ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των ντικειµένων (έµψυχ ή άψυχ) γι τ οποί συλλέγοντι διάφορ στοιχεί. Άτοµο είνι κάθε στοιχείο του πληθυσµού. Μέγεθος του πληθυσµού είνι το πλήθος των τόµων του πληθυσµού. Μετλητή είνι έν χρκτηριστικό του πληθυσµού. είγµ είνι έν υποσύνολο του πληθυσµού κι πρέπει ν είνι ντιπροσωπευτικό του πληθυσµού (η εξέτση του δείγµτος ν ποδίδει σωστά την εικόν όλου του πληθυσµού). Μέγεθος του δείγµτος είνι το πλήθος των τόµων του δείγµτος. ειγµτοληψί είνι η εξέτση ενός δείγµτος του πληθυσµού. Ποσοτική µετλητή είνι ότν η τιµή της µετλητής µπορεί ν µετρηθεί (εκφράζετι µε ριθµό) (π.χ. µισθός ύψος ώρες εργσίς) Ποιοτική µετλητή είνι ότν η τιµή της µετλητής δεν µπορεί ν µετρηθεί (δεν εκφράζετι µε ριθµό) (π.χ. χρώµ µτιών επίπεδο µόρφωσης). Η σττιστική µε τη χρήση των δειγµάτων είνι µι επγωγική επιστήµη φού πό το µέρος ενός τµήµτος προσπθεί ν γάλει συµπεράσµτ γι το όλον.
ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ικριτή µετλητή είνι η µετλητή που µπορεί ν πάρει µόνο δικεκριµένες τιµές. Πρτηρήσεις v Συχνότητ f Σχ. συχνότητ f % Αθροιστικές συχνότητες ν f f % v Αθροίσµτ v =µέγεθος του δείγµτος v ν Συχνότητ ( v) της τιµής µις µετλητής ονοµάζετι το πλήθος των τόµων του πληθυσµού (ή του δείγµτος) γι τ οποί η µετλητή πίρνει την τιµή ν = ν ν + ν +... + ν = ν Σχετική συχνότητ k f της τιµής µις µετλητής ονοµάζετι ο λόγος της συχνότητς προς το µέγεθος του δείγµτος. ν f = f f f... f ν = + + + k =. Αθροιστική συχνότητ (σε ποσοτική µετλητή) µις τιµής λέγετι το άθροισµ των συχνοτήτων v των τιµών που είνι µικρότερες ή ίσες µε την τιµή υτή. Σχετική θροιστική συχνότητ (σε ποσοτική µετλητή) µις τιµής λέγετι το άθροισµ των σχετικών συχνοτήτων f των τιµών που είνι µικρότερες ή ίσες µε την τιµή υτή. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ) Γρφική πράστση ως σηµεί στους δύο άξονες ) Ρδόγρµµ κτκόρυφο κι οριζόντιο 3) Κυκλικό διάγρµµ ιιρούµε τον κύκλο σε κυκλικούς τοµείς νάλογ µε τις συχνότητες των τιµών της ν µετλητής M = 36 ν 4) Εικονόγρµµ
ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ) Συνεχής µετλητή είνι η µετλητή που µπορεί ν πάρει οποιδήποτε τιµή σε κάποιο διάστηµ ή ένωση διστηµάτων των πργµτικών ριθµών. ιστήµτ K Μέσο διστήµτος v Συχνότητ f Σχ. συχνότητ f % Αθροιστικές K συχνότητες v ν f f % Αθροίσµτ v =µέγεθος του δείγµτος v ν ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ (ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ) ) Ιστόγρµµ συχνοτήτων κι Ιστόγρµµ σχετικών συχνοτήτων Αποτελείτι πό ορθογώνι µε άση το πλάτος κάθε διστήµτος κι ύψος ν ισούτι µε την συχνότητ ν ή την σχετική συχνότητ f κάθε διστήµτος. ) Πολύγωνο συχνοτήτων ( ν ) κι Πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ( f ) ή ( % ) f ) Σχηµτίζετι µε ένωση των µέσων των πάνω άσεων των ορθογωνίων του ντιστοίχου ιστογράµµτος φού προσθέσουµε δύο κόµη κλάσεις (στην ρχή κι στο τέλος) µε το ίδιο πλάτος κι µηδενική συχνότητ. 3) Ιστόγρµµ θροιστικών συχνοτήτων κι Ιστόγρµµ θροιστικών σχετικών συχνοτήτων Αποτελείτι πό ορθογώνι µε άση το πλάτος κάθε κλάσης κι ύψος την ντίστοιχη θροιστική συχνότητ ή την θροιστική σχετική συχνότητ 4) Πολύγωνο θροιστικών συχνοτήτων κι Πολύγωνο θροιστικών σχετικών συχνοτήτων Σχηµτίζετι µε ένωση των πάνω κι δεξιών κορυφών των ορθογωνίων στ ιστογράµµτ θροιστικών συχνοτήτων ή στ ιστογράµµτ θροιστικών σχετικών συχνοτήτων.
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΘΕΣΕΩΣ ) Μέση τιµή ( ) ) Αν µι µετλητή πίρνει τις τιµές t t... t v τότε: = ν t ) Αν µι µετλητή πίρνει τις τιµές... k µε ντίστοιχες συχνότητες v v... v k τότε: = ν γ) Οµδοποίηση ν ν + ν +... + ν = ν µε = K ν Πρτηρήσεις Εξρτάτι πό όλες τις τιµές της µετλητής Επηρεάζετι πό κρίες τιµές εν υπάρχει σε ποιοτικές µετλητές ν ) ιάµεσος (δ) ) ιάµεσος ενός δείγµτος ν πρτηρήσεων που έχουν διτχθεί σε ύξουσ σειρά ονοµάζετι: ) η µεσί πρτήρηση ν το πλήθος των πρτηρήσεων είνι περιττό. ) το ηµιάθροισµ των µεσίων πρτηρήσεων ν το πλήθος των πρτηρήσεων είνι άρτιο. ) Οµδοποίηση Υπολογίζετι µε γρφικό τρόπο.. Πρτηρήσεις Εξρτάτι πό όλες τις τιµές της µετλητής Ο υπολογισµός προυσιάζει δυσκολίες σε συνεχή µετλητή εν επηρεάζετι πό κρίες τιµές εν υπάρχει σε ποιοτικές µετλητές 3) Επικρτούσ τιµή ) Επικρτούσ τιµή µις µετλητής ονοµάζετι η τιµή µε την µεγλύτερη συχνότητ. ) Οµδοποίηση Υπολογίζετι µε γρφικό τρόπο. Πρτηρήσεις Μπορεί ν µην είνι µονδική (δικόρυφη πολυκόρυφη). Εξρτάτι µόνο πό τη µεγλύτερη τιµή Υπάρχει σε ποιοτικές µετλητές k
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ) Εύρος Εύρος είνι η διφορά της µικρότερης τιµής πό τη µεγλύτερη τιµή της µετλητής. Πρτήρηση Χρησιµοποιεί µόνο τις δύο κρίες πρτηρήσεις ) ικύµνση ( s ) ) Αν µι µετλητή πίρνει τις τιµές t t... t v τότε s = ( t ) ν ) Αν µι µετλητή πίρνει τις τιµές... k µε ντίστοιχες συχνότητες v v... v k κι έχει µέση τιµή τότε: s = ( ) v ν + ν +... + ν = ν µε ν Πρτήρηση Οι µονάδες της δικύµνσης είνι το τετράγωνο των µονάδων της µετλητής k 3) Τυπική πόκλιση (s) s = s Πρτήρηση Έχει την ίδι µονάδ µέτρησης µε την µονάδ των πρτηρήσεων ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ή ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ (CV) s CV = % Πρτηρήσεις Μετράει την οµοιογένει του πληθυσµού Αν η τιµή του συντελεστή µετολής είνι µικρότερο του % ο πληθυσµός του δείγµτος θεωρείτι οµοιογενής εν έχει µονάδες
ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός ορίου Θ λέµε ότι µι συνάρτηση f :( ) ( ) R έχει όριο τον πργµτικό ριθµό l ότν το τείνει στο ν οι τιµές της f( ) ρίσκοντι οσοδήποτε κοντά στον ριθµό l ότν το είνι ρκετά κοντά στο (λλά δεν γίνετι πρίτητ ίσο µε το ) lm f =l Ιδιότητες ορίων Α ν lm f = l R κι lm g = l R τό τε : ) lm f ± g = l ± l ( ) ) lm f g f l = v) lm f = l ) lm l g l ν ν * = l N v) lm f v v) lm f = l k N k k k = l l όπουη f είνιθετικ ήσε µιπεριοχ ήτου Πλευρικά όρι Το όριο µις συνάρτησης υπάρχει ν κι µόνο ν υπάρχουν τ πλευρικά όρι κι είνι ίσ δηλδή lm lm f f + = =l Αν τ δύο πλευρικά όρι είνι διφορετικά τότε θ λέµε ότι δεν υπάρχει το όριο της f ότν το τείνει στο.
Υπολογισµός του ορίου lm f Α. Αντικθιστούµε το µε την τιµή Β. Αν το ποτέλεσµ είνι τότε:. Πργοντοποιούµε τον ριθµητή κι πρνοµστή (κοινός πράγοντς διφορά τετργώνων τριώνυµο σχήµ Hrner). Απλοποιούµε το κλάσµ 3. Αντικθιστούµε το µε την τιµή Γ. Αν έχουµε προσδιοριστί σε συνρτήσεις που έχουν ριζικά τότε πολλπλσιάζουµε τον ριθµητή κι τον πρνοµστή µε κτάλληλη συζυγή πράστση. Πράγοντς Συζυγής πράστση Γινόµενο + Συνέχει Η συνάρτηση f : A R είνι συνεχής στο σηµείο ν κι µόνο ν ισχύει ότι lm = f f Μι συνάρτηση f : ( ) R λέγετι συνεχής στο διάστηµ ( ) σε κάθε ( ) ν είνι συνεχής Μι συνάρτηση f : [ ] R λέγετι συνεχής στο διάστηµ [ ] συνεχής σε κάθε ( ) κι επιπλέον έχουµε ότι: lm f = f lm f = f( ) + ν είνι
Ιδιότητες συνεχών συνρτήσεων Α) Αν οι συνρτήσεις f g: A R είνι συνεχείς στο σηµείο A τότε οι συνρτήσεις f ± g k f f g f µε g( ) f ( k ) f µε f g είνι συνεχείς στο σηµείο A. Β) Αν η συνάρτηση f : A R είνι συνεχής στο σηµείο είνι συνεχής στο σηµείο f ( ) B A κι η g: B R τότε κι η σύνθεσή τους g f : A R είνι συνεχής στο. Γ) Κάθε συνάρτηση που ορίζετι µε έν τύπο είνι συνεχής στο πεδίο ορισµού της. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ορισµός πργώγου Μι συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της ν το f ( + h) f ( ) όριο lm υπάρχει κι είνι πργµτικός ριθµός. Το όριο υτό h h συµολίζετι µε f ) κι λέγετι πράγωγος της f στο. ( Μι συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της ν κι µόνο ν υπάρχουν τ δύο πλευρικά όρι f ( + h) f ( ) f ( + h) f ( ) lm lm + h h h h κι είνι ο ίδιος πργµτικός ριθµός. R Γι µι συνάρτηση f : ( ) R ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f : ( ) ν κι µόνο ν η f είνι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο του πεδίου ορισµού της. Γι µι συνάρτηση f : [ ] R ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f : [ ] κι µόνο ν: ) η f είνι πργωγίσιµη γι κάθε ( ) ) υπάρχουν τ πλευρικά όρι κι είνι πργµτικοί ριθµοί lm + h f ( + h) f h lm h R ν f ( + h) f ( ) h
Θεώρηµ Αν µι συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της τότε θ είνι κι συνεχής στο σηµείο υτό. Ρυθµός µετολής Ρυθµός µετολής του µεγέθους y = f() ως προς το µέγεθος στο σηµείο είνι η πράγωγος f ). ( Τχύτητ - Επιτάχυνση Αν έν κινητό κινείτι ευθύγρµµ κι η θέση του εκφράζετι πό τη σχέση s= f ( t) τότε η τχύτητ του κινητού είνι υ(t) = s (t) κι η επιτάχυνση γ (t) = υ (t) = s (t). Ορικό κόστος Ορικό κέρδος Αν Κ() το κόστος πργωγής κι P() το κέρδος ως προς την ποσότητ του πργόµενου προιόντος τότε: K( + h) K( ) Το µέσο κόστος είνι h P( + h) P( ) Το µέσο κέρδος είνι h Το ορικό κόστος ότν = είνι K ( ) Το ορικό κέρδος ότν = είνι P Ιδιότητες c = a - ( ηµ) ( συν) ( e ) = = R* > = > = συν = ηµ = e ln = > ( f ± g) = f ± g ( c f ) = c f ( f g) = f g + f g f f g f g = g g f = g f f ( ) ( εφ) ( σφ) = = συν ηµ g
Πράγωγοι νώτερης τάξης f = f = f f Πράγουσ συνάρτηση Πράγουσ συνάρτηση της συνάρτησης f : R είνι µι πργωγίσιµη συνάρτηση : F = f γικάθε. F R τέτοι ώστε Θεώρηµ Αν η F: R είνι µι πράγουσ της συνάρτησης f : πράγουσ είνι της µορφής F+ c όπου cστθερά. R τότε οποιδήποτε άλλη Ιδιότητες Συνάρτηση f Πράγουσ συνάρτηση F c + c > + + c + > ln+ c e e+ c ηµ συν + c συν ηµ+ c π κπ+ κ Z συν εϕ+ c κπ κ Z ηµ σϕ + c g g ( ) + c g g g g g g g g R g g g > e > g + c > ln g ( g ) a+ a+ g g g e + c + c + c
Μονοτονί συνάρτησης f : R είνι πργωγίσιµη συνάρτηση τότε: Αν > τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο ( a ) ) Αν f ( ) γικάθε ( a ) ) Αν f ( ) γικάθε ( a ) < τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο ( a ) Ακρόττ συνάρτησης Μι συνάρτηση f έχει τοπικό µέγιστο στο σηµείο = ν υπάρχει νοιχτό διάστηµ ( a ) που περιέχει το τέτοιο ώστε f f ( ) γικάθε ( ). Μι συνάρτηση f έχει τοπικό ελάχιστο στο σηµείο = ν υπάρχει νοιχτό διάστηµ f f γικάθε. ( a ) που περιέχει το τέτοιο ώστε Θεώρηµ Fermat Αν η συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό κρόττο σε έν εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό τότε f ( ) =. Πιθνές θέσεις τοπικών κρόττων. Τ εσωτερικά σηµεί του πεδίου ορισµού στ οποί η πράγωγος της f µηδενίζετι (στάσιµ σηµεί). Τ εσωτερικά σηµεί του πεδίου ορισµού στ οποί η f δεν πργωγίζετι (γωνικά σηµεί) 3. Τ άκρ των διστηµάτων που νήκουν στο πεδίο ορισµού της f. Πως ρίσκουµε την µονοτονί κι τ κρόττ µις συνάρτησης ) Βρίσκουµε την πράγωγο f () ) Λύνουµε την εξίσωση f = γ) Βρίσκουµε το πρόσηµο της f () Κριτήριο ης πργώγου Στο σηµείο = έχουµε τοπικό µέγιστο ίσο µε f ( ) ν η µονοτονί «ριστερά» πό το σηµείο είνι γνησίως ύξουσ κι «δεξιά» είνι γνησίως φθίνουσ. Στο σηµείο = έχουµε τοπικό ελάχιστο ίσο µε f ( ) ν η µονοτονί «ριστερά» πό το σηµείο είνι γνησίως φθίνουσ κι «δεξιά» είνι γνησίως ύξουσ.
Κριτήριο ης πργώγου Αν η συνάρτηση f : A R είνι συνεχής κι f ( ) =. Αν η συνάρτηση είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο τότε: ) ν f ( ) < τότε προυσι ζει τοπικό µέγιστο στο ) ν f ( ) > τότε προυσι ζει τοπικό ελάχιστο στο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Έστω µι συνεχής συνάρτηση f : [ ] στθερή διφορά F( ) F πό το έως το κι το συµολίζουµε µε : Ιδιότητες a a ( ) cd= c R µε πράγουσ συνάρτηση την F. Τη ονοµάζουµε ορισµένο ολοκλήρωµ της συνάρτησης f γ = = = f d F F F f d= f d+ f d < γ < γ f d= f d f d ( ) λ f + µ g d= λ f d+ µ g d λ µ R λf d= λ f d λ R ( + ) = + f g d f d g d Αν f γι κάθε [ ] τότε f d Αν f g γι κάθε [ ] τ ότε f d g d
Πργοντική ολοκλήρωση = f g d f g f g d Υπολογισµός Εµδού Επίπεδου Χωρίου Εµδό του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση µις ολοκληρώσιµης f : R τον άξον κι τις ευθείες = = είνι: συνάρτησης [ ] E f d = Εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις δύο ολοκληρώσιµων f g : R κι τις ευθείες = = είνι: συνρτήσεων [ ] E= f g d