ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Αν z = α + βi και z = γ + δi τότε : z z = (α + βi)(γ + δi) = αγ + αδi + βγi - βδ = (αγ - βδ) + (βγ + αδ)i z = (αγ - βδ) - (βγ + αδ)i z = (α - βi) (γ - δi) = αγ - αδi - βγi - βδ = (αγ - βδ) - (βγ + αδ)i άρα z z = z z Α.. α - 4, β - 5, γ -. Β.. Γ. B.. ος τρόπος : z 6 = ( + i) 6 = [( + i) ] 8 = (i) 8 = 8 i 8 = 56. ος τρόπος : ρ = z = + i = + = π π z = συν + iημ π συνφ = ημφ = φ = 4 4 4 6 6 6 6 π π π π z = συν + iημ = συν + iημ 4 4 4 4 8 6π 6π 8 = συν + iημ = συν4π + iημ4π 4 4 = 56 + i = 56 ΘΕΜΑ ο Α. α. Πρέπει κ + λ - = λ + κ + λ = 4 ή λ = 4 - κ (). β. Πρέπει κ - κ - = κ - κ + κ - 5κ - = κ = ή κ = - Στη σχέση () για κ = έχουμε λ =. B. α. - - - Α = = = - - Ι β. Α 4 + Α + Α 999 = (Α ) + (Α ). Α + (Α ) 999. Α =. (-Ι) + (-Ι). Α + (-Ι) 999. Α = Ι + Ι. Α - Ι. Α = Ι
ΘΕΜΑ ο α. D f = (-, α) (α, +) και 4 D f άρα α = 4. β. Πρέπει λ εφαπτ. = λ ΑΜ = f (). - + ( - )( - α) - ( - + ) f () = = - α ( - α) - α - + α - + - - α + α - = = ( - α) ( - α) - α + α - α - f () = = = ( - α) (α - ) - - λ ΑΜ = = = - + α - = - α - α = γ. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε f ( ) =. ος τρόπος H f είναι παραγωγίσιμη στο [, ] και f () = f () =. Από Θ.Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε f ( ) =. ος τρόπος - α + α - f () = = - α + α - = ( - α) Πρέπει Δ (-α) - 4 (α - ) 4α - α + 8 α - α + (α - )(α - ), που ι σχύει διότι α >. ΘΕΜΑ 4 ο α. γραπτά. φορές = βαθμολογήσεις κάθε πακέτο έχει 4 φακέλους. 5 γραπτά = γραπτά : = πακέτα βαθμολόγησης Κόστος βαθμολόγησης =. δρχ. = 4 δρχ = 4 χιλ. δρχ. () Επίδομα =. βαθμολογητές = δρχ. = χιλ. δρχ. () πακέτα Η διόρθωση θα διαρκέσει = μέρες () βαθμολογητές 6 6 Οι επόπτες θα πάρουν 4 = δρχ. = χιλ.δρχ. (4)
Από (), () και (4) έχουμε : 6 6 Κ () = 4 + + = 4 + + σε χιλ. δρχ., > 6 6-6 β. Κ () = 4 + + = - =, > 4 + Κ () - + Κ () Ελάχιστο κόστος για = 4 βαθμολογητές. γ. Ελάχιστο κόστος = Κ (4) = 48 χιλ. δρχ. Από τη σχέση (), για = 4 έχουμε ότι η διόρθωση των γραπτών θα γίνει σε 5 μέρες.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. β. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Β.. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος. B.. Είναι γνησίως φθίνουσα στα [-,] και [,6], ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο [,]. ΘΕΜΑ ο - i α. Είναι Δ = -4 και z, = = - i. z = (- + i) = - i - = -i και z 4 = (-i) = -4 z = (- - i) = + i - = i και z 4 = (i) = -4 Άρα z - z = (-4) 5 - (-4) 5 =. β. v = 4k, kz z v = z 4k = (z 4 ) k = (-4) k IR v = 4k +, kz z v = z 4k+ = (z 4 ) k. z = -(-4) k + (-4) k i IR v = 4k +, kz z v = z 4k+ = (z 4 ) k. (z ) = -(-4) k i IR v = 4k +, kz z v = z 4k+ = (z 4 ) k. (z ) z = (-4) k - (-4) k i IR Άρα v = 4k, kιν* γ. Έχουμε συμμετρία ως προς τον άξονα - ΘΕΜΑ ο α. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με f () - e + κπ Είναι f () = e - + g () ημ και im g () = 5. H f είναι συνεχής στο =, άρα f () = im f () = im e - + g () ημ = im(e - ) + g () =, με κ Ζ. ημ im g () im ημ = + 5 =
β. im = im = im + g () - f () - f () e - + g () ημ e - ημ e - ημ = im + im g () im = + 5 =, e - e ημ διότι im = im = και im =. L'Hospital Άρα f () =. - h () - h () e f () - - f () γ. im = im = im e - f () Επομένως οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και h στα σημεία Α (, f ()) και Β (, h ()) αντίστοιχα είναι παράλληλες. ΘΕΜΑ 4 ο -6 4 76 α. Ρ () = 4 + = 4 - =. 5 5 5 4 - = ime im = f () = f (), άρα h () = f (). 5 5 (t - 6) t + - (t - 6) t + t - 6 4 4 β. Ρ (t) = 4 + = 5 t + 5 4 t + 4 5 5 t + - t (t - 6) - t + t + = 4 = 4 5 5 t + 4 t + 4 5 - t + t + 4 5 Ρ (t) > > - t + t + > 4 5 t + 4
- - 5 Δ = - 4 (-) 5 = 69 και t = = t 5 P (t) + - P (t) - απορρίπτεται + H τιμή του προϊόντος αυξάνεται όταν < t < 5. γ. Η τιμή του προϊόντος γίνεται μέγιστη τη χρονική στιγμή t = 5. δ. H τιμή του προϊόντος μειώνεται όταν t > 5. t - 6 t - 6 t im Ρ (t) = im 4 + = 4 + = 4 + 5 im im 5 t + t + t 4 4 76 = 4 + im = 4 + = 4 > = P () + t 5 + + + +
EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΙΟΥΛΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4. A.. α. λ β. β α β α β α f () d, f () d + β α g () d, γ. λ f () d + μ g () d. β α f () = c = B.. f () = (6 + 4) d = + 4 + c f () = + 4 + Β.. α. f () = ( A (, ) C f + 4 + ) d = + + + c c = f () = Άρα f () = + + +. β. (e + ) d = e + = e + - ( + ) = e - 4 4-4 d = γ. d = d 4 5 4 5 5 5 6 86 = = = π π (ημ + συν) d = -συν + ημ = 5. ΘΕΜΑ o α. z + 6 = 4 z + z + 6 = 6 z + (z + 6)(z + 6) = 6(z + )(z + ) zz + 6z + 6z + 56 = 6zz + 6z + 6z + 6-5zz = - 4 zz = 6 z = 6 z = 4
Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο (, ) και ακτίνα ρ = 4. β. Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, με Α (, ) και Β (, ), δηλαδή η διχοτόμος της γωνίας Oy, με εξίσωση y =. ΘΕΜΑ o - + - + - e e α. im = im =. - L'Hospital β. im f () = - - im( + α) = + α n( - ) im im n im + + + - + - e - + - + ( - e ) = im - = im L'Hospital + - + + - + - e - ( - )e - + ( - e ) - + f () = ( - e ) ( - ) = - + - + - e - e = - im im = - =. + + - + - e f () = + α Για να είναι η f συνεχής στο = πρέπει + α = α = -. γ. Η f είναι συνεχής στο [, ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο παραγωγισίμων f () = + α = - f () = ( - e ) n = Από Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε f (ξ) =, δηλαδή η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α (ξ, f (ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα.
ΘΕΜΑ 4 o tf (t) α. f () = + dt = + tf (t) dt, με > (). H f είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις των παραγωγίσιμων f () =, f () = και f () = tf (t) dt. β. () f () = + tf (t) dt Παραγωγίζοντας κατά μέλη έχουμε : : f () + f () = f () + f () = f () = f () = () + tf (t) dt f () + f () = + f () ( n) > n + c Από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = n + c f () =, με > n + Για = είναι f () = c =, άρα f () =, με >. n + ( n + ) - ( n + ) () - ( n + ) -n γ. f () = = = = + f () + - f () n + Ολικό μέγιστο f () = = - + n + im f () = im = - () f (A) = (-, ] + + + + n + im f () = im = im = () + + L'Hospital +
δ. Από () και () η C f έχει ασύμπτωτες τους άξονες και y y. f () > στο [, e] u = n και du = d e e n + ε. Ε = f () d = d = (u + )du = u = = e u = u = + u = + - = τ.μ.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Β. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ o α. f () = = e + (e + ) e - (e - ) (e + ) - (e - )(e + ) e (e + ) - e (e - ) e = = >, για κάθε IR. (e + ) (e + ) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, άρα και, δηλαδή αντιστρέψιμη. e - y = ye + y = e - y + = e - ye e + y + = e ( - y) e = - y - f (y) = + y + y = n - y + y n - y + - y - Άρα f () = n, (-, ). y + y > ( + y)( - y) > - y - y > y < y < - < y <
- + + β. f () = n = = =. - - = -u d = -du - - n - - = u = - = - u = + - u γ. I = f ()d = d = - n du - + u - n - - + u - u = du = - n du = - I I = I = - u + u ΘΕΜΑ o - z - + z ( - z)( - z) - ( + z)( + z) α. f () = = + z + z - z - z + zz - - z - z - zz -(z + z) -4Re(z) = = = + z + z + z + + -4Re( z) -4Re(z) -4Re(z) im f () = im = im = im = + + + z -4Re(z) -4Re(z) -4Re(z) im f () = im = im = im =. + z - - - - (z + )(z + ) > (z - )(z - ) β. z + > z - z + > z - zz + z + z + > zz - z - z + (z + z) > 4Re(z) > f () = -4Re(z) = -4Re(z) + z + z - = 4Re(z) - z z + z - -z z + f () + - + f ()
γ. -4Re(z) - z 4 z Re(z) Re(z) τοπ. μέγιστο f - z = = = - z + z z z -4Re(z) z -4 z Re(z) Re(z) τοπ. ελάχιστο f z = = = - z + z z z Δ = -, - z με f γν. αύξουσα -4Re(z) im f () = im = - - + z Re(z) f (Δ f συνεχής ) =, Re(z) z im f () = f - z = - z z f (Δ ), άρα η f δεν έχει ρίζες στο Δ Δ = - z, z με f γν. φθίνουσα Re(z) f - z = z Re(z) Re(z) f (Δ ) = -, Re(z) z z f z = - z f (Δ ), άρα η f έχει μοναδική ρίζα στο Δ Δ = z, + με f γν. αύξουσα f συνεχής Re(z) im f () = f z = - z z Re(z) f (Δ ) = -, -4Re(z) z im f () = im = + + + z f (Δ ), άρα η f δεν έχει ρίζες στο Δ Re(z) Re(z) Επομένως f (A) = f (Δ ) f (Δ ) f (Δ ) = -, z z και η f () = έχει μοναδική ρίζα στο ΙR.
ΘΕΜΑ 4 o α. f ()f () + (f ()) = f ()f () [f ()f ()] = f ()f () Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου f ()f () = c e και για = έχουμε f (). f () = c =. Άρα f ()f () = e f ()f () = e [f ()] = (e ) Από συνέπειες Θ.Μ.Τ. έχουμε f () = e + c και για = έχουμε f () = + c = c =. Επομένως f () = e. Η f δεν έχει ρίζες, άρα από συνέπειες του Θ. Bolzano η f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR και επειδή f () = >, θα είναι f () >, για κάθε IR. Επομένως f () = e. g (t) β. Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = - dt -. Είναι h () = - - g (t) + e t dt + f (t) H h είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών g (t) h () = - < και h () = - dt> διότι : t + e g (t) () t t t e e e + e + e t + e + e () g (t) Από (), () () t + e
g (t) g (t) t t + e + e Άρα - και - dt g (t) g (t) dt - dt dt t t + e + e g (t) - dt - h () > t + e επομένως από Θ. Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της h στο διάστημα (, ). g (t) g (t) g () h () = - - dt = - dt = - + e + e + e g () Από την () έχουμε - - t t g () - - + e + e h () h () >, για κάθε [, ] Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] και η εξίσωση h () = έχει μοναδική ρίζα στο [, ].
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Β. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Λάθος, δ. Σωστό. Γ. Σχολικό βιβλίο σελίδα 79 ΘΕΜΑ ο α) Είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο Ο (, ) και ακτίνα που βρίσκονται στον άξονα ή πάνω από τον άξονα. 4 β) z = z = 4 zz = 4 z = z y 4 w = z + = z + z = Re(z) z Όπως φαίνεται στο σχήμα το πραγματικό μέρος του z, άρα και η εικόνα του w κινείται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. B - y O A ΘΕΜΑ ο α. im f () = im + - = im + + + + - + + + + + - > + - = im = im + + + + + + = im = + + +
+ - f () + - β. im = im = im - - - γ. - + - = im = im - + - = - = λ - - < im f () - λ = im + - + = im + + - - = im - - + + + - + - + - < = im = im = = β - - + - - + - Άρα η πλάγια ασύμπτωτη της C f στο -, είναι η y = -. - + f () f () = + - = - = = - + + + f () + άρα f () + + f () = - + + f () = f () + f () =. f δ. Από (γ) ερώτημα έχουμε : = - f () + f () + d = - d = - nf () d = - nf () () f () = - nf () - nf () = - n( - ) = n( - ) ( + ) = n = n = n( + ). - ( - )( + ) -
ΘΕΜΑ 4 ο α. Η f είναι συνεχής στο IR και f (), για κάθε IR. Από συνέπειες Θ. Bolzano η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR. Επομένως η f είναι γνησίως μονότονη. β. Είναι f () = - f ( - ), για κάθε IR. Για = έχουμε f () = - f () f () = f () =. Άρα το = είναι ρίζα της f () = και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Επομένως η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα τη =. γ. Έστω ότι η C g τέμνει τον άξονα στο σημείο Α (, ). f ( ) Πρέπει g ( ) = = f ( ) =, άρα Α (, ) f ( ) f () - g () - g () f () f () im = im = im - - f () ( - ) f () f () = im = im im - f () - f () = f () =, f () f () f () - f () διότι im = im = f () και - - f συνεχής im = = f () im f () f () άρα g () = = εφ45, επομένως η εφαπτομένη της C g στο σημείο Α (, ), στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΛΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Β. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό. Γ. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 ΘΕΜΑ o α. Είναι f () f () f (). H f είναι παραγωγίσιμη στο IR, με f () = ( + m - 4-5 ) =. ln + m. lnm - 4. ln4-5. ln5 H f παρουσιάζει ελάχιστο στο =. Από Θ. Fermat, f () = ln + lnm - ln4 - ln5 = ln + lnm = ln4 + ln5 lnm = ln m = m =. β. Για m =, είναι f () = + - 4-5. f () E = f () d = f () d = ( + - 4-5 ) d 4 5 9 4 = + - - = + - - τ.μ. n n n4 n5 n n n4 n5 ΘΕΜΑ o α. z + = f (α) ΙR άρα z + = z + z + = z + z z z z z zz + z = z z + z zz - z z + z - z = zz(z - z) - (z - z) = (z - z) (zz - ) = z - z = ή zz - = z = z ή zz = Im(z) z ΙR ή z = z = z =.
f (β) + = f (α) άρα f (β) < f (α). β. z + = f (α) z + = f (α) z + + = f (α) z z z γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () =. f (α) + f (β). η g είναι συνεχής στο [-, ] ως πολυωνυμική. g (-) = - f (α) + f (β) g () = f (α) + f (β) g (-). g () = [- f (α) + f (β)]. [f (α) + f (β)] = f (β) - f (α) < από (β) από Θ. Bolzano η g () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-, ). ΘΕΜΑ 4 o Θέτω t = u. Είναι dt = du. α. f () = + f (t) dt Όταν t = τότε u = Όταν t = = + f (u) du τότε u = άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο (, +), ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. β. f () = + f (u) du = + f () f () - f () = f () e - f () e = e f () e = e - - - - - - - - - - Άρα f () e = e d = -e d = - e - () -e d - - - - = - e + e d = - e - e + c και - - - e - e + c f () = f () = - - + ce - e Για = είναι f () = + f (u) du = () = f () = - - + ce = c - c = c = () f () = - - + e f () = e - ( + ). ()
γ. f () = e - > για >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) f () =, άρα η f έχει μοναδική ρίζα στο [, + ) την =. + im im im e - = +, + e δ. f () = (e - - ) = + + + + + διότι im e = + και im = im = + + L' Hospital + e το im f () είναι κακώς ορισμένο διότι - δεν υπάρχει διάστημα της μορφής (-, α), με α ΙR, που να ορίζεται η f, αφού D = [, + ). ΣΧΟΛΙΟ : Το ότι ζητήθηκε να υπολογιστεί ένα όριο που ήταν κακώς ορισμένο είναι «περίεργο». Ίσως αγνοήθηκε ότι D f = [, + ). f e
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 6-7 - 5 ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Β.α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό, στ. Σωστό. ΘΕΜΑ ο α. Έστω z = + yi και z = α + βi. Τότε + α = 4 () z + z = 4 + 4i ( + α) + (y + β) = 4 + 4 i y + β = 4 () - α = 5 () z - z = 5 + 5i ( - α) + (y + β) = 5 + 5 i y + β = 5 (4) = Από (), () και από (), (4) α = Άρα z = + i και z = + i. y = β = β.i. Η εικόνα του μιγαδικού z βρίσκεται στον κυκλικό δίσκο με κέντρο Κ (, ) και ακτίνα ρ =, ενώ η εικόνα του μιγαδικού w βρίσκεται στον κυκλικό δίσκο με κέντρο Λ (, ) και ακτίνα R =. (ΚΛ) = ( - ) + ( - ) = = R + ρ, άρα οι κυκλικοί δίσκοι εφάπτονται εξωτερικά, δηλαδή υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί z, w, έτσι ώστε z = w (στο σχήμα η εικόνα τους είναι το κοινό σημείο των κυκλικών δίσκων). y A O y K M Λ Β ii. H μέγιστη τιμή του z - w είναι η απόσταση (ΑΒ), όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα και είναι ίση με R + ρ = 4.
ΘΕΜΑ ο α. Έστω ότι η f δεν είναι -. Τότε υπάρχουν α, β IR, με α < β και f (α) = f (β). Από Θ. Rolle στο [α, β], υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) =. Άτοπο διότι f (), για κάθε IR. Άρα η η f είναι -. β. Τα σημεία Α (, 5) και Β (-, ) είναι σημεία της C f άρα f () = 5 και f (-) =. f - (- 4 + f ( - 8)) = - άρα f (f - (- 4 + f ( - 8))) = f (-) -4 + f ( - 8) = f ( - 8) = 5 f ( - 8) = f () και επειδή η f είναι - θα είναι - 8 = = 9 =. γ. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [-, ] Από Θ. Μέσης τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον (-, ), τέτοιο ώστε f () - f (-) 5-4 f ( ) = = = = 668 και λ ε = - - (-) + 668, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ (, f ( )) της C f, στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι κάθετη στην ευθεία (ε). ΘΕΜΑ 4 ο f () - α.i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () =,. Είναι f () =. g () + και επειδή η f είναι συνεχής στο IR, θα είναι f () = im f () = im g ()+ = β. f () - f () g () + ii. f () = im = im = im g () + - = im img () + = 5 + = + λ f () im = im im + f () + λ f () + λ + λ = + + = f () f () f () + λ + λ im = = f () f () + + im im = λ + = 9 λ = 8 f () = f () =
γ. i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = f (). e -. Είναι g () = (f () - f ()). e - >, διότι f () > f (), για κάθε IR. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο IR. < g () < g () f (). e - <, άρα f () < και. f () > > g () > g () f (). e - >, άρα f () > και. f () > Επομένως. f () >, για κάθε. ii. Είναι f () - f () >, για κάθε IR. Άρα f () - f () d > f () d - f () d > f () - f () d > f () - f () > f () d < f (). f () d
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 5 ΙΟΥΛΙΟΥ 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα Β. α. ΣΩΣΤΟ, β. ΛΑΘΟΣ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΣΩΣΤΟ, ε. ΛΑΘΟΣ. ΘΕΜΑ o + + + e + e + e - + e + e α) f () = + = + + e + e + + e + e - e + e e - e = = < + + + e + e άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο IR. β) + + e + e - e + e e d = d = d f () + e + e + e e = +(e - ) d + e + e e = d + (e - ) d + e = + (e - ) n( + e ) + c
5 γ) Είναι άρα για είναι 6 5 5 5 6 6 6 5 6 και επειδή η f είναι γν. φθίνουσα f (5 ) f (6 ) () 7 Όμοια άρα για είναι 8 7 7 7 8 8 8 7 8 και επειδή η f είναι γν. φθίνουσα f (7 ) f (8 ) () (+) Από () και () f (5 ) + f (7 ) < f (6 ) + f (8 ). ΘΕΜΑ o α) (4 - z) = z (4 - z) = z 4 - z = z 4 - z = z 4 - z z 4 - z 4 - z zz 6-4z - 4z + zz = zz 4(z + z) = 6 Re(z) = 4 Re(z) = Άρα οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία =. β) i. Είναι f () = +. Επίσης f () = 6 + α και f () = 5. (ε) : y - f () = f (). ( - ) (ε) : y = 5 + α - 4 Α (, -) (ε) α = Για α = είναι (ε) : y = 5 -
y ii. Σχεδιάζοντας τη γραφική παράσταση της f, την ευθεία (ε) και την κατακόρυφη ευθεία = 5, 7 5 (, 7) το ζητούμενο εμβαδόν (γραμμοσκιασμένο) είναι : E = [f () - (5 - )] d 5 5 5 = ( + + - 5 + ) d = ( - 4 + 4) d - ( - ) 5 4 = ( - ) d = = - = τ.μ. 5 75 5 ΣΧΟΛΙΟ : Το ότι στην εκφώνηση της άσκησης για τον υπολογισμό του εμβαδού του χωρίου αναφερόταν και ο άξονας ήταν περιττό στοιχείο και μάλλον μπέρδευε τους μαθητές. O 5 ΘΕΜΑ 4 ο α) i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = ln, >. g () =, >. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. με τη g στο [, + ] Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, + ), τέτοιο ώστε f ( + ) - f () n( + ) - n g ( ) = = = n( + ) - n ( +) - Άρα = n( + ) - n. Αρκεί να δείξω ότι <, το οποίο ισχύει διότι <. Επομένως n( + ) - n <.
β) ii. f () = n( + ) - ( + ) n = n( + ) + - n - ( + ) + = n( + ) + - n - - + = n( + ) - n - - < + διότι n( + ) - n - < από α)i) ερώτημα και - < + Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ) n + (+ ) im n + = im + + n + = im L'Hospital + = im + = im = + + + α > α α + α α + γ) (α + ) = α n(α + ) = nα α n(α + ) = (α + ) nα α n(α + ) - (α + ) nα = f (α) =
Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f. + + + + im f () = im n( + ) - ( + ) n = - (- ) = + + im f () = im n( + ) - ( + ) n = im n( + ) - n - n = im n( + ) - n + - n + = im n - n + (β) = im n + - n = - (+ ) = - + Άρα f (A) = IR. Είναι f (A) άρα η f (α) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, +) και επειδή η f είναι - ως γνησίως φθίνουσα στο (, +), τότε η ρίζα αυτή είναι μοναδική.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46 Β. α. ΛΑΘΟΣ (π.χ. η f () = 5) β. ΛΑΘΟΣ γ. ΣΩΣΤΟ δ. ΣΩΣΤΟ ε. ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ ο = u ημ ημ ημu α. lim f () = lim = lim = lim = - - - - - u αν u - τότε u β. H f είναι συνεχής στο =, άρα lim f () = lim f (). lim - l f () = l im f () = im ( + α + βσυν) = β + + - + άρα β = Για > είναι f () = + α - βημ. π π π f = π + α - βημ = π α = β Επομένως α = β =. γ. π π f () d = ( + + συν) d = + + ημ π π = +. π
ΘΕΜΑ ο e α. f () = (e - e ln) = e -, > e e f () = e - = e + >, > άρα η f είναι γν. αύξουσα στο (, + ). f Για > f () > f () f () >, άρα η f είναι γν. αύξουσα στο (, + ). f β. Για < < f () < f () f () <, άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο (, ). + f () Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f () = e, άρα f () f () f () e, για κάθε >. γ. + + 4 f () d = f () d + f () d + + + + 4 f () d - f () d - f () d = + + + + 4 f () d + f () d - f () d = + + + 4 f () d - f () d =. + Προφανής λύση η = ().
Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με + 4 g () = f () d - f () d, >. + + 4 Είναι g () = f () d - f () d + διότι = f ( + ) - f ( > και = f ( + ) - f ( + ) > f στο (, + ) + < + f ( + ) < f ( + ) + ) f ( + ) - f ( + ) > Άρα η g είναι γν. αύξουσα στο (, + ) και η εξίσωση g () = έχει μια το πολύ ρίζα (). Από () και () προκύπτει ότι η g () = έχει μοναδική ρίζα τη =. ΘΕΜΑ 4 ο α. Είναι z = α + βi και z - z = γ ΙR z = γ + α + βi. z = α + γ + βi = α + α - αβi + γ + αγ - βγi - z - α + βi + z + α - βi (α + γ + βi)( + α - βi) = - α + βi (α + α + β + γ + αγ - ) + (β - βγ)i = α + α + β + γ + αγ - = () β β - βγ = βγ = β γ =. + βi + αβi + β - + α - βi = Άρα z - z =.
β. γ = () α + α + β + + α - = α + β + 4α = C : + y + 4 = A + B - 4Γ = 6 > άρα ο C είναι κύκλος με κέντρο Κ (-, ) και ακτίνα ρ =. A K O -4 - C Είναι z = α + βi και α + β + 4α =, άρα η εικόνα του z κινείται στον κύκλο C. Tα σημεία Α (-4, ) και Ο (, ) εξαιρούνται διότι β. Άρα ο ζητούμενος γ.τ. είναι ο κύκλο ς C χωρίς τα σημεία Α και Ο. γ. z = (α + βi) = α - β + αβi z Ι Re(z ) = α - β = α = β και επειδή αβ >, θα είναι α = β (). Είναι α + β + 4α = α + 4α = α(α + ) = και επειδή αβ >, θα είναι α + = α = -. Από () έχουμε α = β = -, άρα z = - - i. (z + + i) = (- - i + + i) = (- - i) = ( + i) = ( + i) = (i) (z + - i) = (- + i + - i) = (- + i) = ( - i) = ( - i) = (-i) = (i) Άρα (z + + i) - (z + - i) = (i) - (i) =.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 47 Β. α. Σωστό β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ ο α. ος τρόπος + i Αν z = είναι η μια ρίζα της εξίσωσης z + βz + γ =, + i η άλλη ρίζα είναι η z =. Τύποι Vieta + i - i S = z + z = + = -β -β S = = = -β α -β = β = - + i - i + Ρ = z z = = = 4 γ γ Ρ = = = γ α γ =
ος τρόπος + i Αν z = + i + i + β + γ = + i - + i + β + γ = 4 - + i β + β i + + γ = - + i + β + β i + γ = (β + γ - ) + (β + ) = β = - β + γ - = είναι η ρίζα της εξίσωσης z + βz + γ =, τότε β = - γ = β + = β + γ - = β. Το z είναι ρίζα της εξίσωσης z - z + =, άρα z - z + = oς τρόπος (z + )(z - z + ) = z + = oς τρόπος z - z + = z = z - () () z = z - - z z = - () z = z - z z = - oς τρόπος z (z - ) = - z - z + = z z = - z = z - oς 4 τρόπος + i z = ( + i ) + i + ( i) + ( i) = = 8 8 + i - 9 - i -8 = = = - 8 8 z = -
γ. w = z - z w = Im(z ) i w = i w = Άρα ο γ.τ. των εικόνων του w είναι ο κύκλος με κέντρο Ο (, ) και ακτίνα ρ =. - α. f () = ( - n) = - =, > ΘΕΜΑ ο f () = > - = = = + f () - + f () Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f () =, άρα f () f () f (), για κάθε >. β. im f () = im( - n) = + + + άρα έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = ( y y). f () - n n im = im = im - = +, διότι + + + n ( n) im = im = im = και im = +. L'Hospital + () + + + άρα δεν έχει οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες. + + n γ.i. im g () = im = im = im = im = - + + L'Hospital + + + f () f () - - g () = k Για να είναι η g συνεχής στο = πρέπει im g () = g () k = -. +
γ.ii. η g είναι συνεχής στο [, e] g () = - < g () g(e) < ne g (e) = = > f (e) e - Από Θ. Βοlzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της g () = στο (, e). ΘΕΜΑ 4 ο α. t - t - e [f (t) + F (t)] dt = e [F (t) + F (t)] dt F () = f () d = f () t - t - = [e F (t) + e F (t)] dt t - = [e F (t)] dt t - = e F (t) - = e F () - e F () - = F () - e = F () β. Για > είναι : F () h () = t f (t)dt F () t f (t)dt - F () t f (t)dt = t f (t)dt f () t f (t)dt - F () f () = t f (t) dt f () t f (t)dt - F () = <, διότι t f (t)dt
γ. f () > t f (t)dt > Θεωρούμε τη συνάρτηση φ, με φ () = t f (t)dt - F (), Είναι φ () = t f (t)dt - F () = f () - F () - F () = f () - F () - f () = - F () < διότι f () > και F () = f (t)dt >, για > Επομένως η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ) Για > φ φ () < φ () t f (t)dt - F () < h F () f (t)dt > h () < h () < < t f (t)dt t f (t)dt και επειδή t f (t)dt >, αφού f () > και > t f (t)dt f (t)dt < t f (t)dt t f (t)dt f (t)dt < t f (t)dt F () F () δ. h () = = t f (t)dt = () t f (t)dt Είναι F (t)dt = (t) F (t)dt = t F (t) - t F (t)dt () F () F () = F () - t f (t)dt = F ( ) - =
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 9 ΙΟΥΛΙΟΥ 9 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 88 Β. α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ ο α. Αν z = + yi, τότε ( - i)z + ( + i)z - 8 = ( - i)( + yi) + ( + i)( - yi) - 8 = +yi - i + y + - yi + i + y - 8 = 4 + y - 8 = y = -4 + 8 y = - + 4 () άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία (ε) : y = - + 4. β. Από τη σχέση () για y = έχουμε =, άρα z = Από τη σχέση () για = έχουμε y = 4, άρα z = 4i γ. z + z + z - z = + 4i + - 4i = + 4 + + (-4) = 4 + 6 + 4 + 6 = 4
ΘΕΜΑ ο A. Έστω im f () = L IR. + f () και e = (λ + ) + + f () = n, > - + + (λ + ) + + + f () = u f () u L im e = im e = e ΙR + im f () = L ul (λ + ) + + άρα και im ΙR + + O παρονομαστής είναι πρώτου βαθμού πολυώνυμο άρα πρέπει και ο αριθμητής να είναι επίσης πρώτου βαθμού άρα λ + = λ = - B. Για λ = - είναι f () = n( + ) - n( + ), > - α. f () = - = >, για > -. + + ( + )( + ) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-, + ) im f () = im [ n( + ) - n( + )] = - + + - - im f () = im [ n( + ) - n( + )] + + + = u + + = im n = im nu = + + + im = u + + άρα το σύνολο τιμών της f είναι το (-, ). β. im f () = - και im f () =, άρα - + + η C f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την = - και η C f έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y = ( ) γ. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα f () = -α <. Το -α ανήκει στο σύνολο τιμών της f Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-, + ), άρα η εξίσωση f () = -α έχει μοναδική λύση, για κάθε α
ΘΕΜΑ 4 ο f () - 4f () + 4f () = ke, () f () - f () g () = -, e g () = - f () - f () e f () - f () e - f () - f () e = 6 - (e ) f () - f () - f () + 4f () = 6 - e f () - 4f () + 4f () = 6 - () e ke = 6 - = 6 - k e = (6 - k) () α. Η f είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών Η f είναι παραγωγίσιμη στο [, ] με g () = (6 - k) f () - f () f () - f () g () = = = e 4 f () - f () f () + e - f () g () = - = - 4 4 e e 4 e = - = - = 4 e Άρα η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. β. Από Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε () f (ξ) - 4f (ξ) + 4f (ξ) g (ξ) = 6ξ - = ξ e ξ 6ξe - f (ξ) + 4f (ξ) - 4f (ξ) = ξ f (ξ) + 4f (ξ) = 6ξe + 4f k = 6 () (ξ) ξ > γ. g (ξ) = (6 - k)ξ = 6 - k = k = 6 () g () =, για κάθε [, ], άρα g σταθερή στο [, ] και επειδή g () =, θα είναι g () =, για κάθε [, ]
δ. Για κάθε [, ] είναι : g () = - = = ( ) = f () - f () e f () - f () e f () e συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = + c e f () = ( + c)e (4) = (4) f () = ( + c)e e = ( + c)e c = (4) c = f () = e, [, ] ε. f () d = e = e d d e = d e e = - () d e e 4 = e - - d e e 4 4 = e - - e e e 4 4 4e - e - e + e 4 4 e - e 4 4 4 = e - - + = = 4 4
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α4. α. Λάθος, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Σωστό, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β Β. Τα z, z είναι ρίζες τις εξίσωσης z - Sz + P =, με S = z + z = - και P = z. z = 5 Η εξίσωση z +z + 5 = έχει διακρίνουσα -6 και ρίζες z = - + i και z = - - i. B. w - z + w - z = z - z w = + yi + yi + - i + + yi + + i = - + i + + i + + + y - 4y ( + ) + (y - ) + ( + ) + (y + ) = 4i + 4 + + + + y + 4y + y + 4-6 = + y + - = ( + ) + y = 4 + 4 = 4 άρα ο γ.τ. των εικόνων του w είναι ο κύκλος C με κέντρο Κ(-, ), ακτίνα ρ = 4 και εξίσωση ( + ) + y = 4. B. Είναι Re(w) + Im(w) = + y = y = - () ( + ) + y () = 4 + + + (-) - 4 = 5 + - = = - ή = 5. Για = - από την () προκύπτει y =, άρα w = - + i = z Για = 5 από την () προκύπτει y = 6 -, άρα w = - 6 i 5 5 5
Β4. Αν Α, Β είναι οι εικόνες των w και w αντίστοιχα, τότε w - w = (AB) = μήκος χορδής του κύκλου C Είναι w - w = 4 = ρ, άρα η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου C και το Κ μέσο του ΑΒ η λύση Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των w, w ισούται με το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους, άρα Αν Λ είναι η εικόνα Λ K του μιγαδικού w + w Ο τότε ΟΛ = ΟΑ + ΟΒ - - - A ΟΛ = ΟΚ = (-, ) C άρα Λ (-, ) και w + w = - και - w + w = - = η λύση Αν w = α + βi και w = γ + δi, τότε Α (α, β) και Β (γ, δ). Επίσης w + w = (α + γ) + (β + δ)i To K (-, ) είναι το μέσο του ΑΒ, άρα α + γ α + γ K = - = α + γ = - β + δ β + δ y K = = β + δ = Επομένως w + w = - και w + w = - = - B ΘΕΜΑ Γ Γ. im f () = im ( - ) n + - = + + + + + f άρα η C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την = (y y) f im f () = im ( - ) n + - = + άρα η C δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες f () ( - ) n + - - im = im = im n + - = + + + + άρα η C δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες f
- Γ. f () = n + + = n + -, > f () = + >, για >, άρα η f είναι γν.αύξουσα στο (, + ) f < < f () < f () f () <, άρα η f > f () > f () f () >, άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο (, ) f είναι γν. αύξουσα στο (, + ) Γ. Στο Δ = (, ) η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα Είναι + - f συνεχής im f () = +, im f () = f () = - άρα f (Δ ) = (-, +) και επειδή f (Δ ) η εξίσωση f () = έχει ακριβώς μια λύση στο Δ Στο Δ = [, +) η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα Είναι f () = -, im f () = + + άρα f (Δ ) = [-, +) και επειδή f (Δ ) η εξίσωση f () = έχει ακριβώς μια λύση στο Δ Άρα η εξίσωση f () = έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Γ4. Είναι f ( ) = f ( ) = με < <. η λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = f (), >. η h είναι συνεχής στο [, ] f () - f () η h είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με h () = h ( ) = h ( ) = από Θ. Rolle προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, ), τέτοιο ώστε h (ξ) = ξ f (ξ) - f (ξ) = ξ f (ξ) - f (ξ) = () ξ η λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () =. f () - f (), > η γ είναι συνεχής στο [, ], ως πράξεις συνεχών g ( ) = f ( ) - f ( ) = f ( ) <, διότι > και f ( )< g ( ) = f ( ) - f ( ) = f ( ) >, διότι > και f ( )> από Θ. Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, ), τέτοιο ώστε g (ξ) = ξ f (ξ) - f (ξ) = ()
Η μοναδικότητα του ξ προκύπτει από τη μονοτονία της g. g () = [. f () - f ()] = f () >, άρα η g είναι γν. αύξουσα. H εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ (ξ, f (ξ)) είναι : (ε) : y - f (ξ) = f (ξ). ( - ξ) Για να διέρχεται η (ε) από την αρχή των αξόνων αρκεί οι συντεταγμένες του Ο να επαλήθεύουν την εξίσωση της (ε), δηλαδή - f (ξ) = f (ξ). ( - ξ) - f (ξ) = - ξ. f (ξ) ξ. f (ξ) - f (ξ) = που ισχύει από τη σχέση (). ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι κυρτή στο IR, άρα η f είναι γν. αύξουσα στο IR. f < f () < f () f () <, άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο (-, ) f > f () > f () f () >, άρα η f είναι γν. αύξουσα στο (, + ) Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για = την τιμή f () =, άρα f (), για κάθε IR. f(t)dt f(u)du f(t)dt + im im im + + Δ. = = = + ημ ημ ημ Δ. ημ ημ διότι im = im = = και η λύση im f (u) du f () = im = im f () L'Hospital im f () = f () = = im f () im = + f () + f () + f () f () + = f () + = συνέπειες ΘΜΤ n f () + = ( ) n f () + = + c Για = έχουμε nf () = c c = Άρα n f () + = f () + = e f () = e -
η λύση f () + = f () + f () - f () = - + - - - - f () e - f () e = - e + e - - - - f () e + f () e = (- ) e + (- ) e συνέπειες ΘΜΤ - - - - f () e = - e f () e = - e + c Για = έχουμε f () e = + c c = e Άρα f () e = - e + f () = - + e - - ή Δ4. η λύση h () = f ( + ) - f (), h () = f ( + ) - f () > διότι η f είναι γν. αύξουσα στο IR και + > άρα η h είναι γν. αύξουσα στο [, + ) h () = 4 f () - f () = e - 5 > h h () h () άρα h () >, άρα η h είναι γν. αύξουσα στο [, + ) η λύση h () = f ( + ) - f (), f () = e - = (e - ) >, για > άρα η f είναι γν. αύξουσα στο [, + ) f Είναι + > f ( + ) > f () h () >, άρα η h είναι γν. αύξουσα στο [, + ) H ανίσωση γίνεται ++ 6 f (t) dt < f (t) dt h ( ++) < h (4) ++ 4 Είναι + + = ( + ) και 4 > και επειδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο [, +) έχουμε + + < 4 + - < - < < f () = e -
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Σωστό, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β z = + yi B. z - i = + Im(z) + yi - i = + y B. y > - + (y - ) = + y + (y - ) = (y + ) + y - y + = y + y + = 4y w(w + i) = i(w + i) ww + wi = wi - z = + yi w + (w - w)i + = + y + yi i + = + y - 6y + 9 = 8 + (y - ) = 8 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι y = 4 κύκλος με κέντρο Κ (, ) και ακτίνα ρ = 8 = Β. Αναζητούμε τα κοινά σημεία των δύο γεωμετρικών τόπων = 4y () + y - 6y + = () () () 4y + y - 6y + = y - y + = y = y= () = 4 = Άρα Α (, ) και Β (-, ). B4. (ΚΑ) = (ΚΒ) = ρ = ΚΑΒ ισοσκελές (ΑΒ) = ( + ) + ( - ) = 6 Π.Θ. ΚΑΒ ορθογώνιο (ΚΑ) + (ΚΒ) = 8 + 8 = 6 Μ μέσο του ΑΒ Μ (, ) Μ μέσο του ΚΛ Λ (, -) u = - i
ΘΕΜΑ Γ Γ. (t) = 6 (t) = (6t), t Aπό συνέπειες Θ.Μ.Τ. (t) = 6t + c, t Για = είναι () = c =, άρα (t) = 6t, t Γ. Παρατήρηση : Έπρεπε να εξηγηθεί γιατί ο παρατηρητής χάνει την οπτική επαφή με το κινητό στο Α. Έστω f () =, με f () =, > Αναζητούμε την εφαπτομένη (ε) της C που διέρχεται από το σημείο Π (, ). (ε) : y - f ( ) = f ( ) ( - ) (ε) : y - = ( - ) Π C f - = (- ) - = - = 4 = = ή = 4 Για = 4 y = (t ) = 4 6t = 4 t = min ή t = 5sec 4 Άρα η οπτική επαφή διαρκεί 5sec Γ. η λύση Η εφαπτομένη της C f στο Α (4, ) (ε) είναι η (ε) : y = 4 + A (4, ) Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι : 4 E = + - d 4 4 4 4 = d + d + d 4 4 4 4 6 4 = + - = + 4 - = f m η λύση Το ζητούμενο εμβαδόν είναι : 4 (ΟΠ)+(ΑΒ) 4 6 E = (OΠΑΒ) - d = (ΟΒ) - = 6 - = Β 4 m
Γ4. η λύση Μ (, y) M (, ) M (6t, 4 t ) d (t) = (ΠΜ) = (6t - ) + (4 t - ) = 56t + 6t - 8 t + d (t) = 56t + 6t - 8 t + = 56t + 8-56t + 6t - 8 t + Θεωρούμε συνάρτηση g, με g (t) = 56t + 8 -,t > t g (t) = 56 + >, άρα η g είναι γν.αύξουσα στο (, + ) t t ος τρόπος H g είναι συνεχής στο, 64 4 ως πράξεις συνεχών g = 4 + 8-6 = -4 < 64 g = 64 + 8-4 = 68 > 4 Από Θ. Bolzano η g έχει μια τουλάχιστον ρίζα t στο,, 64 4 4 και επειδή g γνησίως αύξουσα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. ος τρόπος H g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ =, 4 im g (t) = im 56t + 8 - = - + + t t t g = 64 + 8-4 = 68 4 Άρα g (Δ) = -, 68. Είναι -, 68, άρα η g έχει μια τουλάχιστον ρίζα t, 4 και επειδή g γνησίως αύξουσα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. t
d () > g () > g () > g (t ) > t g t + d () - + d () Η d είναι γν. φθίνουσα στο (, t ] και γν. αύξουσα στο [t, +). Η απόσταση d γίνεται ελάχιστη τη χρονική στιγμή t, 4 η λύση Μ (, y) M (, ) M (6t, 4 t ) d (t) = (ΠΜ) = (6t - ) + (4 t - ) = 56t + 6t - 8 t + d (t) = 56t + 6t - 8 t + = 56t + 8-56t + 6t - 8 t + Είναι d (t) >, για t > 4, άρα η d είναι γν. αύξουσα στο, + 4 Η συνάρτηση d είναι ορισμένη και συνεχής στο, 4, άρα από θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής υπάρχει t, 4 τέτοιο ώστε η d να παρουσιάζει ελάχιστο στο t. d () = d = 7 4 5 d = < d () < d 64 4 4, άρα η d να παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο t, 4. Επομένως η απόσταση d γίνεται ελάχιστη τη χρονική στιγμή t, 4. t
ΘΕΜΑ Δ f συνεχής f () f () Δ. f () = im f () = im = im im = + f () =, f () - f () f () f () = im = im = + f () = - (ε) : y - f () = f () ( - ) (ε) : y = Δ. Θ.Μ.Τ. με τη συνάρτηση f στο διάστημα [, ] Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε f () - f () f (ξ) = f (ξ) = f () - f () - Είναι f () < f () - f () () f () < f (ξ) Επίσης f (), για κάθε IR και επειδή η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη, από συνέπειες Θ. Bolzano η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR. oς τρόπος oς τρόπος () () Η f είναι γνησίως μονότονη στο IR. Είναι < ξ και f () < f (ξ) από () Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR, Θ.Μ.Τ. με τη συνάρτηση f στο διάστημα [, ξ] Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ f (ξ) - f () f (ξ ) = >, από () ξ - (, ξ), τέτοιο ώστε Επομένως είναι f () >, για κάθε IR, Άρα η f είναι κυρτή στο IR. Δ. η λύση Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Ο (, ) είναι η (ε) : y =. H f είναι κυρτή στο ΙR, άρα η C f βρίσκεται πάνω από την (ε) με εξαίρεση το σημείο επαφής Ο (, ) f () f () - g () και το = ισχύει για =. Άρα η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο την τιμή g () =.
η λύση Είναι g () = f () -, IR. g () = f () -, IR. g () > f () - > f () > f () > f () και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι > - + g () - + g () Η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο την τιμή g () = f () =. im ημ ημ = im = +, διότι g () g () ημ im = και im g () =, με g (). Δ4. Eίναι g () και το "=" ισχύει μόνο για =, άρα Δ5. g ()d > f () d > f () - d > f ()d - d > Eίναι g (), άρα Ε = g () d = e - 5 f () - d = e - 5 f () d - = e - f () d > 5 f () d - 5 d = e - Θεωρούμε συνάρτηση h, με h () = f (t) dt -, [, ] H h είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών () f () d = e - () h () = f (t) dt - = e - - = e - 4 < h () = f (t) dt - > από Δ4 Από Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε ξ h (ξ) = f (t) dt - = f (t) dt =. ξ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46 Α4. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β z - z - z - - z B. w I w = - w = - = z + z + z + z + B. (z - )(z + ) = ( - z)(z + ) zz + z - z - = z - - zz - z zz = zz = z = z = z = zz = z = () z 4 z z () 4 z - = z - z 4 = Imzi = 6 Im 4 zi 4 = 6 Im 4 z IR z B. Ισχύουν : z = () και z = () () + z + z = z + zz + z = z + z z + z = 4 z () z B4. w Ι, άρα w = βi, με βιr Έστω u = + yi, με, y ΙR i i u - ui = - w + yi - ( + yi)i = - βi w βi + yi - i + y = - βi ( + y) + (y - )i = - βi β β y - = - β + y = () β y - = - - y = άρα οι εικόνες του u ανήκουν στην υπερβολή - y =
ΘΕΜΑ Γ Γ. f () + = e f () = e - e - Για είναι f () = f συνεχής e - e f () = im f () = im = im = DL'H e -, αν Άρα f () =, αν = e - e- e + Γ. Για είναι f () = = e - f () - f () - e - - im = im = im - e - e = im = im = DL'H DL'H e - e +, αν Άρα f () =, αν = Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = e - e +, g () = e, IR IR - + g () - + g g min = g () =, άρα g () >, για κάθε. Επομένως f () >, για κάθε ΙR, άρα f γν. αύξουσα στο IR, άρα f, άρα f αντιστρέψιμη.
e - im f () = im = - - f e - e im f () = im = im = + + + DL'H + - D = f (IR) = im f (), im f () = (, + ) f - + Γ. (ε) : y - f () = f () ( - ) (ε) : y - = (ε) : y = + oς τρόπος H f είναι κυρτή στο IR, άρα η C f βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη ( ε) με εξαίρεση το σημείο επαφής Α (, ), άρα f () + f () + και το "=" ισχύει μόνο για =. Eπομένως η εξίσωση f () = + έχει ακριβώς μια λύση την =. oς τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = f () - -, IR Eίναι h () = f () -, IR f κυρτή < f ( ) < f ( ) f ( ) < f ( ) f f ( ) - < f ( ) - h ( ) < h ( ) άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR, επομένως η h () = έχει το πολύ μια ρίζα στο IR. h () = f () - =, άρα η h () = έχει μοναδική ρίζα το. Eπομένως η εξίσωση f () = + έχει ακριβώς μια λύση την =. n Γ4. im ( n) = im = im = im (-) = + + DL'H + + - im+ n f () = u f () = im f () = + u im nu = άρα im f () = ( ) f () = = + n n im n im + + n
ΘΕΜΑ f () f (t). f () + + e = e f (t) t + dt +, > () t Παραγωγίζουμε κατά μέλη και έχουμε : = e f () + f () f () f () + - e + e f () + f () = - - e -e f () = - -f () e = + f () -f () f () -f () από συνέπειες Θ.Μ.Τ. προκύπτει ότι e = + + c () Aπό την () για = έχουμε : f () f () f () + e = f () + e = Θεωρούμε τη συνάρτηση S, με S () = + e, Είναι S () = + e >, άρα η S είναι γνησίως αύξουσα άρα η S είναι " - ". IR S " - " f () f () + e = S (f ()) = S () f () = = f () = -f () () e = + c = + c c = c = -f () () e = + e f () f () e = + f () + e + = = f () = n, > +
. F () = f (t) dt = f (), > F () = f () = n = + + + = - + + = + + + - - + =, > To πρόσημο της f άρα και την κυρτότητα της f την καθορίζει ο παράγοντας ( - ) + F () + - F σ.κ. F () = f (t) dt =, άρα σημείο καμπής της C το Σ (, ) H F είναι παραγωγίσιμη στο [, β] Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ (, β), τέτοιο ώστε F (β) - F () F (β) F (ξ) = = = λ ε β - β - άρα υπάρχει ξ (, β), τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο της Μ (ξ, F (ξ)) είναι παράλληλη στην (ε). F F Είναι F () < στο [, β], άρα η F είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β], άρα το ξ είναι μοναδικό.
. Θεωρούμε συνάρτηση φ, με φ () = ( - )[F (β) + ( - β)f (β)] + (β - )( - )( + ), [, ] Η φ συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών φ () = - [F (β) + ( - β) f (β)] <, διότι F στο [, + ) F (β) < ξ < β F (ξ) > F (β) > f (β) β - F (β) > (β - ) f (β) F (β) + ( - β) f (β) > φ () = 8 (β - ) > Από Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε φ ( ) = ( - )[F (β) + ( - β)f (β)] + (β - )( - )( + ) = ( - ) [F (β) + ( - β)f (β)] ( - ) ( - ) F (β) + ( - β) f (β) (β - ) ( + ) - - + (β - )( - ) ( + ) ( - ) ( - ) + = = F (β) + ( - β) f (β) (β - ) ( + ) άρα η εξίσωση + = - - έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ). - - 4. Θα δείξουμε ότι για κάθε > ισχύει : t f dt t f (t) dt f (u) du t f (t) dt f (t) dt t f (t) dt () t = u t = u dt = du t u
oς τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = f (t) dt - t f (t) dt, > h () = f (t) dt - t f (t) dt = () f (t) dt + f (t) dt - t f (t) dt = f (t) dt + f () - f () = f (t) dt = F () f (A) = (-, ], άρα f () - f () και το "=" ισχύει μόνο για = αν < <, τότε -f (t) dt > f (t) dt > h () > αν >, τότε -f (t) dt > - f (t) dt > h () < + h () + - h h ma = h () = Eπομένως για κάθε > είναι : h () f (t) dt - t f (t) dt t f dt t f (t) dt ()
oς τρόπος αν < t, τότε : - t ( - t) f (t), άρα f (t) ( - t) f (t) dt f (t) dt - tf (t) dt f (t) dt tf (t) dt - f (t) dt - tf (t) dt f (t) dt tf (t) dt αν t, τότε : - t ( - t) f (t) -( - t) f (t), άρα f (t) -( - t) f (t) dt - f (t) dt + tf (t) dt - f (t) dt - tf (t) dt f (t) dt tf (t) dt Επομένως για κάθε > ισχύει : f (t) dt tf (t) dt () t f dt t f (t) dt
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ IOYNIΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤA MAΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α4. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β B. Η εξίσωση γίνεται : - w - 4 - i + z = Πρέπει Δ = - w - 4 - i - 4 z = w - 4 - i w - 4 - i = 6 z z = () 6 -β w - 4 - i Το είναι διπλή ρίζα άρα = = α 4 w - 4 - i = 4 () ος τρόπος ος τρόπος Το είναι ρίζα της εξίσωσης άρα - w - 4 - i + z = - w - 4 - i + 8 ( ) 6-8 w - 4 - i + w - 4 - i = w - 4 - i 6 = w - 4 - i - 4 = w - 4 - i - 4 = w - 4 - i = 4 () Επομένως ο γ.τ. των εικόνων του w είναι ο κύκλος C με κέντρο Κ (4, ) και ακτίνα ρ = 4 () 4 ( ) z = z = 6 Επομένως ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο κύκλος C με κέντρο O (, ) και ακτίνα ρ =
B. (ΟΚ) = (4 - ) + ( - ) y = 6 + 9 = 5 = 5 Είναι (ΟΚ) = ρ + ρ, άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά σε ένα σημείο Α (σχήμα) Επομένως υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός, η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους. O A 4 K ος B. τρόπος (αλγεβρική λύση) w = (OB) = (OK) + ρ = 5 + 4 = 9 ma y B z - w z + -w z - w + w z - w + w ma z - w + 9 z - w O A 4 K z + w z + w z + w + w z + w + w ma z + w + 9 z + w
ος τρόπος (γεωμετρική λύση) Έστω Μ (z), Λ (w) οι εικόνες των μιγαδικών z, w αντίστοιχα. Η απόσταση των εικόνων τους είναι (ΜΛ) = z w. z w = (BΓ) = (ρ + ρ ) = ma άρα z w z + w = z - (-w) είναι η απόσταση των εικόνων των z και -w. Ο γ.τ. των εικόνων του -w είναι ο κύκλος C, ο συμμετρικός του C ως προς το Ο, με κέντρο Κ (-4, -) και ακτίνα ρ = ρ = 4. z + w ma = (B Α) = (ρ + ρ ) = άρα z + w B4. z - z - zz = 5 z (z - - z) = 5 (-) + 4Im(z) z = z z - z - = 5 (z - z) - = 5 Im(z) i - = 5 - + 4Im(z) i = 5 = 5 9 + 6Im (z) = 5 6Im (z) = 6 Im (z) = Im(z) = z = Re (z) + Im (z) = Re (z) + = Re (z) = Re(z) = Eπομένως z = ± i
ΘΕΜΑ Γ Γ. Για κάθε ΙR είναι : f () + [f () - ] = -f () f () + f () - + f () = f () - + f () = από συνέπειες Θ.Μ.Τ. είναι f () - + f () = c Για = έχω : f () - + f () = c c = Επομένως για κάθε ΙR είναι : f () - + f () = f () + f () = ( + )f () = f () = + f () = = + ( + ) ( + ) - ( ) 4 4 4 + - + ( + ) = = = ( + ) ( + ) ( + ) και το "=" ισχύει μόνο για = άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR Γ. Η f είναι συνεχής στο IR, άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες f () im = im + = im = im = = λ - - - - + - - imf () - λ = im - = im = im = = β - - - - + + άρα η C f έχει πλάγια ασύμπτωτη στο - την y = f () im = im + = im = im = = λ + + + + + - - im f () - λ = im - = im = im = = β + + + + + + άρα η C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την y = f
Γ. f 5( + ) - 8 f 8( + ) 5( + ) - 8 8( + ) 5( + ) 8( + ) + 8 5( + ) 8 ( + ) + ( + ) ( + ) + 8 5 f f + f + - f - Γ4. Έστω συνάρτηση h, με h () = f (t) dt,, Η συνάρτηση f είναι συνεχής άρα η συνάρτηση f, με f () = f (t) dt είναι παρ/μη στο [, ],άρα και συνεχής η h είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις των συνεχών f, f, με f () = - και f, με f () =. η h είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων με - h () = f - - + f (t) dt h () = f (t) dt = και h = f (t) dt = Άρα από θ. Rolle η εξίσωση h () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε ξ -ξ f (t) dt = -ξ (ξ - ) f (ξ - ξ).
ΘΕΜΑ Δ Δ. H f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη, άρα η f, με f (t) = η f, με f (u) = f (t ) - f (t) u f (t) f (t) επομένως η f, με f (u) = f () = + u συνεχής ως πράξεις συνεχών, άρα - dt f (t) - dt du f (t) συνεχής ως παραγωγίσιμη, f (t) - dt du f(t) u, παραγωγίσιμη. f (t) - () f (t) Παραγωγίζουμε και έχουμε f () = + dt, > f () - Παραγωγίζουμε και έχουμε για κάθε >, f () = f () f () f () = f () - f () f () + = f () Δ.α. Είναι f (). f (), για κάθε >,άρα f () και f (). Η f είναι συνεχής στο (, +) και f (), για κάθε >, άρα από συνέπειες θ. Bolzano, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, +). u f (t) - Είναι f () = + dt du = >, f (t) επομένως f () >, για κάθε >. Η f είναι συνεχής στο (, +) και f (), για κάθε >, άρα από συνέπειες θ. Bolzano, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, +). f (t) - Είναι f () = + dt = > (), f (t) επομένως f () >, για κάθε >.
β. f () = + f () f (), για κάθε > Eίναι f () >, για κάθε >, άρα f ()= + f () f () Η f είναι συνεχής στο =, άρα f () = im f ( im im im + + + + ) = + f () f () = + f () f () f () = = + f () f () = = f () f () f () - f () () - Δ.α. g () = = = f () f () f () f () - - g () = = = και g () = = = - f () f () (ε) : εφαπτομένη της C στο σημείο Μ (, g ()) (ε) : y - g () = g () ( - ) y = - + g H g είναι κυρτή άρα η C βρίσκεται πάνω από την (ε) Eπομένως f () -( - ) f () d > f () d - ( - ) f () d > g με εξαίρεση το σημείο επαφής Μ, άρα g () -, για κάθε > β. Για κάθε > είναι : f ()> f () g () - - f () ( - ) f () f () Για = είναι : f () > ( - ) f () άρα f () ( - ) f (), για κάθε f () - ( - ) f (), για κάθε και το "=" δεν ισχύει παντού f () > ( - ) f () d f () - f () > ( - ) f () d > ( - ) f () d ( - ) f () d <
Δ4. Eίναι h () >, για κάθε [, ] Ε = ( ) = f () f () d = f () f () - f () f () d = f () = - f () f () - d f () f () - f () f () - f () f () f () d d = - f () - f () d = - f ( + ) d f ()d Ε Άρα Ε = - Ε + Ε + Ε = + f () f ()d Ε = + f () - f () Ε = + E = E = τ.μ.
Για κάθε > Από το Δ έχουμε: f () - f () f () + = f () () Eίναι f () >, άρα f () = f () Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, +) ως πράξεις παραγωγίσιμων. Παραγωγίζοντας κατά μέλη έχουμε : f ()f () + f ()f () = f ()f () f ()f () - f ()f () = f ()f () - f ()f () f () = = f () f () f () άρα από συνέπειες Θ.Μ.Τ. είναι = c f () () = f () f () + = f () f () + = f () = = f () f () (4) = c = c, άρα = ή f () =. f () f () Από συνέπειες Θ.Μ.Τ. είναι f () = c. Για = είναι f () = c =, άρα f () =. Είναι f () = () και από συνέπειες Θ.Μ.Τ. είναι f () = + c. Για = είναι f () = + c = c =, άρα f () =, >. H f είναι συνεχής στο =, άρα f () =, για κάθε. > Δ.α. g () - - - - + ( - ), που ισχύει β. (4) f ()=f()= ( - ) f () d = ( - ) d = ( - ) d Δ4. = - = - = < E = h () d = f () d = d = d = = - = τ.μ. Μια δεύτερη λύση για τα Δ, Δ4
Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος -4 Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου