Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης

Ερωτήσεις θεωρίς βσισμένες στο βιβλίο των μθημτικών της Γ τάξης 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ 27 Απριλίου 29

2 Μθημτικά Γ Τάξης 1. Τι είνι πληθυσμός, άτομο κι μέγεθος ενός πληθυσμού; Πληθυσμός ονομάζετι το σύνολο των ντικειμένων γι το οποίο συλλέγοντι στοιχεί κι συντάσσοντι οι σττιστικοί πίνκες. Κάθε στοιχείο του πληθυσμού ονομάζετι άτομο. Μέγεθος του πληθυσμού εινι το πλήθος των τόμων. 2. Τι εινι μετβλητή; Ποι χρκτηιστικά ονομάζοντι ποιοτικά κι ποι ποσοτικά; Μετβλητή ονομάζετι το χρκτηριστικό σύμφων με το οποίο μελετάμε ένν πληθυσμό. Ποσοτικά ονομάζοντι τ χρκτηριστικά που μπορούν ν μετρηθούν. Ποιοτικ είνι τ χρκτηριστικά τ οποί δεν επιδέχοντι μέτρησης. 3. Σε ποι είδη δικρίνοντι οι μετβλητές των ποσοτικών χρκτηριστικών; Οι μετβλητές των ποσοτικών χρκτηριστικών χωρίζοντι σε:. Δικριτές μετβλητές, στις οποίες κάθε άτομο του πληθυσμού μπορει ν πάρει μόνο δικεκριμένες τιμές. β. Συνεχείς μετβλητές, στις οποίες κάθε άτομο του πληθυσμού μπορει ν ντιστοιχιθεί σε οποιδηποτε πργμτική τιμή που νήκει σε διάστημ των πργμτικών ριθμών ή ένωση διστημάτων. 4. Τι ονομάζετι δείγμ; Δείγμ εινι το ντιπροσωπευτικό μέρος ενός πληθυσμού που επιλέγουμε, με σκοπό ν εξετάσουμε σττιστικά κάποιο χρκτηριστικό του πληθυσμού υτού. 5. Τι ονομάζουμε συχνότητ κι τι σχετική συχνότητ μις μετβλητής;. Συχνότητ τιμής x i μις μετβλητής ονομάζετι το πλήθος των τομων του πληθυσμού (ή του δείγμτος) γι τ οποί η μετβλητή πίρνει την τιμή x i κι συμβολίζετι με ν i. β. Σχετική συχνότητ τιμής x i μις μετβλητής ονομάζετι ο λόγος της συχνότητς προς το μέγεθος του δείγμτος κι συμβολίζετι με f i, δηλδή f i = ν i ν. 6. Σε μι ποσοτική μετβλητή, τι ονομάζετι θροιστική συχνότητ κι τι σχετική θροιστική συχνότητ; Σε μι ποσοτική μετβλητή,. θροιστική συχνότητ μις τιμής x i λέγετι το άθροισμ των συχνοτήτων ν i των τιμών που είνι μικρότερες ή ίσες με την τιμή υτή. β. σχετική θροιστική συχνότητ μις τιμής x i λέγετι το άθροισμ των σχετικών συχνοτήτων f i των τιμών που είνι μικρότερες ή ίσες με την τιμή υτή.

1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 3 7. Με ποιους τρόπους πριστάνουμε γρφικά τ δεδομέν ενός σττιστικού πίνκ;. Γρφικές πρστάσεις β. Ρβδογράμμτ (κτκόρυφ κι οριζόντι) γ. Κυκλικά διγράμμτ δ. Εικονογράμμτ 8. Σε έν ομδοποιημένο δείγμ τι ονομάζουμε κλάση, πλάτος κλάσης κι κέντρο κλάσης; Σε έν ομδοποιημένο δείγμ, κλάση ονομάζετι το διάστημ [,β) μέσ στο οποίο νήκουν κάποι πό τ στοιχει του δείγμτος. Πλάτος κλάσης είνι η διφορά της ελάχιστης τιμής της κλάσης πό τη μέγιστη τιμή της κλάσης β δηλδή β. Το μέσο κάθε διστήμτος +β 2 ονομάζετι κέντρο της κλάσης. 9. Ποι ιδιότητ έχει το πολύγωνο συχνοτήτων ενός ομδοποιημένου δείγμτος; Το εμβδό του χωρίου που σχημτίζετι μετξύ του πολυγώνου συχνοτήτων κι του οριζόντιου άξον ισούτι με το εμβδό των ορθογωνίων ιστών του ιστογράμμτος. 1. Τι πρέπει ν προσέχουμε ότν κτσκευάζουμε ιστόγρμμ συχνοτήτων; Το ύψος των ορθογωνίων ιστών πρέπει ν είνι ντιστρόφως νάλογο του πλάτος των κλάσεων. Αν c i το πλάτος της κλάσης, ν i η συχνότητ της κλάσης i, τότε το ύψος του ορθογωνίου πρέπει ν είνι ν i c i μονάδες ύψους. 11. Ποιες είνι οι πράμετροι θέσεις ενός δείγμτος; Δώστε τους ορισμούς τους. Πράμετροι θέσης είνι η επικρτούσ τιμή, η μέση τιμή, η διάμεσος.. Επικρτούσ τιμή μις μετβλητής ονομάζετι η τιμή με τη μεγλύτερη συχνότητ. Αν δύο ή περισσοτερες τιμές έχουν τη μέγιστη συχνότητ, υπάρχουν περισσότερες πό μι επικρτούσες τιμές. β. Μέση τιμή ενός δείγμτος, είνι το πηλίκο του θροίσμτος όλων των τιμών του δείγμτος προς το πλήθος του δείγμτος υτού. Ουσιστικά είνι ο μέσος όρος του δείγμτος. x = ν 1x 1 + ν 2 x 2 + + ν κ x κ ν 1 + ν 2 + + ν κ = ν 1x 1 + ν 2 x 2 + + ν κ x κ ν όπου x i τιμή μετβλητής ν πρόκειτι γι τη δικριτή μετβλήτη (ή κέντρο κλάσης ν πρόκειτι γι ομδοποιημένο δείγμ). Το ν i είνι η συχνότητ της τιμής x i (ή της κλάσης i), ν το πλήθος του δείγμτος κι κ το πλήθος των τιμών της μετβλητής (ή των κλσεων). γ. Διάμεσος δ ενός δειγμτος ν πρτηρήσεων που έχουν διτχθεί σε άυξουσ σειρά ονομάζετι:

4 Μθημτικά Γ Τάξης * Η μεσί πρτήρηση ν το πλήθος των πρτηρήσεων είνι περιττό. * Το ημιάθροισμ των μεσίων πρτηρήσεων ν το πλήθος των πρτηρήσεων είνι άρτιο. 12. Από ποιους πράγοντες εξρτώντι οι πράμετροι θέσης; * Η μέση τιμή επηρεάζετι πό τις ριες τιμές κι εξρτάτι πό όλες τις τιμές μις μετβλητής. * Η επικρτούσ τιμή εξρττι μόνο πό την τιμή της μετβλητής με τη μεγλύτερη συχνότητ. * Η διάμεσος σε ντίθεση με τη μέση τιμή δεν επηρεάζετι πό τις κρίες τιμές, εξρτάτι πό όλες τις τιμές του δείγμτος. 13. Ποιες είνι οι πράμετροι δισποράς κι τι εκφράζουν; Πράμετροι δισποράς είνι το έυρος, η δικύμνση κι η τυπική πόκλιση. Οι πράμετροι δισποράς εκφράζουν τη δισπορά των τιμών ενός δείγμτος γύρω πό τη μέση τιμή του, δηλδη πόσο διφέρουν οι τιμές του δείγμτος πό τη μέση τιμή. 14. Πώς προσδιορίζετι η δισπορά των τιμών μις μετβλητής Χ γύρω πό τη μέση τιμή της x; Η δισπορά των τιμών γυρω πό τη μέση τιμή προσδιορίζετι πό τις διφορές ( x x i ) 2. Η μέση τιμή των διφορών υτών είνι η δικύμνση. 15. Ποιος ο ορισμός της δικύμνσης μις μετβλητής που πίρνει ν τιμές t 1, t 2,, t ν ; Αν μι μετβλητή πίρνει ν τιμές t 1, t 2,, t ν που έχουν μέση τιμή x,τότε δικύμνση της μετβλητής ονομάζετι το πηλίκο: s 2 = ( x t 1) 2 + ( x t 2 ) 2 + + ( x t ν ) 2 ν 16. Ποιος ο ορισμός της δικύμνσης μις μετβλητής που πίρνει ν τιμές x 1, x 2,, x κ με ντιστοιχες συχνότητες ν 1, ν 2,, ν κ ; Αν μι μετβλητή πίρνει ν τιμές x 1, x 2,, x κ με ντιστοιχες συχνότητες ν 1, ν 2,, ν κ που έχουν μέση τιμή x,τότε δικύμνση της μετβλητής ονομάζετι το πηλίκο: s 2 = ν 1( x x 1 ) 2 + ν 2 ( x x 2 ) 2 + + ν( x x κ ) 2 ν

1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 5 17. Ποιο το μειονέκτημ της δικύμνσης ως πρμέτρου δισποράς; Οι μονάδες της δικύμνσης είνι τ τετράγων των μονάδων μέτρησης της ντίστοιχης μετβλητής. Γι υτό ντί της δικύμνσης χρησιμοποιούμε ως μέτρο δισποράς την τετργωνική ριζ της δικύμνσης που ονομάζετι τυπική πόκλιση. 18. Τι ονομάζουμε τυπική πόκλιση μις μετβλητής X που πίρνει ν το πλήθος τιμές t 1, t 2,, t ν ; Αν μι μετβλητή X πίρνει ν το πλήθος τιμές t 1, t 2,, t ν που έχουν μέση τιμή x τότε η τυπική πόκλιση της μετβλητής ονομάζετι το πηλίκο: ( x t1 ) 2 + ( x t 2 ) 2 + + ( x t ν ) 2 s = ν 19. Τι ονομάζουμε τυπική πόκλιση μις μετβλητής X που πίρνει κ το πλήθος τιμές x 1, x 2,, x κ ; Αν μι μετβλητή X πίρνει κ το πλήθος τιμές x 1, x 2,, x κ με ντίστοιχες συχνότητες ν 1, ν 2,, ν κ που έχουν μέση τιμή x τότε η τυπική πόκλιση της μετβλητής ονομάζετι το πηλίκο: ν1 ( x x 1 ) 2 + ν 2 ( x x 2 ) 2 + + ν( x x κ ) 2 s = ν 2. Γιτί δεν μπορούμε ν εξετάσουμε τη μετβλητότητ δυο πληθυσμών ως προς μι μετβλητή συγκρίνοντς τις τυπικές ποκλίσεις; Αυτό δε μπορει ν συμβεί στην περίπτωση που η κλίμκ μέτρησης της ίδις μετβλητής σε δύο πληθυσμούς είνι διφορετική. Π.χ. ς θεωρήσουμε X τη μετβλητή: βθμολογί των μθητών του σχολείου στην Ιστορί Οι μθητές ενός Λυκείου Α έχουν μέσο όρο x = 15 κι τυπική πόκλιση βθμολογίς s = 3 στην κλίμκ του 2. Οι μθητες ενός άλλου Λυκείου Β έχουν μέσο όρο x = 65 κι τυπική πόκλιση s = 6 στη βθμολογική κλίμκ του 1. Δεν μπορούμε ν πούμε ότι υπάρχει μικρότερη δισπορά των τιμών στο Λύκειο, κθώς οι μέτρηση της μετβλητής X έγινε σε διφορετική κλίμκ στ δύο Λύκει. 21. Τι ονομάζουμε συντελεστή μετβλητότητς (ή συντελεστής μετβολής) ενός δείγμτος, ως προς μι μετβλητή X; Τι μετράει; Αν έν δείγμ εξετζόμενο ως προς μι μετβλητή X, προυσιάζει μέση τιμή x κι τυπική πόκλιση s, συντελεστής μετβλητότητς (ή συντελεστής μετβολής) ονομάζετι το πηλίκο: CV = s x

6 Μθημτικά Γ Τάξης Ο συντελεστής μετβλητότητς μετράει την ομοιογένει του πληθυσμού πό τον οποίο έχουμε πάρει το δείγμ. 22. Πότε ένς πληθυσμός εινι ομοιογενής; Πότε ένς είνι πιο ομοιογενής πό ένν άλλο; Ένς πληθυσμός είνι ομοιογενής ως προς μι μετβλητή X, ν έχει συντελεστή μετβλητότητς ως προς υτή τη μετβλήτη μικρότερο του,1. Ένς πληθυσμός είνι πιο ομοιογενής πό ένν άλλο ως προς μι μετβλητή X, ν έχει μικρότερο συντελεστή μετβλητότητς ως προς υτή την μετβλητή. 23. Τι σημίνει ότι το x τείνει στο x ; Πώς εκφράζετι; Η φράση ότι το x τείνει στο x, σημίνει ότι το x βρίσκετι ρκετά κοντά στο x. Εκφράζετι ως εξής: το x νήκει σε μι περιοχή του x, δηλδή σε έν νοιχτό διάστημ της μορφής (, x ),(x, β) ή κι στην ένωσή τους (, x ) (x, β). 24. Πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f έχει όριο τον πργμτικό ριθμό l ότν το x τεινει στο x R; Θ λέμε ότι μι συνάρτηση f : (, x ) (x, β) R έχει όριο τον πργμτικό ριθμό l ότν το x τείνει στο x, ν οι τιμές της f(x) βρίσκοντι οσοδήποτε κοντά στον ριθμό l, ότν το x είνι ρκετά κοντά στο x (λλά δε γίνετι πρίτητ ίσο με το x ). Θ συμβολίζουμε: lim f(x) = l 25. Τι σημίνει ότι οι τιμές της f(x) βρίσκοντι οσοδήποτε κοντά στο όριο l R; Σημίνει ότι οι τιμές της f(x) νήκουν σε οσοδήποτε μικρή περιοχή του l, δηλδή στο σύνολο (l ε, l) (l, l + ε) γι οσοδήποτε μικρό πργμτικό ριθμό. 26. Ποιες είνι οι ιδιότητες του ορίου; Αν υπάρχουν τ lim f(x), lim g(x) κι εινι l 1, l 2 R ντίστοιχ, τότε: * lim [f(x) + g(x)] = l 1 + l 2 * lim [f(x) g(x)] = l 1 l 2 * lim [f(x) g(x)] = l 1 l 2 f(x) * lim g(x) = l 1 l2 * lim f(x) = l 1 * lim [f(x)] ν = l ν 1, ν N κ * lim f(x) = κ l1, γι κάθε κ N, κ 2 με την f(x) ν είνι θετική σε μι περιοχή του x.

1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 7 27. Τι ονομάζουμε πλευρικά όρι της συνάρτησης f σε έν x R; Τ πλευρικά όρι δικρίνοντι σε: * Το ριστερό πλευρικό όριο της f ότν το x τείνει στο x πό ριστερά που συμβολίζετι lim f(x) * Το δεξί πλευρικό όριο της f ότν το x τείνει στο x πό δεξιά που συμβολίζετι lim f(x) + 28. Πότε λέμε ότι υπάρχει το όριο μις συνάρτησης στο x R με πλευρικά όρι lim f(x) + κι lim f(x); Τι γίνετι ότν τ πλευρικά όρι δεν είνι ίσ; Το όριο μις συνάρτησης υπάρχει, ν κι μόνο ν υπάρχουν τ πλευρικά της όρι κι είνι ίσ, δηλδή lim f(x) = l, όπου l R, ν κι μόνο ν: lim f(x) = lim f(x) = l + Αν τ δύο πλευρικά όρι μις συνάρτησης είνι διφορετικά τότε θ λέμε ότι δεν υπάρχει το όριο της f, ότν το x τείνει στο x. 29. Τι εννοούμε με την έννοι του άπειρου ορίου; Αν το όριο μις συνάρτησης f ότν το x τείνει στο x είνι +, τότε υτό σημίνει ότι το f(x) ξεπερνάει οποιοδήποτε θετικό πργμτικό ριθμό κθώς το x πλησιάζει το x. Αν το όριο μις συνάρτησης f ότν το x τείνει στο x είνι, τότε υτό σημίνει ότι το f(x) είνι μικρότερο πό οποιοδήποτε ρνητικό πργμτικό ριθμό κθώς το x πλησιάζει το x. 3. Πότε το όριο μις συνάρτησης είνι μη πεπερσμένο; Ότν το όριο μις συνάρτησης f ότν το x τείνει στο x είνι +, ή,τότε λέμε ότι το όριο είνι μη πεπερσμένο. 31. Πότε θ λέμε ότι μι συνάρτηση f έχει όριο το + ότν το x τείνει στο x ; Θ λέμε ότι μι συνάρτηση f : (, x ) (x, β) R έχει όριο το + ότν το x τείνει στο x, ν οι τιμές της f(x) υξάνοντι περιόριστ ξεπερνώντς κάθε θετικό πργμτικό ριθμό, κθώς το x πλησιάζει το x.

8 Μθημτικά Γ Τάξης 32. Πότε θ λέμε ότι μι συνάρτηση f έχει όριο το ότν το x τείνει στο x ; Θ λέμε ότι μι συνάρτηση f : (, x ) (x, β) R έχει όριο το ότν το x τείνει στο x, ν οι τιμές της f(x) ελττώνοντι περιόριστ ώστε ν γίνοντι μικρότερες πό κάθε ρνητικό πργμτικό ριθμό, κθώς το x πλησιάζει το x. 33. Ποιες πράξεις με το άπειρο τις ορίζουμε ως επιτρεπτές; Έστω x R. Ορίζουμε τις κόλουθες πράξεις: * x + = +, x = * Αν x >,τότε x (+ ) = +, x ( ) = * Αν x <,τότε x (+ ) =, x ( ) = + * x + = x = κι επίσης: * Πρόσθεση: (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) = * Πολλπλσισμός: (+ ) (+ ) = +, ( ) ( ) = +, (+ ) ( ) = 34. Ποιες πράξεις κλούντι προσδιόριστες μορφές; Δεν ορίζοντι οι πράξεις:,,, (+ ) + ( ) οι οποίες κλούντι προσδιόριστες μορφές. 35. Ποιες προϋποθέσεις εξρφλίζουν τη συνέχει της f(x) στο x R; Η συνέχει της f σε έν σημείο x R, εξσφλίζετι με τρεις προϋποθέσεις: i. Το x νήκει στο πεδίο ορισμού της f, δηλδή υπάρχει στο R το f(x ). ii. Υπάρχει στο R το lim f(x), δηλδή τ δυο πλευρικά όρι της f, ότν x x υπάρχουν στο R κι είνι ίσ. iii. Ισχύει ότι lim f(x) = f(x )

1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 9 36. Ποιος είνι ο ορισμός της συνέχεις συνάρτησης f στο σημείο x R; Έστω R, κι x A. Θ λέμε ότι η συνάρτηση f : A R είνι συνεχής στο x, ν κι μόνο ν ισχύει ότι: lim f(x) = f(x ) 37. Ποι είνι τ είδη των σημείων συνέχεις μις συνάρτησης; i. H f συνεχής στο x ότν: * Ορίζετι το f(x ) * Υπάρχει στο R το lim f(x) * lim f(x) f(x ) ii. H f συνεχής στο x ότν: * Ορίζετι το f(x ) * Δεν υπάρχει στο R το lim f(x) γιτί lim + * lim f(x) f(x ) κι lim + f(x) f(x ) f(x) lim f(x) iii. H f συνεχής στο x, συνεχής πό ριστερά ότν: * Ορίζετι το f(x ) * Δεν υπάρχει στο R το lim f(x) γιτί lim * lim f(x) = f(x ) + f(x) lim f(x)

1 Μθημτικά Γ Τάξης iv. H f συνεχής στο x, συνεχής πό δεξιά ότν: * Ορίζετι το f(x ) * Δεν υπάρχει στο R το lim f(x) γιτί lim * lim f(x) = f(x ) + + f(x) lim f(x) 38. Πότε μι συνάρτηση είνι συνεχής σε νοιχτό διάστημ (, β); Μι συνάρτηση f : (, β) R λέγετι συνεχής στο διάστημ (, β) ν είνι συνεχής σε κάθε x (, β). 39. Πότε μι συνάρτηση είνι συνεχήςσε κλειστό διάστημ [, β]; Μι συνάρτηση f : [, β] R λέγετι συνεχής στο διάστημ [, β] ν είνι συνεχής σε κάθε x (, β) κι επιπλέον έχουμε ότι: lim f(x) = f() lim x + f(x) = f(β) x β 4. Ποιες είνι οι βσικές συνεχείς συνρτήσεις κι ποι τ διστήμτ συνέχειάς τους; i. f : R R με f(x) = c. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim + f(x) = c = f(x ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R.

1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 11 ii. f : R R με f(x) = x. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = x = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. iii. f : R R με f(x) = x ν, ν N. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = x ν = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. iv. f : R R με f(x) = 1 x, ν N. ν Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = 1 + x ν = f(x ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. v. f : R R με f(x) = ν x ν + ν 1 x ν 1 + + 1 x + με i R, i ν. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = f(x) = νx ν + + ν 1 x ν 1 + + 1 x + = f(x ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. vi. f : A R με f(x) = P (x) Q(x) Γι κάθε x A ισχύει lim δηλδή η f είνι συνεχής στο A. όπου A = {x R, Q(x) }. f(x) = lim + f(x) = P (x ) Q(x ) = f(x ), vii. f : [, + ) R με f(x) = x, >. Γι κάθε x ισχύει lim f(x) = lim f(x) = x = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο [, + ). viii. f : (, + ) R με f(x) = 1 x, >. Γι κάθε x > ισχύει lim f(x) = lim f(x) = 1 + x = f(x ), δηλδή η f είνι συνεχής στο (, + ). ix. f : R R με f(x) = x, < 1. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = x = f(x ), + δηλδή η f είνι συνεχής στο R. x. f : (, + ) R με f(x) = log x, < 1. Γι κάθε x > ισχύει lim f(x) = lim f(x) = log + x = f(x ), δηλδή η f είνι συνεχής στο (, + ). xi. f : R [ 1, 1] με f(x) = ημx. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = ημx = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. xii. f : R [ 1, 1] με f(x) = συνx. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = συνx = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. xiii. f : R { κπ + π 2, κ Z} R με f(x) = εφx. Γι κάθε x R { κπ + π 2, κ Z}

12 Μθημτικά Γ Τάξης ισχύει lim f(x) = lim f(x) = εφx = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R { κπ + π 2, κ Z}. xiv. f : R { κπ + π 2, κ Z} R με f(x) = σφx. Γι κάθε x R {κπ, κ Z} ισχύει lim f(x) = lim f(x) = σφx = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R {κπ, κ Z}. 41. Ποιες είνι οι ιδιότητες των συνεχών συνρτησεων; Αν οι συνρτήσεις f, g : A R είνι συνεχείς στο σημείο x A με A R. i. Η συνάρτηση h(x) = f(x) + g(x) είνι συνεχής στο x. ii. H συνάρτηση h(x) = f(x) g(x) είνι συνεχής στο x. iii. Η συνάρτηση h(x) = κ f(x) είνι συνεχής στο x, γι κάθε κ R. iv. Η συνάρτηση h(x) = f(x) g(x) είνι συνεχής στο x. v. Αν g(x ), η συνάρτηση h(x) = f(x) g(x) είνι συνεχής στο x. vi. Η συνάρτηση h(x) = f(x) είνι συνεχής στο x. vii. Η συνάρτηση h(x) = κ f(x) με f(x) είνι συνεχής στο x. 42. Έστω η f : A R κι g : B R συνεχείς με f(a) B. Είνι η σύνθεσή τους συνεχής; Έστω συνρτησεις f : A R κι g : B R με f(a) B. Αν η f είνι συνεχής στο x A κι η g στο f(x ) B, τότε κι η σύνθεσή τους g f : A R είνι συνεχής στο x. 43. Αν μι συνάρτηση f εκφράζει τη σχέση μετξύ δύο μεγεθών x κι y ως y = f(x) τότε πώς εκφράζετι η μέση τιμή της μετβολής του x; Δώστε έν πράδειγμ. Θεωρούμε δυο σημεί A(x, f(x )) κι B(x + h, f(x + h)) της C f. Η διφορά f(x + h) f(x ) f(x ) εκφράζει τη μετβολή του μεγέθους y, που ντιστοιχεί στη μετβολή h του μεγέθους x. Ο λόγος: f(x + h) f(x ) h εκφράζει τη μέση τιμή της μετβολής του μεγέθους y. Αν x είνι η ποσότητ ενός πργόμενου προϊόντος, τότε θεωρούμε τις συνρτήσεις K(x) κόστους κι P (x) κέρδους. Άρ τ πηλίκ K(x + h) K(x ), h P (x + h) P (x ) h

1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 13 είνι η μέση τιμή κόστους κι η μέση κέρδους, νίστοιχ. 44. Πότε μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη σε σημείο x του πεδίου ορισμού της f; Τι ονομάζετι πράγωγος της συνάρτησης f σε σημείο x του πεδίου ορισμού της f; Μι συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιμη σε έν σημείο x του πεδίου ορισμού της, ν υπάρχει το όριο: f(x + h) f(x ) lim h h κι είνι πργμτικός ριθμός. Τότε συμβολίζουμε το όριο υτό f (x ) κι το ονομάζουμε πράγωγο της f στο x. Η πράγωγος της f στο x εκφράζει το ρυθμό μετβολής της f στο x. 45. Ποι είνι νγκί κι ικνή συνθήκη ώστε μι συνάρτηση ν είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο x του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο x του πεδίου ορισμού της, ν κι μόνο ν υπάρχει f(x + h) f(x ) lim h h κι είνι πργμτικός ριθμός. Δηλδή, ν υπάρχουν τ πλευρικά όρι: f(x + h) f(x ) f(x + h) f(x ) lim, lim h h h + h κι είνι ίσ με τον ίδιο πργμτικό ριθμό. 46. Είνι κάθε πργωγίσιμη συνάρτηση σε έν σημειο x του πεδίου ορισμού της, πρίτητ συνεχής στο x ; Το ντίστροφο ισχύει; Αιτιολογήστε την άποψή σς. Κάθε πργωγίσιμη συνάρτηση σε έν x του πεδίου ορισμού της είνι συνεχής στο x. Το ντίστροφο δεν ισχύει. Γι πράδειγμ η f(x) = x είνι συνεχής στο x = φού lim x f(x) = = f(). Όμως η f(x) δεν είνι πργωγίσιμη στο, φού ενώ, f( + h) f() lim h h f( + h) f() lim h + h = lim h h h = lim h + h h h = lim h h = 1 = lim h + h h = 1

14 Μθημτικά Γ Τάξης 47. Ποι σημεί ονομάζοντι γωνικά κι γιτί; Τ σημεί του πεδίου ορισμού μις συνάρτησης f στ οποί η f είνι συνεχής λλά δεν είνι πργωγίσιμη, ονομάζοντι γωνικά σημεί. Αυτό γιτί σε υτά τ σημεί η γρφική πράστση της f σχημτίζει γωνίες. 48. Τι ονομάζουμε ρυθμό μετβολής μεγέθους y ως προς x γι την τιμή x = x ; Αν δυο μεγέθη x, y συνδέοντι με τη συνάρτηση f, έτσι ώστε y = f(x) κι η f είνι πργωγίσιμη στο x, τότε η πράγωγος f (x ) εκφράζει το ρυθμό μετβολής του μεγέθους y ως προς x, γι τη συγκεκριμένη τιμή x = x. 49. Ανφέρετε πρδείγμτ ρυθμού μετβολής.. Επιτάχυνση Θεωροούμε έν κινητό του οποίου η τχύτητ δίνετι πό τη συνάρτηση v(t). Τότε τη χρονική στιγμή t ο ρυθμός μετβολής της τχύτητς είνι v(t + h) v(t ) lim h h = v (t ) κι εκφράζει την επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t. β. Ορικό κόστος - Ορικό κέρδος Αν x είνι η ποσότητ ενός πργόμενου προϊόντος, τότε θεωρούμε τις συνρτήσεις K(x) κόστους κι P (x) κέρδους. Άρ τ πηλίκ K(x + h) K(x ), h P (x + h) P (x ) h εκφράζουν το μέσο κόστος κι το μέσο κέρδος, ντίστοιχ. Ότν η μετβολή της πργόμενης ποσότητς x τείνει στο μηδέν (h ), τ πρκάτω όρι εκφράζουν το ορικό κόστος κι το ορικό κέρδος, ντίστοιχ, γι την πργόμενη ποσότητ προϊόντος x. K K(x + h) K(x ) (x ) = lim h h P P (x + h) P (x ) (x ) = lim h h 5. Ποτε ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f της f : (, β) R; Έστω μι συνάρτηση f κι (, β) υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Τότε ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f : (, β) R, ν κι μόνο ν η f είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο του συνόλου (, β).

1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 15 51. Πότε ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f της f : [, β] R; Έστω μι συνάρτηση f κι [, β] υποσύνολο του πεδιου ορισμού της. Τότε ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f : [, β] R, ν κι μόνο ν * Η f είνι πργωγίσιμη γι κάθε x, β) * Υπάρχουν τ πλευρικά όρι: κι είνι πργμτικοί ριθμοί. f( + h) f() f(β + h) f(β) lim, lim h + h h h 52. Ποιες είνι οι βσικές πράγωγοι συνρτήσεις; Συνάρτηση f Πράγωγος συνάρτηση f c (στθερά) x 1 x R, x > x 1 ημx συνx x -ημx e x e x ln x x > 1 x 53. Ποιοι είνι οι κνόνες πργώγισης; Αν οι συνρτήσεις f, g : A R είνι πργωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους A, τότε κι οι συνρτήσεις f + g, f g, cf, f g με c R κι f g με g(x) γι κάθε x είνι πργωγίσιμες στο κι ισχύουν οι κόλουθοι κνόνες πργώγισης: i. (f + g) (x) = f (x) + g (x) ii. (f g) (x) = f (x) g (x) iii. (cf) (x) = c f (x) iv. (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( ) v. f g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] 2 54. Διτυπώστε τον κνόν πργώγισης. Έστω οι συνρτήσεις f : A R κι g : B R με f(a) B. Αν η f είνι πργωγίσιμη σε κάθε x A κι η g πργωγίσιμη σε κάθε f(x) B, τότε η σύνθεσή τους g f : A R είνι πργωγίσιμη στο A κι ισχύει ότι (g f) (x) = g (f(x)) f (x)

16 Μθημτικά Γ Τάξης. 55. Τι ονομάζουμε δεύτερη πράγωγο μις πργωγίσιμης συνάρτησης f; Αν μι συνάρτηση f : A R είνι πργωγίσιμη στο A κι η πράγωγος συνάρτηση f : A R είνι υτή πργωγίσιμη στο A, τότε ορίζετι η δεύτερη πράγωγος f : A R της συνάρτησης f, ώστε f (x) = (f (x)). 56. Ποι συνάρτηση ονομάζουμε πράγουσ της f : Δ R ; Έστω συνάρτηση f : Δ R, όπου Δ διάστημ του R. Αν υπάρχει πργωγίσιμη συνάρτηση F : Δ R, τέτοι ώστε: F (x) = f(x), γι κάθε x Δ τότε η F λέγετι πργουσ συνάρτηση της f στο διάστημ Δ. 57. Υπάρχει μονδική πράγουσ της f : Δ R ; Δίνετι η συνάρτηση f : R, με διάστημ του R κι F μι πράγουσ της f. Τότε οποιδήποτε άλλη πράγουσ της f είνι της μορφης F+c, όπου c R στθερά. 58. Γράψτε τις πράγουσες των βσικών συνρτήσεων. Οι πράγουσες των βσικών συνρτήσεων είνι οι εξής: Συνάρτηση f Πράγωγουσ συνάρτηση F c 1 x + c x x 1, x > +1 +1 + c 1 x x > ln x + c e x e x + c ημx -συνx + c συνx ημx + c 1 συν 2 x x κπ + π 2 εφx 1 ημ 2 x x κπ, κ Z -σφx + c 59. Πότε μι συνάρτηση f ονομάζετι γνησίως άυξουσ σε έν (, β) του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση λέγετι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ (, β) του πεδίου ορισμού της ν γι οποιδήποτε x 1, x 2 (, β) ισχύει ότι f(x 1 ) < f(x 2 ), εφόσον x 1 < x 2. Αυτό σημίνει ότι κθώς υξάνετι η x, υξάνοντι κι οι τιμές της f(x). 6. Πότε μι συνάρτηση f ονομάζετι γνησίως φθίνουσ σε έν (, β) του πεδίου ορισμού

1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 17 της; Μι συνάρτηση λέγετι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ (, β) του πεδίου ορισμού της ν γι οποιδήποτε x 1, x 2 (, β) ισχύει ότι f(x 1 ) > f(x 2 ), εφόσον x 1 < x 2. Αυτό σημίνει ότι κθώς υξάνετι η x, μειώνοντι οι τιμές της f(x). 61. Πότε μι πργωγίσιμη συνάρτηση f : (, β) R είνι i. Γνησίως ύξουσ στο (, β); ii. Γνησίως φθίνουσ στο (, β); iii. Στθερή στο (, β); Έστω πργωγίσιμη συνάρτηση f : (, β) R. i. Αν f (x) >, γι κάθε x (, β), τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, β). ii. Αν f (x) <, γι κάθε x (, β), τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (, β). iii. Αν f (x) =, γι κάθε x (, β), τότε η f είνι στθερή στο (, β). 62. Έστω f πργωγίσιμη συνάρτηση κι γνησίως ύξουσ στο (, β). Ισχύει ότι f (x) > γι κάθε x (, β); Δεν ισχύει εν γένει. Ανφέρουμε το πρκάτω ντιπράδειγμ. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = x 3 κι f (x) = 3x 2. Έστω x 1, x 2 R με την ιδιότητ x 1 < x 2. Τότε έχουμε: x 1 < x 2 x 1 3 < x 2 3 f(x 1 ) < f(x 2 ) Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο R. Όμως δεν ισχυει f (x) > γι κάθε x R, φού f () = 3 2 =. 63. Πότε θ λέμε ότι μι συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό μέγιστο σε έν x του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο x = x του πεδίου ορισμού της, ν υπάρχει νοιχτό διάστημ (, β) που περιέχει το x, τέτοιο ώστε γι κάθε x (, β). f(x) f(x ) 64. Πότε θ λέμε ότι μι συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό ελάχιστο σε έν x του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο x = x του πεδίου ορισμού της, ν υπάρχει νοιχτό διάστημ (, β) που περιέχει το x, τέτοιο ώστε f(x) f(x )

18 Μθημτικά Γ Τάξης γι κάθε x (, β). 65. Διτυπώστε το Θεώρημ του Fermat. Ισχύει το ντίστροφο; Αν η συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό κρόττο σε έν εσωτερικό σημείο x του πεδίου ορισμού της κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε f (x ) =. Το ντίστροφο δεν ισχύει. Δηλδή ν έχουμε μι f πργωγίσιμη στο x κι ισχύει f (x ) =, υτό δε σημίνι πρίτητ ότι η συνάρτηση προυσιάζει στο x τοπικό κρόττο. Αντιπράδειγμ Θεωρούμε την f(x) = x 3 που είνι πργωγίσιμη στο R κι f (x) = 3x 2. Ενώ ισχυει ότι f () = η f δεν προυσιάζει τοπικό κρόττο στο. 66. Ποιες είνι οι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων μις συνάρτησης f; Υπάρχουν τρεις κτηγορίες σημείων γι μι συνεχη συνάρτηση f, που μπορεί ν θεωρηθούν ως πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων: i. Τ άκρ διστημάτων που ποτελούν το πεδιο ορισμού της f. ii. Τ γωνικά σημεί της f δηλδή τ εσωτερικά σημεί του πεδίου ορισμού της f στ οποί δεν υπάρχει η πράγωγος της f. iii. Τ στάσιμ σημεί της f δηλδη τ εσωτερικά σημεί του πεδίου ορισμού της f στ οποί υπάρχει η πράγωγος της f κι είνι ίση με. 67. Ποι σημεί ονομάζοντι κρίσιμ μις συνάρτησης f; Κρίσιμ σημεί μις συνάρτησης f είνι τ γωνικά σημεί (δηλδή τ εσωτερικά σημεί του πεδίου ορισμού της f στ οποί δεν υπάρχει η πράγωγος της f) κι τ στάσιμ σημεί (δηλδη τ εσωτερικά σημεί του πεδίου ορισμού της f στ οποί υπάρχει η πράγωγος της f κι είνι ίση με ). 68. Διτυπώστε το κριτήριο της 1ης Πργώγου γι τη μελέτη τοπικών κροτάτων μις συνεχούς συνάρτησης f. Έστω συνεχής συνάρτηση f : (, β) R κι x έν κρίσιμο σημείο της. Αν υπάρχει η f (x) στ (, x ) κι (x, β) τότε: i. Αν f (x) > στο (, x ) κι f (x) < στο (x, β), τότε το f(x ) είνι τοπικό μέγιστο της f. ii. Αν f (x) < στο (, x ) κι f (x) > στο (x, β), τότε το f(x ) είνι τοπικό ελάχιστο της f. i. Αν η f (x) διτηρεί στθερό πρόσημο στο (, x ) (x, β), τότε το f(x ) δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι γνησίως μονότονη στο (, β).

1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 19 69. Διτυπώστε το κριτήριο 2ης Πργώγου γι τη μελέτη των τοπικών κροτάτων μις συνάρτησης f. Έστω συνεχής συνάρτηση f : R κι x έν στάσιμο σημείο της f. Αν η f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο x, τότε προυσιάζει τοπικό μέγιστο στ x ν f (x ) <, ενώ προυσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x ν f (x ) >. 7. Ποιο κριτήριο χρησιμεύει γι τη μελέτη τοπικών κροτάτων στ άκρ διστήμτος κι ποιο μόνο γι στάσιμ σημει κι γιτί; Το κριτήριο 1ης Πργώγου χρησιμεύει στη μελέτη τοπικών κροτάτων σε όλ τ σημεί, όπως κι στ άκρ διστήμτος. Αντίθετ το κριτήριο 2ης πργώγου χρησιμεύει μόνο γι μελέτη σε στάσιμ σημεί, φού πό τ πιθνά κρόττ μόνο υτά μπορεί ν έχουν δεύτερη πράγωγο. 71. Πώς ορίζετι το ορισμένο ολοκλήρωμ της f πό το στο β; Πότε εκφράζει εμβδό; Έστω συνεχής συνάρτηση f : [, β] R με πράγουσ συνάρτηση F. Τη στθερή διφορά F (β) F () ονομάζουμε ορισμένο ολοκλήρωμ της συνάρτησης f πό το ως το β κι το συμβολίζουμε με: κι συμβολίζουμε β f(x)dx β f(x)dx = [F (x)] β = F (β) F () Αν η διφορά F (β) F () είνι θετική τότε εκφράζει το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f τις ευθείες x =, x = β κι τον άξον x x. 72. Πότε μι συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη σε διάστημ [, β]; Μι συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη σε έν διάστημ [, β], ότν είνι συνεχής σε υτό το διάστημ. 73. Ποιες είνι οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος; Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, β]. Ισχύουν οι κόλουθες ιδιότητες γι το ορισμένο ολοκλήρωμ: i. β cdx = c(β ), ii. β f(x)dx = γ f(x)dx + β iii. f(x)dx = iv. β f(x)dx = β f(x)dx όπου c στθερά. γ f(x)dx, όπου < γ < β

2 Μθημτικά Γ Τάξης v. β [λf(x) + μg(x)]dx = λ β f(x)dx + μ β g(x)dx, λ, μ R Άμεσες συνέπειες του πρπάνω: * β λf(x)dx = λ β f(x)dx * β [f(x) + g(x)]dx = β f(x)dx + β g(x)dx vi. Αν f(x), γι κάθε x [, β], τότε β f(x)dx vii. Αν f(x) g(x), γι κάθε x [, β], τότε β f(x)dx β g(x)dx 74. Υπολογίστε τ ολοκληρώμτ των βσικών συνρτησεων. * β 1dx = [x]β = β * [ ] β β xκ dx = * β x κ+1 κ+1 1 x dx = [ln x]β = β κ+1 κ+1 κ+1, με κ R { 1}, β > > = ln β ln, β > > * β ex dx = [e x ] β = e β e * β συνxdx = [ημx]β = ημβ ημ * β ημxdx = [ συνx]β = συνβ + συν 75. Υπολογίστε τ ολοκληρώμτ των βσικών σύνθετων συνρτήσεων. * β * β [, β] * β g (x) g 2 (x) dx = [ 1 g(x) ]β = 1 g(β) + 1 g(), όπου g(x) γι κάθε x [, β] g (x) g(x) dx = [2 g(x)] β = 2( g(β) g()), όπου g(x) > γι κάθε x g (x) g(x) dx = [ln(g(x))]β = ln(g()) ln(g(β)), όπου g(x) > γι κάθε x [, β] * β gκ (x)g (x)dx = [ (g(x))κ+1 κ+1 ] β = (g(β))κ+1 (g()) κ+1 κ+1, όπου κ R { 1} κι g(x) > γι κάθε x [, β] * β eg(x) g (x)dx = [e g(x) ] β = e g(β) e g() 76. Ποιος είνι ο τύπος της πργοντικής ολοκλήρωσης; Έστω δύο συνεχείς συνρτήσεις f, g : [, β] R με συνεχείς πργώγους f, g. Τότε ισχύει ότι: β f (x)g(x)dx = [f(x)g(x)] β β f(x)g (x)dx

1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 21 77. Πως υπολογίζουμε το εμβδό χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση μις ολοκληρώσιμης συνάρτησης κι τον άξον x x; Έστω μι ολοκληρώσιμη συνάρτηση f στο διάστημ [, β]. Το επίπεδο χωρίο του οποίου θ υπολογίζουμε το εμβδό είνι μετξύ της γρ. πράστσης της f(x) του άξον x x κι είτε των δοσμένων ευθειών x = κι x = β, είτε των σημείων τομής της γρ. πράστσης της f με τον άξον x x. Ας υποθέσουμε ότι τ σημεί τομής υτά είνι τ (, ) κι (β, ) γι χάρη πλότητς (με < β). Τότε: * 1η περίπτωση: Αν f(x) > γι κάθε x (, β) το εμβδό δίνετι πό τον τύπο: E = β f(x)dx

22 Μθημτικά Γ Τάξης * 2η περίπτωση: Αν f(x) < γι κάθε x (, β) το εμβδό δίνετι πό τον τύπο: E = β [ f(x)]dx = β f(x) * 3η περίπτωση: Αν η f(x) δε διτηρεί στθερό πρόσημο στο διάστημ [, β], τότε το εμβδό δίνετι πό τον τύπο E = γ f(x)dx, στο διάστημ (, γ) [, β] που η f έχει θετικό πρόσημο κι E = β γ f(x)dx, στο διάστημ (γ, β) [, β] που η f έχει ρνητικό πρόσημο.

1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 23 Τελικά το εμβδό που περικλείετι μετξύ της γρ. πράστσης της f(x) του άξον x x κι είτε των δοσμένων ευθειών x = κι x = β δίνετι πό τον τύπο: E = β f(x) dx 78. Πώς υπολογίζουμε το εμβδό του χωρίου που βρίσκετι μετξύ δύο ολοκληρώσιμων γρ. πρστάσεων f κι g κι των ευθειών x =, x = β ; Έστω δύο συνρτήσεις f, g ολοκληρώσιμες στο διάστημ [, β]. Τότε το εμβδό του χωρίου που περικλείετι μετξύ των δύο γρ. πρστάσεων των f, g κι των ευθειών x =, x = β δίνετι πό τον τύπο: E = β f(x) g(x) dx Πιο νλυτικά: E = d c [f(x) g(x)]dx, στ διστήμτ (c, d) [, β] που η f(x) > g(x) κι E = b l [g(x) f(x)]dx, στ διστήμτ (l, b) [, β] που η f(x) < g(x) Γι πράδειγμ: Αν οι συνρτήσεις f, g είνι ολοκληρώσιμες στο διάστημ [, β] κι f(x) > g(x) γι κάθε x (, γ) (δ, β) κι f(x) < g(x) γι κάθε x (γ, δ) με < γ < δ < β. Τότε το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρ. πράστσεις των f κι g

24 Μθημτικά Γ Τάξης κι τις ευθείες x =, x = β, βρίσκετι πό τον τύπο E = β f(x) g(x) dx = γ [f(x) g(x)]dx+ δ γ [g(x) f(x)]dx+ β δ [f(x) g(x)]dx