8 Μαΐου 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ααντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα) Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ.4 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 46, 47 Α.4 α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β B. f() = +, R Η f είναι αραγωγίσιμη στο R, ως ρητή, με: + + + + f ( ) = = = = + + + +
( + ) > f ( + ) + f - + f( ) f() O.E. Αφού: ( ] f συνεχής στο, η f είναι γν. φθίνουσα στο, f < στο, [ ) ( ] f συνεχής στο, + η f είναι γν. αύξουσα στο, + f > στο, + f ( ) [ ) = η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο f < στο, στο =, το f ( ) = f > στο, + B. H f είναι αραγωγίσιμη στο R ως ρητή, με: + + + + + f ( ) = = 4 4 + + ( ) ( ) ( ) + 4 + + + 4 = = = + + + ( ) ( + ) 4 4 ( + ) > f Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6
+ f ( ) - + - f( ) Σ.Κ Σ.Κ Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 Αφού : f ( ) < στο,, η f είναι κοίλη στο, f ( ) > στο,, η f είναι κυρτή στο, f ( ) < στο, +, η f είναι κοίλη στο, + Η C αρουσιάζει δύο σημεία καμής, τα: f Α,f = Α, 4 9 f = = = = = 4 + + + 9 4 B,f = B, 4 f = f = 4
B. Αφού η f ορίζεται και είναι συνεχής στο R, ελέγχω μόνο για ασύμτωτες στο και + : lim f ( ) = lim = lim = + lim f ( ) = lim = lim = + + + + Άρα η C έχει οριζόντια ασύμτωτη την ευθεία y = στο και στο + f B.4 Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 4
ΘΕΜΑ Γ Γ. e = Θέτω g = e Παρατηρώ g ( ) = e = = Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 + Η g αραγωγίζεται στο με g = e = e = e Παρατηρώ ότι e για κάθε διότι για κάθε, e γνησίως αύξουσα άρα e e e e για κάθε Το "=" ισχύει μόνο για = Οότε g' g ( ) - + g( ) H g είναι στο (,] άρα είναι - οότε το είναι η μοναδική ρίζα στο (,] H g είναι στο [, + ) άρα είναι - οότε το είναι η μοναδική ρίζα στο [, + ) Τελικά το είναι η μοναδικη ρίζα της g =,άρα της e = 5
( Γ) Γ. f ( ) = ( e ) f( ) = e f( ) = g( ) Με g = e του (Γ) ερωτήματος Ό µως έδειξα ότι η g έχει ελάχιστο, το g = Ά ρα, g g = στο R και μηδενίζεται μόνο για =. Οό τε : f = e, για κάθε R. H f συνεχής στο R, οότε αό Συνέεια Θ. Bolzano η f διατηρεί σταθερό ρόσημο σε καθένα αό τα διαστήματα ου η μοναδική ρίζα χωρίζει το R. Ά ρα, έχω τις εξής εριτώσεις: ) f ( ) = e, για < f ( ) = e, για > f( ) = άρα: f = e, R ) f( ) = ( e ), για < f( ) = ( e ), για > f( ) = άρα: f = e + +, R ) f( ) = ( e ), για < f ( ) = e, για > f( ) = e + +, < άρα: f ( ) = e, Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 6
4) f = e, για < f( ) = ( e ), για > f( ) = Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 άρα: f Γ. < = + + f = e e, e, f = e = e f = e = e + e = e + e = = + e στο διότι e e = για κάθε To "=" ισχύει μόνο για = για κάθε To "=" ι + άρα e + > για κάθε f συνεχής στο,f > στο άρα η f είναι κυρτή στο Γ.4 σχύει μόνο για = [ ) [ + ) Θεωρ ώ την h = f + f,, + H h είναι αραγωγίσιμη στο, αραγωγισίμων, με:, ως σύνθεση και διαφορά h f f h f f = ( + ) ( + ) = ( + ) H f είναι γν. αύξουσα στο R, οότε: f : γν. αυξ. R [ + ) + f + f f + f h Άρα η h είναι γν. αύξουσα στο, άρα και στο,, οότε h:- 7
h: f ημ + f ημ = f + f h ημ = h ημ = = διό τι, ημ για κάθε R και το "=" ισχύει για = ΘΕΜΑ Δ Δ. ( ) ( ) f + f ηµ d = f ηµ d + f ηµ d = f ( ) ηµ d + f ( ) ηµ f ( )( ηµ ) d = f ηµ d + f ηµ f ηµ f συν d = f ( ) ηµ d f ( ) συν + f ( )( συν ) d = f ηµ d f συν + f συν + f ηµ d = f ηµ d + f + f f ηµ d = f + f = = ηµ f Θέ τω g ( ) = με lim g ( ) = ( ) και την g ( ) να ορίζεται κοντά ηµ στο, άρα: f g Όμως η f είναι συνεχής ως αραγωγίσιμη, άρα και συνεχής στο, οότε: f = lim f = lim g ημ = lim g lim ημ = = f Τελικά : = f ( ) = f( + ) f() = Για τα κοντά στο, έχουμε: f( ) f( ) f f( ) = = () ηµ ηµ ηµ Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 8
Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 H f είναι αραγωγίσιμη, άρα αραγωγίσιμη και στο, οότε: f f lim = f ( ) ( 4) ημ lim = ( 5) f( ) f( ) f( ) f( ) ( ) ( 4,5 ) ( 4,5 f lim ) f ( ) lim = lim = = = f ( ) = ημ ημ ημ lim Δ. α) ( ) + = + f e f f e, για κάθε f( ) f( ) ( ) Τότε: e f f e e f f f f e + = + + = + f( ) ( ( )) = = f e f f f f e f e f f e () Έστω ότι η f αρουσιάζει ακρότατο στο. Αφού είναι αραγωγίσιμη στο είναι αραγωγίσιμη και στο άρα αο θεώρημα Fermat, θα ισχύει: ( ) f = () Η για = : ( ( )) () f f e f f = e = e e = e = e = δηλαδή () f = ΑΤΟΠΟ, διότι f = Άρα η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο β) f, για κάθε R και f συνεχής στο R, ως αραγωγίσιμη, άρα αό συνέεια του θεωρήματος Bolzano, η f διατηρεί ρόσημο στο R και ειλέον ισχύει: f = >, άρα: f > για κάθε R, οό τε η f είναι γν. αύξουσα στο R. 9
Δ. ημ + συν lim f + + Αφού το σύνολο τιμών της f είναι f R =R και f γνησίως αύξουσα θα ισχύει: lim f Οότε : lim = + f = + Άρα lim = lim = + f( ) + f( ) ημ = ημ f f( ) ημ = ημ ημ f f f f f f Αό ( ),( ) ισχύει κριτήριο αρεμβολής, άρα: lim ημ + = f( ) Ομοίως: lim συν 4 + = f( ) + ημ + συν lim = lim ημ + συν f f f + ( ) = ( 4) lim ημ lim συν f( ) + = + f( ) + Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6
Δ.4 e f ln d θέτω ln = u = e d = u e du e u Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σουδών & Σουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 8 Μαΐου 6 ln = u f ( u) f ln e u άρα d = e du f u ( u) du = e [ ] αρκεί να δείξω ότι < f u du < f συνεχής στο, f στο άρα και στο [, ] οότε αό Θ. Μέγιστης Ελάχιστης Τιμής έχει ελάχιστο το f = αό Δ και μέγιστο το f αό Δ άρα f για κάθε,, άρα f για κάθε, όμως το "=" ισχύει μόνο για άρα f δεν είναι αντο = [ ] [ ] = ύ μηδέν στο [, ] οότε f d > () [ ] Ομοίως f στο, όμως το "=" ισχύει μόνο για = άρα f δεν είναι αντού μηδέν στο, οότε ( f ( ) ) d > f ( ) d < d f ( ) d < () (), () < f d < [ ]