Del 3 Integrli
POGLAVJE 7 Nedoločeni integrl. Definicij, enoličnost, obstoj Prvimo, d je funkcij F (x) nedoločeni integrl funkcije f(x) (in pišemo F (x) = f(x) dx), če velj F (x) = f(x) z vsk x D(f). Kj vemo o enoličnosti nedoločeneg integrl? Kot že ime pove, nedoločeni integrl ni nikoli ntnko določen, sj je z vsk nedoločeni integrl F funkcije f in z vsko konstnto C tudi F + C nedoločeni integrl funkcije f. Kdr je D(f) povezn množic, dobimo n t nčin vse nedoločene integrle funkcije f. Če je nmreč G kk drug nedoločeni integrl funkcije f, potem velj (G F ) = G F = f f = 0. Ker je D(f) povezn, lhko uporbimo posledico Lgrngeoveg izrek, ki pove, d je G F konstntn funkcij. Torej je funkcij G vsot funkcije F in konstntne funkcije, se prvi G(x) = F (x) + C. Primer. Poiščimo vse nedoločene integrle funkcije f(x) = x 3. Vzemimo F (x) = x4. Potem z vsk x R velj F (x) = f(x). Torej je 4 funkcij x4 nedoločeni integrl funkcije 4 x3 : x 3 dx = x4 4. Tudi funkciji x4 x4 + in 0.7 st nedoločen integrl funkcije 4 x3, sj velj ( x 4 + ) 4 = x 3 in ( x 4 0.7) 4 = x 3 : x 3 dx = x4 4 +, x 3 dx = x4 4 0.7. Ker je D(f) povezn množic, so vsi nedoločeni integrli funkcije x 3 oblike x 3 dx = x4 4 + C, kjer je C poljubn konstnt. 3
4 7. NEDOLOČENI INTEGRAL Oglejmo si še primer, ko definicijsko območje ni povezn množic. Primer. Velj { ln x + x dx = C, x > 0, ln( x) + C, x < 0, kjer st C in C konstnti. Včsih pišemo tudi dx = ln x + C. x vendr se mormo zvedti, d je v tem primeru { C, x > 0, C = C(x) = C, x < 0 funkcij, ki ni konstntn n vsej relni osi, čeprv je konstntn tko n poltrku x > 0 kot n poltrku x < 0. Kj vemo o obstoju nedoločeneg integrl? Vsk zvezn funkcij im nedoločeni integrl (če njeno definicijsko območje ni preveč grdo). To bomo dokzli v poglvju o določenih integrlih. Tudi nektere funkcije, ki niso zvezne, imjo nedoločeni integrl: Primer. Funkcij f(x) = { x sin(/x) cos(/x), x 0, 0, x = 0 ni zvezn, vendr im nedoločeni integrl. Eden je { x F (x) = sin(/x), x 0, 0, x = 0, v splošnem p velj f(x) dx = F (x) + C. Obstjjo funkcije, ki nimjo niti eneg nedoločeneg integrl. To bomo dokzli v nslednjem rzdelku. Nedoločeni integrl je običjno bistveno težje izrčunti kot odvod. Nedoločeni integrl elementrne funkcije nmreč sploh ni nujno elementrn funkcij. Primer. Funkcij f(x) = e x je elementrn in im nedoločeni integrl, sj je f zvezn funkcij. Vendr se izkže, d nedoločeni integrl funkcije f ni elementrn funkcij. (Teg ne bomo dokzli.)
. LASTNOST VMESNIH VREDNOSTI 5. Lstnost vmesnih vrednosti V tem rzdelku bomo pokzli, d funkcij sgn(x) nim nedoločeneg integrl. To bomo storili tko, d bomo definirli lstnost vmesnih vrednosti in dokzli dvoje: Funkcij sgn(x) nim lstnosti vmesnih vrednosti. Vsk funkcij, ki im nedoločeni integrl, im lstnost vmesnih vrednosti. Prvimo, d im funkcij f lstnost vmesnih vrednosti, če z poljuben intervl [, b] D(f) in z poljubno število d med f() in f(b) obstj tko število c [, b], d je f(c) = d. Primer. Funkcij f(x) = sgn(x) nim lstnosti vmesnih vrednosti. Vzemimo nmreč =, b = in d =. Potem velj [, b] D(f) (ker je D(f) = R) in d leži strogo med f( ) = in f() =. Vendr d Z(f) (ker je Z(f) = {, 0, }). Zto ne more obstjti tk c [, b], d bi veljlo f(c) = d. V rzdelku o bisekciji smo pokzli, d im vsk zvezn funkcij lstnost vmesnih vrednosti. Obrt te trditve ne drži, kot pokže nslednji primer: Primer. Funkcij f(x) = { sin(/x), x 0, 0, x = 0 ni zvezn, vendr im lstnost vmesnih vrednosti, kr se njlžje vidi iz grf. y 0.5-0.6-0.4-0. 0. 0.4 0.6 x -0.5 - Vzemimo poljubn, b R in poljuben d med f() in f(b). Če st in b n isti strni ničle, potem je f [,b] zvezn. Ker imjo zvezne funkcije
6 7. NEDOLOČENI INTEGRAL lstnost vmesnih vrednosti, obstj tk c [, b], d velj f(c) = d. Če p st in b bodisi n rzličnih strneh ničle bodisi je eden od njiju enk nič, potem funkcij f [,b] zvzme vse vrednosti med in, torej tudi vrednost d. Torej tudi v tem primeru obstj tk c [, b], d velj f(c) = d. Dokžimo sedj, d im vsk funkcij, ki im nedoločeni integrl, lstnost vmesnih vrednosti. Dokz: Recimo, d im funkcij f nedoločeni integrl F. Vzemimo poljuben intervl [, b] D(f) in poljubno število d med f() in f(b). Rdi bi dokzli, d obstj tk element c [, b], d velj f(c) = d. Če je d enk f() ozirom f(b), potem lhko vzmemo c = ozirom c = b, zto se bomo v ndljevnju omejili n primer, ko je d strogo med f() in f(b). Oglejmo si funkcijo g(x) = F (x) dx. Ker je F odvedljiv, je tudi g odvedljiv in zto zvezn n [, b]. Odtod sledi, d g(x) v neki točki c [, b] zvzme minimum, v neki točki c [, b] p mksimum. Ločimo več primerov: Če je c (, b), potem lhko vzmemo c = c. Po Fermtovem izreku nmreč velj 0 = F (c ). Ker je F (x) = f(x) d, sledi f(c ) = d, kr smo želeli pokzti. Če je c (, b), potem lhko vzmemo c = c. Če je c = c = li c = c = b, potem je g konstntn, zto lhko vzmemo c = ( + b)/. Če je c = in c = b, potem z vsk x [, b] velj g() g(x) g(b). F (x) F () F (b) F (x) Iz prve neenkosti dobimo d x iz druge p d b x z vsk x (, b). V limiti dobimo d f() in d f(b), kr je protislovje, sj d leži strogo med f() in f(b). Torej t primer ne nstop. Podobno pokžemo, d tudi primer, ko je c = b in c =, ne nstop. 3. Linernost, Tbelic nedoločenih integrlov Iz definicije nedoločeneg integrl f(x) dx = F (x) + C, kjer F (x) = f(x) sledi, d lhko tbelico osnovnih nedoločenih integrlov dobimo tko, d zmenjmo stolpc v tbelici osnovnih odvodov. Mlce skrjšn
3. LINEARNOST, TABELICA NEDOLOČENIH INTEGRALOV 7 verzij je spodj: f(x) f(x) dx x α x, (α ) α+ + C α+ ln x + C x e x e x + C x x + C ln cos x sin x + C sin x cos x + C rctg x + C +x x rcsin x + C ln(x + x + k) + C x +k Z vjo dokžimo zdnjo vrstico: (ln(x+ x + k)+c) = x + x + k (+ x + k x) = x + k. Kot posebn primer zdnje vrstice immo formuli dx = rsh x + C, dx = rch x + C. x + x Včsih se pod osnovne štejejo tudi nslednji integrli: f(x) f(x) dx tg x + C (cos x) ctg x + C (sin x) rth x + C = +x ln + C x x ch x sh x + C sh x ch x + C th x + C (ch x) cth x + C kjer je (sh x) ctg x = tg x = cos x sin x, cth x = th x = ch x sh x. Iz formul v osnovni tbelici lhko sestvljmo nove formule s pomočjo nslednjih dveh prvil: (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx, Af(x) dx = A f(x) dx, kjer st f in g funkciji in A konstnt.
8 7. NEDOLOČENI INTEGRAL Dokz: Če je F nedoločeni integrl funkcije f in G nedoločeni integrl funkcije g, potem je F + G nedoločeni integrl funkcije f + g sj velj (F + G) = F + G = f + g. Ali je vsk nedoločeni integrl funkcije f + g tke oblike? D, če je D(f) D(g) povezn množic. Če je F nedoločeni integrl funkcije f, potem je AF nedoločeni integrl funkcije f, sj velj (AF ) = AF = Af. Ali je vsk nedoločeni integrl funkcije Af tke oblike? D, če je A 0. Primer. Izrčunjmo nedoločeni integrl funkcije f(x) = x 3 x + 7. S pomočjo formule x n dx = xn+ + C dobimo n+ f(x) dx = x 3 dx x dx + 7 dx = = ( x4 4 + C ) ( x3 3 + C ) + 7(x + C 3 ) = x4 4 x3 + 7x + C. 3 Rčun lhko mlce skrjšmo, če ne pišemo konstnt C, C, C 3, mpk jih tkoj združimo v novo konstnto C, ki jo pišemo n koncu. Torej predzdnji kork v rčunu ni potreben. Mrsiktereg bruc premmi skušnjv, d bi integrl produkt izrzil kot produkt integrlov. Nslednji primer pokže, d je t idej zgrešen. Primer. Pokžimo, d x dx x dx x dx. Lev strn je nmreč enk x3 x + C, desn p ( + C 3 )( x + C ). Torej je lev strn polinom tretje stopnje, desn p polinom četrte stopnje. Polinom rzličnih stopenj p nikoli nist enk. 4. Metod substitucije Kdr želimo izrčunti kk nedoločeni integrl, ki g ni v tbelici osnovnih integrlov, g njprej poskusimo z uvedbo nove spremenljivke (=substitucijo) prevesti n integrl iz tbelice. Če je funkcij F (x) nedoločeni integrl funkcije f(x) in če je x = φ(t), potem po formuli z posredno odvjnje velj F (φ(t)) = F (φ(t))φ (t) = f(φ(t))φ (t). Torej je F (φ(t)) nedoločeni integrl funkcije f(φ(t))φ (t). Torej iz f(x) dx = F (x) + C sledi f(φ(t))φ (t) dt = F (φ(t)) + C. Ker je F (x) + C = (F (φ(t)) + C) t=φ, dobimo odtod formulo (x)
4. METODA SUBSTITUCIJE 9 f(x) dx = f(φ(t))φ (t) dt t=φ (x). (formul z substitucijo v nedoločenem integrlu) Oglejmo si nekj primerov. Primer. Izrčunjmo integrl (3x ) 7 dx. T integrl znmo izrčunti tudi direktno, vendr je krjše, če nprvimo substitucijo t = 3x. V formulo z substitucijo vstvimo f(x) = (3x ) 7, t = 3x = φ (x), x = t + = φ(t). 3 Dobimo (3x ) 7 dx = t 7( t + ) dt = 3 t=3x t 7 dt 3 = t=3x = 3 (t8 8 + C) = t=3x 54 (3x )8 + C. Primer. Izrčunjmo integrl sin(5x + 3) dx. Teg integrl ni v tbelici, je p zelo podoben integrlu sin t dt = cos t+c. Zto se odločimo, d bomo nprvili substitucijo t = 5x+3. V formulo z substitucijo vstvimo f(x) = sin(5x + 3), t = 5x + 3 = φ (x), x = t 3 = φ(t). Dobimo sin(5x + 3) dx = sin t (t 3) dt = 5 t=5x+3 5 = 5 t=5x+3 ( cos t + C) cos(5x + 3) = + C. 5 5 sin t dt = t=5x+3 Včsih je bolj prktično, če v formuli z substitucijo zmenjmo x in t ter jo preuredimo v f(ψ(x))ψ (x) dx = f(t)dt. t=ψ(x)
0 7. NEDOLOČENI INTEGRAL Primer. Izrčunjmo integrl x + x 4 dx. Nprvimo substitucijo t = x = ψ(x). Dobimo x + x dx = 4 + (x ) (x ) dx = + t dt = t=x = (rctg t + C) = rctg(x ) + C. t=x 5. Metod integrcije po delih Drug metod z poenostvljnje nedoločenih integrlov je metod integrcije po delih. Nnjo pomislimo v primeru, ko je funkcij, ki jo integrirmo, produkt dveh enostvnih funkcij. Iz formule z odvjnje produkt ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x)+f(x)g (x) sledi, d je ( f (x)g(x) + f(x)g (x) ) dx = f(x)g(x) + C. Odtod lhko izrzimo f(x)g (x) dx = f(x)g(x) ( f (x)g(x) dx C). Konstnto lhko opustimo, sj je nedoločeni integrl določen smo do konstnte ntnčno. Dobimo f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx. (integrcij po delih z nedoločene integrle) Primer. Izrčunjmo integrl x cos x dx. V formulo z integrcijo po delih vstvimo f(x) = x in g (x) = cos x. Odtod izrčunmo, d je f (x) = in g(x) = sin x. (Lhko bi k g(x) prišteli še poljubno konstnto, vendr to ni potrebno). Sledi x cos x dx = x sin x sin x dx = x sin x + cos x + C. Primer. Izrčunjmo integrl x e x dx.
6. RAZCEP RACIONALNE FUNKCIJE NA PARCIALNE ULOMKE Njprej uporbimo formulo z integrcijo po delih z f(x) = x g (x) = e x (upoštevmo, d f (x) = x in g(x) = e x ): x e x dx = x e x xe x =?. in Sedj še enkrt uporbimo formulo z integrcijo po delih z f(x) = x in g (x) = e x (upoštevmo, d f (x) = in g(x) = e x ):? = x e x (xe x e x dx) = x e x xe x + e x + C. Zelo znimiv st tudi nslednj primer uporbe: Primer. Izrčunjmo integrl I = x dx. Uporbimo formulo z integrcijo po delih z f(x) = x in g (x) = (upoštevmo, d f (x) = ( x) = x x x in g(x) = x): I = x x x x dx = x x x + dx = x x = x x + x dx+ x dx x = x x I+rcsin x+c. Odtod lhko izrzimo I: I = ( x x + rcsin x + C ) = ( x x + rcsin x ) + C. 6. Rzcep rcionlne funkcije n prcilne ulomke Rcionlnim funkcijm posebne oblike A (x ) m li Bx + C (x + bx + c) n, kjer b 4c < 0 prvimo prcilni ulomki. Izkže se, d lhko vsko rcionlno funkcijo R(x) = p(x), pri kteri je števec nižje stopnje kot q(x) imenovlec, rzcepimo n vsoto prcilnih ulomkov in celo, d je tk rzcep enoličen. Z isknje rzcep n prcilne ulomke obstj recept, ki si g bomo njprej ogledli v splošnem, nto p še n primerih. N koncu rzdelk bomo povedli tudi kj storiti v primeru, ko je stopnj števc večj li enk stopnji imenovlc.
7. NEDOLOČENI INTEGRAL Prvi kork je, d imenovlec q(x) rzcepimo n produkt linernih in kvdrtnih polinomov, nto p iz vskeg fktorj izpostvimo vodilni koeficient. Dobimo k l q(x) = q 0 (x i ) m i (x + b j x + c j ) n j, i= kjer je q 0 vodilni koeficient polinom q(x). Drugi kork je isknje nstvk z rzcep n prcilne ulomke. Vsk linerni fktor (x i ) m i prispev k nstvku vsoto A i, + A i, x i (x i ) +... + A i,m i (x i ), m i kjer so A i,, A i,,..., A i,mi neznne konstnte. Vsk kvdrtni fktor (x + b j x + c j ) n j p prispev k nstvku vsoto B j, x + C j, x + b j x + c j + B j,x + C j, (x + b j x + c j ) +... + B j,n j x + C j,nj (x + b j x + c j ) n j, kjer so B j,, C j,, B j,, C j,,..., B j,nj, C j,nj neznne konstnte. Tretji kork je določnje neznnih konstnt. Njprej nstvek pomnožimo s q(x), odprvimo oklepje in uredimo. Dobimo nek polinom, ktereg koeficienti so izrzi v neznnih konstnth. T polinom je enk polinomu p(x), torej se morjo ujemti tudi vsi koeficienti teh dveh polinomov. Z neznne koeficiente tko dobimo sistem enčb. Četrti kork je reševnje dobljeneg sistem enčb. Pri tem si pomgmo z metodo zporedneg izločnj spremenljivk. j= Primer. Velj x = (x )(x + ) = A x + B x +. Ko pomnožimo z (x )(x + ), dobimo = A(x + ) + B(x ) = (A + B)x + (A B), odkoder dobimo sistem dveh enčb A + B = 0, A B =. Rešitev teg sistem je A = in B =, torej je x = x + x +. Primer. Velj 3x + (x + ) (x ) = A x + + B (x + ) + C x.
6. RAZCEP RACIONALNE FUNKCIJE NA PARCIALNE ULOMKE 3 Ko pomnožimo z (x + ) (x ) in uredimo, dobimo 3x + = (A + C)x + (B + C)x A B + C. S primerjvo koeficientov dobimo sistem enčb A + C = 0, B + C = 3, A B + C = 3. Rešitev teg sistem je A = 5, B =, C = 5, torej je 4 4 3x + (x + ) (x ) = 5 4 x + + (x + ) + 5 4 x. Primer. Velj x 3 = (x )(x + x + ) = A x + Bx + C x + x +. Ko pomnožimo z (x )(x + x + ) in uredimo, dobimo = (A + B)x + (A B + C)x + A C. S primerjvo koeficientov dobimo sistem enčb A + B = 0, A B + C = 0, A C =, ktereg rešitev je A =, B =, C =. Torej je 3 3 3 x 3 = 3 x 3 x + x + x +. Njtežji je primer, ko kvdrtni polinomi nstopjo v višji potenci. Primer. Velj (x 3 ) = (x ) (x + x + ) = = A x + B (x ) + Cx + D x + x + + Ex + F (x + x + ). Ko pomnožimo z (x ) (x + x + ) in uredimo, dobimo = (A + C)x 5 + (A + B C + D)x 4 + (A + B D + E)x 3 + ( A + 3B C E + F )x + ( A + B + C D + E F )x + ( A + B + D + F ). S primerjvo koeficientov dobimo sistem šestih enčb s šestimi neznnkmi, ktereg rešitev je A =, B =, C =, D =, E =, 9 9 9 3 3 F =. Torej je 3 (x 3 ) = 9 x + 9 (x ) + 9 x + 3 + x + x + 3 x + ( + x + x ).
4 7. NEDOLOČENI INTEGRAL Kdr je stopnj polinom p(x) večj li enk stopnji polinom q(x), potem seved funkcije R(x) = p(x) ne moremo rzcepiti n prcilne ulomke. V tem primeru z lgoritmom z deljenje polinomov q(x) poiščemo tk polinom k(x) in r(x), d velj p(x) = k(x)q(x) + r(x) in d je stopnj polinom r(x) strogo mnjš od stopnje polinom q(x). Odtod sledi, d je R(x) = p(x) r(x) = k(x) +, kjer R q(x) q(x) (x) = r(x) lhko q(x) rzcepimo n prcilne ulomke. Torej se d vsko rcionlno funkcijo rzcepiti n vsoto polinom in prcilnih ulomkov. 7. Integrirnje prcilnih ulomkov Nmen teg rzdelk je izrčunti nedoločen integrl A Bx + C dx in (x ) m (x + bx + c) dx. n Ker se d vsko rcionlno funkcijo rzcepiti n vsoto polinom in prcilnih ulomkov, lhko s pomočjo teh dveh nedoločenih integrlov izrčunmo nedoločeni integrl poljubne rcionlne funkcije. Njprej se spomnimo, d velj t dt = ln t + C in S substiticijo t = x dobimo odtod, d je t dt = + C, če n. n ( n)tn A dx = A ln x + E, x A (x ) dx = A n n + E, če n, (x ) n kjer je E poljubn konstnt. Oglejmo si še prcilne ulomke druge vrste. S substitucijo s = t dobimo, d velj t t + dt = ln(t + ) + E. S substitucijo t = s dobimo, d velj t + dt = rctg t + E. Iz teh dveh integrlov dobimo s pomočjo substitucije t = x+ b, d velj
7. INTEGRIRANJE PARCIALNIH ULOMKOV 5 Bx + C x + bx + c dx = B C Bb ln x + bx + c + rctg x + b + E, D D kjer predpostvljmo, d je D = b 4c < 0. Bolj znimivo postne, kdr im imenovlec potenco n. substitucijo s = t dobimo, d velj t (t + ) dt = n ( n) + E, če n. (t + ) n Z integrcijo po delih dobimo rekurzivno formulo ( (t + ) dt = t + (n 3) n (n ) (t + ) n Če nmreč drugi integrl oznčimo z I n, potem velj t + I n = (t + ) dt = t t n (t + ) dt + n I n = = t ( n) (t + ) n = S ) dt. (t + ) n ( n) (t + ) dt + n I n = ( n) t (t + ) n ( n) I n + I n, odkoder lhko izrzimo I n s pomočjo I n. N primer z n = dobimo I = ( ) t t + + I = t t + + rctg t 3 + E. Iz teh dveh integrlov dobimo s pomočjo substitucije t = x + b, d velj recimo = Bx + C (x + bx + c) dx = (C bb)x + (bc cb) (C bb) + ( D)(x + bx + c) ( D) x + b rctn + E, D D kjer predpostvljmo, d je D = b 4c < 0. Z n > je formul še bolj komplicirn.
6 7. NEDOLOČENI INTEGRAL 8. Uporb integrlov rcionlnih funkcij Številni integrli se s primerno substitucijo prevedejo n integrle rcionlnih funkcij. Treb p je priznti, d to mnogokrt ni njkrjš metod z njihovo rčunnje. Poglejmo si nekj primerov. V ndljevnju bo črk R pomenil rcionlno funkcijo v eni li dveh spremenljivkh (=kvocient dveh polinomov v eni li dveh spremenljivkh). Primer. Izrčunjmo integrl ( )m x + b n R(x, ) dx, cx + d kjer d bc 0. Nprvimo substitucijo ( ) x + b n t = = φ (x), x = dtn + b cx + d ct n = φ(t). Dobimo R(x, ( )m x + b n ) dx = cx + d R(φ(t), t m )φ (t) dt t=φ (x), kjer je R (t) = R(φ(t), t m )φ (t) rcionln funkcij v spremenljivki t. Primer. (Eulerjevi substituciji) Rdi bi izrčunli integrl R(x, + bx + cx ) dx, kjer je D = b 4c 0. Če je D > 0, potem im polinom + bx + cx dv rzličn reln koren, recimo α in β. V tem primeru nprvimo substitucijo + bx + cx t = = c x β x α x α = φ (x), x = αt βc = φ(t). t c Dobimo R(x, + bx + cx ) dx = R(φ(t), t(φ(t) α))φ (t) dt t=φ (x). Funkcij R (t) = R(φ(t), t(φ(t) α))φ (t) je rcionln funkcij v spremenljivki t, zto znmo integrl n desni vedno izrčunti. Preostne še primer, ko je D < 0. V tem primeru nprvimo substitucijo t = + bx + cx ± x c = φ (x), x = t b ± t c = φ(t).
8. UPORABA INTEGRALOV RACIONALNIH FUNKCIJ 7 Dobimo R(x, + bx + cx ) dx = R(φ(t), t φ(t) c)φ (t) dt t=φ (x). Funkcij R (t) = R(φ(t), t φ(t) c)φ (t) je rcionln funkcij v spremenljivki t, zto znmo integrl n desni vedno izrčunti. Primer. (Splošn trigonometrijsk substitucij) Integrl R(cos x, sin x) dx lhko izrčunmo tko, d nprvimo substitucijo t = tg x = φ (x), x = rctg t = φ(t). Krjši rčun pokže, d velj cos t = (tg x ) t + (tg x = ) + t, sin t = tg x t + (tg x = ) + t. Odtod dobimo R(cos x, sin x) dx = R( t + t, t + t ) + t dt, kjer je R (t) = R( t +t, t +t ) +t rcionln funkcij v spremenljivki t. Primer. Integrl R(e x ) dx zlhk uženemo s substitucijo t = e x = φ (x), x = ln(t) = φ(t). Dobimo R(e x ) dx = R(t) t dt, kjer je R (t) = R(t) rcionln funkcij v spremenljivki t. t Poseben primer teg integrl je R(ch x, sh x)dx.
8 7. NEDOLOČENI INTEGRAL 9. Vpršnj z ponvljnje () (Definicij, obstoj in enoličnost nedoločeneg integrl) () Kko je definirn nedoločeni integrl funkcije? (b) Kj vemo o enoličnosti nedoločeneg integrl? (c) Kj vemo o obstoju nedoločeneg integrl? () (Integrcij po delih) () Kj prvi prvilo z odvjnje produkt? (b) Povej prvilo z integrcijo po delih z nedoločeni integrl in g izpelji! (c) Uporbi prvilo z integrcijo po delih n primeru! (3) (Integrcij s substitucijo) () Kj prvi prvilo z odvjnje posredne funkcije? (b) Povej prvilo z substitucijo v nedoločenem integrlu in g izpelji! (c) Uporbi prvilo z substitucijo n primeru! (4) (Integrcij rcionlnih funkcij) () Kko rzcepimo rcionlno funkcijo n prcilne ulomke? A (b) Kko integrirmo prcilne ulomke oblike? (x ) n Bx+C? x +bx+c (c) Kko integrirmo prcilne ulomke oblike (5) (Osnovni tipi nedoločenih integrlov) Nj bo R(x, y) rcionln funkcij dveh spremenljivk. () Kko izrčunmo R(ch x, sh x) dx? (b) Kko izrčunmo R(cos x, sin x) dx? (c) Kko izrčunmo R(x, x + bx + c) dx? (d) Kko izrčunmo R(x, ( x+b cx+d )m n ) dx?
POGLAVJE 8 Določeni integrl. Definicij določeneg integrl Recimo, d je funkcij f definirn in pozitivn n intervlu [, b]. Rdi bi izrčunli ploščino lik omejeneg z nvpičnim premicm x = in x = b, bcisno osjo in krivuljo y = f(x). To ploščino oznčimo z b f(x) dx in ji prvimo določeni integrl funkcije f n [, b]. Približno vrednost z b f(x) dx dobimo tko, d () intervl [, b] rzdelimo n mnjše kose [, b] = [x 0, x ] [x, x ]... [x n, x n ], kjer je = x 0 < x < x <... < x n = b, () nd vskim kosom [x i, x i ] nrišemo prvokotnik z višino f(ξ i ), kjer je ξ i [x i, x i ] poljubn točk in (3) seštejemo ploščine vseh prvokotnikov. Ploščin i-teg prvokotnik je f(ξ i )(x i x i ), vsot p je n i= f(ξ i)(x i x i ). T približek z b f(x) dx je temboljši, čimdrobnejš je delitev. V limiti dobimo točno vrednost z b f(x) dx. Kdr funkcij f ni pozitivn, mormo vse ploščine, ki so pod bcisno osjo, vzeti z negtivnim predznkom. V tem primeru je torej b f(x) dx = p + p. kjer je p + ploščin lik L + = {(x, y) x b, 0 y f(x)}, p p ploščin lik L = {(x, y) x b, f(x) y 0}. Vsot n i= f(ξ i)(x i x i ) je še vedno približek z b f(x) dx. Primer. Izrčunjmo približek z določeni integrl 3/ 0 ( x ) dx, ki g dobimo, če v izrz n i= f(ξ i)(x i x i ) vstvimo x i = i/4 z i = 0,,..., 6 in ξ i = x i +x i z i =,..., 6. Velj f(ξ i )(x i x i ) = i= 9
0 8. DOLOČENI INTEGRAL = 63 64 4 + 55 64 4 + 39 64 4 + 5 64 4 + ( 7 64 ) 4 + ( 57 ) 64 4 = 49 8. N skici so prikzni prvokotniki, kterih ploščino smo upoštevli v približku. Prv ploščin je rzlik ploščin likov L + (pobrvni del nd bciso) in L (pobrvni del pod bciso). 0.5 L 0. 0.4 0.6 0.8..4-0.5 L - Rekli smo, d je določeni integrl limit približkov, nismo p povedli, kko je t limit definirn. Bodimo sedj ntnčnejši: Prvimo, d je število I določeni integrl funkcije f n [, b] (in pišemo I = b f(x) dx), če z vsk ɛ > 0 obstj tk δ > 0, d z vsko delitev = x 0 < x <... < x n = b, pri kteri je x i x i < δ z vsk i =,..., n, in z vsko izbiro točk ξ,..., ξ n, pri kteri ξ i [x i, x i ] z vsk i =,..., n, velj n i= f(ξ i)(x i x i ) I < ɛ. Če vemo, d določeni integrl b f(x) dx obstj, g lhko izrčunmo tko, d izrčunmo približek n i= f(ξ i)(x i x i ) z x i = ξ i = + b i, n i = 0,,..., n, in limitirmo n proti neskončno. Primer. Če 3/ 0 ( x ) dx obstj, potem je = lim n ( 3/ 0 3 n n ( x ) dx = lim n ( 3 n i= ( ) ( 3i ) 3 n n = ) ) 3 n(n + )(n + ) = 3 ( 3 6 ) 3 6 = 3 8,
. FUNKCIJE, KI NIMAJO DOLOČENEGA INTEGRALA kjer smo uporbili formulo i = i= n(n + )(n + ), 6 ki jo zlhk dokžemo s popolno indukcijo. V rzdelku 5 bomo dokzli, d določeni integrl obstj z vse zvezne in vse monotone funkcije n zprtem intervlu, torej je predpostvk o obstoju integrl v gornjem primeru izpolnjen. Kljub temu gornj metod z rčunnje določeneg integrl ni njbolj priročn, sj je vsote težko izrčunti. Ksneje bomo spoznli boljšo metodo, ki nm pove, kko določeni integrl izrčunmo s pomočjo nedoločenih (Newton-Leibnitzov formul).. Funkcije, ki nimjo določeneg integrl Ne sme ns presenetiti, d nimjo vse funkcije določeneg integrl. Če je f neomejen funkcij n zprtem intervlu [, b], potem določeni integrl b f(x) dx ne obstj. Dokz: Predpostvimo, d določeni integrl I = b f(x) dx obstj in dokžimo, d je potem f omejen. Vzemimo nek ɛ (recimo ɛ = ) in nj bo δ tk kot v definiciji določeneg integrl. Vzemimo neko nrvno število n > δ in definirjmo x i = + b n i. Dokzli bomo, d je z vsk j med in n skrčitev f [xj,x j ] omejen, odkoder tkoj sledi d je funkcij f omejen. Vzemimo poljuben j in poljuben x [x j, x j ] ter definirjmo ξ j = x in ξ i = x i z vsk i j. Ker velj = x 0 < x <... < x n = b in x i x i < δ z vsk i =,..., n in ξ i [x i, x i ] z vsk i =,..., n, mor po izbiri števil δ veljti n i= f(ξ i)(x i x i ) I < ɛ. Odtod sledi, d je I ɛ n f(x i )(x i x i ) i= j i x j x j < f(x) < torej je skrčitev f [xj,x j ] res omejen. I + ɛ + n f(x i )(x i x i ) i= j i x j x j, Žl niti vse omejene funkcije nimjo določeneg integrl, kot pokže nslednji primer: Primer. Če je f(x) = {, x [0, ] Q, 0, x [0, ] \ Q,
8. DOLOČENI INTEGRAL potem določeni integrl f(x) dx ne obstj. Rzlog je v tem, d 0 lhko z poljubno delitev x 0 < x <... < x n intervl [0, ] izberemo tke točke ξ i, ξ i [x i, x i ], d velj f(ξ i)(x i x i ) = in f(ξ i)(x i x i ) = 0. i= (z ξ i vzemi poljubno točko iz [x i, x i ] Q, z ξ i p poljubno točko iz [x i, x i ] \ Q.) Če bi obstjl limit približkov po čedlje drobnejših delitvh, potem bi bil po prvi formuli enk, po drugi p 0. To je seved protislovje, sj ne moremo imeti dveh rzličnih limit. i= 3. Enkomerno zvezne funkcije Nemen teg rzdelk je dokzti Heine-Cntorjev izrek, ki g bomo potrebovli v rzdelku 5 pri dokzu obstoj določeneg integrl z zvezne funkcije n zprtem intervlu. Prvimo, d je funkcij f enkomerno zvezn, če z vsk ɛ > 0 obstj tk δ > 0, d z poljubn x, y D(f), ki zdoščt x y < δ velj f(x) f(y) < ɛ. N prvi pogled se zdi, d je t definicij povsem enk ɛ δ definiciji zvezne funkcije. Zpišimo obe definiciji z logičnimi simboli: f je enkomerno zvezn ɛ > 0 δ > 0 x D(f) y D(f) : x y < δ f(x) f(y) < ɛ. f je zvezn ɛ > 0 x D(f) δ > 0 y D(f) : x y < δ f(x) f(y) < ɛ. Rzlik je smo v vrstem redu simbolov x D(f) in δ > 0. Pri enkomerno zveznih funkcijh mormo njti tk δ, ki je dober z vse x, pri zveznih funkcijh p zdošč, d z vsk x posebej njdemo tk δ, ki je dober znj. Iz te opzke tkoj sledi, d je vsk enkomerno zvezn funkcij tudi zvezn. D obrtno ni res ns preprič nslednji primer: Primer. Oglejmo si funkcijo f(x) = x, 0 < x. T funkcij je zvezn, ker je skrčitev rcionlne funkcije. Pokžimo, d t funkcij ni enkomerno zvezn. Poiskti mormo tk ɛ > 0, d z vsk δ > 0 obstjt tk x, y (0, ], ki zdoščt x y < δ in f(x) f(y) ɛ. Vzemimo ɛ =, x = min{δ, }, y = min{δ, }. Potem je x y = min{δ, } < δ in f(x) f(y) = = ɛ. min{δ,}
Heine-Cntorjev izrek prvi: 4. POMOŽNI IZREK 3 Vsk zvezn funkcij n zprtem intervlu je enkomerno zvezn. Dokz: Recimo, d je f zvezn funkcij z definicijskim območjem I = [, b]. Če f ni enkomerno zvezn, potem obstj tk ɛ > 0, d z vsk δ > 0 obstjt tk x = x(δ) in y = y(δ) iz I, d velj x y < δ in f(x) f(y) ɛ. Pišimo x k = x( k ) in y k = y( k ). Ker st x k in y k omejeni zporedji, obstj konvergentni podzporedji x φ(k) in y φ(k). Ker z vsk k velj x k y k < k, imt zporedji x φ(k) in y φ(k) isto limito, recimo ji t. Po predpostvki, je f zvezn v točki t, zto zporedji f(x φ(k) ) in f(y φ(k) ) limitirt proti f(t). Tod z dovolj velike k odtod sledi, d je f(x φ(k) ) f(t) < ɛ in f(y φ(k)) f(t) < ɛ. Odtod sledi, d je f(x φ(k)) f(y φ(k) ) < ɛ, kr je v protislovju z izbiro x φ(k) in y φ(k). Torej f ne more biti enkomerno zvezn. 4. Pomožni izrek V tem rzdelku bomo izpeljli pomožni izrek, ki g bomo rbili v rzdelkih 5 in 6. Njprej mormo uvesti nekj oznk. Delitev intervl [, b] je tk množic točk ρ = {x 0, x,..., x n }, kjer je = x 0 < x <... < x n = b. Premer delitve ρ je število µ(δ) = mx i=,...,n (x i x i ). Z poljubno omejeno funkcijo f n [, b] in z poljubno delitev ρ intervl [, b] pišimo R(f; ρ) = M i (x i x i ), R(f; ρ) = m i (x i x i ), kjer je i= M i = sup{f(x) x [x i, x i ]}, m i = inf{f(x) x [x i, x i ]}. i= Z poljubni delitvi ρ in ρ intervl [, b] velj R(f; ρ ) R(f; ρ ). Dokz: Dokzli bomo levi neenčj v R(f; ρ ) R(f; ρ ρ ) R(f; ρ ρ ) R(f; ρ ). Srednji neenčj je nmreč očiten, dokz desneg p je skorj enk dokzu leveg. Nj bo {t,..., t r } = ρ \ ρ. Dokzli bomo, d velj R(f; ρ ) R(f; ρ {t }) R(f; ρ {t, t })... R(f; ρ {t,..., t r }).
4 8. DOLOČENI INTEGRAL Ker je ρ {t,..., t r }) = ρ ρ, je desn strn enk R(f; ρ ρ ). Dokzli bomo smo prvo od teh neenkosti, ker je dokz ostlih enk. Recimo, d je ρ = {x 0,..., x n } in d t [x j, x j ]. Pišimo m j = inf f [xj,x j ], m j = inf f [x j,t ] in m j = inf f [t,x j ]. Ker m j m j in m j m j, je R(f; ρ {t }) R(f; ρ ) = m j (t x j ) + m j (x j t ) m j (x j x j ) = (m j m j)(t x j ) + (m j m j)(x j t ) 0. Pomožni izrek: Če z vsk ɛ > 0 obstj tk δ > 0, d z vsko delitev ρ intervl [, b], ki zdošč µ(ρ) < δ, velj R(f; ρ) R(f; ρ) < ɛ, potem določeni integrl b f(x) dx obstj. Dokz: Vzemimo omejene funkcijo f n [, b] in definirjmo I = inf ρ R(f; ρ), I = sup R(f; ρ), ρ kjer v obeh primerih ρ teče po vseh delitvh intervl [, b]. Iz ocene R(f; ρ ) R(f; ρ ) sledi, d velj I I. Vzemimo sedj poljuben ɛ > 0 in izberimo tk δ > 0 kot trditvi. Z poljubno delitev ρ = {x 0,..., x n } intervl [, b] s premerom µ(ρ) < δ in z poljubno izbiro točk ξ,..., ξ n, kjer ξ i [x i, x i ] z vsk i =,..., n, velj R(f; ρ) f(ξ i )(x i x i ) R(f; ρ) in R(f; ρ) I I R(f; ρ). i= Odtod sledi, d je f(ξ i )(x i x i ) I < R(f; ρ) R(f; ρ) < ɛ. i= Po definiciji določeneg integrl to pomeni, d je I določeni integrl funkcije f n [, b]. (Isti dokz nm pove, d je v tem primeru tudi I določeni integrl funkcije f n [, b], zto je I = I.) Obrt pomožneg izrek: Če določeni integrl I = b f(x) dx obstj, potem z vsk ɛ > 0 obstj tk δ > 0, d z vsko delitev ρ intervl [, b] z µ(ρ) < δ velj R(f; ρ) R(f; ρ) < ɛ. Dokz: Po definiciji določeneg integrl I obstj tk δ > 0, d z vsko delitev ρ = {x 0,..., x n } intervl [, b] z µ(ρ) < δ in z vsko izbiro točk ξ,..., ξ n, kjer ξ i [x i, x i ], velj n i= f(ξ i)(x i x i ) I < ɛ 4. Z poljuben tk ρ pišimo M i = sup f [xi,x i ] in m i = inf f [xi,x i ]. Vzemimo tk η i, ζ i [x i, x i ], d f(η i ) > M i ɛ 4(b ) in f(ζ i) < m i + ɛ 4(b ). Potem
5. FUNKCIJE, KI IMAJO DOLOČENI INTEGRAL 5 R(f; ρ) R(f; ρ) n i= (M i f(η i ))(x i x i ) + n i= f(η i)(x i x i ) I + I n i= f(ζ i)(x i x i ) + n i= (f(ζ i) m i )(x i x i ) 4 ɛ 4 = ɛ. 5. Funkcije, ki imjo določeni integrl Oglejmo si preprost primer, kjer ni težv z obstojem integrl. Z vsko konstntno funkcijo C in vsk zprti intervl [, b] določeni integrl b C dx obstj in je enk C(b ). Dokz: Poljuben približek konstntne funkcije C n intervlu [, b] je enk C(b ), sj z poljubno delitev = x 0 < x <... < x n = b in poljubno izbiro točk ξ,..., ξ n velj n i= f(ξ i)(x i x i ) = C n i= (x i x i ) = C(b ). Odtod sledi, d je tudi limit približkov enk C(b ). Izkže se, d imjo določeni integrl tudi vse zvezne funkcije in vse monotone funkcije. Z vsko zvezno funkcijo f n zprtem intervlu [, b] obstj določeni integrl b f(x) dx. Dokz: Vzemimo pojuben ɛ > 0. Ker je funkcij f zvezn n zprtem intervlu [, b], je po Heine-Cntorjev izreku tudi enkomerno zvezn. (Ponovi!) Torej obstj tk δ > 0, d z poljubn x, y [, b], ki zdoščt x y < δ velj f(x) f(y) < ɛ b. Vzemimo poljubno delitev ρ = {x 0,..., x n }, ki zdošč µ(ρ) < δ. Ker je f zvezn funkcij, obstjjo tke točke ξ i, ξ i [x i, x i ], d velj f(ξ i ) = M i in f(ξ i ) = m i. Odtod sledi, d je i= R(f; ρ) R(f; ρ) = f(ξ i)(x i x i ) i= ( f(ξ i ) f(ξ i ) ) (x i x i ) ɛ b i= f(ξ i )(x i x i ) (x i x i ) = ɛ (b ) = ɛ. b Po pomožnem izreku odtod sledi, d obstj integrl b f(x) dx. Z vsko monotono funkcijo f n zprtem intervlu [, b] obstj določeni integrl b f(x) dx. Dokz: Recimo, d je f monoton funkcij n [, b]. Če je f konstntn, potem že vemo, d b f(x) dx obstj. Oglejmo si primer, kjer je f nrščjoč nekonstntn funkcij n [, b] (podobno velj z pdjoče nekonstntne funkcije). Potem je f() < f(b). Vzemimo poljuben ɛ > 0 in definirjmo i=
6 8. DOLOČENI INTEGRAL ɛ δ = f(b) f(). Z poljubno delitev ρ = {x 0, x,..., x n } intervl [, b], ki zdošč µ(ρ) < δ, velj R(f; ρ) R(f; ρ) = (M i m i )(x i x i ) i= (M i m i )δ = i= = ( f(xi ) f(x i ) ) δ = (f(b) f())δ = ɛ. i= Po pomožnem izreku odtod sledi, d obstj integrl b f(x) dx. 6. Osnovne lstnosti določeneg integrl V tem rzdelku si bomo ogledli tri osnovne lstnosti določeneg integrl. Prvi dve st linernost in integrirnje neenkosti: Z poljubni funkciji f in g definirni n zprtem intervlu [, b] in z poljubno relno število α velj b ( ) b f(x) + g(x) dx = f(x) dx + b b ( ) b αf(x) dx = α f(x) dx. g(x) dx, Če st funkciji f in g definirni n intervlu [, b], če obstjt integrl b f(x) dx in b g(x) dx in če velj f(x) g(x) z vsk x [, b], potem je b f(x) dx b g(x) dx. Teh dveh trditev ne bomo dokzovli, ker je njun dokz zelo podoben dokzu ustreznih lstnosti z limite ( funkcij v točki. ) Dokz prve trditve je podoben dokzu formule lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x), x x x dokz druge trditve p je pdoben dokzu trditve, d iz f(x) g(x) z vsk x sledi lim f(x) lim g(x), če le obe limiti obstjt. x x Znimivejš je tretj formul:
6. OSNOVNE LASTNOSTI DOLOČENEGA INTEGRALA 7 Če je funkcij f definirn n intervlu [, b], če < c < b in če obstj bodisi integrl b f(x) dx bodisi ob integrl c f(x) dx in b f(x) dx, potem obstjjo vsi trije integrli in c velj b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx. Dokz: Predpostvimo, d obstjt integrl I = c f(x) dx in I = b c f(x) dx. Vzemimo poljuben ɛ > 0. Po definiciji določeneg integrl obstjt tk δ > 0 in δ > 0, d velj: r j= f(η j)(y j y j ) I < ɛ 3 z poljubno delitev {y 0,..., y r } intervl [, c] in poljubne η,..., η r, kjer η j [y j, y j ] z vsk j =,..., r. s k= f(ζ j)(z k z k ) I < ɛ 3 z poljubno delitev {z 0,..., z s } intervl [c, b] in poljubne ζ,..., ζ s, kjer ζ k [z j, z j ] z vsk k =,..., s. Po izreku rzdelku st skrčitvi f [,c] in f [c,b] omejeni. Odtod sledi, d je tudi funkcij f omejen. Nj bo M = sup f in m = inf f. Nj bo δ = ɛ min{δ, δ, 3(M m+) } in nj bo ρ = {x 0,..., x n } poljubn delitev intervl [, b] s premerom µ(ρ) < δ. Vzemimo tudi poljubne točke ξ,..., ξ n, kjer ξ i [x i, x i ] z vsk i =,..., n. Če c ρ, potem je c = x m z nek m. Odtod sledi, d je ρ = ρ [, c] delitev z [, c] s premerom µ(ρ ) < δ in d je ρ = ρ [b, c] delitev z [c, b] s premerom µ(ρ ) < δ. Po izbiri δ in δ odtod sledi, d je m i= f(ξ i)(x i x i ) I ɛ 3 in n i=m+ f(ξ i)(x i x i ) I ɛ 3, torej je n i= f(ξ i)(x i x i ) (I + I ) ɛ 3 + ɛ 3 < ɛ. Če c ρ, potem obstj tk m, d velj x m < c < x m. Pišimo ξ m = min{ξ m, c}, R = m i= f(ξ i)(x i x i ) + f(ξ m)(x x m ), ξ m = mx{ξ m, c}, R = f(ξ m)(x m c) + n i=m+ f(ξ i)(x i x i ). Množic ρ = {x 0,..., x m, c} je delitev intervl [, c] z premerom µ(ρ ) < µ(ρ) < δ < δ, zto je R I ɛ 3. Podobno je množic ρ = {c, x m,..., x n } delitev intervl [b, c] s premerom µ(ρ ) < δ, zto je tudi R I ɛ 3. Dokžimo še oceno n i= f(ξ i)(x i x i ) (R + R ) < ɛ 3. Ker je n i= f(ξ i)(x i x i ) (R + R ) = f(ξ m )(x m x m ) f(ξ m)(c x m ) f(ξ m)(x m c) = (f(ξ m ) f(ξ m))(c x m ) + (f(ξ m ) ξ m))(x m c), sledi n i= f(ξ i)(x i x i ) (R +R ) (M m)(c x m )+(M m)(x m c) = (M m)(x m x m ) (M m)δ ɛ 3. Iz teh treh neenkosti dobimo n i= f(ξ i)(x i x i ) (I + I ) n i= f(ξ i)(x i x i ) (R + R ) + R I + R I < ɛ. S tem smo dokzli, d določeni integrl b f(x) dx obstj in d je enk I + I.
8 8. DOLOČENI INTEGRAL Oglejmo si še drugi del izrek. Predpostvimo, d integrl I = b f(x) dx obstj. Dokzti mormo, d potem obstjt tudi integrl c f(x) dx in b c f(x) dx. Vzemimo poljuben ɛ > 0 in nj bo δ > 0 kot v obrtu pomožneg izrek. Vzemimo poljubno delitev ρ intervl [, c] z µ(ρ ) < δ in poljubno delitev ρ intervl [c, b] z µ(ρ ) < δ. Potem tudi z delitev ρ = ρ ρ velj µ(ρ) < δ, odkoder sledi, d je R(f; ρ) R(f; ρ) < ɛ. Ker je R(f; ρ) R(f; ρ) = ( R(f; ρ ) R(f; ρ ) ) + ( R(f; ρ ) R(f; ρ ) ), sledi odtod, d je R(f; ρ ) R(f; ρ ) < ɛ in R(f; ρ ) R(f; ρ ) < ɛ. Pomožni izrek nm sedj pove, d integrl c f(x) dx in b c f(x) dx obstjt. Čeprv b f(x) dx ni smiselno definirn v primeru b, bi rdi definicijo določeneg integrl rzširili tudi n t primer. Dogovorimo se, d velj: f(x) dx = 0, b f(x) dx = b f(x) dx. Zpomniti si mormo, d t formul ni izrek, mpk definicij. Uporbnost te definicije je v tem, d formul b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx sedj velj z poljubne, b, c ne glede n njihov vrstni red. 7. Izrek o povprečju, osnovni izrek infinitezimlneg rčun Povprečje funkcije f n intervlu [, b] je število b b Izrek o povprečju prvi nslednje: f(x) dx. Če je f zvezn funkcij n intervlu [, b], potem obstj tk c [, b], d velj b b f(x) dx = f(c). Dokz: Po predpostvki je f zvezn funkcij n intervlu [, b], zto je tudi omejen. Nj bo m = inf f [,b] in M = inf f [,b]. Ko integrirmo oceno m f(x) M
7. IZREK O POVPREČJU, OSNOVNI IZREK INFINITEZIMALNEGA RAČUNA9 od do b, dobimo (zrdi trditve) Upoštevmo, d je b Odtod sledi, d je b m dx b m dx = m(b ), f(x) dx b b M dx. M dx = M(b ). m f(x) dx M. b Ker je f zvezn funkcij, zvzme (v ustreznih točkh) tko vrednosti m in M kot tudi vsko vrednost med njim. Posebej zvzme tudi vrednost f(x) dx. Torej res obstj tk c [, b], d velj b b b b f(x) dx = f(c). Izrek o povprečju je poleg izrek o obstoju določeneg integrl z zvezne funkcije n zprtem intervlu glvni kork v dokzu nslednjeg izrek, ki nm zgotvlj obstoj nedoločeneg integrl z zvezne funkcije n povezni množici. Osnovni izrek infinitezimlneg rčun: Če je f tk zvezn funkcij, d je D(f) povezn in im neskončno elementov, potem je z vsk D(f) funkcij F (x) = x nedoločeni integrl funkcije f. f(t) dt Dokz: Njprej se prepričjmo, d je funkcij F (x) smiselno definirn z vsk x D(f). Ker je f zvezn n D(f), je zvezn tudi n [, x] ozirom [x, ] (z vsk x D(f).) Dokzli smo, d im vsk funkcij, ki je zvezn n zprtem intervlu, določeni integrl. Torej integrl x f(t) dt res obstj z vsk x D(f). Dokzti mormo tudi, d velj F (x) = f(x) z vsk x D(f). F F (x + h) F (x) (x) = lim h 0 h x+h h 0 = lim h 0 x+h f(t) dt x f(t) dt = h = lim f(t) dt = lim f(c) = f(x). h x h 0 Pri prvem enčju smo uporbili definicijo odvod, pri drugem definicijo funkcije F (x), pri tretjem formulo b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx, pri
30 8. DOLOČENI INTEGRAL četrtem izrek o srednji vrednosti in pri petem zveznost funkcije f v točki x (ker je c med x in x + h, gre c x, ko gre h 0). 8. Newton-Leibnitzov formul in posledice Nslednji izrek nm pove, kko lhko določeni integrl izrčunmo s pomočjo nedoločeneg. V dokzu bomo uporbili osnovni izrek infinitezimlneg rčun. Newton-Leibnitzov formul: Če je f zvezn funkcij n intervlu [, b] in če je Φ njen nedoločeni integrl, potem velj b f(x) dx = Φ(b) Φ(). Dokz: Po osnovnem izreku infinitezimlneg rčun je funkcij F (x) = x f(x) dx nedoločeni integrl funkcije f. Po predpostvki je tudi funkcij Φ nedoločeni integrl funkcije f. Ker je D(f) = [, b], obstj (po izreku o enoličnosti nedoločeneg integrl) tk konstnt C, d velj Φ(x) = F (x) + C z vsk x [, b]. Odtod sledi b f(x) dx = F (b) = F (b) F () = (Φ(b) C) (Φ() C) = Φ(b) Φ(). Newton Leibnitzovo formulo ponvdi pišemo v obliki b x=b f(x) dx = Φ(x), kjer je Primer. 0 Φ(x) x=b x= x= = Φ(b) Φ(). dx = rctg x + x x= x=0 = π 4. Pred uporbo Newton-Leibnitzove formule mormo preveriti, če je funkcij f res definirn in zvezn v vski točki intervl [, b], sicer lhko dobimo npčen rezultt.
8. NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA IN POSLEDICE 3 Primer. Nslednji rčun ni prvilen x dx = x= x x= = =, sj je integrl n levi pozitiven (ker je funkcij pozitivn), rezultt x n desni p je negtiven. Problem je v tem, d funkcij ni definirn x v točki 0 [, ], zto sploh ne bi smeli uporbiti Newton-Leibnitzove formule. Newton-Leibnitzov formul nm omogoč, d formuli z zmenjvo spremenljivk v nedoločenem integrlu in formulo z integrcijo po delih v nedoločenem integrlu prilgodimo tudi z določene integrle. Če je φ strogo monoton zvezno odvedljiv funkcij in če je f zvezn funkcij, potem velj b f(x) dx = φ (b) φ () f(φ(t))φ (t) dt. Dokz: Velj b f(x) dx = = f(x) dx f(φ(t))φ (t) dt x=b x= = t=φ (b) t=φ () f(φ(t))φ (t) dt = φ (b) φ () x=b t=φ (x) x= f(φ(t))φ (t) dt. Pred uporbo se mormo prepričti, d je φ res strogo monoton, sicer inverzn funkcij φ ni smiselno definirn. Primer. Rdi bi izrčunli integrl π 0 sin x dx. Kj je nrobe z nslednjim rčunom? Nprvimo substitucijo t = sin x = φ (x), Po formuli z substitucijo je π 0 sin x dx = φ (π) φ (0) x = rcsin t = φ(t). ( ) 0 sin φ(t) φ (t) dt = t dt = 0. t 0 =
3 8. DOLOČENI INTEGRAL To ne more biti res, sj je integrl pozitivne funkcije pozitiven. Problem je v tem, d funkcij rcsin ni definirn n intervlu [0, π], mpk n [ π, π ]. Prvilni rezultt je π x=π sin x dx = cos x =. 0 Z poljubni zvezno odvedljivi funkciji f in g n intervlu [, b] velj b x=b b f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx. x= x=0 Dokz: Velj = ( f(x)g(x) b f(x)g (x) dx = ) x=b f (x)g(x) dx x= Primer. Funkcij Γ(x) je definirn z Γ(x) = lim b + lim 0 + f(x)g (x) dx = f(x)g(x) b x=b x= x=b x= t x e t dt. = b f (x)g(x) dx. Izkže se, d je smiselno definirn z vsk x > 0. S pomočjo Newton- Leibnitzove formule dokžemo, d je Γ() =. S pomočjo gornje formule z integrcijo po delih bomo dokzli, d z vsk x > 0 velj Velj nmreč b tx e t dt = t x ( e t ) Ker je odtod sledi Γ(x + ) = xγ(x). = t x e t t=b t= lim lim b + t=b t= b (xtx )( e t ) dt = + x b tx e t dt. t=b tx e t 0 + t= lim b b + 0 + = 0, Γ(x + ) = lim tx e t dt = = lim lim x b b + 0 + tx e t dt = xγ(x).
9. VPRAŠANJA ZA PONAVLJANJE 33 Iz lstnosti Γ() = in Γ(x + ) = xγ(x) sledi, d z vsko nrvno število n velj Γ(n) = (n )!. 9. Vpršnj z ponvljnje () (Definicij določeneg integrl) () Rzloži geometrijski pomen določeneg integrl b f(x)dx! (b) Kko izrčunmo približek z b f(x)dx s pomočjo Riemnnovih vsot? (c) Kko definirmo točno vrednost z b f(x)dx? () (Funkcije, ki nimjo določeneg integrl) () Kj vemo o določenih integrlih neomejenih funkcij? (b) Povej primer omejene funkcije, ki nim določeneg integrl. Odgovor utemelji! (c) Povej primer omejene funkcije, ki im določeni integrl. Odgovor utemelji! (3) (Funkcije, ki imjo določeni integrl) () Kko st definirn izrz R(f; ρ) in R(f; ρ)? Kj prvi pomožni izrek? (b) Dokži, d im določeni integrl vsk monoton funkcij n zprtem intervlu! (c) Kj prvi Heine-Cntorjev izrek? (d) Dokži, d im določeni integrl vsk zvezn funkcij n zprtem intervlu! (4) (Lstnosti določeneg integrl) () Dokži, d je določeni integrl vsote enk vsoti določenih integrlov! (b) S primerom pokži, d določeni integrl produkt ni nujno enk produktu določenih integrlov! (c) Kko določeni integrl rzcepimo n dv krjš določen integrl? (5) (Povprečje) () Kko je definirno povprečje funkcije f(x) n intervlu [, b]? (b) Kj prvi izrek o povprečni vrednosti? (c) Kj je geometrijsk interpretcij izrek o povprečni vrednosti? (6) (Osnovni izrek infinitezimlneg rčun) Nj bo funkcij f(x) zvezn n intrvlu [, b] in F (x) = x f(x)dx. () Dokži, d je funkcij F (x) zvezn n [, b]!
34 8. DOLOČENI INTEGRAL (b) Dokži, d je funkcij F (x) odvedljiv n (, b) in d je F (x) = f(x)! (c) Kj prvi Newton-Leibnitzov formul? (d) Kj prvi osnovni izrek infinitezimlneg rčun? (7) (Posledice Newton-Leibnitzove formule) () Kj prvi formul z substitucijo v nedoločenem integrlu? (b) Kj prvi formul z substitucijo v določenem integrlu? (c) Kj prvi formul z integrcijo po delih v nedoločenem integrlu? (d) Kj prvi formul z integrcijo po delih v določenem integrlu? (8) (Gm funkcij) () Kko je definirn funkcij Γ(x)? (b) Dokži, d je Γ() =! (c) Dokži, d je Γ(n + ) = nγ(n) z vsko nrvno število n! (d) Dokži, d je Γ(n) = (n )! z vsko nrvno število n!
POGLAVJE 9 Uporb določeneg integrl. Ploščine rvninskih likov Oglejmo si njprej ploščine rvninskih likov posebnih oblik. y y g x y f x x x x b Če je lik L omejen od spodj s krivuljo y = f(x), od zgorj s krivuljo y = g(x), z leve s premico x = in z desne s premico x = b (glej sliko), potem je njegov ploščin enk pl(l) = b (g(x) f(x)) dx. Predpostvljmo, d st funkciji f in g zvezni. Dokz: Vzemimo poljubno delitev = x 0 x... x n = b intervl [, b] in rzrežimo lik z nvpičnimi premicmi x = x i n mnjše dele. Nj bo L i del lik, ki se nhj med premicm x = x i in x = x i. Z vsk ξ i [x i, x i ] se ploščin lik L i približno ujem s ploščino prvokotnik z osnovnico x i = x i x i in višino g(ξ i ) f(ξ i ), se prvi pl(l) = pl(l i ) (g(ξ i ) f(ξ i )) x i. i= i= 35
36 9. UPORABA DOLOČENEGA INTEGRALA Izrz n desni je rvno Riemnnov vsot funkcije g(x) f(x), ki pripd delitvi = x 0 x... x n = b in izbiri točk ξ i, torej b (g(x) f(x)) dx (g(ξ i ) f(ξ i )) x i. i= Če vzmemo limito po čedlje drobnejših delitvh, torej dobimo pl(l) = lim x i 0 (g(ξ i ) f(ξ i )) x i = i= b (g(x) f(x)) dx. Podobno se prepričmo, d velj tudi nslednje: Če je lik L omejen od spodj s premico y = c, od zgorj s premico y = d, z leve s krivuljo x = h(y) in z desne s krivuljo x = k(y), potem je njegov ploščin enk pl(l) = d c (k(y) h(y)) dy. Predpostvljmo, d st funkciji k in h zvezni. Ploščino bolj komplicirnih likov izrčunmo tko, d jih rzrežemo n mnjše like, kterih ploščine se izrčunjo po eni od gornjih dveh formul. Primer. Izrčunjmo ploščino lik omejeneg s krivuljmi y = x, y = 0 in y = x (glej sliko). y 4 3 y x y x 3 4 5 6 x -
. SREDIŠČA RAVNINSKIH LIKOV 37 Njprej lik prerežemo s premico x = n dv mnjš lik, kterih ploščino izrčunmo po prvi formuli. Ploščin leveg je 0 ( x 0) dx = 3 x3/ x= x=0 ploščin desneg p 4 ( (x )) dx = ( 3 x3/ x + x) Ploščin celotneg lik je torej pl(l) = 4 3 + 0 4 3 = 4 3, x=4 x= = 0 3. = 0 4. 3 Lhko p bi ploščino lik tudi direktno izrčunli po drugi formuli. Ker je lik omejen z y = 0, y =, x = y in x = y +, velj. pl(l) = 0 (y + y ) dy = ( y y3 ) y= + y = 0 3 y=0 3.. Središč rvninskih likov Središče rvninskeg lik L je tk točk (x, y ), kjer je x povprečje x koordint vseh točk lik L, y p povprečje y koordint vseh točk lik L. Središče lik ne leži nujno znotrj lik. Kdr im lik konstntno gostoto, se pojem središč ujem s pojmom težišč, v splošnem p se t pojm rzlikujet. Primer. Središče prvokotnik, omejeneg s premicmi x =, x = b, y = c in y = d je točk (x, y ), kjer je x = +b in y = c+d. Primer. Kdr je lik L sestvljen iz več mnjših likov L,..., L n, kterih središč so (x, y ),..., (x n, y n), potem je središče lik L točk (x, y ), kjer je x = x pl(l ) +... + x n pl(l n ) pl(l), y = y pl(l ) +... + yn pl(l n ). pl(l) Brlec se bo vpršl zkj nismo vzeli kr nvdno povprečje. Rzlog je v tem, d imjo liki z večjo ploščino več točk in zto prinesejo večji delež k povprečju.
38 9. UPORABA DOLOČENEGA INTEGRALA Kdr je lik L omejen z leve s premico x =, z desne s premico x = b, od spodj s krivuljo y = f(x) in od zgorj s krivuljo y = g(x), potem st koordinti njegoveg težišč b b x x(g(x) f(x)) dx = (g(x) f(x)) dx, y = (g(x) f(x) ) dx b. (g(x) f(x)) dx Predpostvljmo, d st funkciji f in g zvezni. b Dokz: Približno koordinte središč izrčunmo tko, d lik rzdelimo n unijo disjunktnih prvokotnikov iz izrčunmo uteženo povprečje njihovih središč. Rzložimo to podrobneje. Vzmemo delitev ρ: = x 0 < x <... < x n = b in definirjmo ξ i = x i +x i z vsk i =,..., n. Nj bo L i prvokotnik omejen s premicmi x = x i, x = x i, y = f(ξ i ) in y = g(ξ i ). Njegovo središče im (kot v prvem primeru) koordinte (ξ i, f(ξ i)+g(ξ i ) ). Središče lik L ρ = L... L n im torej (kot v drugem primeru) koordinte x ρ = n i= ξ i pl(l i ) n i= pl(l i) = n i= ξ i(g(ξ i ) f(ξ i )) x i n i= (g(ξ i) f(ξ i )) x i, y ρ = n i= (f(ξ i) + g(ξ i )) pl(l i ) n i= pl(l i) = n i= (f(ξ i) + g(ξ i ))(g(ξ i ) f(ξ i )) x i n i= (g(ξ i) f(ξ i )) x i. V limiti po čedlje drobnejših delitvh preide L ρ v L, koordinte njegoveg središč p v x = lim ρ x ρ = lim n ρ i= ξ i(g(ξ i ) f(ξ i )) x i lim n ρ i= (g(ξ = i) f(ξ i )) x i b x(g(x) f(x)) dx b, (g(x) f(x)) dx y = lim ρ yρ = lim n ρ i= (g(ξ i) f(ξ i ) b ) x i lim n ρ i= (g(ξ = i) f(ξ i )) x i (g(x) f(x) ) dx. (g(x) f(x)) dx b Anlogno velj: Če je lik L omejen od spodj s krivuljo y = c, od zgorj s krivuljo y = d, z leve s krivuljo x = h(y) in z desne s krivuljo x = k(y), potem st koordinti njegoveg središč x = d c d (k(y) h(y) ) dy, y = (k(y) h(y)) dy c d c d c Predpostvljmo, d st funkciji h in k zvezni. y(k(y) h(y)) dy. (k(y) h(y)) dy
3. VOLUMNI VRTENIN 39 Bolj komplicirne like rzrežemo n mnjše kose, kterih težišč znmo izrčunti po eni od gornjih dveh formul in nto uporbimo formulo iz drugeg primer. Primer. Izrčunjmo središče lik omejeneg s krivuljmi y = x, y = 0 in y = x (glej sliko). Ker je lik omejen z y = 0, y =, x = y in x = y +, dobimo po drugi formuli direktno x = 0 y = ((y + ) (y ) ) dy (y + 0 y ) dy y(y + 0 y ) dy (y + 0 y ) dy = = 8 3 0 3 9 5 0 3 = 46 5 =.84, = 4 5 = 0.8. Lhko p tudi lik s premico x = prerežemo n dv mnjš lik. Levi lik im ploščino pl = in središče 3 x 0 = x( 8 x 0) dx 5 =, pl pl y = 0 ( x 0) dx =. pl pl Drugi lik im ploščino pl = 0 4 in središče 3 4 x = x( 9 x (x )) dx = 8 5 5, pl pl Torej je y = 4 ( x (x ) ) dx = pl 5 3 pl. x = x pl +x pl pl + pl = 46 5, y = y pl +y pl pl + pl = 4 5. 3. Volumni vrtenin Vrtenin je prostorsko telo, ki g dobimo z vrtenjem rvninskeg lik okrog premice, ki leži v isti rvnini kot lik in ki ne deli lik v dv del. Tej premici prvimo simetrijsk os vrtenine, liku p prerez vrtenine. V tem rzdelku se bomo nučili kko izrčunmo volumen vrtenine. Koordintni sistem v prostoru lhko izberemo tko, d je simetrijsk os kr os x, lik p leži v gornji polovici xy-rvnine.
40 9. UPORABA DOLOČENEGA INTEGRALA Vrtenin s simetrijsko osjo x in prerezom, ki je omejen z leve s premico x =, z desne s premico x = b, od spodj s krivuljo y = f(x) in od zgorj s krivuljo y = g(x), im volumen V = π b (g(x) f(x) ) dx. Predpostvljmo, d st funkciji f in g zvezni in pozitivni. Dokz: Vzemimo neko delitev ρ: = x 0 < x <... < x n = b intervl [, b] in neko izbiro točk ξ i [x i, x i ] z vsk i =,..., n. Potem je del vrtenine, ki se nhj med rvninm x = x i in x = x i, približno enk votlemu vlju z višino x i = x i x i, notrnjim polmerom f(ξ i ) in zunnjim polmerom g(ξ i ), ktereg volumen je enk V i = π(g(ξ i ) f(ξ i ) ) x i. Približek z celoten volumen je torej V ρ = V i = π i= (g(ξ i ) f(ξ i ) ) x i. i= V limiti po čedlje drobnejših delitvh dobimo V = lim V ρ = π lim (g(ξ i ) f(ξ i ) ) x i = π ρ ρ i= b (g(x) f(x) ) dx. Metodi, ki smo jo uporbili v tem dokzu prvimo tudi metod rezin. Tokrt pri izpeljvi nslednje trditve ne moremo uporbiti nlogije. Vrtenin s simetrijsko osjo x in prerezom, ki je omejen od spodj s krivuljo y = c, od zgorj s krivuljo y = d, z leve s krivuljo x = h(y) in z desne s krivuljo x = k(y), im volumen V = π d c y(k(y) h(y)) dy. Predpostvljmo, d st funkciji h in k zvezni in pozitivni. Dokz: Vzemimo neko delitev σ : c = y 0 < y <... < y n = d intervl [c, d] in izbiro točk η i = y i +y i z i =,..., n. Del vrtenine, ki se nhj med vljem z polmerom y = y i in y = y i, je približno enk votlemu vlju z višino k(η i ) h(η i ), ktereg volumen je enk V i = π(k(η i ) h(η i ))(y i y i ) = π(k(η i ) h(η i ))(y i + y i )(y i y i ) = = π(k(η i ) h(η i ))η i y i = πη i (k(η i ) h(η i )) y i.
Približek z celoten volumen je torej V σ = σ 3. VOLUMNI VRTENIN 4 V i = π η i (k(η i ) h(η i )) y i. i= V limiti po čedlje drobnejših delitvh dobimo V = lim V σ = π lim η i (k(η i ) h(η i )) y i = π σ σ i= d c y(k(y) f(y)) dy. Metodi, ki smo jo uprbili v tem dokzu, prvimo tudi metod lupin. Volumen vrtenine z bolj komplicirnim prerezom izrčunmo tko, d jo rzdelimo v več mnjših vrtenin, kterih prerez je eneg od gornjih dveh tipov, in nto njihove volumne seštejemo. Primer. Izrčunjmo volumen stožc s polmerom R in višino h. Prerez je trikotnik omejen z x = 0, y = 0 in x + y =. Lhko uporbimo h R bodisi formulo V = π b (g(x) f(x) ) dx z = 0, b = h, f(x) = 0 in g(x) = R( x) bodisi formulo V = π d y(k(y) f(y)) dy s h c c = 0, d = R, h(y) = 0 in k(y) = h( y ). V obeh primerih dobimo R V = 3 πr h. Primer. Izrčunjmo volumen krogelneg odsek s polmerom R in višino h. Prerez je krožni odsek omejen z x = R h, x = R, y = 0 in x + y = R. Lhko uporbimo bodisi formulo V = π b (g(x) f(x) ) dx z = R h, b = R, f(x) = 0 in g(x) = R x bodisi formulo V = π d c y(k(y) f(y)) dy s c = 0, d = Rh h, h(y) = 0 in k(y) = R y. V obeh primerih dobimo V = πh (R h 3 ). Opomb. Volumen krogelneg izsek je V = π 3 R h. Dobimo g tko, d k volumnu krogelneg odsek prištejemo volumen stožc z višino R h in polmerom Rh h. Kdr poznmo središče prerez, je volumen lžje izrčunti z nslednjim prvilom: Prvo Guldinovo prvilo: Volumen vrtenine je enk produktu ploščine prerez in dolžine poti, ki jo pri enem vrtljju opiše težišče prerez. Dokz: Nj bo p ploščin prerez in y drug koordint težišč. Pot, ki jo oprvi težišče pri enem vrtljju je torej πy.