Μέθοδος των Δυνάμεων

Μέθοδος των Δυνάμεων

Εισαγωγή Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-2 Η Μέθοδος των Δυνάμεων ή Μέθοδος Ευκαμψίας είναι μία μέθοδος για την ανάλυση γραμμικά ελαστικών υπερστατικών φορέων. Ανκαιημέθοδοςμπορείναεφαρμοστείσεπολλάείδηφορέων (δοκούς, πλαίσια, δικτυώματα, κελύφη κλπ.), ο υπολογιστικός φόρτος αυξάνει εκθετικά με το βαθμό στατικής αοριστίας. Άρα, πρακτικά, η Μέθοδος των Δυνάμεων εφαρμόζεται σε φορείς με μικρό βαθμό στατικής αοριστίας. Για την ανάλυση των υπερστατικών φορέων και τον προσδιορισμό της εντατικής τους κατάστασης δεν αρκούν μόνο οι εξισώσεις ισορροπίας. Απαιτείται, επιπρόσθετα, η χρήση εξισώσεων που αφορούν τη γεωμετρία του παραμορφωμένου φορέα (συμβιβαστό των παραμορφώσεων).

Εισαγωγή (...) Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-3 Ηικανοποίησητωνεξισώσεων του συμβιβαστού των παραμορφώσεων εξασφαλίζει τη συνέχεια της ελαστικής γραμμής του φορέα ή τη συμβατότητα των παραμορφώσεων με τη γεωμετρία που επιβάλλουν οι στηρίξεις. Βήμα-κλειδί στην ανάλυση με τη Μέθοδο των Δυνάμεων είναι η αντικατάσταση του υπερστατικού φορέα με ένα στερεό ισοστατικό φορέα. Ο ισοστατικός αυτός φορέας λέγεται θεμελιώδης φορέας και προκύπτει από τον αρχικό (υπερστατικό) φορέα αφαιρώντας τις δεσμεύσεις που επιβάλλουν τα θεωρούμενα υπερστατικά μεγέθη.

Υπερστατικό Μέγεθος Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-4 Έννοια του υπερστατικού μεγέθους Ο φορέας στο Σχήμα (a) είναι ισοστατικός, αφού οι τρεις εξισώσεις ισορροπίας αρκούν για να προσδιοριστούν οι τρεις άγνωστες αντιδράσεις. Ο φορέας στο Σχήμα (b) είναι μία φορά υπερστατικός. Η επιπρόσθετη στήριξη στο Β εισάγει το υπερστατικό μέγεθος R B. Ως υπερστατικό μέγεθος μπορεί επίσης να θεωρηθεί και η αντίδραση R C. Αφαιρώντας τη δέσμευση που επιβάλλει η στήριξη Β, προκύπτει ένας στερεός ισοστατικός φορέας: ο θεμελιώδης φορέας Σχήμα (c). Η επιπρόσθετη στήριξη στο Β εισάγει επίσης μία γεωμετρική συνθήκη: Δ Β =0, η κατακόρυφη μετακίνηση στο Β είναι μηδέν. Υπάρχει, δηλαδή, μία επιπλέον εξίσωση που θα βοηθήσει στον προσδιορισμό όλων των αντιδράσεων.

Μέθοδος των Δυνάμεων: Γενικά Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-5 Η ανάλυση με τη Μέθοδο των Δυνάμεων συνίσταται στην αφαίρεση δεσμεύσεων (π.χ. στηρίξεων) από έναν υπερστατικό φορέα ώστε να προκύψει ένας στερεός ισοστατικός φορέας (θεμελιώδης φορέας). Ο αριθμός των δεσμεύσεων που αφαιρέθηκαν ισούται με τον αριθμό στατικής αοριστίας (υπερστατικότητας). Ακολούθως, οι (αγνώστου μεγέθους) δεσμεύσεις που αφαιρέθηκαν και η δοσμένη φόρτιση επιβάλλονται ως φόρτιση στο θεμελιώδη φορέα. Ουπολογισμόςτωνάγνωστων δεσμεύσεων του θεμελιώδους φορέα βασίζεται στην επαλληλία δύο επιμέρους αναλύσεων: λόγω της δοσμένης εξωτερικής φόρτισης, και λόγω των άγνωστων δεσμεύσεων που αφαιρέθηκαν Για κάθε περίπτωση, υπολογίζονται οι μετακινήσεις στα σημεία όπου αφαιρέθηκαν οι δεσμεύσεις.

Μέθοδος των Δυνάμεων: Γενικά (...) Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-6 Για να καθοριστούν οι άγνωστες δεσμεύσεις, οι μετακινήσεις που υπολογίστηκαν προστίθενται (παραδοχή ελαστικής συμπεριφοράς) και τίθενται ίσες με τη γνωστή τιμή της μετακίνησης στο σημείο αυτό κατάστρωση εξισώσεων του συμβιβαστού των παραμορφώσεων (ίσες με τον αριθμό των δεσμεύσεων που αφαιρέθηκαν). Αφού υπολογιστούν οι άγνωστες δεσμεύσεις, εφαρμόζονται στον αρχικό φορέα και υπολογίζονται οι υπόλοιπες αντιδράσεις.

Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-7 Μέθοδος των Δυνάμεων: Βαθμός υπερστατικότητας = 1 Οφορέαςστοσχήμα(a) είναι μία φορά υπερστατικός αφού υπάρχουν 4 άγνωστες αντιδράσεις και μόνο 3 εξισώσεις ισορροπίας χρειάζεται ακόμα 1 εξίσωση. Τυχαία επιλέγεται να αφαιρεθεί η δέσμευση R B από την κύληση στο σημείο Β, ώστε να προκύψει ένας στερεός ισοστατικός φορέας (σχήμα (b)). Ο θεμελιώδης φορέας που προκύπτει είναι ένας πρόβολος με ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο w και μία άγνωστη δύναμη R B στοελεύθεροάκρο. Αφού οι δύο δοκοί στα σχήματα (a) και (b) φέρουν τα ίδια φορτία, τότε τα διαγράμματα τεμνουσών και ροπών θα είναι τα ίδια εφόσον και οι συνοριακές συνθήκες είναι οι ίδιες. Άρα, για να παραμορφωθούν οι δύο φορείς με τον ίδιο τρόπο απαιτείται η μετακίνηση στο σημείο Β του θεμελιώδους φορέα να ισούται με μηδέν: Δ Β = 0.

Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-8 Μέθοδος των Δυνάμεων: Βαθμός υπερστατικότητας = 1 Για την επίλυση του θεμελιώδους φορέα, θεωρούμε δύο επιμέρους αναλύσεις, όπως φαίνονται στα σχήματα (c) και (d). Στο σχήμα (c) φαίνονται οι αντιδράσεις και η μετακίνηση στο σημείο Β, Δ Β0, λόγω του ομοιόμορφου κατανεμημένου φορτίου w. Στο σχήμα (d) φαίνονται οι αντιδράσεις και η μετακίνηση στο σημείο Β, Δ ΒΒ, λόγω της άγνωστης δύναμης Χ B. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση του συμβιβαστού των παραμορφώσεων, Δ Β = 0, καταστρώνεται η ζητούμενη εξίσωση: Δ Β0 +Δ ΒΒ = 0 Οι μετακινήσεις Δ Β0 και Δ ΒΒ μπορούν να προσδιοριστούν από την Αρχή Δυνατών Έργων, απότημέθοδοροπών, ή από πίνακες.

Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-9 Μέθοδος των Δυνάμεων: Βαθμός υπερστατικότητας = 1 Τιμές μετακινήσεων σε δοκούς

Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ07-10 Μέθοδος των Δυνάμεων: Βαθμός υπερστατικότητας = 1 Εκφράζοντας τις μετακινήσεις ως προς τα επιβαλλόμενα φορτία και τις ιδιότητες των μελών του φορέα, έχουμε: 4 3 wl L + XB = 0 8EI 3EI Απ όπου υπολογίζουμε την άγνωστη Χ Β : = 3 wl XB 8 Αφού υπολογιστεί η άγνωστη Χ Β, υπολογίζουμε τις άγνωστες αντιδράσεις στο σημείο Α, και κατασκευάζουμε τα διαγράμματα τεμνουσών και ροπών. 5wL RA = wl XB = 8 2 2 wl wl MA = XBL = 2 8 Ως σύμβαση προσήμου, θεωρούμε θετικές μετακινήσεις αυτές που είναι στη διεύθυνση της δέσμευσης που αφαιρέθηκε.

Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ07-11 Εξίσωση Συμβιβαστού των Παραμορφώσεων Η μετακίνηση Δ ii λόγω του υπερστατικού μεγέθους Χ i (άγνωστη δέσμευση που αφαιρέθηκε για να προκύψει ο θεμελιώδης φορέας), μπορεί να υπολογιστεί αφού επιβάλουμε μοναδιαίο φορτίο στοσημείοαυτόκαιμετά πολλαπλασιάσουμε με την άγνωστη Χ i. Έτσι στο πιο κάτω παράδειγμα, η μετακίνηση Δ ΒΒ μπορεί να υπολογιστεί από το θεμελιώδη φορέα: (a) εφαρμόζοντας δύναμη Χ Β στο άκρο Β, οπότε η Δ ΒΒ υπολογίζεται συναρτήσει του Χ Β, ή (b) εφαρμόζοντας μοναδιαία δύναμη στο Β, και αφού υπολογίσουμε το δ ΒΒ, να πολλαπλασιάσουμε με Χ Β : Δ ΒΒ =Χ Β δ ΒΒ.

Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ07-12 Εξίσωση Συμβιβαστού των Παραμορφώσεων (...) Η μετακίνηση που προκαλείται από το μοναδιαίο φορτίο, δ ΒΒ (ή f BB ), ονομάζεται συντελεστής ευκαμψίας. Οι μονάδες του συντελεστή ευκαμψίας είναι μήκος/δύναμη (π.χ. mm/kn ή in/kip). Αφού καταστρωθεί η εξίσωση συμβιβαστού των παραμορφώσεων και υπολογιστούν οι μετακινήσεις λόγω αρχικής (δοσμένης) και μοναδιαίας φόρτισης, υπολογίζονται τα υπερστατικά μεγέθη και εφαρμόζονται στον αρχικό φορέα για να υπολογιστούν οι υπόλοιπες αντιδράσεις.

Παράδειγμα Π7-1 Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ07-13 Να επιλυθεί η δοκός με τη Μέθοδο των Δυνάμεων αφού αφαιρεθεί η δέσμευση Μ Α από την πάκτωση στο σημείο Α. Οφορέαςστοσχήμα(a) είναι μία φορά υπερστατικός. Αφαιρώντας τη δέσμευση Μ Α, μετατρέπουμε την πάκτωση σε άρθρωση. Στο σχήμα (b) φαίνεται ο θεμελιώδης φορέας με την αρχική φόρτιση w και την άγνωστη δύναμη στο σημείο που αφαιρέθηκε ηδέσμευση, Χ Α. H ανάλυση του θεμελιώδους φορέα ανάγεται σε επαλληλία δύο αναλύσεων: λόγω της δοσμένης εξωτερικής φόρτισης (σχήμα (c)), και λόγω του υπερστατικού μεγέθους Χ Α (σχήμα (d)). Η εξίσωση συμβιβαστού των παραμορφώσεων σ αυτήν την περίπτωση είναι: θ Α = 0 Άρα, το άθροισμα της μετακίνησης λόγω της δοσμένης εξωτερικής φόρτισης, θ Α0, και της μετακίνησης λόγω της δέσμευσης που αφαιρέθηκε, θ ΑΑ Χ Α, πρέπει να ισούται με μηδέν: θ Α0 + θ ΑΑ Χ Α = 0 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π7-1 (...) Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ07-14 όπου θ Α0 = στροφή λόγω ομοιόμορφου κατανεμημένου φορτίου w. = wl 3 /(24EI) (από πίνακες) θ ΑΑ = στροφή λόγω μοναδιαίου φορτίου στο σημείο Α όπου αφαιρέθηκε η Μ Α. = L/(3EI) (από πίνακες) Χ Α = υπερστατικό μέγεθος (άγνωστη δέσμευση που αφαιρέθηκε) στο σημείο Α. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση συμβιβαστού προκύπτει το υπερστατικό μέγεθος Χ Α : 3 wl L X A + = 24EI 3EI 2 wl XA = MA = 8 0 Αφούηροπήέχειθετικήτιμή, αυτό σημαίνει ότι η υπόθεση που έγινε για τη φορά της Χ Α (αντιωρολογιακή) ήταν σωστή. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π7-2 Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ07-15 Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις και οι δυνάμεις των ράβδων του δικτυώματος. [ΑΕ σταθερό]. Το δικτύωμα στο σχήμα (a) είναι εξωτερικά μία φορά υπερστατικό. Επιλέγεται (τυχαία) ως υπερστατικό μέγεθος ηαντίδρασηr C της κύλησης στο σημείο C και αφαιρείται η δέσμευση που επιβάλλει για να προκύψει ο θεμελιώδης φορέας. H ανάλυση του θεμελιώδους φορέα ανάγεται σε επαλληλία δύο αναλύσεων: λόγω της δοσμένης εξωτερικής φόρτισης (σχήμα (b)), και λόγω της άγνωστης δέσμευσης που αφαιρέθηκε (σχήμα (c)). ΗκύλησηστοC αποτρέπει κάθε κατακόρυφη μετακίνηση. Άρα, η εξίσωση συμβιβαστού των παραμορφώσεων σ αυτήν την περίπτωση είναι: Δ CV = 0 Άρα, το άθροισμα της μετακίνησης λόγω της δοσμένης εξωτερικής φόρτισης, Δ C0, και της μετακίνησης λόγω της δέσμευσης που αφαιρέθηκε, δ CC Χ C, πρέπει να ισούται με μηδέν: Δ C0 + δ CC Χ C = 0 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π7-2 ( ) Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ07-16 όπου Δ C0 = μετακίνηση λόγω του αρχικού φορτίου 9 kips. δ CC = μετακίνηση λόγω μοναδιαίου φορτίου στο σημείο C όπου αφαιρέθηκε η R C. Χ C = υπερστατικό μέγεθος (άγνωστη δέσμευση που αφαιρέθηκε) στο σημείο C. Οι μετακινήσεις Δ C0 και δ CC μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας την Αρχή Δυνατών Έργων, που για το συγκεκριμενο πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής: 1 δ = N Δ L = NNL EA όπου 1 δ N N L = δυνατό εξωτερικό μοναδιαίο φορτίο, ασκούμενο σε κόμβο του δικτυώματος κατά τη διεύθυνση της μετακίνησης = πραγματική μετακίνηση του θεωρούμενου κόμβου (προκαλούμενη από τα πραγματικά φορτία του φορέα) = εσωτερική αξονική δύναμη στη ράβδο του δικτυώματος προκαλούμενη από τα πραγματικά φορτία του φορέα = εσωτερική αξονική δύναμη στη ράβδο του δικτυώματος προκαλούμενη από το δυνατό εξωτερικό μοναδιαίο φορτίο = μήκος, E = μέτρο ελαστικότητας, A = εμβαδόν διατομής ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π7-2 ( ) Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ07-17 Για να υπολογίσουμε τη Δ C0 (σχήμα (b)), θεωρούμε ως δυνατό σύστημα το σχήμα (c), με μοναδιαία δύναμη κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης. 1 Δ = C 0 NN L EA 5 7.5(25 12) = 3 AE 3750 Δ C 0 = AE Για να υπολογίσουμε τη δ CC (σχήμα (c)), θεωρούμεκαιπάλιωςδυνατόσύστημα το σχήμα (c). 1 δ = δ CC CC NN L EA 4 4 (20 12) 5 5 (25 12) = (2) (2) 3 3 + AE 3 3 AE 2520 = AE ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

Παράδειγμα Π7-2 (...) Μέθοδος των Δυνάμεων:Δ07-18 Αντικαθιστώντας στην εξίσωση συμβιβαστού προκύπτει το υπερστατικό μέγεθος Χ C : 3750 2520 + XC = EA EA X = R = 1.49 kip C C 0 Αφού υπολογιστεί η αντίδραση Χ C, προσδιορίζουμε τις άγνωστες αντιδράσεις και δυνάμεις των ράβδων από επαλληλία των μεγεθών του σχήματος (b) και 1.49 φορές τα μεγέθη του σχήματος (c). Για παράδειγμα: R F A ED 4 = 6 (1.49) = 4.01 kip 3 5 = 7.5 + (1.49) = 5.02 kip 3 Στο σχήμα (d) φαίνονται οι τελικές τιμές των αντιδράσεων και των δυνάμεων στις ράβδους. ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II