- 37-3. Ecuaţiile lui Maxwell 3.. Foma integală a ecuaţiilo lui Maxwell Foma cea mai geneală a ii lui Ampèe (.75) sau (.77) epezintă pima ecuaţie a lui Maxwell: d H dl j ds + D ds (3.) S dt S sau: B dl µ j ds + (3. ) S t unde: P j j + + M (3.) este densitatea cuentului total măsuată în A / m. Teceea de la elaţia (3. ) la (3.) se face ţinând seama de elaţiile (.) (.3) şi de teoema lui Stokes aplicată vectoului M : D E + P B µ H + M M dl M ds ( ) ( ) S Cuba închisă din (3. ) limitează o supafaţă de aie S pin cae tece un cuent cu densitatea: j + Sensul de pacus pe cuba este coelat cu sensul cuentului pin supafaţa S. Legea inducţiei electomagnetice (ea lui Faaday) (.83) epezintă a doua ecuaţie a lui Maxwell: d B d E dl B ds ds Φ dt S (3.3) S dt B Legea fluxului magnetic (.6) epezintă a teia ecuaţie a lui Maxwell: da S B (3.4) Legea lui Gauss (.3) epezintă a pata ecuaţie a lui Maxwell: ( + ) E da dυ dυ S υ (3.5) υ unde densitatea de sacină ată este dată de elaţia (.6) : P (3.6) Cele patu ecuaţii ale lui Maxwell sunt elaţiile fundamentale ale electomagnetismului. Se aplică numai la medii cae sunt în epaus în apot cu axele de coodonate ia aceste axe nu tebuie să fie în mişcae acceleată (nu tebuie să sufee nici otaţii). Foma integală a ecuaţiilo lui Maxwell pentu câmpul electomagnetic este utilă q
- 38 - pentu a ezolva poblemele cae au o simetie sfeică cilindică sau ectangulaă unidimensională. Această limitae se datoează faptului că foma integală a ilo se efeă la o egiune întinsă a spaţiului. 3.. Foma difeenţială (locală) a ecuaţiilo lui Maxwell Foma difeenţială a ecuaţiilo lui Maxwell se obţine din foma integală a acestoa folosind teoema lui Stokes şi teoema divegenţei. Genealizând ea lui Ampèe (.76) sau (.78) obţinem pima ecuaţie a lui Maxwell: D H j + (3.7) sau: B µ j + (3.8) c Legea inducţiei electomagnetice (.84) epezintă foma difeenţială a ecuaţiei a doua a lui Maxwell: B E (3.9) Legea fluxului magnetic (.58) epezintă foma difeenţială a ecuaţiei a teia a lui Maxwell: B (3.) Legea lui Gauss (.7) epezintă a pata ecuaţie a lui Maxwell sub fomă difeenţială: + (3.) Aceste ecuaţii sunt valabile şi în medii neomogene neliniae şi anizotope. Dacă aplicăm opeatoul ecuaţiei (3.9) şi folosim faptul că divegenţa unui oto este nulă obţinem: 443 ( E ) B B ct. B Am pesupus că la un moment dat B este egal cu zeo astfel că această elaţie este valabilă la oice moment de timp pentu fiecae punct din spaţiu. Ecuaţiile (3.9) şi (3.) fomează o peeche deoaece pot fi obţinute una din cealaltă. Dacă luăm divegenţa ecuaţiei (3.8) şi folosim ea consevăii sacinii electice (.37): div j + j obţinem: 443 ( B) µ j + ( ) µ c c + ct.
- 39 - Pesupunând că pentu fiecae punct din spaţiu la un moment de timp abita şi sunt simultan egale cu zeo atunci constanta este egală cu zeo şi obţinem ecuaţia (3.). Astfel ecuaţiile (3.8) şi (3.) fomează a doua peeche de ecuaţii ale lui Maxwell. Pentu a descie complet un câmp electomagnetic se completează ecuaţiile lui Maxwell cu elaţii numite i de mateial cae desciu popietăţile individuale ale mediului. Înt-un mediu izotop linia şi staţiona ile de mateial se expimă pe baza elaţiilo (.43) (.) sau (.) şi (.) sau (.33): j σ E + E (3.) ( ) i P χ E sau D E E + χ e e (3.3) M χ H sau B µ µ H µ H µ + χ m m (3.4) Înlocuind (3.) şi (3.6) în (3.8) (3.) obţinem ecuaţiile lui Maxwell în funcţie de vectoii E B P şi M : P B µ j + + M (3.5) c B E + (3.6) B (3.7) P (3.8) Pentu a paticulaiza ecuaţiile lui Maxwell la un mediu omogen izotop linia şi staţiona vom folosi elaţiile (.9) (.) (.) (3.6) (.) (.33) (.34) şi +. D B µ µ H µ H P D E D E D µ + χ m D E + P P P ( ) E P D M χ H B µ m ( H + M) (3.9) + (3.) B B ( µ ) M χ χ M B (3.) m µ m µ µ µ µ Înlocuind (3.9) (3.) în (3.5) (3.8) obţinem:
B B B µ µ j µ µ j µ j + µ + µ µ + µ - 4 - ( ) E µ + µ B µ µ B + B µ B µ µ j (3.) B E + (3.3) B (3.4) (3.5) Teceea la foma geneală a ecuaţiilo lui Maxwell se face pe baza umătoaelo înlocuii: µ µ j j (3.6) Aceasta este o egulă geneală de tecee de la ecuaţiile (3.) (3.5) expimate în funcţie de µ j la ecuaţiile (3.8) (3.) expimate în funcţie de µ j. Ecuaţiile (3.) (3.5) pot fi scise în funcţie de vectoii E D B şi H : D H j (3.7) B E + (3.8) B (3.9) D (3.9 ) Aplicând vectoului j din (3.) opeatoul divegenţă obţinem: j j + ( P) + 443 ( M) j + ( ) j ( + ) j + (3.3) Am folosit ea consevăii sacinii ee ( j + ) şi am obţinut o genealizae a ii consevăii sacinii. Ecuaţia (3.3) mai poate fi obţinută din elaţia (3.7) pin aplicaea opeatoului divegenţă şi folosind elaţia (3.9 ):
- 4 - ( H) ( D) j j + (3.3 ) Am obţinut cazul paticula al ii consevăii sacinii ee în acod cu elaţiile (3.6). Ecuaţiile lui Maxwell sunt liniae întucât nu conţin podusul dinte două sau mai multe vaiabile oi deivate ale acestoa. Rezultă că dacă E B satisfac ecuaţiile lui Maxwell pentu j j ia E B satisfac ecuaţiile lui Maxwell pentu j j atunci E + E B + B satisfac aceleaşi ecuaţii pentu + j j + j astfel că se veifică pincipiul supepoziţiei. În cazul mediilo neliniae P şi M sunt funcţii complicate de E şi B astfel că pincipiul supepoziţiei nu se aplică la şi j. Toate mateialele devin neliniae la intensităţi mai ale câmpuilo.