Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του Π.Ο της μόνον και μόνον όταν υπάρχει το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 πραγματικός αριθμός. και είναι Η παραγωγισιμότητα σε σημείο ελέγχεται με τον ορισμό. Ισοδύναμος ορισμός με τον παραπάνω είναι και αυτός της f(x h) f(x ) 0 0 γενικής, δηλαδή: αν το όριο lim υπάρχει και είναι h0 h πραγματικός αριθμός τότε αυτό είναι o παράγωγος αριθμός της f στο x 0 και συμβολίζεται με f (x 0 ). Ο παραπάνω ορισμός εφαρμόζεται συχνά, κυρίως όταν δίνεται συναρτησιακή σχέση της μορφής f(x+y)=. Η παραγωγισιμότητα σε διάστημα ελέγχεται με τον ορισμό για τυχαίο σημείο του διαστήματος. Για την παραγωγισιμότητα σε κλειστό διάστημα ισχύουν παρόμοια με τα της συνέχειας σε κλειστό. Δηλαδή μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα [α,β] όταν είναι f(x) f(a) παραγωγίσιμη στο ανοιχτό και επιπλέον ισχύουν lim R x a + x a f(x) f(β) και lim R. x β x β Αν έχω απόλυτα στον τύπο της συνάρτησης πριν παραγωγίσω πρέπει να βγάλω τα απόλυτα και να καταλήξω σε πολλαπλό τύπο. Οπότε παραγωγίζω κατά κλάδο και στα σημεία αλλαγής τύπου δουλεύω με τον ορισμό. ΥΤΣΥΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 ΑΠΟ 9
Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι συνεχής. Κάθε συνεχής όμως δεν είναι παραγωγίσιμη. Κάθε μη συνεχής φυσικά είναι και μη παραγωγίσιμη. Προκειμένου να υπολογίσω παραμέτρους ώστε μια συνάρτηση να f(x) f(a) είναι παραγωγίσιμη στο α, εκτός του ότι πρέπει να ισχύει lim = x a + x a R μία κρυφή σχέση προκύπτει από την συνέχεια. (αν δεν f(x) f(a) lim x a x a την χρειασθώ δεν την αναφέρω) Aν μου ζητούν να ελέγξω αν μια συνάρτηση είναι ή όχι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, βολεύει πολλές φορές να ελέγξω την συνέχεια στο σημείο αυτό. Αν δεν είναι συνεχής τότε αποκλείεται να είναι παραγωγίσιμη. Αν είναι συνεχής τότε δεν το αναφέρω και ελέγχω την παραγωγισιμότητα συνήθως με τον ορισμό. Η παράγωγος μιας συνάρτησης δεν είναι κατ ανάγκην συνεχής. Οπότε γενικά δεν ισχύει lim f (x) = f (x 0 ). x x0 Αν παρουσιασθεί σε όριο το f (x) και γνωρίζω το f (x 0 ) τότε προσπαθώ να σχηματίσω το πηλίκο διαφορών του οποίου ξέρω το όριο. f(x) f(x Δηλαδή lim 0 ) = f (x x x0 x x 0 ) lim f (x). 0 x xo Αν γνωρίζω τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης f(x) και ζητώ τον f (x 0 ), μπορώ να παραγωγίσω την f και να θέσω όπου x το x 0. ΥΤΣΥΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 2 ΑΠΟ 9
Προσοχή θέλει το εξής: (f(x)) = f (x) όμως (f(xο)) f (xο) γιατί (f(x 0 )) =0 αφού το f(x 0 ) είναι αριθμός και ως εκ τούτου έχει παράγωγο 0. Προσοχή: ανισοτικές σχέσεις δεν παραγωγίζονται. Για παράδειγμα ενώ ημx<2 x R εν τούτοις αν παραγωγίσω προκύπτει η σχέση συνx<0 που δεν ισχύει x R. Ίσες συναρτήσεις έχουν ίσες παραγώγους. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Μπορεί f (x)=g (x) και f(x) g(x). Οι f(x)=x 2 και g(x)=x 2 +c έχουν ίσες παραγώγους f (x)=g (x)=2x. Προσοχή στα Π.Ο και την παραγώγιση των f(x)= x α, g(x)=α x, t(x)=s(x) d(x) ν και h(x)= r(x) k. f(x)= x α βάση μεταβλητή και εκθέτης σταθερός f (x)=α.x α-1 g(x)=α x βάση σταθερή και εκθέτης μεταβλητός g (x)=α x. lnα t(x)=s(x) d(x) βάση και εκθέτης μεταβλητές όπως λήμμα 8 ν h(x)= r(x) k όπως λήμμα 9 Οποιαδήποτε συνάρτηση αν αντί για x έχει x ή αx ή x 2 ή οτιδήποτε άλλο θεωρείται σύνθετη και παραγωγίζεται ανάλογα. Στην παραγώγιση σύνθεσης (f o g)(x) στο x 0 πρέπει η g να παραγωγίζεται στο x 0 ενώ η f στο g(x 0 ) και όχι κατ ανάγκη στο x 0. Επίσης στην παραγώγιση σύνθεσης (f o g)(x) στο Δ, πρέπει η g να παραγωγίζεται στο Δ ενώ η f στο g(δ) και όχι κατ ανάγκη στο Δ. ΥΤΣΥΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 3 ΑΠΟ 9
ΥΤΣΥΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 4 ΑΠΟ 9
Ρυθμός μεταβολής. Βασικά σημεία για τη λύση προβλημάτων ρυθμού μεταβολής, είναι τα παρακάτω: Φτιάχνουμε ένα απλό σχήμα, όπου μπορούμε Εισάγουμε μεταβλητές, που νομίζουμε ότι μας βοηθάν και δημιουργούμε σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών κυρίως από το σχήμα ή από τη σχετική με την άσκηση θεωρία. Προσδιορίζω όλα τα σταθερά και μεταβλητά μεγέθη του προβλήματος και σημειώνω τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής, παραγωγίζοντας τις σχέσεις που προέκυψαν, αλλά ισχύουν για κάθε τιμή της μεταβλητής. Βρίσκω τις τιμές των μεταβλητών τη χρονική στιγμή που μας ενδιαφέρει, αντικαθιστώντας στον γενικό τύπο, που έχει προκύψει. Προσέχω τις μονάδες. Προσέχω οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις να είναι σε ακτίνια. Προσοχή στα οριακά κόστη, οριακές εισπράξεις και οριακά κέρδη σε προβλήματα οικονομίας. Προσοχή και με το μέσο κόστος. Στο βιβλίο αναφέρεται ως Κ μ (x) = K(x) x ενώ στην βιβλιογραφία ως Κ μ (x) = K(x) Κ(0) x ΥΤΣΥΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 5 ΑΠΟ 9
Εξίσωση εφαπτομένης Στα προβλήματα με εφαπτόμενες θεωρώ πάντα ότι έχουν την μορφή y=f (x 0 )(x-x 0 )+f(x 0 ) (1) όπου (x 0, f(x 0 )) το σημείο επαφής και ανάλογα με τα δεδομένα προσπαθώ να βρω το στοιχείο που μου λείπει. Συγκεκριμμένα: Γνωρίζω τα σημείο επαφής, ζητώ εφαπτόμενη Γνωρίζω κλίση λ ή στοιχεία για να τη βρω ( σε γνωστή ευθεία, // σε γνωστή ευθεία, γνωστή γωνία με xx ) και ζητώ εφαπτόμενη Ζητώ εφαπτομένη που περνά από γνωστό σημείο Β(x 1, y 1 ) C f Ζητώ να δείξω ότι μία ευθεία, η y= αx+β είναι εφαπτόμενη της f(x) Ζητώ κοινή εφαπτόμενη σε κοινό σημείο των C f, C g Υπολογίζω τα f(x 0 ), f (x 0 ) και αντικαθιστώ στην (1) Από τη σχέση κλίση λ = f (x 0 ) λύνω την εξίσωση f (x)=λ και βρίσκω το x 0 και μετά το f(x 0 ) και τα αντικαθιστώ στην (1) Οι συντεταγμένες του Β επαληθεύουν την (1), από όπου βρίσκω το x 0 και κατόπιν την εφαπτόμενη. Θέλω για κατάλληλο x 0 η y=αx+β να ταυτίζεται με την (1). Οπότε πρέπει f(x 0 )=αx 0 +β και f (x 0 )=α Απαιτώ f(x 0 )=g(x 0 ) κοινό σημείο και f (x 0 )=g (x 0 ) ίδια κλίση ΥΤΣΥΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 6 ΑΠΟ 9
Ζητώ κοινή εφαπτόμενη δύο καμπυλών όχι κατ ανάγκην σε κοινό τους σημείο (η μέθοδος που περιγράφουμε δίνει και την κοινή εφαπτόμενη σε κοινό σημείο όταν προκύψει x 1 =x 2.) Έστω Α(x 1,f(x 1 )) το σημείο επαφής της εφαπτομένης με την C f και Β(x 2,g(x 2 )) το σημείο επαφής της εφαπτομένης με την C g.άρα έχουν τη μορφή y=f (x 1 )(x-x 1 )+f(x 1 )= =f (x 1 )x +f(x 1 )-f (x 1 ).x 1 (2) και y=g (x 2 )(x-x 2 )+g(x 2 )= =g (x 2 )x 2 +g(x 2 )-g (x 2 ).x 2 (3). Απαιτώ οι (2), (3) να ταυτίζονται άρα θέλω f (x 1 )=g (x 2 ) και f(x 1 )-f (x 1 ).x 1 = g(x 2 )-g (x 2 ).x 2 Η λύση του συστήματος δίνει τα x 1, x 2 άρα και τις εφαπτόμενες. ΥΤΣΥΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 7 ΑΠΟ 9
Θεώρημα Rolle Θ.Μ.Τ Το Θ.Μ.Τ εφαρμόζεται σε κλειστό διάστημα [α, β] στο οποίο η f είναι συνεχής και επιπλέον είναι παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α, β). Το συμπέρασμα είναι ότι στο ανοιχτό (α, β) η f (x) παίρνει μία τουλάχιστον φορά την τιμή f( ) f(a) ή ισοδύναμα η εξίσωση f (x)= f( ) f(a) έχει μία τουλάχιστον λύση στο (α,β), ή ότι η C f έχει τουλάχιστον μία εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία ΑΒ με Α(α,f(α)) και Β(β, f(β)). Ειδική περίπτωση είναι το Θ.Rolle για το οποίο επιπλέον ισχύει f(α)=f(β). Το συμπέρασμα είναι ότι στο ανοιχτό (α, β), η f (x) έχει μία τουλάχιστον ρίζα ή ισοδύναμα η εξίσωση f (x)=0 έχει μία τουλάχιστον λύση, ή ότι η C f έχει τουλάχιστον μία εφαπτομένη παράλληλη στον xx. Τα παραπάνω θεωρήματα εφαρμόζονται σε κλειστό διάστημα [α, β] και το συμπέρασμά τους είναι στο ανοιχτό διάστημα (α, β). Αν θέλω να δείξω ότι μία εξίσωση της μορφής f(x)=0 έχει τουλάχιστον μία λύση σε ένα ανοιχτό διάστημα (α, β), αφού δω πρώτα ότι δεν εφαρμόζεται Θ. Bolzano, βρίσκω μια παράγουσα της f και εφαρμόζω Θ.Rolle. Μεταξύ δύο ριζών της f, βρίσκεται τουλάχιστον μία ρίζα της f. Το αντίστροφο δεν ισχύει, μπορεί δηλ η f (x)=0 να έχει ρίζα και η f(x)=0 να μην έχει καν ρίζα. Ύπαρξη τουλάχιστον κ ριζών, ίσως είναι εφαρμογή Θ. Rolle σε κ κατάλληλα επιλεγμένα υποδιαστήματα. ΥΤΣΥΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 8 ΑΠΟ 9
Τα άκρα των διαστημάτων μπορεί να είναι και κάποια x 0 από προηγούμενα ερωτήματα στα οποία η f έχει κάποια ιδιότητα. Ύπαρξη το πολύ κ ριζών: υποθέτω ότι έχει τουλάχιστον κ+1 και εφαρμόζω Θ. Rolle στα κ διαστήματα που ορίζουν οι ρίζες, οπότε η f θα έχει τουλάχιστον κ ρίζες, ομοίως η f θα έχει τουλάχιστον κ-1 κ.ο.κ μέχρι να καταλήξουμε σε άτοπο. Ύπαρξη ακριβώς κ ριζών: με κάποιο τρόπο τουλάχιστον κ και με κάποιο τρόπο το πολύ κ. Ύπαρξη ν τιμών ξ i (α, β) i=1,2,,ν που ικανοποιούν μία συνθήκη (A) της μορφής κ 1. f (ξ 1 ) +κ 2.f (ξ 2 )+ +κν.f (ξν)=a : εφαρμογή ΘΜΤ σε ν υποδιαστήματα του [α, β] πλάτους δ i = k i k. Πάντα πρέπει να έχουμε υπόψη ενδιάμεσα σημεία, που έχουν κάποια ιδιότητα από προηγούμενα ερωτήματα. Ανισότητα, ιδιαίτερα διπλή, θυμίζει ΘΜΤ. Συνήθως ξέρω την μονοτονία της παραγώγου και με το ΘΜΤ, αφού δημιουργήσω το πηλίκο διαφορών, από τη σχέση α<ξ<β πάω σε σχέση με παραγώγους. μεταβλητά. Σημειωτέον ότι μπορεί ένα άκρο ή και τα δύο άκρα να είναι Με Θ.Μ.Τ βρίσκω πρόσημο παραγώγου (σε σημείο). πχ αν f(α)<f(β) τότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β) τέτοιο ώστε f( ) f(a) f'( ) 0 a ΥΤΣΥΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΣΕΛΙΔΑ 9 ΑΠΟ 9