Κεφάλαιο 3 Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 3. Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρονου Ενα από τα πλεονεκτήματα της αναπαράστασης σε συχνότητα των ΓΧΑ συστημάτων είναι ότι μας δίνουν μια άλλη οπτική για τη συμπεριφορά του συστήματος, βασισμένη στο χώρο της συχνότητας. Θα μιλήσουμε περισσότερο γι αυτά στο παρόν κεφάλαιο. Εως τώρα έχουμε συζητήσει μερικά από τα θεμέλια σημάτων και συστημάτων διακριτού χρόνου. Μιλήσαμε ιδιαίτερα για ΓΧΑ συστήματα, τα οποία όταν δέχονται είσοδο σε μορφή αθροίσματος συναρτήσεων Δέλτα, όπου η καθεμιά έχει ένα συγκεκριμένο πλάτος, τότε η έξοδος δίνεται σε μορφή αθροίσματος της κρουστικής τους απόκρισης με κάποια βάρη. Πιο τυπικά, ένα σήμα x[n] αναπαρίσταται εν γένει ως: x[n] k x[k]δ[n k]. 3.) Για παράδειγμα, το σήμα x[n] δ[n] δ[n ] + δ[n ] 3.) είναι ένα σήμα με τρεις συναρτήσεις δέλτα, με τιμές,,, και αυτές βρίσκονται στις θέσεις n 0, n, n. Η γραφική παράσταση τέτοιων σημάτων είναι απλά μια γραμμή ανάλογου ύψους σε κάθε θέση, για κάθε συνάρτηση Δέλτα. Ομως είχαμε συζητήσει αρκετά και για μιγαδικά εκθετικά σήματα της μορφής e jω0n. Αυτά τα σήματα παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο στα ΓΧΑ συστήματα. Το γιατί θα το δούμε αμέσως τώρα. 3. Ιδιοσυνάρτηση και Ιδιοτιμή ΓΧΑ Συστήματος Τα ΓΧΑ συστήματα, όπως έχουμε πει, δεν είναι τίποτα άλλο από σήματα κι αυτά και περιγράφονται με δυο τρόπους: Με μια εξίσωση διαφορών, που σχετίζει την είσοδο με την έξοδο, όπως για παράδειγμα ή με την κρουστική απόκρισή τους, h[n], π.χ. y[n] x[n ] x[n ] + x[n 3], 3.3) h[n] δ[n 3] 3δ[n ] + 0.6δ[n 5]. 3.) Γνωρίζουμε επίσης ότι η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος, y[n], συνδέεται με την είσοδο αυτού, x[n], και με την κρουστική απόκριση h[n] του συστήματος, με την πράξη της συνέλιξης: y[n] x[n] h[n] 3.5) αν δε λάβουμε υπόψη μας την απόκριση μηδενικής εισόδου. Ας δούμε λοιπόν γιατί είναι τόσο χρήσιμη η έκφραση ενός σήματος ως συνάρτηση των μιγαδικών εκθετικών e jωn. Ο λόγος είναι ότι αυτά τα μιγαδικά εκθετικά
380 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις των ΓΧΑ συστημάτων. Ας τα πάρουμε όμως ένα-ένα. Αρχικά, τι ειναι η ιδιοσυνάρτηση; Ιδιοσυνάρτηση ενός ΓΧΑ συστήματος είναι ένα σήμα που όταν εφαρμοστει ως είσοδος σε ένα ΓΧΑ σύστημα, περνάει αυτούσιο στην έξοδο, με μόνη αλλαγη στο - πιθανώς μιγαδικό - πλάτος του. Πιο τυπικά, αν x[n] είναι η είσοδος στο συστημα και αποτελεί ιδιοσυνάρτησή του, η έξοδος θα είναι της μορφής y[n] λx[n], όπου λ C μια ιδιοτιμή του συστήματος. Ας το δούμε λίγο πιο λεπτομερώς. Σήματα της μορφης x[n] e jωn, < n < 3.6) όπου ω ειναι σταθερά, αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις ενός ΓΧΑ συστήματος. Ας το δείξουμε: y[n] h[n] x[n] k k h[k]e jωn k) e jωn h[k]x[n k] 3.7) k Άρα, η ιδιοτιμή eigenvalue), που συμβολίζουμε με He jω ), είναι η He jω ) k h[k]e jkω He jω )e jωn 3.8) h[k]e jωk 3.9) Επειδή πρόκειται για εν γένει μιγαδική συνάρτηση και εξαρταται από τη συχνότητα ω του εκθετικού, μπορει να γραφεί ως άθροισμα του πραγματικού και φανταστικού μέρους της ως He jω ) H R e jω ) + jh I e jω ) 3.0) ή με όρους μέτρου-φάσης ως όπου He jω ) He jω ) e jφω) 3.) He jω ) H R ejω ) + H I ejω ) 3.) και φω) tan H Ie jω ) H R e jω ) 3.3) Συχνά, η φάση συμβολίζεται και ως He jω ). Θα χρησιμοποιούμε εναλλάξ αυτούς τους συμβολισμούς. 3.3 Απόκριση Σε Συχνότητα Η συνάρτηση He jω ) είναι πολύ χρήσιμη και σημαντική για τα ΓΧΑ συστήματα, και δε θα μπορούσε να μην έχει το δικό της όνομα: ονομάζεται απόκριση σε συχνότητα - frequency response ή φασματική απόκριση. Το μέτρο της απόκρισης σε συχνότητα ονομάζεται συχνά απόκριση πλάτους - magnitude response, ενώ η συνάρτηση φάση ως απόκριση φάσης - phase response. Μια πολύ σημαντική ιδιότητα της συνάρτησης αυτής είναι ότι αν η κρουστική απόκριση h[n] είναι πραγματική, τότε η He jω ) ειναι συζυγής συμμετρική συνάρτηση της συχνότητας: He jω ) H e jω ) 3.) Επίσης, η ιδιότητα αυτή συνεπάγεται ότι το πραγματικό μέρος της συνάρτησης He jω ) ενός πραγματικού σήματος h[n] είναι άρτιο, και το φανταστικό ειναι περιττό, δηλ. H R e jω ) H R e jω ) 3.5) H I e jω ) H I e jω ) 3.6) Δεν πρέπει να σας εκπλήσσει! :-)
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 38 Ως εκ τούτου, το μέτρο της είναι άρτια συνάρτηση ως προς ω και η φάση είναι περιττη συνάρτηση ως προς ω, δηλ. He jω ) He jω ) 3.7) φω) φ ω) 3.8) Η απόκριση σε συχνότητα ορίζει το πως αλλάζει ένα μιγαδικό εκθετικό στο μιγαδικό πλάτος του, οπως είδαμε) όταν περνάει από ένα ΓΧΑ σύστημα. Επίσης, ειναι πολύ χρησιμη στην ανάλυση ενός σήματος εισόδου ως άθροισμα μιγαδικών εκθετικών. Για παράδειγμα, η απόκριση ενός ΓΧΑ συστηματος στην είσοδο N x[n] a k e jω kn θα είναι N y[n] a k He jω k )e jω kn όπου He jω k ) είναι η απόκριση σε συχνότητα του συστήματος στη συχνότητα ω k. Γενικότερα, λόγω της γραμμικότητας του συστήματος, μπορούμε να παρατηρήσουμε οτι: k k 3.9) 3.0) Αν η είσοδος ενός ΓΧΑ συστήματος ειναι της μορφής x[n] Ae jω0n+θ), τότε η έξοδος θα είναι της μορφής y[n] AHe jω0 )e jω0n+θ), όπου He jω ) He jω ) e jφω) η απόκριση σε συχνότητα του συστήματος. και ότι Αν η είσοδος ενός ΓΧΑ συστήματος ειναι της μορφής x[n] τότε η έξοδος θα είναι της μορφής N y[n] A k He jω k )e jω kn+θ k ), k N A k e jω kn+θ k ), όπου He jω ) He jω ) e jφω) η απόκριση σε συχνότητα του συστήματος. k Ας δούμε τώρα τι θα συμβεί - σε ένα παράδειγμα - αν στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος παρουσιαστεί ένα ημίτονο συχνότητας ω 0. Θυμηθείτε ότι η σχέση του Euler αναλύει ένα ημίτονο σε μιγαδικά εκθετικά, τα οποία είδαμε ότι αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις ενός ΓΧΑ συστήματος. Παράδειγμα: Εστω ένα ημίτονο της μορφής x[n] A cosω 0 n + φ) 3.) Βρείτε την έξοδό ενός ΓΧΑ συστήματος με αυτό το ημίτονο στην είσοδό του. Λύση: Ξέρουμε ότι x[n] A cosω 0 n + φ) A ejω0n e jφ + A e jω0n e jφ 3.)
38 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Επειδή το σύστημα είναι γραμμικό, η έξοδος για την παραπάνω είσοδο ισούται με το άθροισμα των εξόδων για είσοδο κάθε ένα από τα παραπάνω μιγαδικά εκθετικά. Άρα y[n] A Hejω0 )e jω0n e jφ + A He jω0 )e jω0n e jφ 3.3) Στην ειδική - και πολύ συνήθης - περίπτωση που το ΓΧΑ σύστημα είναι πραγματικό, είπαμε ότι ισχύει και με χρήση της μορφής μέτρου-φάσης, η παραπάνω έξοδος θα γίνει He jω ) H e jω ) 3.) y[n] A Hejω0 )e jω0n e jφ + A H e jω0 )e jω0n e jφ 3.5) Άρα μπορούμε να πούμε ότι: A Hejω0 ) e j Hejω 0 ) e jω0n e jφ + A Hejω0 ) e j Hejω 0 ) e jω0n e jφ 3.6) A Hejω0 ) e j Hejω 0 ) e jω0n e jφ + e j Hejω 0 ) e jω0n e jφ) 3.7) A Hejω0 ) cosω 0 n + φ + He jω0 )) 3.8) A He jω0 ) cosω 0 n + φ + He jω0 )) 3.9) Αν η είσοδος ενός πραγματικού ΓΧΑ συστήματος ειναι της μορφής x[n] A cosω 0 n + θ), τότε η έξοδος θα είναι της μορφής y[n] A He jω0 ) cosω 0 n + θ + φω 0 )), όπου He jω ) He jω ) e jφω) η απόκριση σε συχνότητα του συστήματος. και προφανώς το παραπάνω μπορει να γενικευτεί ως Αν η είσοδος ενός πραγματικού ΓΧΑ συστήματος ειναι της μορφής N x[n] A k cosω k n + θ k ), k τότε η έξοδος θα είναι της μορφής N y[n] A k He jω k ) cosω k n + θ k + φω k )), k όπου He jω ) He jω ) e jφω) η απόκριση σε συχνότητα του συστήματος. Παρατηρήστε ότι He jω+π) ) h[n]e jω+π)n ) He jω ) 3.30) γιατί e jπn, για κάθε n. Γενικότερα, He jω+πr) ) He jω ), r Z 3.3) Με άλλα λόγια, η απόκριση σε συχνότητα He jω ) είναι περιοδική με περίοδο π. Εδώ λοιπόν είναι ευκαιρία να
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 383 επαναλάβουμε τη συζήτηση που είχαμε κάνει όταν μελετούσαμε τα μιγαδικά εκθετικά e jω0n και τη συμπεριφορά τους στο χώρο της συχνότητας, για να αιτιολογήσουμε και την περιοδικότητα της He jω ). Είχαμε δει ότι λόγω της π-περιοδικότητας στη συχνότητα ενός μιγαδικού εκθετικού e jω0n, όσο αυξάνουμε τη συχνότητα ω 0 από το ω 0 0 ως το ω 0 π, τόσο οι ταλαντώσεις του σήματος γίνονται όλο και πιο γρήγορες. Ομως, όταν αυξήσουμε το ω 0 από ω 0 π ως ω 0 π, τότε οι ταλαντώσεις του γίνονται όλο και πιο αργές! Το ίδιο μοτίβο επαναλαμβάνεται και μετά το ω 0 π, ξεκινώντας από γρήγορες ταλαντώσες γύρω από το π, φτάνοντας σε πιο αργές γύρω από το 3π, και ξανά σε πιο γρήγορες γύρω από το ω 0 π. Αντίστοιχα, στο διάστημα π, π], οι γρήγορες ταλαντώσεις γίνονται γύρω από τις συχνότητες ω 0 ±π, ενώ οι πιο αργές προφανώς) γύρω από τη συχνότητα ω 0 0. Αφού λοιπόν η απόκριση σε συχνότητα He jω ) είναι ένα άθροισμα από μιγαδικά εκθετικά σήματα περιοδικά στη συχνότητα, όπως είπαμε), περιμένει κανείς να είναι κι αυτή περιοδική στο χώρο της συχνότητας με περίοδο π. Ενας άλλος τρόπος να εξαχθεί αυτό το συμπέρασμα είναι ότι αφού τα σήματα e jω0n και e jω0+π)n, για < n < +, είναι ακριβώς τα ίδια, τότε ένα σύστημα θα πρέπει να αποκρίνεται το ίδιο σε αυτά τα δυο σήματα. Άρα θα πρέπει να είναι κι αυτό περιοδικό στη συχνότητα, αφού επιβάλλεται οι τιμές της φασματικής απόκρισης He jω0 ) και He jω+π ) να είναι ίδιες. Για τους παραπάνω λόγους, αρκεί να βλέπουμε μια φασματική απόκριση He jω ) σε ένα διάστημα διάρκειας π. Προτιμούμε το διάστημα π < ω π ως παράθυρο στο χώρο της συχνότητας. Ετσι, οι υψηλές συχνότητας βρίσκονται γύρω από τις συχνότητες ω 0 ±π, ενώ οι χαμηλές γύρω από τη συχνότητα ω 0 0. Ας δούμε δυο παραδείγματα συστημάτων και υπολογισμού απόκρισης σε συχνότητα. Παράδειγμα: Εστω το απλό σύστημα που περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών ως y[n] x[n n d ] 3.3) που δεν είναι τίποτε περισσότερο από ένα σύστημα που καθυστερεί την είσοδό του κατά n d δείγματα. Εστω η είσοδος x[n] e jωn, τότε η έξοδος θα είναι Άρα η απόκριση σε συχνότητα είναι Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της απόκρισης σε συχότητα είναι και αντίστοιχα. Το μέτρο και η φάση της είναι και y[n] e jωn n d) e jωn d e jωn 3.33) He jω ) e jωn d 3.3) H R e jωn ) cosωn d ) 3.35) H I e jωn ) sinωn d ) 3.36) He jω ) 3.37) He jω ) ωn d 3.38) αντίστοιχα. Η τελευταία έκφραση προκύπτει από τη Σχέση 3.3), αφού είναι ήδη γραμμένη σε πολική μορφή. Παρατηρήστε ότι η καθυστέρηση n d μεταφράζεται ως γραμμική φάση ωn d στην απόκριση σε συχνότητα του συστήματος! Πολύ σημαντική παρατήρηση! Παράδειγμα: Εστω η κρουστική απόκριση h[n] M + M +, M n M 3.39) 0, αλλιώς Επιβεβαιώστε ότι η σχέση He jω ) tan H Ie jω ) H R e jω ) δίνει το ίδιο αποτέλεσμα.
38 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα η οποία περιγράφει ένα σύστημα εξομάλυνσης moving-average). Ας θεωρήσουμε ότι το σύστημα είναι αιταιτό, κι έτσι M 0, για περισσότερη απλοποίηση. Τότε, η απόκριση σε συχνότητα θα είναι He jω ) M + M + M n M e jωn M + M e jωn 3.0) n0 Κάνοντας πράξεις, έχουμε He jω ) e jωm +) ) M + e jω e jωm+)/ e jωm+)/ e jωm+)/ ) M + e jω/ e jω/ e jω/ ) ) sin M + ωm + )/ sinω/) 3.) 3.) e jωm/ 3.3) Ας δούμε τώρα αυτό το σύστημα λίγο πιο λεπτομερώς. Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε τη συμπεριφορά της φασματικής απόκρισης συναρτήσει του ω. Παρατηρούμε ότι ο αριθμητής μηδενίζεται όταν και ο παρονομαστής όταν ) sin ωm + )/ 0 ωm + ) kπ, k Z ω kπ M +, k Z 3.) sinω/) 0 ω lπ, l Z 3.5) Παραητηρούμε ότι όταν μηδενίζεται ο παρονομαστής, μηδενίζεται και ο αριθμητής στα πολλαπλάσια του π). Άρα τι συμβαίνει στα πολλαπλάσια του π; Υπάρχει κάποια απροσδιοριστία. Ομως ξέρουμε ότι sinλω) lim ω 0 sinω) λ 3.6) και άρα στα σημεία μηδενισμού του παρονομαστή και ταυτόχρονα του αριθμητή), η απόκριση σε συχνότητα έχει τιμή He j0 ) M + M + He j0 ) 3.7) Αν γράψουμε λοιπόν τη φασματική απόκριση σε πολική μορφή απόκριση πλάτους - απόκριση φάσης), θα έχουμε: ) He jω sin ωm + )/ ) e jωm/ 3.8) M + sinω/) ) sin ωm + )/ e jφrω) e jωm/ 3.9) M + sinω/) ) sin ωm + )/ ) e jφrω) e jωm/) 3.50) M + sinω/) ) sin ωm + )/ ) e jφrω) ωm/)) 3.5) M + sinω/) με φ r ω) την απόκριση φάσης του όρου που αποτελείται από το πηλίκο ημιτόνων. Είναι εμφανές ότι η απόκριση πλάτους είναι ) He jω sin ωm + )/ ) 3.5) M + sinω/) και για M φαίνεται στο Σχήμα 3.). Επειδή το σήμα h[n] είναι πραγματικό, υπάρχει άρτια συμμετρία στην απόκριση πλάτους. Εξετάζοντας την τελευταία στο διάστημα π, π] παρατηρούμε ότι έχει χαμηλές τιμές για ω > π/5, και υψηλές τιμές για ω < π/5. Αυτό το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε π. Ας το κρατήσουμε.
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 385 He jω ) -π -6π/5 -π -π/5 -π/5 0 π/5 π/5 π 6π/5 π ω Σχήμα 3.: Απόκριση πλάτους He jω ) του σήματος εξομάλυνσης h[n] για M 0, M. Οσον αφορά την απόκριση φάσης, αυτή δίνεται από τη σχέση φω) φ r ω) ωm 3.53) Παρατηρούμε ότι η παραπάνω σχέση έχει μια σταθερή φάση ωm /, αλλά πρέπει σε αυτή να δούμε αν υπάρχει φάση φ r ω) από το πηλίκο των ημιτόνων. Με άλλα λόγια, πρέπει να ελέγξουμε αν αυτό το πηλίκο γίνεται αρνητικό, για κάποιο διάστημα συχνότητας ω. Οποτε και αν) αυτό συμβαίνει, το αρνητικό πρόσημο του πηλίκου μετατρέπεται σε φάση π, δηλ. φ r ω) π, σύμφωνα με τη σχέση του Euler e jπ 3.5) και αυτή η φάση προστίθεται στην ήδη υπάρχουσα φάση ωm /. Ετσι είμαστε βέβαιοι/ες ότι το πηλίκο ημιτόνων είναι πάντα θετικό, όπως ορίζει η πολική μορφή της Σχέσης 3.3). Με άλλα λόγια, αν το πηλίκο ημιτόνων είναι θετικό για κάποιο διάστημα συχνότητας, εκεί η φάση παραμένει ως έχει, αφού φ r ω) 0. Ας το δούμε λοιπόν. Ας δούμε ξανά τη διαδικασία σε ένα διάστημα διάρκειας π, έστω στο [0, π). Για το πηλίκο ημιτόνων, ο παρονομαστής sinω/) είναι πάντα θετικός στο διάστημα αυτό. Ας ελέγξουμε το πρόσημο του αριθμητή. π Σύμφωνα με τα σημεία μηδενισμού που βρήκαμε νωρίτερα, ο αριθμητής αλλάζει πρόσημο κάθε M, ξεκινώντας + π M + στο [0, ) με θετικές τιμές αφού κάθε ημίτονο μοναδιαίου πλάτους έχει θετικές τιμές αμέσως δεξιά του μηδενός). Ας θέσουμε ξανά M για περισσότερη απλότητα. Ο αριθμητής είναι αρνητικός στα διαστήματα [ π 5, π 5 ) και [ 6π 5, 8π 5 ), το αρνητικό πρόσημο του οποίου μπορεί να γραφεί ως φάση φ rω) π. Στα ενδιάμεσα διαστήματα, ο αριθμητής και άρα το πηλίκο) είναι θετικό, οπότε δεν αλλάζει κάτι στη φάση. Άρα τελικά η απόκριση φάσης μπορεί να γραφεί ως He jω ) ω + π, ω, ω + π, ω, ω, 0 ω < π 5 π 5 ω < π 5 π 5 ω < 6π 5 6π 5 ω < 8π 5 8π 5 ω < π 3.55) Επειδή το σήμα h[n] είναι πραγματικό, θα υπάρχει περιττή συμμετρία στην απόκριση φάσης, και άρα η μορφή της θα είναι όπως στο Σχήμα 3.). Εχοντας λοιπόν αυτήν την ανάλυση σε αποκρίσεις πλάτους και φάσης, μπορούμε να καταλάβουμε τι περίπου) επίπτωση θα έχει το παραπάνω σύστημα σε ένα, παραδείγματος χάριν, ημίτονο συχνότητας ω 0 που θα εμφανιστεί στην είσοδό του. Ας το δούμε με αριθμητικό παράδειγμα, αλλά κοιτώντας μόνο τα Σχήματα 3., 3.). Εστω ότι το ημίτονο έχει συχνότητα ω 0 π/5, μέτρο A και αρχική φάση θ, είναι δηλαδή της μορφής x[n] A cosπn/5 + θ) 3.56) Ξέρουμε από προηγούμενη ανάλυση ότι η έξοδος του συστήματος θα είναι κι αυτή ημιτονοειδούς μορφής, με
386 Mia eisagwg h sta S hmata kai Sust hmata π <He jω ) -π -π 0 π π ω -π Σχήμα 3.: Απόκριση φάσης He jω ) του σήματος εξομάλυνσης h[n] για M 0, M. πιθανώς τροποποιημένο πλάτος και φάση. Κοιτάζοντας το πλάτος της συχνότητας ω 0 π/5 στην απόκριση πλάτους του Σχήματος 3.), βλέπουμε ότι στην έξοδο το πλάτος θα μειωθεί περίπου στο μισό, ενώ βλέποντας τη φάση της συχνότητας ω 0 π/5 στην απόκριση φάσης του Σχήματος 3.), βλέπουμε ότι στην έξοδο η φάση θα είναι ίση με θ π/5). Άρα μια καλή προσέγγιση της εξόδου του συστήματος για την παραπάνω είσοδο, θα είναι y[n] A cosπn/5 + θ π/5) 3.57) Ομοια, αν η συχνότητα της εισόδου είναι ω 0 π/, τότε το πλάτος του ημιτόνου θα μειωθεί σημαντικά περίπου στο /3 του), όπως μπορούμε να δούμε από την απόκριση πλάτους στη συχνότητα ω 0 π/, ενώ η φάση που θα προστεθεί στην αρχική φάση θ είναι μηδέν, γιατί πέφτουμε στο διάστημα [π/5, π/5), όπου η φάση είναι ω + π, και άρα για ω 0 π/ έχουμε φάση συστήματος ίση με μηδέν. Άρα η φάση της εισόδου παραμένει αμετάβλητη! Άρα μια καλή προσέγγιση της εξόδου του συστήματος για την παραπάνω είσοδο, θα είναι y[n] A 3 cosπn/ + θ) 3.58) Πέρα από συγκεκριμένες εισόδους, μπορούμε να πούμε ότι το παραπάνω σύστημα έχει χαρακτηριστικά χαμηλοπερατού φίλτρου, μια και κρατά σχετικά ανέπαφα τα πλάτη που βρίσκονται σε χαμηλές συχνότητες, ενώ αντίθετα αδυνατίζει σημαντικά τα πλάτη μεγαλύτερων συχνοτήτων. Γι αυτό άλλωστε και το χαρακτηρίσαμε ως σύστημα εξομάλυνσης στην αρχή της μελέτης μας. Κλείνοντας, δείτε ένα πραγματικό παράδειγμα στο Σχήμα 3.3). Στο πρώτο σχήμα, βλέπετε 000 δείγματα ενός ημιτόνου στα 00 Hz, δειγματοληπτημένου στα 6000 Hz, άρα με συχνότητα ω 0 π00 6000 0.0393 rad. Στο δεύτερο σχήμα, του προσθέτουμε τυχαίο θόρυβο από κανονική κατανομή και θεωρούμε αυτό ως είσοδο σε ένα σύστημα moving average. Στο τρίτο σχήμα, φαίνεται η έξοδος του συστήματος, για M 0, M, ενώ στο τέταρτο σχήμα, η έξοδος για M 0, M 9. Ο κώδικας MATLAB που υλοποιεί το παραπάνω παράδειγμα είναι ο ακόλουθος. % Dhmiourgia 000 deigmatwn hmitonou sta 00 Hz x sin*pi*00/6000*[0:999]); % Pros8hkh 8orybou xx x + 0.*randn,000); % Apeikonish subplot); plotx); subplot); plotxx); % Ylopoihsh filtrou M_ 0; M_ ; C /M_+M_+); % Filtrarisma y filterc*ones,m_+m_+),, xx);
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 387 Pure Sinusoid @ 00 Hz Amplitude 0-0 00 00 300 00 500 600 700 800 900 000 Pure Sinusoid + Noise Amplitude 0-0 00 00 300 00 500 600 700 800 900 000 Moving Average output with M 0, M Amplitude 0-0 00 00 300 00 500 600 700 800 900 000 Moving Average output with M 0, M 9 Amplitude 0-0 00 00 300 00 500 600 700 800 900 000 Samples Σχήμα 3.3: Παράδειγμα moving average φίλτρου στο MATLAB. % Apeikonish subplot3); ploty); % Ylopoihsh filtrou M_ 0; M_ 9; C /M_+M_+); % Filtrarisma y filterc*ones,m_+m_+),, xx); % Apeikonish subplot); ploty); Μπορείτε να πειραματιστείτε με τον παραπάνω κώδικα για διάφορες εισόδους αθροίσματα ημιτόνων), διαφορετική ισχύ θορύβου αλλάξτε το 0. στην εντολή randn), και για διάφορες τιμές του M. 3. Ξαφνική είσοδος σε ΓΧΑ σύστημα Ως τώρα είδαμε ότι μιγαδικά εκθετικά της μορφής e jωn, < n < παράγουν εξόδους της μορφής He jω )e jωn σε ΓΧΑ συστήματα, αποτελούν δηλαδή ιδιοσυναρτήσεις των ΓΧΑ συστημάτων.
388 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Τέτοιες μορφές εισόδων, μη μηδενικές για κάθε n, μπορεί να σας φαίνονται μη πρακτικά μοντέλα σημάτων. Ομως, όπως θα δούμε τώρα, μοντέλα τέτοιας μορφής είναι κρίσιμα για την μαθηματική αναπαράσταση ενός μεγάλου εύρους σημάτων, ακόμα και αυτών που υπάρχουν μόνο σε πεπερασμένο διάστημα. Ετσι, θα μάθουμε περισσότερα για τη συμπεριφορά ΓΧΑ συστημάτων αν θεωρήσουμε ως εισοδό τους πιο πρακτικά σήματα, όπως το x[n] e jωn u[n] 3.59) δηλαδή μιγαδικά εκθετικά που εφαρμόζονται ξαφνικά σε μια τυχαία χρονική στιγμή, που για λόγους ευκολίας εδώ θεωρούμε ότι είναι η n 0. Με χρήση του ολοκληρώματος της συνέλιξης, θα έχουμε οτι η έξοδος είναι της μορφής y[n] 0, n < 0 n h[k]e )e jωkn jωn, n 0 Αν θεωρήσουμε την έξοδο για n 0, μπορούμε να γράψουμε ότι + + y[n] h[k]e )e jωkn jωn k0 k0 He jωn )e jωn + kn+ kn+ 3.60) h[k]e jωkn )e jωn 3.6) h[k]e jωk )e jωn 3.6) y ss [n] + y t [n] 3.63) Από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι η έξοδος αποτελείται από δυο όρους. Ο πρώτος όρος, y ss [n], ονομάζεται steady state response. Είναι ακριβώς ίδιος με την απόκριση σε συχνότητα του συστήματος για ένα μιγαδικό εκθετικό που ορίζεται για κάθε n. Ο δεύτερος όρος + y t [n] h[k]e )e jωk jωn 3.6) kn+ ονομάζεται transient response, και μπορεί κανείς να τον δει ως το πόσο απέχει το αποτέλεσμά μας από το αποτέλεσμα της ιδιοτιμής που είδαμε νωρίτερα. Θα δείξουμε ότι για κάποιες περιπτώσεις η transient response μπορεί να πλησιάζει το μηδέν. Για να δούμε πότε συμβαίνει αυτό, ας αναζητήσουμε το μέγεθος του δεύτερου αυτού όρου. Το μέτρο του είναι φραγμένο, ως y t [n] h[k]e jωk e jωn h[k] h[k] 3.65) kn+ Με βάση αυτό, διακρίνουμε δυο περιπτώσεις. kn+. Αν η κρουστική απόκριση h[n] είναι πεπερασμένης διάρκειας, έτσι ώστε h[n] 0, 0 n M, και παντού αλλού μηδέν, τότε ο όρος y t [n] 0, n > M. Άρα τότε y[n] y ss [n] He jωn )e jωn, n > M 3.66). Οταν η κρουστική απόκριση έχει άπειρη διάρκεια, τότε η transient response δεν εξαφανίζεται ακαριαία, αλλά αν οι τιμές της κρουστικής απόκρισης h[n] πλησιάζουν στο μηδέν όσο αυξάνει το n, τότε και το y t [n] θα πλησιάζει στο μηδέν! Είδατε στη Σχέση 3.65) ότι η transient reponse είναι φραγμένη από το άθροισμα των απολύτων τιμών ΟΛΩΝ των δειγμάτων της κρουστικής απόκρισης. Αν λοιπόν το άθροισμα αυτό είναι φραγμένο, έτσι ώστε h[k] < 3.67) k0 τότε το σύστημα είναι ευσταθές, όπως γνωρίζετε. Από τη Σχέση 3.65), συνεπάγεται ότι για ευσταθή συστήματα, η transient response πρέπει να φθίνει προς το μηδέν, όσο n. Ετσι, μια ικανή συνθήκη για να φθίνει η transient response γρήγορα είναι το σύστημα να είναι ευσταθές. k0 Ας δούμε ένα οπτικό παράδειγμα. Το Σχήμα 3.) δείχνει το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού εκθετικού
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 389 R{e jωn } cosωn)) με συχνότητα ω π/0. Και στα δυο υπο-σχήματα, οι σκούρες τελείες δείχνουν τα δείγματα του σήματος R{e jωn }u[n], δηλ. ένα σήμα που εμφανίζεται ξαφνικά, ενώ οι λευκές τελείες δείχνουν τα υπόλοιπα δείγματα του R{e jωn }, που λείπουν. Οι μπλέ τελείες δείχνουν τα δείγματα της κρουστικής απόκρισης του συστήματος h[n], που έχει υποστεί ανάκλαση και μετατόπιση, όπως είχαμε δει στη συνέλιξη. Σχήμα 3.: Παράδειγμα ξαφνικής εισόδου σε ΓΧΑ σύστημα όταν a) η κρουστική απόκριση είναι πεπερασμένη, b) η κρουστική απόκριση είναι άπειρη. Στην περίπτωση 3.a), τα δείγματα της κρουστικής απόκρισης είναι πεπερασμένα, και συγκεκριμένα 9 δείγματα, με n 8 στο h[n k], όπως αυτό ορίστηκε παραπάνω. Είναι ξεκάθαρο εδώ ότι η έξοδος θα αποτελείται μόνο από το steady state κομμάτι, για n 8, ενώ στην περίπτωση 3.b), όπου η κρουστική απόκριση είναι άπειρης διάρκειας, είναι ξεκάθαρο ότι τα δείγματα που λείπουν από το R{e jωn }u[n], δηλ. αυτά με τις λευκές τελείες, έχουν όλο και λιγότερη επίδραση στην έξοδο όσο το n αυξάνει, λόγω της φθίνουσας μορφής της κρουστικής απόκρισης. Κλείνοντας, η συνθήκη h[n] < 3.68) είναι ικανή και αναγκαία για την κυριαρχία του steady state κομματιού της εξόδου. Θυμηθείτε ότι η ίδια συνθήκη είναι ικανή και αναγκαία για την ύπαρξη της απόκρισης σε συχνότητα, αλλά και για την ευστάθεια του συστήματος. Ετσι, ένα μιγαδικό εκθετικό που υπάρχει για κάθε n μπορεί κανείς να το φανταστεί να ξεκινάει από το n. Η ιδιότητα της ιδιοσυνάρτησης των μιγαδικών εκθετικών εξαρτάται από την ευστάθεια του συστήματος, κι έτσι σε πεπερασμένο n, η transient response θα πρέπει να έχει μηδενιστεί, ώστε να βλέπουμε μόνο τη steady state response He jω )e jωn για κάθε πεπερασμένο n. 3.5 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Θα ήταν ενδιαφέρον λοιπόν, μετά από τόση συζήτηση :-) - να δούμε πως μοιάζει ένα σήμα ή σύστημα) όχι στο χρόνο, αλλά στη συχνότητα. Το βασικότερο εργαλείο για αυτή τη δουλειά είναι ο Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου DTFT), που είναι μια μαθηματική σχέση που μας περνάει από το πεδίο του διακριτού)
390 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα χρόνου n στο πεδίο της συχνότητας ω. Ο DTFT ορίζεται ως: Xe jω ) x[n]e jωn 3.69) και ο αντίστροφός του δηλ. το μαθηματικό εργαλείο που μας κάνει την αντίστροφη δουλειά, δηλ. μας πάει από το χώρο της συχνότητας στο χώρο του χρόνου) ορίζεται ως: x[n] π Xe jω )e jωn dω. 3.70) π π Επίσης, δείτε ότι ο DTFT είναι περιοδικό σήμα ως προς ω, δηλ. Xe jω ) Xe jω+π) ) 3. Προσέξετε ότι στο μετασχ. Fourier συνεχούς χρόνου, μια τέτοια περιοδικότητα δεν υπήρχε. Μας είναι βολικό να ενδιαφερόμαστε για το φάσμα του DTFT στο διάστημα [ π, π], σε μια περίοδο δηλαδή του μετασχηματισμού 5. Θεωρούμε ότι εκτός αυτού του διαστήματος, το σήμα επαναλαμβάνεται περιοδικά. Παρατηρήστε ότι για να συνθέσουμε το σήμα στο χρόνο από τον DTFT του, μας αρκεί μια περίοδος π) του φάσματός του, όπως υποδηλώνει το ολοκλήρωμα της Σχέσης 3.70). Επίσης, προσέξτε ότι η Σχέση 3.70) μας αναπαριστά ένα σήμα στο χρόνο x[n] ως υπέρθεση απειροστά μικρής συχνότητας μιγαδικών εκθετικών της μορφής π Xejω )e jωn dω 3.7) με τη μεταβλητή ω να ορίζεται σε ένα διάστημα διάρκειας π, και το Xe jω ) να δηλώνει το βάρος - συντελεστή καθενός μιγαδικού εκθετικού. Με άλλα λόγια: Ο μετασχ. Fourier διακριτού χρόνου Xe jω ) μας πληροφορεί για το μέτρο και τη φάση των μιγαδικών εκθετικών με συχνότητες dω, οι οποίες παίρνουν συνεχείς τιμές στο π, π], και υπάρχουν μέσα στο σήμα x[n]. Δηλ. μας βρίσκει τη συνάρτηση Xe jω ) Xe jω ) e jφxejω ) Ο αντίστροφος μετασχ. Fourier διακριτού χρόνου χρησιμοποιεί τη συνάρτηση Xe jω ), δηλ. το μετασχ. Fourier διακριτού χρόνου, για να συνθέσει το σήμα στο χρόνο x[n], ως ένα συνεχές άθροισμα ολοκλήρωμα) μιγαδικών εκθετικών όλων των πιθανών συχνοτήτων dω του διαστήματος π, π], με το καθένα εκθετικό να έχει συντελεστή Xe jω ), κανονικοποιημένο με συντελεστή /π. Ο DTFT είναι εν γένει μιγαδικό σήμα. Άρα μπορεί να χωριστεί σε πραγματικό, R{Xe jω )}, και φανταστικό, I{Xe jω )}, μέρος, όπως επίσης και να γραφεί σε μορφή μέτρου-φάσης: Xe jω ) Xe jω ) e j Xejω ) 3.7) με και Xe jω ) R{Xe jω )} + I{Xe jω )} X R e jω ) + X I e jω ) 3.73) Xe jω ) tan I{Xejω )} R{Xe jω )} 3.7) Το μέτρο, Xe jω ), του μετασχ. Fourier, καθώς και η γραφική του παράσταση, συχνά ονομάζεται φάσμα πλάτους 3 Φυσικά, ήταν αναμενόμενο, μια και ο μετασχ. Fourier ενός σήματος διακριτού χρόνου δεν είναι τίποτα άλλο από το φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος, που όπως γνωρίζετε, είναι περιοδικό με περίοδο ω s. Χμ... και πώς από το ω s π ξαφνικά εδώ T s έχουμε περιοδικότητα ανά π; Γιατί φυσικά δεν προέρχονται όλα τα σήματα διακριτού χρόνου από δειγματοληψία αντίστοιχων σημάτων συνεχούς χρόνου. Ενα σήμα διακριτού χρόνου μπορεί να οριστεί κατ ευθείαν στο διακριτό χρόνο, χωρίς να υποθέσουμε οτιδήποτε για κάποια δειγματοληψία του, και άρα να θέσουμε T s. Προφανώς, γιατί Xω) Xω + π), γιατί φυσικά e jωt e jω+π)t e jωt e jπt 5 Το γιατί, το συζητήσαμε διεξοδικά :-)
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 39 - magnitude spectrum, ενώ η φάση, Xe jω ), του μετασχηματισμού ονομάζεται φάσμα φάσης - phase spectrum. Μια πολύ σημαντική ιδιότητα είναι ότι αν το σήμα στο χρόνο x[n] είναι πραγματικό, τότε ο DTFT Xe jω ) ειναι συζυγής συμμετρική συνάρτηση της συχνότητας: Xe jω ) X e jω ) 3.75) Επίσης, η ιδιότητα αυτή συνεπάγεται ότι το πραγματικό μέρος της συνάρτησης Xe jω ) ενός πραγματικού σήματος x[n] είναι άρτιο, και το φανταστικό ειναι περιττό, δηλ. X R e jω ) X R e jω ) 3.76) X I e jω ) X I e jω ) 3.77) Ως εκ τούτου, το μέτρο της είναι άρτια συνάρτηση ως προς ω και η φάση είναι περιττη συνάρτηση ως προς ω, δηλ. Xe jω ) Xe jω ) 3.78) φ x e jω ) φ x e jω ) 3.79) Μάλιστα, οι παραπάνω σχέσεις μας βοηθούν να αναπτύξουμε μια πολύ πιο διαισθητική σχέση για το μετασχ. Fourier ως εξής: x[n] π Xe jω )e jωn dω 3.80) π π π Xe jω ) e jφxejω) e jωn dω 3.8) π π π π π π π 0 π π 0 π 0 π 0 π 0 Xe jω ) e jφxejω) e jωn dω + π π 0 Xe jω ) e jφxejω) e jωn dω 3.8) π Xe jω ) e jφxe jω) e jωn dω + Xe jω ) e jφxejω) e jωn dω 3.83) π 0 Xe jω ) e jφxejω) e jωn dω + π Xe jω ) e jφxejω) e jωn dω 3.8) π 0 Xe jω ) e jφxejω) e jωn + Xe jω ) e jφxejω) e jωn) dω 3.85) Xe jω ) cosωn + φ x e jω ))dω 3.86) Η τελευταία σχέση δείχνει ξεκάθαρα ότι ένα πραγματικό σήμα μπορεί να γραφεί ως ένα άθροισμα ημιτόνων διακριτού χρόνου, με συχνότητες που παίρνουν κάθε τιμή στο διάστημα [0, π], με πλάτη Xe jω ) και φάσεις φ x e jω ), για 0 ω π. 3.5. Υπαρξη του Μετασχ. Fourier Διακριτού Χρόνου Για να υπάρχει ο DTFT, θα πρέπει να συγκλίνει το άθροισμα που υπάρχει στον ορισμό του, δηλ. Xe jω ) < Ομως, ξέρουμε ότι e jωn, άρα αρκεί x[n]e jωn + x[n]e jωn x[n] e jωn < 3.87) x[n] < 3.88) δηλ. το σήμα πρέπει να είναι απολύτως αθροίσιμο. Η παραπάνω συνθήκη εγγυάται ταυτόχρονα και την ομοιόμορφη σύγκλιση του αθροίσματος. Αυτή η συνθήκη όμως είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία. Για παράδειγμα, το σήμα x[n] sinn) δεν ικανοποιεί τη Σχέση 3.88), αλλά υπάρχει ο DTFT του. Ετσι, πολλά σήματα δεν είναι n απολύτως αθροίσιμα, αλλά είναι αθροίσιμα με την τετραγωνική έννοια, δηλ. x[n] < 3.89)
39 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Τέτοια σήματα μπορούν να παρασταθούν με τον DTFT, αν είμαστε πρόθυμοι να χαλαρώσουμε λίγο τη συνθήκη της ομοιόμορφης σύγκλισης :-). Συγκεκριμένα, για τη μέση τετραγωνική σύγκλιση, ισχύει ότι και τότε Xe jω ) X M e jω ) M n M x[n]e jωn 3.90) x[n]e jωn 3.9) π lim Xe jω ) X M e jω ) dω 0 3.9) M π Με άλλα λόγια, το σφάλμα Xe jω ) X M e jω ) μπορεί να μη συγκλίνει στο μηδέν για κάθε ω όσο το M, αλλά η συνολική ενέργεια του σφάλματος τείνει στο μηδέν. 3.5. Χρήσιμες Σχέσεις Στις περιπτώσεις που μας ζητείται να υπολογίσουμε τον DTFT με τον ορισμό, πολύ χρήσιμες θα μας φανούν οι Σχέσεις του Πίνακα 3.), τις οποίες έχουμε ξαναδεί σε προηγούμενο κεφάλαιο και απλά τις υπενθυμίζουμε εδώ. Χρήσιμα Αθροίσματα Σειρές) N n0 N n0 a n an a na n N )an+ Na N + a a) N n0 N n N NN ) a n an an+ a nn n0 n0 n0 a n a, a < na n a a), a < n NN )N ) 6 Πίνακας 3.: Χρήσιμα Αθροίσματα. 3.5.3 Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Ας δούμε μερικά παραδείγματα:. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος x[n] a n u[n], με a πραγματικός αριθμός με a <. Λύση: Είναι Xe jω ) x[n]e jωn a n u[n]e jωn 3.93) Επειδή η u[n], η γνωστή βηματική συνάρτηση, είναι μη μηδενική και ίση με για n 0, μπορούμε να γράψουμε το παραπάνω άθροισμα ως: Xe jω ) n0 a n e jωn n0 ae jω ) n 3.9) Μπορούμε τώρα να εφαρμόσουμε την κατάλληλη από τις δυο παραπάνω σχέσεις 5),6) που γράψαμε, όπου
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 393 α ae jω ). Άρα θα έχουμε: Xe jω ) n0 ae jω ) n ae jω 3.95) Αυτό το αποτέλεσμα είναι ο DTFT. Οπως φαίνεται, είναι μια μιγαδική συνάρτηση του ω. Δυστυχώς, δε γίνεται να σχεδιαστεί αυτή η συνάρτηση στο χαρτί. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να σχεδιάσουμε το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος της, ξεχωριστά, ή ακόμα και το μέτρο ή τη φάση της συνάρτησης. Το μέτρο λοιπόν του DTFT θα είναι Xe jω ) ae jω a cosω) + ja sinω) 3.96) a cosω) + ja sinω) a cosω)) + a sinω)) 3.97) + a a cosω) 3.98) ενώ για τη φάση του DTFT θα πρέπει να γράψουμε τον DTFT σε μορφή μέτρου-φάσης, πολλαπλασιάζοντας με το συζυγή του παρονομαστή: Xe jω ) aejω a cosω) ja sinω) ae jω ae jω ae jω 3.99) a cosω) a cosω) + a j a sinω) a cosω) + a 3.00) R{Xe jω )} + ji{xe jω )} 3.0) Άρα τελικά, επειδή η συνάρτηση tan ) είναι περιττή. Xe jω ) tan α sinω) α cosω) α sinω) tan α cosω) 3.0) Ετσι, το σήμα στο διακριτό χρόνο, το φάσμα πλάτους, και το φάσμα φάσης φαίνεται στο Σχήμα 3.5). Παρατηρήστε ότι το φάσμα πλάτους είναι άρτιο, ενώ το φάσμα φάσης είναι περιττό, όπως αναμενόταν, αφού Xe jω ) α) 5 -π -π 0 π π ω β) < Xe jω ) 0.93 -π -π 0 π π ω Σχήμα 3.5: Μετασχ. Fourier σήματος x[n] a n u[n ], για α 0.8 : α) Φάσμα πλάτους, β) Φάσμα φάσης
39 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα το x[n] είναι πραγματικό. Επίσης, παρατηρήστε ότι τα φάσματα είναι περιοδικά με περίοδο π, όπως επίσης αναμενόταν.. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος x[n] a n u[ n ], με a πραγματικός αριθμός με a >. Λύση: Είναι Xe jω ) x[n]e jωn a n u[ n ]e jωn 3.03) Επειδή η u[ n ] είναι μη μηδενική για n, μπορούμε να γράψουμε το παραπάνω άθροισμα ως: Xe jω ) a n e jωn ae jω ) n 3.0) Εδώ που φτάσαμε, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε αμέσως κάποια από τις σχέσεις του Πίνακα 3.), γιατί τα όρια στο παραπάνω άθροισμα δεν είναι ίδια με κάποια από τις σχέσεις του Πίνακα. Πρέπει να κάνουμε ένα βήμα ακόμα. Κι αυτό δεν είναι άλλο από το να κάνουμε αλλαγή μεταβλητής. Θέτουμε και τότε το άθροισμά μας γίνεται: k n k n Xe jω ) ae jω ) n + ) a e jω ) k a e jω ) k a e jω ) k k k k0 3.05) Πώς κάναμε το παραπάνω; Καταλήξαμε αρχικά σε ένα άθροισμα από k ως + μετά την αλλαγή μεταβλητής. Ομως οι σχέσεις του Πίνακα 3.) είναι για αθροίσματα από 0 ως αριθμό ή ως +. Οπότε πρέπει να αλλάξουμε το κάτω όριο του αθροίσματος από k σε k 0. Αυτό γίνεται εύκολα αν συμπεριλάβουμε την τιμή του a e jω ) k για k 0 στο άθροισμα, και ταυτόχρονα να την αφαιρέσουμε, για να είμαστε συνεπείς μαθηματικά. Η τιμή για k 0 είναι προφανώς a e jω ) 0, κι αυτό το είναι αυτό που αφαιρούμε παραπάνω. Μπορούμε τώρα να εφαρμόσουμε την κατάλληλη από τις σχέσεις του Πίνακα 3.). Άρα θα έχουμε: Xe jω ) k0 a e jω ) k + a e jω 3.06) a e jω a e jω a e jω a e jω a e jω 3.07) για a e jω < a >. Πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με ae jω έχουμε για a >. Xe jω ae jω a e jω ) ae jω a e jω ae jω ae jω ae jω 3.08) Εξασκηθείτε στις πράξεις δείχνοντας ότι το φάσμα πλάτους και το φάσμα φάσης για το παραπάνω σήμα δίνονται από τις σχέσεις Xe jω ) α cosω) + a Xe jω ) tan α sinω) α cosω) 3.09) 3.0) Τα παραπάνω, για a. φαίνονται στο Σχήμα 3.6.
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 395 Xe jω ) α) 5 -π -π 0 π π ω β) < Xe jω ) π -π -π 0 π π ω Σχήμα 3.6: Μετασχ. Fourier σήματος x[n] a n u[ n ]: α) Φάσμα πλάτους, β) Φάσμα φάσης n 3. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος x[n] δ[n]. Λύση: Ας βρούμε και τον DTFT της πολύ σημαντικής συνάρτησης αυτής. Είναι: Xe jω ) x[n]e jωn δ[n]e jωn 3.) Γνωρίζουμε όμως ότι η συνάρτηση δέλτα δ[n] ορίζεται μόνο στη θέση n 0 κι έχει πλάτος. Παντού αλλού είναι μηδέν. Άρα το παραπάνω άθροισμα θα γίνει: Xe jω ) Θυμηθείτε ότι και στο συνεχή χρόνο, είχαμε δ[n]e jωn e jω0 3.) δt) 3.3) μόνο που τότε χρησιμοποιήσαμε ιδιότητες της συνάρτησης Δέλτα συνεχούς χρόνου, ενώ εδώ τα πράγματα ήταν πιο απλά. Άρα ο DTFT της συνάρτησης δέλτα δ[n] είναι απλά η μονάδα. Αυτό τι σημαίνει; Οτι ένα σήμα που αποτελείται μόνο από μια συνάρτηση δέλτα στη θέση n 0 έχει μετασχηματισμό Fourier μονάδα, δηλ. ΟΛΕΣ οι συχνότητες ω έχουν πλάτος. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι η συνάρτηση Δέλτα είναι ένα σήμα που περιέχει όλες τις συχνότητες με ίση δύναμη, αφού όλες έχουν μοναδιαίο πλάτος. Εναλλακτικά, μπορείτε να διαβάσετε αυτό το αποτέλεσμα ως εξής: για να συνθέσουμε το σήμα x[n] δ[n] στο χρόνο, χρειαζόμαστε ΟΛΕΣ τις άπειρες το πλήθος) συχνότητες ω με το ίδιο βάρος η καθεμία, τη μονάδα! Ενδιαφέρον! 6 :-). Βρείτε το μετασχηματισμό Fourier του σήματος που φαίνεται στο Σχήμα 3.7), το οποίο είναι ο τετραγωνικός παλμός διάρκειας M 9 δειγμάτων. 6 Το ίδιο φυσικά συνέβαινε και στο συνεχή χρόνο...
396 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα x[n] - 0 Σχήμα 3.7: Τετραγωνικός παλμός διάρκειας 9 δειγμάτων. n Λύση: Ας υποθέσουμε ότι ο παλμός είναι διάρκειας M δειγμάτων, για περισσότερη γενικότητα. Είναι Xe jω ) x[n]e jωn M n M M+ e j ω M j e ω e jω ) e jω/ e jmω/ e jmω/ e jωn 3.) 3.5) 3.6) e jω/ e jω/ e jω/ ) ) ) Mω 9ω sin sin ) ) 3.7) sin sin ω ω Το φάσμα του σήματος φαίνεται στο Σχήμα 3.8). Προσέξτε, εδώ φαίνεται το φάσμα του σήματος ο ίδιος 9 Xe jω ) -π -π 0 π π ω Σχήμα 3.8: Φάσμα τετραγωνικού παλμού διάρκειας 9 δειγμάτων. ο μετασχ. Fourier δηλαδή), που είναι πραγματικό για κάθε ω. Το σήμα αυτό ειναι το σήμα κυλιόμενης μέσης τιμής moving average) που έχουμε ήδη δει, μόνο που εδώ είναι στη μη-αιτιατή μορφή του. Το μέτρο της φασματικής απόκρισης είναι ) 9ω sin Xe jω ) sin Βρείτε εσείς τα σημεία μηδενισμού αριθμητή και παρονομαστή, και υπολογίστε το φάσμα φάσης! 7 ω ) 3.8) 5. Βρείτε τον αντίστροφο μετασχ. Fourier του ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου, που φαίνεται στο Σχήμα 3.9. 7 Θα πρέπει να βρείτε ότι η φάση είναι 0 ή ±pi.
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 397 He jω ) -π -ω c 0 ω c π ω Σχήμα 3.9: Ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο. Λύση: Μας ζητείται ο αντίστροφος μετασχ. Fourier του ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου, δηλ. το σήμα στο χρόνο από το οποίο προέρχεται αυτό το φίλτρο. Εφαρμόζοντας τον ορισμό, θα έχουμε h lp [n] π H lp e jω )e jωn dω ωc e jωn dω 3.9) π π π ω c π ejωcn e jωcn ) jn jπn j sinω cn) 3.0) sinω cn) πn 3.) Παρατηρούμε ότι η κρουστική απόκριση ενός τέτοιου φίλτρου είναι άπειρης διάρκειας, άρα μη πραγματοποιήσιμη! Ακόμα κι αν ήταν όμως πραγματοποιήσιμη, παρατηρήστε ότι δεν είναι αιτιατή έχει τιμές για n < 0)! Η μη-αιτιατότητα βέβαια μπορεί να αρθεί εύκολα με μια μετατόπιση, αλλά η άπειρη διάρκεια παραμένει ό,τι και να κάνουμε. Με άλλα λόγια, το ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο είναι μη πραγματοποιήσιμο! 8 Ο λόγος για αυτή τη μη πραγματοποιησιμότητα του φίλτρου είναι οι ασυνέχειες του φίλτρου στις συχνότητες ω ±ω c. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε στην πράξη είναι να φτιάξουμε μερικά δείγματα της κρουστικής απόκρισης του h lp. Αυτά τα δείγματα όμως, όταν τα μετασχηματίσουμε κατά Fourier, δε θα μας δώσουν το ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο αλλά μια προσέγγισή του. Το πόσο καλή θα είναι αυτή η προσέγγιση, εξαρτάται από τό πόσα δείγματα της κρουστικής απόκρισης θα δημιουργήσουμε. Δείτε το Σχήμα 3.0), όπου δημιουργούμε M + δείγματα της κρουστικής απόκρισης για διάφορες τιμές του M. Παρατηρήστε ότι όσο αυξάνουμε το M, τόσο πιο κοντά πλησιάζουμε στο ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο. 6. Βρείτε τον μετασχ. Fourier του σήματος x[n], n. Λύση: Το παραπάνω σήμα είναι εμφανώς μη απολύτως αθροίσιμο, όπως και μη αθροίσιμο με την μέση τετραγωνική έννοια. Οπότε ο ορισμός αποτυγχάνει. Θα δείξουμε όμως ότι ο μετασχ. Fourier αυτού του σήματος είναι x[n] Xe jω ) r πδω + πr) 3.) Ας εφαρμόσουμε τον αντίστροφο μετασχ. Fourier. Δεδομένου ότι αυτός ορίζεται στο διάστημα π, π], το παραπάνω άθροισμα συναρτήσεων Δέλτα ανάγεται σε μόνο μια συνάρτηση Δέλτα, την δω), αφού μόνο αυτή ανήκει στο παραπάνω διάστημα. Τοτε θα είναι x[n] π π πδω)e jωn dω δω)e jωn dω e jωn] 3.3) π π π ω0 για κάθε n, λόγω της ιδιότητας της συνάρτησης Δέλτα μιας συνεχούς μεταβλητής 8 Γι αυτό λέγεται και ιδανικό... + δω)fω)dω f0) 3.)
398 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα M H M e jω ) M H M e jω ) -π -ω c 0 ω c π ω -π -ω c 0 ω c π ω H M e jω ) H M e jω ) M9 M6 -π -ω c 0 ω c π ω -π -ω c 0 ω c π ω H M e jω ) M5 M36 H M e jω ) -π -ω c 0 ω c π ω -π -ω c 0 ω c π ω Σχήμα 3.0: Προσεγγίσεις ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου για διάφορες τιμές του M. Το σήμα x[n] και ο μετασχ. Fourier του φαίνονται στο Σχήμα 3.. Από το αποτέλεσμα αυτό α)...... x[n] 0 n β) Xe jω )...... π -6π -π -π 0 π π 6π ω Σχήμα 3.: α) σήμα x[n], n και β) ο μετασχ. Fourier του. συμπεραίνουμε ότι για να συνθέσει κανείς ένα σήμα που δεν αλλάζει pot e στο πεδίο του χρόνου, όπως το x[n], n, τότε χρειάζεται μόνο μια συχνότητα, τη μηδενική - μην ξεχνάτε ότι για τη σύνθεση του σήματος χρειαζόμαστε μια περίοδο διάρκειας π στη συχνότητα, η οποία συνήθως είναι το διάστημα [ π, π) - με πλάτος π και μηδενική φάση. Διαισθητικά, είναι λογικό, αφού δεν υπάρχει καμιά μεταβολή του σήματος στο χρόνο ώστε να υπάρξουν και άλλες συχνότητες. 7. Βρείτε τον μετασχ. Fourier του σήματος x[n] e jω0n, n, με ω π, π]. Λύση:
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 399 Το παραπάνω σήμα είναι μη απολύτως αθροίσιμο, όπως και μη αθροίσιμο με την μέση τετραγωνική έννοια. Οπότε ο ορισμός αποτυγχάνει ξανά. Θα δείξουμε όμως ότι ο μετασχ. Fourier αυτού του σήματος είναι x[n] e jω0n Xe jω ) r πδω ω 0 + πr), r Z 3.5) Ας εφαρμόσουμε τον αντίστροφο μετασχ. Fourier. Δεδομένου ότι αυτός ορίζεται στο διάστημα π, π], το παραπάνω άθροισμα συναρτήσεων Δέλτα ανάγεται σε μόνο μια συνάρτηση Δέλτα, την δω ω 0 ), αφού μόνο αυτή ανήκει στο παραπάνω διάστημα. Τοτε θα είναι x[n] π π πδω ω 0 )e jωn dω δω ω 0 )e jωn dω e jωn] e jω0n 3.6) π π π ωω 0 για κάθε n, λόγω της ιδιότητας της συνάρτησης Δέλτα μιας συνεχούς μεταβλητής + δω ω 0 )fω)dω fω 0 ) 3.7) Από το αποτέλεσμα αυτό συμπεραίνουμε ότι για να συνθέσει κανείς ένα μιγαδικό εκθετικό σήμα συχνότητας ω 0 στο πεδίο του χρόνου, τότε χρειάζεται μόνο μια συχνότητα, την ω 0, με πλάτος π και μηδενική φάση. Το σήμα στο χρόνο μεταβάλλεται με συγκεκριμένη συχνότητα, οπότε είναι λογικό να μη χρειάζονται άλλες συχνότητες για τη σύνθεσή του. Το παραπάνω σήμα όμως ήταν μιγαδικό, ας δούμε τι συμβαίνει στην περίπτωση ενός πραγματικού σήματος συγκεκριμένης συχνότητας. 8. Βρείτε τον μετασχ. Fourier του σήματος x[n] A cosω 0 n + φ), n, με ω π, π]. Λύση: Δουλεύοντας με βάση το προηγούμενο αποτέλεσμα, έχουμε Οπότε Xe jω ) x[n] A cosω 0 n + φ) A ejφ e jω0n + A e jφ e jω0n 3.8) A ejφ + x[n]e jωn 3.9) A ejφ e jω0n + A e jφ e jω0n) e jωn 3.30) A ejφ e jω0n e jωn + e jω0n e jωn + A e jφ A e jφ e jω0n e jωn 3.3) + e jω0n e jωn 3.3) Οι παραπάνω δυο όροι του αθροίσματος είναι οι μετασχ. Fourier των e jω0n και e jω0n, τους οποίους βρήκαμε στο προηγούμενο παράδειγμα. Άρα Xe jω ) r Aπ Aπe jφ δω ω 0 + πr) + r r ) e jφ δω ω 0 + πr) + δω + ω 0 + πr) Aπδω + ω 0 + πr) 3.33) 3.3) Το σήμα x[n] A cosω 0 n + φ) και ο μετασχ. Fourier του φαίνονται στο Σχήμα 3.. Από το αποτέλεσμα αυτό συμπεραίνουμε ότι για να συνθέσει κανείς ένα πραγματικό σήμα συχνότητας ω 0 στο πεδίο του χρόνου, τότε χρειάζεται μόνο δυο συχνότητες, την ω 0 και την ω 0 - αν θεωρήσουμε ως παράθυρό μας στη συχνότητα το διάστημα [ π, π) - οι οποίες αντιστοιχούν στα δυο συζυγή μιγαδικά εκθετικά που αποτελούν ένα συνημίτονο. Τα πλάτη τους ισούνται με Aπ και η φάση τους είναι ±φ.
00 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα α) x[n] Α...... 0 n β) Xe jω ) Απ...... γ) -π-ω 0 -π+ω 0 -ω 0 0 ω 0 π-ω 0 π+ω 0 < Xe jω ) -ω 0 π φ -π-ω 0 π-ω 0 -π+ω 0 0 ω 0 π+ω 0 -φ -π... ω ω Σχήμα 3.: α) σήμα x[n] A cosω 0 n + φ) και β) ο μετασχ. Fourier του. Μπορείτε εσεις να βρείτε το μετασχ. Fourier του σήματος x[n] A sinω 0 n); 9. Βρείτε τον μετασχ. Fourier του σήματος x[n] u[n]. Λύση: Αν προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε τον ορισμό, θα έχουμε Ue jω ) u[n]e jωn n0 e jωn 3.35) Αυτό το άθροισμα δεν συγκλίνει, αφού e jωn, και όχι μικρότερο αυτής. Χρειαζόμαστε έναν εναλλακτικό τρόπο. Παρατηρήστε ότι η βηματική συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως u[n] sgn[n] + u [n] + u [n] 3.36) με /, n 0 sgn[n] /, n < 0 3.37) Γνωρίζουμε από προηγούμενο παράδειγμα ότι u [n] U e jω ) r πδω + πr) 3.38)
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 0 Αρκεί να βρούμε το μετασχ. Fourier του σήματος u [n] sgn[n]. Εστω U e jω ) F {u [n]}. Παρατηρήστε ότι μπορούμε να γράψουμε δ[n] u [n] u [n ] 3.39) Παίρνοντας το μετασχ. Fourier και στα δυο μέλη, έχουμε F {δ[n]} F {u [n] u [n ]} 3.0) U e jω ) u [n] u [n ])e jωn 3.) u [n]e jωn k U e jω ) e jω + Άρα τελικά, από τις Σχέσεις 3.6,3.38) έχουμε: u [n ]e jωn 3.) u [k]e jωk+) 3.3) k u [k]e jωk) 3.) U e jω ) e jω U e jω ) 3.5) U e jω ) e jω 3.6) u[n] Ue jω ) + e jω + r πδω + πr) 3.7) Εδώ χρησιμοποιήσαμε έμμεσα δυο σημαντικές ιδιότητες, αυτή της γραμμικότητας και αυτή της χρονικής μετατόπισης, τις οποίες θα αποδείξουμε ρητά στη συνέχεια. 3.6 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier Διακριτού Χρόνου Αποδεικνύονται κάποιες πολύ σημαντικές ιδιότητες σχετικά με τον DTFT, οι οποίες φαίνονται στον Πίνακα 3.. 3.7 Χρήσιμα Ζεύγη Μετασχ. Fourier Διακριτού Χρόνου Στον Πίνακα 3.3), θα βρείτε μερικά χρήσιμα ζευγάρια μετασχ. Fourier που χρησιμοποιούνται συχνά. Τα παρακάτω ορίζονται για ω R. Για μετασχηματισμούς σε μια περίοδο, δηλ. στο π, π], θέτουμε k 0 στους παρακάτω τύπους όπου χρειάζεται. 3.8 Συμμετρίες Μετασχ. Fourier Διακριτού Χρόνου Κάποιες γνωστές και χρήσιμες στην απλούστευση πορβλημάτων σχέσεις συμμετρίας μεταξύ σημάτων και των μετασχηματισμών Fourier τους παρατίθενται στον Πίνακα 3.. Οι περισσότερες αποδεικνύονται εύκολα με χρήση του ορισμού του μετασχηματισμού. 3.9 ΓΧΑ Συστηματα στο Χώρο του Μετασχ. Fourier Ας μελετήσουμε τώρα την τροπή που παίρνουν τα πράγματα όταν εξετάζουμε ένα ΓΧΑ σύστημα από τη σκοπιά της συχνότητας. Είδαμε νωρίτερα ότι στα συστήματα, παίζει μεγάλο ρόλο η έννοια της απόκρισης σε συχνότητα He jω ), η οποία υπενθυμίζουμε ότι ορίζεται ως He jω ) k h[k]e jωk 3.8)
0 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Χρήσιμες Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier Διακριτού Χρόνου Σήμα Μετασχ. Fourier ax[n] + by[n] axe jω ) + by e jω ) x[n n 0 ] e jωn0 Xe jω ) e jω0n x[n] Xe jω ω0) ) x[ n] Xe jω ), ή X e jω ) αν x[n] είναι πραγματικό. x [n] X e jω ) nx[n] j dxejω ) dω x[n] y[n] Xe jω )Y e jω ) x[n]y[n] x[n] - Θεώρημα Parseval x[n]y [n] - Θεώρημα Parseval γενική μορφή π π π π π π π π Xe jθ )Y e jω θ) )dθ π Xe jω ) dω Xe jω )Y e jω )dω Πίνακας 3.: Χρήσιμες Ιδιότητες Μετασχ. Fourier Διακριτού Χρόνου. και αποτέλεσε το συντελεστή μεταβολής του μιγαδικού πλάτους του σήματος εισόδου x[n] e jωn όταν αυτό περνά μέσα από ένα ΓΧΑ σύστημα και εμφανίζεται στην έξοδο, δηλ. y[n] He jω )e jωn 3.9) Επίσης, μεγάλη σημασία στα ΓΧΑ συστήματα έχει η έννοια της κρουστικής απόκρισης h[n], η οποία περιγράφει το σύστημα από τη σκοπιά του χρόνου. Αν προσπαθήσουμε να βρούμε το μετασχ. Fourier της κρουστικής απόκρισης, θα έχουμε F {h[n]} h[n]e jωn 3.50) Μα η παραπάνω σχέση δεν είναι άλλη από την απόκριση σε συχνότητα He jω ). Άρα τελικά, η απόκριση σε συχνότητα αποτελεί το μετασχ. Fourier της κρουστικής απόκρισης ενός συστήματος! Επίσης, για οποιαδήποτε σήματα, η σχέση που συνδέει την είσοδο, x[n], με την έξοδο, y[n], ενός ΓΧΑ συστήματος, h[n], εκφράζεται μέσω της πράξης της συνέλιξης: y[n] x[n] h[n] x[k]h[n k] 3.5) Ομως ένα από τα σημαντικότερα πορίσματα της Ανάλυσης Fourier είναι ότι η συνέλιξη στο χρόνο γίνεται πολλαπλασιασμός στη συχνότητα, και το αντίστροφο Πίνακας 3.). Άρα η ίδια Σχέση 3.5) που περιγράφει το σύστημα μπορεί να γραφεί και ως: Y e jω ) Xe jω )He jω ) 3.5) Σε αυτό το σημείο, αν αναλύσουμε σε μορφή πολική μορφή την παραπάνω σχέση, βλέπουμε ότι Y e jω ) Xe jω )He jω ) 3.53) Y e jω ) e j Y ejω) Xe jω ) e j Xejω) He jω ) e j Hejω ) 3.5)
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 03 Χρήσιμα ζεύγη μετασχηματισμού Fourier Διακριτού Χρόνου Ακολουθία Μετασχ. Fourier δ[n] δ[n n 0 ] a n u[n], a < a n u[ n ], a > u[n] u[ n ] n + )a n u[n], a < a n, a <, r n sinω c n + )) u[n], r < sinω c ) sinω c n) πn, 0 n M x[n] 0, αλλού e jω0n cosω 0 n + φ) sinω 0 n + φ) k k k e jωn0 πδω + πk) ae jω ae jω e jω + πδω + πk) k e jω k ae jω ) πδω + πk) a a cosω) + a r cosω c )e jω + r e jω, ω < ω c Xe jω ) 0, ω c < ω π sin[ω c M + )/] e jωm/ sinω/) k πδω ω 0 + πk) [πe jφ δω ω 0 + πk) + πe jφ δω + ω 0 + πk)] j[πe jφ δω ω 0 + πk) πe jφ δω + ω 0 + πk)] Πίνακας 3.3: Χρήσιμα Ζεύγη Μετασχ. Fourier Διακριτού Χρόνου. Y e jω ) e j Y ejω) Xe jω ) He jω ) e j Hejω )+ He jω )) 3.55) και άρα Y e jω ) He jω ) Xe jω ) 3.56) Y e jω ) He jω ) + Xe jω ) 3.57) Υπενθυμίζουμε ότι το He jω ) λέγεται απόκριση πλάτους magnitude response) ή κέρδος του συστήματος, και το He jω ) λέγεται απόκριση φάσης phase response) του συστήματος.
0 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Συμμετρίες Μετασχηματισμού Fourier Διακριτού Χρόνου Σήμα Μετασχ. Fourier Diakrito u Qr onou x[n] Xe jω ) x [n] X e jω ) x [ n] X e jω ) R{x[n]} X e e jω ), συζυγές συμμετρικό μέρος του DTFT ji{x[n]} X o e jω ), συζυγές αντισυμμετρικό μέρος του DTFT x e [n], συζυγές συμμετρικό μέρος του σήματος X R e jω ) R{Xe jω )} x o [n], συζυγές αντισυμμετρικό μέρος του σήματος jx I e jω ) ji{xe jω )} Τα παρακάτω ισχύουν μόνο για πραγματικά σήματα x[n] x[n] Xe jω ) X e jω ) x[n] X R e jω ) X R e jω ) x[n] X I e jω ) X I e jω ) x[n] Xe jω ) Xe jω ) x[n] Xe jω ) Xe jω ) x e [n], άρτιο μέρος X R e jω ) x o [n], περιττό μέρος jx I e jω ) Πίνακας 3.: Συμμετρίες Μετασχ. Fourier Διακριτού Χρόνου. Προσέξτε ότι η απόκριση πλάτους της εξόδου αποτελείται από το γινόμενο των αποκρίσεων πλάτους της εισόδου και του συστήματος, ενώ η απόκριση φάσης της εξόδου αποτελείται από το άθροισμα των αποκρίσεων φάσης της εισόδου και του συστήματος. Αυτές οι σχεσεις επιδρούν στην είσοδο του συστήματος και τη μεταβάλλουν, είτε με επιθυμητό τροπο είτε με ανεπιθύμητο τρόπο. Οσον αφορά το τελευταιο, τότε οι αντίστοιχες σχέσεις αποκαλούνται διαταραχές πλάτους και φάσης, αντίστοιχα. Ενα σύστημα h[n] με απόκριση σε συχνότητα He jω ) μπορεί να υπολογιστεί πιο εύκολα συνήθως :-) στο χώρο των συχνοτήτων απ ότι στο χώρο του χρόνου. Πώς; Προφανώς από τη σχέση He jω ) Y ejω ) Xe jω ) 3.58) Βλέπετε ότι, εν γένει, η απόκριση σε συχνότητα είναι μια ρητή συνάρτηση της συχνότητας ω. Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι He jω ) Y ejω ) Xe jω ) Nejω ) De jω 3.59) )
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 05 όπου Ne jω ), De jω ) ο αριθμητής και ο παρονομαστής, αντίστοιχα, της απόκρισης σε συχνότητα He jω ), με όποιες απλοποιήσεις μπορεί να γίνουν στο κλάσμα. Αποδεικνύεται ότι μια τέτοια ρητή συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί σε μικρότερα κλάσματα μέσα από τη γνωστή σας διαδικασία της Αναπτυξης σε Μερικά Κλάσματα. Εν συντομία, το Ανάπτυγμα σε Μερικά Κλάσματα μας πληροφορεί ότι μια τέτοια ρητή συνάρτηση, εν γένει, μπορεί να γραφεί ως He jω ) Nejω ) De jω ) M k A L k a k e jω + l B l b l e jω 3.60) με a k < και b k >, στην απλή περίπτωση που οι ρίζες του παρονομαστή De jω ) είναι απλές. Σύμφωνα με τον πίνακα με τα ζεύγη Μετασχ. Fourier Διακριτού Χρόνου Πίνακας 3.3), μπορούμε, έχοντας την Ανάλυση σε Μερικά Κλάσματα, να βρούμε την h[n], ως He jω ) M k A L k a k e jω + B l b l e jω h[n] M l k A k a k ) n u[n] L B l b l ) n u[ n ] 3.6) αφού a k < και b k >. Φυσικά η διαδικασία αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί και το x[n] Xe jω ), αφού και το Xe jω ) εκφράζεται ως ρητή συνάρτηση: l Xe jω ) Y ejω ) He jω ) 3.6) Ας δούμε μερικά παραδείγματα. Παράδειγμα : Εστω το σύστημα ) nu[n] h[n] 3.63) 3 Στην είσοδό του παρουσιάζεται το σήμα ) nu[n] ) nu[n] x[n] + 3.6) Βρείτε την έξοδο του συστήματος y[n]. Λύση: Αυτό που θα μπορούσαμε να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε τη συνέλιξη της εισόδου με το σύστημα, με τον κλασικό τρόπο του αθροίσματος. Ομως, αν μεταφερθούμε στο πεδίο της συχνότητας, συμβουλευόμενοι τον Πίνακα ;;), έχουμε ότι y[n] x[n] h[n] Y e jω ) Xe jω )He jω ) + ) e jω e jω 3 e jω e jω ) 3 e jω ) + e jω ) 3 e jω ) A + B e jω + C 3 e jω + D e jω 3e jω ) nu[n] ) nu[n] ) nu[n] y[n] A + B + D) + C 3.65) 3 με A B C D e jω ) 3 e jω ) e jω ) e jω 6 3.66) 3 e jω ) e jω e jω ) 3 e jω ) 3 e jω ) e jω 3 3.67) e jω ) e jω 3 e jω ) 3 e jω ) e jω ) e jω 3 3.68) 3 e jω ) e jω e jω ) 3 e jω ) 3 e jω ) e jω 3 3.69) e jω ) e jω 3
06 Μια εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα 3.70) και άρα ) nu[n] ) nu[n] y[n] 6 3 3.7) Επίσης, με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να βρούμε την είσοδο x[n], αν μας δίνεται το σύστημα και η έξοδος του. Δείτε: Παράδειγμα : Εστω ένα σύστημα με απόκριση συχνότητας He jω ) Στην είσοδό του, βρίσκεται ένα σήμα x[n], το οποίο δίνει έξοδο Βρείτε την είσοδο, x[n]. + 3e jω 3.7) ) nu[n] 3 ) nu[ n y[n] ] 3.73) Λύση: Με παρόμοιο τρόπο έχουμε y[n] Y e jω ) e jω 3 ejω 3.7) Προφανώς ισχύει Y e jω ) He jω )Xe jω ) Xe jω ) Y ejω ) He jω ) e jω e jω e jω) 3 e jω) 3 e jω 3.75) + 3e jω με A B 3e jω e jω ) 3 e jω ) 3e jω e jω ) 3 e jω ) 3.76) + 3e jω + 3e jω )e jω e jω ) 3 3.77) e jω ) A + B ) e jω 3 e jω 3.78) e jω e jω) 3e jω e jω e 3 7 e jω jω 3 e jω) 3e jω e e jω /3 9 e jω jω /3 3.79) 3.80) και άρα, συμβουλευόμενοι τον Πίνακα ;;), τελικά η είσοδος θα είναι x[n] 7 ) n u[n 9 3 ) n u[ n 7 ) n u[n 9 3 ) n u[ n] ] + ) ] ] + 3.8) Μερικές παρατηρήσεις.... Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε το σύστημα h[n] αν μας δίνεται η είσοδος και η έξοδος, x[n], y[n], αντίστοιχα. Κάντε το σε όλα τα παραδείγματα! :-)
Κεφάλαιο 3. Ανάλυση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας 07. Φυσικά για τον υπολογισμό της εξόδου ενός συστήματος μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το άθροισμα της συνέλιξης, αν σας βολεύει. Το πώς θα καταλαβαίνετε ποιός τρόπος είναι πιο εύκολος ή σύντομος, απαιτεί εμπειρία και τριβή σε ασκήσεις. Πολλές φορές μάλιστα δεν είναι εμφανές με το μάτι κάτι τέτοιο, και αναγκαστικά δουλεύετε όπως νομίζετε εσείς, μέχρι να επιβεβαιωθείτε ή να διαψευστείτε. :-) 3. Η ανάλυση σε μερικά κλάσματα εφαρμόζεται ΜΟΝΟΝ όταν η τάξη του πολυωνύμου του αριθμητή είναι γνήσια μικρότερη από αυτή του παρονομαστή, ειδάλλως πρέπει να κάνουμε διαίρεση πολυωνύμων. Στο Παράδειγμα, αυτό ήταν αληθές, αλλά όχι και στο Παράδειγμα. Είδατε όμως πως αποφύγαμε να κάνουμε διαίρεση πολυωνύμων, θεωρώντας τον όρο e jω του αριθμητή ως καθυστέρηση. Άρα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι Αν η είσοδος ενός ΓΧΑ συστήματος h[n] He jω ) ειναι της μορφής x[n] Aa n u[n], a < Xe jω ) A ae jω, τότε η έξοδος μπορεί εύκολα να υπολογιστεί στο χώρο της συχνότητας, ως Ye jω ) He jω )Xe jω ), και κάνοντας Ανάπτυγμα σε Μερικά Κλάσματα, να βρεθεί τελικά η έξοδος y[n]. Αν η είσοδος περιέχει την αντίστροφη βηματική, τότε Αν η είσοδος ενός ΓΧΑ συστήματος h[n] He jω ) ειναι της μορφής x[n] Aa n u[ n ], a > Xe jω ) A ae jω, τότε η έξοδος μπορεί εύκολα να υπολογιστεί στο χώρο της συχνότητας, ως Ye jω ) He jω )Xe jω ), και κάνοντας Ανάπτυγμα σε Μερικά Κλάσματα, να βρεθεί τελικά η έξοδος y[n]. Προφανώς τα παραπάνω μπορούν να γενικευτούν για αθροισμα τέτοιων σημάτων ως: x[n] Αν η είσοδος ενός ΓΧΑ συστήματος h[n] He jω ) ειναι της μορφής N M N A k a k ) n u[n] B l b l ) n u[ n ] Xe jω M ) A k a k e jω + B l b l e jω, k l με a k < και b l >, τότε η έξοδος μπορεί εύκολα να υπολογιστεί στο χώρο της συχνότητας, ως Ye jω ) He jω )Xe jω ), και κάνοντας Ανάπτυγμα σε Μερικά Κλάσματα, να βρεθεί τελικά η έξοδος y[n]. k l Τέλος, πολλά συστήματα εκφράζονται ως ένα απλό άθροισμα Διακριτών Συναρτήσεων Δέλτα 9, όπως για παράδειγμα το h[n] δ[n] δ[n ] 3.8) Αυτή η περίπτωση είναι η πιο εύκολη, καθώς μπορούμε να δουλέψουμε στο πεδίο του χρόνου, αντί αυτό της συχνότητας 0, εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα της Συνάρτησης Δέλτα που λέει ότι x[n] δ[n ± n 0 ] x[n ± n 0 ] 3.83) Τι είπαμε ότι σημαίνει αυτό; Σημαίνει ότι όταν κάνουμε συνέλιξη ενός σήματος με μια Συνάρτηση Δέλτα η οποία βρίσκεται στη χρονική στιγμή n ±n 0, τότε το αποτέλεσμα είναι απλά το ίδιο το σήμα x[n] μετατοπισμένο στη θέση n ±n 0! 9 Τα οποία λέγονται Finite Impulse Response - FIR, όπως έχουμε πει. 0 Χωρίς να σημαίνει ότι αν πάτε στο χώρο της συχνότητας δε θα βγάλετε αποτέλεσμα :-)