Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni mõistet. Pinguse puhu eristatatkse järgmist kome juhtu: ruumpingus kõik kom peapinget on nuist erinevad; tasandpingus kaks peapinget on nuist erinevad; joonpingus vaid üks peapinge on nuist erinev. Anaoogiiset, st. äbi peadeformatsioonide, defineeritakse ruum-, tasand- ja joondeformatsiooni. Üdjuhu võib nii pinguse kui deformatsiooni iseoom oa keha erinevates punktides erinev. Kui igas keha punktis on pingus (deformatsioon) sama iseoomuga siis öedakse, et kehas on ühtane pingus (deformatsioon). Eastsusteooria üesannet nimetatakse tasandüesandeks (ehk tasapinnaiseks üesandeks) kui deformatsioon või pinge on kogu keha uatuses tasapinnaine.
5.2. Tasanddeformatsioon 145 5.2 Tasanddeformatsioon Vaadedava juhu on kõigis keha punktides deformatsioon tasapinnaine, st. üks peadeformatsioonidest on nu. Tasanddeformatsioon saab tekkida kui siirded u u(,), v v(,), w. (5.1) Vastavat Cauh seostee (4.2) ε u, ε v, γ u + v, γ z v z + w, ε z w z, γ z u z + w. (5.2) Seine deformatsiooniseisund tekib pikas kehas, miee mõjub keha pinnaga (z-tejega) ristuv koormus. Näiteks: pikk tugisein; (metroo)tunne; pikk radiaaset surutud võ; pika paadi siindriine paine (NB! Saint Venant i printsiip). pidid 5.2. Tasanddeformatsioon 146 Pingete eidmiseks kasutame üdistatud Hooke i seadust nn. pöördkuju (4.4): λθ + 2µε (λ + 2µ)ε + λε, τ µγ, σ λθ + 2µε λε + (λ + 2µ)ε, τ z µγ z, (5.3) σ z λθ + 2µε z λ(ε + ε ), τ z µγ z. Teisest küjest, arvestades Hooke i seadust kuju (4.3), peab ε z 1 E [σ z ν( + σ )], kust saame σ z ν( + σ ). Kuna siirded u ja v sõtuvad vaid koordinaatidest ja, siis avadiste (5.2) ja (5.3) põhja ka pinge σ z sõtub vaid koordinaatidest ja.
5.2. Tasanddeformatsioon 147 Tasakaauvõrrandid (4.1): + τ + τ z z + X, τ + σ + τ z z + Y, τ z + τ z + σ z z + Z. Arvestades üesande sisu jääb järgi kaks võrrandit + τ + X, kusjuures ka mahujõud Z. τ + σ + Y, (5.4) 5.2. Tasanddeformatsioon 148 Rajatingimustest (4.5) p ν + τ m + τ z n, p ν τ + σ m + τ z n, p νz τ z + τ z m + σ z n jääb samuti aes 2 esimest võrrandit { pν + τ m, p ν τ + σ m; (5.5) keha kügpind on paraeene z-tejega ning seetõttu normaai suunakoosinus n ; p νz kuna muidu poeks mei tasanddeformatsiooni.
5.2. Tasanddeformatsioon 149 Pidevusvõrranditest deformatsioonides (4.6) 2 ε + 2 ε 2 2 γ 2, 2 ε z 2 + 2 ε z 2 2 γ z z, jääb aes vaid esimene 2 ε z + 2 ε 2 z 2 γ z 2 z, ( γz + γ z γ ) z ( γ z + γ z γ ) z ( γz z + γ z γ ) z 2 2 ε z, 2 2 ε z, 2 2 ε z 2 ε 2 + 2 ε 2 2 γ. (5.6) 5.3. Tasandpingus 15 5.3 Tasandpingus Vaateme oukorda, kus kõigis keha punktides üks peapingetest on nu. Seise juhu saame vaida Desartes i ristkoordinaadid nii, et (,), σ σ (,), τ τ (,), σ z τ z τ z. (5.7) Seine pingus tekib näiteks õhukeses paadis, miee mõjub servades rakendatud koormus, mis on risti z-tejega. Üdistatud Hooke i seadusest (4.3) saame ε 1 E [ ν(σ + σ z )] νσ, γ τ E G, ε 1 E [σ ν(σ z + )] σ ν, γ z τ z E G, ε z 1 E [σ z ν( + σ )] ν + σ E, γ z τ z G. (5.8) Tasakaauvõrrandid on tasandpinguse korra samad kui oid tasanddeformatsiooni korra, st. esitatud kuju (5.4). joonis
5.4. Tasandüesande ahendamine pingetes 151 5.4 Tasandüesande ahendamine pingetes Väga sagei ahendatakse eastsusteooria üesanded pingetes, sest see meetodi on võrredes siiretes ahendamisega mõned eeised: sagei ongi üesande ahendina vaja eida vaid pingeid, siirded on teisejärguise tähtsusega ning neid poegi vaja eida; üdjuhu on siirete avadised võrredes pingete avadisega tunduvat keerukamad. Tundmatud: pingetensori komponendid,σ ja τ. 5.4. Tasandüesande ahendamine pingetes 152 Esmat peame pidevustingimuse (5.6) 2 ε 2 + 2 ε 2 2 γ. avadama pingetes. Seeks kasutame üdistatud Hooke i seadust kuju (5.8) kust eiame vajaikud osatuetised äbi pingete: 2 ε 1 ( 2 ) 2 E σ 2 ν 2, 2 2 ε 1 ( 2 ) σ 2 E 2 ν 2, (5.9) 2 2 γ 1 2 τ 2(1 + ν) 2 τ G E. Seega saab pidevustingimus kuju ( 2 ) ( σ 2 ) σ 2 ν 2 + 2 2 ν 2 2 2(1 + ν) 2 τ. (5.1)
5.4. Tasandüesande ahendamine pingetes 153 Viimasest avadisest saab tasakaauvõrrandite (5.4) abi eimineerida nihkepinge. Seeks diferentseerime (5.4) 1 järgi ja (5.4) 2 järgi 2 τ 2 X 2, 2 τ 2 σ 2 Y. Eedades, et mahujõu on konstantsed, saame viimaste iitmise tuemusena (5.11) 2 2 τ 2 2 2 σ 2. (5.12) Asendades viimase tuemuse pidevustingimusse (5.1) saame peae teisendusi 2 ( + σ ) 2 + 2 ( + σ ) 2. (5.13) Kasutades Lapae i operaatorit 2 saame väjendada tasandüesande pidevustingimuse pingetes kuju 2 ( + σ ). (5.14) 5.4. Tasandüesande ahendamine pingetes 154 Tasandüesande ahendamine pingetes ihtsustub ouiset kui tuua sisse Air pingefunktsioon ϕ(, ), mis on seotud pingekomponentidega järgmise kuju: 2 ϕ 2 ; σ 2 ϕ 2; τ 2 ϕ X Y, (5.15) kus X ja Y on konstantsed mahujõud. Aternatiivne võimaus siduda pingekomponendid ja pingefunktsioon: 2 ϕ 2 X; σ 2 ϕ 2 Y ; τ 2 ϕ. (5.16) Nii (5.15) kui (5.16) korra on tasakaauvõrrandid (5.4) automaatset rahudatud. Pannes seiset defineeritud pingekomponendid pidevustingimusse (5.14) saame biharmooniise võrrandi ( 2 2 ϕ + 2 ϕ 2 2 ) ( 2 2 ϕ ). (5.17)
5.4. Tasandüesande ahendamine pingetes 155 Lahti kirjutatut saab viimane kuju 4 ϕ + 2 4 ϕ 4 2 + 4 ϕ. (5.18) 2 4 Funktsiooni, mis rahudab biharmooniist võrrandit (5.17) või (5.18) nimetatakse biharmooniiseks funktsiooniks. Kuna tasakaauvõrrandid on antud juhu automaatset rahudatud, siis taandub tasandüesande ahendamine pingetes nejandat järku osatuetistega diferentsiaavõrrandi ahendamisee. Siinjuures tueb oomuikut arvesse võtta pingetes antud ääretingimusi. Peae pingefunktsiooni eidmist määratakse pingetensori komponendid (näiteks avadistest (5.15)). Seejäre saab üdistatud Hooke i seaduse abi eida deformatsioonikomponendid ja Cauh seostest siirdekomponendid. Tegeikut on pingefunktsiooni eidmine mitme juhu suhteiset ihtne. Vastavat meetodit võib nimetada poovastupidiseks meetodiks. See põhja antakse pingefunktsioon ette kas poünoomina või trigonomeetriise reana, mis sisadavad määramata konstante. Viimased määratakse üesande ahendamise käigus ääretingimuste ja biharmooniise võrrandi abi. 5.5. Biharmooniise võrrandi ahendamine poünoomides 156 5.5 Biharmooniise võrrandi ahendamine poünoomides Kui väjendada Air funktsioon poünoomina ϕ ( a2 + ( a3 3 2 3 + b 3 2 2 + 3 2 2 + d 3 2 2 + b 2 + ) 2 2 2 + ( a4 4 3 4 + b 4 3 2 3 + 4 2 2 2 + d 4 3 2 3 + e 4 4 3 4 ) 3 2 3 + ) +... (5.19) saab konstrueerida terve rea tasandüesande ahendusi. Vaadedav ähenemisviis on rakendatav kui uuritakse ristküikuisi paate või taasid. Mahujõud, k.a. keha kaa, hügame. Käesoevas aajaotuses vaateme taasid, mie pikkus on, kõrgus 2 ja aius 1. Taa tejeks on -teg ja teg on suunatud aa. Ku- joonis na ineaarses eastsusteoorias kehtib superpositsiooni printsiip, siis vaateme agu poünoome kuni 5. astmeni eradi. Järgmises aajaotuses konstrueerime saadud tuemuste abi erinevaid ahendeid.
5.5. Biharmooniise võrrandi ahendamine poünoomides 157 A) Ruutpoünoom ϕ2 a 2 2 2 + b 2 + 2 2 2. (5.2) Seise vaiku puhu on biharmooniine võrrand (5.18) automaatset rahudatud. Mahujõude hügamise puhu saame avadistest (5.15) pingekomponendid kuju 2 ; σ a 2 ; τ b 2. (5.21) σ a 2 τ b 2 τ b 2 τ b 2 Seine pingeseisund tähendab a 2 >, b 2 > ja 2 > puhu ühtast tõmmet kahes ristuvas sihis koos ühtase nihkega. Vastavad rajatingimused on esi- 2 2 τ b 2 σ a 2 Joonis 5.1: Ruutpoünoomie vastavad rajatingimused. tatud joonise 5.1. Võttes osa poünoomi koefitsente võrdseks nuiga, saab rajatingimusi varieerida. 5.5. Biharmooniise võrrandi ahendamine poünoomides 158 B) Kuuppoünoom ϕ 3 a 3 3 2 3 + b 3 2 2 + 3 2 2 + d 3 3 2 3. (5.22) Ka antud juhu on biharmooniine võrrand (5.18) automaatset rahudatud. Pingete avadiste (5.15) põhja aga 3 + d 3 ; σ a 3 + b 3 ; τ b 3 3. (5.23) d 3 d 3 d 3 d 3 Joonis 5.2: Kuuppoünoomie vastavad rajatingimused: d 3, a 3 b 3 3. Vaides vaid d 3 saame puhtae paindee vastava pingeseisundi. Rajatingimused, mis vastavad juhue d 3 > on esitatud joonise 5.2. Vaides vaid b 3 saame pingeseisundi, mie korra pindade ± mõjuvad pinged σ ±b 3 ja τ b 3 ning pinna pinge τ b 3. Juhu b 3 > jaoks on vastavad rajatingimused esitatud joonise 5.3.
5.5. Biharmooniise võrrandi ahendamine poünoomides 159 σ b 3 σ b 3 τ b 3 τ b 3 τ b 3 Joonis 5.3: Kuuppoünoomie vastavad rajatingimused: b 3, a 3 3 d 3. Muud võimaused: Vaid 3... Vaid a 3... Jne.... Teist ja komandat järku poünoomide puhu ponud vaja esitada täiendavaid 5.5. Biharmooniise võrrandi ahendamine poünoomides 16 kitsendusi poünoomide koefitsentidee, sest biharmooniine võrrand oi automaatset rahudatud. Kõrgemat järku poünoomide puhu poe asi aga enam nii ihtne. C) Nejandat järku poünoom ϕ 4 a 4 4 3 4 + b 4 3 2 3 + 4 2 2 2 + d 4 3 2 3 + e 4 4 3 4. (5.24) Nüüd on biharmooniine võrrand (5.18) rahudatud vaid juhu kui e 4 (2 4 + a 4 ) (5.25) ning pingekomponendid (5.15) saavad kuju 4 2 + d 4 (2 4 + a 4 ) 2 ; σ a 4 2 + b 4 + 4 2 ; τ b 4 2 2 2 4 d 4 2 2. (5.26) Kuna koefitsentide a 4,...,d 4 vaik on vaba, siis on (5.26) abi võimaik kirjedada mitmesuguseid rajatingimusi.
5.5. Biharmooniise võrrandi ahendamine poünoomides 161 Näiteks kui vaid d 4 on nuist erinev poünoomi koefitsent, siis d 4 ; σ ; τ d 4 2 2. (5.27) d 4 d 4 τ,5d 4 2 τ,5d 4 2 τ,5d 4 2 τ,5d 4 2 Joonis 5.4: Nejandat järku poünoomie vastavad rajatingimused juhu kui d 4 > ja a 4 b 4 4. Juhue d 4 > vastavad rajatingimused τ d 4 2 2, kui ±; τ d 4 2 2, kui ; τ d 4 2 2, d 4, kui ; on kujutatud joonise 5.4. (5.28) 5.5. Biharmooniise võrrandi ahendamine poünoomides 162 Kui vaid 4 > oeks nuist erinev poünoomi koefitsent, siis saaksime avadistest (5.26) Jne., jne. 4 2 2 4 2 ; σ 4 2 ; τ 2 4. (5.29) D) Viiendat järku poünoom ϕ 5 a 5 5 4 5 + b 5 4 3 4 + 5 3 2 3 2 + d 5 3 2 2 3 + e 5 4 3 4 + f 5 5 4 5. (5.3) Nüüd on biharmooniine võrrand (5.18) rahudatud kui e 5 (2 5 + 3a 5 ) ja f 5 1 3 (b 5 + 2d 5 ). (5.31) Pingekomponendid 2 ϕ 5... 2 σ 2 ϕ 5... 2 τ 2 ϕ 5... (5.32)
5.5. Biharmooniise võrrandi ahendamine poünoomides 163 Vaides vaid d 5 > nuist erinevaks poünoomikoefitsendiks, saame pingejaotuse d 5 ( 2 2 3 3 ), σ 1 3 d 5 3, τ d 5 2. (5.33) Viimasee vastavad rajatingimused ±, σ ± 1 3 d 5 3, τ d 5 2, 2d 5 3 3, τ,, d 5 ( 2 2 3 3 ), τ d 5 2. (5.34) Kuna biharmooniine võrrand (5.18) on ineaarne diferentsiaavõrrand, siis on tema ahendiks ka suvaine ahendite superpositsioon. Seega, iites eespoo eitud eementaarahendeid, saame eida meid huvitava probeemi ahendi. 5.5. Biharmooniise võrrandi ahendamine poünoomides 164 Taa pinna mõjuvate pingete (pindjõudude) peavektori ja peamomendi eidmine Vaateme taa, mie pikkus on, kõrgus 2 ja aius 1. Eedame, et taa kontuuri mõjuvad normaa- ja nihkepinged on positiivsed. Vaime taandamistsentriks koordinaatide aguse. Peavektori projektsioonid koordinaattegede ja : R R ( ) + R ( ) + R (τ ) R (τ ) d d + τ d τ d; R R (σ ) + R (σ ) + R (τ ) + R (τ ) σ d σ d τ d + τ d. (5.35) (5.36)
5.5. Biharmooniise võrrandi ahendamine poünoomides 165 Peamoment koordinaatide aguse suhtes 1 M O M O ( ) + M O ( ) + M O (σ ) + M O (σ ) + + M O (τ ) + M O (τ ) + M O (τ ) + d σ d τ d d+ σ d τ d + τ d. (5.37) 1 Kuna teg on suunatud aa, siis on positiivne moment päripäeva.