ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) A. Εύρεση Πεδίου Τιµών Συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση h, h ( ) = 4+, [ 1,4] Να βρεθεί το πεδίο τιµών της συνάρτησης. Η λογική για την εύρεση του πεδίου τιµών αφορά τον προσδιορισµό των τιµών y R όπου η εξίσωση µε άγνωστο y = 4+,(1) έχει λύση στο διάστηµα [ 1,4]. Η εξίσωση (1) + y =. Η εξίσωση έχει λύση στο R όταν η διακρίνουσα 4,() είναι θετική. Άρα θα πρέπει,(16 8( y)) y 1. Η εξίσωση () έχει ± ( y 1) λύσεις 1, =. Επειδή όµως ± ( y 1) [ 1,4] 1 4. Λύνοντας τις δύο ανισώσεις y 9 ή y 19.Άρα το πεδίο τιµών είναι [1,19]. Σηµείωση: Η εύρεση του πεδίου τιµών γίνεται και µε βάση την µονοτονία. Παράδειγµα Να βρεθεί το πεδίου τιµών της συνάρτησης f( ) = Το πεδίο ορισµού είναι [, + ]. Το πεδίο τιµών µπορεί να δοθεί ως εξής: R( f) = { y R: D( f) µε y= } =... = +y = { y R: [, + ) µε =, y } = [, + ) Παράδειγµα (Μόνοι σας!!!!) Να βρεθεί το πεδίο τιµών της συνάρτησης Απάντηση: D f = (, ] [, + ). f( ) = 4+ 1 1
B. Όριο Συναρτήσεων Στην συνέχεια παρατίθενται τα παρακάτω όρια τα οποία θα πρέπει να γνωρίζουµε: ηµ 1.lim = 1 εφ.lim = 1 1. lim (1 + ) = e + e 1 4.lim( ) = 1 ln 1.lim( ) = 1 1 (1 + ) 1 = a 6.lim aa, * R, 1 Β1. Όριο όταν το τείνει σε πραγµατικό αριθµό. Όρια Πολυωνυµικών συναρτήσεων Όρια Ρητών Συναρτήσεων Όρια που εµπλέκουν τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, λογαριθµικές και εκθετικές. + 4 ίνεται η συνάρτηση h, h ( ) = Να βρεθεί το όριο της + 9 7+ συνάρτησης όταν το τείνει στο 1. Μετά τις απαραίτητες παραγοντοποιήσεις (σχήµα Horner, χρήση ταυτοτήτων κ.λ.π.) ( 1)( ) έχουµε ότι h ( ) = = µε D f = (,1) (1,) (, + ). Άρα θα ( 1) ( ) ( 1) 1 έχουµε ότι lim f( ) = lim = +. 1 1 ( 1)
Παράδειγµα ίνεται η συνάρτηση f( ) = όταν το τείνει στο -1. + Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης + 8 + 1 Για την λύση ασκήσεων που περιέχουν ρίζες εργαζόµαστε αρκετές φορές χρησιµοποιώντας την συζυγή παράσταση. Άρα στην συγκεκριµένη περίπτωση θα πρέπει να πολλαπλασιάσουµε µε + +, + 8+ + 1. Κάνοντας τις ανάλογες πράξεις έχουµε ότι + 8+ + 1 lim f( ) = lim =... = 1/. ( )( + + ) 1 1 Παράδειγµα (Μόνοι σας) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: + 8+ + 1 lim f( ) = lim =... = 1/ ( )( + + ) 1 1 + 1 1 lim =... = δεν υπάρχει 64 ( 9) lim =... = 64 1 48 1 συν συν lim =... = συν συν lim =... = 8 Β. Όριο όταν το τείνει στο άπειρο. Όριο της lim ( a ) = { + Όριο Πολυωνυµικής Συνάρτησης 1 1 +, αν a >,αν a < lim ( a +... + α + a) = ± lim a ± Όριο Ρητής Συνάρτησης ± a +... + α + a a a 1 1 lim = lim = lim ± m m b... m + + b11+ b ± bm b ± m m
Να βρεθεί το όριο της f( ) = ( ) + 4 + 1 a ( a+ ) + όταν +. Στην πρώτη περίπτωση εξετάζουµε εάν a, τότε lim + ( a ) + 4+ 1 ( a ) = lim = ( a+ ) + + ( a+ ) Στην δεύτερη περίπτωση εάν α= τότε περίπτωση όπου α=- θα έχουµε ότι lim { + +, αν α (-,-) (,+ ), αν α (-,) + + lim = + + 4 1 4 + 4+ 1 =.. Τέλος στην Τρίτη Όριο της Συνάρτησης κ f ( ) Θα πρέπει να υπολογίσουµε το εξής όριο lim ( ) lim (... ) lim k f = a + + α + a = κ a κ κ 1 1 ± ± ± Παράδειγµα Να βρεθεί το όριο της lim 4+ + 1. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το D f = (, 1) ( 1, + ). Άρα συνεχίζοντας να δουλεύουµε όπως παραπάνω θα πρέπει: 4 4+ + lim = lim + 1 (1 1 = + ) < 4
Παράδειγµα (Μόνοι σας) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: lim ( + + 1) =... = lim ( 1 )... lim (1 1 + )... e = = lim ( + + ) =... = + + + = = + + 1 1 lim =... = + + + 1 1 + + = = + lim ( 9 4 9 4 )... ± C. Συνέχεια Συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση, () = { l k l, < f = (l+ 1) + k, >. Να βρεθούν οι τιµές των l,k ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της. Παράδειγµα Να µελετήσετε ως προς την συνέχεια την συνάρτηση 1, > ln( + 1) + < f() = { ln( ), Για κάθε χ> η f είναι συνεχής γιατί οι συναρτήσεις ln( + 1), 1 είναι συνεχής άρα και το πηλίκο τους είναι συνεχής συνάρτηση. Επίσης (,) η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ln +,. Για χ= έχουµε ότι lim f( ) = lim (ln( + )) = ln και
ln 1 e 1 lim f( ) = lim = lim ln = ln( + 1) ln ln( + 1) + + + ln e 1 1 lim ln = ln ln ln( + 1) ( + 1) 1 Άρα η συνάρτηση µας είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της. Παράδειγµα (Μόνοι σας!!!!) Να µελετήσετε ως προς την συνέχεια την συνάρτηση +, < f() = { a+ 1, = + 1, > 6