ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 15 ΟΔΗΓΙΕΣ ΑΥΤΟΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 15 Μερικές χρήσιμες οδηγίες: 1. Μετά την ολοκλήρωση της τρίωρης εξέτασης, σημείωστε τις βαθμολογικές μονάδες που λάβατε σύμφωνα με τις επόμενες υποδείξεις.. Επιμερίστε ισοδύναμα οποιδήποτε βήμα έχετε κάνει για τη λύση του κάθε υποερωτήματος κάθε θέματος.. Είναι χρήσιμο, αφού δείτε την πλήρη λύση οποιουδήποτε υποερωτήματος που δεν το ολοκληρώσατε, να ξαναπροσπαθήσετε να γράψετε την ορθή λύση μόνοι σας. 4. Συμπληρώστε τον επόμενο πίνακα, σύμφωνα με τις οδηγίες κατανομής μονάδων που βρίσκονται μέσα στις λύσεις: ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΘΕΜΑ Δ Παρατηρήσεις Α1 Β1. Γ1. Δ1. Α Β. Γ. i) Δ. ii) Α Β. Γ. i) ii) Δ. Α4 α. Β4 Δ4. i) ii) β. γ. δ. ε. ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΝΑΔΩΝ: ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΝΑΔΩΝ: ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΝΑΔΩΝ: ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΝΑΔΩΝ: ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ ΜΟΝΑΔΩΝ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 15 ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία, ορισμός στη σελίδα 1 και ορισμός στη σελίδα 16 του σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, ορισμός στη σελίδα 149 του σχολικού βιβλίου. Α. Απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 4. Α4. α. Λάθος. β. Σωστό. γ. Σωστό. δ. Λάθος ( ισχύει σε διάστημα Δ και όχι απαραίτητα σε σύνολο Α). ε. Σωστό. Commnt [D1]: ΜΟΝΑΔΕΣ ΤΟ ΚΑΘΕ ΕΝΑ ΕΡΩΤΗΜΑ ΘΕΜΑ Β Β1. Έχουμε διαδοχικά: z 15i z 15i z 15iz 15i z 15iz 15i 1 z 15i z 15i z 15i z 15i zz 15zi 15zi 15 zz 15zi 15zi 15 15zi 15zi 15zi 15zi 4zi 4zi z z Commnt [D]: 1 ΜΟΝΑΔΑ ΤΟ ΚΑΘΕ ΒΗΜΑ Επομένως z. 1 Β. Αρχικά θέτουμε (για ευκολία των πράξεων) k i και παρατηρούμε ότι: 1 1 k k 1 k 1 kk 1 k ( I) k Ακόμα από τα δεδομένα έχουμε: 1 w 1 w 1 ww 1 w ( II ) w 1 w i w k Έτσι είναι: v = 1 1 kw 1 i w Τώρα έχουμε διαδοχικά: Commnt [D]: ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D4]: 1 ΜΟΝΑΔΑ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 15 Επομένως v. v 1 1 k w w k = w k = wk k w w k = v 1 kw 1 1 kw 1 1 kw 1 1 kw k w kw Β. Αρκεί να αποδείξουμε ότι ο u είναι πραγματικός αριθμός 1 (αφού κάθε πραγματικός Commnt [D5]: 5 ΜΟΝΑΔΕΣ Commnt [D6]: 1 ΜΟΝΑΔΑ αριθμός z ικανοποιεί τη σχέση (1) 15i 15 15i 15 1). Έχουμε διαδοχικά: 4 4 11 4 4 4 u a ai a 1 i a 1 i a 1 i 11 11 1 4 11 4 4 11 11 4 11 11 a i i a i a i a i a, αφού i 11 1 Β4. Αφού z και v yi, y έχουμε: ή y 1 yi w y y z 9 9 9 1 9 18 επιπέδου που ικανοποιούν τη σχέση Ε (,-). και άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των του μιγαδικού w z 9 είναι υπερβολή με εστίες τις Ε(,) και Commnt [D7]: 1 ΜΟΝΑΔΑ ΣΕ ΚΑΘΕ ΒΗΜΑ Commnt [D8]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D9]: ΜΟΝΑΔΕΣ Commnt [D1]: ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ Γ Γ1. Η συνάρτηση f γίνεται: f 1 1, αν 1 ln 1 1, ln, 1, αν 1 Μπορούμε, αφού βρούμε τον αριθμό 11 u 15i 15i 15 1 u 15i 15i 15 u a, να επαληθεύσουμε την σχέση (1) :

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 15 Για το lim f ( ) έχουμε: 1 1 lim f ( ) lim, ln αφού 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 1 1 f ln lim ( ) lim, αφού 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 Επομένως είναι lim f ( ) lim f ( ) και άρα lim f ( ). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, 1 f είναι συνεχής στο και lim ln και lim ln. ώς πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Επίσης η, αφού lim f ( ) f. Τέλος για να είναι η f συνεχής σε Commnt [D11]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D1]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D1]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D14]:,5 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D15]:,5 ΜΟΝΑΔΑ όλο το πρέπει να είναι συνεχής και στο 1 1. Έχουμε, σύμφωνα με τον κανόνα του d L Hospital: 1 1 1 1 1 lim f ( ) lim lim lim 1 1 ln 1 1 1 1 1 Επομένως lim f ( ) f 1 1. Γ. 1 g 1 f ln, i) Η συνάρτηση γίνεται διαδοχικά: Commnt [D16]: ΜΟΝΑΔΕΣ Commnt [D17]: 1 ΜΟΝΑΔΑ έχουμε f Για 1 g 1 1 ln1 g 1 1 1 1 ln ln1 ln ln 1 1 1 1 1 ln ln ln Επομένως θα μελετήσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης 1 g 1,. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: Commnt [D18]: 1 ΜΟΝΑΔΑ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 15 Επειδή 1 1 1 g 1 1, 1, για, το πρόσημο της τριωνύμου 1 Ο πίνακας προσήμου της g είναι ο επόμενος: g εξαρτάται από το πρόσημο του Commnt [D19]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D]:,5 ΜΟΝΑΔΑ 1 g g + Commnt [D1]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Επομένως η συνάρτηση g είναι: 1 Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και 1 Γνησίως αύξουσα στο διάστημα, ii) Σύμφωνα με τον πίνακα προσήμου της 1 ελάχιστο (ολικό) στο σημείο Επομένως για κάθε έχουμε: Άρα: g του ερωτήματος (i) η συνάρτηση g έχει 1, το g 1 1 1 1 1 1 1 1 g g Για 1 1 έχουμε: 1 Για 1 1 έχουμε: 1 1. Commnt [D]: 1,5 ΜΟΝΑΔΕΣ Commnt [D]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D4]: ΜΟΝΑΔΕΣ Commnt [D5]:,5 ΜΟΝΑΔΕΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 15 1 1 1 Γ. i) Η g είναι παραγωγίσιμη για κάθε (ή αλλιώς η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη για κάθε ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: 1 1 1 g 4 1 4 1 4 1 4 1, Επειδή 1 4, το πρόσημο της ( ) 1 4 1. Ο πίνακας του προσήμου της g είναι ο επόμενος: g εξαρτάται από το πρόσημο του g g Commnt [D6]:,5 ΜΟΝΑΔΕΣ Commnt [D7]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D8]:,5 ΜΟΝΑΔΕΣ Commnt [D9]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Επομένως η συνάρτηση g : Είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) στο διάστημα, Είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω) στο διάστημα, Είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) στο διάστημα, + Τα σημεία καμπής της είναι το και το A, g ή το και το B, g ή το B, 1 A, 1 Commnt [D]:,5 ΜΟΝΑΔΕΣ ΤΟ ΚΑΘΕ Σ.Κ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 15 ii) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο A, g () είναι: y g g y 6 y 6 14 Επειδή η g είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) στο διάστημα,, για κάθε θα είναι: 1 1 6 14 1 7 1 7 1 y g 4,. Επίσης, η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο B1, g (1) είναι: 1 1 1 1 y g g y Επειδή η g είναι κυρτή (στέφει τα κοίλα άνω) στο διάστημα, 1, θα είναι: 1 1 1 1 y g 1 1 1 1 1, για κάθε 1, αφού 1. Commnt [D1]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D]:,5 ΜΟΝΑΔΕΣ Commnt [D]: 1,5 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D4]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D5]:,5 ΜΟΝΑΔΕΣ Commnt [D6]: 1,5 ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ Δ Δ1. Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή, αρκεί να αποδείξουμε ότι: Για την f ( ) 1 t dt 4 t t 4 f ( ) f ( ), για κάθε θέτουμε t Επομένως για κάθε έχουμε: dt d t και έχουμε: t 1 ( ) 1 f ( ) d d f ( ) 4 4 ( ) ( ) 4 4 1t Δ. Θέτοντας για ευκολία h( t), t έχουμε διαδοχικά: 4 t t 4 h( t) dt ( ) ( ) ( ) ( ), h t dt h t dt h t dt h t dt f ( ) Commnt [D7]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D8]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D9]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D4]: 5 ΜΟΝΑΔΕΣ Commnt [D41]: 1 ΜΟΝΑΔΑ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 15 Η συνάρτηση h( t) 1t t t 4 4 είναι συνεχής στο (ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων στο ) και άρα οι συναρτήσεις h( t) dt και h( t) dt είναι παραγωγίσιμες στο (ως σύνθεση παραγωγίσιμων). Επομένως η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f ( ) h ( ) h ( ) h ( ) h ( ) K ( ), Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano για την K( ) στο διάστημα, 1 και έχουμε: Η K( ) είναι συνεχής στο K() 1, 1, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων στο, 1 1 11 1 K (1), αφού 1 1, διότι η συνάρτηση Άρα K() K(1) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. και επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον, 1 K( ) ή f ( ). Δ. Από τη σχέση τέτοιο, ώστε 15 5 g t dt 1, για κάθε έχουμε διαδοχικά: 15 5 15 5 g t dt g t dt 1 1 ( ) () 15 5,όπου ( ) g t dt 1,. Άρα ισχύει ( ) (), για κάθε και επομένως η συνάρτηση ( ) έχει μέγιστο στο σημείο. Ακόμα η ( ) είναι παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, αφού η g είναι συνεχής στο (δεδομένο) με: 15 4 ( ) g( ) 15 5, Συνεπώς, σύμφωνα με το θεώρημα του Frmat, θα έχουμε: Όμως είναι (βρέθηκε παραπάνω): Επομένως Άρα: () () 15 () 15 g g f ( ) h( ) h( ) h( ) h( ) K( ), 1 f h h h() 1 4 g 15 g 1 14 g f 14 Commnt [D4]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D4]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D44]: ΜΟΝΑΔΕΣ(!1ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΒΗΜΑ) Commnt [D45]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D46]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D47]: 1 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D48]:,5 ΜΟΝΑΔΑ Commnt [D49]:,5 ΜΟΝΑΔΑ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 15 Δ4. i) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για τη συνάρτηση g στα διαστήματα, 18 και 18, 16. Έχουμε: Η g είναι συνεχής στα διαστήματα Η g είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα, 18 και 18, 16 (δεδομένο)., 18 και 18, 16 (δεδομένο) Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον 1, 18 και ένα τουλάχιστον 18, 16 ώστε: g(18) g() 15 g ( 1) 1 και 18 18 g(16) g(18) 41 g ( ) 1 18 18 τέτοια, Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Roll για τη συνάρτηση g στο διάστημα 1,. Έχουμε: Η g είναι συνεχής στο 1,, ως παραγωγίσιμη στο. Η g είναι παραγωγίσιμη στο 1,, ως δύο φορές παραγωγίσιμη στο. g 1 g Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον 1,, 16 τέτοιο, ώστε g ( ) ii) Έχουμε lim f ( ) και lim και άρα έχουμε την απροσδιόριστη μορφή Commnt [D5]: ΜΟΝΑΔΕΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΣΩΣΤΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ. ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΟΣ ΕΠΙΜΕΡΙΣΜΟΣ Commnt [D51]: 1 ΜΟΝΑΔΑ οπότε, σύμφωνα με τον κανόνα του d L Hospital (η f ( ) και είναι παραγωγίσιμες), έχουμε διαδοχικά: f ( ) h( ) h( ) 1 lim lim lim h( ) h( ) h() h() h() 1 (η 1 4 συνάρτηση h( ) είναι συνεχής, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων, άρα συνεχής και στο ) Commnt [D5]: ΜΟΝΑΔΕΣ