Z. 7. Μελέτη συνάρτησης f() = Απρίτητες γνώσεις Θεωρίς Θεωρί 4. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση: f() είνι περιττή 0 Απόδειξη: Το πεδίο ορισμού της f είνι το R* R 0 Γι κάθε R*, R* κι f(-) f() ( ) Επομένως η f είνι περιττή. Άρ η γρφική της πράστση είνι συμμετρική ως προς την ρχή των ξόνων. Θεωρί 5. Ν μελετηθεί ως προς την μονοτονί η συνάρτηση f με f(), 0 Απάντηση: Το πεδίο ορισμού της f είνι όλο το R εκτός του μηδενός. (R*) Έστω, 0 με τότε: ( ) f( ) f() ()
374. Μελέτη της συνρτησης f() = Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: η περίπτωση: Έστω > 0 Αν 0 τότε: () 0 φού 0, 0 Δ Άρ f γνησίως φθίνουσ στο ( 0, ). Αν 0 τότε: () 0 φού 0, 0 Δ Άρ f γνησίως φθίνουσ στο ( 0, ) Αν 0 τότε: () Δ 0 φού - 0, 0 Συμπερίνουμε λοιπόν ότι: Η f είνι γνησίως φθίνουσ στ διστήμτ (,0), ( 0, ) δεν είνι όμως γνησίως, 0 (0,. φθίνουσ στο ) Άρ η f δεν είνι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της (R*) η περίπτωση: Εάν < 0 κτ νάλογο τρόπο προκύπτει ότι: f γνησίως ύξουσ στο (0, ) f γνησίως ύξουσ στο (,0) > 0 < 0
Μελέτη της συνρτησης f() = 375. Ερωτήσεις κτνόησης - Λυμέν Πρδείγμτ Πράδειγμ 5 Ν μελετηθούν ως προς την μονοτονί οι συνρτήσεις: f(), 3 g() Λύση: Η μονοτονί κάθε συνάρτησης της μορφής: f(), 0 εξρτάτι π το. Το πεδίο ορισμού των πρπάνω συνρτήσεων είνι το R* f γνησίως φθίνουσ στο (,0) κι f γνησίως φθίνουσ στο ( 0, ) φού = > 0 g γνησίως ύξουσ στο (,0) κι g γνησίως ύξουσ στο ( 0, ) φού = -3 < 0
376. Μελέτη της συνρτησης f() = Συνοψίζοντς λοιπόν έχουμε: Ν κάνετε την μελέτη κι την γρφική πράστση της συνάρτησης f(), 0 Απάντηση:. Το πεδίο ορισμού της f είνι το R* { R 0}.. Η f έχει κέντρο συμμετρίς την ρχή των ξόνων φού είνι περιττή. 3. Ότν > 0 τότε f γνησίως φθίνουσ στο (,0) κι f γνησίως φθίνουσ στο (0, ) Ότν < 0 τότε f γνησίως ύξουσ στο (,0) κι f γνησίως ύξουσ στο (0, ). 4. Ακρόττ δεν προυσιάζει 5 Αν > 0 ) Ότν 0, με > 0 τότε f () β) Ότν 0, με < 0 τότε f () γ) Ότν ή τότε f () 0 Αν < 0 ) Ότν 0, με > 0 τότε f () β) Ότν 0, με < 0 τότε f () γ) Ότν ή τότε f () 0 6. Γρφική πράστση Πρτηρήσεις: (Ι) Οι ευθείες = 0 (άξονς y y) κι y = 0 (άξονς ) ονομάζοντι σύμπτωτες της υπερβολής. (ΙΙ) Η διχοτόμος της γωνίς y = είνι άξονς συμμετρίς της υπερβολής. Σημείωση: Η γρφική πράστση της πρπάνω συνάρτησης ονομάζετι υπερβολή.
Μελέτη της συνρτησης f() = 377. Πράδειγμ 6 Ν κάνετε την μελέτη κι κτόπιν την γρφική πράστση της συνάρτησης f με f() Λυμένο Πράδειγμ Λύση: Το πεδίο ορισμού της f είνι το R φού 0 γι κάθε R. Απλσόμστε π τ πόλυτ με την βοήθει του πρκάτω πίνκ Αν < έχουμε: f() Αν τότε έχουμε: f () Αν τότε έχουμε: Άρ f (),,, f() - Γι < - η γρφική πράστση της f είνι υπερβολή κι επειδή = > 0 είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ) - Γι η γρφική πράστση της f είνι ευθεί που διέρχετι π την ρχή των ξόνων κι επειδή = > 0 είνι γνησίως ύξουσ στο [,). - Γι η γρφική πράστση της f είνι υπερβολή κι επειδή = > 0 είνι γνησίως φθίνουσ στο [, )
378. Μελέτη της συνρτησης f() = Γρφική πράστση: Γι = η f προυσιάζει ελάχιστο το f( ) =, ενώ = η f προυσιάζει μέγιστο το f (). Έχει σύμπτωτη την ευθεί με εξίσωση y = 0 (άξονς ). Ένς στρονόμος, ένς φυσικός κι ένς μθημτικός, έκνν δικοπές στη Σκοτί. Κοιτάζοντς έξω πό το πράθυρο του τρένου, βλέπουν έν μύρο πρόβτο στη μέση του γρού. O στρονόμος πρτηρεί: Ενδιφέρον, όλ τ πρόβτ στη Σκοτί είνι μύρ! Ο φυσικός πντά: Όχι, μερικά πρόβτ στη Σκοτί είνι μύρ! Κι ο μθημτικός σιγοψιθυρίζει: Στην Σκοτί υπάρχει τουλάχιστον έν πρόβτο του οποίου τουλάχιστον η μί πλευρά είνι μύρη! Απόσπσμ πό το βιβλίο του Ίν Στιούρτ: Έννοιες των συγρονων μθημτικών - Concepts of Modern Mathematics
Μελέτη της συνρτησης f() = 379. Ερωτήσεις κτνόησης - Ασκήσεις γι λύση 5. Ν χρκτηρίσετε κθεμιά πό τις πρκάτω προτάσεις Σωστή ή Λάθος: i) Η εξίσωση y = 7 πριστάνει υπερβολή. ii) H γρφική πράστση της υπερβολής y=, 0. iii) H υπερβολή iv) H ισότητ y, 0,δεν έχει κοινά σημεί με την ευθεί y=-. y, πριστάνει υπερβολή που η γρφική της πράστση προκύπτει πό μεττόπιση της γρφικής πράστσης της y. 6. Ν κάνετε τη μελέτη κι τη γρφική πράστση των συνρτήσεων:, 0 i) f()=, 0, ii) g()= 7. Στο ίδιο σύστημ συντετγμένων ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι f() g(). 3 κι g()=-, 0, κι ν λύσετε τις νισώσεις f()>g()