ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) > f( ) 3 αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) f( ) 4 φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) f( ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ' ένα σύνολο Β, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Β Αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα στο Β, τότε λέμε ότι είναι μονότονη στο Β Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ' ένα διάστημα Δ α) Αν f () > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ β) Αν f () < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Παρατηρήσεις Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει αφού μπορεί f () 0 στο Δ (f () 0 σε μεμονωμένα σημεία) και η f να είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Όταν θέλουμε να προσδιορίσουμε μια παράμετρο ώστε η f να είναι γνησίως μονότονη στο Δ τότε απαιτούμε f() > 0 ή f'() 0, όπου o μηδενισμός της f αφορά πεπερασμένο πλήθος σημείων του Δ - 1 -
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 ΜΕΘΟΔΟΣ 1 η Για να βρούμε τη μονοτονία της f εργαζόμαστε ως εξής: 1 Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f Υπολογίζουμε την παράγωγο f 3 Λύνουμε την εξίσωση f () 0 4 Λύνουμε την ανίσωση f () > 0 (Με τη βοήθειά της βρίσκουμε το πρόσημο της f Υπάρχουν και άλλοι τρόποι να βρούμε πρόσημο Θυμηθείτε την εύρεση προσήμου με τη βοήθεια του Θεωρήματος Bolzano) 5 Φτιάχνουμε τον πίνακα προσήμου της f και απ' αυτόν βρίσκουμε την μονοτονία της f ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() ln β) g() ( - 1)e - ( + 1)e - α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το Α f (0, 1) (1, + ) 1 ln - Για κάθε (0, 1) (1, + ): f () ln ln ln - 1 f () 0 ln ln - 1 f () > 0 ln 0 ln 1 e > 0 ln > 1 > e ln - 1 ln Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 0 1 e + f - - + f - -
Επομένως, η συνάρτηση f είναι: γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (0, 1) και (1, e] γνησίως αύξουσα στο [e, + ) β) Η συνάρτηση f() ( - 1)e - ( + 1)e - έχει πεδίο ορισμού το και είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο: f () [( - 1)e - ( + 1)e - ] e + ( - 1)e - e - + ( + 1)e - e + e - (e + e - ) f () 0 (e + e - ) 0 0 f () > 0 (e + e - ) > 0 > 0, αφού e + e - > 0 Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: - 0 + f - + f Επομένως, η συνάρτηση f είναι: γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-, 0] και γνησίως αύξουσα στο [0, + ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης 15, 1 f() 10 13, 1 Η f είναι συνεχής στο διάστημα (-, 1) ως ρίζα συνεχούς συνάρτησης, και συνεχής στο διάστημα (1, + ) ως πολυωνυμική συνάρτηση Στο ο 1 εξετάζουμε αν είναι συνεχής με τον ορισμό: f() 1 f() 1 Επειδή 15 1 15 16 4 1 ( - 10 + 13) 1-10 1 + 13 4 και f(1) 4 1 f() 1 f() f(1), η f είναι συνεχής στο ο 1 και σ' όλο το 1-3 -
1 Στο (-, 1) η f είναι παραγωγίσιμη με f () ( + 15) 15 15 Στο (1, + ) η f είναι παραγωγίσιμη με f () - 10 ( - 5) Στο ο 1 εξετάζουμε αν είναι παραγωγίσιμη με τον ορισμό: 1 1 f() f(1) 1 1 15 16 ( 1)( 15 4) 1 1 1 1 15 4 8 4 f() f(1) 1 1 ( - 9) 1-9 -8 1 1 15 4 1 1 1 ( 15 4)( ( 1)( ( 1)( 1) ( 1)( 15 4) 10 13 4 1 1 15 4) 15 4) 1 10 9 1 1 15 4 1 1 15 ( 1)( 9) f() f(1) f() f(1) Επειδή, η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο o 1 1 1 1 1, 1 Η παράγωγος συνάρτηση της f είναι: f () 15 ( 5), 1 Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: - 0 1 5 + f - + - + f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-, 0], [1, 5] και γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [0, 1], [5, + ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f() ln ln( + 1) Το πεδίο ορισμού της f είναι το Α f (0, + ) - 4 -
1 1 ln ln( + 1) - ln Για κάθε (0, + ): f () ln( + 1) + 1 ln( + 1) ( + 1)ln( + 1) - ln ( 1) ln( + 1) Επειδή η συνάρτησης ln είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ), για κάθε > 0 ισχύει: ln( + 1) > ln αφού + 1 > Οι δύο παραπάνω ανισώσεις αποτελούνται από θετικούς αριθμούς κι επομένως πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε ( + 1)ln( + 1) > ln Άρα, f () > 0 στο (0, + ) κι επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ) ΜΕΘΟΔΟΣ η Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής: 1 Βρίσκουμε τη μονοτονία της f Υπολογίζουμε το σύνολο τιμών της f για κάθε διάστημα μονοτονίας της 3 Το σύνολο τιμών της f είναι η ένωση όλων των συνόλων που βρίσκουμε στο ο βήμα Με τον παρακάτω πίνακα θυμίζουμε πως βρίσκουμε σύνολο τιμών μιας συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης σε διάστημα Διάστημα Μονοτονία Σύν Τιμών [α, β] (α, β) [α, β) (α, β] a [f(a), f(β)] [f(β), f(a)] ( f(), f() ) β β ( f(), f() ) [f(a), β a f() ) ( f(), f(a)] β ( f(), f(β)] α [f(β), f() ) α - 5 -
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) f() + 8-8 β) f() -ln + 3, (0, 1] γ) f() 1 α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το Α f Για κάθε : f () ( + 8-8) + 8 ( + 4) f () 0-4 f () > 0 > -4 Η μονοτονία της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα - -4 + f - + f f() f() ( + 8-8) ( + 8-8) () () Η f στο Α 1 (-, -4] είναι γνησίως φθίνουσα κι επομένως έχει σύνολο τιμών σ' αυτό το f(α 1 ) [f(-4), f() ) [-4, ) Η f στο Α [-4, + ) είναι γνησίως αύξουσα κι επομένως έχει σύνολο τιμών σ' αυτό το f(α ) [f(-4), f() ) [-4, ) Το σύνολο τιμών της f είναι το f(α 1 ) f(α ) [-4, ) β) Για κάθε (0, 1] : f () (-ln + 3) - < 0 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, 1] κι επομένως έχει σύνολο τιμών το f(a) [f(1), γ) Η f() f() ) [3, + ), αφού 0 1 Για κάθε {1} : f () ( 1) f() 0 ( ln 3) 0 έχει πεδίο ορισμού το Α f - {1} 1 ( )( 1)( ) ( 1) - 6 -
f () 0 ( 1) 0-0 0 ή f () > 0 ( 1) > 0 - > 0 < 0 ή > Η μονοτονία της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: - 0 1 + f + - - + f Βρίσκουμε τα όρια της f στο 1 και στα -, + Είναι f() 1 1 -, αφού 1 1 ( - + ) 1 > 0, 1 ( - 1) 1-1 0 και - 1 < 0 για κάθε < 1 1 f() 1 +, αφού 1 1 ( - 1) 1-1 0 και - 1 > 0 για κάθε > 1 1 ( - + ) 1 > 0, f() 1 - f() 1 + Η f στο Α 1 (-, 0] είναι γνησίως αύξουσα κι επομένως έχει σύνολο τιμών σ' αυτό το f(α 1 ) ( f(), f(0)] (, -] Η f στο Α [0, 1) είναι γνησίως φθίνουσα κι επομένως έχει σύνολο τιμών σ' αυτό το f(α ) ( f(), f(0)] (-, -] 1 Η f στο Α 3 (1, ] είναι γνησίως φθίνουσα κι επομένως έχει σύνολο τιμών σ' αυτό το f(α 3 ) [f(), f() ) [, + ) 1 Η f στο Α 4 [, + ) είναι γνησίως αύξουσα κι επομένως έχει σύνολο τιμών σ' αυτό το f(α 1 ) [f(), f() ] [, ) Το σύνολο τιμών της f είναι το f(α 1 ) f(α ) f(α 1 ) f(α ) (, -] [, ) - 7 -
ΜΕΘΟΔΟΣ 3 η Για να αποδείξουμε μια ανίσωση της μορφής f() > g() ή f() < g() σε ένα διάστημα Δ, θέτουμε h() f() - g() Στη συνέχεια μελετάμε την h ως προς τη μονοτονία και συγκρίνουμε την h() με την τιμή της h σε ένα από τα άκρα του διαστήματος Δ με τη βοήθεια του ορισμού της μονοτονίας ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να αποδειχθεί ότι e π συν 1 για κάθε [0, ] 4 Αρκεί να αποδείξουμε ότι e π συν - 1 0 για κάθε [0, ] 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση f() e συν - 1 Για κάθε με 0 < < 4 π είναι f () e συν - e ημ e (συν-ημ) > 0, αφού e > 0 και συν > ημ για κάθε με 0 < < 4 π π π Αφού ισχύει f () > 0 για κάθε (0,) και η f είναι συνεχής στο [ 0, ], είναι 4 4 π γνησίως αύξουσα στο [ 0, ] 4 π Επομένως για κάθε [0, ] είναι f() f(0) ή e συν-1 e o συν0-1 ή 4 e συν 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 e Δίνεται η συνάρτηση f() 1 a) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η f β) Για κάθε α, β(0, + ) με α > β, να δειχθεί ότι e α-β > 1 a 1 β a) Είναι Α f - {-1} - 8 -
Για κάθε -1 έχουμε f () f () 0 f () > 0 e ( 1) e ( 1) e 1 0 e 0 0 > 0 e > 0 > 0 e( 1) e ( 1) e ( 1) Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: - -1 0 + f - - + f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-, -1), (-1, 0] και γνησίως αύξουσα στο [0, + ) β) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0, + ), για κάθε α, β(0, + ) με α > β, a β a e e e ισχύει: f(a) > f(β) e α-β > 1 a 1 β a 1 > β 1 e a (β + 1) > e β (α + 1) 1 β β e > 1 a ΜΕΘΟΔΟΣ 4 η Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f() α έχει τουλάχιστον μια λύση, αρκεί να αποδείξουμε ότι το α ανήκει στο σύνολο τιμών της f Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο Δ, τότε η εξίσωση f() 0 έχει το πολύ μια ρίζα στο Δ Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f() 0 έχει μοναδική ρίζα στο Δ, εργαζόμαστε ως εξής: Αποδεικνύουμε ότι η f() 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Δ (με Θ Bolzano ή με σύνολο τιμών ή με δοκιμή) και στη συνέχεια ότι έχει το πολύ μια ρίζα στο Δ (με μονοτονία ή με Θ Rolle) - 9 -
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ημ θ + συν θ 1 με θ(0, π ) έχει μοναδική λύση στο Θεωρούμε τη συνάρτηση f() ημ θ + συν θ - 1 Η εξίσωση ημ θ + συν θ 0 γράφεται f() 0 Επειδή f() ημ θ + συν θ - 1 1-1 0, η είναι μια λύση της αρχικής εξίσωσης Για κάθε είναι: f () ημ θ ln(ημθ) + συν θ ln(συνθ) Επειδή όμως 0< ημθ < 1, 0 < συνθ < 1 για κάθε θ(0, π ) ισχύει ότι: ln(ημθ) < 0, ln(συνθ) < 0 και ημ θ > 0, συν θ > 0 Άρα f () < 0 για κάθε Δηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο και η εξίσωση f() 0 έχει μοναδική λύση την ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln + - 1 0 έχει μοναδική λύση, η οποία να βρεθεί β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f() ln + - 4 α) Η 1 είναι μια φανερή λύση της εξίσωσης, αφού ln1 + 1-1 0 Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση δεν έχει άλλη λύση 0, Έστω g() ln + - 1, Για κάθε 0, : g () (ln + - 1) 1 + 1 > 0 Άρα, η g είναι γνησίως αύξουσα κι επομένως η εξίσωση g() 0 δεν μπορεί να έχει άλλη λύση εκτός της 1 β) Για κάθε 0, : f () (ln + - 4) ln + 1 + - 4 ln + - (ln + - 1) g() Είναι f (1) g(1) 0 Αφού η g είναι γνησίως αύξουσα έχουμε: για κάθε < 1 είναι g() < g(1) g() < 0 f () < 0-10 -
για κάθε > 1 είναι g() > g(1) g() > 0 f () > 0 0 1 + f - + f Άρα, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, 1] και γνησίως αύξουσα στο [1, + ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει f 3 () + 6f() 3 + 3-5, για κάθε Να αποδείξετε ότι: α) η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) η εξίσωση f() 0 έχει μοναδική ρίζα, η οποία ανήκει στο διάστημα (1, ) α) Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο, για κάθε ισχύει: [f 3 () + 6f()] [ 3 + 3-5] ή 3f ()f () + 6f () 3 +3 ή f ()[f () + ] + 1 ή + 1 f () f() + > 0 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) Έστω g() 3 + 3-5 Για κάθε ισχύει: f 3 () + 6f() g() f()[f () + 6] g() g() f() [f() + 6] g() Η εξίσωση f() 0 είναι ισοδύναμη με την [f() + 6] 0 g() 0 Εφαρμόζουμε Θεώρημα Bolzano για τη g στο [1, ]: Η g() είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο [1, ] g(1) -1 < 0 g() 9 > 0 Άρα g(1) g() < 0 και σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον μια λύση της εξίσωσης g() 0 στο διάστημα (1, ) Το ίδιο ισχύει για την εξίσωση f() 0 που είναι ισοδύναμη με την g() 0 Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο δεν έχει άλλη λύση στο - 11 -
ΜΕΘΟΔΟΣ 5 η Αν η συνεχής συνάρτηση f περιέχει μια παράμετρο την οποία πρέπει να προσδιορίσουμε ώστε η f να είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ, τότε θα πρέπει f () 0 (αν θέλουμε να είναι γνησίως αύξουσα στο Δ) ή f () 0 (αν θέλουμε να είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ), όπου ο μηδενισμός της f αφορά μεμονωμένα σημεία του Δ και όχι ολόκληρα διαστήματα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10 Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες είναι γνησίως φθίνουσα στο η συνάρτηση f() - 1 3 3 + λ - 4 + 5 Για κάθε είναι f () (- 1 3 3 + λ - 4 + 5) - 1 3 3 + λ - 4 - + λ - 4 Παρατηρούμε ότι η f είναι τριώνυμο κι επομένως βρίσκουμε τη διακρίνουσα: Δ λ - 16 Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Αν Δ < 0-4 < λ < 4, τότε f () < 0 (ομόσημη του α -1) και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Αν Δ 0 λ 4 ή λ -4, τότε f () 0 για κάθε Ειδικότερα: Αν λ 4 είναι f () - + 4-4 -( - ) 0 για κάθε Η f μηδενίζεται μόνο για και f () < 0 για κάθε Επειδή η f είναι συνεχής στο είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-, ], [, + ), δηλαδή είναι γνησίως φθίνουσα στο Αν λ -4 είναι f () - - 4-4 -( + ) 0 για κάθε Η f μηδενίζεται μόνο για - και f () < 0 για κάθε Επειδή η f είναι συνεχής στο είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-, -], [-, + ), δηλαδή είναι γνησίως φθίνουσα στο Αν Δ > 0 λ < -4 ή λ > 4, τότε η f έχει δύο ρίζες ρ 1, ρ (με ρ 1 < ρ ) και το πρόσημό της φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: - ρ 1 ρ + f - + - f - 1 -
Όπως είναι φανερό σ' αυτήν την περίπτωση η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο Τελικά, για -4 λ 4 η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ομάδας 1 Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων: α) f() 3 + 5-10 β) f() 3-3 + 9 + 4 γ) f() δ) f() e - 4 ε) f() lη + στ) f() ημ + συν, [Ο, π] ζ) f() ln η) f() θ) f() e συν e, [0, π] ι) f() 3 ια) f() ιγ) f() ln 1 ιβ) f() ιδ) f() 3 συν, [0, π] ημ ιε) f() ( + 1) e ιστ) f() (ln) - ln Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων: a) f() - β) f() 1 1, 1 8, 1 γ) f() δ) f() 3 3 6, 1 8 10, 1 ημ, π 0 ε) f() - 4 στ) f(), 0 1 3 Αφού βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f() + 3 -, να αποδειθεί ότι η εξίσωση + 3 έχει μοναδική λύση 4 Αφού βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f() 5 + 3 3 + (μ + 1) - μ, μ, να αποδειθεί ότι η εξίσωση 5 + 3 3 + (μ + 1) - μ 0 έχει μια ακριβώς λύση στο - 13 -
5 Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η συνάρτηση f() α 3 + + - 1 να είναι γνησίως αύξουσα στο 6 Για τις διάφορες τιμές του α να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f() 3-3α + 6 + 7 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πραγματική τιμή του α ώστε η συνάρτηση f() α 3 + 3α + 3 + 1 να είναι γνησίως φθίνουσα στο 8 Δίνεται η συνάρτηση f() 3 + 3-3 α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε > 1997 ισχύει ότι 3 + 3 > 1997 3 + 5991 β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() 0 έχει ακριβώς μια ρίζα στο (0, 1) 9 Να βρεθεί το πλήθος των ριζών των εξισώσεων: a) 3-1 + 0 β) 1 + - 1 0 γ) e - -5 δ) ln 5 ε) 4-4 + 1 0 Β ομάδα 1 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση e + ln( + 1) 1 έχει ακριβώς μια λύση a) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f() 3-6 + μ, όπου μ στο διάστημα [0,4] β) Αν 0 < μ < 3 να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 3-6 + μ 0 έχει μοναδική λύση στο (0,4) Πόσες λύσεις έχει στο ; 3 α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f() [0, π] π β) Αν α, β 0, συνα ημα και α < β, να αποδειχθεί ότι 6 συνβ ημβ συν ημ με 4 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 1 + 5 13 έχει μοναδική λύση την 5 a) Να αποδειχθεί ότι ημ + συν < π 4, για κάθε π 0, β) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f με τύπο f() ( - 4)συν - 4ημ + π 4-14 -
είναι γνησίως αύξουσα στο π 0, π 6 α) Να αποδειχθεί ότι συν + σφ - + π < 0 για κάθε, π β) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f με τύπο f() ημ + ln(ημ) - + π είναι γνησίως φθίνουσα στο π, π 7 Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) με f(1) 0 και f () > 1 για κάθε (0, + ), να αποδειχθεί ότι f() < ln στο (0, 1) και f() > ln στο (1, + ) 8 Δίνεται η συνάρτηση f() ln a) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f β) Να αποδειθεί ότι lnα e < a, για κάθε α > e γ) Να αποδειθεί ότι e π > π e δ) Να αποδειθεί ότι e e, για κάθε > 0 ε) Να αποδειθεί ότι α α+1 > (α + 1) α, για κάθε α e 9 Να αποδειθεί ότι 4-1ln + 1-13 > 0 για κάθε > 1 10 α) Να λυθεί η εξίσωση 3 + e + 3 β) Να λυθεί η εξίσωση 1 3 1 1 4 4 e 3 4 11 Η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο [α, β], όπου α, β θετικοί αριθμοί με f() (3) < 0 για κάθε (α, β) α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g() f () - f () είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β] β) Αν f (α) f (α) 0, να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση h() f() είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β] 1 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0, + ) για την οποία ισχύει ότι af() > f'() για κάθε 0 a) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης g() e -a f() β) Αν f(0) κ, να αποδειχθεί ότι f() - κe a < 0 για κάθε > 0-15 -
13 α) Θεωρούμε τον πραγματικό αριθμό α με 0 < α < 1 και τη συνάρτηση f() a -, Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία β) Να βρεθούν τα λ για τα οποία ισχύει: λ 4 λ a α λ λ, 0 α 1 14 Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο Αν f(a) g(a) και f () > g () για κάθε, να δειχθεί ότι: α) Αν > a τότε f() > g() β) Αν < a τότε f() < g() 15 Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα [0, + ) για τις οποίες ισχύει η σχέση: f () g () + ημ + e, [0,) Να αποδείξετε ότι για κάθε (0,) ισχύει: f(0) + g() < g(0) + f() 16 Να αποδειχθεί ότι e > 1 + + για κάθε > 0 17 Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και ισχύουν f(α) f(β) 1 και f () > 0 για κάθε [α, β], να αποδειχθεί ότι f() < 1 για κάθε (α, β) 18 Δίνεται η συνάρτηση f: με f () < 0 για κάθε Να αποδειχθεί ότι ισχύει f() f (a)( - a) + f(a) για κάθε και α 19 Δίνεται η συνάρτηση f() - - (1 - )(ln - ) a) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης - (1 - )(ln - ) γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f δ) Να αποδείξετε ότι (1 - )(ln - ) < - 1 για κάθε > 0 0 Η συνάρτηση f: (0,) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση f(f ()) + f() 0 για κάθε > 0 Αν f(1) 0, να αποδειχθεί ότι: α) f (f ()) για κάθε > 0 β) f() ln, > 0 1 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν f() > -1 και e f() + 1 f() για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή β) Να βρεθεί ο τύπος της f - 16 -