Lectia VII Dreapta si planul

Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII

Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Table of Contents 1 Planul. Ecuatii, pozitii relative 2 Dreapta. Ecuatii, pozitii relative 3 Aplicatii Oana Constantinescu Lectia VII

Introducere In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan. In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului, cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice. E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct de vedere analitic.

Planul Fie un plan π. Pentru unica sa determinare, vom considera situatiile: 1 Planul π este unic determinat de un punct A al sau si de doi vectori necoliniari u, v din spatiul sau liniar director π : π = A + [u, v]. 2 Planul π este unic determinat de trei puncte necoliniare ale sale: π = (ABC). 3 Planul π este unic determinat de un punct A al sau si de un vector normal N π.

Planul π = A + [u, v]

Planul Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv) R = {O; i, j, k} in raport cu care vom exprima coordonatele punctelor, respectiv vectorilor ce intervin. Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai daca AP = r r A este un vector din planul vectorial director π : t, s R a.i. r r A = tu + sv. Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului: r = r A + tu + sv, t, s R. Gandind planul π ca un subspatiu an al lui E 3, amintindu-ne si de operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia ana a planului: P = A + tu + sv, t, s R, P π.

Planul Exprimand vectorii din ecuatia precedenta in raport cu baza reperului ales, adica presupunand ca r = xi + y j + zk, r A = x 0 i + y 0 j + z 0 k, u = u 1 i + u 2 j + u 3 k, v = v 1 i + v 2 j + v 3 k, folosind faptul ca i, j, k sunt liniar independenti, se obtin ecuatiile parametrice ale planului π : x = x 0 + tu 1 + sv 1, y = y 0 + tu 2 + sv 2, z = z 0 + tu 3 + sv 3, s, t R.

Planul Amintim ca trei vectori sunt coplanari daca si numai daca produsul lor mixt se anuleaza. Deci vectorii AP = r r A, u, v sunt coplanari daca si numai daca (r r A, u, v) = 0. Folosind formula de calcul pentru produsul mixt se obtine ecuatia planului sub forma de determinant: x x 0 y y 0 z z 0 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = 0. Dezvoltand determinantul se obtine o ecuatie de tipul: ax + by + cz + d = 0, a 2 + b 2 + c 2 0, numita ecuatia generala a planului, sau ecuatia canonica a planului.

Planul π = (ABC) Acest caz se reduce la cel precedent considerand de exemplu u = AB = r B r A, v = AC = r C r A. Se obtin astfel, pentru planul π, ecuatia vectoriala: r = r A + t (r B r A ) + s (r C r A ), s, t R r = (1 t s)r A + tr B + sr C, s, t R, ecuatiile parametrice: x = x A + t (x B x A ) + s (x C x A ), y = y A + t(y B y A ) + s (y C y A ), z = z A + t (z B z A ) + s (z C z A, ) t, s R cat si ecuatia sub forma de determinant: x x A y y A z z A x B x A y B y A z B z A x C x A y C y A z C z A = 0.

Planul Ultima ecuatie se poate scrie si in forma: x y z 1 x A y A z A 1 x B y B z B 1 = 0. x C y C z C 1 In cazul particular in care A(a, 0, 0), B(0, b, 0) si C(0, 0, c) reprezinta punctele de intersectie ale planului cu axele de coordonate, se obtine ecuatia planului prin taieturi: x a + y b + z c 1 = 0.

Planul A π, N π

Planul In aceasta situatie P(r) π N AP ecuatia vectoriala a planului: < r r A, N >= 0. Daca N are coordonatele l, m, n in raport cu R si P(x, y, z), A(x 0, y 0, z 0 ), atunci ecuatia precedenta devine: l(x x 0 ) + m(y y 0 ) + n(z z 0 )= 0 l x + my + nz + p = 0. Reobtinem astfel ecuatia generala a planului. Sa remarcam ca in ecuatia generala a unui plan, coecientii lui x, y, z sunt coordonatele vectorului normal planului.

Planul. Exemple Planele de coordonate: (xoy) : z = 0 (yoz) : x = 0 (zox) : y = 0 Plane paralele cu planele de coordonate: π (xoy) : π (yoz) : π (zox) : z = c x = a y = b a, b, c R Plane perpendiculare pe planele de coordonate: π (xoy) : ax + by + d = 0 π (yoz) : by + cz + d = 0 π (zox) : ax + cz + d = 0

Planul. Exemple Plane ce conµin axele de coordonate: π Oz : ax + by = 0 π Ox : by + cz = 0 π Oy : ax + cz = 0 Plan prin origine: π O : ax + by + cz = 0.

Pozitiile relative ale planelor Fie doua plane de ecuatii generale Intersectia lor poate : (π 1 ) :A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, (π 2 ) :A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. 1 o dreapta (atunci cand sistemul format din cele doua ecuatii este compatibil ( simplu nedeterminat) ) A 1 B 1 C 1 rang = 2; A 2 B 2 C 2 2 un plan (cele doua plane coincid) A 2 A 1 = B 2 B 1 = C 2 C 1 = D 2 D 1 ; 3 multimea vida (planele sunt paralele deci au normalele paralele) A 2 A 1 = B 2 B 1 = C 2 C 1 D 2 D 1.

Aplicatie Sa se determine unghiul dintre planele (π 1 ) :A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, (π 2 ) :A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Indicatii:

Aplicatie Notam cu ϕ masura unghiului diedru al celor doua plane. Construind ca in gura unghiul diedru si normalele la ecare plan in puncte convenabil alese, observam ca ϕ este suplementul unghiului dintre normalele la plane. Dar vectorii normali planelor sunt N 1 (A 1, B 1, C 1 ) si N 2 (A 2, B 2, C 2 ). In acest caz unghiul dintre normale se calculeaza prin cos ψ = A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 A 2 + 1 B 1 2 + C 1 2 A 2 + 2 B 2 2 + C 2 2 si ϕ = π ψ. In particular, cele doua plane sunt perpendiculare daca si numai daca A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.

Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Toate tipurile de ecuatii ale dreptei O dreapta d este unic determinata de: 1 un punct al sau A d si un vector director a d, a 0; 2 doua puncte A B ale sale; 3 doua plane distincte care o contin: π 1 π 2 = d; 4 un punct al sau A d si o directie planara normala dreptei: π = [u, v] d. Vom determina toate tipurile de ecuatii pentru dreapta d in cele patru situatii de mai sus: ecuatia vectoriala, ecuatiile parametrice, ecuatiile canonice si ecuatiile generale. Oana Constantinescu Lectia VII

Dreapta d = A + [a] P(r) d AP d r r A = ta, t R. Am obtinut ecuatia vectoriala a dreptei: Ecuatia ana a dreptei este: r = r A + ta, t R. P = A + ta, t R.

Dreapta Daca presupunem ca in raport cu un reper ales avem P(x, y, z) r = xi + y j + zk, A(x 0, y 0, z 0 ) si a(l, m, n), atunci ecuatia vectoriala determina urmatoarele ecuatii parametrice ale dreptei d : x = x 0 + tl y = y 0 + tm z = z 0 + tn, t R. Exprimand parametrul t din toate cele trei ecuatii si egaland rezultatele, obtinem ecuatiile canonice: x x 0 l = y y 0 = z z 0 (= t). m n Eliminand parametrul t din ecuatiile parametrice, ori considerand sistemul format din cate doua ecuatii canonice, dreapta apare ca intersectie de doua planuri: { mx ly + (ly 0 mx 0 ) = 0, ny mz + (mz 0 ny 0 ) = 0.

Dreapta d = AB, A B In toate ecuatiile precedente consideram vectorul director al dreptei a = AB = r B r A si obtinem: ecuatia vectoriala: r = (1 t)r A + tr B, t R; ecuatiile parametrice: x = (1 t)x A + tx B, y = (1 t)y A + ty B, z = (1 t)z A + tz B, t R; ecuatiile canonice: x x A x B x A = y y A y B y A = z z A z B z A.

Dreapta determina o dreapta daca si numai daca d = π 1 π 2 Daca (π 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, (A 1 ) 2 + (B 1 ) 2 + (C 1 ) 2 0 si (π 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, (A 2 ) 2 + (B 2 ) 2 + (C 2 ) 2 0, sistemul { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Dreapta rang ( A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 ) = 2. Observam ca directia dreptei este N 1 N 2, unde N 1 (A 1, B 1, C 1 ) si N 2 (A 2, B 2, C 2 ) sunt vectorii normali celor doua plane. Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei neind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice. De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile: { { { Ox : y = 0 z = 0, Oy : z = 0 x = 0, Oz : x = 0 y = 0.

Aplicatie Sa se { determine ecuaµiile canonice ale dreptei 2x 3y 3z 9 = 0 d : x 2y + z + 3 = 0. Rezolvare: Rezolvand sistemul obtinem ecuatiile parametrice x = 9t, d : y = 5t, t R si de aici imediat ecuatiile canonice z = t 3, d : x = y = z+3. 9 5 1

Dreapta A d si π = [u, v] d Ecuatiile dreptei se obtin ca in primul caz, stiind un punct al ei A si vectorul director u v.

Aplicatie Sa se scrie ecuatiile dreptei d care trece prin punctul A(2, 5, 3) si este: a) paralela cu axa Oz; b) paralela cu dreapta d : x 1 = y 2 = z+3 4 6 9 ; c) paralela cu dreapta d : Rezovare a) d : b) d : x 2 = y+5 4 6 { { 2x y + 3z + 1 = 0 5x + 4y z 7 = 0. x 2 = 0, y + 5 = 0, = z 3 9. sau d : x 2 0 = y+5 0 = z 3 1. c) Avem nevoie de un vector director pentru dreapta d. Acesta este produsul vectorilor N 1 (2, 1, 3) si N 2 (5, 4, 1), vectorii normali planelor ce determina dreapta data. Se obtine N 1 N 2 = 11i + 17j + 13k, deci: d : x 2 11 = y+5 17 = z 3 13.

Pozitiile relative a doua drepte in spatiu Fie d 1 = A 1 + [a 1 ] si d 2 = A 2 + [a 2 ] doua drepte in spatiu. Dreptele d 1 si d 2 sunt coplanare daca si numai daca vectorii a 1, a 2, A 1 A 2 sunt coplanari (a 1, a 2, A 1 A 2 ) = 0. Pentru a verica daca dreptele sunt paralele sau nu, se determina daca vectorii a 1 si a 2 sunt sau nu coliniari, calculand produsul lor vectorial. Iar pentru a distinge intre cazurile drepte paralele si drepte confundate se verica si coliniaritatea vectorilor a 1, A 1 A 2. Obtinem astfel:

Pozitiile relative a doua drepte in spatiu Theorem Dreptele d 1 si d 2 sunt: 1) necoplanare (a 1, a 2, r A2 r { A1 ) 0 (a 1, a 2, r A2 r A1 ) = 0 (coplanare) 2) concurente 3) paralele 4) confundate a 1 a 2 { a 1 a 2 = 0 a 1 (r A2 r A1 ) { a 1 a 2 = 0 0 (neparalele) 0 (distincte) a 1 (r A2 r A1 ) = 0

Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan Fie drepta d = A + [a] si planul π = B + π, cu N π. Atunci: d π < a, N >= 0 si < AB, N > 0; d π < AB, N >= 0; d π = {P} < a, N > 0.

Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul π : 4x + 3y z + 5 = 0. Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiile x 3 = y+2 = z 5. 4 3 1 Example 2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta d : x 1 = y = z+1. 3 2 4 Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica B( 77, 32, 35 ). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d 29 29 29 si conditia AB d. Oana Constantinescu Lectia VII

Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 3) Sa se determine proiectia dreptei d pe planul π, daca d : x = y 4, π : x y + 3z + 8 = 0. 4 = z+1 3 2 Rezolvare: Se verica faptul ca dreapta d nu este perpendiculara pe planul π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur punct, proiectia oricarui punct al dreptei pe planul dat). Proiectia dreptei se obtine ca intersectia dintre planul ce contine dreapa d, perpendicular pe planul π (numit plan proiector al dreptei d) si planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al dreptei, de vectorul director al dreptei si de vectorul normal planului π. Se obtin ecuatiile: { x 2y z + 8 = 0, x y + 3z + 8 = 0. Oana Constantinescu Lectia VII

Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 4) Aati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π, respectiv dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0), π : x + 2y z = 0; b) A(-1,2,0), d : x+2 = y+1 = z 1; 1 0 1 c) A(3,1,2) si d : x 2 = y = z+1 ; d) A(1,2,3) si 2 2 1 π : 2x + y + z 1 = 0. Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A 0, piciorul perpendicularei din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele simetricului A se calculeaza din conditia ca A 0 este mijlocul segmentului (AA ). a) ( 7, 2, 4 ); b) ( 1, 4, 0); c) 3 3 3 ( 37, 19, 22 ); d) (-3,0,1). 9 9 9 Oana Constantinescu Lectia VII

Aplicatii Example 5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor (d 1 ) x 7 = y 3 = z 9 1 2 1 si (d 2) x 3 = y 1 = z 1. 7 2 3 Rezolvare: Vericam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare. Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara comuna, P d 1 si Q d 2 P(t + 7, 2t + 3, t + 9) si Q( 7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director PQ sa e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date se determina t, s si se obtine PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile dreptei prin P, de directie PQ. Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre doua plane π 1 si π 2, π 1 ind planul proiector al dreptei (d 1 ) pe planul ce contine (d 2 ) si este paralel cu (d 1 ), iar π 2 este planul proiector al dreptei (d 2 ) pe planul ce contine (d 1 ) si este paralel cu (d 2 ). Se obtin ecuatiile: x 1 2 = y 1 = z+3 4.