ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecńia mediului BAREM DE CORECTARE CLASA a IX-a. a) Dacă, y, z reprezită umărul de cutii de câte 6, 9, respectiv 0 bucăńi trebuie să avem: 6+ 9y+ 0z= 33...p Este ecesar ca z { 0,}...p Di z= 0 + 3y= (, y) (,3 );( 4,)...p { } Di z= 6+ 9y = 3 (Fals)...p b) Dacă 6 9y 0z 43 z { 0,, } z= 0 6+ 9y= 43( fals) Di 6 9 3( fals) z= + y= z= + 3y= ( fals). S a a a... a 5 ( a a ) + + =...p 3 0 0...p = + + + + = +...p 8 a 0 = + 9r...p r VARIANTA 36 4 S= 5 9r+ = 45 r+ r r...p S= 45 r + 4...p r S mi = 80, petru r=...p Rezultă: 9,, 3, 5, 7, 9,, 3, 5, 7...p VARIANTA 4 4 S= 45 + r 45 r = 80 (iegalitatea mediilor)...p r r S mi = 80 petru r=...p Rezultă: 9,, 3, 5, 7, 9,, 3, 5, 7...p 3. VARIANTA Ridicăm la pătrat ecuańiile sistemului, apoi le aduăm membru cu membru şi + y + z 4 y+ yz+ z + 4 + y + z =...3p obńiem: ( ) ( ) Avem 5 ( + y + z ) 4 ( y+ yz+ z) = ( ) Dar : + y + z y + yz + z( )...p NOTĂ Orice altă rezolvare corectă va fi puctată corespuzător.
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecńia mediului Di ( ) şi ( ) ( y z ) ( y yz z) ( y z ) 5 + + = + 4 + + + 4 + + + y + z...p VARIANTA y= a y z = b / z = c / 4 = + +...p 7 ( a b 4c) y= a / 4 y z= b y= 4 + + 7 z = c / y= a / y z = b / 4 z = a + 4b + c 7 z = c ( a b c) ( ) ( ab bc ca)...p...p + y + z = + 8 + + 49...p Cum: ab+ bc+ ca a + b + c = + y + z...p 4. a) AM = b AB = bc; AN = c AC = bc...p b) MD= MA+ AD= b AB+ b AB+ c AC= c AC= AN......p MD= AN ( MD) ( AN) şi MD AN, de ude AMDN paralelogram...p c) AMDN paralelogram şi ( AM) ( AN) AMDN este romb...p Rezultă (AD bisectoarea BAC...p NOTĂ Orice altă rezolvare corectă va fi puctată corespuzător.
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Profil real, specializarea ştiińele aturii BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Avem că 3b = a ab, pri urmare 0a + ab - 3b = 0... 3p Rezultă că (5a + 3b)(a - b) = 0; cum 5a + 3b 0, îtrucât a, b sut cifre şi a 0, p obńiem că b = a... Numere căutate sut, 4, 36 şi 48... p. Cateta AB, opusă ughiului C de măsură 30 0, este egală cu jumătate di ipoteuză, deci AB AE BA =. Di teorema bisectoarei, obńiem că = = 4p BC EC BC... AE CD BP 3 Astfel, = = şi cocureńa dreptelor CP, AD şi BE EC DB PA 3 urmează coform reciprocei teoremei lui Ceva.... 3p 3. Notăm cu AB şi CD îălńimile celor doi brazi şi cu I pozińia iepurelui. Di triughiurile dreptughice BAI şi CDI, obńiem că AI = m, iar CI = 0 m.... Dacă AS =, IS = h, di triughiurile dreptughice SAI şi SCI găsim că + h = 44, respectiv (3 - ) + h = 400. Scăzâd membru 05 5 cu membru, deducem că = m, apoi h= 9,38m... 3 3 4p 4. Notăm cu umărul umerelor, rămase şi cu y umărul umerelor, rămase; atuci, +, y= 9,93, adică 0 + y = 993. Urmărid ultima cifră, deducem că y se termiă î 3... 3p Pe de altă parte y 0, pri urmare y { 3,3}. Verificâd, reńiem doar valoarea y = 3, câd = 5. Astfel Lucică cel obrazic a şters 5 de, şi 7 de,, î total de umere... 4p 3p
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. a) Corespuzător rańiei egale cu,, 3, 4 vom avea 8 + 6 + 4 + = 0 progresii aritmetice... 4 p (Cate puct petru umărul de progresii corespuzător fiecărei rańii) b) Vom găsi progresiile (,,4), (,4,8), (,3,9)...3 p (Cate puct petru fiecare progresie găsita). L+ l a) Avem Ll si maimul produsului se atige câd avem L = l...4 p b) Utilizâd iegalitatea ll l + L = 4R avem atis maimul câd L = l...3 p 3. a) Doua eemple sut : (, 0); (3, )...4 p b) Se verifica uşor că ( ) a b ) (ab (a b ) + = =... 3 p 4. Notează cu umărul iińial de bâre... p Fie t, t,...,t umărul de tăieturi ale bârelor,, 3,...,... p După k tăieturi ale uei bâre se obńi (k+) bucăńi... p t+ t +... + t = 50 Avem... p (t+ ) + (t + ) +... + (t + ) = 00 Di 50+ = 00 = 500... p
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera teoretică, profil umaist BAREM DE CORECTARE CLASA A IX-A. a) Î relańia di euń facem f ( ) + 3f () = +....... p f () + 3f ( ) = Rezolvă sistemul şi obńie f () = +... p f ( ) + 3f () = + b) Reprezetarea grafică... p Aria triughiului determiat de graficul fucńiei si cele doua ae este.... p 4 Valoarea tagetei este... p 5 DistaŃa de la origiea aelor la reprezetarea grafică a fucńiei f este... p 5. a) Elimiâd umitorii se obńie α+αβ β+βα α β care este adevărată... 3p a b+ c b) Îlocuid α= a şi β= b+ c î relańia de la pct.a) obńiem... p + a + b+ c b+ c b c Demostrează că +... p + b+ c + b + c a b c Di cele două iegalităńi obńie +... p + a + b + c 3. a) Discrimiatul primei ecuańii este = 4 ( m 9) Discrimiatul celei de-a doua ecuańii este 8 ( 9 m ) = = de ude m=± 3 A= { 3 } sau A { 3}... p =...... p Observă că 0 0 = ±... p Dacă > 0 < 0 sau < 0 > 0deci mulńimea A are două elemete... p ( 4+ 009) 40 b) S= 4+ 9+ 4 +... + 009 S= S= 40463...p 005-5 :0+ = 0 umere... p Numerele căutate sut 5, 5, 5,..., 005 adică ( ) Calculează probabilitatea 0 P=... p 0
4. CONCURSUL NAłIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera teoretică, profil umaist a) Notăm = preńul de la primul magazi, deci la cel de-al doilea preńul va fi 0 00..p 90 0 99 PreŃul la cel de-al treilea magazi va fi = p 00 00 00 Deci preńul cel mai mic este la cel de-al treilea magazi... p b)volumul cubului iińial este 8 3 cm 3 iar a uui cub obńiut după secńioare este 8 3 : 3 = 64... p Numărul de cuburi obńiute după secńioare este 8 3 : 3 = 64.p Sut 64 6=384 feńe di care 6 6=96 sut vopsite, deci 88 de feńe sut evopsite. p 88 60 Catitatea de vopsea ecesară este de = 480g p 96
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecńia mediului BAREM DE CORECTARE CLASA a X-a. Fie, y, z umărul jetoaelor pe care sut scrise umerele 5, 7, respectiv. a) 5+ 7y+ z 3,, y, z N umărul 3 u este orocos...p b) 4= 7;5= 3 5;6= 5+ ;7 = 5+ 7;8= 7+ 4, 5, 6, 7, 8 sut umere orocoase...p 4 - orocos 9 - orocos 9= 5+ 7 ( ) 5 - orocos 0 - orocos ( 0= 4 5 ) c) 6 - orocos - orocos ( = 5+ ) 7 - orocos - orocos ( =3 5+ 7 ) 8 - orocos 3 - orocos ( 3= 5+ 7+ ) Aşadar di -orocos, deducem că şi ( + 5) este orocos şi apoi, p di aproape î aproape (iductiv), rezultă că orice umăr atural 4 este orocos...p. Primul membru al egalităńii este ( ) log A abc...p α ( ab) = A α loga( ab) = = loga( ab)...p α β ( bc) = A β loga( bc) = = loga( bc)...p β γ ( ac) = A γ loga( ac) = = loga( ac)...p γ Aduâd aceste egalităńi membru cu membru, obńiem: + + = log A ( abc)...p α β γ 3. a) 7 > 0. Cu 0, otăm = t...p t + t 7< 0 şi t 0 implică t 0, )...p Di t 0, ) 0,9 4 )...p NOTĂ Orice altă rezolvare corectă va fi puctată corespuzător.
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecńia mediului 0,9 4 Z ) b) { 0,,,3}...p ( 0 ) log 7, ( ) log 4, ( ) log 3 3 3 ( 5 ) f = f = f = Z...p ( ) ( ) ( ) f 3 3 3 = log 4 3 = log 3 = Z Puctul A( ) 3, Gf...p 4. a) Pri ridicare la pătrat iegalitatea de demostrat este echivaletă cu: + cos 4 cos (adevărat)...3p b) +...p ObŃiem ( ) 0 = 0...3p NOTĂ Orice altă rezolvare corectă va fi puctată corespuzător.
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Profil real, specializarea ştiińele aturii BAREM DE CORECTARE CLASA A X A. a) Impuem codińiile 0, 0, 0 şi + 0; obńiem că b) E( ) 0,,... ( ) ( ) ( )( + ) + = = p... 3p c) Cum 0, 0,,, se impue codińia < 0. ObŃiem soluńia 0,....... p. Observăm că lg(tg 0 ) + lg(tg89 0 ) = lg(tg 0 tg89 0 ) = lg(tg 0 ctg 0 ) = lg = 0... 4p Grupâd câte doi termeii egal depărtańi de capete şi procedâd aalog, obńiem 44 de perechi cu suma 0. Rămâe î mijloc termeul lg(tg45 0 ) = lg = 0. Î cocluzie, S = 0... 3p 3. 3 3 a) De eemplu z=,z = + i,z3= i... 4p b) ( ) w+ w + w3 = w+ w + w3+ ww + ww3+ w w3... p ( ) w+ w + w3 = ww w 3 + + w w w 3 w + w + w = w w w w + w + w 3 3 3 w + w + w = w + w + w = w + w + w w + w + w = 3 3 3 3 (Am folosit w+ w + w3 0)... p 4. Colorăm alterativ cu alb şi egru cele şase sectoare de disc. IiŃial, trei ditre pioi sut pe egru şi trei sut pe alb. La o mutare, doi ditre pioi îşi schimbă culoarea sectorului pe care se află... 3p Î urma uei mutări, rămâ u umăr impar de pioi pe egru şi u umăr impar de pioi pe alb. Rezultă astfel că u este posibil să aduăm tońi cei şase pioi pe o aceeaşi culoare.... 4p
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A X A. a) ObŃie a+ b= log38= 4... 4 p b) Deoarece 3 00> 4; 3 9< 3 rezulta a> 0... p a+ b Utilizam iegalitatea mediilor ab = a b 4... p. a) Petru a = ; b = rezulta w H... 3 p b) Petru z= a+ bε ; z = a + bε obńiem z z = (a a b b ) + (a b + a b b b ) ε Z... p c) ObŃie Apoi 3. a+ b ε = a ab+ b =... p (a b) + 3b = 4 care implica b {,0,}... p. a) Aduce ecuańia la forma + = +... p Fializare =... p π 3π 3 b) Dacă [0, ), π] ecuańia este si = π 3π Daca, ecuańia este 3 si =... p π 4π π 5π,,, 3 3 3 3... p c) ObŃie f : R R;f () =... p + Demostrează pri iducńie formula... p 4. a) ObŃie d 6 = 9... 3 p b) Adăugâd u vârf ître doua vârfuri ale uui poligo cove cu laturi vom putea avea i plus, fańa de d, + ( - ) diagoale... p c) Pri iducńie demostrează formula... p
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera teoretică, profil umaist BAREM DE CORECTARE CLASA A X-A. a+ b ab a+ b a) Di iegalitatea mediilor... p + a+ b 4 a b ab a+ b bc b c ca c a b) Di puctul a) avem şi aalog +, +. p a+ b 4 b+ c 4 c+ a 4 ab bc ca a+ b+ c Aduâd relańiile obtiem + +..... p a+ b b+ c c+ a Egalitatea are loc dacă a = b = c p c) Notează = a,3 = b,5 = c..... p ab bc ca a+ b+ c ObŃiem + + =.. p a+ b b+ c c+ a Folosid a) obńiem a = b = c, deci = 3 = 5 = 0.. p. a) Notăm ( ) log m= a f () = a + a + + a... p ObŃiem codińiile 0 4a 0 a,-, + a, + a 0 a 0... p > > a > 0 Di a, log m, m + +, + )... p b) Puem codińiile, y > 0 şi otează y= a, y = b... p Sistemul devie a - b= 30 a= 50 y= 50 y= 500 = 5... p a + b = 900 b= 0 y = 0 y = 400 y= 4
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera teoretică, profil umaist 3. a)etapa verificării... p P k P k+... p Etapa demostrańiei ( ) ( ) b) S= + + 4 + 5 + 7 +... + 44... p S= + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +... + 44 3 + 6 + 9 +... + 4... p ( ) ( ) ( ) ( ) S= + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +... + 44 3 + + 3 +... + 7 S= 80... p 4. a) Se observă ca diametrele pieselor sut dimesiuile uui triughi dreptughic... p Pri urmare, greutatea piesei mai mari este echivaletă cu suma greutăńilor celorlalte două piese... p Bijutierul taie fiecare piesă î jumătate, formează câte o jumatate di cercul mic cu o jumătate di cercul mijlociu, iar jumătăńile cercului mare formează celelalte două părńi... p b) Îcepâd cu al doilea pătrat se formează o progresie aritmetică cu rańia 8 (plăci)... p Petru cel de-al -lea pătrat Remus are evoie de ( ) 8= 80 plăci... p Doru a pus 8 + 8 3+ 8 5 +... + 8 9= 800 plăci... p
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecńia mediului BAREM DE CORECTARE CLASA a XI-a a b c d det A 3I = ad bc 3 a+ d + 9...p. Fie A= M ( R ) ( ) ( ) ( A I) ad bc ( a d) ad bc 3( a+ d) = 5 ad bc+ ( a+ d) = 5 det + = + + + 4...p a+ d = ObŃiem...p ad bc= a + bc ab+ bd A =...p ac+ cd bc+ d a + bc= a + ad = a( a+ d) = a ab+ bd = b( a+ d) = b...p ac+ cd = c( a+ d) = c bc+ d = ad+ d = d( a+ d) = d a b a b 0 A = = = A I c d c d 0...p. Determiatul are + egale cu α şi cel elemete, ditre care ( ) mult ( ) elemete diferite de α...3p Eistă două liii(coloae) pe care toate elemetele sut egale cu α...p liii(coloae) cu măcar u elemet Î caz cotrar ar eista cel puńi ( ) diferit de α şi deci cel puńi ( ) elemete diferite de α (fals)...p 3. f 0 0 = lim =...p ր0 a) ( ) f ( 0+ 0) = lim = 0...p ց0 NOTĂ Orice altă rezolvare corectă va fi puctată corespuzător.
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecńia mediului f ( 0) = lim =...p ր f ( + 0) = lim =...p ց b) lime = 0 e = 0, petru suficiet de mare l = 0...p e < e e...p Rezultă: e < e e, de ude, trecâd la limită şi Ńiâd cot de teorema cleştelui, obńiem l =...p 4. Reducere la absurd...,,,...p Petru suficiet de mare avem: ( ) ( ) P Q = +...p + lim =...p P( ) ObŃiem: lim =...p Q( ) Deducem : grad P= + grad Q şi a0 = b0...p P( ) Rezultă : lim =...p Q Cum ( ) + lim =, se obńie cotradicńie...p NOTĂ Orice altă rezolvare corectă va fi puctată corespuzător.
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Profil real, specializarea ştiińele aturii BAREM DE CORECTARE CLASA A XI A. a) Dacă deta 0, atuci A este iversabilă î M (Q). Presupuâd că f(x ) =. f(x ), ude X, X M, (Z), rezultă că AX = AX, de ude A - AX = A - AX, deci X = X, ceea ce justifică ijectivitatea fucńiei f... b) Câd det A {-, }, iversa A - a matricei A are tot elemete îtregi. Petru orice Y M, (Z), ecuańia f(x) = Y are uica soluńie X = A - Y M, (Z), pri urmare f este bijectivă.... t a) ( ) ( ) t ( ) ( ) t t t t t t B = A A = A A = A A = A A = B... 3p b) Cum det B = det B t, avem că det B = det (-B t ) = (-) 3 det B t = - det B. Rezultă că detb = 0, deci det B = 0... 4p + 3. Observăm că S = = i + i= 4 3 4, pri urmare lims =... 3 4p Apoi, P = ( + ) = i ( + ) i= 0 şi atuci lim P = +... 3p 4. + ( + ) ( ) a) Avem că a a = + =. Cum + + (+) > (-) * *, N, rezultă că a + a > 0, N, deci şirul a este strict crescător... 3p ( ) * N b) Observăm că a >. = Cosiderâd, de eemplu, = 400, 400 obńiem că a > = 00... p 400 c) Cum a >, rezultă că lima =+, pri urmare şirul dat este diverget... p 4p 3p
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A XI A. a) det(a) = 0 deci matricea A u este iversabilă... p b) Răspusul este afirmativ, traspusa obńiâdu-se i urma operańiilor de aduare de 4 ori asupra liiei si de doua ori asupra liiei. urmate de operańiile de scădere de 4 ori asupra coloaei si de ori asupra coloaei... 5 p (se pot acorda pucte itermediare petru operańii corect efectuate). a) A = =... 3 p + 3 b) Calculează = + + + = ( ) 3 + (+ ) + 3 iar aria va fie gala cu idepedeta de... 4 p 3. si si ( + + ) a) Calculează lim = lim =... 3 p 0 + 0 si + si +... + si 00 b) Calculează lim =... = + 4+ 6 +... + 400 = 0 + = 00 0... 4 p 4. m cos m m cos a) Aduce limita la forma lim + cos 0... p Fializare : L(m) =, m R... p + m e b) Utilizâd m + m m+ m obńiem L(m ) L(m ) = = L(m m m m m + m ) m,m R... 3 p + + + + e e e e e
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera teoretică, profil umaist BAREM DE CORECTARE A XI-A. Fie T=totalul elevilor, A=mulŃimea participańilor la cercul de matematică şi B= mulńimea participańilor la cercul de iformatică. 7 9 A = 70%T= T, B = 45%T= T...p 0 0 A B = A + B A B...p 7 9 3 3 T= T+ T 4 T= T 4 T= 4...3p 0 0 0 0 Fializare T= 80 elevi...p. a) Calculează media clasei a X-a A: 5 + 6 5+ 7 5+ 8 5+ 9 5+ 0 m= = 7,50...,5p + 5+ 5+ 5+ 5+ Calculează media clasei a X-a B: 4 + 5 + 6 4+ 7 + 8 7+ 9 8+ 0 6 m = = 8...,5p + + 4+ + 7+ 8+ 6 Deci clasa a X-a B este mai buă. b) Calculăm dispersiile celor două serii. Clasa a X-a A: Nota 5 6 7 8 9 0 Abaterea i m,50,50 0,50 0,50,50,50 Dispersia: ( ) i m pi i= σ = = p i= i 6,5 +,5 5+ 0,5 5+ 0,5 5+,5 5+ 6,5 = =,08...p. + 5+ 5+ 5+ 5+ Clasa a X-a B: Nota 4 5 6 7 8 9 0 Abaterea i m 4 3 0 Dispersia:
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera teoretică, profil umaist ( ) i m pi i= σ = = p i= i 6 + 9 + 4 4+ + 0 7+ 8+ 4 6 =,8...p + + 4+ + 7+ 8+ 6 Pri urmare clasa a X-a A este mai omogeă. 3. a) Nr. Noduri=0, Nr.circuite elemetare=6, Nr. muchii=5...3p b) Presupuem pri reducere la absurd cotrariul. Atuci Nr. Noduri=5, Nr. Muchii= C 5 = 0, deci îlocuid î formula de mai sus obńiem Nr. Circuite elemetare=6....p Fie A,B,C,D patru ditre cele cici vârfuri ale grafului. Dacă al cicilea vârf E se află î eteriorul tetraedrului ABCD obńiem 0 circuite elemetare. La fel dacă E se află î eteriorul tetraedrului ABCD. Dacă E se află pe o fańă a tetraedrului obńiem 9 circuite elemetare. Deci presupuerea făcută este falsă... p 4. Media s-a obńiut împărńid suma otelor la 50. Deci suma otelor obńiute este N= 50 5,0= 5...4p Adăugâd câte u puct petru fiecare lucrare suma otelor devie 5 + 50 = 30...p Deci media corectă este 30 : 50 = 6,0...p
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecńia mediului BAREM DE CORECTARE CLASA a XII-a. a) Dem. asociativitatea şi comutativitatea...p Determiă elemetul eutru e= 0 G...p Determiă elemetul simetric elemetului G este = G...p + b)... = ( + ), N...p ( ) ori + = = G...p = a = + + = c) ( )( ) ( ) y = b Dacă H y y ab H...p a = a H = = = H + a a...p. a) t = dt du u = u şi verifică egalitatea...p π b) Di a) arctg t = arctg t arctg + arctg =, > 0...p arctg a t c) = I( a ) dt t =...p a t a π I( a) = arctg t dt...p at π a π I( a) = lt I( a) I( a) = la...p a 3. a) ( 4 3 6 + 8 3 ) :( + ) dă câtul ( 4 ) Aşadar: 4 3 6 8 3 ( )( ) ( ) şi restul ( ). + = + +...p I = d+ d 0...p 0 3 ( + ) ( + ) NOTĂ Orice altă rezolvare corectă va fi puctată corespuzător.
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecńia mediului I I ( + ) 0 = d= =...p + 3 4 = d= = 9 ( + ) ( + ) 0 3 0 6 I = I+ I =...p 9 + + I = e d+ e d...p + + + I( ) = e d + e d e d...p b) ( ) ( ) + I = e + C...p VARIANTĂ (petru puctul b) + + + e = + + e...p Epresia de mai sus este e +...p Deci ( ) + 0 I = e + C...p. 4. Elevul poate colora toate puctele de coordoate îtregi situate pe dreptele de ecuańii: = 0, =, y= 0, y =...3p Cosiderâd puctele M ( k,0) şi ( ) k Nk k,, k Z elevul poate colora toate puctele de ordoată îtreagă de pe dreptele de ecuańii = k, k Z...4p NOTĂ Orice altă rezolvare corectă va fi puctată corespuzător.
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Profil real, specializarea ştiińele aturii BAREM DE CORECTARE CLASA A XII A. a) F' ( ) = l + + + = + = + l + + = f ( ), ( 0, )... 4p e e F ( ) e b) f( ) F( ) d= F( ) F' ( ) d = = ( e+ ) = ( l ( + e) ) ( l )... e 3p. a) Verificarea aiomelor... 4p b) Petru orice elemet eul al lui Z Z, avem că ( 0,0) + = ɵɵ, î timp ce doar uul ditre elemetele eule ale lui Z 4 are această proprietate (aume ɵ ). Rezultă că cele două grupuri u sut izomorfe... 3. ( A,E,C ) :( R,+)... ( A,E,C ) :( S, )... ( A,E,C ) :(,*), ( ) Z ude *y = 5y + 5 +5y + 4... A,E,C :( M (R),*), ude A * B = AB + BA... * ( ) ( + ) ( ) ( ) + y A,E,C : R,*, ude * y=... A,E,C : M,*, ude M = {a, b, c, d}, iar tabla operańiei * este 3p p p p p p * a b c d a a b c d b b d d d c c c c c d d b b b... p ( A,E,C ) :( M,* ), ude M este mulńimea cuvitelor cu opt litere alese ditr-u alfabet cu litere, iar petru = a a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 şi y = b b b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8, defiim * y = a a a 3 a 4 a 5 b 6 b 7 b 8... Orice altă rezolvare se puctează corespuzător. p
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Profil real, specializarea ştiińele aturii 4. Cu schimbarea de variabilă = t, obńiem că 9 l 3 l t 3 l t d= tdt + 3 = 4 dt t t + 3... 3p t + 3 ( ) ( ) Făcâd schimbările de variabilă t= şi apoi 3s = y, avem că s 3 l t ls 3 l y l3 3 I= dt= ds= dy= I+ l 3 dy t + 3 3s + y + 3 y + 3, 3 l3 y 3 l3 πl3 pri urmare I= arctg = arctg 3 arctg. = 3 3 3 3 6 3 πl3 Î cocluzie, valoarea itegralei di euń este... 4p 3 3
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera tehologică : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A XII A. a) Verificare... 3 p 3 b) ObŃie + l( ) + l(+ ) + C... 4 p 4 4. a) Di codińia f () = ls = ld obńie a =... 3 p + 3+ C,< b) ObŃie primitivele de forma F()=... 3 p 3 + + + C ; 3 ObŃie C = C+... p 3 3. 3 4 5 a)eemplu (G, ) ude G = {e,a,a,a,a } cu a = e... p Verificarea aiomelor... p 3 4 5 b) y G \{e} implica y, y, y, y, y sut disticte... p G-parte stabila implica 3 4 5 y, y, y, y, y G deci G= { y, y, y 3, y 4, y 5 }... p 4. 0 0 a) ObŃie A = 0 0 0 0... p 3 ObŃie A = I 3... p 7 3 A = (A ) A= A... p b) G = {I 3,A,A }... p verifica aiomele grupului (cate 0.5 pucte petru fiecare aioma)... p
ETAPA JUDEłEANĂ - 3 martie 00 Filiera teoretică, profil umaist. a) Graful asociat matricei este BAREM DE CORECTARE CLASA A XII-A...3p b) Calculăm puterile matricei A şi avem: 0 0 0 0 0 A 3 3 0 3 =, respectiv A =...3p 0 0 0 0 0 Aşadar avem drumuri de lugime trei...p a b t. a) A a b a + a + a3 ab+ a b+ a3b 3 = şi B=...p a3 b ab+ a b+ a3b3 b + b+ b3 3 4 8 B= 8 56...p det B = a + a + a b + b + b a b + a b + a b = b) ( ) ( )( ) ( ) 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) = ab a b + ab3 a3b + a b3 a3b 0 (Lagrage)... 4p 3. a,5 ideala a 675= a=± 6...3p a) ( ) b) Petru (a, b), (c, d) ideale avem ac + 3bd, ab + bc Z....p şi ( ) ( ) ( )( ) ac+ 3bd 3 ad+ bc = a 3b c 3d =, deci ( a, b) ( c,d) 4. Fie a b= ab a b+ 6= ( a )( b ), ideală...3p +... p Legea " " este asociativă şi comutativă... p a =, a R... p Dup 99 de paşi avem... 00=... p