Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp alocat: 8 minute In itemii -4 completati spatiile rezervate, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 = In desenul alaturat este reprezentat graficul functiei derivabile f : R R Scrieti in fiecare dintre casete cate unul dintre semnele >, < sau =, astfel incat propozitiile sa fie adevarate f ), f ), f ) y x 3 Incercuiti DA, daca rezultatul obtinut este corect si NU, daca rezultatul obtinut este incorect Un elev a utilizat teorema sinusurilor in triunghiul ABC cu laturile AB = 3 cm si AC = 5 cm si a obtinut sin ABC) sin ACB) = 3 5 DA NU A 3 B 5 C
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 4 In tabel sunt prezentate datele privind numarul de apartamente intr-o casa recent construita in dependenta de numarul de odai in apartamente: Nr de odai in apartament x i 3 4 5 6 Nr de apartamente in casa n i 5 3 8 4 6 3 Aflati moda M o si mediana M e ale acestei serii statistice M o = ; M e = 5 Scrieti numarul z = i) + 4i in forma trigonometrica ) i) + 4i = ) r = z = 3) φ = argz = 4) z = rcos φ + i sin φ) = 6 Fanul a fost depozitat intr-un stog de forma reprezentata in desen figura este compusa din doua prisme drepte) Utilizand datele din desen, calculati masa fanului din stog, daca masa m 3 de fan este egala cu 85 kg 3 6 7 Rezolvati in R inecuatia log x + x + 8 Incercuiti litera A, daca propozitia este adevarata sau litera F, daca propozitia este falsa Argumentati raspunsul ln 3 e x e x + dx > 4 A F 9 Punctele A; 3) si B 3; ) apartin unui cerc Calculati raza cercului daca se stie ca centrul acestuia apartine dreptei l : 4x + y 8 = Scrieti in caseta numarul, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata Dezvoltarea binomului 4 + 7 7) 5 admite termeni rationali Argumentati raspunsul
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 3 Determinati punctele critice ale functiei f : π ; π ) R, fx) = sin x 3 cos x + 7 Determinati valorile reale ale parametrului m, pentru care polinomul P X) = mx 3 m + )X m + )X + m admite trei radacini reale simple lg 4 = = lg 4 4 = 5 Raspuns: 5 Solutii f ) < in vecinatatea punctului x = functia f este strict descrescatoare), f ) = in punctul x = functia f poseda un maxim local), f ) > in vecinatatea punctului x = functia f este strict crescatoare) 3 Cum, conform teoremei sinusurilor AC sin ABC) = elevul a obtinut un rezultat incorect Raspuns: NU 4 M o = ; M e = 3 AB sin ACB) 5 sin ABC) = 3 sin ACB) sin ABC) sin ACB) = 5 3, 5 ) i) + 4i = i + i + 4i = i + 4i = i ) r = z = + = 4 = 3) φ = argz = π 4) z = rcos φ + i sin φ) = cos π + i sin π ) 6 Calculam volumul paralelipipedului dreptunghic de dimensiunile 6 3 : V = 6 3 = 36 m 3 ) Calculam volumul prismei triunghiulare drepte: Calculam volumul stogului: V = A b h = 6 = m3 ) V = V + V = 36 + = 48 m 3 ) Calculam masa fanului: Raspuns: 48 kg m = 85 48 = 48 kg)
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 4 { log x + x + > log x + 7 x + log x log x x > x > x > Raspuns: S = ) ; ; ] x x x > log x x > log x x > x ) ; ; ] 8 ln 3 e x e x + dx > 4 arctg 3 arctg > 4 Raspuns: A 9 Fie ecuatia cercului Ca, b): ln 3 π 3 > 4 de x ) e x + > 4 π > 3 4 x a) + y b) = R, arctge x ln 3 inegalitate justa > 4 unde a, b) centrul cercului, R raza lui Din enunt rezulta sistemul: Rezolvand sistemul se obtine: a + a + 9 6b + b = R 9 + 6a + a + b + b = R 4a + b = 8 8a 4b = 8a + b = 6 3 + a) + b) = R Raspuns: 3 a) + 3 b) = R A Ca, b)), 3 a) + b) = R B Ca, b)), 4a + b 8 = a, b) l) 8a 4b = 3 + a) + b) = R 4a + b = 8 a = 4 b = 8 7 + 9 = R Avem T k+ = Cna k n k b k sau T k+ = C5 k 4 5 k) 7 7 k Pentru ca T k+ Q este necesar si suficient ca k 5, 5 k 4, 4 k 7, k N Rezolvam sistemul: k 5 k {3; 7; ; 5} k {; 7; 4} k N a = 4 b = 8 R = 3 k = 7, de unde R = 3
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 5 Asadar, dezvoltarea binomului contine un singur termen rational Raspuns: Calculam derivata functiei: f x) = cos x x) 3 sin x) x) + = 4 cos x + 4 3 sin x Aflam punctele critice, rezolvand ecuatia f x) = 4 cos x + 4 3 sin x = 3 sin x + cos x = ecuatie omogena de gradul I) 3tgx + = tgx = 3 x = arctg ) + πn, n Z x = π 3 6 + πn, n Z x = π + πn, n Z Cum x π ; π ) avem: π π + πn π, n Z, + n, n Z, 5 n 7, n Z, de unde n = si n = Asadar, avem puncte critice: x = π ; x = 5π Raspuns: x = π ; x = 5π Daca m =, gradp = si polinomul nu poate avea trei radacini Fie m mx 3 m + )X m + )X + m = mx 3 + ) m + )X + X) = = mx + )X X + ) m + )XX + ) = X + )[mx mx + m mx X] = = X + )[mx Xm + ) + m] Asadar, P X) = X + ) [ mx Xm + ) + m ] = Avem x = Verificam daca x = este radacina a polinomului Qx) = mx m + )x + m: Q ) = m ) m + ) ) + m = m + m + ) + m = 4m +, Q ) = 4m + = m = 4 Asadar, m = nu verifica conditiilor problemei 4 Alte radacini reale, distincte, simple se obtin daca = m + ) 4m > sau m + m)m + + m) > 4m + > m > 4
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 6 Asadar, daca m 4 ) ; ; + ) polinomul P X) admite trei radacini reale simple Raspuns: m 4 ) ; ; + ) Scor maxim Nr puncte Nr 3 puncte Nr 3 puncte Nr 4 4 puncte Nr 5 4 puncte Nr 6 5 puncte Nr 7 7 puncte Nr 8 6 puncte Nr 9 8 puncte Nr 8 puncte Nr 7 puncte Nr 7 puncte total: 63 puncte Schema de notare