II. KINEMTIK.1. Kinematikaya giriş Kinematika nəəri mexanikanın elə bir bölməsidir ki, burada cisimlərin hərəkəti həndəsi nöqteyi-nəərdən, yəni onların kütlələri və təsir edən qüvvələr nəərə alınmadan öyrənilir. Kinematikada hərəkət edən cismə müəyyən həndəsi obra kimi baxılır. Ona görə də kinematika bütövlükdə həndəsə müddəalarına əsaslanır və həndəsədən ancaq aman anlayışından istifadə etməklə fərqlənir. Kinematika dinamikanı öyrənmək üçün əsas təşkil edir. Bununla yanaşı, kinematikanın öünün də ayrıca tətbiqi əhəmiyyəti vardır. Məsələn, bir çox mexanimlərin layihələndirilməsində kinematika qaydalarından geniş istifadə olunur. Cismin hərəkətinin kinematik olaraq verilməsi dedikdə amanın istənilən anında bu cismin vəiyyətinin baxılan hesabaparma sisteminə nəərən məlum olması nəərdə tutulur. Bu isə cismin hərəkətinin kinematik qanununun verilməsi deməkdir. Kinematikanın əsas məqsədi cismin hərəkət qanununu bilərək onun öünün və ayrı-ayrı nöqtələrinin hərəkətini xarakteriə edən kinematik kəmiyyətləri təyin etməkdir. Kinematikada «t anı» və «t aman fasiləsi» anlayışlarından geniş istifadə olunur. «t anı» dedikdə başlanğıc andan baxılan ana qədər keçən vaxtın miqdarı (saniyələrlə, dəqiqələrlə və s.) nəərdə tutulur. Başlanğıc anda t 0. «t aman fasiləsi» dedikdə isə iki aman anını ( t 1 və t ) birbirindən ayıran vaxtın miqdarı nəərdə tutulur, belə ki, t t t1. Kinematikanın öyrənilməsini nöqtənin hərəkətinin öyrənilməsindən, yəni nöqtə kinematikasından başlamaq məq- 66
sədəuyğun olur. Nöqtə kinematikasında «nöqtənin trayektoriyası» anlayışına te-te rast gəlinir. Nöqtənin trayektoriyası onun hərəkəti amanı fəada (verilmiş koordinat sistemində) tutduğu ardıcıl vəiyyətlərin həndəsi yerinə deyilir. Trayektoriya həm düxətli, həm də əyrixətli ola bilər... Nöqtənin hərəkətinin verilmə üsulları Nöqtənin hərəkəti əsasən üç üsulla verilə bilər: təbii üsul, koordinat üsulu, vektor üsulu. 1) Təbii üsul. Nöqtənin hərəkətinin təbii üsulla verilməsində onun trayektoriyası, hesabaparmanın başlanğıcı və müsbət istiqaməti, həmçinin nöqtənin trayektoriya boyunca hərəkət tənliyi əvvəlcədən məlum olmalıdır (şək. 1). Dediyimi hərəkət tənliyi adətən bu şəkildə verilir: s f (t), (1) burada s - hərəkət edən nöqtənin qövsü koordinatıdır ( s OM ). Trayektoriyanın üərində götürülmüş tərpənmə O nöqtəsi hesabaparmanın başlanğıcı adlanır. O s Şək..1 M + Hesabaparmanın müsbət, yaxud mənfi istiqamətinin seçilməsi şərtidir. s f (t) funksiyasının qrafikinə nöqtənin hərəkət qrafiki deyirlər. Qeyd etmək laımdır ki, nöqtənin qövsü koordinatı və getdiyi yolun uunluğu ümumi halda eyni şey demək deyildir. Məsələn, əgər hərəkət edən nöqtə O başlanğıcından çıxaraq M vəiyyətinə gəlib, sonra yenə O başlanğıcına qayıdıbsa, onun 67
qövsü koordinatı s 0, getdiyi yolun uunluğu isə OM qövsünün uunluğunun ikiqat mislinə bərabər olar. ) Koordinat üsulu. Nöqtənin hərəkəti müxtəlif koordinat sistemlərində verilə bilər. Misal olaraq nöqtənin hərəkətinin dübucaqlı dekart koordinat sistemində, sferik, silindrik, yaxud qütb koordinat sistemində verilməsini göstərmək olar. Əksər halda nöqtənin hərəkəti dübucaqlı dekart koordinat sistemində aşağıdakı ifadələrlə verilir: x f t), y f ( t), f ( ), () 1( 3 t burada x, y, - hərəkət edən nöqtənin koordinatlarıdır (şək..). Əgər nöqtə müstəvi üərində hərəkət edərsə () ifadələrinin ikisindən, düxətli hərəkətdə isə birindən istifadə etmək kifayətdir. Şək.. 3) ektor üsulu. Nöqtənin fəadakı vəiyyəti tərpənmə qəbul olunmuş O başlanğıcından bu nöqtəyə çəkilmiş bir vektorla da müəyyən edilə bilər. Bu vektora nöqtənin radius - vektoru deyirlər. 68
Hərəkət edən nöqtənin radius vektoru r ümumi halda həm qiymət, həm də istiqamətcə amanın funksiyası olur, yəni r r(t). (3) r (t) funksiyası vektor funksiya adlanır. Nöqtənin hərəkətinin verilməsinin koordinat və vektor üsulları arasında əlaqə aşağıdakı ifadənin köməyi ilə yaradılır: r ir jr kr (4) x y. k r O Şək..3 burada i, j, k statikada olduğu kimi koordinat oxlarının vahid vektorları (ortları) (şək..3); r, r, r r radiusvektorunun proyeksiyalarıdır. Baxılan halda r x x x, r y, r (5) y olduğu üçün (4) ifadəsini bu şəkildə də yaa bilərik: r ix jy k. (6) y 69
Bu bərabərlik nöqtənin hərəkətinin verilməsinin koordinat və vektor üsulları arasında əlaqəni ifadə edir. r radius-vektorunun qodoqrafi, yəni onun uc M nöqtəsinin fəada tutduğu ardıcıl vəiyyətlərin həndəsi yeri hərəkət edən nöqtənin trayektoriyasını müəyyən edir..3. Nöqtənin hərəkəti vektor üsülu ilə verildikdə onun sürət və təcili Sürət, verilmiş koordinat sistemində baxılan anda nöqtənin hərəkətinin yeyinliyini və istiqamətini göstərən vektorial kəmiyyətə deyilir. Fər edək ki, baxılan nöqtə amanın t anında M vəiyyətini tutaraq r radius vektoruna, t1 t t anında isə M 1 vəiyyətinə keçərək r 1 radius- vektoruna malik olur (şək..4). Şəklə əsasən yaa bilərik: OM 1 OM MM 1, (1) yaxud r1 r r, () burada r nöqtənin radius vektorunun, yəni r in t aman fasiləsindəki artımıdır. 70
Şək..4 r nisbəti nöqtənin t vektoru adlanır. Deməli t aman fasiləsindəki orta sürət orta r. (3) t Orta sürət vektoru orta -nın istiqaməti r vektorunun istiqaməti ilə üst-üstə düşür. t aman fasiləsini sonsu olaraq kiçildərək limitə keçsək nöqtənin amanın t anına uyğun gələn sürət vektoru - ni alarıq: lim r lim. t0 orta t0 t (4) Riyaiyyat kursundan məlumdur ki, (4) ifadəsində nəərə alsaq taparıq: r lim t0 t dr. Bunu 71
dr. (5) (5)-dən görünür ki, nöqtənin sürəti onun radiusvektorundan amana görə alınmış birinci tərtib törəməyə bərabərdir. t aman fasiləsi sıfra yaxınlaşdıqda nöqtənin M 1 vəiyyəti onun M vəiyyətinə yaxınlaşır. Onda MM 1 vətəri sonsu olaraq M nöqtəsində trayektoriyaya çəkilmiş toxunana yaxınlaşır. Buradan belə nəticə çıxır ki, nöqtənin sürət vektoru onun trayektoriyasına çəkilmiş toxunan boyunca hərəkət istiqamətində yönəlir. Təcil, verilmiş koordinat sistemində baxılan anda nöqtənin sürətinin qiymət və istiqamətcə dəyişməsini göstərən vektorial kəmiyyətə deyilir. Fər edək ki, baxılan nöqtə amanın t anında M vəiyyətini tutaraq sürətinə, t1 t t anında isə M 1 vəiyyətinə keçərək 1 sürətinə malik olur (şək..5). Onda t aman fasiləsi ərində nöqtənin sürəti 1 (6) artımını alır. nisbəti nöqtənin t aman fasiləsindəki orta t təcil vektoru adlanır, yəni orta. (7) t Orta təcil vektoru orta nın istiqaməti vektorunun istiqaməti ilə üst-üstə düşür. 7
Şək..5 t aman fasiləsini sonsu olaraq kiçildərək limitə keçsək nöqtənin amanın t anına uyğun gələn təcil vektoru - ni alarıq: lim orta lim. (8) t0 t0 t d lim olduğunu nəərə alaraq (8) dən taparıq: t0 t (5) ifadəsini burada nəərə aldıqda isə d. (9) d r (10) bərabərliyini əldə edərik. Beləliklə, nöqtənin təcil vektoru onun sürət vektorundan amana görə alınmış birinci tərtib törəməyə, yaxud radius- 73
vektorundan amana görə alınmış ikinci tərtib törəməyə bərabərdir. Nöqtənin təcil vektoru onun trayektoriyasının çökük tərəfinə doğru yönəlir..4. Nöqtənin hərəkəti koordinat üsulu ilə verildikdə onun sürət və təcili Fər edək ki, nöqtənin hərəkəti tərpənmə qəbul edilmiş Oxy sisteminə nəərən aşağıdakı ifadələrlə verilmişdir: x f t), y f ( t), f ( ), (1) 1( 3 t burada x,y, hərəkət edən nöqtənin koordinatlarıdır (şək..6). Həmin nöqtənin radius vektoru r ix jy k. () Məlumdur ki, nöqtənin sürəti dr. (3) Koordinat oxlarının vahid vektorları olan i, j və k -nın həm qiymət, həm də istiqamətcə sabit olduğunu bilərək ()-ni (3)-də nəərə alsaq taparıq: dx dy d i j k. (4) 74
Şək..6 (4) ifadəsini koordinat oxları üərinə proyeksiyalasaq sürətin proyeksiyalarını alarıq: dx dy d x, y,. (5) Bu bərabərlikləri (4)-də nəərə alaraq sürəti belə də ifadə etmək olar: i j k (6) x y. Nöqtənin sürətinin modulu. (7) x Nöqtənin sürətinin istiqaməti isə aşağıdakı ifadələrlə təyin edilir: x y cos(, x), cos(, y), cos(, ). İndi nöqtənin təcilini təyin edək. Məlumdur ki, nöqtənin təcili y 75 (8)
(6)-nı burada nəərə alaq: d. (9) d d x y d i j k. (10) Təcilin proyeksiyalarını tapmaq üçün (10)-u koordinat oxları üərinə proyeksiyalayırıq: d d x y d x, y,. (11) (5)-i bu ifadələrdə nəərə alsaq d x, d y d x,. y (1) olar. Nöqtənin təcilinin modulu və istiqaməti isə uyğun olaraq aşağıdakı ifadələrlə təyin edilir:, (13) x y x cos(, x), y cos(, y), cos(, ). (14) 76
.5. Təbii koordinat oxları. Əyrilik vektoru Əyrinin verilmiş nöqtəsində ona çəkilmiş toxunandan və bu əyrinin həmin nöqtəsinə sonsu yaxın ikinci bir nöqtəsindən keçən müstəviyə çoxtoxunan müstəvi deyilir. Əyrinin verilmiş nöqtəsində ona çəkilmiş toxunana perpendikulyar keçirilmiş müstəvi normal müstəvi adlanır. Əyrinin verilmiş nöqtəsində ona çəkilmiş çoxtoxunan və normal müstəvilərə perpendikulyar keçirilmiş müstəviyə isə düləndirici müstəvi deyirlər. Bu müstəvilər şək..7-də göstərilmişdir. Deyilən müstəvilərin hər biri əyrinin ancaq baxılan nöqtəsinə aiddir. Əgər əyri bir müstəvi üərində yerləşərsə onda həmin müstəvi əyrinin bütün nöqtələrində onun çoxtoxunan müstəvisi olar. Şək..7 Ç oxtoxunan, normal və düləndirici müstəvilərin üçünə birlikdə təbii üçülü deyirlər. Əyrinin verilmiş nöqtəsindən keçərək bu nöqtədə ona çəkilmiş normal müstəvi üərində yerləşən istənilən dü xətt əyrinin həmin nöqtəsindəki normalı adlanır. Ç oxtoxunan və 77
normal müstəvilərin kəsişmə xəttinə əyrinin həmin nöqtəsindəki baş normalı deyilir. Düləndirici və normal müstəvilərin kəsişmə xətti isə binormal adlanır. Təbii koordinat oxları dedikdə bir-birinə perpendikulyar olaraq yönələn və başlanğıcları hərəkət edən nöqtə ilə üst-üstə düşən aşağıdakı üç ox nəərdə tutulur: Toxunan (MT), baş normal (MN) və binormal (MB). Toxunan nöqtənin qövsü koordinatının artması istiqamətində, baş normal isə trayektoriyanın çökük tərəfinə doğru yönəlir. Binormal elə yönəlir ki, əvvəlki iki oxla sağ koordinat sistemi təşkil etsin., n və b təbii koordinat oxlarının vahid vektorlarıdır. Bu vektorlar modulca sabit (vahidə bərabər) olsalar da nöqtənin əyrixətli hərəkətində istiqamətcə dəyişən olurlar. ncaq nöqtənin trayektoriyası müstəvi əyrisi olan halda b -nin istiqaməti dəyişmir. Nöqtənin hərəkətinin təbii üsulla verilməsində onun təcilini təyin edərkən əyrilik radiusu anlayışından istifadə etmək laım gəlir. Bu anlayışın nə olduğunu müəyyən edək. Tutaq ki, verilmiş əyrinin M nöqtəsinə bu əyriyə həmin nöqtədə toxunan istiqamətdə yönəlmiş vahid vektoru, M 1 nöqtəsinə isə 1 vahid vektoru uyğun gəlir (şək..8). İşarə edək: 1, MM1 s. nisbəti orta əyrilik vektoru adlanır, yəni s k orta. (1) s 78
Şək..8 Əyrinin M nöqtəsinə uyğun gələn əyrilik vektoru belə tapılır: k lim korta lim. s0 s0 s d Məlumdur ki, lim. s 0 s ds Deməli () k d. (3) ds İndii əyrilik vektorunun modulunu təyin edək. () düsturuna əsasən əyrilik vektorunun modulunu belə ifadə etmək olar: halda k lim (4) s0 s MB üçbucağı bərabəryanlıdır, çünki 1 1. Bu 79
( D ) sin. (5) s qövsü kiçikdir. Onda bucağı da kiçik olar, yəni sin. Nəticədə yaa bilərik: 1. (6) (6)-nı (4)-də yerinə yaaq: k lim. (7) s0 s Diferensial həndəsədən məlumdur ki, Burada - əyrinin əyrilik radiusudur. Onda lim 1. s0 s Şək..8-dən yaa bilərik: ydındır ki, 1 k. (8) 90 0. (9) 0 0, 90, k orta k. Buradan görünür ki, və k vektorları bir-birinə perpendikulyar istiqamətdə yönəlir, yəni əyrilik vektorunun istiqaməti baş normalla üst-üstə düşür. Bunu və (8) bərabərliyini nəərə alaraq əyrilik vektorunu belə də ifadə etmək olar: 80
1 k n. (10).6. Nöqtənin hərəkəti təbii üsulla verildikdə onun sürəti Fər edək ki, nöqtənin trayektoriyası və onun bu trayektoriya boyunca s f (t) şəklində hərəkət tənliyi verilmişdir. Tutaq ki, bu nöqtə amanın t anında M vəiyyətini tutaraq s qövsü koordinatına və r radius-vektoruna, t1 t t anında isə M 1 vəiyyətinə keçərək s 1 qövsü koordinatına və r 1 radius-vektoruna malik olur (şək..9). Onda t aman fasiləsi ərində nöqtənin qövsü koordinatı s s1 s, radius-vektoru isə r r1 r artımını almış olur. Baxılan halda s OM, s1 OM1, s MM1. Şək..9 Məlumdur ki, nöqtənin sürət vektoru belə ifadə olunur: 81
dr. (1) Bu bərabərliyi aşağıdakı şəkildə də yamaq olar: dr ds. () ds dr r Burada lim. ds s0 s MM 1 qövsünü sonsu olaraq kiçiltdikdə onun uunluğu, yəni s, sonsu olaraq MM 1 vətərinin uunluğuna, yəni r ə yaxınlaşır. Deməli dr Dediklərimiə görə, ds lim s0 r s 1. (3) vektoru modulca vahidə bərabər olub toxunan boyunca qövsü koordinatın artması istiqamətində dr yönəlir. Deməli, toxunan istiqamətdə yönələn vahid ds dr vektordur, yəni. Bunu () ifadəsində nəərə alsaq ds nöqtənin hərəkətinin təbii üsulla verilişində sürət vektorunun əsas ifadəsini əldə edərik: ds. (4) Bu bərabərliyi toxunan üərinə proyeksiyalasaq nöqtənin sürətinin bu toxunan üərindəki proyeksiyasını alarıq: 8
ds. (5) Nöqtənin sürətinin modulu isə belə ifadə olunur: ds. (6).7. Nöqtənin hərəkəti təbii üsulla verildikdə onun təcili Məlumdur ki, nöqtənin sürət və təcili aşağıdakı kimi ifadə oluna bilər:, (1) d, () burada - nöqtənin trayektoriyasının toxunanı istiqamətində yönəlmiş vahid vektor; - nöqtənin sürətinin toxunan üərindəki proyeksiyasıdır. (1)-i ()-də nəərə alsaq d d (3) bərabərliyini əldə edərik. d törəməsini nəərdən keçirək: d d ds. (4) ds Məlumdur ki, 83
d k ds 1 n, ds, (5) burada k və - uyğun olaraq trayektoriyanın əyrilik vektoru və əyrilik radiusudur. (5)-i (4)-də yerinə yaaq: d n. (6) alsaq taparıq: olduğunu bilərək (6) ifadəsini (3)- də nəərə d n. (7) lınmış ifadədən görünür ki, nöqtənin təcil vektoru iki vektorun həndəsi cəminə bərabərdir. Bunlardan birincisi baş normal istiqamətində yönəlir və nöqtənin normal təcili adlanır. İkincisi isə toxunan istiqamətində yönəlir və toxunan, yaxud tangensial təcil adlanır (şək..10). Beləliklə, Şək..10 84
n t, (8) n n, t d. (9) Normal, toxunan və tam təcillərin modulları uyğun olaraq aşağıdakı ifadələrlə təyin edilir: n, (10) t d, (11) n t d. (1) (7) bərabərliyini baş normal və toxunan üərinə proyeksiyalasaq alarıq: n d,. (13) Nöqtənin təcilinin baş normal üərindəki proyeksiyası həmişə müsbətdir, toxunan üərindəki proyeksiyası isə müsbət də ola bilər, mənfi də. t və vektorlarının istiqaməti eyni olarsa, müsbət, əks halda mənfi olur. Tam təcil vektorunun baş normala nəərən istiqaməti bu ifadə ilə müəyyən olunur: 85
tg t, (14) n burada - tam və normal təcil vektorları arasında qalan bucaqdır. Normal təcil nöqtənin sürətinin ancaq istiqamətcə dəyişməsini xarakteriiə edir. Nöqtənin düxətli hərəkətində onun normal təcili sıfra bərabər olur. Normal təcil həmişə trayektoriyanın çökük tərəfinə doğru yönəlir. Toxunan təcil nöqtənin sürətinin ancaq modulca dəyişməsini xarakteriə edir. Belə ki, const olduqda t 0 olur. Nöqtənin təcilinin onun trayektoriyasının binormalı üərindəki proyeksiyası sıfra bərabərdir. Bu, (7) ifadəsindən də bilinir..8. Nöqtənin müntəəm və müntəəmdəyişən hərəkətləri 1) Nöqtənin müntəəm hərəkəti. Nöqtənin müntəəm hərəkəti elə hərəkətə deyilir ki, bu vaxt onun sürətinin toxunan üərindəki proyeksiyası sabit qalır. Tərifə görə Məlumdur ki, const. (1) ds. () Onda ds. (3) 86
(1) şərtini nəərə alaraq bu ifadəni verilmiş sərhədlər daxilində inteqrallayaq: S ds S0 0 t t. (4) Buradan s s 0 t. Deməli s s 0 t. (5) s 0 nöqtənin başlanğıc qövsü koordinatıdır. (5) ifadəsi nöqtənin müntəəm hərəkətinin kinematik tənliyi adlanır. const şərtindən görünür ki, nöqtənin müntəəm hərəkətində d t 0, n. (6) ) Nöqtənin müntəəmdəyişən hərəkəti. Nöqtənin müntəəmdəyişən hərəkəti elə hərəkətə deyilir ki, bu vaxt onun təcilinin toxunan üərindəki proyeksiyası sabit qalır. Tərifə görə Məlumdur ki, const. (7) Onda d (8) d (9) 87
Bu ifadəni inteqrallayaq: o d, (10) burada o nöqtənin başlanğıc sürətinin toxunan üərindəki proyeksiyasıdır. (7) şərtini nəərə alaraq (10) - dan taparıq: ()- ni burada yerinə yasaq t o o t. (11) ds o t (1) bərabərliyini əldə edə bilərik. Bu bərabərliyi inteqrallayaq: S ds o S0 0 t t o t. (13) Buradan t s so o t. (14) xırıncı ifadə nöqtənin müntəəmdəyişən hərəkətinin kinematik tənliyi adlanır..9. Bərk cismin irəliləmə hərəkəti Bərk cismin irəliləmə hərəkəti elə hərəkətə deyilir ki, bu vaxt onun üərində götürülmüş istənilən dü xətt parçası 88
öünün başlanğıc vəiyyətinə paralel qalır. İrəliləmə hərəkəti edən cismin nöqtələri həm düxətli, həm də əyrixətli trayektoriyalar cıa bilər. Teorem. İrəliləmə hərəkəti edən cismin nöqtələrinin hamısı eyni cür trayektoriyalar cıır və amanın istənilən anında eyni sürət və eyni təcilə malik olur. İsbatı. Fər edək ki, baxılan bərk cisim tərpənmə qəbul olunmuş Oxy sisteminə nəərən irəliləmə hərəkəti edir. Bu cismin ixtiyari olaraq götürülmüş və B nöqtələrini birləşdirən dü xətt parçasının hərəkətini nəərdən keçirək (şək..11). Bu parçanın sonrakı n ardıcıl vəiyyətlərini B, B,... B 1 1 n n ilə işarə edək. və B nöqtələrinin ardıcıl vəiyyətlərini bir-biri ilə şək..11-də göstərildiyi kimi dü xətt parçaları və səlis əyrilər (trayektoriyalar) vasitəsilə birləşdirək. Cismin deformasiyaları nəərə alınmadığına görə B B B... B n. (1) 1 1 n İrəliləmə hərəkətinin tərifinə görə isə B 1B1... B B n n Onda yaa bilərik: BB B B,..., B B. () 1 1, 1 1 n1 n n1 n BB 1, 1 B1 B,..., n 1n Bn 1 Bn 1. 89
Şək..11 Yadıqlarımıa görə 1... n və BB 1 B... Bn sınıq xətləri bir-birinin üərinə salına bilər. Bölgülərin sayını sonsuluğa yaxınlaşdırsaq ( n ) həmin sınıq xətlər uyğun olaraq və B nöqtələrinin trayektoriyalarına çevrilər. Deməli bu nöqtələrin trayektoriyaları da üst-üstə salına bilər, yəni onlar eyni cürdür. və B nöqtələri ixtiyari olaraq götürüldüyünə görə alınan bu nəticə cismin nöqtələrinin hamısına aiddir. Bununla teoremin birinci hissəsi isbat olunur. Şəkildən yaa bilərik: r B r B, (3) burada r və rb cismin uyğun olaraq və B nöqtələrinin radius-vektorlarıdır. B const olduğunu nəərə alaraq (3) ifadəsindən dr dr amana görə törəmə alaq: B drb. Burada B, dr. Onda 90
B (4) bərabərliyini alarıq. Bu bərabərlikdən də amana görə törəmə db d db d alaq:. B, olduğu üçün B olur. Teoremin ikinci hissəsi də isbat olundu. İrəliləmə hərəkəti edən bərk cismin nöqtələrinin hamısı eyni cür hərəkət etdiyinə görə onun ancaq bir nöqtəsinin hərəkətini öyrənmək kifayətdir.bunu nəərə alaraq bərk cismin irəliləmə hərəkətinin kinematik tənliklərini bu şəkildə yamaq olar: x 1 ( 3 t o o o f t), y f ( t), f ( ), (5) burada x, y, cismin üərində ixtiyari olaraq o o o götürülmüş O qütbünün koordinatlarıdır. (5) ifadələri göstərir ki, irəliləmə hərəkəti edən cismin ümumi halda üç sərbəstlik dərəcəsi vardır..10. Bərk cismin tərpənmə ox ətrafında fırlanma hərəkəti Bərk cismin tərpənmə ox ətrafında fırlanma hərəkəti elə hərəkətə deyilir ki, bu vaxt onun iki nöqtəsi tərpənmə qalır. Həmin tərpənmə nöqtələrdən keçən dü xətt cismin fırlanma oxu adlanır. Bərk cismin tərpənmə ox ətrafında fırlanma hərəkətinə çox vaxt sadəcə olaraq fırlanma hərəkəti deyirlər. Fırlanma hərəkəti amanı cismin fırlanma oxu ilə üst-üstə düşən nöqtələri tərpənmə qalır, digər nöqtələri isə mərkələri bu ox üərində olan çevrələr ürə hərəkət edir. Bu çevrələrin müstəviləri fırlanma oxuna perpendikulyar olur. Fər edək ki, baxılan bərk cisim tərpənmə oxu ətrafında fırlanma hərəkəti edir (şək..1). Tutaq ki, oxundan keçən M 1 müstəvisi tərpənmədir, həmin oxdan keçən M müstəvisi isə cisimlə sərt bağlıdır, 91
Şək..1 yəni onunla birlikdə fırlanma hərəkəti edir. M 1 və M müstəviləri arasında qalan bucağı cismin dönmə bucağı adlanır. Əgər fırlanma oxunun ucundan baxdıqda dönmə bucağı saat əqrəbi hərəkətinin əksi istiqamətində qeyd olunmuş görünərsə o, müsbət, saat əqrəbi hərəkəti istiqamətində isə mənfi hesab olunur (şərti olaraq belə qəbul edilib). Tərpənmə ox ətrafında fırlanan cismin bir sərbəstlik dərəcəsi vardır, belə ki, bucağı onun fəadakı vəiyyətini tam müəyyən edir. Ona görə də f (t) (1) ifadəsi cismin fırlanma hərəkətinin kinematik tənliyi adlanır. Fər edək ki, fırlanan cismin dönmə bucağı t aman fasiləsi ərində artımını almışdır. nisbətinə cismin t aman fasiləsindəki orta bucaq sürəti deyilir, yəni t 9
orta. () t t aman fasiləsini sonsu olaraq kiçildərək limitə keçsək tərpənmə oxu ətrafında fırlanan cismin baxılan andakı bucaq sürətini taparıq: d lim olduğu üçün t0 t lim orta lim. (3) t0 t0 t d. (4) Beləliklə, tərpənmə ox ətrafında fırlanan cismin bucaq sürəti onun dönmə bucağından amana görə alınmış birinci tərtib törəməyə bərabərdir. Tutaq ki, fırlanan cismin ərində artımını almışdır. t fasiləsindəki orta bucaq təcili deyilir, yəni bucaq sürəti nisbətinə cismin t t aman fasiləsi aman orta. (5) t Cismin baxılan andakı bucaq təcilini təyin etmək üçün aman fasiləsini sonsu olaraq kiçildərək limitə keçək. Onda t lim orta lim, (6) t0 t0 t 93
burada cismin baxılan andakı bucaq təcilidir. d lim olduğu üçün nəticədə t0 t d (7) alarıq. (4) ifadəsini burada nəərə alsaq d (8) olar. xırıncı iki ifadədən görünür ki, fırlanan cismin bucaq təcili onun bucaq sürətindən amana görə alınmış birinci tərtib törəməyə, yaxud dönmə bucağından amana görə alınmış ikinci tərtib törəməyə bərabərdir. rad Bucaq sürətini adətən, yaxud san -1 ilə ölçürlər. Texniki san hesablamalarda isə çox vaxt sabit bucaq sürəti ilə fırlanan cismin dювр bucaq sürətini n ilə işarə edib ilə ölçürlər (n - bir dəqiqədəki dяq dövrlərin sayıdır). və n arasında əlaqə belə yaradılır: rad dövr rad ω n n. san dяг 60san Buradan n. 30 (9) Fırlanan cismin bucaq təcilini rad, yaxud san - san ilə ölçürlər. 94
.11. Bərk cismin müntəəm və müntəəmdəyişən fırlanma hərəkətləri 1) Bərk cismin müntəəm fırlanma hərəkəti. Bərk cismin müntəəm fırlanma hərəkəti elə hərəkətə deyilir ki, bu vaxt onun bucaq sürəti sabit qalır. Tərifə görə const. (1) Məlumdur ki, d. Buradan d. () Bu ifadəni verilmiş sərhədlər daxilində inteqrallayaq: o t d, (3) burada o cismin başlanğıc dönmə bucağıdır. (1) şərtini nəərə alaraq (3) dən taparıq: o o t. (4) Bu ifadə cismin müntəəm fırlanma hərəkətinin kinematik tənliyi adlanır. Müntəəm fırlanma hərəkətində bucaq sürəti sabit d olduğuna görə bucaq təcili sıfra bərabər olur 0. ) Bərk cismin müntəəmdəyişən fırlanma hərəkəti. Bərk cismin müntəəmdəyişən fırlanma hərəkəti elə hərəkətə deyilir ki, bu vaxt onun bucaq təcili sabit qalır. Tərifə görə 95
const. (5) d Məlumdur ki,. Buradan d. (6) Bu ifadəni verilmiş sərhədlər daxilində inteqrallayaq: o t d, (7) burada o cismin başlanğıc andakı bucaq sürətidir. (5) şərtini nəərə alaraq (7) dən taparıq:. (8) Bu ifadədə bərabərliyi ala bilərik: o əvəində o t d yaaraq aşağıdakı d o t. (9) naloci interallama əməliyyatı aparaq: t d o o o t o t. (10) Buradan t t o o. (11) Bu ifadə cismin müntəəmdəyişən fırlanma hərəkətinin kinematik tənliyi adlanır. 96
Qeyd edək ki, və uyğun olaraq bucaq sürəti və bucaq təcilinin cəbri qiymətləridir və həm müsbət, həm də mənfi ədədi qiymət ala bilərlər. Əgər və in işarələri eyni olarsa fırlanma hərəkəti artan (yeyinləşən), əks halda aalan (yavaşıyan) olur. Müntəəmdəyişən fırlanma hərəkətində belə hallara uyğun olaraq müntəəm artan və müntəəm aalan fırlanma hərəkəti deyirlər..1. Tərpənmə ox ətrafında fırlanan cismin nöqtələrinin sürət və təcili Məlumdur ki, tərpənmə ox ətrpfında fırlanan cismin hər bir nöqtəsi mərkəi fırlanma oxu üərində olan çevrə ürə hərəkət edir. Bunu nəərə alaraq həmin cismin ixtiyari M nöqtəsinin hərəkətini nəərdən keçirək (şək..13). OM qövsünün uunluğunu s ilə işarə edək. Şək..13- dən s R, (1) burada s M nöqtəsinin qövsü koordinatı; R həmin nöqtənin fırlanma radiusudur (baxılan nöqtənin fırlanma oxundan olan məsafəsi); məlum olduğu kimi, cismin dönmə bucağıdır. (1) ifadəsindən amana görə törəmə alaq: 97
Şək..13 Məlumdur ki, Onda ds ds d R. () d,. (3) R. (4) Cismin ixtiyari M nöqtəsinin sürətinin modulu R, yaxud R (5) olar. 98
İndii çismin baxılan nöqtəsinin təcilini təyin edək. Məlumdur ki, nöqtənin normal və toxunan təcillərinin d modulları bu ifadələrlə təyin edilir: n, t. Baxılan halda trayektoriyanın əyrilik radiusu R dir (şək..14). Bunu, həmçinin (4) və (5) ifadələrini nəərə alaraq yaa bilərik: R n R, (6) R d t R R R. (7) Cismin baxılan nöqtəsinin tam təcilinin modulu 4 t n R. (8) Şək..14 Fırlanan cismin ixtiyari nöqtəsinin tam təcilinin vektorunun həmin nöqtənin fırlanma radiusu ilə əmələ gətirdiyi bucaq bu ifadədən tapıla bilər: tg B M t. (9) n 99
(6) və (7) düsturlarını burada nəərə alsaq R tg (10) R olar. Qeyd etmək laımdır ki, bucağı fırlanan cismin nöqtələrinin hamısı üçün eyni qiymətə malik olur. (5), (6), (7) və (8) ifadələrindən görünür ki, fırlanan cismin ixtiyari nöqtəsinin sürətinin, normal, toxunan və tam təcillərinin modulları bu nöqtənin fırlanma oxundan olan məsafəsi ilə dü mütənasibdir..13. Tərpənmə ox ətrafında fırlanan cismin nöqtələrinin sürət və təcillərinin vektorial ifadələri Tərpənmə ox ətrafında fırlanan cismin nöqtələrinin sürət və təcillərini vektorial kəmiyyətlərlə də ifadə etmək olar. Bunun üçün əvvəlcə fırlanan cismin bucaq sürəti və bucaq təcili vektoru anlayışlarına baxaq. Fər edək ki, baxılan cisim tərpənmə oxu ətrafında fırlanır (şək..15). Bu cismin bucaq sürəti vektoru oxunun ixtiyari nöqtəsində tətbiq olunub bu ox boyunca elə yönəlir ki, onun ucundan baxdıqda cismin fırlanması saat əqrəbi hərəkətinin əksi istiqamətində görünür. Bu vektorun modulu cismin dönmə bucağından amana görə alınmış birinci tərtib törəmənin (yəni cismin cəbri bucaq sürətinin) mütləq qiymətinə bərabərdir, yəni d. (1) 100
Şək..15 oxu boyunca bu oxun müsbət istiqamətində yönəlmiş k vahid vektorunu qəbul edək. Deyilənləri nəərə alaraq bucaq sürəti vektorunu belə ifadə edə bilərik: d k. () Bu ifadəni oxu üərinə proyeksiyalasaq alarıq: d. (3) Göründüyü kimi, bucaq sürəti vektorunun fırlanma oxu üərindəki proyeksiyası bu bucaq sürətinin cəbri qiymətinə bərabərdir. (3)-ü ()-də nəərə alaq: k. (4) 101
Fırlanan cismin bucaq təcili vektorunu təyin etmək üçün sonuncu ifadədən amana görə törəmə almaq laımdır: d d k k. (5) Bucaq təcili vektorunun oxu üərindəki proyeksiyası d d. (6) (5) və (6) ifadələrinə əsasən k (7) bərabərliyini yaa bilərik. Bucaq təcili vektorunun modulu d d. (8) Əgər və vektorları eyni tərəfə yönələrsə fırlanma hərəkəti yeyinləşən, əks halda yavaşıyan olar. İndii oxu ətrafında fırlanan cismin ixtiyari M nöqtəsinin sürət və təcilinin vektorial ifadələrini çıxaraq. M nöqtəsinin fırlanma radiusunu R (R=MC), oxu üərində götürülmüş ixtiyari O nöqtəsinə nəərən radius-vektorunu isə r ilə işarə edək (şək..16). Məlumdur ki, cismin M nöqtəsinin sürətinin modulunu belə ifadə etmək olar: R. (9) Şək..16-dan R r sin. Onda 10
r sin, (10) burada və r vektorları arasında qalan bucaqdır. ektorlar cəbrinin qaydalarına görə Bu ifadəni (10)-da yerinə yaaq: r sin r. (11) r Şək..16 r. (1) r vektorial hasili elə bir vektora bərabərdir ki, o, M nöqtəsinin sürət vektoruna paralel olaraq onunla eyni tərəfə 103
doğru yönəlir. Bu, şək..16-dan da görünür. Onda bu deyilənləri və (1) bərabərliyini nəərə alaraq yaa bilərik: r. (13) Beləliklə, tərpənmə ox ətrafında fırlanan cismin hər hansı nöqtəsinin sürət vektoru bu cismin bucaq sürəti vektoru ilə həmin nöqtənin fırlanma oxu üərində götürülmüş ixtiyari nöqtəyə nəərən radius-vektorunun vektorial hasilinə bərabərdir. Cismin baxılan M nöqtəsinin təcilini təyin etmək məqsədilə (13) ifadəsindən amana görə törəmə alırıq: d d dr r. (14) Məlumdur ki, d dr,. (15) Onda r. (16) Beləliklə deyə bilərik ki, tərpənmə ox ətrafında fırlanan cismin hər hansı nöqtəsinin təcil vektoru iki vektorun həndəsi cəminə bərabərdir. Bu vektorlardan birincisi r vektorial hasilinə uyğun olaraq həmin nöqtənin sürət vektoru ilə bir dü xətt boyunca yönəlir və bu nöqtənin fırlanma təcili adlanır. İkincisi isə hasilinə uyğun olaraq fırlanma oxuna tərəf yönəlir və cismin baxılan nöqtəsinin oxa doğru yönəlmə təcili adlanır. Deməli: F O r,, (17) F o burada cismin baxılan nöqtəsinin fırlanma təcili, həmin nöqtənin oxa doğru yönəlmə təcilidir. (17)-ni (16)-da yerinə yasaq alarıq: 104
F O. (18) Baxılan halda cismin ixtiyari M nöqtəsinin fırlanma təcili bu nöqtənin toxunan təcilinə, oxa doğru yönəlmə təcili isə normal təcilinə bərabərdir..14. Bərk cismin müstəvi-paralel hərəkəti Bərk cismin müstəvi-paralel hərəkəti elə hərəkətə deyilir ki, bu vaxt onun nöqtələri verilmiş tərpənmə müstəviyə paralel müstəvilər üərində hərəkət edir. Müstəvi-paralel hərəkətə bəən sadəcə olaraq müstəvi hərəkət deyirlər. Bu hərəkətə misal olaraq çarxqolu-sürgüqolu mexanimində sürgüqolunun hərəkətini, dü yolla diyirlənən təkərin hərəkətini və s. göstərmək olar. Bərk cismin tərpənmə ox ətrafında fırlanma hərəkəti müstəvi-paralel hərəkətin xüsusi halıdır. Fər edək ki, baxılan cisim tərpənmə M 1 müstəvisinə nəərən müstəvi-paralel hərəkət edir (şək..17). Bu cismi M 1 -ə paralel M müstəvisi ilə kəsək. Kəsikdə müəyyən bir S yastı (müstəvi) fiqurunu alarıq. Müstəvi-paralel hərəkətin tərifinə görə S fiquru həmişə M müstəvisinin üərində qalacaqdır. Hərəkət edən cisimlə ayrılma sürətdə bağlı olan və S yastı fiquruna perpendikulyar yönələn 1 dü xətt parçasının hərəkətini nəərdən keçirək. 1 parçası yastı fiqura perpendikulyar olduğuna görə o, eyni amanda M 1 və M müstəvilərinə də perpendikulyar olacaqdır. 1 parçası həmişə tərpənmə M 1 müstəvisinə perpendikulyar qaldığından o, öünün başlanğıc vəiyətinə paralel hərəkət edəcəkdir. Onda, bərk cismin irəliləmə hərəkətinin kinematikasından məlum olduğu kimi, bu parçanın nöqtələrinin hamısı eyni cür hərəkət edəcəkdir. Buradan belə çıxır ki, həmin parçanın hərəkətini 105
öyrənmək üçün onun ancaq bir nöqtəsinin, məsələn, yastı fiqurla kəsişmə nöqtəsinin hərəkətini nəərdən keçirmək kifayətdir. Bu ardıcıllıqla mülahiə yürüdərək sübut etmək olar ki, baxılan cismin nöqtələrinin hərəkətinin öyrənilməsi yastı fiqurun nöqtələrinin hərəkətinin öyrənilməsinə gətirilir. Buradan görünür ki, bərk cismin müstəvi-paralel hərəkətini öyrənmək üçün yastı fiqurun hərəkətini tədqiq etmək tamamilə kifayətdir. Bu deyiləni nəərə alaraq bundan sonra ancaq yastı fiqurun hərəkətini nəərdən keçirəcəyik. Şək..17 Fər edək ki, S yastı fiquru tərpənmə Oxy müstəvisi üərində hərəkət edir (şək..18). Yastı fiqurla eyni müstəvi üərində yerləşən və onunla ayrılma surətdə bağlı olan, yəni bu fiqurla birlikdə hərəkət edən O x y koordinat sistemini də qəbul edək. Yastı fiqurun tərpənmə Oxy sisteminə nəərən 106
vəiyyəti O x y sisteminin bu sistemə nəərən vəiyyəti ilə tamamilə müəyyən olunur. Şək..18 O x y sisteminin Oxy sisteminə nəərən vəiyyəti isə O başlanğıcının (qütbünün) koordinatları və dönmə bucağı vasitəsilə təyin edilir. Bu kəmiyyətlərin hər üçü ümumi halda amanın funksiyaları olur, yəni x y o o f f1( t), f ( t), 3 ( t). (1) (1) ifadələri yastı fiqurun, yaxud bərk cismin müstəviparalel hərəkətinin kinematik tənlikləri adlanır. O qütbünün yastı fiqur üərində seçilməsi ixtiyaridir. (1) ifadələrindən görünür ki, yastı fiqurun hərəkətini iki hərəkətin cəmi kimi təsəvvür etmək mümkündür. Bu hərəkətlərin birincisi O qütbünün hərəkəti kimi irəliləmə hərəkəti, ikincisi isə bu qütb ətrafında fırlanma hərəkətidir. ydındır ki, bu hərəkətlərin hamısı yastı fiqur müstəvisi üərində baş verir. Dediyimi irəliləmə hərəkəti qütbün vəiyyətindən asılıdır, fırlanma hərəkəti isə asılı deyildir. 107
Yastı fiqurun bucaq sürətinin və bucaq təcilinin cəbri qiymətləri bərk cismin tərpənmə ox ətrafında fırlanma hərəkətində olduğu kimi tapılır, yəni d d d,. ().15. Yastı fiqur nöqtələrinin sürəti Teorem. Yastı fiqurun hər hansı nöqtəsinin sürəti bu fiqur üərində götürülmüş ixtiyari qütbün sürəti ilə fiqurun qütb ətrafında fırlanmasında həmin nöqtənin aldığı sürətin həndəsi cəminə bərabərdir. Teoremin riyai ifadəsi:, O O burada fiqurun hər hansı nöqtəsinin sürəti; fiqur üərində götürülmüş ixtiyari O qütbünün sürəti; fiqurun O O qütbü ətrafında fırlanmasında onun nöqtəsinin aldığı sürətdir. İsbatı. Fər edək ki, baxılan S yastı fiquru tərpənmə Oxy müstəvisi üərində hərəkət edir (şək..19). Bu fiqur üərində götürülmüş ixtiyari nöqtəsinin tərpənmə O başlanğıcına nəərən radius-vektoru burada ro r r r, (1) O O fiqur üərində götürülmüş hər hansı O qütbünün O başlanğıcına nəərən radius-vektoru; qütbünə nəərən radius-vektorudur. r nöqtəsinin O O O 108
Шяк..19 (1) ifadəsindən amana görə törəmə alaq: d r dr dr O O, () burada d r d r d r O O,, O O. (3) r O const olduğu üçün fırlanma hərəkətində yaranan sürətdir, belə ki, O, (4) O r O burada yastı fiqurun bucaq sürəti vektorudur (yastı fiqura perpendikulyar yönəlir). (3) ifadələrini () də yerinə yasaq alarıq: 109
. (5) O O Teorem isbat olundu. Nəticə. Yastı fiqurun hər hansı iki nöqtəsinin sürətlərinin bu nöqtələrdən keçən ox üərindəki proyeksiyaları bərabərdir. İsbatı. erilmiş S yastı fiqurunun ixtiyari olaraq götürülmüş və B nöqtələrinin hərəkətini nəərdən keçirək (şək..0). nöqtəsini qütb qəbul edərək yuxarıdakı teoremə əsasən B nöqtəsinin sürətini belə ifadə etmək olar: B. (6) B Şək..0 B B olduğunu nəərə alaraq (6) ifadəsini və B nöqtələrindən keçən x oxu üərinə proyeksiyalayaq: Buradan B 0 cos cos cos90. (7) cos cos. (8) B Nəticə isbat olundu..16. Yastı fiqurun ani sürətlər mərkəi 110 B
ni sürətlər mərkəi yastı fiqurun elə nöqtəsinə deyilir ki, baxılan anda həmin nöqtənin sürəti sıfra bərabər olur. Yastı fiqurun ani sürətlər mərkəinin mövcud olduğunu isbat edək. Fər edək ki, yastı fiqurun baxılan andakı bucaq sürəti və onun hər hansı nöqtəsinin sürəti verilmişdir (şək..1). vektoruna perpendikulyar olan L dü xəttini çəkək. Bu dü xətti nöqtəsindən başlayaraq o tərəfə doğru çəkirik ki, vektorunu nöqtəsi ətrafında fiqurun fırlanması istiqamətində 90 0 döndərdikdə o, həmin dü xəttin üərinə düşsün. Şək.. 1 Sonra L dü xətti üərində elə bir P nöqtəsi götürürük ki, onun vəiyyəti bu şərti ödəsin: P. (1) P nöqtəsinin sürətini yastı fiqur nöqtələrinin sürətləri haqqında teoremə əsasən belə ifadə etmək olar ( nöqtəsini qütb qəbul edərək): 111
P. () P Məlumdur ki, P P. (1)-dən P. Bu ifadələrdən görünür ki, P. Digər tərəfdən, və P vektorları bir-birinə paralel olaraq əks tərəflərə yönəlir. Deyilənləri nəərə alaraq yaa bilərik P. Bunu () də yerinə yasaq P 0 (3) alarıq. Bununla da P nöqtəsinin baxılan yastı fiqurun ani sürətlər mərkəi olduğu isbat olunur. P nöqtəsini qütb qəğul edərək yastı fiqurun ixtiyari B nöqtəsinin sürətini belə tapmaq olar: B. (4) P BP P 0 olduğu üçün B BP alınar. Onda B BP BP. Uyğun olaraq yastı fiqurun digər nöqtələri üçün yaa bilərik: C CP CP, D DP DP və s. Yadıqlarımıdan görünür ki, yastı fiqurun istənilən nöqtəsinin sürəti onun bu fiqurun ani sürətlər mərkəi ətrafında fırlanma hərəkətindəki sürətinə bərabərdir. Deməli, amanın verilmiş anında yastı fiqurun hərəkətinə ani fırlanma hərəkəti kimi baxmaq olar. Yastı fiqurun ani sürətlər mərkəinin vəiyyətini təyin etmək üçün onun hər hansı iki nöqtəsinin sürətinin istiqamətini bilmək kifayətdir. Bu nöqtələrdən həmin sürət vektorlarına çəkilmiş perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsi bu fiqurun ani sürətlər mərkəi olacaqdır (şək..). 11
Şək.. Yastı fiqurun yerləşdiyi tərpənmə müstəvinin baxılan anda bu fiqurun ani sürətlər mərkəi ilə üst-üstə düşən nöqtəsinə həmin fiqurun ani fırlanma mərkəi deyilir. Yastı fiqurun hərəkəti amanı onun ani sürətlər mərkəinin bu fiqur üərindəki vəiyyəti, həmçinin ani fırlanma mərkəinin tərpənmə müstəvi üərindəki vəiyyəti fasiləsi olaraq dəyişir. ni sürətlər mərkəinin yastı fiqur üərindəki ardıcıl vəiyyətlərinin həndəsi yeri tərpənən sentroid, ani fərlanma mərkəinin tərpənmə müstəvi üərindəki ardıcıl vəiyyətlərinin həndəsi yeri isə tərpənən sentroid adlanır. Sübut olunmuşdur ki, yastı fiqurun hərəkəti amanı onun tərpənən sentroidi tərpənmə sentroidin üəri ilə sürüşmədən diyirlənir. Bəi xüsusi halları nəərdən keçirək. 1) Baxılan anda yastı fiqurun verilmiş iki nöqtəsinin sürət vektorları bir-birinə paraleldir və onlara həmin nöqtələrdən çəkilmiş perpendikulyarlar bir dü xətt üərinə düşmür (şək..3). Bu halda həmin perpendikulyarlar sonsuluqda kəsişir və ona görə də B 0 alınır. ni bucaq sürətinin sıfra bərabər olması səbəbindən yastı fiqurun bütün nöqtələrinin sürətləri həm qiymət, həm də istiqamətcə eyni olur, yəni... Belə halda yastı B C 113
fiqur (həm də ona uyğun gələn bərk cisim) ani irəliləmə hərəkəti edir. B Şək..3 ) Baxılan anda yastı fiqurun verilmiş iki nöqtəsinin sürət vektorları bir-birinə paraleldir, və onlara həmin nöqtələrdən çəkilmiş perpendikulyarlar bir dü xətt üərinə düşür. Sürət vektorları eyni tərəfə (şək..4a) və əks tərəflərə (şək..4b) yönələ bilər. Bu hallarda ani sürətlər mərkəi sürət vektorlarına çəkilmiş ümumi perpendikulyarla bu vektorların üç nöqtələrindən keçən dü xəttin kəsişmə nöqtəsində yerləşir. a) b) Şək..4.17. Yastı fiqur nöqtələrinin təcili 114
Teorem. Yastı fiqurun hər hansı nöqtəsinin təcili bu fiqur üərində götürülmüş ixtiyari qütbün təcili ilə fiqurun qütb ətrafında fırlanmasında həmin nöqtənin aldığı təcilin həndəsi cəminə bərabərdir. Teoremin riyai ifadəsi:. O O Burada fiqurun hər hansı nöqtəsinin təcili; fiqur üərində götürülmüş ixtiyari O qütbünün təcili; O O O fiqurun qütbü ətrafında fırlanmasında onun nöqtəsinin aldığı təcildir. İsbatı. Məlumdur ki, yastı fiqurun ixtiyari nöqtəsinin sürətini belə ifadə etmək olar:, (1) O O burada fiqur üərində götürülmüş ixtiyari O qütbünün O sürəti; fiqurun O qütbü ətrafında fırlanmasında onun O nöqtəsinin aldığı sürət. (1) ifadəsindən amana görə törəmə alaq: burada d do d O, () d d d O O,, O O (3) ifadələrini () - də yerinə yaaq:. (3) 115
. (4) O O Teorem isbat olundu. fırlanma hərəkətində yaranan təcil olduğundan bu O bərabərliyi yamaq olar:, (5) O F O M O burada və M fiqurun O qütbü ətrafında F O O fırlanmasında onun nöqtəsinin aldığı fırlanma və mərkəə doğru yönəlmə təcilləridir. Mərkəə doğru yönəlmə təcili əslində O qütbündən keçərək yastı fiqur müstəvisinə perpendikulyar yönəlmiş oxa doğru yönəlmə təcilidir. (5)-i (4) düsturunda yerinə yasaq alarıq:. (6) O F O M O Şək..5-də (6) vektorial ifadəsinin qrafiki təsviri göstərilmişdir. А Şək..5 116
F O, ifadələrdən tapılır: və təcillərinin modulları bu M O F O O M O, O, (7) O 4 O O. (8) bucağı isə belə təyin edilir: tg. (9) F O M O və kəmiyyətləri bütün fiqur üçün eyni qiymətlərə malik olduqlarından bucağı da fiqurun bütün nöqtələri üçün eyni qiymətə malik olur..18. Yastı fiqurun ani təcillər mərkəi ni təcillər mərkəi yastı fiqurun elə nöqtəsinə deyilir ki, baxılan anda həmin nöqtənin təcili sıfra bərabər olur. Yastı fiqurun ani təcillər mərkəinin mövcud olduğunu isbat edək. Fər edək ki, yastı fiqurun baxılan andakı bucaq sürəti, bucaq təcili və onun hər hansı nöqtəsinin təcili verilmişdir (şək..6). Əvvəlcə tg ifadəsindən bucağını tapırıq. Sonra ilə bucağı təşkil edən N dü xəttini çəkirik. bucağı vektorundan başlayaraq bucaq təcili un istiqamətində ayrılır. N dü xəttinin üərində elə bir Q nöqtəsi götürürük ki, onun vəiyyəti bu şərti ödəsin: 117
Q. (1) 4 Şək..6 nönqtəsini qütb qəbul edərək Q nöqtəsinin təcilini belə ifadə edə bilərik: Q. () Q Burada Q - yastı fiqurun qütbü ətrafında fırlanmasında onun Q nöqtəsinin aldığı təcildir. Fırlanma hərəkətinin kinematikasından məlumdur ki, bu təcilin modulu 4 Q Q. (3) (1)- dən 4 Q. (4) 118
Sonuncu ifadələrə görə Q. Digər tərəfdən Q vektoru da N dü xətti ilə bucağı əmələ gətirir. Bu halda modulları bərabər olan Q və vektorları bir-birinə paralel olaraq əks tərəflərə yönəlirlər. Onda yaa bilərik:. (5) Q Bu ifadəni ()-də yerinə yasaq alarıq: 0. (6) Q Bununla da Q nöqtəsinin baxılan halda yastı fiqurun ani təcillər mərkəi olduğu isbat olunur. Q nöqtəsini qütb qəbul edərək yastı fiqurun ixtiyari B nöqtəsinin təcilini belə təyin etmək olar: B. (7) Q BQ Onda C Q 0 olduğu üçün B BQ bərabərliyini alarıq. CQ BQ 4 B BQ olar. naloci olaraq CQ 4, DQ 4 D DQ və s. yaa bilərik. Yadıqlarımıdan görünür ki, yastı fiqurun nöqtələrinin təcillərinin modulu bu nöqtələrin ani təcillər mərkəindən olan məsafələri ilə dü mütənasibdir. Yastı fiqurun ani təcillər mərkəinin vəiyyətini təyin etmək üçün onun hər hansı iki nöqtəsinin təcil vektorlarının istiqamətini və tg bərabərliyindən tapılan bucağının qiymətini bilmək kifayətdir. Həmin nöqtələrdən keçən və onların təcil vektorları ilə bucağı təşkil edən ( bucağı 119
Şək..7 təcil vektorundan bucaq təcili nun istiqamətinə uyğun olaraq ayrılır) dü xətlərin kəsişmə nöqtəsi Q ani təcillər mərkəi olacaqdır (şək..7). Qeyd edək ki, ümumi halda yastı fiqurun ani təcillər mərkəi onun ani sürətlər mərkəi ilə üst-üstə düşmür. Misal olaraq dü yolla sürüşmədən müntəəm diyirlənən təkərin hərəkətini nəərdən keçirək (şək..8). Q Şək..8 P Təkərin yola toxunan P nöqtəsi sürüşmədiyinə görə 0. Deməli P nöqtəsi təkərin P ani sürətlər mərkəidir. 10
dq Q const olduğu üçün Q 0. Bu halda Q nöqtəsi təkərin ani təcillər mərkəi olur..19. Nöqtənin mürəkkəb hərəkəti Nöqtənin mürəkkəb hərəkəti elə hərəkətə deyilir ki, bu vaxt o eyni amanda iki, yaxud daha çox hərəkətdə iştirak edir. Bi nöqtənin ancaq iki hərəkətdə iştirak etdiyi halı nəərdən keçirəcəyik. Mürəkkəb hərəkətə misal olaraq üən gəminin göyərtəsində, yaxud gedən qatarda adamın hərəkətini göstərmək olar. Mürəkkəb hərəkəti öyrənmək üçün bu cür hərəkət formalarından istifadə edirlər: mütləq hərəkət, nisbi hərəkət və köçürmə hərəkəti. Fər edək ki, baxılan nöqtə verilmiş koordinat sisteminə nəərən, bu sistem isə ö növbəsində tərpənmə koordinat sisteminə nəərən hərəkət edir. Nöqtənin tərpənmə sistemə nəərən hərəkəti mütləq hərəkət, tərpənən sistemə nəərən hərəkəti isə nisbi hərəkət adlanır. Nöqtənin köçürmə hərəkəti tərpənən sistemin baxılan anda bu nöqtə ilə üst-üstə düşən nöqtəsinin tərpənmə sistemə nəərən hərəkətinə deyilir. Tərpənən sistemin bütövlükdə təprənmə sistemə nəərən hərəkətini də köçürmə hərəkəti adlandırırlar. Nöqtənin mütləq, nisbi və köçürmə hərəkətlərindəki sürət və təcilləri uyğun olaraq mütləq sürət, mütləq təcil, nisbi sürət, nisbi təcil, köçürmə sürəti və köçürmə təcili adlanır..0. Mürəkkəb hərəkət edən nöqtənin mütləq sürəti Teorem. Mürəkkəb hərəkət edən nöqtənin mütləq sürəti onun köçürmə və nisbi sürətlərinin həndəsi cəminə bərabərdir. Teoremin riyai ifadəsi: 11
a. e r Burada nöqtənin mütləq sürəti; nöqtənin köçürmə a sürəti; r nöqtənin nisbi sürətidir. İsbatı. Fər edək ki, baxılan M nöqtəsi tərpənən O x y sisteminə nəərən, bu sistem isə tərpənmə Oxy sisteminə nəərən hərəkət edir (şək..9). e Şək..9 M nöqtəsinin tərpənmə O başlanğıcına nəərən radiusvektoru r r, (1) O r burada r tərpənən O başlanğıcının tərpənmə O O başlanğıcına nəərən radius-vektoru; r baxılan M nöqtəsinin O başlanğıcına nəərən nəərən radius-vektorudur. Bu radiusvektoru belə ifadə etmək olar: 1
r i x jy k, () burada i, j, k tərpənən sistemin koordinat oxlarının vahid vektorları; x, y, M nöqtəsinin tərpənən sistemdəki koordinatlarıdır. Sonuncu ifadəni (1)- də nəərə alaq: r r i x jy k. (3) O Əgər x, y və kəmiyyətlərini sabit hesab edərək (3) ifadəsindən amana görə törəmə alsaq M nöqtəsinin köçürmə sürətini taparıq: e d r O x d i y d j d k. (4) Əgər r O, i, j, k vektorlarını həm qiymət, həm də istiqamətcə sabit hesab edərək (3) ifadəsindən amana görə törəmə alsaq M nöqtəsinin nisbi sürətini taparıq: d x d y d i j k. (5) r (3) ifadəsinə daxil olan kəmiyyətlərin hamısını dəyişən hesab edərək ondan amana görə törəmə alsaq M nöqtəsinin mütləq sürətini təyin edərik: d r O d i d j d k a x y d x d y d i j k. (6) 13
(4) və (5) düsturlarını (6) bərabərliyində nəərə alsaq əldə edərik: a. (7) e r Teorem isbat olundu. (7) ifadəsinə əsasən sürətlər paraleloqramını qurmaq olar (şək..30). M nöqtəsinin mütləq sürətinin modulu a cos, (8) e r e r Şək..30 burada nöqtənin köçürmə və nisbi sürət vektorları arasındakı bucağdır..1. Mürəkkəb hərəkət edən nöqtənin mütləq təcili Teorem. Mürəkkəb hərəkət edən nöqtənin mütləq təcili ümumi halda onun köçürmə, nisbi və Koriolis təcillərinin həndəsi cəminə bərabərdir. Bu teoremə Koriolis teoremi də deyirlər (Qustov Koriolis XIX əsr fransı alimidir). Teoremin riyai ifadəsi:. a e 14 r k
Burada a, e, r və k uyğun olaraq nöqtənin mütləq, köçürmə, nisbi və Koriolis təcilləridir. Koriolis təcili ( ). Burada e k e r tərpənən sistemin bucaq sürəti (köçürmə hərəkətindəki bucaq sürəti); r baxılan nöqtənin nisbi sürətidir. Teoremin isbatı. Məlumdur ki, nöqtənin mürəkkəb hərəkətində onun köçürmə, nisbi və mütləq sürətləri belə ifadə olunur: e d r O x d i y d j d k, (1) d x d y d i j k, () r d r O d i d j d k a x y d x d y d i j k. (3) Nöqtənin mütləq təcilini tapmaq üçün (3) bərabərliyinə daxil olan kəmiyyətlərin hamısını dəyişən hesab edərək ondan amana görə törəmə almaq laımdır: a x d d i a d r O d x d i d y d j d k y d j d d k 15
d i d x d j d y d k d d x d y d i j k. (4) (4) ifadəsini sadələşdirib bu şəkildə də yamaq olar: a d r O x d i y d x d y d i j k d x d i d y d j d d k. (5) (5) bərabərliyinin sağ tərəfində mötəriəyə alınmış birinci ifadə nöqtənin köçürmə təcilinə bərabərdir, çünki bu ifadəni x, y və i sabit hesab edərək e ni təyin edən (1) bərabərliyinin sağ tərəfindən amana görə törəmə almaqla əldə etmək olar. Beləliklə, d j d k d r O d i d j d k x y. (6) e (5) bərabərliyinin sağ tərəfində mötəriəyə alınmış ikinci ifadə nöqtənin nisbi təcilinə bərabərdir, çünki bu ifadəni i, j və k i sabit hesab edərək r i təyin edən () bərabərliyinin sağ tərəfindən amana görə törəmə almaqla əldə edə bilərik. Deməli, d x d y d i j k r. (7) İndii (5) bərabərliyinin sağ tərəfində mötəriəyə alınmış üçüncü ifadəni araşdıraq. 16
Məlumdur ki, i, j və k i modulca sabit (vahidə d i bərabər) vektorlardır. törəməsi isə tərpənən sistemin O qütbü ətrafında fırlanmasında i vahid vektorunun sonunun aldığı sürətdir. Onda, deyilənləri j və k vahid vektorlarına da aid edib yaa bilərik: d i d j d k, j, k e i e e. (8) Deməli d x d i d y d j d d k d x ( e i ) d y d ( j), ( k e e ) dx dy d e i j k. (9) ()- ni (9)- da yerinə yaaq: d x d i d y d j d d k e r. (10) (6), (7) və (10) ifadələrini (5)-də nəərə alaraq taparıq: İşarə edək: a ( ). (11) e r e r ( ). (1) e r k Nəticədə alarıq: 17
a. (13) e r k Teorem isbat olundu. Koriolis təcilinin modulu k sin(, ). (14) e r e r Koriolis təcili bu hallarda sıfra bərabər olar: 1) Tərpənən sistem irəliləmə hərəkəti etdikdə. Bu halda 0 olduğundan k 0 alınar; ) e və r vektorları bir-birinə paralel olduqda. Bu halda sin(, ) 0 olduğuna görə e r k 0 olar. Koriolis təcilinin istiqamətini təyin etmək üçün əvvəlcə vektorunu öünə paralel olaraq baxılan nöqtəyə köçürürük. e k vektoru e və r vektorları yerləşən müstəviyə perpendikulyar olaraq elə yönəlir ki, onun ucundan baxdıqda e vektorunun r vektorunun üərinə düşənədək qısa yolla (kiçik bucaqla) dönməsi saat əqrəbi hərəkətinin əksi istiqamətində baş versin. e 18