Introducere. ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala. Vectori liberi - produsul vectorial. Vectori liberi - produsul scalar

Introducere Introducere ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala asist.dr. Ana Nistor Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Universitatea Tehnică Gh. Asachi din Iaşi Cursurile 1-6 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 1 / 88 Bibliografie: V. Balan, C. Frigioiu, M. Roman, Geometrie Analitica, Geometrie Diferentiala si Elemente de Algebra Tensoriala. C. Deliu, Analiza matematica, algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala - pentru studenti in invatamantul superior tehnic, 2014 P. Georgescu, G. Popa, Geometrie vectoriala, analitica si diferentiala - Probleme propuse 2009. A.I. Lazu, Algebra si geometrie - Culegere de probleme http://math.etc.tuiasi.ro/apletea/seminarii.html Cuprins: - Vectori liberi - recapitulare I Planul si dreapta in spatiu II Conice III Cuadrice IV Curbe V Suprafete ainistor at tuiasi punct ro A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 2 / 88 Vectori liberi - recapitulare Vectori liberi - produsul scalar S.n. produs scalar pe spatiul vectorilor liberi aplicatia ū v cos (ū, v), daca ū, v 0,, : V 3 V 3 R, ū, v = 0, daca ū = 0 sau v = 0 Fie ū = (u 1, u 2, u 3 ) }} coord. eucl. = expr.analitica }} u 1 ī + u 2 j + u 3 k si v = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 ī + v 2 j + v 3 k. Atunci, expr. analitica a p.s. este ū, v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. ū = ū, ū ū v d.n.d ū, v = 0 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 3 / 88 Vectori liberi - recapitulare Vectori liberi - produsul vectorial S.n. produs vectorial pe spatiul vectorilor liberi aplicatia : V 3 V 3 V 3, ū v = ū v sin (ū, v)ē unde ē este versorul(lungimea=1) perpendicular pe pl. det. de cei doi vectori si orientat dupa regula burghiului(sensul de inaintare a unui burghiu cand ū se roteste catre v formand un unghi minim. expr.analitica }} Fie ū = (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 ī + u 2 j + u 3 k si v = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 ī + v 2 j + v 3 k. }} coord. eucl. ī j k Atunci, expr. analitica a p.v. este ū v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. ū v = 0 daca ū = 0, v = 0 sau ū si v sunt coliniari. ( 0 este vectorul nul!) aria paralelogramului constr. pe ū si v este ū v. aria triunghiului constr. pe ū si v este 1 2 ū v. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 4 / 88

Vectori liberi - recapitulare Vectori liberi - produsul mixt S.n. produsul mixt al vectorilor ū, v, w aplicatia (,, ) : V 3 V 3 V 3 R, (ū, v, w) = ū, v w expr.analitica }} Fie ū = (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 ī + u 2 j + u 3 k, v = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 ī + v 2 j + v 3 k si }} coord. eucl. w = (w 1, w 2, w 3 ) = w 1 ī + w 2 j + w 3 k. u 1 u 2 u 3 Atunci, expr. analitica a produsului mixt este (ū, v, w) = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3. (ū, v, w) = 0 daca cel putin unul dintre vectori este zero sau daca vectorii sunt coplanari. volumul paralelipipedului det. de ū, v, w este: (ū, v, w) 1 volumul tetraedrului det. de ū, v, w este: 6 (ū, v, w) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 5 / 88 Vectori liberi - recapitulare Distanta dintre doua puncte Fie reperul ortonormat R(O; ī, j, k) si punctele A(x 1, y 1, z 1 ), B(x 2, y 2, z 2 ) si C(x 3, y 3, z 3 ). Distanta dintre A si B este: dist(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Coordonatele unui punct M care imparte segmentul AB intr-un raport k R \ 1}, AM = kmb,sunt: x M = x 1 + kx 2 1 + k, y M = y 1 + ky 2 1 + k, z M = z 1 + kz 2 1 + k. ( x1 + x 2 Mijlocul segmentului AB este M, y 1 + y 2, z 1 + z 2 2 2 2 Centrul de greutate al triunghiului ABC este: ( x1 + x 2 + x 3 G, y 1 + y 2 + y 3, z 1 + z 2 + z 3 3 3 3 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 6 / 88 ). ). Sect.1 Planul Sect.1 Planul 1.1 Ecuatiile planului Cap.I Planul si dreapta in spatiu Sect.1 Planul Fie reperul ortonormat R(O; ī, j, k) si notam (P) un plan in spatiul tridimensional. S.n. vector normal la planul (P) un vector nenul N a carui dreapta suport este perpendiculara pe planul (P). S.n. vectori directori ai planului (P) doi vectori necoliniari ū si v ale caror drepte suport sunt paralele cu planul (P). Geometric, un plan poate fi unic determinat astfel: i) un punct al planului si un vector normal la plan ii) un punct al planului si doi vectori necoliniari din plan iii) trei puncte necoliniare A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 7 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 8 / 88

Sect.1 Planul Sect.1 Planul i) Planul det. de un punct si un vector normal Fie M 0 (x 0, y 0, z 0 ) (P) si N = Aī + B j + C k normala, vector nenul, deci A, B, C nu toti zero simultan, adica A 2 + B 2 + C 2 > 0. Un pct generic M(x, y, z) (P) d.n.d. M 0 M N d.n.d. M 0 M, N = 0. Folosind M 0 M = (x x 0 )ī + (y y 0 ) j + (z z 0 ) k, produsul scalar devine: (x x 0 )A + (y y 0 )B + (z z 0 )C = 0 (1) care s.n. ecuatia normala a planului. Echivalent, (1) devine: Ax + By + Cz + ( Ax 0 By 0 Cz 0 ) = 0, adica }} not. D care s.n. ecuatia generala a planului. Ex.1 Ax + By + Cz + D = 0 (2) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 9 / 88 ii) Planul det. de un punct si doi vectori directori Fie M 0 (x 0, y 0, z 0 ) (P) si v 1 = l 1 ī + m 1 j + n 1 k, v 2 = l 2 ī + m 2 j + n 2 k (P) doi vectori directori, deci necoliniari, v 1 v 2 0. Un pct generic M(x, y, z) (P) d.n.d. M 0 M, v 1, v 2 sunt coplanari d.n.d. (M 0 M, v 1, v 2 ) = 0. Folosind expresia analitica a produsului mixt, obtinem: x x 0 y y 0 z z 0 l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 = 0 (3) care s.n. ecuatia unui plan det. de un pct. si doi vectori directori. Ex.2 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 10 / 88 Sect.1 Planul Sect.1 Planul iii) Planul det. de trei puncte necoliniare Fie M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3, y 3, z 3 ) (P) necoliniare Un pct generic M(x, y, z) (P) d.n.d. M 1 M, M 1 M 2, M 1 M 3 sunt coplanari, d.n.d. (M 1 M, M 1 M 2, M 1 M 3 ) = 0. Folosind expresia analitica a produsului mixt, obtinem: x x 1 y y 1 z z 1 x y z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0 x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 = 0 (4) x 3 y 3 z 3 1 care s.n. ecuatia unui plan det. de trei puncte necoliniare. In particular, fie M 1 (a, 0, 0), M 2 (0, b, 0) si M 3 (0, 0, c) intersectiile lui (P) cu axele de coord. Atunci, obtinem ecuatia planului prin taieturi: Ex.3 Ex.4 x a + y b + z c 1 = 0 (5) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 11 / 88 1.2 Plane particulare Ecuatia planului xoy: z = 0 Ec. unui plan paralel cu xoy: z = z 0 Ecuatia planului xoz: y = 0 Ec. unui plan paralel cu xoz: y = y 0 Ecuatia planului yoz: x = 0 Ec. unui plan paralel cu yoz: x = x 0 Ec. unui plan paralel cu Oz: Ax + By + D = 0 Ec. unui plan paralel cu Oy: Ax + Cz + D = 0 Ec. unui plan paralel cu Ox: By + Cz + D = 0 Ec. unui plan care contine originea O(0, 0, 0): Ax + By + Cz = 0 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 12 / 88

Sect.1 Planul Sect.1 Planul 1.3 Pozitia relativa a doua plane Fie (P 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 (P 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Notam( ) A1 B M = 1 C 1 matricea sist format din ec. planelor A 2 B 2 C ( 2 ) A1 B M = 1 C 1 D 1 matricea extinsa A 2 B 2 C 2 D 2 deoarece rangm < 3 sist nu poate fi compat.det.(sol. unica) - deci 2 plane nu se pot intersecta intr-un pct. rangm = 1 si rangm = 1: sist are o infinit de sol. - planele coincid. Altfel spus: A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 = D 1 D 2 rangm = 1 si rangm = 2: sist. incompat. - planele sunt paralele, nu au nici un pct. comun. Altfel spus: A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 D 1 D 2 rangm = 2 atunci si rangm = 2: sist are o infinit de sol, fara ca planele sa coincida - planele se intersecteaza dupa o dreapta. Ex.5 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 13 / 88 1.4 Unghiul a doua plane Fie (P 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 cu normala N 1 (P 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 cu normala N 2 Unghiul α := ((P 1 ), (P 2 )) a doua plane este definit de unghiul format de normalele la cele doua plane. cos α = N 1, N 2 N 1 N 2 Doua plane sunt perpendiculare (P 1 ) (P 2 ) d.n.d. normalele lor sunt perpendiculare N 1 N 2, adica N 1, N 2 = 0, A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. Ex.6 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 14 / 88 (6) Sect.1 Planul 1.5 Distanta de la un punct la un plan Fie M 0 (x 0, y 0, z 0 ) si (P) : Ax + By + Cz + D = 0 Distanta de la M 0 / (P) la (P) este data de: dist(m 0, (P)) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B 2 + C 2 (7) Cap.I Planul si dreapta in spatiu si reprezinta lungimea vectorului M 0 M, unde M este proiectia punctului M 0 pe planul (P). A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 15 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 16 / 88

2.1 Ecuatiile dreptei in spatiu Fie reperul ortonormat R(O; ī, j, k) si notam (d) o dreapta in spatiul tridimensional. S.n. vector director al dreptei (d) vectorul nenul v = lī + m j + n k a carui dreapta suport este paralela cu dreapta (d). l, m, n R s.n. parametrii directori ai lui (d). Notam v 0 = 1 v v versorul director al lui (d). Geometric, o dreapta poate fi unic determinata astfel: i) un punct si un vector director nenul ii) doua puncte distincte iii) intersectia a 2 plane A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 17 / 88 i) Dreapta det. de un pct si un vector director nenul Fie M 0 (x 0, y 0, z 0 ) (d) si v = lī + m j + n k un vector director al lui (d) Un pct generic M(x, y, z) (d) d.n.d. M 0 M, v coliniari d.n.d. λ R a.i. M 0 M = λ v. Folosind M 0 M = (x x 0 )ī + (y y 0 ) j + (z z 0 ) k, egalitatea precedenta devine: x = x 0 + λl y = y 0 + λm z = z 0 + λn care s.n. ecuatiile parametrice ale dreptei (d). Echivalent, x x 0 l care s.n.ecuatiile canonice ale dr. (d). Ex.8 = y y 0 m = z z 0 n A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 18 / 88 (8) (9) ii) Dreapta det. de doua puncte distincte Fie M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ) (d) Un vector director al lui (d) este v := M 1 M 2 = (x 2 x 1 )ī + (y 2 y 1 ) j + (z 2 z 1 ) k Atunci, ecuatia (9) pentru pctul M 1 si vectorul director v de mai sus devine: care s.n. ecuatia dreptei prin doua puncte. Ex.9 x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 = z z 1 z 2 z 1 (10) iii) Dreapta ca intersectie a doua plane Fie planele neparalele (P 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 cu normala N 1 (P 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 cu normala N 2 Atunci ecuatia canonica a dreptei de intersectie a celor doua plane, (d) := (P 1 ) (P 2 ) este x x 0 = y y 0 l m = z z 0 (11) n unde punctul M 0 (x 0, y 0, z 0 ) este o solutie a sistemului format de ecuatiile ī j k celor doua plane iar directia dreptei este v = N 1 N 2 = A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2. Altfel spus, parametrii directori sunt: l = B 1 C 1 B 2 C 2 m = C 1 A 1 C 2 A 2 n = A 1 B 1 A 2 B 2. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 19 / 88 Ex.10 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 20 / 88

2.2 Drepte particulare 2.3 Unghiul a doua drepte Ec. axei Ox: y = 0 z = 0 Ec. axei Oy: x = 0 z = 0 Ec. axei Oz: x = 0 y = 0 Fie (d 1 ) : x x 1 = y y 1 = z z 1, cu vect. dir. v 1 = l 1 ī + m 1 j + n 1 k l 1 m 1 n 1 (d 2 ) : x x 2 = y y 2 = z z 2 cu vect. dir. v 2 = l 2 ī + m 2 j + n 2 k l 2 m 2 n 2 Unghiul α := ((d 1 ), (d 2 ))a doua drepte este definit de unghiul format de vectorii directori ai celor doua drepte. cos α = v 1, v 2 v 1 v 2 (12) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 21 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 22 / 88 2.3 Unghiul a doua drepte Fie (d 1 ) : x x 1 = y y 1 = z z 1, cu vect. dir. v 1 = l 1 ī + m 1 j + n 1 k l 1 m 1 n 1 (d 2 ) : x x 2 = y y 2 = z z 2 cu vect. dir. v 2 = l 2 ī + m 2 j + n 2 k l 2 m 2 n 2 Doua dr sunt perpendiculare (d 1 ) (d 2 ) d.n.d. vect. lor directori sunt perp., v 1 v 2 d.n.d. v 1, v 2 = 0 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. Doua drepte sunt paralele (d 1 ) (d 2 ) d.n.d. vectorii lor directori sunt paraleli, v 1 v 2 d.n.d. l 1 l2 = m 1 m 2 = n 1 n 2.! Dr. sunt paralele SAU coincid! Distinctia se face verif. daca un pct al uneia dintre drepte se afla (coincid) sau nu (paralele) pe cealalta dreapta.! doua dr. perpendiculare pot fi necoplanare!! doua dr. paralele sunt intotdeauna coplanare! Doua drepte sunt coplanare d.n.d. v 1, v 2, M 1 M 2 sunt coplanari d.n.d. x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 ( v 1, v 2, M 1 M 2 ) = 0 l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 = 0 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 23 / 88 2.4 Unghiul dintre o dreapta si un plan Fie (d) : x x 0 = y y 0 l m = z z 0 cu vect. dir. v 1 = lī + m j + n k n (P) : Ax + By + Cz + D = 0 cu vect. normal N = Aī + B j + C k Unghiul α := ((d), (P)) dintre o dreapta si un plan este definit de unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan, si care este egal cu complementul unghiului format de dreapta si normala la plan. ( π ) sin α = cos 2 α = N, v N v (13) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 24 / 88

2.5 Distanta de la un punct la o dreapta 2.6 Distanta dintre doua drepte Fie (d) : x x 1 = y y 1 l m = z z 1 n M 1 (x 1, y 1, z 1 ) (d) M 0 (x 0, y 0, z 0 ) / (d) Distanta de la M 0 la (d) este data de: cu vect. dir. v = lī + m j + n k si dist(m 0, (d)) = M 1M 0 v v (14) Fie (d 1 ) : x x 1 = y y 1 = z z 1, cu vect. dir. v 1 = l 1 ī + m 1 j + n 1 k l 1 m 1 n 1 (d 2 ) : x x 2 = y y 2 = z z 2 cu vect. dir. v 2 = l 2 ī + m 2 j + n 2 k l 2 m 2 n 2 S.n. perpendiculara comuna a celor doua drepte dreapta unica (d) perpendiculara pe (d 1 ) si (d 2 ) si care intersecteaza dreptele (d 1 ) si (d 2 ). Notam M 1 (x 1, y 1, z 1 ) (d 1 ) si M 2 (x 2, y 2, z 2 ) (d 2 ). Un vector director al perpendicularei comune (d) este: v = v 1 v 2 = lī + m j + n k A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 25 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 26 / 88 Sect.3 Dreapta in plan 2.6 Distanta dintre doua drepte Dreapta (d) = (P 1 ) (P 2 ) se obtine ca intersectia planelor x x 1 y y 1 z z 1 (P 1 ) det. de M 1 si vect dir ai dr (d 1 ) si (d) : l 1 m 1 n 1 l m n = 0 si x x 2 y y 2 z z 2 (P 2 ) det. de M 2 si vect dir ai dr (d 2 ) si (d) : l 2 m 2 n 2 l m n = 0 Atunci, dist((d 1 ), (d 2 )) = lungimea perpendicularei comune = inaltimea paralelipipedului construit pe vect. v 1, v 2, M 1 M 2 cu baza data de paralelogramul format de v 1 si v 2. Cap.I Planul si dreapta in spatiu Sect.3 Dreapta in plan dist((d 1 ), (d 2 )) = (M 1M 2, v 1, v 2 ) v 1 v 2 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 27 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 28 / 88

Sect.3 Dreapta in plan Sect.3 Dreapta in plan 3.1 Ecuatiile dreptei in plan Fie R(O; ī, j) un reper ortonormat in plan. Geometric, o dreapta in plan este unic determinata astfel: i) un punct si un vector director ii) doua puncte iii) un punct si panta iv) un punct si o directie normala A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 29 / 88 i) dr. det. de un pct si un vect. director Fie M 0 (x 0, y 0 ) si v = lī + m j vect. director nenul (l 2 + m 2 > 0) Ecuatia s.n ec. canonica a dreptei. Calculand m x l }} not.a }} not.b x x 0 l + ly 0 mx 0 }} not.c = y y 0 m = 0 obtinem: care s.n.ec. generala a dreptei in plan. Egaland (15) cu un parametru real λ avem x = x 0 + λl (15) ax + by + c = 0 (16) y = y 0 + λm care s.n. ecuatiile parametrice ale dreptei in plan. (17) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 30 / 88 Sect.3 Dreapta in plan Sect.3 Dreapta in plan ii) dr. det. de doua puncte 3.2 Panta unei drepte in plan Fie M 1 (x 1, y 1 ) si M 2 (x 2, y 2 ) Ecuatia s.n ec. canonica a dreptei det. de doua puncte. x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 (18) In particular, fie o dreapta (d) care nu trece prin O(0, 0) si nu e paralela cu axele de coord. Notam (d) Ox = A(a, 0) si (d) Oy = B(0, b) a.i. ab 0 Atunci, ec. (18) devine x a + y b 1 = 0 (19) care s.n ec. prin taieturi a unei drepte in plan. Fie ax + by + c = 0 (20) ec. gen. a unei drepte neparalele cu Oy, adica b 0. Echivalent, y = a x c }} b }} b not.m not.n si obtinem care s.n. ec. redusa a dreptei. m s.n. panta dreptei n reprezinta ordonata intersectiei dr. cu Oy. y = mx + n (21) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 31 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 32 / 88

Sect.3 Dreapta in plan Sect.3 Dreapta in plan 3.2 Panta unei drepte in plan Fie (d) : y = mx + n dr. neparalela cu Oy M 1 (x 1, y 1 ) (d), atunci verif ec. dr.: y 1 = mx 1 + n si M 2 (x 2, y 2 ) (d), atunci verif. ec. dr.: y 2 = mx 2 + n Scazand cele 2 relatii obtinem expresia pantei m = y 2 y 1 x 2 x 1 := tan θ, unde θ = (semiaxa poz Ox, semidr. de pe (d) situata deas. lui Ox) m > 0 d.n.d. θ este unghi ascutit m < 0 d.n.d. θ este unghi obtuz m = 0 d.n.d. (d) Ox Obs.iii) O dreapta (d) este unic determinata de un punct de pe dreapta M 0 (x 0, y 0 ) (d) si panta sa m. Fie un pct generic de pe dreapta M(x, y) (d). Avem: m = y y 0 x x 0, adica, ec. dr.(d) : y y 0 = m(x x 0 ) 3.3 Drepte particulare in plan Ecuatia axei Ox: y = 0 Ecuatia unei drepte paralele cu Ox: y = y 0 Ecuatia axei Oy: x = 0 Ecuatia unei drepte paralele cu Oy: x = x 0 Ecuatia primei bisectoare: y = x Ecuatia celei de-a2a bisectoare: y = x Ex.7 Ex.8 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 33 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 34 / 88 Sect.3 Dreapta in plan Sect.3 Dreapta in plan 3.4 Unghiul a doua drepte in plan Fie (d 1 ) : x x 1 l 1 = y y 1 m 1 (d 2 ) : x x 2 l 2 = y y 2 m 2, cu vect. dir. v 1 = l 1 ī + m 1 j cu vect. dir. v 2 = l 2 ī + m 2 j Unghiul α := ((d 1 ), (d 2 ))a doua drepte este definit de unghiul format de vectorii directori ai celor doua drepte. cos α = v 1, v 2 v 1 v 2 Doua dr sunt perp. (d 1 ) (d 2 ) d.n.d. v 1 v 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 = 0. Doua dr sunt paralele (d 1 ) (d 2 ) d.n.d. v 1 v 2 l 1 l2 = m 1 m 2. Cu pante: Doua dr sunt perpendiculare d.n.d. produsul pantelor = 1 Doua dr sunt paralele d.n.d. pantele sunt egale. (22) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 35 / 88 3.5 Distanta de la un pct la o dreapta in plan Fie (d) : ax + by + c = 0 ec. gen a unei drepte in plan si M 0 (x 0, y 0 ) / (d) Atunci N = aī + b j, vect. nenul, este perpendicular pe (d). Distanta de la pctul M 0 la dreapta (d) este: dist(m 0, (d)) = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 Obs. iv) O dreapta (d) poate fi unic determinata in plan de un punct al dreptei M 1 (x 1, y 1 ) (d) si o directie normala N = aī + b j: (d) : a(x x 1 ) + b(y y 1 ) = 0. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 36 / 88

Introducere Cap.II Conice Fie F un pct si (d) o dreapta in plan. L.g. al pctelor M din plan pt. care raportul distantelor de la M la pctul fix F si de la M la dreapta (d) este constant s.n. conica. Pctul F s.n. focarul conicei. Dreapta (d) s.n. dreapta directoare a conicei. Raportul constant din definitia conicei s.n. excentricitatea conicei si se noteaza e. Daca F (d), atunci conica s.n. degenerata. Daca F / (d), atunci conica s.n. nedegenerata. e (0, 1) - conica de tip eliptic; s.n. elipsa e = 1 - conica de tip parabolic; s.n. parabola e (1, ) - conica de tip hiperbolic; s.n. hiperbola A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 37 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 38 / 88 1.1 Cercul Cercul este l.g. al pctelor din plan egal departate de un pct. fix numit centru. Fie C(x 0, y 0 )- centrul, r-raza. Un pct generic M(x, y) C(C, r) d.n.d CM = r. Echivalent, obtinem care s.n. ec.canonica a cercului C(C, r). O ecuatie de forma: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 (23) x 2 + y 2 + 2mx + 2ny + p = 0, cu m 2 + n 2 p > 0 reprez. ec. generala a unui cerc cu C( m, n) si r = m 2 + n 2 p. x = x 0 + r cos t Ec. (23) este echivalenta cu: y = y 0 + r sin t, t [0, 2π) care s.n. ec. parametrice ale cercului. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 39 / 88 1.1 Cercul Pozitia relativa a unei drepte fata de un cerc Fie (d) : ax + by + c = 0 si (C) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2, cu centrul C(x 0, y 0 ) Notam dist(c, (d)) = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 dist(c, (d)) > r: (d) (C) =, (d) e exterioara cercului dist(c, (d)) = r: (d) (C) = un punct}, (d) e tangenta cercului dist(c, (d)) < r: (d) (C) = 2 puncte}, (d) e secanta cercului Ecuatia tangentei la cerc intr-un pct al cercului M 1 (x 1, y 1 ) (C) se obtine prin dedublare: (x 1 x 0 )(x x 0 ) + (y 1 y 0 )(y y 0 ) = r 2 Ex.1 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 40 / 88

1.2 Elipsa Fie F si F doua pcte distincte cu FF = 2c > 0 si a R + cu 2a > 2c. Elipsa este l.g. al pctelor din plan cu proprietatea ca suma distantelor la punctele fixe F si F este const. = 2a. F si F s.n. focarele F F s.n. axa focala, iar F F = 2c s.n. distanta focala 1.2 Elipsa - ecuatiile elipsei Pt a gasi ec. elipsei fixam reperul ortonormat centrat in originea O =mijl. segm FF si versorii ī = 1 FF FF si j ī cu j = 1 a.i. ī, j} este pozitiv orientata. Un pct generic M(x, y) E d.n.d FM + F M = 2a, a > 0 fixat. Prin calcul direct, obtinem ec. canonica a elipsei: x 2 a 2 + y 2 = 1, (24) b2 unde am notat b 2 = a 2 c 2. Reciproc, se arata ca orice pct care verifica (24) apartine elipsei. Din (24) se deduc ec. parametrice ale elipsei: x = a cos t, y = b sin t, t [0, 2π) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 41 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 42 / 88 1.2 Elipsa - elementele elipsei a s.n. semiaxa mare si b s.n. semiaxa mica a elipsei A(a, 0), A ( a, 0), B(0, b), B (0, b) s.n. varfurile elipsei si reprez Ox, resp. Oy O(0, 0) s.n. centrul elipsei si este centru de simetrie: daca M(x, y) E M 1 ( x, y) E axa Ox este axa de simetrie: daca M(x, y) E M 1 (x, y) E axa Oy este axa de simetrie: daca M(x, y) E M 1 ( x, y) E Directoare si excentricitate Revenind la: (x + c) 2 + y 2 = c a x + a2 c, a x a MF = e dist(m, (d )), unde am notat e = c a si (d ) : x = a2 c. Lucrand cu celalalt radical, obtinem MF = e dist(m, (d)), (d) : x = a2 x = ± a2 c s.n. dreptele directoare ale elipsei e = c a (0, 1) s.n. excentricitatea elipsei A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 43 / 88 c. 1.2 Elipsa - poz. rel a unei drepte fata de o elipsa (E) : x2 + y 2 = 1 Rezolvam sistemul: a 2 b 2 Eliminand y se obtine ec. de (d) : y = mx + n gr.2: (a 2 m 2 + b 2 )x 2 + 2a 2 mnx + a 2 (n 2 b 2 ) = 0. > 0 (E) (d) = 2 pcte distincte, (d) este secanta elipsei; < 0 (E) (d) =, (d) este exterioara elipsei; = 0 (E) (d) = un pct dublu, (d) este tangenta elipsei. Obs. Dintr-un pct exterior al unei elipse vom obtine 2 tangente la elipsa: (d 1 ) : y = mx + a 2 m 2 + b 2 (d 2 ) : y = mx a 2 m 2 + b 2 Ec. tangentei la elipsa intr-un pct al elipsei M 1 (x 1, y 1 ) E se obtine prin dedublare: xx 1 a 2 + yy 1 1 = 0. (25) b2 Ex.2 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 44 / 88

1.3 Hiperbola Fie F si F doua pcte distincte cu FF = 2c > 0 si a R + cu 0 < 2a < 2c. Hiperbola este l.g. al pctelor din plan cu proprietatea ca diferenta distantelor la doua puncte fixe, F si F (numite focare) este const. = 2a. F si F s.n. focarele F F s.n. axa focala, iar F F = 2c s.n. distanta focala A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 45 / 88 1.3 Hiperbola - ecuatiile hiperbolei Un pct generic M(x, y) H d.n.d FM F M = 2a, a > 0 fixat. Prin calcul direct, obtinem ec. canonica a hiperbolei: x 2 a 2 y 2 = 1, (26) b2 unde am notat b 2 = c 2 a 2. Reciproc, se arata ca orice pct care verifica (26) apartine hiperbolei. x = a cosh t, Din (26) se deduc ec. parametrice : y = b sinh t, t R Reamintim functiile hiperbolice: cosh : R [1, ), cosh(t) = et + e t, 2 sinh : R R, sinh(t) = et e t. 2 Proprietate: ch 2 (t) sh 2 (t) = 1, t R. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 46 / 88 1.3 Hiperbola - elementele hiperbolei O(0, 0) s.n. centrul hiperbolei si este centru de simetrie Axele Ox si Oy sunt axe de simetrie. a s.n. semiaxa mare si b s.n. semiaxa mica a hiperbolei A(a, 0), A ( a, 0) s.n. varfurile hiperbolei si reprez Ox. Axa Ox s.n. axa transversa a hip. x = ± a2 c s.n.dreptele directoare ale hiperbolei e = c a > 1 s.n. excentricitatea hiperbolei y = ± b a x s.n. asimptotele hiperbolei si se obtin ca asimptote oblice ale functiilor f 1 (x) = b a x 2 a 2 si f 2 (x) = b a x 2 a 2. 1.3 Hiperbola - exemple Ex.1. Fiind data hiperbola (H) : x2 y 2 = 1, atunci hiperbola a 2 b 2 (H ) : y 2 x2 = 1 s.n. hiperbola conjugata lui H. b 2 a 2 Elementele lui (H ) sunt: Oy este axa transversa, iar B(0, b) si B (0, b) sunt varfurile focarele sunt F (0, c), F (0, c) asimptotele lui (H ) coincid cu cele ale lui (H), y = ± b a x excentricitatea lui (H ) este e = c b. Exemplu: y 2 x2 1 = 0 2 2 3 2 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 47 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 48 / 88

1.3 Hiperbola - poz rel a unei dr. fata de hiperbola (H) : x2 y 2 = 1 Rezolvam sistemul: a 2 b 2 Eliminand y se obtine: (d) : y = mx + n (b 2 a 2 m 2 )x 2 2a 2 mnx a 2 (n 2 + b 2 ) = 0. Pt.m ± b a avem o ec. de gr. 2 in x. > 0 (H) (d) = 2 pcte distincte, (d) este secanta hiperbolei; < 0 (H) (d) =, (d) este exterioara hiperbolei; = 0 (H) (d) = un pct dublu, (d) este tangenta hiperbolei. Obs. Dintr-un pct exterior al unei hiperbole vom obtine 2 tangente la hiperbola, numai cand m (, b a ) ( b a, ), deoarece = 0 n 2 = a 2 m 2 b 2. (d 1 ) : y = mx + a 2 m 2 b 2 (d 2 ) : y = mx a 2 m 2 b 2 Pt. m = ± b a si n 0 avem o ec. de gr. 1 in x. (H) (d) = un singur pct, (d) este paralela cu una dintre asimptote, (d) s.n. secanta de dir. asimptotica. (?!) de ce nu e tangenta? Pt. m = ± b a si n = 0 obtinem asimptotele hiperbolei. Ec. tangentei la hiperbola intr-un pct al hiperbolei M 1 (x 1, y 1 ) H: xx 1 a 2 yy 1 1 = 0. (27) b2 Ex.1 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 49 / 88 1.4 Parabola - ecuatiile parabolei Alegem un reper centrat in origine, pe semiaxa pozitiva (Ox fixam focarul F ( p 2, 0), OF = p 2 ī, iar Oy Ox a.i. sa obtinem un reper pozitiv. Atunci, dreapta directoare are ecuatia (d) : x = p 2. O(0, 0) este varful parabolei Un pct generic M(x, y) P d.n.d dist(m, (d)) = FM. Adica, (x p 2 )2 + y 2 = x + p 2. Ridicand la patrat, rezulta ec. canonica a parabolei: y 2 2px = 0. (28) Reciproc, se arata ca un pct oarecare M 0 (x 0, y 0 ) care verifica (28) apartine parabolei cu focarul F si drepta directoare (d). x = t 2 2p Din (28) se deduc ec. parametrice:, y = t, t R. Obs. Ox este axa de simetrie a parabolei iar Oy este tangenta la parabola in varful O(0, 0) acesteia. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 51 / 88 1.4 Parabola Fie o dreapta (d) si un pct F / (d). Parabola este l.g. al pctelor din plan egal departate de punctul F si de dreapta (d) F s.n. focar, (d) s.n. dreapta directoare Spunem ca parabola are excentricitatea e = 1 Fie p = dist(f, (d)), p s.n. parametrul parabolei. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 50 / 88 1.4 Parabola - exemple 1 Ecuatia y 2 = 2px, p > 0 reprez parabola cu vf. in origine, avand axa transversa Ox dar situata in semiplanul din stanga axei Oy. 2 Ec. x 2 = 2py si x 2 = 2py, p > 0 reprez. parabole cu vf. in origine si axa transversa Oy. y = f (x) = 1 2p x 2 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 52 / 88

1.4 Parabola - poz. rel. a unei dr. fata de o parabola (P) : y 2 2px = 0 Rezolvam sistemul: Eliminand y se obtine: (d) : y = mx + n m 2 x 2 + 2(mn p)x + n 2 = 0. Pt.m 0 avem o ec. de gr. 2 in x. > 0 (P) (d) = 2 pcte distincte, (d) este secanta parabolei; < 0 (P) (d) =, (d) este exterioara parabolei; = 0 n = p 2m si obtinem o singura tangenta la parabola, y = mx + p 2m Pt. m = 0 avem o ec. de gr. 1 in x: 2px + n 2 = 0, iar dreapta (d) : y = n. (P) (d) = un singur pct, (d) s.n. secanta. Ec. tangentei la parabola intr-un pct al parabolei M 1 (x 1, y 1 ) P: Ex.2 yy 1 p(x + x 1 ) = 0. (29) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 53 / 88 Cap.II Conice A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 54 / 88 Introducere 2.1 Repere carteziene pe dreapta Vom defini repere pe dreapta, in plan si in spatiu si vom studia schimbarea de repere la translatii si rotatii. Fie spatiile liniare (X, +,, R), unde X reprez. mult. vect. de pe o dreapta, V 1, mult. vect. din plan, V 2, mult. vect. din spatiu, V 3. Numim reprer in spatiul (X, +,, R) o pereche R(O; S), unde O reprez. originea reperului iar S este o baza in X. Pe o dreapta (d) avem originea O R si baza formata din versorul ī. O schimbare a reperului R(O; ī) cu reperul R (O ; ī) pe dreapta (d) s.n. translatie. Fie x 0 R coord. lui O. Fie M (d) un pct generic care are coord. x R in R si x R in R. Atunci, x = x 0 + x Pentru un punct generic M X, vectorul OM s.n. vectorul de pozitie al pctului M fata de reperul R. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 55 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 56 / 88

2.2 Repere carteziene in plan - translatia Fie reperul cartezian ortonormat R(O; ī, j), pctul O (x 0, y 0 ) si consid. reperul cartezian ortonormat R (O ; ī, j). O schimbare a reperului R(O; ī, j) cu reperul R (O ; ī, j) in plan s.n. translatie. Pt un pct generic M din plan, notam Atunci, (x, y) coord in R (x, y ) coord in R x = x 0 + x y = y 0 + y Matriceal : ( ) x = y ( 1 0 0 1 ) ( ) ( ) x0 x + A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 57 / 88 y 0 y 2.2 Repere carteziene in plan - translatia Justificare: OM = OO + O M xī + y j = x 0 ī + y 0 j + x ī + y j x = x 0 + x Deci, schimbarea de coordonate la translatie este: y = y 0 + y A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 58 / 88 2.2 Repere carteziene in plan - rotatia Fie R (O; ī, j ) un reper cartezian ortonormat obtinut prin rotirea cu un unghi α [0, π) a reperului R(O; ī, j). O schimbare a reperului R(O; ī, j) cu reperul R (O; ī, j ) in plan s.n. rotatie. Pp. ca R este la fel orientat cu R ī, ī = 1 ī, j = 0 j, j = 1 ī, ī = cos α (30) j, ī = cos(α + π 2 ) = sin α ī, j = cos( π α) = sin α 2 j, j = cos α 2.2 Repere carteziene in plan - rotatia Pt un pct generic M din plan, notam (x, y) coord in R (x, y ) coord in R. Deci, OM = xī + y j = x ī + y j Inmultim scalar cu ī apoi cu j: x ī, ī + y j, ī = x ī, ī + y j, ī x ī, j + y j, j = x ī, j + y j, j Inlocuind (30), obtinem schimbarea de coordonate la rotatie: x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Matriceal : ( ) x = y ( ) ( ) cos α sin α x sin α cos α y ( ) cos α sin α Matricea schimbarii de coordonate C = este ortogonala, sin α cos α C 1 = C T, deci rotatia in plan este o transformare ortogonala. det C = 1 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 59 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 60 / 88

2.2 Repere carteziene in plan - rotatia 2.2 Repere carteziene in plan - rototranslatia Pp. ca R este invers orientat fata de R ( ) cos α sin α C = sin α cos α C 1 = C T, det C = 1 Schimbarea ( ) ( de) coordonate este: x x = C y y Un pct generic M are coord: (x, y) in R(O; ī, j) (x, y ) in R (O; ī, j ) (x, y ) in R (O ; ī, j ), OBS. In calcule vom lucra cu repere la fel orientate, matricea schimbarii de baze va avea det = 1. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 61 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 62 / 88 2.2 Repere carteziene in plan - rototranslatia Rotatia: R(O; ī, j) R (O; ī, j ) ( ) x y Translatia: R (O; ī, j ) R (O ; ī, j ) Rototranslatia: R(O; ī, j) R (O ; ī, j ) ( ) x = C, ( ) x y ( ) ( ) x x = C 0 y y 0 +C y ( x0 y 0 ( ) x = 0 y 0 + ( ) x = y ) ( ) x = C 0 y 0 ( ) x, y ( x0 y 0 ) +C ( ) cos α sin α Daca R este la fel orientat cu R, C = obtinem sin α cos α schimbarea de coordonate la rototranslatie: x = x 0 + x cos α y sin α y = y 0 + x sin α + y cos α. ( ) x y 2.3 Repere carteziene in spatiu Un pct generic M are coord: Rotatia: (x, y, z) in R(O; ī, j, k) (x, y, z ) in R (O; ī, j, k ) (x, y, z ) in R (O ; ī, j, k ), R(O; ī, j, k) R (O; ī, j, k ) x x y = S y, z z unde S reprezinta matricea de trecere de la o baza la cealalta: ī = a 11 ī + a 21 j + a 31 k j = a 12 ī + a 22 j + a 32 k ī = a 13 ī + a 23 j + a 33 k x 0 a 11 a 12 a 13 Notam :S = a 21 a 22 a 23. a 31 a 32 a 33 x 0 y 0 = S y 0 z 0 z 0 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 63 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 64 / 88

2.3 Repere carteziene in spatiu 2.4 Repere polare in plan Translatia: R (O; ī, j, k ) R (O ; ī, j, k ) Rototranslatia: R(O; ī, j, k) R (O ; ī, j, k ) x x 0 x x 0 x y = S y 0 + S y = y 0 + S y z z 0 z z 0 z x x y 0 x = y z 0 + y, z 0 z Un reper polar in plan se defineste printr-un pct fix numit pol, O(0, 0) si axa Ox de versor ī, trecand prin pol, numita axa polara. Pozitia unui pct generic M din plan este determinata de: ρ = OM dist de la pol la pct.; ρ > 0 s.n. raza vectoare sau modulul lui M θ = unghiul facut de directia OM cu axa polara Ox; θ [0, 2π) s.n. unghiul polar al lui M. M(ρ, θ), ρ, θ s.n. coord. polare Obs. O(0, 0) nu are coord. polare! A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 65 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 66 / 88 2.4 Repere polare in plan 2.4 Repere polare in spatiu Fie reperul R(O; ī, j) cu originea in polul O, ī versorul axei polare a.i. ī, j} sa fie baza ortonormata pozitiv orientata. Un pct generic M are coord: (x, y) coord carteziene (ρ, θ) coord. polare x = ρ cos θ Schimbarea de coordonate este data de: y = ρ sin θ, ρ > 0, θ [0, 2π) ρ = x Si reciproc: 2 + y 2 θ = arctan ( y ) x, pentru x, y > 0 Un reper polar in spatiu se defineste printr-un plan numit plan baza, xoy in care s-a ales un reper polar (pol O(0, 0) si axa polara Ox de versor ī) si axa Oz de versor k, perpendiculara pe planul baza. Fie un pct generic M / Oy din spatiu. Notam M proiectia ortogonala pe xoy, r = OM ρ = r = OM, ρ > 0; ϕ = ( r, k) [0, π); θ = ( r, ī) [0, 2π). (ρ, ϕ, θ) s.n. coord. polare in spatiu ale lui M. Notam M(ρ, ϕ, θ). A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 67 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 68 / 88

2.4 Repere polare in spatiu Legatura intre coord. carteziene M(x, y, z) si coord polare M(ρ, ϕ, θ) se obtine astfel: r este proiectia lui r pe planul xoy = r = r sin ϕ x = ī, r = r cos θ = r sin ϕ cos θ y = j, r = r sin θ = r sin ϕ sin θ z = k, r = r cos ϕ. Deci, schimbarea de coordonate este data de: x = ρ sin ϕ cos θ y = ρ sin ϕ sin θ z = ρ cos ϕ, ρ > 0, ϕ [0, π), θ [0, 2π) Reciproc: ρ = x 2 + ( y 2 + z 2 ) z ϕ = arccos x 2 +y 2 +z 2 θ = arctan ( y ) x, pentru x, y > 0 Deoarece x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 reprez. ec. sferei centrate in origine de raza ρ, (ρ, ϕ, θ) s.n. si coord. sferice. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 69 / 88 2.4 Repere polare in spatiu - coordonate semipolare Schimbarea de coordonate: x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z, ρ > 0, θ [0, 2π), z R Reciproc: ρ = x 2 + y 2 θ = arctan ( y ) x, pentru x, y > 0 z = z Fie un pct generic M / Oz din spatiu, avand (x, y, z) - coord. carteziene (ρ, θ, z) coord. semipolare x 2 + y 2 = ρ 2 Deoarece z R reprez. ec. unui cilindru circular drept centrat in origine si de raza ρ, (ρ, θ, z) s.n. si coord. cilindrice. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 70 / 88 Introducere Cap.II Conice A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 71 / 88 Conica este l.g. (Γ) al pctelor M din plan ale caror coord. (x, y) in rap cu R(O; ī, j) satisfac ecuatia: (Γ) : f (x, y) := a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0, (31) unde a 2 11 + a2 12 + a2 22 > 0, a ij R, i, j 1, 2, 3}. Problema: Ar. ca orice conica este una dintre urm. multimi: cerc, elipsa, hiperbola, parabola, per. de dr.(conc., paral., confundate), pct dublu,. Sugestia: Utilizand rotatia si translatia realizam o schimbare de reper de la R(O; ī, j) la un reper adecvat, pozitiv orientat, numit reper canonic, fata de care conica (31) sa se scrie ca o ecuatie canonica. Pentru gasirea formei canonice vom studia 2 cazuri: daca a 12 = 0 se face o translatie daca a 12 0 se face o rotatie, urmata de o translatie. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 72 / 88

3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice Invariantii unei conice Fie conica: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0, unde a11 2 + a2 12 + a2 22 > 0, a ij R, i, j 1, 2, 3}. Numerele reale: I = a 11 + a 12, δ = a 11 a 12 a 12 a 22, = a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 s.n. invariantii conicei. Theorem La o schimbare de reper, ec. conicei (31) se transf. intr-o ec. de aceeasi forma: a 11x 2 + 2a 12x y + a 22 y 2 + 2a 13x + 2a 23y + a 33 = 0 iar invariantii I, δ, nu se schimba la translatii sau rotatii. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 73 / 88 3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice Invariantii unei conice Fie conica: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0, unde a11 2 + a2 12 + a2 22 > 0, a ij R, i, j 1, 2, 3}. Numerele reale: I = a 11 + a 12, δ = a 11 a 12 a 12 a 22, = a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 s.n. invariantii conicei. δ da genul conicei: δ > 0 - gen eliptic Pt. δ < 0, avem: δ < 0 - gen hiperbolic 0 si I = 0: δ = 0 - gen parabolic hiperbola echilatera da degenerarea: = 0 si I = 0 : drepte 0 - c. nedegenerata perpendiculare. = 0 - c. degenerata A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 74 / 88 3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice Efectuand o translatie a reperului: x = x 0 + x y = y 0 + y ec. conicei (31) f (x, y) = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 devine: f (x, y ) = a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + 2(a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 )x + 2(a 12 x 0 + a 22 y 0 + a 23 )y + f (x 0, y 0 ). Spunem ca C(x 0, y 0 ) este centrul conicei (31) daca in raport cu reperul translat in (x 0, y 0 ) avem: f (x, y ) = 0 f ( x, y ) = 0 Theorem Pctul C(x 0, y 0 ) este centrul conicei (31) d.n.d a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 = 0 a 12 x 0 + a 22 y 0 + a 23 = 0 (32) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 75 / 88 3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice 1 f 2 1 f 2 x Obs.1 Sist. (32) este echivalent cu: = 0 y = 0 Obs.2 Det. sist. (32) este: δ = a 11 a 12 a 12 a 22 Theorem a) Daca δ 0 conica are un sigur centru, dat de sol. sist. (32). b) In reperul translat cu centrul in (x 0, y 0 ) ec. conicei devine: a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + δ = 0 c) Exista un reper in care ecuatia conicei este: λ 1 X 2 + λ 2 Y 2 + ( ) δ = 0, a11 a unde λ 1, λ 2 sunt valorile proprii ale matricei 12, adica a 12 a 22 λ 2 I λ + δ = 0. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 76 / 88

3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice Concluzii 1 Daca δ 0, at. conica are un centru de simetrie, originea reperului canonic. Conice cu centru: 0: cerc, elipsa, hiperbola; = 0: per. de dr. concurente, un pct dublu, 2 Daca δ = 0,at. conica NU are centru de simetrie. Conice fara centru: 0: parabola = 0: per. de dr.paralele sau confundate, sau 3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice Clasificarea conicelor δ I Tipul conicei CONICA > 0 0 < 0 nedegen, tip eliptic ELIPSA > 0 0 > 0 nedegen, tip eliptic conica vida > 0 = 0 degen, tip eliptic pct. dublu < 0 0 nedegen, tip hiperbolic HIPERBOLA < 0 = 0 degen, tip hiperbolic 2 dr. conc. = 0 0 nedegen, tip parabolic PARABOLA = 0 = 0 degen, tip parabolic 2 dr. paralele/confundate, A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 77 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 78 / 88 3.2 Algoritmul de red. la forma can. a unei conice Vom cauta un reper ortonormat (numit canonic), in raport cu care conica va avea o ecuatie de tipul: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 (elipsa) x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 (hiperbola) y 2 2px = 0 (parabola) x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 (conica vida) (ax + by + cz)(a x + b y + c z) = 0 (o per. de drepte) x 2 + y 2 = 0 (punct dublu) x 2 = 1 (dr. imag. paralele) 3.2 Algoritmul... Reamintim ec. gen. a unei conice: (Γ) : a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0, unde a 2 11 + a2 12 + a2 22 > 0, a ij R, i, j 1, 2, 3}. CAZ I: a 12 0, atunci: Pas I: Se realizeaza rotatia R(O; ī, j) R (O; ē 1, ē 2 ): Fie forma patratica h : R 2 R, h(x, y) = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2, in rap. cu baza ortonormata ī, j}. Atunci, exista o baza ortonormata ē 1, ē 2 } in raport cu care h are forma canonica h(x, y ) = λ 1 (x ) 2 + λ 2 (y ) 2, unde : ē 1 si ē 2 reprez. versorii vectorilor proprii λ 1 si λ 2 reprez. valorile proprii ( ) a11 a pt. A = 12. a 12 a 22 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 79 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 80 / 88

3.2 Algoritmul... Pentru a det. λ 1 si λ 2 rezolvam ec. caract.: a 11 λ a 12 a 22 λ = 0 λ2 (a 11 + a 22 )λ + a 11 a 22 a12 2 = 0. a 12 Distingem cazurile: i) λ 1 si λ 2 au semne contrare, adica δ < 0, conica fiind de gen hiperbolic; ii) λ 1 si λ 2 au acelasi semn, adica δ > 0, conica fiind de gen eliptic; iii) una dintre radacini este 0, adica δ = 0, conica fiind de gen parabolic. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 81 / 88 3.2 Algoritmul... ( ) ( ) u1 v1 Coresp. val. proprii λ 1 si λ 2 det. vect. proprii ū = si v = u 2 v 2 (a 11 λ)u 1 + a 12 u 2 = 0 (a 11 λ)v 1 + a 12 v 2 = 0 rez. sist.:,. a 11 u 1 + (a 22 λ)u 2 = 0 a 11 v 1 + (a 22 λ)v 2 = 0 Ortonormam ē 1 = ū ū 1 si ē 2 = 1 v v. Astfel, versorii vectorilor proprii, (ē 1, ē 2 ), dau directiile noilor axe de coord, Ox si respectiv Oy. ( ) a1 b Notand ē 1 = a 1 ī + a 2 j, ē 2 = b 1 ī + b 2 j, matricea de rotatie: R = 1 a 2 b 2 satisface cond. det R = 1 pt. a avea repere la fel orientate. Avem in vedere: posibilit. inloc. unuia dintre versori cu opusul său sau renumerot. ( ) versorilor. ( ) x x Facem sch. de coord.: = R y y. Ec. conicei devine: λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 82 / 88 3.2 Algoritmul... Pas II: Se face translatia R (O; ē 1, ē 2 ) R (C; ē 1, ē 2 ). Daca λ 1 λ 2 0 conica va fi o conica cu centru. Det. coord lui C(x 0, y 0 ) rezolvand sistemul (32): a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 = 0 Forma canonica va fi: a 12 x 0 + a 22 y 0 + a 23 = 0 λ 1 X 2 + λ 2 Y 2 + δ = 0. Reprez. grafic conica in reperul R (C; ē 1, ē 2 ). Stop! 3.2 Algoritmul... Pas III: λ 1 λ 2 = 0 Una dintre val proprii este 0. Pp. ca λ 2 0. Ec. conicei in reperul R devine: λ 2 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0. Rstrangem patratele si efectuam o translatie, astfel: ( ) ) λ 2 (y 2 + 2 a 23 λ 2 y a 2 + 23 λ 2 = (a 23 )2 λ 2 a 33 2a 13 x 2 λ 2 y + a 23 λ } 2 = 2a 13 x + a 33 (a 23 )2 λ 2 2a } 13 }} Y X y = Y a 23 Translatia R λ 2 (O; ē 1, ē 2 ) R (V ; ē 1, ē 2 ): x = X a 33 (a 2a 13 23 )2 λ 2 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 83 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 84 / 88

CAP. III Cuadrice Cuadrice pe ecuatii canonice 3.2 Algoritmul... Forma canonica: Y 2 = 2a 13 λ 2 X Daca a 13 = 0, conica se reduce la 2 dr. confundate. Daca a 13 0, conica este o parabola. Varful parabolei va fi si originea noului reper. Coord. varfului in reperul rotit R sunt: x 0 = a 33 (a 23 )2 λ 2 si y 0 = a 23 λ 2. 2a 13 In reperul initial R(O; ī, j), coord. varfului V (x 0, y 0 ), care ( coincid ) cu ( ) x0 x coord. originii reperului final, se obtin aplicand rotatia: = R 0. Axa de simetrie a parabolei trece prin V si are vect normal dat de vect. propriu coresp. val. proprii nenule λ 2. Reprez. grafic conica in reperul R (V ; ē 1, ē 2 ). CAZ II: a 12 = 0, atunci se trece la Pas II. Stop! A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 85 / 88 y 0 y 0 Cursurile 7-8 Cap.III Cuadrice Cuadrice pe ecuatii canonice Sfera, Elipsoidul, Hiperboloidul cu o panza, Hiperboloidul cu 2 panze, Paraboloidul elipric, Paraboloidul hiperbolic, Cilindri, Conul. A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 86 / 88 CAP. IV Curbe Sect. 2 Curbe in spatiu CAP. V Suprafete Cursurile 9-11 Cap.IV Curbe Sect. 1 Curbe in plan Sect. 2 Curbe in spatiu Cursurile 12-14 Cap.V Suprafete Introducere, Exemple de suprafete regulate in R 3, Planul tangent, Normala, Prima forma fundamentala, (A doua forma fundamentala, Curbura Gaussiana, Curbura medie) A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 87 / 88 A.I. Nistor (TU Iaşi) ALGAD2 15.02-24.05. 2017 88 / 88