Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες 6) (Μονάδες ).. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο ο, τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο ο και ισχύει ( f g ) ) = f ( ) g ( ) ( o o o. Αν f ( ) = e συν, τότε η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντια εφαπτοµένη στο σηµείο Μ ( π, f ( π )) 3. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σηµείο ο, τότε είναι και παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό. 4. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f() στο σηµείο ο είναι f ) ( o (Μονάδες 4) ΘΕΜΑ α) Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R R και η συνάρτηση g( ) = f + f ( ). Αν η ευθεία ε : y = + εφάπτεται της C f στο =, να βρείτε την εφαπτοµένη της Cg στο = -. (Μονάδες ) β) Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f ( ) = l n και g( ) = a + β + να έχουν κοινή εφαπτοµένη σε κοινό τους σηµείο το οποίο βρίσκεται στην ευθεία µε εξίσωση =. (Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ 3 α) Έστω ότι η συνάρτηση f :[, ] R β α για κάθε [ α, β]. Αν ( f ( α) ) ( f ( β )) ξ ( α, β) τέτοιο ώστε f ( ξ) ln f ( ξ ) = ξ f ( ξ ) α β ( <α < β ) είναι παραγωγίσιµη και ισχύει f ( ) > = να δείξετε ότι υπαρχει ένα τουλάχιστον β) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[, e] R η οποία είναι παραγωγίσιµη στο (, e). Αν f (e) =, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, e) τέτοιο ώστε ξ f ( ξ ) ln ξ = f ( ξ ) (Μονάδες ) (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 ίνεται η συνεχής συνάρτηση :[, ] f a β R µε f ( a) = a και f ( β ) = β α) Να δείξετε ότι υπάρχει ( a, β) τέτοιο ώστε ( ) o f = a+ β β) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο (α, β), να δείξετε ότι υπάρχουν, ( a, β) τέτοια ώστε f ( ) f ( ) = o o (Μονάδες ) (Μονάδες 5)
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ Ο Α. Έστω µια συνάρτηση f : A R α) Πότε η f λέγεται γνησίως αύξουσα; β) Πότε η f λέγεται -; γ) Πότε η f παρουσιάζει µέγιστο; δ) Να διατυπώσετε το θεώρηµα Bolzano. ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ Β. ίνεται η συνάρτηση f ( ) = 3e 5 Μονάδες α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι -. β) Να βρεθεί η ΘΕΜΑ Ο f Μονάδες 7 Μονάδες 6 Α. Να υπολογιστούν τα όρια: 3+ 5 α) lim 3 9 β) ηµ 5 lim 3 + 4 Μονάδες 5 γ) lim ( 6 ) + + 4 + Μονάδες 5 Μονάδες 5
π π Β. Για τη συνάρτηση f ισχύει ηµ f ( ) για κάθε,. Να υπολογιστούν: i) lim ( ) f ii) lim ( ) ( ) f f Μονάδες 5 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 3 Ο Α. ίνεται η συνάρτηση f ( ) = ( β ) + + + β a 3 a 4+ 3 Να βρείτε τα α, β έτσι ώστε lim f ( ) = Μονάδες 5 Β. Να βρεθούν τα α, β R ώστε η συνάρτηση aηµ β, < π f ( ) = 4 συν + β, < π aηµ, να είναι συνεχής. ΘΕΜΑ 4 Ο Μονάδες Α. Αν οι συναρτήσεις f g και είναι συνεχείς στο [ ] a, β, f ( a) > g( a) και f ( β ) < g( β ) να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον o ( a, β ) τέτοιο ώστε f ( o) = g( o) Μονάδες Β. Έστω η συνεχής συνάρτηση :[, ]. τουλάχιστον ρίζα στο (,). e 3 f R Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει µια Μονάδες 5
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΘΕΜΑ Ο Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς z και w ισχύουν ( ) ( ) ( i+ ) z = 6 και w i = w 3 3i τότε να βρείτε: α. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z. β. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w. γ. την ελάχιστη τιµή του w δ. την ελάχιστη τιµή του z w ΘΕΜΑ Ο ίνεται η εξίσωση z+ = όπου z C µε z z α. Να βρείτε τις ρίζες z και z της εξίσωσης. β. Να αποδείξετε ότι: z + z = γ. Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς w ισχύει w 4+ 3i = z z τότε να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των w στο µιγαδικό επίπεδο. δ. Για τους µιγαδικούς αριθµούς w του ερωτήµατος γ, να αποδείξετε ότι 3 w 7
ΘΕΜΑ 3 Ο Οι µιγαδικοί αριθµοί z, w συνδέονται µε τη σχέση κύκλο µε κέντρο Κ(-,) και ακτίνα ρ=. + w z= και η εικόνα του w ανήκει στον w α. Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο µε κέντρο το Ο(,) και ακτίνα p=. β. Αν z = () και z, z, z3 οι εικόνες τριών µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει η σχέση () να δείξετε ότι: z+ z z+ z3 z+ z3 i. ο αριθµός a= + + είναι πραγµατικός. z z z 3 ii. Αν επιπλέον z + z + z 3 = τότε να αποδείξετε ότι: z z z Re z z3 z 3 + + = 3 γ. ίνεται η ευθεία (ε): 3+ 4y =. Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων του µιγαδικού w από την ευθεία (ε).
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν α) η f είναι συνεχής στο και β) f () = για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα. µονάδες Β.. Να δώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής. Να ορίσετε πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της. µονάδες 6 Γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις : α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] και γνησίως αύξουσα, τότε υπάρχει ο ( a, β ) τέτοιο, ώστε f ( o ) >. β. Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι παρουσιάζει στο o A (ολικό) ελάχιστο, το f ( o), όταν f ( ) < f ( o ) για κάθε A γ. Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σηµείο o, τότε δεν µπορεί να είναι παραγωγίσισµη στο o. δ. Αν η f είναι παραγωγίσισµη στο R και ισχύει το θεώρηµα Rolle στο [α, β], τότε η γραφική της παράσταση έχει σε ένα τουλάχιστον σηµείο της οριζόντια εφαπτοµένη. µονάδες µονάδες µονάδες µονάδες ΘΕΜΑ a Α. Έστω η συνάρτηση f ( ) = + + β η οποία µηδενίζεται στο = και παρουσιάζει ακρότατο στο =. α. Να βρείτε τα α, β β. Να βρείτε το είδος του ακρότατου µονάδες 8 µονάδες 5
Β. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων της γραφικής παράστασης της οποίες είναι προς την ευθεία 3y χ = f ( ) = οι + µονάδες ΘΕΜΑ 3 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 5 a 5 β) ίνεται συνάρτηση f ( ) = e + συν + e i) Να µελετήσετε τη µονοτονία της συνάρτησης ii) Nα αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο + = έχει το πολύ µια ρίζα στο διάστηµα (-, ) µονάδες µονάδες µονάδες 5 ΘΕΜΑ 4 α. Έστω η συνάρτηση f ( ) = + 3 + a 5 6. Να βρείτε την τιµή του α >, ώστε f ( ) για κάθε R. β. Έστω µια συνεχής συνάρτηση f : [α, β] R µε f () για κάθε ( α, β ) και f ( α ) f ( β ). Να δείξετε ότι i) υπάρχει ( a, β ) τέτοιο ώστε 3 f ( ) = f ( a) + f ( β ) o ii) υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) τέτοια, ώστε ξ ( ) o f o a = f ξ β ο ( ) ( )( ) µονάδες 8 µονάδες 8 µονάδες 9 ΚΑΘΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ Ο ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Α. α) Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο ο του πεδίου ορισµού της ; β) Να αποδείξετε ότι : ( α ) = a ln a γ) Να δώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Rolle Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε την ένδειξη Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) α) Αν η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο ο τότε δεν υπάρχει εφαπτοµένη της καµπύλης y = f() στο σηµείο ο. β) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] µε f(α) = f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) =. γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και δεν είναι - τότε η γραφική παράσταση της f () τέµνει τον τουλάχιστον σε ένα σηµείο. δ) Αν η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο o (α, β), τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο ο. ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση 3 f ( ) = 4 k+ k. Να δείξετε ότι: α. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ), ln τέτοιο ώστε f ( ) =.,. β. Η εξίσωση f ( ) = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο ( ) γ. Αν, k > τότε υπάρχει ξ ( ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) <.,
ΘΕΜΑ 3 Ο Έστω η συνάρτηση f ( ) = ln + ln + 3. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο διάστηµα (, + ). ii. Να βρεθεί η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο A(, f ()). iii. Να αποδείξετε ότι + ln > 4 3 για κάθε >. ΘΕΜΑ 4 Ο α. Να δείξετε ότι e > γιακάθε R. β. Έστω η συνάρτηση f : R R η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιµη και ισχύει για κάθε R f ( ) e f = ( ) i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Αν η C f τέµνει τον άξονα στο σηµείο M (,) να δείξετε ότι το Μ είναι σηµείο καµπής της C f. Καλή Επιτυχία!!!
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ ΘΕΜΑ Ο.Τη σχέση z + w = την επαληθεύουν µόνο οι µιγαδικοί z = και w=. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 5+ λ i. Αν z =, λ Rτότε z =. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 5 λi * 3. Αν ισχύει z + ai = z ai, α R τότε η εικόνα του Z ανήκει στην ευθεία y = a. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 4. Αν η εικόνα του z ανήκει στον κύκλο + ( y+ ) = τότε η ελάχιστη τιµή του z είναι. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 5. Η εξίσωση z z = z παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
ΘΕΜΑ Ο Έστω οι µιγαδικοί z και w α. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z, για τον οποίο ισχύει z+ = iz+ β. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w, για τον οποίο ισχύει + i w= λ( + i) +, λ R i γ. Να δείξετε ότι z w. ΘΕΜΑ 3 Ο * Έστω οι µιγαδικοί z C και f ( z) = z i. z α. Αν f ( z) R, να δείξετε ότι z I. β. Αν f ( z) f ( z) = 5, να βρείτε: i. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z ii. τη µέγιστη τιµή του z και την ελάχιστη τιµή του f ( z). ΘΕΜΑ 4 Ο Α. Αν ο z είναι µιγαδικός αριθµός και ισχύει η σχέση (z+) ν =z ν,νεν* να αποδείξετε ότι Re(z)=- Β) i) Αν w =(+yi) v +(i-y) v και w =(+yi) v (+i v ),y R v N να δειχθεί ότι w = w ii)nα υπολογίσετε το v N ώστε (+yi) v +(i-y) v - (+yi) v (+i v ) =8 αν οι εικόνες Μ(z) των µιγαδικών z=+yi βρίσκονται στον κύκλο (Ο, 9 ).
Γ. ίνεται η συνάρτηση ( ) iz + 4 i f z =, z i. z i i) Να βρείτε το σύνολο των σηµείων Μ(z), όταν Im [ f ( z )] =. ii) Αν u= z iκαι w= f ( z) i, να βρείτε το u w. iii) Να δείξετε ότι αν τα σηµεία Μ(z) ανήκουν στον κύκλο C µε κέντρο Κ(i) και ακτίνα ρ, τα σηµεία Ν (f (z)) ανήκουν σε κύκλο C µε το ίδιο κέντρο και ακτίνα που πρέπει να βρείτε. Πότε οι κύκλοι αυτοί συµπίπτουν;
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ο ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν : α) η f είναι σταθερή στο και β) f () = για κάθε εσωτερικό σηµείο του,να δείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα. f ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Β. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα και ( ), να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Γ)Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f () για κάθε R *, τότε η f είναι σταθερή στο R *. ) Αν η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο o (α, β), τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο ο. 3) Αν για µια συνάρτηση f : A R µέγιστη τιµή της f. ισχύει ( ) f κ όπου κ R για κάθε A, τότε το κ είναι η ΘΕΜΑ Ο Να αποδείξετε ότι: α) e e για κάθε R β) ίνεται η συνάρτηση f ( ) = ln +. i) Να βρείτε το σύνολο τιµών ii)να λύσετε την εξίσωση f ( ) =. ΘΕΜΑ 3 Ο ίνεται η συνάρτηση: f ( ) = ln ( ) α) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει ακριβώς δυο ρίζες στο πεδίο ορισµού της.
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ Ο Α. ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα[α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) δείξτε ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον (α, β) τέτοιος, ώστε f( ) = η. Β. i) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; ii) Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο, τότε δείξτε ότι είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Nα δικαιολογήσετε την απάντησή σας. i) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] µε f(α) < και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ)=, τότε κατ ανάγκη f(β) >. ii) H εφαπτοµένη της y=ln στο o =e, διέρχεται από την αρχή των αξόνων ΘΕΜΑ ο A ίνονται µιγαδικοί αριθµοί z και w για τους οποίους ισχύει z = z 3i και w+ w Να βρείτε: 4 5 ( w w) = + i 35 3i i α) τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z β) τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w γ) την ελάχιστη τιµή του z w
Β. Θεωρούµε τον µιγαδικό αριθµό z, µε z και Re =. z 4 i. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z, στο µιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος µε εξίσωση z =. ii. Αν είναι Im ( z ) =, να αποδείξετε ότι Re ( z ) = + 3 ή Re( z ) = 3. iii. Αν z είναι ένας µιγαδικός που η εικόνα του είναι πάνω στον κύκλο του ερωτήµατος (i), να βρείτε τη µέγιστη τιµή του µέτρου του µιγαδικού z 4. i ΘΕΜΑ 3 ο Α) η συνάρτηση f()= +a+b. Η εφαπτοµένη της C f στο σηµειό της Α(-3,f(-3)) εχει εξίσωση y=-4-8.nα βρείτε i) τα a και b ii) τις εφαπτοµενες της C f που διέρχονται από το σηµείο Γ(-,-) Β) ινεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f().η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(,f()) εχει εξίσωση y=+.θεωρούµε την συνάρτηση g()= f()+ f( 3 ). Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο Α(,g()) ΘΕΜΑ 4 Ο Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη και για κάθε ισχύει ( ) f + + = 3 i. α) Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο της = είναι παράλληλη στον '. β) Να βρείτε την f '( 3 ). γ) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας ε της C f στο σηµείο µε τετµηµένη =3. ii. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της C f ' στο σηµείο της Α(,) έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο µε 4 9. g 3 =, να iii. Αν για την παραγωγίσιµη συνάρτηση g για κάθε R ισχύει ότι ( ) αποδείξετε ότι η ευθεία ε είναι εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της g( 3 ).
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ Ο ΑΠΡΙΛΙΟΣ A. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, β]. Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να δείξετε ότι f (t) dt= G( β) G( α). β α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα, ισχύει f ()d = f () + c, c IR. β. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R, τότε f ()d= f () f ()d. γ. Αν η f είναι µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα και α είναι ένα σηµείο του, τότε ισχύει f(t) dt = f() f(α), για κάθε. α δ. Αν f είναι µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα και α είναι ένα σηµείο του, τότε g() ' α ΘΕΜΑ Ο ( ) f(t)dt=f g() g () ίνεται συνάρτηση f : π R R µε συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει: f ( ) = f = π ( f + f '' ) συν d= 4. και ( ) ( ) A) Να βρείτε: την τιµή f (), B) Αν για µια συνάρτηση f είναι συνεχής για κάθε R *, να αποδείξετε ότι α a a a f d f ( ) d =
ΘΕΜΑ 3 Ο Α) ίνεται η συνάρτηση: ( ) ln t ln t ln f = dt dt t+ + t+ α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f και να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. β) Να υπολογίστε το ολοκλήρωµα: ln t ln t I = dt+ dt t+ t+ Β) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση: f ( ) = t 4 dt t + Γ) ίνεται η συνάρτηση : ( ) ( ) ηµ, µε R. f = t t dt Να µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα. ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω µία συνάρτηση f :(, + ) R η οποία είναι συνεχής και ισχύει: ( ) α) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (,+ ) 5 f = e γ) Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. β) Να δείξετε ( ) f f dt = t t Β) Να υπολογίσετε το όριο: lim t e dt
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ Ο + Έστω η συνάρτηση f ( ) =. i. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να βρείτε το σύνολο των τιµών της f. iii. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της f. ΘΕΜΑ Ο ίνεται η συνάρτηση ( ) f = e α. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία, την κυρτότητα και να βρείτε τα ακρότατα αυτής. β. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f. γ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης a e = για a> e. ΘΕΜΑ 3 Ο Α. Έστω η συνάρτηση f ( ) ln. της f. B. ίνεται η συνάρτηση g( ) ( ) = + Να λύσετε την εξίσωση f ( ) ln = + ln. = και να βρείτε το πρόσηµο i) Να µελετήσετε τη g ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η g είναι κυρτή ή κοίλη και τα σηµεία καµπής της C g.
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ Ο A. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η f είναι συνεχής στο και f () = για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα. Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () = g () για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε ισχύει f() = g() για κάθε. β. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δε µηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα. γ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και δεν είναι αντιστρέψιµη, τότε υπάρχει κλειστό διάστηµα [α, β], στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Rolle. δ. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της.
ΘΕΜΑ Ο Α. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f : Να αποδείξετε ότι: R R για την οποία ισχύει ( ) 6 f = e και f ( 3 ) = e 3. α) υπάρχει ένα τουλάχιστον (,3) τέτοιο, ώστε: f '( ) = 3 f ( ) β) υπάρχει ένα τουλάχιστον (,3) τέτοιο, ώστε: f ( ) f ( ) ' + = Β. Αν < a< β, να αποδείξετε ότι: a β a β β a ea< a β < e β ΘΕΜΑ 3 Ο ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f : αποδείξετε ότι: ξ, ξ,5, µε ξ ξ, α) υπάρχουν ( ) β) ισχύει ότι f ( 3) < 4, γ) η εξίσωση ( ) ( ) ( ) R R µε f ( ) + f ( 5) = 4 f ( 3 ), f ( 3) > και f ''( ) <. Να < ώστε f ( ξ ) = f ( ξ ) + f ( ) ' ' 3, f + 3 f 3 = + έχει µια τουλάχιστον λύση στο (,3). ΘΕΜΑ 4 Ο ίνεται συνάρτηση f : για τον οποίο ο αριθµός α) f ( ) f ( ) 3 = +, R R µε συνεχή πρώτη παράγωγο και ο µιγαδικός αριθµός : z= f ( 3) + f ( ) i z+ i w= z β) υπάρχουν ( ) ώστε f ( ) f ( ),3, ' + ' =, γ) υπάρχει ξ ( ) ώστε f ( ξ) f ( ),3, = +, δ) υπάρχουν ξ ξ ( ),,3, ώστε : f ' + = είναι πραγµατικός. Να αποδείξετε ότι: ( ξ ) f '( ξ )
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ Ο Α. Έστω η συνάρτηση f ( ) = ηµ. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο IR και ισχύει f ' = συν ( ). Α. Έστω η συνάρτηση f µε f ( ) =. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (,+ ) ισχύει: f ( ) ' = Α.3 Πότε µια συνάρτηση f : A IRλέγεται ' ' ; και Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο [α, β] και συνεχής στο (α,β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] µία µέγιστη τιµή. β. Αν z ένας µιγαδικός αριθµός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z = z ΘΕΜΑ Ο ίνονται µιγαδικοί αριθµοί z και w για τους οποίους ισχύει z = z 3i και w+ w Να βρείτε: 4 5 ( w w) = + i 35 3i i α) τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z β) τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w γ) την ελάχιστη τιµή του z w
ΘΕΜΑ 3 Ο A) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και =. ( ) f ηµ 3 lim = + να βρεθεί η τιµή της f στο B) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f : IR IR για την οποία ισχύει: f ηµ + f συν = ηµ + συν+ για κάθε R. ( ) ( ) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Α(,) να βρείτε: α) το σηµείο τοµής της C f µε τον άξονα y y β) την f () γ) το ( ) f + lim ηµ ΘΕΜΑ 4 Ο A) ίνεται συνάρτηση f( ) e. = Να αποδείξετε ότι υπάρχει: α) ένα τουλάχιστον σηµείο Α της C f µε τετµηµένη (,) είναι παράλληλη στην ευθεία ( J ): y+ = έτσι ώστε η εφαπτοµένη της C f στο Α να β) ένα τουλάχιστον σηµείο Β της C f µε τετµηµένη (,) ώστε η εφαπτοµένη της C f στο Β να τέµνει τον άξονα y y στο -6. B) ίνεται η γνησίως µονότονη συνάρτηση f : R R η οποία για κάθε, y R ικανοποιεί τη σχέση f ( f ( ) + y) = f ( + y) +. α) Να αποδειχθεί ότι f f ( ) β) Να βρεθεί ο τύπος της f. ( ) = +, R. γ) Να αποδειχθεί ότι η C f εφάπτεται της C g, όπου : g( ) = ln + 3, >
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) Α. ΘΕΜΑ Ο Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα[α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) δείξτε ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον (α, β) τέτοιος, ώστε f( ) = η. Β. i) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; ii) Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο, τότε δείξτε ότι είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Nα δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] µε f(α) < και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ) =, τότε κατ ανάγκη iii) f(β) >. ii) H εφαπτοµένη της y=ln στο o =e, διέρχεται από την αρχή των αξόνων ΘΕΜΑ Ο
α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο τιµή f ( ). 4 = και f ( ) ηµ για κάθε R, να βρεθεί η β) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα = [,4] µε f ( ) για κάθε. Αν 5 f > και f ( ) f ( ) f ( 3) f ( 4 ), f ( ξ ) = f ( ) f ( ). = να αποδειχθεί ότι: υπάρχει [ ] ξ, τέτοιο, ώστε α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ΘΕΜΑ 3 Ο f + ae = για f( ) R R για την οποία ισχύει: ( ) κάθε R Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε: i) να βρείτε την τιµή του a R, ii) να βρείτε την f '(). β) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: ( ) 3 f ( ) + 8 = + + 4 f( ) για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y = 4 εφάπτεται στη C f και να βρείτε το σηµείο επαφής. ΘΕΜΑ 4 Ο ίνεται συνεχής συνάρτηση :[,] για τους οποίους ισχύει z + w = z w f R και οι µιγαδικοί αριθµοί: z = f() + i και w = + f() i α) Να αποδείξετε ότι f ( ) + f ( ) =. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα [ ] γ) ίνεται η συνάρτηση: g ( ) = f( ) + ( f( + ),. i) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της g. ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέµνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σηµείο.
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ Ο Α. α) Τι ονοµάζουµε συζυγή και τι µέτρο του µιγαδικού αριθµού z= a+ βi ; β) Αν z, z C, να αποδείξετε ότι zz = z z. Β. Τι παριστάνουν οι εξισώσεις z z= a,α Rκαι z z= z z, όπου z, z, z είναι σταθεροί µιγαδικοί αριθµοί και z z ; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ). α) Αν z =α, τότε a z=, a>. z β) Αν z= w, ττε ό z= w. ΘΕΜΑ Ο z + z i ίνεται ο µιγαδικός: f( z) =, z C {} i α) Να βρείτε τα Re( f( z)),im( f( z )), όταν z= iκαι να υπολογίσετε τον f ( z ) β) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο της εικόνας Μ του z, αν: i) f( z) I ii) f( z) R γ) Να αποδείξετε ότι f ( z) = z+ i..
ΘΕΜΑ 3 Ο A) ίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: 3 7 f ( ) + f( ) = 3 για κάθε R α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι << >> β) να βρεθεί ο τύπος της B) ίνεται η συνάρτηση f. e f( ) = ln. e + α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι << >>. β) Να οριστεί η f. ΘΕΜΑ 4 Ο Α) Αν z µιγαδικός αριθµός µε z=α+βi i ( α, β R ) να αποδείξετε ότι ισχύουν: z i z i = z Rκαι < β > z+ i z+ i Β) Αν για τους µιγαδικούς 3 z, z, z,..., z ν i ισχύει: z+ z+ z3 +... + z i να αποδείξετε ότι: α. Κανένας από τους 3 ν z, z, z,..., z ν δεν είναι πραγµατικός. β. z+ z+ z3+... + zν i < z + z + z +... + z + i 3 ν
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ Ο Α. α) Τι ονοµάζουµε συζυγή και τι µέτρο του µιγαδικού αριθµού z= a+ βi ; β) Αν z, z C, να αποδείξετε ότι zz = z z. Β. α) Τι παριστάνουν οι εξισώσεις z z= aκαι z z= z z, όπου z, z, z είναι σταθεροί µιγαδικοί αριθµοί και z z ; β) Να συµπληρώσετε τις προτάσεις: i) z+ z=... και z z=... ii) z R z=... και... z I..., όπου I συµβολίζει το σύνολο των φανταστικών αριθµών. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ). α) Αν z =α, τότε a z=, a>. z β) Αν z = w, τότε z= w. γ) Ο αριθµός z w παριστάνει την απόσταση των εικόνων των µιγαδικών z και w. δ) Για κάθε z C ισχύει ότι z R z= z. z + ίνεται ο µιγαδικός: f ( z) =, z C {} i z i ΘΕΜΑ Ο α) Να βρείτε τα Re( f ( z)), Im( f ( z )), όταν z = i και να υπολογίσετε τον f ( z ) β) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο της εικόνας Μ του z, αν: f z I i) ( ) ii) f ( z) R γ) Να αποδείξετε ότι f ( z) = z+ i..
ΘΕΜΑ 3 Ο e ίνεται η συνάρτηση f ( ) = ln. e + α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι << >>. β) Να οριστεί η f. ΘΕΜΑ 4 Ο 3 Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z = + i και z = + z α) Αποδείξτε ότι: i) + z + z = ii) 3 z = iii) z ν + z ν +, z ν z ν ( ν = = Ν ) β) Να γράψετε στη µορφή a+ βi τους 36 z και z 9.
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ Ο Α. α) Πότε µια συνάρτηση f : A R λέγεται γνησίως αύξουσα στο Α; β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα και f ( ), να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του ΘΕΜΑ Ο ίνεται η συνάρτηση f ( ) = + ln. i. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία. ii. Να µελετήσετε την f ως προς τα κοίλα. iii. Να βρείτε τα A= lim f ( ) και B= lim f ( ). + iv. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f. v. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης + = ln. ΘΕΜΑ 3 Ο 6 = ln + + + i. Να βρείτε την f. ii. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία. iii. Να βρείτε το πλήθος των οριζόντιων εφαπτοµένων της C f. ίνεται η συνάρτηση f ( ) iv. Να βρείτε τις ασύµπτωτες της C f. ΘΕΜΑ 4 Ο ίνεται η συνάρτηση f : * R R µε τύπο ( ) f = e για κάθε i) Να βρείτε τα όρια lim f ( ) και f ( ) ii) lim. + R *. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = 3έχει ακριβώς δύο ρίζες.
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ Ο A. α) Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Fermat. B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν για µια συνάρτηση f : A R µέγιστη τιµή της f. ισχύει ( ) f κ όπου κ R για κάθε A, τότε το κ είναι η β) Αν για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστηµα ισχύει f '( ) g '( ) σηµείο του, τότε f ( ) = g( ) για κάθε. = για κάθε εσωτερικό ΘΕΜΑ Ο Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα το σύνολο τιµών και τις ασύµπτωτες: f ( ) + ln =. ΘΕΜΑ 3 Ο ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e + [ ],,. i) Nα τη µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να βρείτε το πρόσηµό της. iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα [ ] iv) Να αποδείξετε ότι για κάθε (, ) ισχύει e < +.,.
ΘΕΜΑ 4 Ο Για µια συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιµη στο R ισχύει ( ) β ( ) γ ( ) 3 3 f f f + + = + 6 για κάθε R, όπου α,β,γ R µε αποδείξετε ότι: i) η f δεν έχει ακρότατα, ii) η f είναι γνησίως αύξουσα, iii) υπάρχει µοναδική ρίζα της εξίσωσης f ( ) = στο διάστηµα ( ),. β < 3 γ. Να ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα το σύνολο τιµών και τις ασύµπτωτες. ( ) = ( ln ) f ) Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) f = + a e, R. Αν η ευθεία y= + εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο Μ (,f() τότε: α) Να αποδείξετε ότι:α= β) Να µελετήσετε τη µονοτονία της f. γ) Να υπολογίσετε τα όρια: lim f i. ( ) ii. lim f ( ) + δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = 7 έχει ακριβώς µια λύση στο R.