Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις από βιβλία Σε όλες τις επόμενες ασκήσεις F() είναι η αρχική (παράγουσα) της () 55. Έστω συνάρτηση : G()() F είναι παράγουσα της 56. Δίνεται συνάρτηση 57. Έστω συνάρτηση : H () F()() G είναι παράγουσα της 58. Δίνεται συνεχής συνάρτηση για την οποία () d, συνεχής, άρτια με παράγουσα F, να αποδείξεις ότι η 5 () ;,() ; d 59. Δίνεται συνάρτηση :,, () 9, F, συνεχής, περιττή με παράγουσες F, G, να αποδείξεις ότι η 8() 4() () ;, υπολόγισε αρχική της όπου () βρεις τον τύπο της και τις αρχικές της συνάρτησης : g() 5. Να λυθεί η εξίσωση : du u ln u 5. Δίνεται συνάρτηση :, F()(), να, παραγωγίσιμη με (), F η αρχική της και F()(), να βρεις τον τύπο της συνάρτησης και το σύνολο τιμών της 5. Δίνονται οι συναρτήσεις (),() g ln() ; g d 5. Δίνεται συνάρτηση :, (), F( ) ( ),, να αποδείξεις ότι : Η συνάρτηση είναι σταθερή : g()()() F F
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Να βρεις τον τύπο της συνάρτησης Να βρεις τις παράγουσες της h() () 54. () ''() d, '() '() ; 55. Δίνεται συνάρτηση :, F() 5, F( ) 5, ( ) F( ),, να αποδείξεις ότι : F()() F 6 () ; 56. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [,π] όπου ν.δ.ο. η εξίσωση ()= έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο [,π] 57. Έστω F η αρχική της () F(), F() ; () ''() d, 58. Δίνεται άρτια συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [-,] ''() '() d 59. Έστω F η αρχική της (), o F F (), g(), gή, να βρεις :, Τον αριθμό α Την εφαπτομένη της g στο σημείο με τετμημένη 5. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και () '() d () ; 5. Έστω F η αρχική της () ln, G()() F F, να βρεις : Πεδίο ορισμού της G Μονοτονία της G 5. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και ()() b b 4() '() ; ()() b d 5. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, F(), F() 4, να αποδείξεις ότι η εξίσωση ()() F έχει μία τουλάχιστον λύση στο (,) 54. Δίνεται συνάρτηση που ικανοποιεί το Roll στο [,] 55. Δίνεται παραγωγίσιμη ''() d '() :,, g( ) F( ) F( b), g(6) g(7) g( ) b b 56. Ν.δ.ο. ()() d b d
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 57. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, F( ) F( ) F() F(), να αποδείξεις ότι, : ' 58. Δίνεται συνεχής συνάρτηση όπου ()() () ; d 59. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση F(),() Ν.δ.ο. Ν.δ.ο. η εξίσωση :, : ' 54. Δίνεται συνάρτηση περιττή ν.δ.ο. F () F :,() F, '(), να βρεις : ()() F'(), έχει τουλάχιστο μία λύση στο (,) 6 5 () & 6 d d 54. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, () 6, y, F() εφαπτομένη της F() στο σημείο με τετμημένη, να βρεις : F(),() Ν.δ.ο. η εξίσωση : ()()() '()() F έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο (,) 54. Δίνεται συνάρτηση άρτια ν.δ.ο. () d () d 54. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη :, F() F() ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστον ένα, : '()()() F 544. Δίνεται άρτια συνάρτηση () d () d 545. Δίνεται παραγωγίσιμη :,4, F() F() F(4) F() τουλάχιστο ένα,4 : '()(), να αποδείξεις ότι υπάρχει 546. Αν (), να βρεις το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη συνάρτηση, την εφαπτομένη στο Α(5,) και τους άξονες η 547. Δίνεται συνάρτηση (), να βρεις : Μονοτονία Ακρότατα Ασύμπτωτες F F F F
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 548. Αν () ln, να βρεις το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη συνάρτηση την εφαπτομένη στο χ= και τις ευθείες, 549. Δίνεται συνεχής 4 :, (), ( ) 4 ( ) 4, να βρεις : Τύπο της συνάρτησης Μονοτονία F F 55. Να βρεις τις εφαπτόμενες της παραβολής χωρίου που περικλείεται από τη συνάρτηση και τις εφαπτόμενες :,, (), '( ) 55. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g :,,,() G και συνάρτηση h()()(),() g H H(),, G(),, H ()()()(), G G H, 55. Αν H () ln ; G() 4y που άγονται από το Α(,-) και το εμβαδό του, να δείξεις ότι :, συνεχής συνάρτηση (), y,, να βρεις το α ώστε η ευθεία να χωρίζει σε δύο ισοδύναμα χωρία το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και τον οριζόντιο άξονα. 55. Δίνεται συνεχής συνάρτηση 554. Αν 6 :,,,(),()() ; F 4 (), να βρεις το εμβαδό Ε(α) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον οριζόντιο άξονα και τις ευθείες,,. Να υπολογίσεις τα όρια : (), E () E 555. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, ( y) ( ) ( y), να βρεις : () Ν.δ.ο. F()()()()() y F y F y F Αν () () ; 556. Αν (), να βρεις το εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης, τον οριζόντιο άξονα και την ευθεία = 4
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 557. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :,, F(), ( ) F( ) () 558. Αν () ; Να λύσεις την εξίσωση : F F, ν.δ.ο. () 5 9 4, να βρεις το εμβαδό που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων, 559. Να βρεις : () 56. Αν, να βρεις το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον οριζόντιο άξονα και τις ευθείες χ=,χ= 56. Να βρεις : 56. Αν συνεχής συνάρτηση :[,], ( ) 7, F(), ν.δ.ο. έχει μοναδική ρίζα στο (,) η εξίσωση : F( ) 4 5 F( ) F( ) 56. Να βρεις :, αν γνωρίζεις ότι η συνάρτηση () είναι πολυώνυμο ου βαθμού ( ) 564. Να υπολογίσεις τα όρια : 565. Αν, F( ) F ( ), ( ), να βρεις : ( ) 566. Να υπολογίσεις τα όρια : ln,, b b b '() 4() () '(), d, d '() d () και το () 567. Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : b '()() I d d b 568. Να βρεις πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : ln (),() 4 (),() 4 5, 5
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 569. 5 Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : (), 4 ydy d, 4 d 4 57. Αν συνάρτηση γνησίως μονότονη διέρχεται από Α(,8) και Β(,), να υπολογίσεις την ποσότητα A ()() d d 8 57. Αν συνεχής συνάρτηση () d () d :,()() 6() y dy d 9 d, να υπολογίσεις : 57. Αν () 5, ν.δ.ο. αντιστρέφεται και να υπολογίσεις το 57. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση, ' Υπάρχει Υπάρχει,4 : '() k,4 : '() k 4 v 574. Αν Iv d Iv Iv k. Να υπολογίσεις το I 5 v 575. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο 4 () d : d 4, να αποδείξεις ότι : :,() 6, '() d () d d, να βρεις : () Υπάρχει k, :() k8 Υπάρχουν m n, : '() m '() n v. Να υπολογίσεις το I v * v 576. Αν Iv d, v Iv Iv 577. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :,(),()()() ()() d d, να αποδείξεις ότι : ()() d 6
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Υπάρχει k, : '()() k k 578. Αν συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη με (), ''() ''()() ; d 579. Δίνονται συναρτήσεις (), g:,,() g F F g '() d 58. Αν συνάρτηση συνεχής ()()() d d, να βρεις : 58. Δίνεται παραγωγίσιμη :, (), F(), '( ) ( ), να βρεις : () F () d 58. Αν συνάρτηση συνεχής με b c b b c ()() d c d 58. Δίνεται συνάρτηση c (),() F F d ; 584. Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα (θέτω) : d d d d 4,,, 8 ln d, d, d, d, * 585. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη :, () (), '( ) ( ), να αποδείξεις ότι : () Αν (),() F () ; F d ; 586. Να υπολογίσεις τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα : d, d, d, d 5 6 5 6 587. Δίνεται I v v * d, v, να αποδείξεις ότι : 7
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 v I v I v v S I I I I I 4 5 588. Αν συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη με 589. Δίνεται :, ( y) ( ) ( y) 6y, να βρεις : () Ν.δ.ο. ()() 6 Αν () d 6 ; 59. Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα (παραγοντική) : d, ln 59. Δίνεται συνάρτηση 6 () d () '(),() '' d ; d, ln d, d, (), να βρεις : o 4 d, ln d, d, ln d d, 59. Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα των ρητών συναρτήσεων : 8 d, d, d, d, d, 6 9 4 d 59. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, ( ) 4 ( ) 5 :,, να βρεις : ( ),() (), () Να ορίσεις την 5 () d v 594. Με θέτω d ; v v 595. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, ν.δ.ο. ( ) d 6 ( ) d 8 596. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, να υπολογίσεις 8
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 4 d 4 Ν.δ.ο. : () () d 597. Δίνεται συνάρτηση συνεχής :[,],(),()()() d d, να υπολογίσεις : () d ( ) 598. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, d ( ) 599. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο :[,],() d '() d, να αποδείξεις ότι ()() 6. Δίνεται συνεχής συνάρτηση, ( ) ( ) d : ( ) d 6. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, ( ) d 5, να αποδείξετε ότι : 7 () 6 8() () d 8 6. Δίνεται συνάρτηση (), να αποδείξεις ότι d 6 d 6. Δίνεται συνάρτηση () ln ln 64. Να αποδείξεις ότι : ln d ln, 9
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 d ln k k k k d k d 65. Δίνεται συνάρτηση 66. Δίνεται συνεχής συνάρτηση k () 6 d 9 6 5 () :[,4] [4,6] d 6 67. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[, ],() 4() () () d 4 d d, να βρεις : 68. Δίνονται συνεχείς, :[,],()() g g d d g d g 69. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο :,, (), () () ''() 4 d '() '() 84() ; 6. Δίνεται συνάρτηση Σύνολο τιμών () () 6. Να βρεις το όριο : () 6. Να υπολογίσεις το όριο : 6. Να υπολογίσεις τα όρια :, να βρεις :, ln και
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Ασκήσεις ορίων σε ολοκληρώματα 64. Να υπολογίσεις το όριο : 65. Να υπολογίσεις το όριο : 66. Να υπολογίσεις τον αριθμό κ όταν 67. Να υπολογίσεις το όριο : 68. Να υπολογίσεις το όριο : 69. Να υπολογίσεις το όριο : 6. Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, () ; 6. Να υπολογίσεις το όριο : 6. Να υπολογίσεις το όριο : k k ln 5 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή πρώτη () () παράγωγο :,.Να αποδείξεις ότι