ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) () = ημ vi) () = 4. Να βρεθεί ο λ R ώστε () = ln ( +λ+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: β) ()= δ) () = στ) () = - - + 4 - - 4 - α) ()= ( - ) + γ) () = 5 - - ε) () = log ( + - ) + log e - + - ln ζ) () = Β.ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - - - + - 8 - + - συν ημ - +, [0, π] εφ - 4. Για ποιες τιμές του χ η C βρίσκεται πάνω, η κάτω από των χχ όταν: I) () = -5+6 ii) () = e iii) () = log 5( ) iv) () = 5. Έστω η συνάρτηση () = - +. α) Να βρείτε τις τιμές (), (0), (-), () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές (t), (t), ( + h),, t, h R. 6. Δίνεται η συνάρτηση () = ln. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να αποδείξετε ότι () = e για κάθε του πεδίου ορισμού της. γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση 7. Έστω ότι η γραφική παράσταση της ( ) = kln( + ) + λ τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο e και τον άξονα ψ ψ στο. Να βρείτε : i) τα κ,λ R
ii) το σημείο της c που έχει τεταγμένη. 8. Έστω οι συναρτήσεις g, : R R, για τις οποίες ισχύει : () = g () + 4 για κάθε R. Να βρείτε τη σχετική θέση των c και c g. 9. Να βρείτε τις συναρτήσεις g, : R R για τις οποίες ισχύει : ( ) + g ( ) + = (ημχ ( ) συνχ g ( )), για κάθε R 0. Για ποιες τιμές του R η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g όταν ( ) ( ) ++ ( ) ( ) i) = + + και g = + + - -- ii) = e και g = e -- ( ) ( ) ( ) ( ) v) = ln e + και g = ln e +. Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει : ( + ) + ( ) = 0, για κάθε R. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα χ χ σε δύο τουλάχιστον σημεία. Γ. ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Εξετάστε ποιες από τις επόμενες συναρτήσεις είναι ίσες και σε ποιο + + + + Σύνολο ι) () =, g() = ιι) () =, g() = ιιι) () = 4 + 5, g() = 5 + 4. Δίνεται η συνάρτηση () = +. α) Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με τη συνάρτηση. () = - - + ()= - + () = ( + ) 4 () = ( + ) 5 () = lne + 6 () = e ln (+) β) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. + 5. Α. Δίνονται οι συναρτήσεις () = -, g()= + α + α,α R, > 0. ( - ) α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των, g β) Για ποια τιμή του α ισχύει = g; Β. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι =g. Στις
περιπτώσεις που είναι g, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει : () = g (). i) () = και g () = + ii) ( ) = ln και g ( ) = ln ln( ) Δ.ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ +, [0,], (,) 6. Δίνονται οι συναρτήσεις () = g() = + 6, (,6) [,] Να ορίσετε τις συναρτήσεις +g,.g, g +, 7. Δίνονται οι συναρτήσεις () =, > ln, 0 < < g () = - +, και Να βρείτε τις συναρτήσεις: α) + g β) g, αν χ 0 0, αν χ 0 8. Δίνονται οι συναρτήσεις () = και g() = 0, αν χ > 0, αν χ > 0 Να βρείτε την συναρτήση: α) g ΤΙ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΕ!!!!!!!!!!!!!! Ε.ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9. Έστω οι συναρτήσεις () = + και g() = ln( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις ι. g ιι. g ιιι. ιv. g g 0. Να ορισθούν οι συναρτήσεις g, g,, g g όταν, [, + ) +, > 0 () =, g() = X +. (,) +, 0. Βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε i) ( g)() = +, αν g()=-
ii) ( g)() = + + 4, αν g() = iii) (g )() = 5 + 4,αν g() = 7 6. Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, ]. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) ( ) β) ( - 4) + γ) (ln) δ) ( ), ε) ( ) στ) ( ). Δίνεται η συνάρτηση : [,] συναρτήσεων : g ( ) = ( ), h R Να βρείτε το πεδίο ορισμού των ( ) ( ) = και q ( ) = (ln ) 4. Έστω : (0,] R μία συνάρτηση. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g ( ) = ( ) + (ln ) 5. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = και g ( ) =. Να βρείτε τις συναρτήσεις : g, g και 6. Αν για κάθε R ισχυει () + = α να δειχθει ότι ( )() = () 7. Δινεται η συναρτηση, τετοια ώστε + =, R τυπο της. Βρειτε το 8. Στις παρακάτω συναρτήσεις να γίνει αλλαγή μεταβλητής ώστε αυτές να έχουν τη μορφή () 6 I) - = - + II) = - + ³ > 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III) ln = - + IV) e - = - + ( ) V) (ln) = + > 0 9. Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει ( ( )) = για κάθε R Να δείξετε ότι : α) ( ) = ( ), R β)η εξίσωση ( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 0. Εστω η αρτια συναρτηση : R R, για την οποια ισχυει (α + β) (α) + (β), να δειξτε ότι. Ι) () 0. ιι) (α) (β) (α β ) α,β R. e. Αν ( g )() = + e και g() = ln, > 0. Να βρεθει ο τυπος της. Αν = () g() και g() = (), R, να δειχθει ότι 4
( g)() (g )() = (). Δινεται η συναρτηση :R R για την οποια ισχυει ( ) ( ) = +, R. να δειχθει ότι Ι) () ( ) = + + ιι) ( ) () = 6 + 0. Ιιι) Να βρεθει ο τυπος της 4. Αν για μια συνάρτηση ισχύει () - ( ) =, 0, να βρείτε το (). 5. Αν (()) = + να βρεθει η (). 6. Αν (()) = να δειχθει ότι ( ) = (), R ΣΤ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, < 7. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις : ( ) =, ( ) =, ( ) = e και ( ) = ln( ). 8. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + -5. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. - 9. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = e - -ln. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. 40. α) Έστω οι συναρτήσεις, : g R R. Αν η είναι γνησίως φθίνουσα και η g γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα. g ( ) β) Έστω συνάρτηση g: R R για την οποία ισχύει e g( ) + =, R Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα. 4. Έστω η συνάρτηση έτσι ώστε : ( ) + ( ) + e = 0, A Να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα στο A. 4. Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Δ για την οποία ισχύει : ( ) (ψ) < χ ψ για κάθε χ,ψ Δ με χ ψ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g ( ) = ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις g, : R γνησίως αύξουσα. Έστω ότι οι R, όπου η είναι γνησίως φθίνουσα και η g c και c τέμνονται στην αρχή των αξόνων. g 5
α) Να βρείτε τη σχετική θέση των c και c g. ( ) β) Αν για τη συνάρτηση είναι h ( ) =, > 0 να δείξετε ότι η c h g ( ) είναι κάτω από τον άξονα των χ, όταν χ>0. 44. Έστω η συνάρτηση : R R με (0) = 0 η οποία είναι γνησίως φθίνουσα ( ) και η συνάρτηση g ( ) =, R. Να δείξετε ότι g ( ) < 0 για κάθε 0. e 45. Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(, 5) και Β(5,-). Να δείξετε ότι : α) η είναι γνησίως φθίνουσα. β) η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση ( (e )) <. 46. Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει : ( ln ) + ( ) = ln+, > 0. Αν η είναι γνησίως αύξουσα, να λύσετε την εξίσωση ( ) = και στη συνέχεια την ανίσωση e ( ) <. 47. Έστω η συνάρτηση : R R με γνησίως φθίνουσα στο (,0] και γνησίως αύξουσα στο. Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 7 ι) ( ) + (5 ) = ( ) + (7 ) ιι) e ( ) + e ( ) = e ( ) + e ( ) 48. Έστω συνάρτηση :R R η οποία είναι γνησίως φθίνουσα.να λύσετε τις ανισώσεις: α. > β. + <5 αν = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) γ. - - - 4 ³ > 0 δ. - < +5 49. Δίνεται η συνάρτηση ( ) - =e + -, >0. Α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( 0,+ ) Β. Να λύσετε στο διάστημα ( 0,+ ) την ανίσωση : 50..Δίνεται η συνάρτηση ( ) = e +ln( +) -. Α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. Β. Να λύσετε την ανίσωση : e +ln( + ) > 5. Έστω η συνάρτηση [ ) - e - +> 0 : 0,+ R με ( ) ( ) = +ln + με ³ > 0. Α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. 6
Β. Να λύσετε την ανίσωση : στο διάστημα (, + ) 5. Να λύσετε την ανίσωση : 5. Έστω g : ( 0, ) ( ) + + ln > - - 4 + ln < - ( ) + R μια γνησίως μονότονη συνάρτηση της οποία η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,-), Β(,-) και η συνάρτηση ( ) = ln - g( ) με > 0. I. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα. ΙΙ. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ΙΙΙ. Να λύσετε την ανίσωση ln < +g ( ) 54. Έστω :R R μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση, για την οποία ισχύει e - + - =e -, R Να λύσετε : ( ) ( ) ( ) = 0, β. ) την ανίσωση ( ) α. ) την εξίσωση ( ) - <0 55. Έστω οι συναρτήσεις, : c c, να δείξετε ότι ( )( ) < ( g g)( ), για κάθε R είναι κάτω από τη g g R R. Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η 56. Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή. Αν η είναι γνησίως αύξουσα στo διάστημα [α, β] με α, β > 0, να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα [- β, - α]. 57. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : Δ R. Αν,,.00 Δ με. 00 ισχύει: ( )+ ( ) +. + ( 00) =, να δείξετε ότι: ( ) 0, 0 58. Εστω η συναρτηση : (0, + ) R με (0) = 0, η οποια είναι γνησίως () αύξουσα και η συναρτηση g() =, > 0. Ν α αποδείξετε ln( + ) ότι g() > 0 για κάθε χ > 0. Ζ. ΑΚΡΟΤΑΤΑ 59. Έστω οι συναρτήσεις g, : [0,π) R για τις οποίες ισχύει ( ) = g ( ) + + ημχ για κάθε [0,π) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των c και c g. 7
60. Δίνονται οι συναρτήσεις g, : R R για τις οποίες ισχύει ( ) + g ( ) = για κάθε R. Αν οι c και c g τέμνονται πάνω στην ευθεία χ = να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης h ( ) = g ( ) ( ) 6. α) Έστω οι συναρτήσεις. Αν η παρουσιάζει μέγιστο στο και η είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι η παρουσιάζει μέγιστο στο. β) Αν για κάθε να δείξετε ότι η παρουσιάζει μέγιστο. Η. ΑΡΤΙΑ - ΠΕΡΙΤΤΗ 6. Έστω οι συναρτήσεις. Να δείξετε ότι :. Αν η είναι άρτια τότε και η είναι άρτια. Αν η είναι περιττή και η άρτια τότε η είναι άρτια. Αν οι και είναι περιττές, τότε και είναι περιττή. 6. Έστω η συνάρτηση : R R. Να εξετάσετε, αν η είναι άρτια ή περιττή + ( ) ( ψ ) όταν, ψ R ισχύει : α) ( + ψ ) = β) ( + ψ) = ( ) + ( ψ) ( ) + ( ψ ) 64. Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( + y) + ( - y) = () + (y) για κάθε, y R. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της περνά από την αρχή των αξόνων. β) Να αποδείξετε ότι η είναι άρτια. γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει ότι ( ) = (). Θ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - 65. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι : ) + ()= - ) ()= e - 4 ) 5 ) ()= -6 +0, για > - ()= - 4) -, ()= ln -, > 66. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι : 8
e - ( ) ( ) ( ) ( ) α) = - 4 β) ()= γ) = - 4+ δ) = ln + - e + 67. Να δειξετε ότι οι παρακατω συναρτήσεις δεν είναι - 4 i) ( ) = -, ii) ( ) = 5+ - 4, ii) ( ) = -5 +7 68. Έστω οι συναρτήσεις,g:r R για τις οποίες ισχύει : ()>0 Για κάθε Να δείξετε ότι η είναι. χ R Αν η g είναι - και 5 - (())= ln()+g (e ) 69. Έστω οι συναρτήσεις. Αν η συνάρτηση είναι να δείξετε ότι και η είναι. 70. Έστω η συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει : (()) = () και η συνάρτηση g()= e +e, που είναι. Να δείξετε ότι η είναι. Να δείξετε ότι g(())= () Να βρείτε τη συνάρτηση. 7. Αν (()) = - +, R.Να αποδειξετε ότι ι) ()= Ιι)αν g()= + ()+, η g δεν είναι - 70. Δίνεται η συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει = a +, για κάθε R Να αποδειχθεί ότι : * ( ( )) β + Α) η είναι - Β) η έχει σύνολο τιμών το R ( ) + β Γ) ( a β) = a ( ) β, R Δ) =, για κάθε R a 7. Έστω η συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει : R. Να δείξετε ότι : Η είναι-. H δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα. + e = ( ) 5 ( ), 7. Αν η, g είναι - να δειξετε ότι η g είναι - 7. Δίνονται οι συναρτήσεις : Α R και g : (A) R. Αν η συνάρτηση g ο είναι -, να αποδείξετε ότι: i) η είναι - ii) η g είναι - 9
Ι. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αντίστροφη μιας «-» συναρτήσεως : A ( A) συνάρτηση : ( A) A αν για κάθε A για κάθε y ( A) ( ) = y ( y) = θα ονομάζουμε μία ισχύει Για να έχει αντίστροφη μία συνάρτηση πρέπει να είναι - ( αντιστρέψιμη "-" ) Το D = R και το R = D Η μπορεί να έχει αντίστροφη ακόμη και αν δεν είναι γνησίως μονότονη, αρκεί να είναι -. Δύο αντίστροφες συναρτήσεις έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας Οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = Τα κοινά σημεία δύο αντίστροφων συναρτήσεων θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία y =, αν η είναι γνησίως αύξουσα. Υπάρχουν συναρτήσεις ( συνήθως γνησίως φθίνουσες) των οποίων οι γραφικές παραστάσεις ταυτίζονται με αυτές των αντιστρόφων τους π.χ. ( ) = και ( ) = 4 αυτές ονομάζονται αυτοαντίστροφες. Για αυτές τις συναρτήσεις = και έχουν άπειρα κοινά σημεία. ισχύει ( ) ( ) - (y)=4-y y= τότε = - ()= ( ) y y Βασικές σχέσεις: ( ) Μεθοδολογία: ( ) = και ( ) Για να βρούμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης.αποδεικνυουμε ότι η συνάρτηση είναι - ( ) = ( ) = και ( ). Στον τυπο της συναρτησης θετουμε ( ) = yκαι επιλύουμε τον τύπο της ως προς. λαμβάνουμε υπόψη τους περιορισμούς για το και βρισκουμε Τους περιορισμούς για το ψ αρα βρισκουμε το συνολο τιμων (A) της που είναι το πεδιο ορισμου της 4. Στον λυμενο ως προς χ τυπο της θετουμε οπου χ το ψ και βρισκουμε την () ΠΡΟΣΟΧΗ Στις συναρτήσεις πολλαπλού τύπου ελέγχουμε αν ο κάθε τύπος αποτελεί - συνάρτηση και μετά αν τα σύνολα τιμών τους δεν 0
έχουν κοινά σημεία. Αν τα σύνολα τιμών τους έχουν κοινά σημεία η συναρτηση Αντιστρεφεται μονο κατά κλαδους ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 74. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = e + α. Να δείξετε ότι η είναι - β Nα βρείτε το σύνολο τιμών της. γ.. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση - e - 75. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = e + α. Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. β. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση - 76. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = +ln( e + ) α. Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. β. Nα βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση - ( ) = ln + α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να δείξετε ότι ορίζετε η την οποία να ορίσετε. γ) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις και είναι περιττές. δ) Να δείξετε ότι γενικά ισχύει : Αν η είναι περιττή και - τότε και η είναι περιττή. 77. Δίνεται η συνάρτηση 78. Να δείξετε ότι καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της. ()= - ln(+e ), ()= - -e, 05 ()= +5 79. Έστω :[, ) R + μια συνάρτηση με () = 6 + 0. Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι η αντιστρέφεται.να βρείτε την αντίστροφη της.να δείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση g : [, + ) R τέτοια ώστε g( ()) = για κάθε 80. Δίνεται η συνάρτηση :R R με ( ) > 0 και ln( ( )) ( ) = e για κάθε R. Να δείξετε ότι :. ( ) > για κάθε χ R
. Η είναι γνησίως αύξουσα.η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της 8. Δίνεται η συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει: ()- ()+ -= 0 για κάθε Α) Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται Β) Να βρεθεί η. 8. Έστω ότι (+y)=()+(y) για κάθε,y στο R. Να δείξετε ότι α. Αν μοναδική ρίζα της είναι το 0 τότε η είναι - συνάρτηση. β. Αν ισχύει το προηγούμενο τότε - (a+b)= - (a)+ - (b) για κάθε a,b στο R. (Θεωρείστε ότι (R)=R) (Βρείτε πρώτα πόσο κάνει το (-y)) 8. Έστω (y)=()+(y) για κάθε στο R*+. Τότε α. Αν η έχει ρίζα ρ= δείξτε ότι έχει άπειρες ρίζες*. β. Αν η έχει μοναδική ρίζα το να δείξετε ότι είναι - συνάρτηση. γ. Αν η είναι - και a,b θετικοί αριθμοί τότε - (a+b)= - (a) - (b). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - - ()=, ()=, ()= () Για να βρούμε τα κοινά σημεία της με την : Α) αν είναι γνησίως αύξουσα λύνουμε την εξίσωση ( ) = ή την ( ) = ή την ( ) = ( ) Β) αν δεν είναι γνησίως αύξουσα λύνουμε το σύστημα y = και y = με D D των εξισώσεων ( ) ( ) 84. Έστω : μια συνάρτηση με ( R) γνησίως φθίνουσα..να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να εξετάσετε την μονοτονία..αν (0) = να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της. Αν () = και () =, να λύσετε την ανίσωση : ( + ( + )) <. = R η οποία είναι. ως προς τη 85. Aν τα σημεία : A(,) και B(5,9) ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης, τότε να λυθούν: η ανίσωση : ( + ( 8 )) < όταν γνήσια αύξουσα και η εξίσωση : ( ( )) 9 + + = όταν είναι γνήσια
φθίνουσα 86. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = e +, με Να αποδειχθεί ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το ( 0) Να λυθεί η εξίσωση ( ) = ( ) Να λυθεί η ανίσωση + ( ) < ( ) 87. Δίνεται η συνάρτηση ƒ(χ) =χ +χ- Δείξτε ότι η ƒ αντιστρέφεται. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της ƒ τέμνει την ευθεία ψ=χ. Να βρείτε τα χ για τα οποία ƒ(χ)= ƒ - (χ). Να μελετήσετε την μονοτονία της ƒ Να λύσετε την ανίσωση ƒ - (χ+)> 88. Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης : διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(5,9). α) Βρείτε το είδος της μονοτονίας της β) Εξετάστε αν ορίζεται η συνάρτηση ƒ - γ) Να λύσετε την εξίσωση (+ƒ - (χ +χ))=9 δ) Να λύσετε την ανίσωση (ƒ - ( -8)-)< 89. Έστω γνήσια αύξουσα στο R τότε Α) αν (())=, R ()=, R Β) τα σημεία τομής των C,C - βρίσκονται πάνω στην πρώτη διχοτόμο y = Γ) δώστε ένα παράδειγμα που να δείχνει ότι αν η συνάρτηση ήταν γνήσια φθίνουσα το Β) δεν ισχύει (Η άσκηση αυτή είναι σχεδόν θεώρημα και χρησιμεύει αργότερα στην επίλυση άλλων ασκήσεων) 90. Έστω : R R ώστε ()= 5 +- Α) Να δείξετε ότι ένα προς ένα συνάρτηση. Β) Να λύσετε την εξίσωση - ()=(). 9. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5 = + - α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται β ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων - των και. 9. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + -6 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται
β ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των - και της ευθείας y= αν σύνολο τιμών της το R. 9. Δίνεται η συνάρτηση ( ) =ln( - ) +- α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται γ ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των - και αν σύνολο τιμών της το R. 94. Να βρείτε την αντίστροφη της ( ) = και τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων τους. 5 95. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ln + -, με > 0 Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των C και C 4