FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011
KAZALO: 1.Uvod...1 2. Funkcija sin(x)...2 2.1. Definicija:...2 2.2 Definiranje kotne funkcije sinus v pravokotnem trikotniku:...3 2.3 Graf funkcije f(x)=sin(x):...3 2.4 Lastnosti funkcije f(x)=sin(x), če kote merimo v radianih:...4 3. Funkcija cos(x):...4 3.1. Definicija:...4 3.2 Definiranje kotne funkcije kosinus v pravokotnem trikotniku:...5 3.3 Graf funkcije f(x)=cos(x):...5 3.4 Lastnosti funkcije f(x)=cos(x), če kote merimo v radianih:... 6 4. Skupne lastnosti in razlike med funkcijama:... 6 4.1 Skupne lastnosti, če merimo kote v radianih:...6 4.2 Razlike, če merimo kote v radianih:...6 5.Primer:...8 6. Zaključek:...10 7. Literatura:...11
1. Uvod Pri predmetu Komuniciranje v matematiki sem si izbrala seminarsko nalogo z naslovom Funkciji sin(x) in cos(x). V kratkem seminarju bom definirala obe funkciji, navedla njune lastnosti in ju med seboj primerjala. 1
2. Funkcija sin(x) 2.1 Definicija: Če je x kot z vrhom v točki O, en krak kota je negiben in leži na pozitivnem poltraku abscisne osi, drugi krak je gibljiv, je sinus kota x enak ordinati presečišča gibljivega kraka kota z enotsko krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču. Prikaz sinusa na enotski krožnici: 2
2.2 Definiranje kotne funkcije sinus v pravokotnem trikotniku: Imejmo pravokotni trikotnik ABC. Sinus kota x je razmerje med kotu x nasprotno kateto in hipotenuzo. stranica c- hipotenuza sin(x)= stranica b- kateta stranica a- kateta 2.3 Graf funkcije f(x)=sin(x): Opomba: Pri risanju grafov kotnih funkcij vedno privzamemo, da je argument x kot v radianih. 3
2.4 Lastnosti funkcije f(x)=sin(x), če kote merimo v radianih: o Je definirana na celi realni osi; o Zaloga vrednosti funkcije je interval [-1,1]; o Je omejena funkcija: -1 1; o Je liha funkcija: sin(-x)=-sin(x); o Je periodična funkcija s periodo 2π: sin(x)=sin(x+2kπ); o Ima ničle pri x=kπ, kjer k preteče vsa cela števila; o Ima minimume pri x= -π/2 + 2kπ, kjer k preteče vsa cela števila; o Ima maksimume pri x= π/2 + 2kπ, kjer k preteče vsa cela števila; o Je zvezna funkcija. 3. Funkcija cos(x): 3.1 Definicija: Če je x kot z vrhom v točki O, en krak kota leži na pozitivnem delu abscisne osi, drugi krak je poljuben, je kosinus kota x enak abscisi presečišča gibljivega kraka kota z enotsko krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču. Prikaz kosinusa na enotski krožnici: 4
3.2 Definiranje kotne funkcije kosinus v pravokotnem trikotniku: Imejo pravokotni trikotnik ABC. Kosinus kota x je razmerje med kotu x priležno kateto in hipotenuzo. cos(x)= stranica c- hipotenuza stranica b- kateta stranica a- kateta 3.3 Graf funkcije f(x)=cos(x): 5
3.4 Lastnosti funkcije f(x)=cos(x), če kote merimo v radianih: o Je definirana na celi realni osi; o Zaloga vrednosti funkcije je interval [-1,1]; o Je omejena funkcija: -1 1; o Je soda funkcija: cos(-x)=cos(x); o Je periodična funkcija s periodo 2π: cos(x)=cos(x+2kπ); o Ima ničle pri x=π/2 + kπ, kjer k preteče vsa cela števila; o Ima minimume pri x= π + 2kπ, kjer k preteče vsa cela števila; o Ima maksimume pri x= 2kπ, kjer k preteče vsa cela števila; o Je zvezna funkcija. 4. Skupne lastnosti in razlike med funkcijama: 4.1 Skupne lastnosti, če merimo kote v radianih: o Definirani sta na celi realni osi. o Sta omejeni -1 1 in -1 1 o Sta periodični z osnovno periodo 2π: cos(x)=cos(x+2kπ) in sin(x)=sin(x+2kπ), kjer k preteče vsa cela števila. 4.2 Razlike, če merimo kote v radianih: o Funkcija cox(x) je premik funkcije sin(x) za cos(x)= sin(x + ) o Funkcija sin(x) je liha, funkcija cos(x) je soda. v smeri abscisne osi. Funkcija sin(x) cos(x) Ničle x=kπ x=π/2 + kπ Minimumi x= -π/2 + 2kπ x= π + 2kπ Maksimumi x= π/2 + 2kπ x= 2kπ (kjer k preteče cela števila) 6
Sinus komplementarnega kota je enak kosinusu kota, kosinus komplementarnega kota je enak sinusu kota: sin( α)= cosα cos( α)= sinα Sinus suplementarnega kota je enak kar sinusu kota, kosinus suplementarnega kota je enak kar negativni vrednosti kosinusa kota, sin(π α)= sinα cos(π α)= -cosα 7
5.Primer : Dana je funkcija f(x)=2sin(3x-π). a) Izračunajte ničle funkcije. b) Izračunajte abscise točk, v katerih doseže funkcija f največjo vrednost, in točke, v katerih doseže f najmanjšo vrednost. c) Narišite graf funkcije f. a) Ničle funkcije so rešitve enačbe sin(3x-π)=0. Od tod dobimo enačbo: 3x-π=kπ Rešitve enačbe so: x= ; k je celo število. b) Da dobimo abscise točk, kjer funkcija doseže največjo vrednost, rešimo enačbo sin(3x-π)=1. Iz tega sledi: 3x-π= + 2kπ. Rešitev: x= + ; k je celo število. Podobno dobimo abscise točk, kjer funkcija doseže najmanjšo vrednost, kot rešitve enačbe sin(3x-π)= -1 in od tod 3x-π= + 2kπ. Rešitev: x= + ; k je celo število. 8
c) Graf funkcije f(x)=2sin(3x-π). Graf funkcije sem narisala s pomočjo programa GeoGebra. V vnosno vrstico programa sem vpisala: f(x)=2sin(3x-π) 9
6. Zaključek: V kratkem seminarju sem obravnavala temo, ki je študentom matematike vsem dobro poznana in je samo en kanček znanja, ki je kljub temu kako zelo pomemben pri reševanju zahtevnejših matematičnih problemov. Uporaba funkcij sin(x) in cos(x), sega na mnoga področja. Z njima smo računali odvode, integrale, inverze obeh funkcij, njuna uporaba se razširi v računanje z adicijskimi izreki in seveda ne smemo pozabiti na sinusni in cosinusni izrek. Bolj kot pri pridobivanju znanja mi je seminarska naloga koristila kako napisati kratek seminar o matematični temi in kako ga kasneje na učinkovit, enostaven predvsem pa jasen način predstaviti poslušalcem. 10
7. Literatura: o http://freeweb.siol.net/ostroz14/kotne_funkcije/sinus.html o http://freeweb.siol.net/ostroz14/kotne_funkcije/kosinus.html o http://www.google.si/search?q=funkcija+kosinus&hl=sl&um=1&ie=utf- 8&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&aq=0s&aqi=g-s1&aql=&oq=funkcija+cosinus o http://www.e-um.si/lessons/519/ o http://www2.arnes.si/~mpavle1/mp/trigo_f.html 11