Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute axiomele: i) operaţia " " este asociativă, ii) operaţia " " admite element neutru, iii) orice element din G este simetrizabil faţă de operaţia " ". Dacă, în plus, este satisfăcută axioma: iv) operaţia " " este comutativă, atunci spunem că grupul (G, ) este comutativ (abelian). Cel mai adesea vom nota operaţia unui grup sub formă multiplicativă, elementul său neutru cu e, iar inversul unui element x cu x -1. Propoziţia 1. Pentru un semigrup (G, ), următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) (G, ) este grup. ii) Pentru orice a, b G, ecuaţiile ax = b şi ya = b admit soluţii în G. iii)a)există e d G (respectiv e s G) astfel încât xe d = x (respectiv e s x = x), pentru orice x G. 1

b)pentru orice x G există ' x d G (respectiv ' x s G) astfel încât x x = e d (respectiv ' d ' xs x = e s ). Definiţia 2. O submulţime nevidă H a unui grup (G, ) se numeşte subgrup al lui G (şi notăm acest fapt prin H G), dacă îndeplineşte următoarele condiţii: i) H este parte stabilă a lui G. ii) H înzestrată cu operaţia indusă este grup. Propoziţia 2. Pentru o submultime nevidă H a unui grup (G, ), următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) H este subgrup al lui G. ii) a)pentru orice x, y H rezultă xy H. b)pentru orice x H rezultă xx -1 H. iii) Pentru orice x, y H rezultă xy -1 H. Observaţie. Dacă (G, ) este un grup, atunci {e} şi G sunt subgrupuri ale lui G numite improprii; orice alt subgrup al lui G va fi numit propriu. Propoziţia 3. Dacă (G, ) este un grup şi (H i ) i I este o familie de subgrupuri ale lui G, atunci i I H i este subgrup al lui G. Definiţia 3. Fie (G, ) un subgrup şi S o submulţime a lui G. Intersecţia tuturor subgrupurilor lui G care conţin mulţimea S (această intersecţie fiind un subgrup, conform propoziţiei precedente) se numeşte subgrupul generat de S în G şi se notează cu [S]. 2

Dacă H este un subgrup al lui G şi H = [S], atunci spunem că S este un sistem de generatori al lui H sau că S generează pe H. Dacă, în plus, S este finit, atunci spunem că H este finit generat sau de tip finit. Un subgrup H al lui G care admite un sistem de generatori format dintr-un singur element s se numeşte subgrup ciclic generat de s şi se notează cu [s]. Propoziţia 4. Dacă (G, ) este un grup şi S este o submulţime a lui G, atunci subgrupul [S] al lui G generat de S este format din toate produsele finite de elemente din S şi de inverse ale acestora. Observaţie. Dacă (G, ) este un grup, L(G) = {H H G} şi introducem următoarele operaţii binare pe L(G): i) " " : L(G) L(G) L(G), (H 1, H 2 ) H 1 H 2 = H 1 H 2, ii) " " : L(G) L(G) L(G), (H 1, H 2 ) H 1 H 2 = [H 1 H 2 ], atunci (L(G),, ) este o latice completă, numită laticea subgrupurilor grupului G. Fie, în cele ce urmează, un grup G şi H un subgrup al lui G. Considerăm pe G relaţiile binare R s şi R d definite prin: x R s z, dacă x -1 y H, x R d y, dacă xy -1 H. R s şi R d sunt relaţii de echivalenţă pe G, numite relaţiile de congruenţă la stânga, respectiv la dreapta modulo H. Clasa de echivalenţă a unui element x G relativ la R s (respectiv R d ) este xh = {xh h H} (respectiv Hx = {hx h H}). 3

xh G/ R s d Propoziţia 5. Aplicaţia ϕ : G/ R G/ R, ϕ(xh) = Hx -1, oricare ar fi s este o bijecţie. s d În particular, dacă una din mulţimile factor G/ R sau G/ R este finită, atunci şi cealaltă este finită şi ele au acelaşi număr de elemente. Spunem în acest s d caz că H are indice finit în G, iar numărul G/ R = G/ R se numeşte indicele lui H în G şi se notează cu [G : H]. Definiţia 4. Dacă G este un grup finit, atunci numărul elementelor sale se numeşte ordinul lui G şi se notează cu ordg. Propoziţia 6. (teorema lui Lagrange) Dacă G este un grup finit şi H un subgrup al său, atunci : ordg = [G : H] ordh. Propoziţia 7. Fie (G, ) un grup şi H un subgrup al lui G. Următoarele condiţii sunt echivalente: i) Relaţiile de congruenţă la stânga şi la dreapta modulo H coincid. ii) Pentru orice x G, avem xh = Hx. iii) Pentru orice x G, avem xhx -1 H. Definiţia 5. Spunem că subgrupul H este divizor normal sau subgrup normal al grupului G (şi notăm aceasta prin H G), dacă îndeplineşte condiţiile echivalente ale propoziţiei anterioare. Spunem că G este grup simplu, dacă nu admite divizori normali proprii. 4

Observaţie. Dacă (G, ) este un grup, H un divizor normal al lui G şi s d introducem pe mulţimea factor G/ H = G/ R = G/ R (unde R s şi R d sunt relaţiile de congruenţă modulo H) operaţia algebrică (xh) (yh) = xyh, x, y G, atunci (G / H, ) este grup. Elementul său neutru este eh = H, iar inversul unui element xh G / H este x -1 H. Numim grupul (G / H, ) grupul factor (cât) al lui G în raport cu divizorul normal H. Observaţie. Fie (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri şi G 1 G 2 = {(x 1, x 2 ) x 1 G 1 şi x 2 G 2 } produsul lor cartezian. Pe G 1 G 2 definim următoarea operaţie algebrică: (x 1, x 2 ) ( x, x ) = (x 1 ' 1 ' 2 ' x 1, x 2 ' x 2 ). Atunci (G 1 G 2, ) este un grup, în care elementul neutru este perechea (e 1, e 2 ), iar inversul unui element (x 1, x 2 ) este perechea ( x, x ) (unde am notat prin e i elementul neutru al grupului G i şi prin x i -1 simetricul elementului x i în grupul G i, i = = 1, 2). Grupul (G 1 G 2, ) se numeşte produsul direct (extern) al grupurilor G 1 şi G 2. 1 1 1 2 Propoziţia 8. Fie (G, ) un grup şi H 1, H 2 două subgrupuri ale sale. Următoarele condiţii sunt echivalente: i) a) H 1 G, H 2 G. b)g = H 1 H 2. c)h 1 H 2 = {e}. ii) a)orice element x G se scrie în mod unic sub forma x = x 1 x 2, cu x 1 H 1 şi x 2 H 2. b)pentru orice pereche (x 1, x 2 ) H 1 H 2, avem x 1 x 2 = x 2 x 1. 5

În acest caz spunem că G este produsul direct (intern) al subgrupurilor H 1 şi H 2. II.2. Ordinul unui element; grupuri ciclice Fie (G, ) un grup, a G şi k Z. Notăm a k = a a a a, pentru k > 0, k ori e, pentru k = 0, 1 1 1 a a a, pentru k < 0. ( k ) ori Definiţia 1. Spunem că a are ordin infinit dacă a k e, pentru orice k Z *. Spunem că a are ordin finit dacă există k 0 Z * astfel încât a k 0 = e.în acest caz avem {k N* a k = e}, iar numărul natural nenul inf{k N* a k = e} se numeşte ordinul lui a şi se notează cu ord(a). Propoziţia 1. (proprietăţi ale ordinului) Fie (G, ) un grup. Au loc: i) Un element a G are ordin finit, dacă şi numai dacă există k 1, k 2 k 2 Z, k 1 k 2 astfel încât 1 k a = a. ii) Un element a G are ordin infinit, dacă şi numai dacă, pentru orice k 2 k 1, k 2 Z, k 1 k 2, avem 1 k a a. iii) Pentru un element a de ordin n, avem a k = e (k Z), dacă şi numai dacă n / k. iv) ord(a) = ord(a -1 ), pentru orice a G. v) ord(ab) = ord(ba), pentru orice a, b G. 6

vi) ord(xax -1 )= ord(a), pentru orice a, x G. Propoziţia 2. Dacă (G, ) este un grup finit, atunci orice element al său are ordin finit şi ordinul oricărui element este divizor al ordinului grupului. Definiţia 2. Spunem că grupul (G, ) este ciclic dacă există a G astfel încât G coincide cu subgrupul ciclic [a] generat de a. În acest caz spunem că a este generator al grupului ciclic G. Propoziţia 3. Fie (G, ) un grup, a G şi [a] grupul ciclic generat de a. Atunci: i) [a] este infinit, dacă şi numai dacă generatorul a are ordin infinit. ii) [a] este finit şi ord[a] = n, dacă şi numai dacă generatorul a are ordin finit şi ord(a) = n. În prima situaţie avem [a] = {, a -1, a -1, e, a 1, a 2, } (şi îl notăm prin [a] ), iar în cea de-a doua avem [a] = {e, a, a 2,, a n-1 } (şi îl notăm prin [a] n ). Propoziţia 4. i)orice grup ciclic este comutativ. ii)orice subgrup şi orice grup factor ale unui grup ciclic sunt ciclice. Observaţie. Mai multe proprietăţi ale ordinului unui element şi ale grupurilor ciclice vor fi prezentate sub formă de probleme. 7

II.3. Morfisme de grupuri; teoreme de izomorfism Definiţia 1. Fie (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri. O aplicaţie f : G 1 G 2 se numeşte morfism de grupuri dacă : f(x y) = f(x) f(y), pentru orice x, y G 1. Dacă, în plus, f este aplicaţie injectivă (respectiv surjectivă, respectiv bijectivă), atunci morfismul f va fi numit monomorfism (respectiv epimorfism, respectiv izomorfism) de grupuri. În situaţia în care f este izomorfism, spunem că grupurile (G 1, ) şi (G 2, ) sunt izomorfe şi notăm acest fapt prin G 1 G 2. Dacă G este un grup, atunci un morfism (respectiv un izomorfism) de grupuri f : G G va fi numit endomorfism (respectiv automorfism) al grupului G. Exemple. Fie (G, ) un grup şi H un subgrup al său. 1)Aplicaţia u : H G, u(h) = h, pentru orice h H, este un monomorfism de grupuri, numit incluziunea canonică. 2)Dacă, în plus, H G, atunci aplicaţia p : G G/H, p(x) = xh, pentru orice x G este un epimorfism de grupuri, numit proiecţia canonică. 3)Aplicaţia identică 1 G : G G, 1 G (x) = x, pentru orice x G, este un automorfism al grupului G. Definiţia 2. Fie (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri şi f : G 1 G 2 un morfism de grupuri. Atunci mulţimile: Kerf = {x G 1 f(x) = e 2 }, Imf = {y G 2 există x G 1 astfel încât f(x) = y}, sunt numite nucleul, respectiv imaginea morfismului f. 8

Propoziţia 1. Considerând (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri, f : G 1 G 2 un morfism de grupuri şi notând cu e 1, e 2 elementele neutre din G 1, G 2, respectiv cu x, x simetricele elementelor x 1 G 1, x 2 G 2, avem: 1 1 1 2 i) f(e 1 ) = e 2. ii) f( x ) = [f(x 1 )] -1, pentru orice x 1 G 1. 1 1 iii) Imf G 2, Kerf G 1. iv) f este monomorfism, dacă şi numai dacă Kerf = {e 1 }. v) f este epimorfism, dacă şi numai dacă Imf = G 2. vi) f este izomorfism, dacă şi numai dacă există un morfism de grupuri g : G 2 G 1 astfel încât f g = 1G 2 şi g f = 1G 1. Propoziţia 2. Fie f : G 1 G 2 un morfism de grupuri şi H 1 G 1, H 2 G 2. Atunci: i) a) f -1 (H 2 ) G 1. b) Dacă, în plus, H 2 G 2, avem f -1 (H 2 ) G 1. ii) a) f(h 1 ) G 2. b) Dacă, în plus, H 1 G 1 şi f este epimorfism, avem f(h 1 ) G 2. Propoziţia 3. (teorema 1 de izomorfism pentru grupuri) Dacă f : G 1 G 2 este un morfism de grupuri, atunci există un izomorfism canonic de grupuri ϕ : G 1 / Kerf Imf, ϕ(x Kerf) = f(x), pentru orice x G 1. Propoziţia 4. (teorema 2 de izomorfism pentru grupuri) Fie f : G 1 G 2 un morfism de grupuri. Au loc: 9

i) Dacă H 2 G 2 şi H 1 = f -1 (H 2 ) atunci există un monomorfism canonic de grupuri f : G1/ H1 G2 / H2, f (xh 1 ) = f(x)h 2, pentru orice x G 1. ii) Dacă, în plus, f este epimorfism, atunci: a) Există o corespondenţă biunivocă între mulţimea subgrupurilor H 1 ale lui G 1 ce conţin Kerf şi mulţimea subgrupurilor H 2 ale lui G 2 (anume H 1 f(h 1 )). b) f este izomorfism. Corolar. Fie G un grup, H G şi p : G G / H proiecţia canonică. Atunci: i)există o corespondenţă biunivocă între mulţimea subgrupurilor K ale lui G ce conţin pe H şi mulţimea subgrupurilor K ale lui G / H (K p(k) = K / H). ii)dacă K G astfel încât H K,atunci K / H G / H şi există un izomorfism canonic ϕ : G / K (G / H) / (K / H). Propoziţia 5. (teorema 3 de izomorfism pentru grupuri) Dacă G este un grup, H G şi K G, atunci există un izomorfism canonic de grupuri Ψ : K / K H (KH) / H. Propoziţia 6. Orice grup ciclic este izomorf fie cu grupul (Z, +) (în cazul în care este infinit), fie cu grupul (Z n, +) (în cazul în care este finit de ordin n). 10

Observaţie. Fie G un grup. Atunci mulţimea AutG ={f : G G f = =automorfism} împreună cu operaţia de compunere a funcţiilor este un grup, numit grupul automorfismelor grupului G. II.4. Grupuri de permutări Observaţie. Fie M o mulţime nevidă. Atunci mulţimea S(M) = {f : M M f = bijectivă}, împreună cu operaţia de compunere a funcţiilor, este un grup, numit grupul permutărilor mulţimii M (sau grupul simetric asociat mulţimii M). Dacă N este o mulţime având proprietatea că există o bijecţie între N şi M, atunci grupurile S(N) şi S(M) sunt izomorfe. Definiţia 1. Fie n N, n 2. Grupul permutărilor mulţimii {1, 2,, n} se numeşte grupul permutărilor (substituţiilor) de grad n (sau grupul simetric de grad n) şi se notează cu S n. O permutare α S n va fi notată α = 1 2 n, iar α(1) α(2) α( n) permutarea identică a lui S n cu e. Observaţie. 1)ordS n = n!. 2)S n este grup necomutativ, pentru n 3. Definiţia 2. Fie I = {i 1, i 2,, i r } {1, 2,, n} (unde r n). O permutare σ S n se numeşte permutare ciclică (ciclu) de lungime r determinată de mulţimea I, dacă: 11

i) σ(i 1 ) = i 2, σ(i 2 ) = i 3,, σ(i r ) = i 1 ; ii) σ(i) = i, pentru orice i {1, 2,, n} \ I. Notăm σ = (i 1, i 2,, i r ). Observaţie. 1) Pentru orice k {1, 2,, r}, avem : (i 1 i 2 i r ) = (i k i k+1 i r i 1 i k-2 i k-1 ). 2) Au loc: i)σ h (i k ) = i h+k, dacă 1 h + k r, ii)σ h (i k ) = i h+k-r, dacă r < h + k 2r. 3) ord(σ) = r. 4) Dacă r = 1, atunci σ = e. Definiţia 3. Doi cicli σ = (i 1 i 2 i r ) şi τ = (j 1 j 2 j s ) se numesc disjuncţi, dacă {i 1, i 2,, i r } {j 1, j 2,, j s } =. Propoziţia 1. Orice doi cicli disjuncţi comută. Propoziţia 2. Orice permutare din S n se scrie în mod unic ca un produs finit de cicli disjuncţi, abstracţie făcând de ordinea factorilor şi de ciclii de lungime 1. Propoziţia 3. Dacă α S n este descompusă în produs de cicli disjuncţi α = σ 1 σ 2 σ k, atunci ord(α) = c.m.m.m.c.{ord(σ 1 ), ord(σ 2 ),, ord(σ k )}. Definiţia 4. Un ciclu de lungime 2 se numeşte transpoziţie. 12

Propoziţia 4. Orice permutare din S n se scrie ca un produs finit de transpoziţii; scrierea nu este unică, dar, pentru orice scriere a unei permutări ca produs de transpoziţii, paritatea numărului factorilor este aceeaşi. 1 2 n Observaţie. Fie α = S n. O pereche (i, j) se α(1) α(2) α( n) numeşte inversiune a permutării α, dacă i < j şi α(i) > α(j). Notăm cu inv(α) numărul inversiunilor permutării α. Definim, de asemenea, aplicaţia ε : S n {-1, 1}, εα ( ) = ε(α) poartă numele de semnul (signatura) permutării α. Avem ε (α) = (-1) inv(α), pentru orice α S n. α( j) α( i). j i 1 < i j n Definiţia 5. O permutare α S n se numeşte pară, dacă ε(α) = +1 şi se numeşte impară, dacă ε(α) = -1. Observaţie. Considerăm transpoziţia σ = (i j) S n. Dacă presupunem i < j, atunci inv(σ) = 2(j 1) 1. Avem ε(α) = -1, deci σ este o permutare impară. Cum avem şi ε(e) = (-1) inv(e) = (-1) 0 = 1, obţinem că aplicaţia ε este surjectivă. Propoziţia 5. Aplicaţia ε : S n {-1, 1} este un morfism surjectiv de grupuri între grupul S n al permutărilor de grad n şi grupul multiplicativ {-1, 1}. 13

Observaţie. Notăm cu A n nucleul morfismului şi îl numim grupul altern de grad n. Conform teoremei 1 de izomorfism a grupurilor, avem avem izomorfismul de grupuri: deci [S n : A n ] = 2 şi orda n = S n / A n {-1, 1}, n!. 2 de grad n. În concluzie, există n! n! permutări pare de grad n şi 2 2 permutări impare Propoziţia 6. (teorema lui Cayley) Orice grup este izomorf cu un grup de permutări. În particular, orice grup finit de ordin n este izomorf cu un subgrup al lui S n. II.5. Acţiuni ale grupurilor pe mulţimi ; p grupuri ; teoremele lui Sylow Fie (G, ) un grup şi M o mulţime nevidă. Definiţia 1. Spunem că G acţionează la stânga pe mulţimea M (sau că M este o G mulţime la stânga) dacă avem o aplicaţie α : G M M, α(g, x) = = g x, oricare ar fi g G şi x M, ce verifică următoarele relaţii: i) e x = x, oricare ar fi x M; ii) g 1 (g 2 x) = (g 1 g 2 ) x, oricare ar fi g 1, g 2 G şi x M. α se numeşte acţiune la stânga a lui G pe M. 14

Observaţii. 1) Notăm cu (M M, ) monoidul funcţiilor de la M în M (relativ la compunere). Avem o bijecţie între mulţimea acţiunilor lui G pe M şi mulţimea morfismelor de monoizi de la (G, ) în (M M, ) : ϕ : α ϕ α, ϕ α (g)(x) = α(g, x) = g x, oricare ar fi g G şi x M. Acţiunea α a lui G pe M se numeşte fidelă dacă morfismul de monoizi ϕ α asociat este injectiv. S(M). 2) Dacă Ψ : (G, ) (M M, ) este un morfism de monoizi atunci Im Ψ Un morfism de grupuri Ψ : (G, ) (S(M),) se numeşte reprezentare a grupului G prin permutări ale mulţimii M. A da o acţiune la stânga a grupului G pe mulţimea M este echivalent cu a da o reprezentare a lui G prin permutări ale lui M. echivalenţă " 3) Dacă M este o G mulţime la stânga, atunci pe M avem relaţia de " definită prin: G x y, dacă şi numai dacă există g G astfel încât y = g x. G Notăm cu O x clasa de echivalenţă a unui element x M modulo numeşte orbita elementului x. ; O x se G Pentru orice x M, mulţimea Stab G (x) = {g G g x = x} este un subgrup al lui G numit stabilizatorul lui x (sau subgrupul de izotropie al lui x) relativ la acţiunea lui G pe M. O acţiune a lui G pe M se numeşte tranzitivă, dacă M are o singură orbită relativ la relaţia de echivalenţă există g G astfel încât g x = y). (adică, pentru orice x, y M, G 15

Propoziţia 1. Fie M o G mulţime. Atunci: i) Pentru orice x M, există o bijecţie între mulţimea claselor de echivalenţă la stânga ale lui G modulo Stab G (x) şi mulţimea O x. ii) Dacă, în plus, G şi O x sunt mulţimi finite, atunci avem O x / ordg şi O x = [G : Stab G (x)]. Observaţii. Fie M o G mulţime. 1) Dacă M este finită şi S M este un sistem complet şi independent de reprezentanţi al lui M modulo, atunci avem relaţia: G (*) M = [ G: StabG ( x)], x S numită formula descompunerii în orbite. 2) O orbită O x se numeşte trivială, dacă O x = 1. Avem echivalenţele: O x = trivială O x = {x} Stab G (x) = G. Mulţimea Fix M (G) = {x M O x = trivială} se numeşte submulţimea punctelor fixe ale G mulţimii M. Exemple de acţiuni. 1) Dacă (G, ) este un grup, atunci G acţionează pe G prin translaţii la stânga: α 1 : G G G, α 1 (g, x) = gx, pentru orice g, x G. α 1 este o acţiune fidelă şi tranzitivă. 16

2) Dacă (G, ) este un grup, H un subgrup al său şi G / R s mulţimea claselor de echivalenţă la stânga ale lui G modulo H, atunci G acţionează pe G / R s prin translaţii la stânga: α 2 : G G / R s G / R s, α 2 (g, xh) = (gx)h, pentru orice g, x G. α 2 este o acţiune tranzitivă. 3) Dacă (G, ) este un grup şi H un divizor normal al său, atunci G acţionează pe H prin conjugare: α 3 : G H H, α 3 (g, x) = g x g -1, pentru orice (g, x) G H. În particular, putem considera acţiunea prin conjugare a lui G pe G. Atunci, pentru un element x G, i) O x ={g x g -1 g G} se numeşte clasa de conjugare a lui x. ii) Stab G (x) = {g G g x g -1 = x} se numeşte centralizatorul lui x în G şi se notează cu C G (x). O x este trivială, dacă şi numai dacă x Z(G) (centrul grupului G (a se vedea problema 32, III.1)). Dacă G este finit şi S este un sistem de reprezentanţi distincţi pentru clasele de conjugare ce au măcar două elemente, atunci, din formula descompunerii în orbite deducem egalitatea: numită ecuaţia claselor grupului G. (**) G = Z(G) + [ G: C ( x)], x S 4) Dacă (G, ) este un grup şi L(G) mulţimea tuturor subgrupurilor lui G, atunci G acţionează la stânga pe L(G) prin conjugare: pentru orice (g, H) G L(G). α 4 : G L(G) L(G), α 4 (g, H) = ghg -1, Două subgrupuri H 1 şi H 2 ale lui G se numesc conjugate dacă avem H 1 H 2 (adică există g G astfel încât H 2 = gh 1 g -1 ). G G 17

Dacă H L(G), atunci Stab G (H) = {g G ghg -1 = H} se numeşte normalizatorul lui H în G şi se notează cu N G (H). Propoziţia 2. (teorema lui Cauchy) Dacă G este un grup finit şi p un divizor prim al ordinului lui G, atunci G conţine cel puţin un element de ordin p. Propoziţia 3. Dacă G este un grup finit şi p un număr prim, atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) Orice element al lui G are ordinul o putere a lui p. ii) Există n N astfel încât ordg = p n. Definiţia 2. Un grup finit G ce verifică condiţiile echivalente ale propoziţiei anterioare se numeşte p-grup. Propoziţia 4. Dacă G este un p-grup netrivial, atunci Z(G) {e}. În cele ce urmează, considerăm G un grup finit cu ordg = p n m, unde p este un număr prim, n N, m N* şi p ł m. Definiţia 3. Un subgrup al lui G se numeşte p-subgrup Sylow, dacă ordinul său este p n. Un subgrup al lui G se numeşte subgrup Sylow, dacă este p-subgrup Sylow pentru un anumit număr prim p. 18

Observaţii. 1) {e} este p-subgrup Sylow al lui G, dacă şi numai dacă p ł ordg. 2) Un subgrup H al lui G este p-subgrup Sylow, dacă şi numai dacă p ł [G : H]. Propoziţia 5. (teoremele lui Sylow) Fie G un grup finit cu ordg = p n m, unde p este un număr prim, n N, m N* şi p ł m. i) Pentru orice k {0, 1,, n}, G conţine cel puţin un subgrup de ordin p k. În particular, G conţine cel puţin un p-subgrup Sylow. ii) Dacă P este un p-subgrup Sylow al lui G şi H este un p-subgrup oarecare al lui G, atunci există x G astfel încât H xpx -1. În particular, orice două p-subgrupuri Sylow ale lui G sunt conjugate. iii) Numărul n p al p-subgrupurilor Sylow ale lui G are următoarele proprietăţi: a) n p 1 (mod p). b) n p / m. c) n p = [G : N G (P)], unde P este un p-subgrup Sylow arbitrar al lui G. În încheierea părţii introductive prezentăm toate tipurile de grupuri finite de ordin 10: 1) (de ordin 1) grupul cu un element {e}; 2) (de ordinul 2) grupul ciclic (Z 2, +); 3) (de ordinul 3) grupul ciclic (Z 3, +); 4) (de ordinul 4) grupul ciclic (Z 4, +) şi grupul lui Klein (Z 2 Z 2, +); 5) (de ordinul 5) grupul ciclic (Z 5, +); 19

6) (de ordinul 6) grupul ciclic (Z 6, +) şi grupul simetric de grad 3 (S 3, ); 7) (de ordinul 7) grupul ciclic (Z 7, +); 8) (de ordin 8) Grupul ciclic (Z 8, +), grupul (Z 4 Z 2, +), grupul (Z 2 Z 2 Z 2, +), grupul diedral D 4 şi grupul cuaternionilor C; 9) (de ordin 9) grupul ciclic (Z 9, +) şi grupul (Z 3 Z 3, +); 10) (de ordinul 10) grupul ciclic (Z 10, +) şi grupul diedral D 5. Reamintim cititorului că grupul diedral de grad n D n este grupul cu 2n elemente definit prin generatorii a, b şi relaţiile a n =b 2 = e, ba = a n-1 b, iar grupul cuaternionilor C este grupul cu 8 elemente definit prin generatorii a, b şi relaţiile a 4 = e, a 2 =b 2, ba = a 3 b. Probleme. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor abelian. 1. Arătaţi că, dacă A este o mulţime nevidă, atunci (P(A), Δ) este un grup Indicaţie. Se utilizează proprietăţile diferenţei simetrice, prezentate în capitolul "Mulţimi. Relaţii. Funcţii". 2. Fie f : R R o funcţie bijectivă cu f(1) = 0. Pe R definim următoarea lege de compoziţie: 20

a b = f(f -1 (a) + f -1 (b) 1), pentru orice a, b R. Arătaţi că (R, ) este grup abelian. 3. Fie H o submulţime a lui M n (R) având proprietăţile: i)a, B H implică A + B H, ii)a, B H implică AB H, iii)a H, α R implică αa H, iv)i n H. Considerăm mulţimea G = {A H A = inversabilă}. Arătaţi că (G, ) este grup. Indicaţie. Se verifică axiomele grupului. Vom arăta doar că are loc implicaţia : "A G A -1 G". Fie ϕ A = det(xi n A) = X n - α 1 X n-1 + + (-1) n deta polinomul caracteristic asociat matricii A. Conform teormei Hamilton Cayley, avem ϕ A (A) = A n - α 1 A n-1 + + (-1) n (deta)i n = O n Astfel, dacă A G (adică A H şi A inversabilă), atunci avem A -1 G, deoarece A -1 H şi A -1 este inversabilă. 1- x 0 x 4. Fie G = { A(x) = 0 0 0 x 0 1-x x R \ { 2 1 }}. i) Arătaţi că mulţimea G, în raport cu înmulţirea matricelor, este un grup abelian. ii) Pentru x fixat, calculaţi (A(x)) n, n N*. 21

5. Fie (G, ) un semigrup. Pentru fiecare a G, construim aplicaţiile f a, g a : : G G, f a (x) = ax, g a (x) = xa, pentru orice x G. i)arătaţi că (G, ) este grup, dacă şi numai dacă, pentru orice a G, aplicaţiile f a şi g a sunt surjective. ii)dacă, în plus, G este finit, atunci (G, ) este grup, dacă şi numai dacă, pentru orice a G, aplicaţiile f a şi g a sunt injective. Deduceţi de aici că orice semigrup finit cu simplificare este grup. grup abelian. 6. Arătaţi că, pe oricare mulţime nevidă finită se poate defini o structură de Indicaţie. Fie G = {x 0, x 1,, x n-1 }, unde n N*. Avem funcţia bijectivă f : Z n G, f( kˆ ) = x k, oricare ar fi k {0, 1,, n-1}. Definim pe G operaţia " " prin x i x j = x i j, unde " " simbolizează adunarea modulo n. (G, ) este grup abelian. 7. Fie G un grup şi a, b G satisfăcând a 2 = e şi aba -1 = b n, cu n N şi n 2. Arătaţi că b = e. Generalizare. n 2 1 Avem b 2n = (b n ) 2 = (aba -1 )(aba -1 ) = ab 2 a -1 şi, inductiv, b kn = ab k a -1, oricare ar fi k N. Atunci n 2 b 1 = ab n a -1 b -1 = a(aba -1 )a -1 b -1 = a 2 ba -2 b -1 = bb -1 = e. Ca generalizare, se poare arăta că, dacă a, b G satisfac a m = e şi aba -1 = =b n, cu m N*, n N, n 2, atunci n m 1 b = e. 22

8. Fie (G, ) un grup. Arătaţi că fiecare din următoarele condiţii este suficientă pentru ca G să fie abelian: i) (xy) 2 = x 2 y 2, oricare ar fi x, y G. ii) x 2 = e, oricare ar fi x G. iii) xy comută cu toate elementele lui G, oricare ar fi x, y G. iv) Printre oricare 3 elemente distincte ale lui G, există două care comută. v) Există a G astfel încât x 3 = axa, oricare ar fi x G. vi) În G are loc implicaţia "xy 2 = z 2 x y = z" vii) (xy) 2 = (yx) 2, oricare ar fi x, y G şi z 2 e, oricare ar fi z G \ {e}. viii) Există α, β Z* cu (α, β) = 1 astfel încât (xy) α =(yx) α şi (xy) β =(yx) β, oricare ar fi x, y G. ix) Există α, β Z* cu (α, β) = 1 astfel încât xy α = y α x şi xy β = y β x, oricare ar fi x, y G. x) Există α, β Z* cu (α, β) = 1 astfel încât x α y α = y α x α şi x β y β = y β x β, oricare ar fi x, y G. xi) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k-1, k, k + 1, oricare ar fi x, y G. xii) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k, k + 2, k + 4, oricare ar fi x, y G. xiii) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k + 1, 2k + 1, 3k + 2, oricare ar fi x, y G. xiv) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k + 1, 2k + 1, 4k 1, oricare ar fi x, y G. xv) Există α, β N*, cel puţin unul din ele fiind par, astfel încât x α y β = =xy, oricare ar fi x, y G. 23

xvi) Există α, β Z cu ( α( α 1, ) β( β 1) ) ( xy) α α α x y = şi ( xy) β β β Care din aceste condiţii este şi necesară? = 2 astfel încât = x y, oricare ar fi x, y G. iv) Fie x, y G \ {e} şi G x,y = {x, y, xy}. Din ipoteză avem că x şi y comută, sau x şi xy comută, sau y şi xy comută. Dacă x xy = xy x, atunci xy = yx, iar dacă y xy = xy y, atunci xy = yx. Prin urmare, x şi y comută. v) Punând în relaţia din ipoteză ax în loc de x, obţinem (ax) 3 = ax ax ax= = aaxa, de unde rezultă x(axa) = axa. Prin urmare, avem x 5 = x 3, sau, echivalent, x 2 = e, oricare ar fi x G. În particular, G este abelian. vi) Fie x, y G. Avem x -1 (xy) 2 = x -1 xyxy = yxy = yxyxx -1 = (yx) 2 x -1, de unde obţinem xy = yx. vii) Fie x, y G. Se verifică că elementul z = (yx) -1 (xy) are proprietatea că z 2 = e. Prin urmare, y = e, deci xy = yx. viii) Cum (α,β) = 1, există p, q Z astfel încât pα + qβ = 1. Atunci xy = (xy) 1 = (xy) pα +qβ = [(xy) α ] p [(xy) β ] q = [(yx) α ] p [(yx) β ] q = (yx) pα +qβ = yx. ix), x) Similar cu viii). xi) Din cea de a doua relaţie, avem (xy) k = x(yx) k - 1 y = x k y k, de unde obţinem (yx) k - 1 = x k - 1 y k - 1 ; folosind şi prima relaţie obţinem (yx) k - 1 = (xy) k - 1 sau, echivalent, (yx) 1 - k = (xy) 1 - k. Procedând analog, din ultimele două relaţii, rezultă (yx) k = (xy) k. Atunci yx = = (yx) 1 = (yx) 1 k + k = (yx) 1 - k (yx) k = (xy) 1 - k (xy) k = (xy) 1 = xy. xii), xiii), xiv) Similar cu xi). xv) Din ipoteză, obţinem xy = y α x β = x αβ y αβ, oricare ar fi x, y G. (1) 24

Putem presupune β = 2k şi α > β, celelalte cazuri studiindu-se analog. Punând succesiv în relaţia din ipoteză y = x, y = x 2,..., y = x α +β - 1, obţinem x α + β = x 2, x α + 2β = x 3,..., x α + (α + β - 1)β = x α +β = x 2. De asemenea, schimbând elementele x şi y între ele şi procedând similar, obţinem x β + α x 2, x β + 2α = x 3,..., x β + (α + β - 1) α = x β + α = x 2. Avem : ( ) x αβ = x α +(β - 1)α = x β + (β - 1)α x α - β = x β x α - β = x α, oricare ar fi x G. (2) 2 2 αk Pe de altă parte, ( ) ( ) αβ αk α + β αk αβ k+ α 2 k x = x = x = x = x = αβ k α 2 k α k+ α 2 k β + α 2 k α k β α k+ 1 α k β 2 α k β + 1 αβ β + 1 = x x = x = x x = x x = x = x, de unde x e β 1 =, oricare ar fi x G. Se obţine imediat şi G. Avem astfel abelian. αβ β+ ( α 1) β β = =, oricare ar fi x G. (3) x x x x e α 1 =, oricare ar fi x αβ αβ α β Din relaţiile (1), (2) şi (3), rezultă xy = x y = x y = yx, deci G este xvi) Din ( xy) α α α = x y şi ( xy) α 1 α 1 β 1 β 1 β 1 = y x şi ( xy) y x ( α ) vβ( β ) β β β 1 = x y obţinem ( xy) α = =. Fie u, v Z astfel încât uα 1 + 1 = 2. Se obţin succesiv următoarele relaţii: 1 1 1 1 x α y α y α x α x β y β y β = = x β şi, ( xy) αα ( 1) ( yx) αα ( 1) ( xy) β( β 1) ( yx) β( β = = 1) de unde obţinem ( ) ( ) şi, ( ) α( α ) + β( β ) α( α ) + β( β ) ( ) 2 u 1 v 1 u 1 v 1 2 xy = xy = yx = yx. Se verifică că x αα ( 1) β( β 1), x Z(G), oricare ar fi x G. Atunci 2 1 1 1 1 1 u u + v u v 1 ( ) ( ) ( ) α( α ) β( β ) α α β( β ) α α β β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy = xy = xy xy = xy xy = v 25

2 = x 1 y 1 x 1 y 1 = x 1 + 1 y 1 + 1 2 2 = x y, deci u v α( α ) α( α ) β( β ) β( β ) uα α vβ β uα α vβ β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy = yx, oricare ar fi x, y G. Condiţiile i), iii), iv), viii), ix), x), xi), xii), xiii), xiv), xvi) sunt necesare, în timp ce condiţiile ii), v), vi), vii), xv) nu sunt necesare pentru ca G să fie abelian. 9. Fie f : R R o funcţie având proprietatea că mulţimea T f = {t R * f(x + t) = f(x), pentru orice x R } este nevidă. i) Arătaţi că T f este subgrup al grupului (R, +). ii) Determinaţi acest subgrup în următoarele situaţii: a) f(x) = sin2πx, pentru orice x R. 1, x Q b) f(x) = 0, x R \ Q. Indicaţie. i) Verificare directă. ii) Pentru cazul a) se obţine T f = (Z, +), iar pentru cazul b) se obţine T f = (Q, +). 10. Arătaţi că grupul U n al rădăcinilor de grad n N* ale unităţii complexe este unicul subgrup de ordin n al grupului (C*, ). Fie H un subgrup de ordin n al grupului (C*, ). Utilizând propoziţia 2, III.2, obţinem că z n = 1, oricare ar fi z H, deci H U n. Cum ordh = ordu n = n, rezultă că H = U n. 26

11. Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor întregi. Arătaţi că: i) Pentru orice n N, nz este subgrup al lui Z. ii) Orice subgrup al lui Z este de tipul nz, pentru un anumit n N. iii) Pentru orice m, n N, avem egalităţile: mz + mz = (m, n)z; mz nz = [m, n]z. i) Verificare directă. ii) Fie H Z. Dacă H = {0}, atunci avem H = 0Z. Dacă H {0}, atunci H conţine cel puţin un număr întreg strict pozitiv. Astfel A = { a H a 1}. Cum A este o submulţime a lui N*, deducem că există cel mai mic element a 0 A. Arătăm că H = a 0 Z. Cum a 0 H, avem a 0 Z H. (1) Reciproc, fie a H. Aplicând teorema împărţirii cu rest în Z, obţinem a = = a 0 q + r, unde q Z, r N, 0 r < a 0. Din incluziunea (1), deducem că a 0 q H. Atunci r = a a 0 q H şi, având în vedere minimalitatea lui a 0, obţinem r = 0. Prin urmare, a = a 0 q a 0 Z, deci H a 0 Z. (1) Relaţiile (1) şi (2) ne dau egalitatea H = a 0 Z. iii) Se ţine cont de modul de definire a celui mai mare divizor comun, respectiv a celui mai mic multiplu comun a două numere naturale. 12. Fie G un grup având proprietatea că există a G astfel încât G \ {a} este subgrup al lui G. Arătaţi că ordg = 2. 27

Presupunem că G are cel puţin 3 elemente distincte e, a, b. Ecuaţia bx = a are în G o soluţie unică x 0. Avem x 0 e (în caz contrar obţinem a = b) şi x 0 a (în caz contrar obţinem b = e). Astfel elementele b, x 0 G \ {a} satisfac bx 0 = a G \ {a}. Rezultă ordg 2. Cum cazul ordg = 1 este exclus prin ipoteză, avem ordg = 2. 13. Fie (G, ) un grup, H, K două subgrupuri ale lui G şi mulţimea HK = ={hk h H, k K}. Arătaţi că HK este subgrup al lui G, dacă şi numai dacă HK= = KH. Presupunem HK G. Fie hk HK. Cum HK G rezultă că există h 1 H şi k 1 K astfel încât (hk) -1 = h 1 k 1 HK. Atunci hk = (h 1 k 1 ) -1 KH, deci HK KH. Fie acum kh KH. Avem h -1 k -1 HK, de unde obţinem kh = (h -1 k -1 ) -1 HK, deci KH HK. Reciproc, presupunem că avem HK = KH. Fie h 1 k 1 şi h 2 k 2 două elemente din HK. Atunci (h 1 k 1 )(h 2 k 2 ) -1 = h 1 k 1 k -1 2 h -1 2. Cum k -1 2 h -1 2 KH şi KH = HK, rezultă că există h 3 k 3 HK astfel încât k -1-1 2 h 2 = h 3 k 3. De asemenea, cum k 1 h 3 KH şi KH = HK, rezultă că există h 4 k 4 HK astfel încât k 1 h 3 = h 4 k 4. Atunci (h 1 k 1 )(h 2 k 2 ) -1 = h 1 k 1 k -1 2 h -1 2 = h 1 k 1 h 3 k 3 = h 1 h 4 k 4 k 3 HK şi prin urmare HK G. 14. Fie (G, ) un grup abelian, H un subgrup al său şi n N, n 2. Notăm n H = {x G x n H}. Arătaţi că: 28

i) n H este subgrup al lui G ce conţine pe H : în plus, pentru orice i, j N, i, j 2, avem i j H ij = H. ii) Dacă ordh = m <, atunci H m {} e. iii) Dacă (K, +, ) este un corp comutativ, G 1 = (K *, ) şi H 1 G 1, ordh 1 = m1 =m 1 2, atunci H 1 = {1}. iv)dacă G 2 = (C*, ) şi H 2 = p {1}, atunci, pentru fiecare r N, r 2, p 2 avem r H2 = H2. Indicaţie. Afirmaţiile i) şi ii) sunt imediate. m1 iii) Din ii), avem H 1 {1 }. (1) m1 {1 } = {x K* x m m1 = 1}. În corpul K, polinomul X 1 are cel mult m1 m 1 rădăcini, deci ord {1 } m 1. (2) Ţinând cont de (1), (2) şi de faptul că ordh = m 1, obţinem egalitatea dorită. iv) Mai avem de arătat doar r H 2 H 2. Fie x r H 2. Atunci x r H 2, deci există s N, s 2 astfel încât x r s 1} {. Deducem relaţia x {} 1 {} 1 rs. Dar rs {} 1 H 2, de unde x H 2. r s, care, conform punctului i), se rescrie x 15. Fie (G, ) un grup finit. Arătaţi că: 29

i) Dacă G este abelian şi x 2 = e pentru mai mult de jumătate din elementele x ale lui G atunci x 2 = e pentru orice x G. ii) Dacă în G mai mult de jumătate din elementele sale comută cu toate elementele grupului, atunci G este abelian. iii) Dacă ordg este impar şi mai mult de o treime din elementele sale comută cu toate elementele grupului, atunci G este abelian. i) Fie H = {x G x 2 = e}. H este subgrup al lui G. Din teorema lui Lagrange avem ordh / ordg, iar din ipoteză ordh > 1 2 ordg. Prin urmare ordh = ordg, deci H = G. ii) Se demonstrează analog cu i). iii) Avem ordz(g) / ordg şi ordz(g) > 1 3 ordg. Cum ordg este impar, rezultă ordz(g) = ordg, deci Z(G) = G. 16. Fie (G, ) un grup cu proprietatea că există o submulţime nevidă finită A a sa astfel încât G \ A este subgrup al lui G. Arătaţi că: i) G este finit şi ordg 2 A. ii) Dacă A este număr prim, atunci ordg = A + 1 sau ordg = 2 A. i) Fie H = G \ A şi a A un element fixat. Pentru fiecare h H, ecuaţia hx = a are o soluţie unică x A. Avem H {ax -1 x A}, deci H este finit şi ordh A. Atunci ordg = ordh + A 2 A. 30

ii) Fie A = p şi ordg = n. Din teorema lui Lagrange,avem existenţa unui q N* astfel încât ordg = qordh. Egalitatea ordg = ordh + A devine n = n q + p, sau, echivalent, n(q 1) = qp. Rezultă (q -1) / qp şi, cum (q-1, q) = 1, obţinem (q-1) / /p ; prin urmare q - 1 {1, p}. Dacă q - 1 = 1, atunci q = 2, deci n = 2p. Dacă q - 1 = p, atunci q = p + 1, deci n = p + 1. 17. Fie A, B, C trei subgrupuri ale grupului finit G. Arătaţi că: i) AB A B = A B. ii) Dacă A B, atunci [C B : C A] [B : A]. iii) [G : A B] [G : A][G : B]. iv) [A : A B] [[A B] : B]. v) Dacă ([G : A], [G : B]) = 1, atunci [G : A B] =[G : A][G : B] şi G = = AB. i) Pe produsul cartezian A B definim relaţia binară "~" prin: (a, b) ~ (a', b'), dacă şi numai dacă ab = a'b'. Se verifică că "~" este o relaţie de echivalenţă şi că, pentru fiecare element (a, b) A B, clasa sa de echivalenţă ( ab, ) A B/ ~ are A B elemente. Aplicaţia f : A B / ~ AB, f(( ab)), = ab, oricare ar fi ab, A B / ~, este o bijecţie. Atunci AB = A B / ~ = A B A B = A B A B. 31

ii) Deoarece A B, avem CA CB. Ţinând cont de i), obţinem C A C B C B B, sau, echivalent,. C A C B C A A Din această ultimă inegalitate rezultă [C B : C A] [B : A]. iii) Avem AB G, de unde, folosind i), deducem A B A B G. Rezultă [G : A][G : B]. G G G adică [G : A B] A B A B iv) Raţionăm similar ca la iii), plecând de la AB [A B]. v) Avem [G : A] = [G : AB] [AB : A] şi [G : B] = [G : AB] [AB : B]. Obţinem [G : AB] / ([G : A],[G : B]), de unde avem [G : AB] = 1, adică G = AB. Atunci, din i), deducem egalitatea [G: A B] = [G: A][G : B]. 18. Fie (G, ) un grup având proprietatea că, pentru orice x, y G cu x z, există H 1, H 2 două subgrupuri ale lui G astfel încât x H 1, y H 2 şi H 1 H 2 = = {e}. i) Arătaţi că G este abelian. ii) Pentru n N* şi a G fixate, rezolvaţi în G ecuaţia x n = a. i) Fie x G \ {e}. Atunci x 2 x, deci există H 1, H 2 G astfel încât x H 1, x 2 H 2 şi H 1 H 2 = {e}. Cum x H 1, avem x 2 H 1 şi, prin urmare, x 2 H 1 H 2. Obţinem x 2 = e. În concluzie, G are proprietatea că x 2 = e, oricare ar fi x G, deci este abelian. 32

e, n - par ii)avem x n =, oricare ar fi x G. x, n - impar Dacă n este par, ecuaţia nu are nici o soluţie pentru a e şi are ca soluţie oricare element al lui G pentru a = e. Dacă n este impar, ecuaţia are soluţie unică x = a. 19. Fie (G, ) un grup abelian cu proprietatea că, pentru orice n N*, ecuaţia x n = e are exact n soluţii (distincte) în grupul G; notăm cu G n mulţimea acestor soluţii. Arătaţi că: i) G n este subgrup al lui G. ii) Dacă H este un subgrup finit al lui G, atunci există n N* astfel încât H = G n. iii) G n G m, dacă şi numai dacă n / m. iv) G n G m = G d, unde d = (n, m). i) Pentru orice x, y G n, avem (xy -1 ) n = x n (y n ) -1 = e, deci xy -1 G n. ii) Fie H G cu ordh = n. Atunci, pentru orice x H, avem x n = e. Rezultă H G n. Cum ambele mulţimi au câte n elemente, avem H = G n. iii) Dacă G n G m, atunci G n este subgrup al lui G m şi, conform teoremei lui Lagrange, avem n / m. Dacă n / m, atunci există k N* astfel încât m = nk. Atunci, pentru orice x G n, obţinem x m = x nk = e k = e, deci x G m. Prin urmare, G n G m. iv) Cum G n şi G m sunt subgrupuri ale lui G, rezultă că 33

G n G m G. Conform cu ii), există d N* astfel încât G n G m = G d. Avem G d G n şi G d G m, deci d / n şi d / m. Fie d' N* astfel încât d' / n şi d' / m. Din iii), deducem G d' G n şi G d' G m. Rezultă G d' G n G m = G d, de unde obţinem d' / d. Din cele arătate, avem d = (n, m). 20. Daţi exemplu de grup finit (G, ) şi de un număr natural n 2 pentru care ecuaţia x n = e are în grupul G mai mult de n soluţii. În grupul lui Klein, pentru n = 2, ecuaţia x 2 = e are 4 soluţii, adică toate elementele grupului. 21. Fie G un grup şi H G, H G. Arătaţi că [G \ H] = G. Avem [G \ H] = P P G GH \ P. Fixăm un element a G \ H. Fie P G, cu G \ H P şi h H. Ecuaţia hx = a are o soluţie unică x G \ H. Atunci x -1 G \ H şi h = ax -1 P. Prin urmare, avem H P. Rezultă G = = (G \ H) H P, deci P = G. 22. Fie G un grup şi H un subgrup propriu al său. Arătaţi că nu există o parte stabilă proprie a lui G care să conţină pe G \ H. Indicaţie. A se vedea problema precedentă. 34

23. Fie (G, ) un grup şi H 1, H 2 două subgrupuri proprii ale sale astfel încât H 1 H 2 = {e} şi există a H 1 H 2 cu a 2 e. Arătaţi că mulţimea (G \ (H 1 H 2 )) {e} nu este parte stabilă a lui G. Indicaţie. Presupunem a H 1. Fie b H 2 \ {e} şi x = ab, y = b -1 a. Se verifică că x, y G \ (H 1 H 2 ) şi xy (H 1 H 2 ) \ {e}. 24. Arătaţi că: i) Dacă G este un grup şi H 1, H 2 sunt două subgrupuri ale sale, atunci H 1 H 2 este subgrup al lui G, dacă şi numai dacă H 1 H 2 sau H 2 H 1. ii) Un grup nu se poate scrie ca reuniunea a două subgrupuri proprii ale sale. i)dacă H 1 H 2 sau H 2 H 1, atunci H 1 H 2 = H 2 sau H 1 H 2 = H 1, deci H 1 H 2 este subgrup al lui G. Reciproc presupunem H 1 H 2 G şi H 1 H 2, H 2 H 1. Atunci există x H 1 \ H 2 şi y H 2 \ H 1.Cum x,y H 1 H 2 avem xy H 1 H 2, adică xy H 1 sau xy H 2. Insă, xy H 1 implică y H 1 şi xy H 2 implică x H 2 ; contradicţie. ii)dacă G este un grup şi H 1, H 2 sunt două grupuri ale sale astfel încât G = =H 1 H 2, atunci avem H 1 H 2 G. Folosind punctul i), obţinem H 1 H 2, sau H 2 H 1, deci G = H 2 sau G = H 1. 35

25. Arătaţi că nu există grupuri care să se poată scrie ca reuniunea a 3 subgrupuri proprii, dintre care două au câte 3 elemente. Fie G un grup astfel încât G = H 1 H 2 H 3, unde H i, i = 1,2,3 sunt subgrupuri proprii ale lui G cu ordh 1 = ordh 2 = 3. Atunci H 1 şi H 2 sunt ciclice. Fie H 1 = {e, a 1, a 1 2 } şi H 2 = {e, a 2, a 2 2 }. Avem a 1 a 2 (în caz contrar, G s-ar scrie ca reuniunea a două subgrupuri proprii ale sale). De asemenea, avem H i H j = {e}, pentru orice i, j {1, 2, 3}, i j. Fie x = a 1 a 2 şi y = a 1 2 a 2. Obţinem x, y H 3. Cum x H 3 şi a 1 H 1, rezultă y = a 1 x H 2, deci y H 2 H 3. Rezultă y = e. Din a 1 2 a 2 = e, deducem a 2 = ea 2 = 3 aa 1 2 = a 1 y = a 1 ; contradicţie. 26. Fie G un grup şi H 1, H 2, H 3 trei subgrupuri proprii ale sale astfel încât G = H 1 H 2 H 3. Arătaţi că x 2 H 1 H 2 H 3, pentru orice x G. Avem H 1 \ (H 2 H 3 ), H 2 \ (H 3 H 1 ), H 3 \ (H 1 H 2 ) (dacă, spre exemplu, H 1 H 2 H 3, atunci G = H 2 H 3, ceea ce contrazice afirmaţia ii) a problemei 24). Fie un element arbitrar x G. Dacă x H 1 H 2 H 3, atunci x 2 H 1 H 2 H 3. Dacă x H 1 H 2 H 3, atunci: 36

a) Presupunem x H 1 şi x H 2 H 3. Considerăm y H 1 \ (H 2 H 3 ) şi z = yx. Obţinem z H 1 H 2 H 3 = G. b) Presupunem x H 1 H 2 şi x H 3. Considerăm y H 1 \ (H 2 H 3 ) şi z = yx. Obţinem z H 2. Fie t = zx = yx 2. Avem t H 2 (în caz contrar, x H 2 ) şi t H 3 (în caz contrar, z H 3 ); prin urmare t H 1. Cum y H 1 rezultă x 2 = y -1 t H 1 ; în mod similar deducem că x 2 H 2. De asemenea, faptul că x H 3 implică x 2 H 3, deci x 2 H 1 H 2 H 3. Din motive de simetrie, celelalte situaţii se analizează similar. 27. Arătaţi că fiecare dintre următoarele grupuri se poate scrie ca reuniunea a 3 subgrupuri proprii ale sale: i) grupul lui Klein, K. ii) grupul diedral, D 4. i) K = {e, a, b, c}, unde a 2 = b 2 = c 2 = e, ab = ba = c, ac = ca = b, bc = cb = a. Fie H 1 = {e, a}, H 2 = {e, b}, H 3 = {e, c}. Avem H 1, H 2, H 3 subgrupuri proprii ale K şi K = H 1 H 2 H 3. ii) D 4 = {e, ϕ, ϕ 2, ϕ 3, ε, ϕσ, ϕ 2 ε, ϕ 3 }, unde ϕ 4 = ε 2 = e şi εϕ = ϕ 3 ε.. Oricare subgrup al lui D 4 are ordin 2 sau 4. Subgrupurile de ordin 2 ale lui D 4 sunt: H 1 = {e, ϕ 2 }, H 2 = {e, ε}, H 3 = {e, ϕε}, H 4 = {e, ϕ 2 ε}, H 5 = {e, ϕ 3 ε}. Subgrupurile de ordin 4 ale lui D 4 sunt: H 6 = {e, ϕ, ϕ 2, ϕ 3 }, H 7 = {e, ϕ 2, ε, ϕ 2 ε}, H 8 = {e, ϕ 2, ϕε, ϕ 3 ε}. Observăm că D 4 = H 6 H 7 H 8. 37

28. Fie (G, ) un grup, n 3 un număr natural şi H 1, H 2,, H n subgrupuri ale lui G ce satisfac: i)g = n i= 1 H ii)h i H j i i j, pentru orice i = 1, n Arătaţi că pentru fiecare x G, există k N* cu k (n 1)! astfel încât x k n Hi. i= 1 Fie x G. Arătăm că pentru oricare t N, 1 t n 1, dacă x se găseşte în t din subgrupurile H 1, H 2,, H n, atunci există k {1, 2,, n l} astfel încât x k să se găsească în t + 1 din subgrupuriile H 1, H 2,, H n. Presupunem x t Hi. Fie h G \ i= 1 t i= 1 H i. Atunci, pentru oricare m N*, x m h t i= 1 H i, deci x m h n H. j j=+ t 1 Prin urmare, există m N* cu t + 1 m n şi există k 1, k 2 {1, 2,, n 2 t + 1} astfel încât { k i k x hx, h } H m. Notăm k = k 2 k 1. Avem x k k2 k1 1 = ( x h)( x h) H m. t Dar x k Hi, deci x k ( Hi ) H m. i= 1 t i= 1 38

Din cele arătate anterior, obţinem existenţa numerelor naturale k 1, k 2,, k n-2 cu k i n i, pentru orice i = 1, n -2 astfel încât, notând k = n 2 i= 1 k i, să avem x k n H. i i= 1 29. Pentru un număr natural n 2 următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) n este prim. ii) Orice grup cu n elemente are exact două subgrupuri. i) ii) Fie G un grup cu ordg = n şi H un subgrup al său. Conform teoremei lui Lagrange, avem ordh / n şi, cum n este prim, obţinem ordh {1, n}. Rezultă H {{e}, G}. ii) i) Presupunem, prin absurd, că n nu este prim. Fie p un divizor prim al lui n şi q N astfel încât n = qp. În aceste condiţii grupul aditiv Z n are cel puţin 3 subgrupuri distincte: { } 0, Z n, q ; contradicţie. 30. Fie G un grup cu n elemente, n 4 şi p N, 1 < p < n. Arătaţi că, dacă G conţine p 1 C n 1 subgrupuri cu p elemente, atunci p = 2 şi x2 = e, pentru orice x G. Considerăm toate submulţimile lui G cu proprietatea că fiecare dintre ele conţine elementul neutru e şi încă p 1 elemente din G \ {e}.numărul 39

acestora este C p 1 n 1, deci familia lor coincide cu familia subgrupurilor cu p elemente ale lui G. Presupunem, prin absurd, că p > 2 şi alegem x, y G \ {e}, x y. Cum n 3 p 2 1, putem alege p 2 elemente din mulţimea G \ {e, x, y}. Fie acestea a 1, a 2,, a p-2 şi H 1 = {e, x, a 1,, a p-2 }, H 2 = { e, y, a 1,, a p-2 }. Avem că H 1 şi 1 H 2 sunt subgrupuri ale lui G. Atunci xa 1 H 1, însă xa 1 e (în caz contrar, x = H 2 ), xa 1 x (în caz contrar, a 1 = e) şi xa 1 a i, pentru orice i = 1, n. (în caz contrar, x = a i a -1 1 H 2 ); contradicţie. a 1 31. Fie (G. ) un grup finit având proprietatea că orice două subgrupuri distincte ale sale au ordine diferite. Arătaţi că orice subgrup al lui G este divizor normal. Fie H un subgrup al lui G şi x G. Atunci xhx -1 = {xhx -1 h H} este subgrup al lui G, iar aplicaţia f : H xhx -1, f(h) = xhx -1, pentru orice h H, este bijectivă. Prin urmare avem ordh = ord(xhx -1 ). Ţinând cont de ipoteză, deducem că H = xhx -1. Cum egalitatea anterioară are loc pentru orice x G, rezultă H G. 32. Arătaţi că: i) Dacă (G, ) este un grup, atunci orice subgrup de indice 2 al lui G este divizor normal. ii) Dacă (G, ) este un grup, atunci Z(G) = {x G xy = yx, pentru orice y G} este divizor normal al lui G (numit centrul grupului G). iii) Dacă (G, ) este un grup şi, pentru orice x, y G, notăm [x, y] = 40

= xyx -1 y -1 (numit comutatorul elementelor x şi y), atunci subgrupul D(G) generat de mulţimea tuturor comutatorilor elementelor lui G este divizor normal al lui G (numit subgrupul comutator al lui G). În plus, D(G) are proprietăţile: a)grupul factor G / D(G) este abelian (notat cu G ab şă numit abelianizatul grupului G). b)dacă H este un divizor normal al lui G, atunci grupul factor G / H este abelian, dacă şi numai dacă D(G) H. iv) Dacă K este un corp comutativ, n N* şi GL n (K) este grupul multiplicativ al matricelor pătratice nesingulare de ordin n peste K (numit grupul liniar de ordin n peste K), atunci mulţimea SL n (K) = ={A GL n (K) deta = 1} este un divizor normal al lui GL n (K) (numit grupul liniar special de ordin n peste K). Dacă, în plus, K este corp finit, determinaţi ordinele grupurilor GL n (K) şi SL n (K). 33. Un grup abelian (G, ) se numeşte divizibil, dacă pentru orice a G şi orice n Z* există x G astfel încât nx = a. Arătaţi că orice grup divizibil este infinit. Deduceţi că orice subgrup al grupului (Q, +) diferit de Q, are indice infinit. Presupunem, prin absurd, că G este finit. Fie n = ordg şi a un element nenul arbitrar al lui G. Atunci, pentru orice x G avem nx = 0 a; contradicţie. Fie H Q, H Q. Din faptul că (Q, +) este divizibil deducem că grupul factor Q / H este divizibil. Atunci Q / H este infinit, deci [Q : H] este infinit. 41

II.2. Ordinul unui element; grupuri ciclice 1. Fie (G, ) un grup. Arătaţi că: i) Dacă x, y G satisfac condiţiile: xy = yx, ord(x) = m <, ord(y) = = n < şi (n, m) = 1, atunci ord(xy) = mn. ii) Dacă x G având ord(x) = mn, m, n N*, (m, n) = 1, atunci există şi sunt unice elementele y, z G astfel încât x = yz = zy şi ord(y) = m, ord(z) = n. i) Avem (xy) mn = x mn y mn = (x m ) n (y n ) m = e n e m = e. (1) Fie k Z astfel încât (xy) k = e. Atunci x k y k = e sau, echivalent, x k = y -k. Ridicând la puterea n, obţinem x kn = y -kn = (y n ) -k = e. Rezultă m / kn, şi cum (m, n) = 1, deducem m / k. În mod similar, se obţine n / k. Cum (m, n) = 1, rezultă mn / k. (2) Relaţiile (1) şi (2) arată că ord(xy) = mn. ii) Fie α, β Z astfel încât αm + βn = 1 şi y = x βn, z = x αm. Avem x = x 1 = =x αm+βn = x αm x βn = x βn x αm. De asemenea, y m = x βmn = (x mn ) β = e β = e, iar dacă k Z astfel încât y k = e, atunci x βnk = e, de unde obţinem m / k; prin urmare, ord(y) = = m. În mod similar se arată că ord(z) = n. Fie y 1, z 1 G astfel încât x = y 1 z 1 = z 1 y 1 şi ord(y 1 ) = m, ord(z 1 ) = n. Atunci y = x βn = (y 1 z 1 ) βn = y βn βn n 1 z 1 = y β 1 = 1 y αm 1 = y 1 y 1 -αm = y 1 şi z = x αm = (y 1 z 1 ) αm = =y 1 αm z 1 αm = z 1 αm = z 1 1-βn = z 1 z 1 -βn = z 1. 42

n = ( mn, ) 2. Fie (G, ) un grup şi x G cu ord(x) = n <. Arătaţi că ord(x m ) =, pentru orice m N*. Fie d = (m, n) şi m 1, n 1 N* astfel încât m = dm 1, n = dn 1. Avem 1 m n n ( ) ( ) 1 mn1 dm1n nm m 1 1 m1 x = x = x = x = x = e = e. (1) Fie k Z astfel încât (x m ) k = e. Atunci x mk = e, deci n / mk. Obţinem n 1 / m 1 k şi, cum (n 1, m 1 ) = 1, deducem n 1 / k. (2) n Relaţiile (1) şi (2) arată că ord(x m ) = n 1 = ( mn., ) 3. Fie (G, ) un grup şi x un element de ordin finit al său. Arătaţi că, dacă există m, n N cu (m, n) = 1 astfel încât ord(x m ) = n şi ord(x n ) = m, atunci ord x = = mn. Avem x mn = (x m ) n = e. (1). Fie k Z astfel încât x K = e. Atunci (x m ) k = x mk = (x k ) m = e, de unde obţinem n / k şi (x n ) k = x nk = (x k ) n = = e, de unde obţinem m / k. Cum m şi n sunt relativ prime, rezultă mn / k. (2) Relaţiile (1) şi (2) arată că ord(x) = mn. O altă variantă de rezolvare a problemei este următoarea : Fie k = ord(x). Folosind problema anterioară, obţinem egalităţile: m k n k n = ord x =, m = ord x =, ( km, ) ( kn, ) 43

de unde deducem k = n(k, m) = m(k, n). Rezultă n / m(k, n) şi m / n(k, m); cum m şi n sunt relativ prime, rezultă n / (k, n) şi m / (k, m), deci n = (k, n) şi m = (k, m). Prin urmare, n / k şi m / k, ceea ce implică mn / k. Avem însă şi k / mn, aşadar k = mn. 4. Fie (G, ) un grup finit de ordin n şi k N* astfel încât n ± 1 (mod k). Arătaţi că, pentru orice a G, ecuaţia x k = a admite o soluţie unică în G. Presupunând n -1 (mod k), n = α k 1, α N*. Atunci e = a n = a αk - 1 = = a αk a -1, deci (a α ) k = a. Prin urmare, a α este o soluţie a ecuaţiei considerate. Fie b G o altă solţie a acesteia. Avem b k = a, de unde obţinem b = be = = bb n = bb αk - 1 = b αk = (b k ) α = a α. Cazul n +1 (mod k) se tratează analog. 5. Arătaţi că un grup (G, ) în care are loc implicaţia: este abelian. "a, b G, a b ord(a) ord(b)" Pentru orice a, b G, avem ord(ab) = ord(ba). Ţinând cont de ipoteză, obţinem ab = ba. 6. Dacă (G, ) este un grup finit de ordin n, atunci orice element a al lui G are ordin finit şi ord(a) / n. Indicaţie. Considerând subgrupul ciclic generat de a şi aplicând teorema lui Lagrange se obţine concluzia problemei. 44

7. Fie (G, ) un grup abelian finit şi x 0 un element de ordin maxim n al său. Arătaţi că x n = e, pentru orice x G. 8. Arătaţi că mulţimea elementelor de ordin impar dintr-un grup ciclic finit formează un subgrup de ordin egal cu cel mai mare divizor impar al ordinului grupului. Indicaţie. Fie G un grup ciclic de ordin 2 k p cu k N, p 1 (mod 2), γ un generator al său şi H = [ γ ]. Atunci avem H = {x G ord(x) 1 (mod 2)} şi ordh = p. 2 k 9. Fie (G, ) un grup ciclic, a un generator al său şi k Z. Arătaţi că: i) Dacă G este finit şi ordg = n, atunci a k este generator al lui G, dacă şi numai dacă (n, k) = 1. Determinaţi în această situaţie numărul generatorilor lui G. Caz particular : G = (Z 24, +). ii) Dacă G este infinit, atunci a k este generator al lui G, dacă şi numai dacă k {-1, 1}. i) Avem G = [a] n = {e, a,, a n-1 }. " " Dacă a k este generator al lui G, atunci G = [a k ]. Rezultă a [a k ], deci a = a αk, pentru un α Z. Urmează a kα - 1 = e, de unde obţinem n / (kα - 1). Atunci există β Z astfel încât kα - 1 = nβ.. Ultima egalitate arată că (n, k) = 1. 45