Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face utilizându-se o relaţie de echivalenţă pe mulţimea numerelor reale, şi clasele de echivalenţă în care această relaţie împarte mulţimea R. Propoziţia 1. Relaţia definită pe R prin x y x y Q, este o relaţie de echivalenţă. Demonstraţie: Faptul că relaţia dată este reflexivă, simetrică şi tranzitvă este imediat, dupa cum urmează: Reflexivitatea: x x = 0 Q x x, x R. Simetria: x y x y Q y x Q y x. Tranzitivitatea: x y şi y z x y Q şi y z Q x z = (x y) + (y z) Q x z. Prin urmare, relaţia dată este o relaţie de echivalenţă. Vom nota prin [x] = {y R : y x} clasa de echivalenţă care îl conţine pe x. Este cunoscut faptul că o relaţie de echivalenţă determină prin clasele sale o partiţie a mulţimii pe care este definită relaţia. Astfel avem R = x R[x] şi y / [x] [x] [y] =. În continuare vom nota cu A = {[x] : x R} mulţimea claselor de echivalenţă şi vom determina cardinalul mulţimii A. În primul rând, aplicaţia µ : R A, µ(x) = [x], x R este surjectivă şi astfel card A card R = ℵ. Lemă: Dimensiunea lui R ca spaţiu vectorial peste Q este ℵ, unde ℵ = card R. Demonstraţie: În [1], pagina 245 se găseşte următoarea lemă: Dacă V este un spaţiu vectorial peste corpul K, şi dimv = b este infinită, atunci card V = b card K. Folosind această lemă pentru cazul în care V = R, K = Q, şi b este cardinalul unei baze a lui R peste Q, obţinem ℵ = ℵ 0 b = b. Ultima egalitate are loc deoarece b b ℵ 0 b 2 = b, b fiind un număr cardinal infinit. Am demonstrat astfel că b = ℵ, adică dimensiunea lui R ca spaţiu vectorial peste Q este ℵ = card R. Teorema 1. card A = card R. Demonstraţie: Alegem o bază B a lui R peste Q care îl conţine pe 1, ceea ce este posibil deoarece orice mulţime de elemente liniar independente poate fi prelungită la o bază, iar mulţimea cu un element, {1}, verifică în mod evident acest lucru. Dacă două elemente diferite, să zicem x şi y din B s-ar afla în aceeaşi clasă de echivalenţă, 1

atunci am avea x y = q 1, q Q, şi astfel 1, x şi y ar fi liniar dependente. Contradicţie. Prin urmare oricare două elemente diferite din B se află în clase de echivalenţă diferite, şi se poate defini astfel o aplicaţie φ : B A, φ(b) = [b], b B. Această aplicaţie este injectivă şi astfel card B card A. Din lema precedentă ştim că card B = ℵ şi deasemenea card A ℵ dintr-o remarcă anterioară. Astfel ℵ card A ℵ, ceea ce implică card A = ℵ. Din definiţia numerelor cardinale, două mulţimi au acelaşi număr cardinal dacă şi numai dacă există o bijecţie între elementele lor. Următoarea propoziţie arată legătura dintre cardinalul lui R şi cardinalul oricărui interval. Propoziţia 2. Pentru a, b R, a < b au loc egalităţile: card (a, b) = card [a, b) = card (a, b] = card [a, b] = card R = card (, a] = card (, a] = card [b, ) = card (b, ) = card R. Demonstraţia acestei propoziţii constă în găsirea unor funcţii bijective între oricare două dintre intervalele de mai sus şi este lăsată ca exerciţiu. Construcţia unor funcţii ciudate cu proprietatea Darboux Teorema 2.1. Există funcţii neconstante f : R R care duc orice interval deschis într-un interval închis. Demonstraţie: Vom demonstra mai mult, şi anume că există funcţii ca în enunţ care duc orice interval deschis în acelaşi interval închis [a, b]. Luăm a, b R, a < b. Atunci card [a, b] = ℵ = card A, şi astfel există o funcţie bijectivă g : A [a, b]. Definim funcţia f : R [a, b], f(x) = g([x]). Această funcţie este bine definită pentru orice x R. Vom demonstra acum că imaginea oricărui interval (s, t), s, t R, s < t este chiar intervalul [a, b]. Pentru acest lucru, observăm că [x] = x + Q = {x + q : q Q}. Deoarece Q este densă în R, orice translatată a sa este densă în R, ceea ce înseamnă că oricare clasă din A are reprezentanţi în orice interval deschis, deci şi în (s, t). Astfel f((s, t)) = g(a) = [a, b]. Propoziţia 3. Funcţia construită în demonstraţia Teoremei 2 are proprietatea lui Darboux şi nu este continuă în nici un punct din R. Demonstraţie: Este cunoscut faptul că o funcţie f : R R are proprietatea lui Darboux dacă şi numai dacă f(i) este interval pentru orice interval I R. Este evident, din definiţia lui f că f(i) [a, b], I R, I interval. Mai departe, I fiind interval, alegem s, t I, s < t. Atunci (s, t) I, adică f((s, t)) f(i), şi din demonstraţia teoremei precedente [a, b] f(i). Deci f(i) = [a, b] este interval. Cum I este un interval arbitrar, rezultă că f are proprietatea lui Darboux. 2

Fie x 0 R. Deoarece oricare ar fi ε > 0, f((x 0 ε, x 0 + ε)) = [a, b], f nu poate fi continuă în x 0. Astfel am demonstrat ca f nu e continuă în nici un punct din R. După cum se poate vedea, alegerea unui interval de forma [a, b] nu e necesară. Teorema rămâne adevărată şi dacă în locul lui [a, b] punem oricare alt tip de interval (care nu e redus la un punct). Cazul în care luăm mulţimea numerelor reale merită tratat separat, datorită rezultatului surprinzător care se obţine. Teorema 2.2. Există funcţii f : R R care au proprietatea lui Darboux şi iau orice valoare reală în orice vecinătate a unui punct din R. Demonstraţie: Se procedează analog ca în demonstraţia Teoremei 2.1, definind bijecţia h : A R, şi funcţia f : R R, f(x) = h([x]). În continuare se arată că f((s, t)) = R, oricare ar fi intervalul (s, t), folosind acelaşi argument, şi anume, faptul că intervalul (s, t) conţine elemente din oricare clasă de echivalenţă din A. Faptul că f are şi proprietatea lui Darboux, se demonstrează analog cu Propoziţia 3, obţinându-se faptul că f(i) = R pentru orice interval real I. Prin urmare, funcţia f ia fiecare valoare reală în orice vecinătate a oricărui punct real şi are proprietatea Darboux. Cele două rezultate de mai sus sunt cazuri particulare ale următoarei teoreme: Teorema 2.3. Fiind dată o mulţime T R, există o funcţie f : R R astfel încât imaginea oricărui interval prin această funcţie este chiar mulţimea T. Demonstraţie: Deoarece card T card A, există o surjecţie φ : A T. Considerăm funcţia f : R R, f(x) = φ([x]). Această funcţie verifică enunţul teoremei. Într-adevăr, dacă I este un interval şi t T, atunci există x 0 R cu φ([x 0 ]) = t. Deoarece [x 0 ] este densă în R, există z I cu x [x 0 ]. Prin urmare f(z) = φ([z]) = φ([x 0 ]) = t. Evident are loc şi f(i) T, prin urmare imaginea lui I prin f este T. Un rezultat şi mai surprinzător este dat de următoarea teoremă atribuită matematicianului Waclaw Sierpinski: Teorema 3. (Sierpinski) Pentru orice funcţie f : R R există două funcţii f 1, f 2 : R R cu proprietatea Darboux şi discontinue în orice punct din R, astfel încât f = f 1 + f 2. Demonstraţie: Ideea principală a demonstraţiei este luată din [2], pagina 46. Fie f : R R o funcţie oarecare. Considerăm o bijecţie g : R A şi notăm cu A 1 = g((, 0)), A 2 = g([0, )). Astfel card A 1 = card A 2 = ℵ, şi astfel există două bijecţii m : R A 1 şi n : R A 2. A 1 < g m R R =(, 0) [0, ) g A 2 < n R 3

Definim acum funcţiile: { r, t m(r) f 1 (t) = f(t) r, t n(r) f 2 (t) = { f(t) r r, t m(r), t n(r) Este evident din definirea funcţiilor f 1 şi f 2 că f = f 1 +f 2. Să demonstrăm acum că f 1 şi f 2 au proprietatea lui Darboux. Pentru aceasta, considerăm un interval I R. Deoarece fiecare clasă de echivalenţă din A este densă în R, rezultă că I m(r), I n(r), r R. Prin urmare, dacă ţinem cont de definirea funcţiilor f 1 şi f 2 obţinem că r f 1 (I m(r)) f(i) şi r f 2 (I n(r)) f(i), pentru orice r R. Astfel am obţinut că f 1 (I) = f 2 (I) = R. Intervalul I a fost considerat arbitrar, deci f 1 (I) = f 2 (I) = R, I R, I interval. Rezultă astfel că f 1 şi f 2 au proprietatea Darboux. Deasemenea, tot din relaţiile f 1 (I) = f 2 (I) = R pentru orice I interval, rezultă şi că funcţiile f 1 şi f 2 nu sunt continue în nici un punct x 0 din R, pentru că f((x 0 δ, x 0 + δ)) = R (f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε), ε > 0, δ > 0, x 0 R. Prin urmare funcţia f, care a fost aleasă în mod arbitrar, se poate scrie ca sumă de două funcţii care au proprietatea Darboux şi sunt discontinue în orice punct din R. La concursul Traian Lalescu pentru studenţi, ediţia 2003, s-a propus spre rezolvare următoarea problemă: Fie F mulţimea funcţiilor f : [0, 1] [0, 1] cu proprietatea că există două mulţimi disjuncte şi nevide A şi B cu A B = [0, 1] astfel încât f(a) B şi f(b) A. Să se studieze dacă F conţine funcţii continue, funcţii primitivabile şi funcţii cu proprietatea Darboux. Răspunsul la primele două cerinţe este evident. Dacă o funcţie f F este continuă sau are primitive, atunci funcţia respectivă are cel puţin un punct fix, ceea ce contrazice ipotezele satisfăcute de f. La cea de-a treia cerinţă, răspunsul este dat de teorema următoare. Teorema 4. Există funcţii f F cu proprietatea Darboux. Demonstraţie: Fie φ : A R o bijecţie şi Y = φ 1 ((, 0]), Z = φ 1 ((0, )). Fie A = {x [0, 1] : [x] Y }, B = {x [0, 1] : [x] Z}. A şi B sunt disjuncte şi nevide pentru că Y şi Z sunt disjuncte şi nevide. Deasemenea, deoarece Y Z = A, rezultă că A B = {x [0, 1] : [x] A} = [0, 1]. Deoarece atât A cât şi B conţin toate elementele din [0, 1] care aparţin unei aceeaşi clase de echivalenţă, A şi B sunt dense în [0, 1]. Din definiţia lor, card Y = card Z = card A = card B = ℵ. Prin urmare există bijecţiile µ : Y B şi ν : Z A. Definim în continuare funcţia f : [0, 1] [0, 1] prin { µ([x]), x A f(x) = ν([x]), x B 4

A x B x > [x] > [x] µ > B Este evident din definiţia funcţiei f şi a mulţimilor A, B, Y, Z că f(a) B şi f(b) A. Să demonstrăm acum că f are proprietatea Darboux. Fie I un interval (care nu e redus la un punct) inclus în [0, 1]. Atunci I intersectează toate clasele din A (pentru că oricare dintre acestea este densă în R), adică I intersectează toate clasele din Y şi Z. Astfel f(i) = µ(y ) ν(z) = B A = [0, 1]. Deoarece I a fost ales arbitrar, rezultă că f(i) = [0, 1] pentru orice interval I (netrivial) inclus în [0, 1]. Astfel am demonstrat că f are proprietatea lui Darboux. Prin urmare există funcţii în mulţimea F care au proprietatea Darboux. Din teorema de mai sus rezultă uşor următoarea Consecinţă. Dacă a, b R, a < b atunci există funcţii f : [a, b] [a, b] care au proprietatea Darboux şi nu au puncte fixe. Demonstraţie: Se efectuează aceeaşi construcţie de la Teorema 5 (nu are importanţă dacă intervalul e [0, 1] sau [a, b]). Dacă această funcţie ar avea un punct fix, aceasta ar contrazice construcţia mulţimilor A şi B. Ecuaţia funcţională a lui Cauchy şi proprietatea Darboux Voi demonstra în continuare că ecuaţia funcţională a lui Cauchy are soluţii netriviale care au proprietatea lui Darboux. Pentru aceasta avem nevoie de câteva rezultate preliminare: 0) O funcţie f : R R verifică ecuaţia funcţională a lui Cauchy dacă f(x + y) = f(x) + f(y), x, y R (C). i) O funcţie care satisface (C) are proprietatea că f(qx) = qf(x), q Q, x R ii) Orice funcţie de forma f(x) = ax, a R, satisface ecuaţia (C). Aceste soluţii se vor numi soluţii triviale ale ecuaţiei (C). Este cunoscut faptul că orice soluţie continuă a ecuaţiei (C) este trivială. iii) Fie R considerat ca spaţiu vectorial peste Q. Atunci, conform 0), i), aplicaţia f este o aplicaţie liniară. Aceasta implică faptul că f este unic determinată de valorile sale pe o bază a lui R peste Q. Teorema 5. Există soluţii netriviale ale ecuaţiei (C). Demonstraţie: Conform iii), o soluţie a ecuaţiei (C) este unic determinată de valorile ei pe o bază a lui R peste Q. Luăm o bază B care îl conţine pe 1 şi considerăm f(1) = 1, f(b) = 0, b B \ {1}. Astfel f(x) va fi exact coordonata lui 1 în scrierea lui x în baza B. Evident că această funcţie nu este de forma f(x) = ax, pentru că ar rezulta că a = 1 şi coordonata lui 1 în scrierea lui 2 ar fi 2 / Q. Odată ce am stabilit existenţa unor astfel de soluţii netriviale, se poate da următoarea teoremă: Teorema 6. Dacă f este o soluţie netrivială a ecuaţiei (C), atunci graficul G f = {(x, y) R 2 : y = f(x)} al funcţiei f este dens în R 2. 5 ν > A

Demonstraţie: Presupunem că f este o soluţie netrivială a ecuaţiei (C), pentru care G f nu este densă în R 2. Atunci există a, b, c, d R astfel încât D = (a, b) (c, d) şi D G f =. În continuare vom demonstra că cel puţin una dintre următoarele afirmaţii este adevărată: i) f(x) c, x (a, b); ii) f(x) d, x (a, b). Să presupunem că există x, y (a, b) astfel încât f(x) c şi f(y) d. Atunci vor exista două numere q, r Q cu q + r = 1 astfel încât f(qx + ry) = qf(x) + rf(y) (c, d) deoarece prin t (1 t)f(x) + tf(y), t [0, 1] se parcurge intervalul [f(x), f(y)] (c, d) si punctele pentru care t Q formează o mulţime densă în acest interval. Astfel se contrazice presupunerea făcută la inceput. Făra a pierde generalitatea, presupunem că ii) este adevărată. Se vede uşor că există un număr real δ > 0 şi un alt număr real h astfel încât ( δ, δ) + h (a, b). Folosind aditivitatea funcţiei f şi relaţia 2 obţinem că f este mărginită superior pe intervalul ( δ, δ). Deoarece avem relaţia f(x) = f( x), pentru orice x R rezultă că f este mărginită pe intervalul ( δ, δ). Presupunem că f nu ar fi continuă în 0. Atunci există un şir (y n ) care tinde la 0 cu f(y n ) l > 0. (cazul l 0 se tratează analog, eventual pentru şirul ( y n )) Deoarece toţi termenii şirului de la un rang încolo sunt în intervalul ( δ, δ) şirul (f(y n )) este mărginit şi există un rang n 0 de unde avem f(y n ) > l/2. Fie m N. Atunci există k m n 0 N astfel încât my km < δ. Atunci f(my km ) = mf(y km ) > ml 2, m N. Astfel am găsit un subşir al lui (y n) care are limita, ceea ce reprezintă o contradicţie. Prin urmare l = 0 este singura posibilitate şi astfel f este continuă în 0. Fiind continuă în 0, folosind aditivitatea, obţinem că f este continuă în orice punct din R, şi astfel este o soluţie trivială. Acest fapt contrazice ipoteza. Rezultă astfel că G f este densă în R 2. O definiţie echivalentă a conceptului de proprietate Darboux în sens slab pentru o funcţie f : R R este următoarea: Definiţie: f are proprietatea Darboux în sens slab dacă pentru orice interval I R, f(i) este interval. Conform celor demonstrate mai sus, putem deduce următoarea propoziţie: Propoziţia 4 Dacă f este o soluţie a ecuaţiei (C) atunci f are proprietatea Darboux în sens slab. Demonstraţie: Dacă f este o soluţie trivială, aceasta este continuă, şi astfel are proprietatea Darboux, deci şi Darboux în sens slab. Să presupunem acum că f este o soluţie netrivială a ecuaţiei (C). Atunci am demonstrat că G f este densă în R 2. Fie I R un interval. Atunci oricare ar fi a < b numere reale, G f I (a, b). Prin urmare există t I astfel încât f(t) (a, b). Deducem că orice interval deschis din R conţine elemente din f(i), ceea ce implică f(i) = R, care este interval. Astfel f are proprietatea Darboux în sens slab. Ne punem acum întrebarea dacă o funcţie care are proprietatea Darboux şi este soluţie a ecuaţiei (C) este neapărat trivială. Vom răspunde la această întrebare 6

în cele ce urmează. Mai întâi, să observăm că există soluţii netriviale care nu au proprietatea Darboux. Un exemplu de astfel de soluţie este dat în demonstraţia Teoremei 5, în care f(r) = Q, şi o astfel de funcţie nu poate avea proprietatea Darboux. Teorema 7. Există soluţii netriviale ale ecuaţiei (C) care au proprietatea Darboux. Demonstraţie: Am remarcat faptul că o soluţie a ecuaţiei (C) este unic determinată de valorile sale pe o bază a lui R peste Q. Alegem o astfel de bază B, care îl conţine pe 1. Considerăm f(1) = 0 şi stabilim o bijecţie φ : B \ {1} R. Definim în continuare f(b) = φ(b), b B \ {1}. Imediat deducem că f(q) = 0, q Q. Astfel, considerând relaţia de echivalenţă definită la început, avem x [y] f(x) = f(y) + f(x y) = f(y). Fie b B şi I R, un interval netrivial. Atunci, deoarece [b] este densă în R, deducem că [b] I. Fie y R. Atunci există b B astfel încât f(b) = y. Fie b 0 [b] I. Din cele discutate mai sus, un astfel de b 0 există, şi f(b 0 ) = f(b) = y. Prin urmare y f(i). Deoarece y a fost ales arbitrar, rezultă că f(i) = R. Prin urmare f are proprietatea Darboux. 7

Bibliografie [1] Nathan Jacobson, Lectures in Abstract Algebra, vol II, Linear Algebra, D. Van Nostrand Company, Inc., 1953 [2] Mihail Megan, Bazele Analizei Matematice, vol 2, Ed. Eurobit, 1997 [3] A. B. Kharazishvili, Strange Functions in Real Analysis, Chapman & Hall/CRC 2006 student Facultatea de Matematică-Informatică, Universitatea de Vest Timişoara, e-mail: beni22sof@yahoo.com 8