Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale strict pozitive astfel încât 8xyz. x y z =. Deşi problema a întâmpinat dificultăţi serioase elevilor aflaţi în concurs, considerăm că această notă este tocmai oportună pentru a ilustra diverse tehnici şi metode în rezolvarea inegalităţiilor de acest tip. În acest sens vom da 7 soluţii acestei interesante probleme. Soluţia. Substituţiile x = pentru că a b c, y = a bc b c a şi z = c a b verifică egalitatea x y z =, b ca c ab = (a b c) a b c Cum aceste numere verifică egalitatea din ipoteză, inegalitatea pe care trebuie s-o demonstrăm se transformă în (a b)(b c)(c a) 8abc.( ) Însă din inegalitatea mediilor avem a b ab, b c bc, c a ca. Prin înmulţirea celor trei inegalităţi rezultă imediat (*). Soluţia. Observăm că egalitatea are loc pentru toate numerele egale cu. În acest sens, din inegalitatea Cauchy-Buniakovski sau inegalitatea mediilor, avem Scriind şi analoagele şi adunându-le avem x 9 x. x y z 6 =.
xy yz zx 6xyz. Acum vom prelucra egalitatea din ipoteză. Înmulţind cu ( x)( y)( z), egalitatea este echivalentă cu ( x)( y) ( y)( z) ( z)( x) = ( x)( y)( z) x y zy y z yz z x zx = ( x y z xy yz zx xyz) xy yz zx xyz =. Pe de altă parte, am demonstrat că xy yz zx 6xyz care adunată cu ultima egalitate obţinută va da chiar concluzia. Soluţia 3. Este o soluţie directă şi totodată una dintre cele mai uşoare. Am arătat în soluţia precedentă că x y z = xy yz zx xyz =. Aplicând inegalitatea mediilor în ipoteză obţinem = xy yz zx xyz 4 4 x y z x y z 64 xyz 8. Soluţia 4. Prelucrăm ipoteza problemei. Avem x y z = obţinem ( x) x x ( y) y y ( z) z z x x y y z z = x x z =. = Dacă arătăm că problema este rezolvată. Notăm Astfel, trebuie să demonstrăm că dacă x y z 6, a = x, b = y, c = z. a b c 6 a b c =.
3 Folosind inegalitatea mediilor sau inegalitatea Cauchy-Buniakovski avem = a b c 9 3 a b c de unde avem imediat că a b c 6. Soluţia 5. Să zicem că nu avem ideea de a face substituţiile din prima soluţie. Pentru aceasta însă vom nota de unde x = a, y = b, z = c, x = a a, y = b b, z = c. c Este evident că a, b, c (0, ). Astfel inegalitatea de demonstrat devine ( a)( b)( c) abc 8 plus condiţia a b c =. Aplicând acum inegalitatea mediilor, avem ( a)( b) Scriind şi analoagele şi înmulţindu-le avem ( a b) 4 = c 4. ( a) ( b) ( c) a b c 64 ( a)( b)( c) abc 8. Soluţia 6. Avem ipoteza xyz xy yz zx =. Să presupunem prin reducere la absurd că Folosind inegalitatea mediilor vom avea xy yz zx < 3 4. 3 4 > xy yz zx 3 3 x y z x y z < 64 xyz < 8. Pe de altă parte, folosind ipoteza rezultă Am obţinut astfel o contradicţie. Prin urmare, xyz < 3 4 xyz > 8. xy yz zx 3 4
4 şi deci, xyz 8. Soluţia 7. ( Să observăm că există A, B, C 0, π ) astfel încât yz = cos A, zx = cos B, zx = cos C pentru că următoarea identitate are loc cos A cos B cos C cos A cos B cos C =. Astfel, problema se reduce la a arăta că în orice triunghi ascuţitunghic ABC este adevătă inegalitatea cos A cos B cos C 8. ( Aplicând inegalitatea mediilor şi inegalitatea lui Jensen pentru funcţia concavă cos pe 0, π ), obţinem imediat că ( ) 3 cos A cos B cos C cos A cos B cos C 3 8. În incheiere, pe baza ideilor prezentate, propunem cititorilor să rezolve următoarele probleme: Problema. Fie a, b, c trei numere reale strict pozitive care satisfac condiţia a) a b c 3. ab bc ca abc =. b) a b c 4(a b c). Mircea Lascu şi Marian Tetiva Problema. Fie x, y, z trei numere reale pozitive astfel încât a) x y z 3 ; b) xy yz zx 3 4 x y z ; c) xy yz zx xyz. x y z xyz =.
5 Marian Tetiva Problema 3. Fie x, y, z numere reale pozitive astfel încât x y z xyz =. xy yz zx x y z. Octavian Purcaru, lista scurtă 003. Problema 4. Fie x, y, z numere reale strict pozitive astfel incât x y z =. 4xyz x y z. Problema 5. Fie x, y, z numere reale strict pozitive astfel încât a) xy yz zx (x y z); b) x y z 3 xyz. xyz = x y z. Problema 6. Fie a, b, c trei numere reale strict pozitive. b c c a a b a b c ( a b c b c a ) c. a b Mircea Lascu. Problema 7. Fie a, b, c numere reale strict pozitive. (a b ) (b c ) (b c ) (c a ) (c a ) (a b ) 3. Vasile Cârtoaje.
6 Problema 8. Fie a, b, c numere reale nenegative astfel încât a b c abc = 4. 0 ab bc ca abc. Titu Andreescu, USAMO 00. Problema 9. Fie x, y, z numere reale strict pozitive satisfăcând x y z = xyz. cyc ( x )( y ) cyc x 3. Cezar Lupu. Problema 0. Fie a, b, c trei numere reale strict pozitive astfel încât abc =. Bibliografie. a (a )(b ) b (b )(c ) c (c )(a ) 3 4. Test de Selecţie OIM, Franţa 006. [.] Titu Andreescu, Vasile Cârtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu- Old and New inequalities, GIL 004. editor, GIL, Zalău mail: gil993@zalau.astral.ro student Facultatea de Matematică-Informatică,Universitatea Bucureşti mail: lupucezar@yahoo.com