάσµατα Εχουµε A B = = + 3+ ( )( ) Τότε: A+ B= A= = A( ) + B( ) (5) A B= B= Σηµείωση Στην παραπάνω σχέση = A( ) + B( ) (βλέπε (5)) µπορούµε να θέσουµε κατευθείαν =, οπότε = A( ) + B() A=, =, οπότε = A( ) + B() B= Μ αυτόν τον τρόπο υπολογίζουµε πιο γρήγορα και εύκολα τους συντελεστές A και B Τελικά: F () = = + L = L + 3+ 3+ L e e, L = + = + Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () =, 3 6+ 9 > 5

Λύση Εφόσον έχουµε F () = = 6+ 9 3 3 L ( F) = L e, = ( 3), Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () = +, > 3 Λύση Εχουµε F () = + = = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 3 3 3 Αρα e L ( F) = L e, L 3 = ( + ) ( + ) Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () = + 5 Λύση ος τρόπος: Το τριώνυµο του παρονοµαστή έχει αρνητική διακρίνουσα Με συµπλήρωση τετραγώνων παίρνουµε Αρα = + 5 ( ) + 4 L ( F) = L = = eηµ ( ), ( ) + 4 ( ) + 4 L ος τρόπος (προϋποθέτει γνώσεις µιγαδικής ανάλυσης): Eργαζόµαστε µε τη µέθοδο των απλών κλασµάτων Ετσι έχουµε 5

A B = = + 5 ( ) + + i i + i i ( ) = A i + B + i, AB,, Στην παραπάνω ισότητα θέτουµε όπου καθεµιά από τις ρίζες του τριωνύµου: Τότε =, οπότε ( ) ( ) i i i = B( i + i ) B= =, 4i 4 i = A( + i i ) A= = 4i 4 = +, οπότε L ( F ) i i = 4 L + ( + i) 4 L ( i) i i i i ( i ) ( i ) ie ( e e + ) i i iee iee = e + e = + = 4 4 4 4 4 i i Aπό τον τύπο Euler έχουµε e e iηµ L = Άρα ie iηµ i eηµ eηµ, = = = + 5 4 Παράδειγµα Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce της συνάρτησης F () =, > ( ) Λύση Με ανάλυση σε απλά κλάσµατα έχουµε A B F () = = + + Γ ( ) ( ) 5

Στην (53) θέτουµε = A + B +Γ (53) = (απλή ρίζα παρονοµαστή), οπότε A = = (διπλή ρίζα παρονοµαστή), οπότε Γ = Πως θα βρούµε όµως τη σταθερά B ; Παραγωγίζουµε την (53) και αντικαθιστούµε τις τιµές των A και Γ που βρήκαµε Ετσι έχουµε A=, Γ= = A + B + B+Γ = + B + B+ Στη συνέχεια για πχ = βρίσκουµε άµεσα B = Ετσι L F = L + L + L = + e + e, ( ) Ασκήσεις Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lplce των: F () =, Re() >6 + 6 F () = + 5 Απ L ( F) Απ L ( F ) = e 6 ηµ = ( 5 ) 5 + 3 F () = Απ L ( F ) συν = 3 F () = + + Απ L / 3 F = e ηµ 3 53

55 Εφαρµογή του µετασχηµατισµού Lplce στην επίλυση διαφορικών και ολοκληρωτικών εξισώσεων Μια σηµαντική εφαρµογή του µετασχηµατισµού Lplce εµφανίζεται στην επίλυση γραµµικών διαφορικών εξισώσεων και ολοκληρωτικών εξισώσεων µε σταθερούς συντελεστές Η διαδικασία είναι η εξής: υπολογίζουµε το µετασχηµατισµό Lplce της άγνωστης συνάρτησης y και στη συνέχεια υπολογίζουµε την y µέσω του αντιστρόφου µετασχηµατισµού Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών y y=, y = Λύση Εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Lplce και στα δυο µέλη της δε και έχουµε ( y y) ( y ) ( y) L = L() L L = L () L( y) y() L( y) = L () Αρα ( ) L( y) = y() + L() + L ( y) =, > ( ) + y () = L ( ) Αναλύουµε το µετασχηµατισµό Lplce σε απλά κλάσµατα και έχουµε + A B = + A( ) + B= + ( ) Για = στην παραπάνω ισότητα βρίσκουµε B = 3/ Για = στην παραπάνω ισότητα βρίσκουµε A = / Ετσι + 3 3 ( ) L = L + L = + e, 54

Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών y + x= x =, x y= y = Λύση Εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό Lplce ταυτόχρονα και στις δυο παραπάνω ισότητες και έχουµε L( y ) + L( x) = L L( x ) L( y) = L() L( y) y() + L( x) = L L( x) x() L( y) = L() L( y) + L( x) = L + L( x) L( y) = L() + L( x) + L( y) = + L( x) L( y) = + + + L( x) = ( + ) L( y) = + 3 Αλλά: L y = y= = + L + L + L + y= ηµ συν Για τη x εργαζόµαστε µε τη µέθοδο απλών κλασµάτων και βρίσκουµε x = + συν+ ηµ Τελικά: x= + συν+ ηµ, y= ηµ συν Παράδειγµα Να λυθεί η ολοκληροδιαφορική εξίσωση 55

Λύση Εστω y () ( ω) ω ω y = e + y e d, = c Τότε έχουµε ( ω) ω ( ω) L y = L e + L y e d = L e + L y L e ( c+ + )( ) L( y) y = + L( y) L ( y) = + + ( y) ( c+ + )( ) ( )( + ) L =, > Με ανάλυση σε απλά κλάσµατα παίρνουµε: ( c+ + )( ) A B Γ = + + ( )( + ) + ( + ) ( c )( ) A( ) B( )( ) ( ) + + = + + + +Γ (54) Για = παίρνουµε A ( c ) = + 3/9 Για = παίρνουµε Γ = c /3 Παραγωγίζουµε την (54) και έχουµε ( c ) ( ) A( ) B ( ) ( ) οπότε για πχ L ( y) + + + = + + + + +Γ, = παίρνουµε B ( c) c+ 3 6c c = + + 9 9 + 3 + = 6 /9 Αρα: c+ 3 6c c y = L + L + L 9 9 + 3 ( + ) c+ 3 6c c 9 9 3 y= e + e + ηµ 56

Ασκήσεις Να λυθούν οι κάτωθι δε µε χρήση του µετασχηµατισµoύ Lplce y + y= y = y + y=συν y = 3 y + y=συν y = 3 + = + = = y y y y + + = = = y y y ( ) e y y Απ y= 3e + Απ y= e + συν+ ηµ Απ y= e + συν+ ηµ Απ y= + + συν ηµ e 8 Απ y= ( 7+ e + 4e + e ) Με χρήση του µετασχηµατισµoύ Lplce να λυθούν τα ακόλουθα συστήµατα δε y + x= x =, x y= y = Απ () = x = y x + y= x =, x y = y = x = 3 x + y =, x = x y= e y = x = 3ηµ Απ y () = + 3συν 6+ e + συν3ηµ x () = 6 Απ e + συν+ 3ηµ y () = 57

56 O τελεστής Dirc Ο τελεστής ή «γενικευµένη συνάρτηση» Dirc µοντελοποιεί µε µαθηµατικό τρόπο ξαφνικές και στιγµιαίες φυσικές µεταβολές όπως πχ το στιγµιαίο χτύπηµα µε σφυρί σε σύστηµα µάζαςελατηρίου ή την ξαφνική αλλαγή τάσης λόγω κεραυνού Συνήθως η «γενικευµένη συνάρτηση» Dirc ορίζεται ως εξής: δ b (), b =, b, " ", = b όπου ο συµβολισµός " " έχει την έννοια ότι στο x = η δέλτα είναι όσο άπειρη χρειάζεται ώστε το εµβαδόν E κάτω από το γράφηµά της να ισούται µε τη µονάδα (υπό µια έννοια E = ( ) = ) Πιο αυστηρά, ο τελεστής Dirc ορίζεται «φορµαλιστικά» από τη σχέση () δ () = f b d f b, για κάθε συνάρτηση f µε παραγώγους κάθε τάξης στο οι οποίες φθίνουν γρήγορα στο άπειρο Με τον ορισµό αυτό ο τελεστής δέλτα απεικονίζει σε κάθε «καλή» συνάρτηση f, έναν αριθµό, την τιµή της f στο σηµείο b Ετσι, για κάθε b > ορίζουµε: b δ L = δ e d = e, > Ειδικά για b = ορίζουµε b b Προφανώς: L ( δ ) δ = e d = δ δ = b b Σηµειώνουµε ότι αν ub, b είναι η µοναδιαία συνάρτηση βήµατος Ηeviide, τότε b e L ( ub ) =, > 58

Η συνάρτηση Γάµµα Ας θυµηθούµε ότι n n! n n! L ( ) = e d = n+ n+ Για να επεκτείνουµε το παραπάνω αποτέλεσµα και για µη ακεραίους εκθέτες ας θεωρήσουµε ότι x x L = e d, x> Θεωρούµε x >, διότι για x το µεταβλητής y=, > παίρνουµε lim x e d + = Με αλλαγή L x y y x y ( ) = e dy y e dy x+ = Η συνάρτηση x y Γ x = y e dy, x> καλείται Γάµµα συνάρτηση Τότε: x ( x ) x x y Γ + L ( ) = y e dy=, x>, > x+ x+ H συνάρτηση γάµµα επεκτείνεται και σε όλους τους µιγαδικούς αριθµούς αρκεί να µην είναι αρνητικοί ακέραιοι,, 3, Ικανοποιεί δε την ( x ) x ( x) Γ + = Γ, δηλαδή είναι µια γενίκευση του παραγοντικού Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών: Λύση Εχουµε: y + y= u, y =, y =, > 59

( ) ( ) L y + y = L u L y y y + L y = e e ( + ) L( y) = + L ( y) = + + + L ( y) = + e + + ηµ συν y = + u, >, e ή ισοδύναµα () y ηµ < = ηµ + ( συν ( ) ) > Παράδειγµα Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών:, < π y + y=, y = y = > π Λύση Μπορούµε να γράψουµε: συνεπώς:, < < π u () uπ () =, > π ( π ) L L ( π ) y + y= ηµ u u y + y = u u ( ) e L y y y + L y = π e π L ( y) = = ( e ) + + ( ) L = + + + π π ( y) e e ( συν ) συν ( π ) π y= u + u, π π 6

Aσκήσεις Να λυθούν τα προβλήµατα αρχικών τιµών y + y + y= δ π, y = y = Απ ( π y= u e ) ( ) y y y e δ y y + + = +, = = Να λυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών y y y y e π ηµ π Απ = () + 3 ()( ) y u u e ( ), π + =, = = > π y= συν u u + u συν π, Απ π π 6

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LAPLACE ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Αρχική συνάρτηση f (), Μετασχηµατισµός Lplce F () = L f () f, > e, > ηµ ( ), > + inh( ), > συν ( ), > + coh( ), > n n n!, > + x, x> ( b ) δ, b ( x ) Γ + x, > + e b u, b b b e / n f() n ( n) ( ) F f + bg F() + bg() ub f ( b), b> b e F() e f() F ( ) f ( u) du F / f F( ω) dω ( n f ) () n n F () f() ( n) ( n) f () f () f g L( f ) L ( g ) ειναι T περιοδικη T f T () e d e 6

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LAPLACE ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Μετασχηµατισµός Lplce L ( f ) = F Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Lplce L F = f,, > e, >, > + ηµ ( ), > inh( ), > + συν ( ), coh( ) > n n!, > + n Γ ( x + ) x, > x, x> + b e, b δ b b e /, b u b F() + bg() f + bg b e F(), b ub f b F ( ) e f() n ( n) F > n f() F( ω ) dω f F/ f ( u) du F G f g () 63