Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : p(t) v(t) v(t) Πίεση στό γκάζι Σήµα εισόδου t ΣΥΣΤΗΜΑ Ταχύτης του αυτοκινήτου Σήµα εξόδου t Αν y() t είναι η θέση του αυτοκινήτου την χρονική στιγµή t ως προς µία αρχή συντεταγµένων, F ( t ) είναι η ολική δύναµη που ασκείται απάνω στο αυτοκίνητο την χρονική στιγµή t µέσω της µηχανής και των τριβών και M η µάζα του, τότε από τον νόµο του Newton έχουµε ότι ή Μάζα επιτάχυνση ύναµη () 2 d y t dy t M F 2 () t x() t kf () dt dt dy t όπου x() t η δύναµη από την µηχανή και k f η dt δύναµη που ασκείται απάνω στο αυτοκίνητο λόγω των τριβών (η οποία είναι αντίθετη µε την δύναµη που ασκείται από την µηχανή) και είναι ανάλογη της ταχύτητας
() v t µέσω ενός συντέλεστου τριβής k f. Η () λόγω της (2) γράφεται () k f dy t (2) dt dv t v() t x() t (3) dt M M Αν, X s είναι αντίστοιχα οι µετασχηµατισµοί Laplae των v() t και x( t ), αν δηλαδή x() t X ( s) v( t) V ( s) τότε, µετασχηµατίζοντας κατά Laplae την (3) έχουµε k s v X s M M f ( ) k f s v X s M M ( ) v ( ) M kf kf s s M M X s 2
Αν a k, f b M M τότε η παραπάνω σχέση γράφεται v ( ) a ( s b) ( s b) X s (4) Θεωρώντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplae της (4) έχουµε () v ( ) a ( s b) ( s b) { } ( s b) ( s b) v t L L X s ( ) v L al X s Ή τελικά ή τ t bt bt ( τ ) v e a e x d ( ) () ( ) τ τ ( τ) τ t bt bt ( τ ) v t v e a e x d τ ( τ ) τ () () v t v t v t ελ Όπου vελ t η ελεύθερη απόκριση (ταχύτητα) και vδυν t η δυναµική απόκριση: δυν () 3
τ t bt bt ( τ ) vελ () t v( ) e, vδυν () t a e x( τ ) d τ Η παραπάνω σχέση λεέι ότι τ Ολική απόκριση ελεύθερη απόκριση δυναµική απόκριση Αν η δύναµη x() t που οφείλεται στην µηχανή, την οποία θεωρούµε σαν είσοδο του συστήµατος, είναι µηδέν:, t x t και θεωρήσουµε σαν έξοδο του συστήµατος την ταχύτητα v( t ) του αυτοκινήτου, τότε η έξοδος του συστήµατος (δηλαδή η ελεύθερη απόκριση του συστήµατος (ταχύτητα) η οποία οφείλεται µόνο στην τιµή της αρχικής ταχύτητας v ( ) την χρονική στιγµή t ) είναι ( ) v t v e bt Αν είναι ( ) v, τότε επειδή b >, θα είναι M k f bt limv t limv e t t και άρα το σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. 4
v Από την (4) για η συνάρτηση µεταφοράς H s του συστήµατος είναι X s H s a ( s b) X ( s ) V a ( s ) ( s b) Αν θεωρήσουµε ότι a είναι, b. τότε το διάγραµµα πόλων jω επιπεδο s σ jω b.. M σ x t u t, t, x t, t< Αν η είσοδος είναι () τότε και X s s 5
s H( s) X ( s) ( s.) s ( s.) Γράφοντας την έκφραση του V( s ) σαν άθροισµα κλασµάτων έχουµε ( s.) s s ( s.) Και άρα η απόκριση του συστήµατος σε είσοδο την µοναδιαία συνάρτηση βαθµίδας u( t) είναι v() t L V ( s) L s s. t () () t u t e u t e t.., 2 v() t 8 6 4 2 2 t 3 4 5 Και από το «θεώρηµα της τελικής τιµής» έχουµε ότι 6
limv() t lim sv( s) lim s lim t s s ( s.) s s ( s.). Βλέπουµε δηλαδή ότι µε την δεδοµένη συνάρτηση µεταφοράς H( s) s., αν η είσοδος είναι η µοναδιαία συνάρτηση u t, t, u t, t<, τότε η τελική τιµή βαθµίδας () της ταχύτητας του αυτοκινήτου είναι -πλάσια της τιµής της εισόδου. Πρόβληµα Σ H είναι το σύστηµα «αυτοκίνητο» να βρεθεί ένα άλλο Αν σύστηµα Σ( C) το οποίο ονοµάζουµε «ελεγκτή» (ontroller) τέτοιο ώστε αν τα δύο συστήµατα συνδεθούν σε συνδεσµολογία µοναδιαίας ανάδρασης (unity feedbak) όπως στο σχήµα έτσι ώστε et rt vt να είναι το σφάλµα µεταξύ της εισόδου αναφοράς (επιθυµητής ταχύτητας) r() t και της πραγµατικής ταχύτητας v() t τότε να ισχύει η σχέση lim et t C( s) Επιθυµούµε δηλαδή να επιλέξουµε τον ελεγκτή έτσι ώστε όταν ο χρόνος t η τιµή της εξόδου v() t (ταχύτητα 7
του αυτοκινήτου) να ισούται µε την τιµή της εισόδου αναφοράς r t : () lim t lim v( t) r t t qt r() t et () Σ(C) y ( t ) x( t ) Σ(Η) v( t ) - Ελεγκτής Σύστηµα Στο παραπάνω σχήµα y qt () δρα στο σύστηµα. Έστω ότι (Σχήµα ) t είναι ή έξοδος του ελεγκτή και είναι µία εξωτερική ανεπιθύµητη διαταραχή η οποία Es () Qs () et qt y t Y s Από το παραπάνω διάγραµµα έχουµε ότι αν η εξωτερική διαταραχή qt τότε είναι () C s H s C s H s R s 8
Επίσης αν r() t τότε Λόγω γραµµικότητας είναι H s C s H s Q s C s H s H s V( s) R( s) Q s C s H s C s H s Έστω ότι τα σήµατα r( t), έτσι ώστε () (), q t είναι συναρτήσεις βαθµίδας r t ru t q t q u t, r, q Έστω επίσης ότι H s r, q o, s s Q( s) R s,,, [ ] N s N s, C( s) D s D s N s D s N s D s s Ο µετασχηµατισµός Laplae της ταχύτητας είναι 9
C s H s r H s q C s H s s C s H s s ( s) N s N s r q H( s) C( s) r q D s D s C( s) H( s) s N s N s s D s D N s N s r D s q D s D s N s N s s (X) Έστω ότι θέλουµε να είναι lim limt v t r t r t (5) Η (5) ικανοποιείτε διαλέγοντας την συνάρτηση µεταφοράς N ( s) του ελεγκτή C( s) D s έτσι ώστε:. D ( s) sd ( s) (δηλαδή µε ένα πόλο στο µηδέν), και 2. το κλειστό σύστηµα να είναι ασυµπτωτικά ευσταθές, (δηλαδή όλες οι ρίζες s i της χαρακτηριστικής εξίσωσης του κλειστού συστήµατος
D s D s N s N s i i i i να βρίσκονται εντός του ανοιχτού αριστερού { s, Re s <} ). µιγαδικού ηµιεπιπέδου ιότι από το θεώρηµα της τελικής τιµής () lim lim x t X s x t sx s t s N s N s r D s q limv() t lim sv( s) lim s t s s D s D s N s N s s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N r D q D D N N και αν η συνθήκη ) ικανοποιείται, αν δηλαδή D s sd s Τότε ( ) D και άρα () lim v t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N ( ) N N r D q N N r D D N N N r Από την παραπάνω ανάλυση βλέπουµε ότι αν στην περίπτωση του αυτοκινήτου επιλέξουµε
C s N s s D s s Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του κλειστού συστήµατος είναι 2 D s D s N s N s s. s s s.s 3 3 3 3 s j s j 2 2 2 2 Και άρα οι δύο ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του κλειστού συστήµατος είναι οι 3 3 3 3 s j, s j 2 2 2 2 και άρα ευρίσκονται εντός του, δηλαδή το κλειστό σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. Από το διάγραµµα ροής του σχήµατος η έξοδος του ελεγκτή C s είναι 2
s s Y s E s R s s s s r r V ( s) V ( s) s s s s r r s s s V ( s) Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplae της Y ( s) είναι () () () y t ru t v t ru τ v τ dτ Και αν t et rut vt τότε ή έξοδος του ελεγκτή και είσοδος στο σύστηµα του αυτοκινήτου είναι () () ( τ) t y t e t e dτ, t Ο τρόπος αυτός ελέγχου είναι γνωστός σαν PI ontrol (P proportional, I Integral) και αποτελεί τον παραδοσιακό τρόπο ελέγχου που χρησιµοποιείτε στην βιοµηχανία. 3
Αν r, q, από την (Χ) έχουµε ότι ο µετασχηµατισµός Laplae της ταχύτητας του αυτοκινήτου είναι N s N s r D s q D s D s N s N s s s s 2s s 2 2 ( s.s ) s ( s.s ) Γράφοντας την παραπάνω έκφραση σαν άθροισµα κλασµάτων και θεωρώντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplae ()της (κάντε το) τελικά έχουµε v t.55t () () 2.385 os(.8356 9,94 ) v t u t e t Η γραφική παράσταση της παραπάνω έκφρασης είναι 4
Επίσης είναι ( s ) 2 2s limv() t lim sv( s) lim s lim t s s s 2 s s s s.s ( ) 2 (. ) K s Για C( s) το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του s κλειστού συστήµατος είναι 2 D s D s N s N s s. s K s s ( K.) s και ο γεωµετρικός τόπος των ριζών είναι 5
( ) K s s s. Μηδενικό του ελεγκτή Πόλος του αυτοκινήτου Πόλοι για K Πόλος του ελεγκτή K. K 6