ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z ) και f(i ) 64 8i, τότε να αποδείξετε ότι: α) f( i) 64+ 8i β) ( )( ) + z + z + z + z 46 γ) z και z 7 ΛΥΣΗ α) f (i) i z i z i z i z f( i) i z i z i z i z ( i z )( i z )( i z )( i z ) ( i z )( i z )( i z )( i z ) ( i z )( i z )( i z )( i z ) ( i z )( i z )( i z )( i z ) f (i) 64 8i 64 + 8i β) + z + z + z + z z i z i z i z i z i z + i z i z + i z i z + i z i z + i - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ z i z i z i z i z + i z + i z + i z + i i z i z i z i z i z i z i z i z ( ) f (i)f ( i) 64 8i 64 + 8i 64 + 8 496 + 64 46 γ) z + z (z ) ( ) 4 () Έχουμε: z + z (z ) 4 () f (i) i z i z i z i z ( i z )( i z ) ( i z )( i z ) Όμως: (),() i( z + z ) z i( z + z ) z + + z + 4i z 4i z + 4i z 4i ( )( ) ( ) ( ) ( z )( z ) 6 4 z 4 z i z z 6 4 z 4 z + + i + + f(i) 64 8i Άρα έχουμε: ( )( ) ( )( ) z z + 6 64 z z 48 4z 4z 8 z z 4 z z 48 + z 48 z z z + z + 4 z 7 z 49 z 7 z z z z + 9 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παράσταση f(z) ( + i) z z + i z i. Να αποδείξετε ότι: α) Το ευρύτερο υποσύνολο του C στο οποίο ορίζεται η παράσταση f(z) είναι το C β) z + i z i z γ) f(z) δ) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z, για τους οποίους ισχύει f(z) 6 z, είναι υπερβολή, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. ΛΥΣΗ α) Έστω z + yi,,y και M(, y) η εικόνα του στο επίπεδο. Για να ορίζεται η παράσταση f αρκεί z + i z i Εξετάζουμε λοιπόν για ποιους μιγαδικούς αριθμούς z ισχύει z + i z i z + i z i z + i z i + (y + )i + (y )i + (y+ ) + (y ) + y + y + + y y + y y 4y y Άρα, για να ορίζεται η παράσταση f αρκεί y, δηλαδή z C β) Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z + z για κάθε z, z οπότε για z z + i και z z i έχουμε: C, z + i z i (z + i) +( z i) z z γ) Για κάθε z C είναι: z + i z i z οπότε για κάθε z C είναι: z + i z i z () Έχουμε λοιπόν: ( + i)z ( + i)z + i z f(z) z + i z i z + i z i z + i z i - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ z () z z z + i z i z + i z i z δ) ( + i)z + i z f(z) z z z 6 z + i z i 6 z + i z i 6 z (α) z z z + i z i z z + i z i z + i z i 6 z + i z i z ( i ) z ( + i ) (ΜΕ) (ΜΕ), όπου Μ η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z, Ε(, ) και Ε(, ) Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α σταθερή και μικρότερη του (ΕΕ). Επομένως, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε(, ) και Ε(,), άρα γ Επιπλέον είναι α α 6, οπότε β γ α β 6 β 64 β 8 και η εξίσωση της υπερβολής είναι: y y α β 6 64 ΘΕΜΑ ο : Δίνονται τρεις μιγαδικοί αριθμοί z,w,u με z, w 4, u 5 και z+ w+ u, οι οποίοι έχουν εικόνες τα σημεία Α, Β, Γ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι 6z + 9w β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. γ) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών z,w,u ΛΥΣΗ α) Από την υπόθεση έχουμε: 9 z z 9 z z 9 z z () 6 w 4 w 6 ww 6 w w () 5 u 5 u 5 uu 5 u u () - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επίσης έχουμε: u (z + w ) (4) z+ w+ u z+ w+ u (5) Η σχέση (5) με βάση τις σχέσεις (), () και () γράφεται: 9 6 5 9 6 5 + + + z w u z w z+w 9w(z + w) + 6z(z + w) 5zw 9wz + 9w + 6z + 6zw 5zw 6z + 9w (6) β) Αρκεί να αποδείξουμε ότι: (OA) + (OB) (AB) z + w z w Είναι όμως: z w (z w)(z w) zz + ww (zw + zw) (6) 6z 9w 6z 9w 6 + 9 5 5 ( AB) w + z + zw Επομένως έχουμε: ( AB) z w 5 (OA) + (OB) z + w 9 + 6 5 z w ( Α B) οπότε το τρίγωνο OABείναι ορθογώνιο. γ) Αρκεί να βρούμε ακόμα τους αριθμούς z u και w u, που είναι αντίστοιχα τα μήκη των πλευρών ΑΓ και ΒΓ, αφού ήδη έχουμε αποδείξει ότι (AB) z w 5 (4) z u z+ w (z+ w)(z+ w) 4zz + ww + (zw + wz) 4 z + w + (zw + wz) (6) 9w 6z 6z 9w 6 + 6 + 6 6 5 z + w + + + zw Επομένως έχουμε: ( A Γ ) z u 5 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (4) w u z+ w (z+ w)(z+ w) zz + 4ww + (zw + wz) z + 4 w + (zw + wz) 9w 6z 6z 9w 9 + 64 + 9 64 7 z + w + + + zw Επομένως έχουμε: ( ΒΓ ) w u 7 ΘΕΜΑ 4ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z i α z i () α w(z i) zi α (), όπου α και < α α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός v z w με w z + w z, είναι φανταστικός δ) Αν z,z είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί με εικόνες αντίστοιχα στο επίπεδο τα σημεία Α,Β, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση () και w είναι ένας μιγαδικός αριθμός με εικόνα στο επίπεδο το σημείο Γ, ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση (), τότε να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ α) (ΓΑ) (ΓΒ) z i z i z α i α z i z α i α α z i α ( z α )( i z α i) α ( z i)( z i) ( z α i)( z α i) α ( z i)( z i) + + 4 4 zz + α zi α zi α i α zz+ α zi α zi α i z α i α z α i 4 z α z α α α < α z α α z α z α () Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο (,) και ακτίνα ρ α β) Έχουμε: z i () zi + α w(z i) zi α w(z i) zi + α w zi z z i zz z (z i) w + w + w + z i z i z i Είναι z i, γιατί αν z i από τη σχέση () προκύπτει (4) α άτοπο. z i - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Από τη σχέση (4) έχουμε: z (z+ i) z (z+ i) z z+ i z z i w w w w z i z i z i z i z z i () w w z w α z i Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w ανήκουν στον κύκλο, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Ο (,) και ακτίνα ρ α γ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι v v Από τις σχέσεις () και (5) έχουμε: α z α zz α z 4α w 4α ww 4α w w v Άρα ο αριθμός z α 4α α z w z w z w z w z w z + w z + w z + w α 4α α + + z w z w (5) w z z w zw w z z w v + w+ z w+ z z+ w z w zw v z w z + w είναι φανταστικός δ) (ΓΑ) w z και (ΓΒ) w z Για τους μιγαδικούς αριθμούς w, z από τριγωνική ανισότητα έχουμε: w z w+ z w + z (6) Αν στη σχέση (6) θέσουμε, όπου z το z έχουμε: z z w z w+( z ) w + z w z w z w + z α α w z α+ α α (ΓΑ) α (7) Ομοίως για τους μιγαδικούς αριθμούς w, z έχουμε: α w z α α (ΓΒ) α, οπότε α (ΓΒ) α (8) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (7) και (8) έχουμε: α (ΓΑ) α (ΓΑ) α (ΓΒ) α (ΓΒ) ΘΕΜΑ 5ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς w και z, για τους οποίους ισχύει ότι: 5 w 8 + 5w 6 i Οι εικόνες Κ(z) των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι τα κέντρα των κύκλων εκείνων που εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου C :( Ε,4 ), όπου διέρχονται από το σημείο Ε(,) Ε, και Να βρείτε: α) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο. β) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο. γ) Την ελάχιστη τιμή του μέτρου z w δ) Τους μιγαδικούς z, z, z, z 4 από τους μιγαδικούς αριθμούς z, που οι εικόνες τους είναι κορυφές τετραγώνου με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες και yy ΛΥΣΗ α) Έστω w+ yi,, y, τότε έχουμε: 5 w 8 + 5w 6 i 5 + yi 8 + 5( + yi) 6 i 5 + yi 8 + 5 6 + 5y i 5( y ) 8 5 6 5y + + + 5 + 5y 8 + 5 6 + 6 + 5y y + 44 6 + y 6 + y 6 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία ε :+ y 6 β) Αν Δ είναι το σημείο επαφής ενός κύκλου κέντρου Κ(z) με τον κύκλο C, τότε ισχύει: ΚΔ < 4 ( ΚΕ) 4 ( ΚΔ) (), με Επειδή (ΚΔ) (ΚΕ) η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: ( ΚΕ) 4 ( ΚΕ ) ( ΚΕ) + ( ΚΕ) 4 και ΕΕ < 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Κ, που είναι οι εικόνες των μιγαδικών z στο επίπεδο είναι έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε(,), Ε(,) και μεγάλο άξονα ΑΑ με (ΑΑ) α 4, οπότε α γ ( ΕΕ) γ και β α γ β - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επομένως η εξίσωση της έλλειψης είναι y C: + 4 γ) Έστω Κ(z) και Μ(w) οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, w στο μιγαδικό επίπεδο, τότε είναι z w (KM) (KH) (ΓΖ), όπου ΚΗ (ε) και Γ εκείνο το σημείο της έλλειψης C, στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη προς την ευθεία ε και απέχει από αυτή τη μικρότερη απόσταση. Εύρεση του Γ: Έστω Γ(, y ) σημείο της έλλειψης C, τότε ισχύει: y + () 4 Η εξίσωση της εφαπτομένης ε στο σημείο Γ είναι: yy ε : + 4 y ε//ε λε λ ε y () 4y Από την () έχουμε: 9 + 4 ± 4 Για είναι y, άρα Γ, - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για είναι y, άρα Γ, Οι εφαπτόμενες της έλλειψης C, στα σημεία της Γ και Γ είναι παράλληλες προς την ευθεία ε και + 6 6 5 d( Γ, ε) d( Γ, ε) 5 + 5 5 + 5 Δηλαδή d( Γ, ε) < d( Γ,ε), άρα το ζητούμενο σημείο Γ είναι το Γ 5 z w (KM) (KH) (ΓΖ) d( Γ,ε) 5 Άρα η ελάχιστη τιμή του μέτρου z w είναι 5 5 δ) Έστω τα σημεία Μ, Μ, Μ, Μ 4 της έλλειψης C, που είναι οι εικόνες των μιγαδικών z,z,z,z 4 αντίστοιχα, με z + yi,, y >, ώστε το τετράπλευρο Μ Μ Μ Μ 4 να είναι τετράγωνο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες και yy Λόγω των συμμετριών ισχύει: z z, z z και z z 4 z z z z 4 ΜΜ ΜΜ 4,y > z z z z y i y () y + (4), γιατί το σημείο Μ (C) 4 Από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων () και (4) προκύπτει ότι: y, γιατί, y > 7 Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί αριθμοί είναι: z i 7 ( + ), z ( i), z ( i) και z ( + i) 7 7 4 7 ΘΕΜΑ 6ο : Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g:, οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση: f () + g () f () + g (), για κάθε () και οι μιγαδικοί αριθμοί z f()+g()i - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ α) Αν f() 4 και g(), τότε: i) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ii) Να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή του αθροίσματος f () + g (), στην περίπτωση που ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος του προηγούμενου ερωτήματος. β) Αν υπάρχει α ώστε zα + i, τότε: i) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α zα zα ii) Να βρείτε τις συναρτήσεις f,g ΛΥΣΗ α) i) Για κάθε είναι: ( f ()+g () ) f ()+ g () f()f () + g()g () f () + g () f () f() + g () g() ( f() ) + ( g() ) ( f() ) ( g() ) c + () Για από τη σχέση () έχουμε: f() + g() c + 4 c c 5 Άρα, για κάθε ισχύει: f() + g() 5 που σημαίνει ότι οι εικόνες των μιγαδικών ακτίνα ρ 5 z κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ (, ) ii) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z f () + g (), οπότε το άθροισμα f () + g () λαμβάνει την ελάχιστη (μέγιστη) τιμή του, όταν το μέτρο του z λαμβάνει την ελάχιστη (μέγιστη) τιμή. Η ελάχιστη τιμή του z είναι ίση με: ( ΟΑ) ( ΑΚ ) ( ΟΚ) 5 Η μέγιστη τιμή του z είναι ίση με: ( ΟΒ) ( ΒΚ) + ( ΟΚ) 5+ Επομένως η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος είναι: m ( 5 ) 7 και η μέγιστη τιμή του είναι: Μ ( 5 + ) 7 + και - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ β) i) και οπότε Α 6 6 6 α + + z ( i) ( i) (i) 6 6 6 α z ( i) ( i) ( i) ii) Για α έχουμε: και η σχέση () γίνεται: z α + i f(α) zα f(α) + g(α)i f(α) + g(α)i + i g(α) f(α) + g(α) c + c c Άρα, για κάθε ισχύει: f() + g() Επομένως: f(), και g(), ΘΕΜΑ 7ο : 4 Έστω f(z) z+, όπου z μιγαδικός αριθμός με z z α) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z και z, για τους οποίους ισχύει f(z) και στη 4 4 z z + z z συνέχεια να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z, z και z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ β) Αν f(z) και z C, τότε: ( + ) i) Να βρείτε το όριο ( h ) h + lim ln z h ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( + ) f(z) 4 ( 4 f(z) ) ρίζα ως προς στο διάστημα (, ) + έχει μία ακριβώς γ) Αν f(z) z, z C, τότε: i) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο. ii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του z z όπου z, z δύο από τους μιγαδικούς z του 4 5 4 5 (γ. i) ερωτήματος με Im(z ) Im(z ) < 5 4 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ 4 α) f(z) z+ z + 4 z z z+ 4 () z ± i z z ± i Άρα z + i και z i () 4 4 z z + z z z z z ( z + z ) () zz 4 z + z z z z + z ( 8) () γιατί z z 4, z z + και z + z z + z z z 4 4 Ισχύει: z z z z z z και z z z Άρα οι εικόνες των μιγαδικών z, z και z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο με κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ β) i) Έχουμε: ( zz ) 4 4 4 4 f (z) f (z) f(z) z + z + z + z + z z z z z zz + 4z z zz + 4z z z + 4z z z + 4z z z z 4 z z z z z 4 z z ή z 4 z z ή z 4 z z ή z z () ii) lim ( ln( z h + ) h) h h lim ( ln( + ) ln ) h + h + h h h + lim ln lim ln lim ln, h + h + h + + h h h h + τότε lim + h + ( ) f(z) + 4 4 f(z) + ( ) f(z) + 4 + 4 f(z) (4) γιατί αν θέσουμε - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρούμε τη συνάρτηση g() (4 f (z)) + ( ) (f (z) + 4), [, ] Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο διάστημα [,] ως άθροισμα συνεχών και g() g() <, γιατί g() 8 (f (z) + 4) < και Από το (β) ερώτημα έχουμε ότι: g() (4 f(z)) >, λόγω της (5). f(z) και z C Ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, άρα στο διάστημα (, ) η εξίσωση g(), λόγω της (4) είναι ισοδύναμη με την ( ) ( f(z) + 4 ) ( 4 f(z) ) εξίσωση +, οπότε η δοθείσα εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ). Η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), επειδή g () (4 f (z)) + ( ) (f (z) + 4) > για κάθε (,), άρα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. γ) i) Έστω z + yi, z z 4 f(z) z z+ z z + 4 z z + 4 ( z z) z z + 4 z + 4 z z z z + 4z + 4 z + 6 z z z + yi z + z + 4 y + 4 y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ισοσκελής υπερβολή c:y με αβ και γ, που έχει εστίες τα σημεία Ε, και κορυφές τα σημεία Α, και Α, Ε (,) και και από την () έχουμε ότι z δηλαδή 4 4 f(z) z + + 4, z f(z) f (z) 4 4 f (z) 4, 4 όμως f(z) 4 z+ 4 z z και f (z) 4... z και επειδή z C τελικά ισχύει 4 < f (z) < 4 (5) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ii) Im(z ) Im(z ) < 4 5 Άρα οι εικόνες των z, z στο επίπεδο θα βρίσκονται σε διαφορετικό κλάδο της υπερβολής 4 5 c:y Αν Κ, Λ οι εικόνες των z, z αντιστοίχως, τότε έχουμε: 5 4 5 z z ΚΛ ΑΑ Άρα η ελάχιστη τιμή του z z είναι η 5 4 4 ΘΕΜΑ 8ο : Έστω η συνάρτηση f :, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f(), για κάθε () f()f( ), για κάθε () α) Να βρείτε το f() και να αποδείξετε ότι f(), f() β) Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g(), (, + ) i) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Nα βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g iii) Aν για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει lnα + lnβ + lnγ, να αποδείξετε ότι β+γ α+γ α+β α + β + γ ΛΥΣΗ α) Για από τις σχέσεις () και () αντίστοιχα έχουμε: f() και f () Άρα f() Επίσης, αν θέσουμε όπου το, από τη σχέση () έχουμε: () f( ) f() f() Από τις σχέσεις () και () έχουμε: f(), β) i) Για κάθε (, ) + είναι: g() Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), με ( ) g() ( ) g() ( ) g() > > >, () - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Το πρόσημο της g() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) Η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο με ελάχιστη τιμή g() ii) lim g() lim + g() + g() + + + + + ( ) lim g () lim + + D.L.H lim lim + + + () Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ], άρα g( Δ ) g(), lim g() ) [, + ) + Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, + ), άρα g( Δ ) g(), lim g() ) [, + ) + Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι: g( Δ ) g( Δ ) g( Δ ), + ελάχιστο [ ) iii) Επομένως lnα + lnβ + lnγ ln(αβγ) αβγ (4) g( α ), α α β g( β ) και β g( α)g( β ) + g( β)g( γ ) + g( γ)g( α) γ g( γ ) γ α β β γ γ α + + α β β γ γ α α + β β+ γ γ+ α γ + α + β αβγ (4) β + γ γ+ α α+ β α + β + γ β+ γ γ+α α+β α + β + γ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 9ο : Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f(), οποία ικανοποιεί τη σχέση: συν f() + 4f() για κάθε () α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. f() γ) Να υπολογίσετε το όριο lim π δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () ημ έχει μοναδική λύση στο διάστημα, 4 ΛΥΣΗ α) Έστω, με f( ) f( ), τότε έχουμε: συνf συνf συν f συν f () 4f ( ) 4f ( ) () Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () έχουμε: () + συν +4 συν f 4f f f Άρα η συνάρτηση f είναι, οπότε αντιστρέφεται. Από υπόθεση γνωρίζουμε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το, επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Για να ορίσουμε τη συνάρτηση είναι το f Ισχύει η ισοδυναμία: f() y f (y) οπότε η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: συν y+ 4y f (y) ή απομένει να βρούμε τον τύπο της f (y) 4y+ συν y Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι: f : με f () 4+ συν β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και η συνάρτηση συνf() είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων, όπως επίσης και η συνάρτηση Παραγωγίζοντας λοιπόν και τα δύο μέλη της σχέσης () έχουμε: συνf() ( συνf() )+ 4f () συνf()ημf()f () + 4f () ( 4 συνf()ημf() ) f () f () 4 ημf()συνf() συν f() - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για κάθε ος τρόπος: ος τρόπος: οπότε: είναι: ημf() ημf() συνf() συνf() ημf()συνf() ημf()συνf() ημf()συνf() ημf()συνf() 4 ημf()συνf() > 4 ημf()συνf() + ημf()συνf() + ημ f() + συν f() ημf()συνf() + ( ημf() συνf() ) > f () >, για κάθε Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο γ) Για έχουμε: Όμως: Άρα: f () f () f() f() f() lim lim f () f() f() 4 ημf() συνf() 4 ημ συν 4 lim f() 4 δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() f () ημ 4+ συν ημ, Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο διάστημα π + π h h() < 4 < π, 4, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε η εξίσωση h() έχει π μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 4 π Για κάθε, 4 είναι: h() 4 ημσυν συν 4 συν + ( ημ συν ) > > > π Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε η ρίζα είναι μοναδική. 4 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [,+ ) με f(), η οποία είναι παραγωγίσιμη στο α με α > και ικανοποιεί τις σχέσεις: f(y) f()f(y) για κάθε, y > () f() για κάθε > () Α) Να αποδείξετε ότι: α) f() f για κάθε > f() και β) f() για κάθε γ) η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με f () αf (α) για κάθε > f() f(α) Β) Αν η ευθεία ε : α y+ α είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ( α,f( α) ),να βρείτε τον τύπο της f. ΛΥΣΗ Α) α) Για y και > από τη σχέση () έχουμε: f ( ) f ()f () f () f ()f () f () f () f () () Για > και y από τη σχέση () έχουμε: () () f ( ) f ()f f () f ()f f ()f f ( ) (4) f() β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο διάστημα (,+ ), άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,+ ) και επειδή f() > συμπεραίνουμε ότι : f() > για κάθε (,+ ) (5) Από την υπόθεση είναι f(), οπότε τελικά έχουμε f() για κάθε f() f(α) γ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α >, οπότε ισχύει lim f (α) α α Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο (, + ), αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε τυχαίο (, + ) o Έστω (, + ), τότε για κάθε (,+ ) όταν το o το h α και έχουμε o () (6) h με o θέτουμε o με h >, οπότε α ( h ) ( h o o o ) o ( h α α α ) f() f( o ) f f ff f f αf h o h α o α o α () () o (h o α) o - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f(h)f (4) f(h) α f( o) α α f( o) f(α) α f( o) f(h) f(α) o h α o h α f(α) o h α α f α f lim f (α) f (α), αφού o o h α o o α f o f(α) σταθερά. o f(h) f(α) h α (6) lim h α f (α) Επομένως f() f α f f(h) f(α) h α o o lim lim o f(α) o h α o α f f(h) f(α) α f h α o o lim lim f (α) h α f(α) o h α of(α) Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε (, + ) οπότε είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με Για κάθε (, + ) είναι: αf( o) o με f() o f(α), f(α) o α f() f () f (α) f(α) () α f() f() α f (α) f () f (α) (7) f(α) f() f(α) Β) Μ( α,f (α)) ( ε) α α f(α) + α α α f(α) α f(α) f(α) α α f(α), α > (9) α (8) Από τις σχέσεις (7), (8) και (9) έχουμε: α f() α f () f() α f() f () f() ( nf() ) ( n) (5) nf () n + c nf () n + c, > () - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για α από τη σχέση () έχουμε: (8) nf(α) n α + c n α n α + c c Επομένως από τη σχέση () έχουμε: nf() n f(), > Επειδή η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο με f(), συμπεραίνουμε ότι: f(), ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση f(α)<f ()<f(β) (), όπου α, β με α β > (). Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. β) Η συνάρτηση g() f() f(α) είναι γνησίως αύξουσα και ότι f(α) < f(β) γ) Η εξίσωση f() έχει μια ακριβώς λύση στο ( β, α ) δ) Υπάρχουν,, τέτοια, ώστε να ισχύει ΛΥΣΗ f(β) f(α ) f( β) + 4β f f f α) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [ α, β ], αφού είναι παραγωγίσιμη στο, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε Από τη σχέση () έχουμε: f(β) f(α) f(ξ) < f (β) < f (β) β α α β β α (4) f(β) f(α) f(ξ) β α Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε: f(β) f(α) < f(β) f(α) < f(α) > (5) Από τις σχέσεις () και (5) έχουμε: f() > f(α) > για κάθε Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο β) ος τρόπος: (4) f(β) f(α) f() ξ f(β) f(α) β α Από τη σχέση () έχουμε: f(β) f( α ) < f ( ξ) f(α) < f(β) f(α) f(α) < f(β) f(α) < () - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ος τρόπος: Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο με g() f () f(α) (6) Από τις σχέσεις () και (6) έχουμε: g() > για κάθε Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Ισχύει: g α< β g(α) < g(β) f(α) α f(α) < f(β) βf(α) (4) f(β) f(α) +(β α )f(α) < f(β) f(α) < f(β) f(α) < γ) α > α > α β > β < < < α β > β < Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [ β, α], αφού είναι παραγωγίσιμη f(α) f( β) στο, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( β, α) τέτοιο, ώστε f(ξ ) α+ β Από τη σχέση () έχουμε: f(α) f( β) f(α) < f (ξ ) f(α) < αf(α) + βf(α) f( α ) < f( β) α+ β () αf(α) + (β ) f( α ) < f( β) αf(α) < f( β) Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουμε: Έχουμε: αf(α) > άρα f( β) >, οπότε f( β) < (8) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ β, α], αφού είναι παραγωγίσιμη στο. f( β)f(α) <, λόγω των σχέσεων (5) και (8) Επομένως η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ β, α ], άρα θα υπάρχει ένα ρ ( β, α) και μάλιστα μοναδικό, αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τέτοιο ώστε f(ρ) (9) δ) β < ρ < α < β Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον: [ β, ρ ], [ ρ, α ] και [ ρ, β ] (7) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( β, ρ) τέτοιο, ώστε (ρ, α) τέτοιο, ώστε β β β f() f() ρ +β ρ ( β) ρ+β f() (9) f() > f(ρ) f f f (9) f( ) > f(α ) f (ρ ) f (α ) f (α ) f f α ρ α ρ α ρ f (ρ, β) τέτοιο, ώστε (9) f( ) > f(β ) f (ρ ) f (β ) f (β ) f f β ρ β ρ β ρ f () f(β ) f (α ) f ( β) + (β ρ) + (α ρ) + ( ρ+β) α+ β 4β f f f ΘΕΜΑ o : Έστω η συνεχής συνάρτηση f:,+, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο, +, π π έχει σύνολο τιμών f( A ), και ικανοποιεί τη σχέση ημ( f() ), () + α) Να αποδείξετε ότι f (),, + + + β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τις ασύμπτωτες. ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα,+ και η συνάρτηση ημ στο, άρα η συνάρτηση ημf() είναι παραγωγίσιμη στο Η συνάρτηση + δύο μέλη της σχέσης () για κάθε,+ είναι παραγωγίσιμη στο (, ) (,+ ), + έχουμε: ()( + ) ( + ) + (+ ) [ ημf() ] συνf()f () + συνf()f () συνf()f () ( + ) ( + ) ημ f() + συν f() συν f() ημ f(), ως σύνθεση παραγωγισίμων., άρα παραγωγίζοντας και τα () () + συν f() συν f() ( + ) ( + ) () - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για κάθε, + είναι: π π <f() <, οπότε συνf() > (4) Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε: συνf() + + Από τις σχέσεις () και (5) έχουμε: + f() f() + (+ ) ( + ) +,, + β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο,+ και f() > για κάθε, +, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Η συνάρτηση f είναι και έχει σύνολο τιμών (5),+, άρα είναι και, επομένως αντιστρέφεται. π π f(a),, επομένως για κάθε π π y, υπάρχει μοναδικό, + τέτοιο, ώστε f() y f (y) π π Άρα για κάθε y, η σχέση () γράφεται: Επομένως: ημy ημy + ημy ( ημy) ημy + ημy ημy ημy ημy f (y) π π f :, με f ημ () ημ γ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,+, άρα το σύνολο τιμών της f π π είναι το διάστημα f( A) f, limf() + και επειδή f ( A ), συμπεραίνουμε ότι π lim f() + Επομένως η γραφική παράσταση ευθεία (ε) : π y C της συνάρτησης f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + την f - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επειδή η f είναι συνεχής στο,+ για,+ ισχύει lim f() f( ), που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση C της συνάρτησης f δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Σημείωση: Η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήμα. f ΘΕΜΑ o : Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, που έχει σημείο καμπής το O(,) και της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g() f() β) Με δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g έχει ασύμπτωτες, να τις βρείτε. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτησης g ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να χαράξετε τη γραφική της παράσταση δ) Αν η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική ου βαθμού, τότε: i) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ και τον τύπο της συνάρτησης f ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα ΛΥΣΗ α) Για να ορίζεται η συνάρτηση g πρέπει και αρκεί f() f () και και Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το σύνολο Α {,, } g β) Από τη γραφική παράσταση C της συνάρτησης f, προκύπτει ότι: f lim f (), οπότε lim g () lim f() lim f () +, οπότε lim g () lim + + f() + Επομένως η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της συνάρτησης g και στο και στο + - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ lim f () lim f () και f()< για <, οπότε και f()> για >, οπότε lim g () lim f() lim g () lim + f() + + Επομένως η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της της συνάρτησης g ( ) limf () limf () και f()> για (,) και f()< για (, ), οπότε, οπότε + lim g () lim f() lim g () lim f() + + Επομένως η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της της συνάρτησης g ( ) limf () limf () και f()< για (, ) και f()> για >, οπότε, οπότε lim g () lim f() lim g () lim + f() + + Επομένως η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C g της της συνάρτησης g ( ) ( ) Για την εύρεση μιας κατακόρυφης ασύμπτωτης, ως γνωστόν, αρκεί ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια να είναι + ή. Εδώ ο υπολογισμός και των δύο πλευρικών ορίων, σε κάθε περίπτωση, έγινε γιατί μας είναι απαραίτητα για την χάραξη της γραφικής παράστασης, που ζητείται στο επόμενο ερώτημα. γ) Για κάθε Α {,, } f () g () () f() f () g έχουμε Από τη σχέση () συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση g, σε κάθε διάστημα που ορίζεται, έχει το αντίθετο πρόσημο από αυτό που έχει η συνάρτηση f, άρα οι συναρτήσεις g και f έχουν αντίθετο είδος μονοτονίας σε κάθε διάστημα. Επομένως: Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, κ], άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ) και (,κ] Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ κ, λ ], άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα [ κ,) και (,λ ] - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ λ, + ), άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα [ λ,) και (,+ ) Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Η συνάρτηση g στο Η συνάρτηση g στο κ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή λ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο με τιμή g (κ) f (κ) g (λ) f (λ) Η γραφική παράσταση C g της συνάρτησης g, είναι: δ) i) H συνάρτηση f είναι πολυωνυμική ου βαθμού και έχει τρεις ρίζες, τους αριθμούς,,, άρα είναι της μορφής: Για κάθε Άρα: f() α( + )( ) α 4 α 4, είναι: f() α( 4) 4 4 f() α( 4) ± ± κ και λ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Άρα: f(κ) f α 4 8 8 6 7 9 α + α α α 9 9 6 6 9 f() ( 4), 6 ii) Tο εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τον άξονα είναι: Ε f () d f ()d f ()d 9 9 ( 4) d ( 4) d 6 6 4 4 9 9 6 4 6 4 9 9 ( 4+ 8) ( 4 8 ) 6 6 9 9 8 9 9 4 ( 4) 6 6 6 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4ο : Δίνεται η συνάρτηση f με f() n, > α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Αν η τετμημένη του σημείου Μ (,f() ) μεταβάλλεται με ρυθμό μ /sc, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε() του τριγώνου ΑΟΒ, όπου A(,), Ο(, ), Β(,f() ), τη χρονική στιγμή κατά την οποία είναι ( ) 4 γ) Αν τη χρονική στιγμή το σημείο Μ βρίσκεται στη θέση (,), τότε να αποδείξετε ότι: i) () + ii) Η συνάρτηση Ε() είναι κοίλη στο διάστημα [, + ) ΛΥΣΗ α) Για < < έχουμε: Για n < < n < n n < n >, οπότε n n έχουμε: n n n n n, οπότε n n Επομένως ο τύπος της συνάρτησης f είναι: n, < < f() n, Για < < η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, ως πηλίκο παραγωγισίμων συναρτήσεων με παράγωγο: n ( n) ( n) () f() ( n) n < 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για > η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, ως πηλίκο παραγωγισίμων συναρτήσεων με παράγωγο: n ( n ) ( n ) () f() ( n ) n n f() n n n f() < < n< n> > Το πρόσημο της f () καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + f() + f() ο.ε. τ.μ. n lim f () lim lim ( n) + + + +, γιατί lim ( n) + + lim + + n ( n ) lim f () lim lim lim lim + + D.L.H + () + + n f() n n f( ) Επίσης η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (,+ ), ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Η συνάρτηση n είναι συνεχής στο (,+ ), ως απόλυτη τιμή της συνάρτησης n, που είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών και η συνάρτηση είναι συνεχής, ως πολυωνυμική, οπότε έχουμε: Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ, + ) Η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο με ελάχιστη τιμή f() Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο με τιμή f( ) β) Το εμβαδό του τριγώνου ΑΟΒ είναι: Άρα: n n E ( ΟΑ) ( ΟΒ ) f() E() n() Επειδή ( ) 4 > το n( ) < Άρα για () > έχουμε: n() E() και E () () () Άρα τη χρονική στιγμή με ( ) 4 είναι: E(.. ) ( ) τμ ( ) 4 8 sc γ) i) Για έχουμε: Για είναι: Επομένως: ii) Για έχουμε: () () + c () () + c c () +, n(+ ) n( + ) E() Για > έχουμε: E() > και + E () < + Η συνάρτηση Ε() είναι συνεχής στο [, + ) και E () < για κάθε (, + ) 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ άρα η συνάρτηση Ε() είναι κοίλη στο διάστημα [, + ) ΘΕΜΑ 5ο : Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: (, ) +, με ( ] ln,, f(),, + και g() f()d α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο o με f () β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g γ) Να υπολογίσετε τα όρια: i) lim g() + και δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g ii) lim g() + ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g () έχει δύο ακριβώς ρίζες στο διάστημα (,+ ) στ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι κοίλη στο (, και κυρτή στο, + ) ΛΥΣΗ α) Για (,) είναι f() f() ln ln, οπότε ln + f () f () ln ( ln) lim lim lim lim lim ( ln + ) ( ) D.L.H Για (, ) + είναι f() f(), οπότε f() f() ( ) ( ) o lim lim lim lim lim ( ) + + D.L.H + + + Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο β) Για (,] είναι: o με f () g() f()d lnd lnd ln ( ln) d ln ln d ln + ln d 8 8 ln + ln ln ln 8 + 8 4 4 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ln + + ln 4 6 8 Για (, ) + είναι: ( ) ln ln 4 6 8 ( ) d d g() f()d f()d+ f()d g() + d + + + ln + + 6 8 + ln + + + ln 6 8 6 8 Άρα ο τύπος της συνάρτησης g είναι: γ) i) Για (, ) ln + + ln, (, 4 6 8 ] g() + ln, (, + ) 6 8 είναι: + + lim g() lim ln ln + + ln ln 4 6 8 + + +, γιατί 6 8 6 8 ( ) ln + (ln) lim ln + lim + lim lim lim D.L.H + + + ii) Για (, + ) είναι: 4 4 + + ( 6 8 ) lim g() lim + ln +, γιατί + lim ( ) lim + + +, αφού lim + + + + ( ) ( ) lim lim lim lim D.L.H + + + ( + ) + () lim + + δ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, + ), αφού είναι συνεχής: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ στο (, ), ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων στο (, + ), ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων (η είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών) στο σημείο o, αφού είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό από (α) ερώτημα. Επομένως η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με Παρατηρούμε ότι: Άρα Για κάθε (, ) είναι f() ln< g() f()d f(), > Για κάθε (, + ) είναι f() > Για είναι f() ln g() > (, + ) g() < (, ) g() Το πρόσημο της g() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + g() + g() g() ελάχιστο ln4 4 4 g() ln + + ln ln ln <, αφού < 4 6 8 8 6 6 6 < Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (,] Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, + ) Η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο με ελάχιστη τιμή g() ln 4 6 Το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι: g ( Δ ) g ( Δ ) g ( Δ ) Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (,], οπότε είναι: g( Δ ) g(), lim g() 4 ln, ln + + 6 6 8 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [ ) Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι: ε) g( Δ ) 4 g(), lim g() ln, + 6 + 4 g( Δ ) g( Δ) g( Δ ) ln, + 6 g f()d, άρα ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης ), +, οπότε είναι: g() στο διάστημα (, ] και μάλιστα μοναδική, αφού η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό Το g( Δ ), άρα η εξίσωση g() έχει μία ρίζα (, ) ρ +, (ρ, αφού g() ) και μάλιστα μοναδική, αφού η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, + ) Επομένως η εξίσωση g() έχει δύο ακριβώς ρίζες στο διάστημα (,+ ) στ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), αφού είναι παραγωγίσιμη: στο (, ), ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων, με f () ( ln) ln + ( ln) ln + ln + στο (, + ), ως άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων ( η σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων), με f() ( ) ( ) στο σημείο είναι παραγωγίσιμη ως o, αφού είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό από (α) ερώτημα, με f () Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ), αφού η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ), με g () f () για κάθε (, + ) Επομένως ( ] +ln,, g () f (), (, + ) g () + ln ln (, ] < < < < < < g () > + ln > ln > > < < (, ] < < < < < < 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (, + ) > g (), αδύνατη εξίσωση g () > > > (, + ) > > Το πρόσημο της g () καθώς και η κυρτότητα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. - + g () g() + + g συνεχής στο, Είναι g () < στο, Άρα η συνάρτηση g είναι κοίλη στο διάστημα (, > στο ( + ) g () η,, και C g δέχεται μη κατακόρυφη εφαπτομένη στο παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό ) Άρα η συνάρτηση g είναι κυρτή στο διάστημα, + ΘΕΜΑ 6ο :, αφού η συνάρτηση g είναι Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με συνεχή παράγωγο, που ικανοποιεί τις σχέσεις: ( f () ) f () +, για κάθε + () f ( ) < < f () () f() () α) Να αποδείξετε ότι f() + +, β) Να αποδείξετε ότι f() > για κάθε γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. δ) Αν h() lnf(),, τότε : i) Nα αποδείξετε ότι h(), + ii) Nα βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις και iii) Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ α) Για κάθε έχουμε: f() h() > για κάθε (,+ ). f () f () + f () f () + + + ( f() ) g() + + Για κάθε (, ) είναι: g () g() + > > (4), όπου g() f (), και επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (, ), ως άθροισμα συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, ). Για είναι () g( ) f ( ) < οπότε g() <, για κάθε (, ) Αφού g() <, για κάθε (, ), από τη σχέση (4) ισοδύναμα έχουμε: < g() g() g() + + + g() f () f () + + + +, για κάθε (, ) Για κάθε (, + ) είναι: g () g() + > > και επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (, + ), ως άθροισμα συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, + ). Για είναι () g() f () > οπότε g() >, για κάθε (, + ) Αφού g() >, για κάθε (, + ), από τη σχέση (4) ισοδύναμα έχουμε: > g() g() g() + + + g() f () f () + + + + Για από τη σχέση () έχουμε:, για κάθε (, + ) 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Άρα f () f () + f () f () f () f() + +, για κάθε Για κάθε έχουμε: Για είναι f () + f () + + f () + + + c + () f() + + + c c. Άρα f() + +, για κάθε β) Για κάθε είναι: f() + + > + + Άρα f() > για κάθε (5) γ) Για κάθε έχουμε: (5) + + f() f() + > + + + Είναι f() >, για κάθε, οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Επίσης η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με: + + () f () + + + + + + > + + + + + Είναι f () >, για κάθε, οπότε η συνάρτηση f είναι κυρτή στο δ) i) Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο, με + + h () ( lnf() ) f (), f() + + + + ii) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και f() > για κάθε, οπότε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις και είναι: E f()d + + d d + + d Ι +Ι 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ι d Ι + d () + d + + d + + d d d + + + + + + d + d + d + h ()d [ ] Ι + h() Ι + h() h() Ι + lnf() lnf() Ι + ln+ ln Ι + ln+ Ι Ι + ln + Ι + ln +, οπότε Επομένως: + ln ( + ) + + ln ( + ) E Ι +Ι + τ.μ Ι + ln + ii) Θεωρώ συνάρτηση Φ () h() f (), + + [, + ) Η συνάρτηση Φ είναι παραγωγίσιμη στο [, + ), με Φ () h() + h () f () + h() + + + + + h() + + + h() (6) + + Είναι h() >, για κάθε, οπότε η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο Επομένως, για κάθε > είναι h () > h () h () > lnf () h () > ln h () > (7) Από τις σχέσεις (6) και (7) συμπεραίνουμε ότι Φ () > για κάθε (, + ) [ ) Φσυνεχςστο ή, + Φ () > στο, + Άρα η συνάρτηση Φ είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), οπότε για κάθε > είναι: Φ () > Φ () h() f () + + > h() f () + + () 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Δηλαδή ΘΕΜΑ 7ο : > f() h() f () + + > h () > f() h() > για κάθε (, + ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [, + ), η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (,+ ) και ικανοποιεί τις σχέσεις: 4f() ( f ()) για κάθε (,+ ) f () για κάθε (,+ ) () () f () f () () α) Να αποδείξετε ότι f() για κάθε (,+ ) β) Να αποδείξετε ότι ( f ()f () ) για κάθε (,+ ) γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. δ) Αν f(),, τότε: i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Μα,f ( ( α) ), με α >. ii) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα. iii) Αν ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της f έτσι, ώστε να απομακρύνεται από τον άξονα yy με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του χωρίου Ω τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τετμημένη του είναι ίση με 4 μονάδες. iv) Να βρείτε λ ( α, α) ΛΥΣΗ τέτοιο, ώστε η ευθεία με εξίσωση λ να χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισοεμβαδικά χωρία. α) Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει ο (, ) ο ( ο ) ο που είναι άτοπο. Άρα f() για κάθε (, ) β) Για κάθε (,+ ) είναι: ( ) () ( ) + τέτοιο, ώστε f( ο), τότε από τη σχέση () έχουμε: 4f f 4f, + (4) 4f() f () 4f () f () f () f() (4) f() 4f()f () ( f ()) f () ( f () ) f() + c (5) f() Για από τη σχέση (5) έχουμε: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f() c c c f() + 4 + (6) Από τις σχέσεις (5) και (6) έχουμε: ( f () ) 4( f ()) ( f () ) ( f ()f () ) (7) f() γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση Από τη σχέση (7) έχουμε: g() f ()f (), (, + ) g(), για κάθε (,+ ) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (,+ ), ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Από τις σχέσεις () και (4), έχουμε ότι g() για κάθε (,+ ) Άρα η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,+ ) και επειδή συμπεραίνουμε ότι g() > για κάθε (,+ ) Επομένως για κάθε (,+ ) Για έχουμε: Άρα είναι: έχουμε: g () f ()f () f () () f () + c f () + c + c c f (), (,+ ) g() f ()f () > Η f είναι συνεχής στο (,+ ) και από τη σχέση (4) έχουμε ότι f() για κάθε (,+ ) άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,+ ) και επειδή f() > συμπεραίνουμε ότι f() > για κάθε (,+ ) Επομένως έχουμε: f(), (,+ ) Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και στο δ) i) H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο o ισχύει f() limf() lim, Άρα είναι:, (,+ ) f() f(), [, + ),,+ με f () Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Μα,f(α), με α > είναι: ε :y f(α) f (α)( α) 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επομένως: f(α) α και f(α) α ε :y α ( α) α ε : α y + α (7) ii) Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα είναι: α α α Ε (ΑΜΒ) f ()d ( ΑΒ)( ΒΜ) d ( α) α d α α α α α α α α α α α Ε α α τ.μ. Δηλαδή α iii) Έστω ότι την τυχαία χρονική στιγμή είναι: α () Μ (τετμημένη του σημείου Μ) και Ε E() (εμβαδόν του χωρίου Ω) Τη χρονική στιγμή o είναι: α ( Μ o) 4 μονάδες και α ( o) μονά δες /sc, E() α() και Τη χρονική στιγμή o είναι: o o o E() α() α () α() α () E( ) α( ) α ( ) 4 τετραγωνικές μονά δες /sc 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ iv) Έστω Ν το σημείο τομής της εφαπτομένης (ε) και του άξονα yy. Για από τη σχέση (7) έχουμε: α α y, οπότε Ν, Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΝ είναι: α Ε ΟΑΝ ( ΟΑΟΝ ) α αα 4 Από την προφανή σχέση Ε α α > α α προκύπτει ότι Ε 4 6 >, οπότε η ζητούμενη ευθεία, που χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία, θα έχει εξίσωση λ λ α, Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση λ τέμνει τον άξονα στο σημείο Γ( λ,) και την ευθεία ε στο σημείο Δ. Για λ από τη σχέση (7) έχουμε λ+α y, α οπότε Δ λ, λ+α α Ε (ΑΓΔ) ( ΑΓ)( ΓΔ ) λ+α ( λ+α) ( λ+α ) α 4 α Έχουμε: Ε ( λ+α) ( λ+α) Ε α α α α 4 α 4 α 6 ΘΕΜΑ 8ο : λ+α α λ+α 6 α λ+α> λ+α 6 α α> 6 6 6 λ α α λ α λ α Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g: (, ) f() f () g() g () g () g () f() g(), για κάθε (, ) + () >, για κάθε (, ) + () με +, οι οποίες ικανοποιούν τις σχέσεις: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 44

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ α) Να βρείτε τις συναρτήσεις f και g β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις C f, Cg και τις ευθείες με και γ) Να υπολογίσετε το όριο lim(f()) + g() δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln+ + έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα f() g() + (, ) ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f() g() () ισοδύναμα γράφεται f ()g() g ()f () f () () g() g() είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ως πηλίκο παραγωγισίμων, οπότε η σχέση Από τη σχέση () προκύπτει ότι g() για κάθε (, ) +, οπότε g() g () g () () c + g () g() g() g(), οπότε c Άρα: g(), (, + g() ) (4) H σχέση () λόγω των σχέσεων () και (4) γράφεται: f ()g() g ()f () f () f () f () f () Άρα: f () f () f () + f () + + f() f() c f() c,, + + + + f(), οπότε c f() +,, + β) Στο διάστημα [, ] ισχύει: f() g() + + >, 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 45

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι Ε + d [ + ln] + ln γ) Για κάθε (, ) + είναι: f() + και g() οπότε το ζητούμενο όριο λαμβάνει τη μορφή lim ln + + +, αρκεί να υπολογίσουμε το όριο lim ln + + + και επειδή για κάθε (, ) ln + + + lim ln lim + + lim, οπότε lim + D.L.H + + + δ) Για κάθε (, ) οπότε + είναι: f (), + και g() f () [g () + ] και η δοθείσα εξίσωση στο διάστημα [,] είναι ισοδύναμη με την Θεωρούμε τη συνάρτηση h() ln, [, ] ln Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση h(), έχει μια ακριβώς ρίζα στο διάστημα (, ) H συνάρτηση h είναι συνεχής στο [,], ως άθροισμα συνεχών h() < και οπότε h() h() < h() 5 >, γιατί 5 + είναι 5 > και >, Άρα η συνάρτηση h ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε η εξίσωση h() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). Για κάθε (,) έχουμε: αφού για < < είναι: h() > 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 46

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ > > (+) > < > Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η εξίσωση h() θα έχει μια ακριβώς ρίζα στο διάστημα (, ) ΘΕΜΑ 9o : Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f () f () (4 + ), για κάθε () f f( ) () α) Να αποδείξετε ότι f(), β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (,) ε) Να υπολογίσετε το όριο lim f()d ΛΥΣΗ α) Για κάθε είναι: τέτοια, ώστε f (ξ )f (ξ ) f () f() (4 + ) f () f () + f () f() (4 + ) f () f () + f () f () 4 + ( ) ( ) ( ( f() ) + ( f() ) ( + ) ( f () + f () ) ( + ) ) f () + f () + f () + f () + f () + f () + + c () Για από τη σχέση () έχουμε: () + + + f () f() c c Άρα η σχέση () γράφεται: f () + f () +, Για κάθε είναι: f () + f () + f () + f () + f() + f() ( ) + ( f() ) ( ) f() + c (4) Για από τη σχέση (4) έχουμε: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 47

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ () f() + c c Άρα η σχέση (4) γράφεται:, f() f() β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, οπότε δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Για (, + ) είναι: f() lim lim lim ( ) + + + + Άρα η γραφική παράσταση C της συνάρτησης f δεν έχει ασύμπτωτη της μορφής f y λ + β στο + Για (, ) είναι: + ( + ) + lim f () lim ( ) lim lim D.LH ( ) lim lim lim lim ( ) D.LH ( ) Άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f f στο γ) Για κάθε είναι: f () + ( + ) f () ( + ) ή f () > ( + ) < ή > Το πρόσημο της f() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + f() f() + + 4 τ. μ. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ] και [,+ ) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,] Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο με τιμή f( ) 4 και ολικό ελάχιστο στο με ελάχιστη τιμή f(), αφού lim f (), ( σχέ ση (5) ) ο. ε. (5) 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 48

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων, άρα ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ σε δύο διαστήματα, στα [,] και [, ], οπότε θα υπάρχουν: ξ (,) τέτοιο, ώστε ξ (,) Άρα έχουμε: f () f ( ) ( ) f (ξ ) ( ) f() f() τέτοιο, ώστε f (ξ ) ε) Για [, ] με < έχουμε: f (ξ )f (ξ ) f (ξ )f (ξ ) f f ( ) f () f () Επομένως: f( ) d f() d f() d Για (, ) είναι: f( ) d f() d f() d f( ) ( ) f() d f() ( ) f( ) f() d f() lim f (), ( σχέ ση (5) ) lim f lim f (), ( σχέ ση (5) ) Άρα από το Κριτήριο Παρεμβολής είναι και lim f () d ΘΕΜΑ ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f :(, + ), η οποία ικανοποιεί τη σχέση: 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 49

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ f() f()d+ ln + + ln d du, > 4 + u () f() + + α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη με, συνέχεια τον τύπο της f > και να βρείτε στη + β) Αν f() (+)ln, >, τότε: i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, να βρείτε τις ασύμπτωτες της C και να f ΛΥΣΗ βρείτε το σύνολο τιμών της f ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση iii) Να αποδείξετε ότι + +, > έχει μία ακριβώς θετική ρίζα + f() + ln f, > iv) Να αποδείξετε ότι f ( )d > f ( )d, (, ) α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα (, + ), άρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με Η συνάρτηση f() + f()d f(), >. f()d, (, + ) είναι συνεχής στο διάστημα (, + ) ως πηλίκο συνεχών, άρα η συνάρτηση u u f() f() f() g(u) d, u > είναι παραγωγίσιμη με g(u) d,> +. + + Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο διάστημα (, + ) ως παραγωγίσιμη, άρα η συνάρτηση g(u)du, (, + ) είναι παραγωγίσιμη με g(u)du g(), >. Επομένως τα μέλη της () είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο διάστημα (, + ), άρα παραγωγίζοντας έχουμε: f()d+ ln + + ln g(u)du 4, οπότε f () + ln g() f () ln g(), > 4 4 + () Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, + ), ως άθροισμα παραγωγίσιμων με f () f() f () + g() f () + f () + + 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( + ) f () f() ( + ) f () f() + ( + ) ( + ) f() f() ( ln ( + ) ln ) + + + f() ln ln c, c, + + + > () Για από τη σχέση () έχουμε f() ln + g() f() ln4+ f() ln 4 και από τη σχέση () έχουμε f() ln + c ln ln + c c Άρα f() + ln( + ) ln, > f () ( + ) ln, > + β) i) Η f είναι παραγωγίμη στο (, + ) με + + f () ln ln ( ) ln + + + + + + + + (+ ) (+ )() ln + ( + ) ln + + + (+ ) + ln + ln, > Η συνάρτηση g() ln σε κάθε διάστημα [,+ ],> ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ., άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, + ) τέτοιο, ώστε g(+ ) g() + g( ξ ) ln(+ ) ln ln ( + ) ξ ξ (4) + + < <ξ< + > ln < ln < ξ (4) (5) Λόγω της (5) είναι f() <, για κάθε (, + ) άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα. + lim f () lim ( + ) ln + γιατί + + + lim ln lim ln + +, + + και lim ( + ) και + + lim lim + + + + Άρα η ευθεία (άξονας yy ) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ + + ln ln ( + ) + lim f () lim ln lim lim + + + + DLH + + + + ( + ) ( + )() ( + ) + lim lim + lim + + + + + ( + ) ( + ) + + lim lim lim + + + ( + ) Άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α (, + ) άρα το σύνολο τιμών της είναι το ( + ) f (A) lim f (), lim f () (, + ) + ii) Για > η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: + + + + + + + ln ln ln + + + ln f () (6) Η f είναι συνάρτηση, ως γνησίως φθίνουσα στο Α (, + ) και f (A), άρα η εξίσωση (6) έχει μία ακριβώς λύση ως προς στο Α (, + ). Δηλαδή η εξίσωση + +, > έχει μία ακριβώς θετική ρίζα. iii) ος + + τρόπος: (ανισότητα Jnsn) f() + ln f f() + f() f που ισχύει για κάθε >, γιατί η f είναι κυρτή. Πράγματι: Για η (7) ισχύει ως ισότητα. Για > η f στα διαστήματα + του Θ.Μ.Τ., άρα υπάρχουν ξ, + + f f() f f() f ( ξ ) + (7) +, και +, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις και ξ και +, τέτοια, ώστε 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ + + f() f f() f f ( ξ ) + Για κάθε > η f είναι παραγωγίμη με + f () + >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) f f() f() f < ξ < ξ f (ξ ) < f(ξ ) < f > f + f() f() f + f() f() f + f() ln f + < + > + > Ομοίως αν < < Άρα σε κάθε περίπτωση είναι: + f() + ln f, για κάθε > ος τρόπος (με τη βοήθεια ακρότατου) Υπόδειξη: αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση + g() f() f + ln, > έχει ελάχιστο το. iv) ος τρόπος: (με τη βοήθεια της μονοτονίας) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() f ()d f ()d f ()d + f ()d, (, ] Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη γιατί οι συναρτήσεις f(), f()είναι συνεχείς, με h () f ()d + f ()d f () + f ()d + f () f ()d, (, ] Για κάθε (, ] είναι: h () f()d f() > αφού το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το f(a) (, + ) Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ], οπότε για < < ισχύει Έχουμε: h () h () < h () h () < 4-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5