iz tegasledi splošnaformolaza dolžino nastalih daljic:

Σχετικά έγγραφα
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Tretja vaja iz matematike 1

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Kotne in krožne funkcije

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

Kotni funkciji sinus in kosinus

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

VEKTORJI. Operacije z vektorji

Iteracije in fraktali. [s programom MATHEMATICA R ]

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

8. Diskretni LTI sistemi

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

1. Trikotniki hitrosti

Splošno o interpolaciji

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης Αξίωση αποζημίωσης Έντυπο Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

PROCESIRANJE SIGNALOV

1 Fibonaccijeva stevila

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Osnove matematične analize 2016/17

Letnik 0, številka 5

IZVODI ZADACI (I deo)

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

diferencialne enačbe - nadaljevanje

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

Algebraične strukture

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Reševanje sistema linearnih

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

Funkcije več spremenljivk

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

vezani ekstremi funkcij

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads.

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Dragi polinom, kje so tvoje ničle?

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Osnove elektrotehnike uvod

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare

K U P M Metka Jemec. Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1

Arjana Žitnik. Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013

POSEBNI PITAGOREJSKI TRIKOTNIKI

TRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

Deljivost naravnih števil

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Matematika. Funkcije in enačbe

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

POLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ

Transcript:

FRAKTALI Da obstaja na Svetu mnogo zapletenega, čudežnega a hkrati tudi nepredstavljivegavemože dolgo. In to definicijo dobi tudi fraktal. Fraktal je za nas nedoumljiva in zapletenastvar, vendarje pot, ki vodi do njegačisto lahka. Izpeljana je iz logike, ki pa je navsezadnje samo kmečka pamet. Če bi naredili najbolj preprostodefinicijo fraktala,bi se glasila nekakotakole: Fraktal je nekaj kar se ponavlja v neskončnost.nekaj, kar se nikoli ne končain se spreminjaz istim procesomznovain znova. Ko so geometrijski liki, in njihovo spreminjanje še vidni očem, je vse v najlepšemredu. Ko pa se morato nadaljevati v mislih, pa nemalokratpride do zapletov. In to je podobnokot velikost vesolja, ali atoma.za nas enostavno nepredstavljivo. In ta nepredstavljivostje botrovala,da so matematikes takimi hipotezami, ki so živeli konec19. in v začetku20. stoletja, imeli takorekočza bedakein da je frtaktal le plod domišlije in pojav brez vrednosti. To so na svoji koži občutili kar nekateri. Če pogledamobolj zapleteno definicijo fraktala, spoznamoda je to temao kateri bi se dalo razpravljati in o njej premišlevati celo življenje. A to se za enkratše ne izplača,saj uporabnost,ki jo dajejo fraktali ni na tako visoki ravni kot recimo pitagorov izrek, množenje ali pa število Π (pi). Realnost. Mi uporabljamo za osnovno geometrijo evklidsko geometrijo - to je navadna geometrija, ki jo pretežnouporabljamo.nekaterih reealnih stvari na Svetu, če gledamočisto do potankosti, pa ne moremorazložiti s to evklidsko geometrijo. Tej nalogi ni kos niti študij oblik, prav tako pa odpadeneevklidskageometrija - hiperbolična in eliptična geometrija. Zato na sceno vstopi t.i. fraktalna geometrija. PRVI FRAKTAL Za prvi znani fraktal danes velja Cantorjev prah, ki je dobil ime po njegovemodkritelju nemškemumatematikugeorgucantorju, ki ga je objavil l. 1883. Ta fraktal je eden izmed najlažjih in vsaj jaz sem na njem najlažje razumel pojem fraktal. Cantorje prah sestavimo s preprostim rekurzivnim postopkom.ačnemos poljubno izbranodaljico, ki pa ima končno dolžino. Leto razdelimo na tri enakedele, pri tempa še odstranimosrednjo od dobljenih daljic, obehkrajnih daljic pa ne premikamoali spreminjamo.ta isti postopek zopet uporabimo na dobljenih dveh daljicah, ki nam pri vsaki da štiri nove, krajšedaljice. Postopekponavljamov nedogled,v neskončnost.

Množica, proti katri nas pelje ta ponavljajoči se postopekje točkasta, vsebuje samo točke. Ta množica je Cantorjev prah. To je fraktal. Če to vse izračunamona podlagi računa: X - dolžinadaljice n - stopnja X 1 =1 X 2 = 2 / 3 (ko srednjaodpade)x 3 = 4 / 9 (3. faza =>4 daljice) iz tegasledi splošnaformolaza dolžino nastalih daljic: X n = 2 / 3 X n-1, kar pa je enako( 2 / 3 ) n-1 Torej, če vse izračunamona podlagi računa,dobimo,da je skupnadolžina vseh Cantorjevih drobcevenakanič. To pomeni da je dolžina daljice enakanič. Ta fraktal je kjlub svoji preprostosti pomembenfraktal in je osnovamnogihdrugih fraktalov, meddrugimtudi Kochovesnežinke. KOCHOVA SNEŽINKA Kochovasnežinkaje še en fraktal iz preloma19. in 20. stoletja. L. 1904 je švedski matematik Helge von Koch predstavil lik, ki se ga je oprijelo ime Kochovasnežinkazaradi njegoverazvejaneoblike in je fraktal. Koch je dobil lik na naslednji način: najprej vzameš enakostranični trikotnik s poljubno dolžino stranic. Nato ta trikotnik prekriješ z enakim a okoli obrnjenim trikotnikom.potemto naredišna vsakemtrikotnikuin trikotničku, ki ga dobiš v prejšnji stopnji in tako se tudi tu nadaljuje v neskončnost.na skici je primerza prveštiri stopnjefraktala: Kochova snežinka pa se razlikuje od Cantorjevegaprahu. Če smo pri daljici merili dolžino, ki nastane,pri snežinki merimoobseglika. Če vzamemo,da je dolžina straniceenakostraničnegatrikotnika1, da je K obseglika, n pa stopnja oziromafaza, lahko iz tegadobimonekaj podatkov: K 1 =3 K 2 =3 4 / 3 K 3 =3 16 / 9

Iz tegaizhaja enačbaoziromaformulaza splošenobseg: K n = 4 / 3 K n-1 kar pa je enako3 ( 4 / 3 ) n-1 In že iz tegazgoraj napisanegalahko razberemo,da ima ta fraktal neskončen obseg,saj obsegk naraščaz vrednostjoštevila n. Pri temliku pa se da iračunati še eno stvarin se z njo prepricati v neskončnost. To je ploščina. Prav pri Kochku je znanostsprejela njegovo odkritje kot bizarendomislek in čistadomišlija. Zaradi lastnosti lika, ki so bile za tedanjoznanostnenavadnein čudne, se je fraktala oprijelo ime oziromaoznaka patološkakrivulja. Toda čez devedesetlet je krivulja dobila pomembnomesto tako v višji, kot v uporabnimatematiki. TRIKOTNIK IN PREPROGA Naslednji znanstvenik, ki je odkril nov fraktal je bil poljski matematik Waclaw Sierpinski. Ta je leta 1915odkril nov fraktal. Tudi on je za izhodišče vzel enakostranični trikotnik, vendarje nadaljeval po drugi poti. V začetni lik je na sredopostavil prav tako enakostranični trikotnik, ki je obrnjenin ki zajema srednjo četrtino lika. Ta košček odpade, ostanejo pa še trije enakostranični trikotniki, v katerih ves postopek ponovi in tako se počasi tvori na kupe trikotničkov, ki jih deliš še naprej in naprej. Ta fraktal so poimenovali kar Trikotnik Sierpinskega.Na sliki so narejeneprveštiri faze: Že na pogledse vidi, da ostajačedaljemanj lika. Če vzamemo,da je T ploščina trikotničkov, n pa stopnjav kateri je lik, lahko za računi sklepamonaslednje: T1=1 T2=3/4 T3=9/16 itd Iz tegalahko izpeljemosplošnoformulo, ki gre takole: Tn=3/4Tn-1 kar pa je popolnomaenako(3/4)n-1

Ploščinatrikotnikaje torej, kakor sledi iz računa,nič. Sierpinki je naredil še en zelo podobenfraktal, ki se razlikuje od njegovega trikotnika le po tem, da je osnovalik kvadrat.od zanimiveoblike prihaja tudi ime PreprogaSerepinskega Podobnokot pri trikotniku, se na podobennačin tudi pri tem fraktalu dokaže, da je ploščina lika nič. Za lažjo presdtavosen nalimal tudi skico prvih štirih faz: PREHOD V 3D Naslednji pomembenfraktal, ki pa je prvi trodimenzinalen lik že na samem začetku. Ta fraktal je odkril avstrijski matematik Karel Menger in je tridemenzionalna izpeljanka preproge Sierepinskega. Kocko razdelimo na sedemindvajset manjših kockic in poberemo ven sedem srednjih. Zatem ponavljamopostopekv ostalih dvajsetihkockahin po neskončnofazahdobimo fraktal, ki je dobil ime Mengerjevagoba. Stranskaploskev nastalegalika je preproga Sierepinskega. Po nekaj računih in logičnih sklepanjih dobimo podatek,da je prostorninategafraktalazopetnič. Telo po nekaj fazah:

FRAKTALNA GEOMETRIJA Nasledji fraktali, ki jih je odkril Mandelbrot, predstavljajo začetek fraktalne geometrije. V začetku sedemdesetih let tega stoletja je francoski matematik poljskega rodu Benoit Mandelbrot, začel objavljati prve rezultate svojih raziskavs področja fraktalov. Svojo knjigo o fraktalih, ki jo je izdal leta 1975, je žačel z vprašanjemkoliko je dolgabritanskaobala.ugotovil je, da je meritev odvisnaod natančnostiin če hočemo,da je le-ta neizmernovelika, odgovorana dolžino sploh ni. Vsak koščekobaleje celotanekaterihdrugih delcevin lt-ti so zopetle celotadrugih, šr manjših delcev.in ker se to ponavlja v neskončnost,jo je v celoti nemogočeizmeriti. Mandelbrotje bil prvi, ki je naredil bolj natančno definicijo fraktalov. DELITEV FRAKTALOV Do njegovega časa so odkrivali bolj enostavne fraktale, ki jih je Mandelbrot poimenoval za t.i. linearnefraktale. Štos teh je, da pri poljubni povečavi vidiš še vednoisto kot na začetku.ker pa sta v letih po prvi svetovni vojni odkrivalafraktaleše dva matematikain ker so bili le-ti kar dosti drugačni od ostalih, pa je on odprl novo skupino, ki jo je poimenoval za t.i. nelinearne fraktale. Pri teh pa pri poljubni povečavi ni nujno da vidimo tisto, kar je na žačetku. Ta dva matematika sta bila Francoza Gaston Julia in Pierre Fatou. Njuni fraktali so se močno razlikovali od prejšnjih. To in pa dejsvo, da je bil Julia Mandelbrotovučitelj, je spodbudilo slednjega,da se je tudi on posvetil tej zanimivi zvrsti. Francoza staza svojeteorije porabila enačbo,ki se glasi: Z n+1 =Z n 2 +C kjer je C konstantaiz množice kompleksnih števil, z pa spremenljivka. In nekatere rešitve in kombinacije spremenljivk so poimenovali Juliajeva množica. Te množice so med najbolj znanimi in najbolj zanimivimi fraktali fraktali, toliko različnih pa dobiš le, če spreminjaškonstantoali spremenljivko v prej omenjenienačbi:

MANDELBROTOVA MNOŽICA Mandelbrotpa je v drugi polovici sedemdesetihlet nadaljeval delo francoskih matematikovin kot plod tegadela je okoli leta 1980nastal najbolj znanfraktal Mandelbrotovamnožica. Že na pogled se namponuja dokaj lepa oblika, iz katerepa izrašča nešteto majhnih repkov in dokazati, da je ta množicafraktal je bilo zelo težko. To je uspelošelejaponskemumatematikushishikuri, ki je to dokazal šeleleta1991. Ta slika prikazujeeno izmedmandelbrotovihmnožic, ki ima enačbo: Z n+1 =Z n 2 +C. No, to pa je še enaod Mandelbrotovihmnožic. Ta pa ima enačbo: Z n+1 =Z n 4 +C

Še bolj znana kot Mandelbrotovamnožica sama, je slika povečavenjegove množice, ki je znanapo celemsvetu in je za večino ljudi prva asociacija ob besedifraktal. To je to:

Meni osebno je najbolj všeč serija slik iz Matematičko fizičkega lista, ki v nekaj potezah poveča Mandelbrotovo množico do čiste neraspoznavnosti. Če se še tako trudim, si ne morem zamisliti, kolikšen delec celotnega fraktala je recimo črna iglica na zadnji sliki. Kakor mi je všeč povečavafraktala, so mi všečtudi cele množice,ki imajo zanimivo obliko. Med mojimi najljubšimi oblikami so fraktali v obliki praproti in zgledajotako realistični.

Zelo so zanimive množice, ki so v neskončnost razvejane, kot kakšnečudnerastline. DIMENZIJE FRAKTALOV Priznati pa moram,da me zelo presenetilo in hkrati na nek način tudi očaralo, ko semsi prebral veliko o dimenzijahfraktalov. Kot vemoima točkadimenzijo nič, premicaoziromačrta ima dimenzijo ena, ravnina ima dve dimenziji, vsa telesapa imajo tri dimenzije. Fraktali pa imajo dimenzije nekje vmes,saj vemo da dimenzijo zračunamos tem,da damodva logaritmav ulomek. RecimoCantorjevprah,za kateregavelja splošnaformula: X n = 2 / 3 X n-1 in iz tegasledi, da je dimrnzija prahu: (log 2) / (log 3) =0.6309... Zanimivaje tudi dimenzija kochovesnežinke: K n = 4 / 3 K n-1 iz tegavidimo, da je dimenzija snežinke: (log 4) / (log 3) =1.2618... Pa tudi trikotnik Sierepinskega: (log 3) / (log 2) =1.5849... in njegovapreprogastazanimivi:

(log 8) / (log 3) =1.8928... Pri Mengerjevi gibi je dimenzija fraktalamanjšakot začetna3: (log 20) / (log 3) =2.7268... Mandelbrotova množica pa ima fraktalno dimenzijo 2, kar je ugotovil tisti kamikaze. Literatura: Viljko Domanjko- ftaktali, GEA september1998 Matematični priročnik, TehniškazaložbaSlovenije 1997 FranceKrižanič - temelji realnematematičneanalize, DZS 1990 Matematički fizički list, ZSJ ( založbasa juga) -? ustvaril BoštjanDobrovoljc, 1.c