Γ' Λυκείου Κατεύθυνση [ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] ε ξ ε τ α σ τ έ α ς ύ λ η ς 7-8 Επιμέλεια Κόλλας Αντώνης
Όριο πολυωνυμικής στο Αν P( = αν ν + αν ν +... + α + α είναι πολυώνυμο του και, τότε: P( P( P( =... =... =... =... = P(
Όριο ρητής στο P( Αν f( = είναι ρητή συνάρτηση, όπου P(, Q( πολυώνυμα του και Q( με Q(, τότε: P( Q( P( Q( f( = P( Q( = P( Q( = P( Q(
3 Θέωρημα ενδιάμεσων τιμών Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α f(β τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α και f(β υπάρχει ένας, τουλάχιστον (α, β τέτοιος, ώστε f( = η Ας υποθέσουμε ότι f(α < f(β. Τότε θα ισχύει f(α < η < f(β (βλ. σχήμα. Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g( = f( η, [α, β], παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [α, β] και g(α g(β <, αφού: g(α = f(α η < και g(β = f(β η >. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει (α, β τέτοιο, ώστε g( = f( η =, οπότε f( = η. y f(β η f(α Α (α, f(α Β (β, f(β y = η Ο α β
4 Παράγωγος και συνέχεια Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Για έχουμε οπότε f( f( f( f( ( [f( f( ] = f( f( = f( f( ( f ( = = αφού η f είναι παραγωγίσιμο στο. Επομένως, f( f(, δηλαδή η f είναι συνεχής στο.
5 Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Η σταθερή συνάρτηση f( = c (c είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f ( =, δηλαδή: (c = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει: f ( o f( f( c c
6 Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Η ταυτοτική συνάρτηση f( = είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f ( =, δηλαδή: ( = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει: f ( o f( f(
7 Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Η συνάρτηση f( = ν, με ν {, }, είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f ( = ν ν, δηλαδή: ( ν = ν ν Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει: f( f( f ( o ( (... (...... ν ν
8 Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Η συνάρτηση f( = είναι παραγωγίσιμη στο (, + και ισχύει f ( =, δηλαδή: ( = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του (, +, τότε για ισχύει: o f( f( ( f
9 Παράγωγοι σύνθετων συναρτήσεων Η συνάρτηση f( = ν (ν * είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει f ( = ν ν, δηλαδή: ( ν = ν ν Πράγματι, για κάθε * έχουμε: ( ( ν ν χ (
Παράγωγοι σύνθετων συναρτήσεων Η συνάρτηση f( = εφ είναι παραγωγίσιμη στο = { συν = } και ισχύει f ( =, δηλαδή: (εφ = συν Πράγματι, για κάθε έχουμε: ημ (ημ συν ημ (συν συν συν ημ ημ εφ συν συν συν συν ημ συν συν
Παράγωγοι σύνθετων συναρτήσεων Η συνάρτηση f( = α ( α είναι παραγωγίσιμη στο (, + και ισχύει f ( = α α, δηλαδή: ( α = α α Πράγματι, αν y = α = e α ln και θέσουμε u = α ln, τότε έχουμε y = e u. Επομένως: y = (e u = e u u = e α ln α = α α = α α-
Παράγωγοι σύνθετων συναρτήσεων Η συνάρτηση f( = α ( α > είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f ( = α lnα, δηλαδή: (α = α lnα Πράγματι, αν y = α = e lnα και θέσουμε u = lnα, τότε έχουμε y = e u. Επομένως: y = (e u = e u u = e lnα lnα = α lnα
3 Παράγωγοι σύνθετων συναρτήσεων Η συνάρτηση f( = ln ( * είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει f ( =, δηλαδή: (ln = Πράγματι: Αν >, τότε (ln = (ln =. Αν <, τότε ln = ln(, οπότε, αν θέσουμε y = ln( και u =, έχουμε y = lnu. Επομένως: y = (lnu = u u = ( = και άρα, σε κάθε περίπτωση: (ln =
4 Παράγωγος αθροίσματος Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (f + g ( = f ( + g ( Για, ισχύει: (f g( (f g( f( g( f( g( f( f( g( g( Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο o, έχουμε: (f g( (f g( = f( f( g( g( = = f ( + g ( δηλαδή: (f + g ( = f ( + g (
5 Συνέπειες Θ.Μ.Τ. διαφορικού λογισμού Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ( = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, Δ ισχύει f( = f(. Πράγματι Αν = τότε προφανώς f( = f(. Αν < τότε στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει ξ (, τέτοιο ώστε: f f( f( ( (ξ Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f (ξ =, οπότε λόγω της ( θα είναι f( = f(. Αν < τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f( = f(. Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f( = f(.
6 Συνέπειες Θ.Μ.Τ. διαφορικού λογισμού Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f ( = g ( για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δ να ισχύει: f( = g( + c Η συνάρτηση f g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει: (f g ( = f ( g ( = Επομένως, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση f g θα είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δ, να ισχύει f( g( = c. Οπότε f( = g( + c, δηλαδή το ζητούμενο.
7 Παράγωγος και μονοτονία Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ. Αν f ( > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f ( < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. Αν f ( >, τότε: Έστω, Δ με <. Θα δείξουμε ότι f( < f(. Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ(, τέτοιο, ώστε: οπότε έχουμε: f( f (ξ f( f( f( f(ξ ( Επειδή f (ξ > και >, έχουμε f( f( >, οπότε: f( < f( Αν f ( <, τότε: Έστω, Δ με <. Θα δείξουμε ότι f( > f(. Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ(, τέτοιο, ώστε: οπότε έχουμε: f( f (ξ f( f( f( f(ξ ( Επειδή f (ξ < και >, έχουμε f( f( <, οπότε: f( > f(
8 Θεώρημα Fermat Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: f ( = Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο. y f( Ο δ + δ Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σε αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο ώστε: ( δ, + δ Δ και f( f(, για κάθε ( δ, + δ ( Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει: Επομένως, f( f( f( f( f( Αν ( δ,, τότε, λόγω της (, θα είναι: οπότε θα έχουμε: f( f(,
f( f( f( Αν (, + δ, τότε, λόγω της (, θα είναι: οπότε θα έχουμε: f( f( f( ( f( f(, (3 Έτσι, από τις ( και (3 έχουμε f ( =. Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό ελάχιστο. Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σε αυτό τοπικό ελάχιστο, υπάρχει δ > τέτοιο ώστε: ( δ, + δ Δ και f( f(, για κάθε ( δ, + δ ( Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει: Επομένως, f ( f( f( f( f( Αν ( δ,, τότε, λόγω της (, θα είναι: οπότε θα έχουμε: f( f( f( Αν (, + δ, τότε, λόγω της (, θα είναι: οπότε θα έχουμε: f( f( f( Έτσι, από τις ( και (3 έχουμε f ( =. f( f(, ( f( f(, (3
9 Παράγωγος και τοπικά ακρότατα Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α, β, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( > στο (α, και f ( < στο (, β, τότε το f( είναι τοπικό μέγιστο της f. Αν f ( < στο (α, και f ( > στο (, β, τότε το f( είναι τοπικό ελάχιστο της f. Αν η f ( διατηρεί πρόσημο στο (α, (, β, τότε το f( δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β. Επειδή f ( > για κάθε (α, και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f( f(, για κάθε (α, ] ( Επειδή f ( < για κάθε (, β και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β. Έτσι έχουμε: f( f(, για κάθε [, β ( Επομένως, λόγω των ( και (, ισχύει: f( f(, για κάθε (α, β, που σημαίνει ότι το f( είναι μέγιστο της f στο (α, β και άρα τοπικό μέγιστο αυτής. y y f > f < f > f < f( f( Ο α β Ο α β
Επειδή f ( < για κάθε (α, και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, ]. Έτσι έχουμε: f( f(, για κάθε (α, ] (3 Επειδή f ( > για κάθε (, β και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, β. Έτσι έχουμε: f( f(, για κάθε [, β (4 Επομένως, λόγω των (3 και (4, ισχύει: f( f(, για κάθε (α, β, που σημαίνει ότι το f( είναι ελάχιστο της f στο (α, β και άρα τοπικό ελάχιστο αυτής. y y f < f > f < f > f( f( Ο α β Ο α β Έστω ότι : f ( >, για κάθε (α, (, β Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (α, ] και [, β. Επομένως, για < < ισχύει f( < f( < f(. Άρα το f( δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β. Πράγματι, έστω, (α, β με <. Αν, (α, ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ], θα ισχύει f( < f(. Αν, [, β, επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, β, θα ισχύει f( < f(. Τέλος, αν < <, τότε όπως είδαμε f( < f( < f(.
Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f( < f(, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β. y f > y f > f > f > Ο α β Ο α β Έστω ότι : f ( <, για κάθε (α, (, β Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως φθίνουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (α, ] και [, β. Επομένως, για < < ισχύει f( > f( > f(. Άρα το f( δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, β. Πράγματι, έστω, (α, β με <. Αν, (α, ], επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, ], θα ισχύει f( > f(. Αν, [, β, επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β, θα ισχύει f( > f(. Τέλος, αν < <, τότε όπως είδαμε f( > f( > f(. Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f( > f(, οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, β.
Παράγουσα συνάρτησης Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε: όλες οι συναρτήσεις της μορφής είναι παράγουσες της f στο Δ και G( = F( + c, c κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( = F( + c, c Κάθε συνάρτηση της μορφής G( = F( + c, όπου c, είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού G ( = (F( + c = F ( = f(, για κάθε Δ. Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε Δ ισχύουν F ( = f( και G ( = f(, οπότε G ( = F (, για κάθε Δ. Άρα, σύμφωνα με προηγούμενο πόρισμα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε: G( = F( + c, για κάθε Δ.
Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε: β α f(tdt G β G α Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση F( = f (tdt είναι μια παράγουσα της f στο α [α, β]. Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε θα υπάρχει c τέτοιο ώστε: G( = F( + c ( Από τη σχέση (, για = α έχουμε: G(α = F(α + c = α f (tdt + c = c α δηλαδή c = G(α. Λόγω της τελευταίας και για = β, η σχέση ( γίνεται: G(β = F(β + G(α = β f (tdt + G(α ( α Λύνοντας τη ( ως προς το ολοκλήρωμα παίρνουμε τη ζητούμενη σχέση: β α f(tdt G β G α