EXAMENE ŞI CONCURSURI

8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi ) Cea de a patra ediţie a cocursului de matematică iiţiat de Facultatea de Matematică şi Iformatică a Uiversităţii Ovidius di Costaţa î colaborare cu Ispectoratul Şcolar Judeţea s-a desfăşurat î zilele de 28 februarie şi martie 2008. Au fost ivitaţi să participe elevi ai claselor a XI-a şi a XII-a cu rezultate bue la olimpiada locală de matematică di judeţul Costaţa, împreuă cu studeţii cu rezultate bue la examee di aii I şi II ai facultăţii. Î prima zi a avut loc proba de cocurs, iar î cea de a doua prezetarea rezolvărilor problemelor îsoţite de cometarii asupra uor soluţii diferite de cele ale autorilor, precum şi auţarea rezultatelor şi premierea. Î urma selecţiei efectuate de către Ispectoratul Şcolar Judeţea, au fost ivitaţi să participe u umăr de 5 de elevi, ditre care 25 la clasa a XI-a şi 26 la clasa a XII-a. Lor li s-au alăturat studeţii Facultăţii de Matematică. Î cotiuare prezetăm problemele propuse spre rezolvare elevilor, împreuă cu soluţiile lor. Mulţumim domului profesor Nelu Chichirim de la Colegiul Naţioal,,Mircea cel Bătrâ petru sprijiul dat la selecţia problemelor de cocurs. Euţuri Clasa a XI-a. Fie şirul (x ) de umere reale eule, cu proprietatea că: x k+ x s x s+ x k x k x s k s, k, s N, k s. Să se arate că (x ) este progresie geometrică. Nelu Chichirim, Costaţa 2. Fie A o matrice de ordi cu elemete reale, avâd proprietatea că A 2007 + A 2008 + A 2009 = O. Notăm B = A 2 + A + I. Să se demostreze că matricea I AB este iversabilă. Gazeta Matematică ) Facultatea de Matematică şi Iformatică, Uiversitatea Ovidius di Costaţa ) Facultatea de Matematică şi Iformatică, Uiversitatea Ovidius di Costaţa

Cocursul Facultăţii de Matematică şi Iformatică, Costaţa, 2009 9 3. Fie f : (0, ) R strict mootoă şi g : (0, ) (0, ) cotiuă, astfel îcât [g(x)f(x) g(y)f(y)][g(y)f(x) g(x)f(y)] 0, petru orice x, y (0, ). Să se arate că f este cotiuă pe (0, ). Gheorghe Adrei, Costaţa 4. Fie A M 2 (C) şi m, N umere prime ître ele, de parităţi diferite, astfel îcât şi Să se arate că A 2 = O 2. det(a m + I 2 ) = det(a m I 2 ) det(a + I 2 ) = det(a I 2 ). Clasa a XII-a Nelu Chichirim, Costaţa. a) Fie (G, ) u grup fiit de ordi impar şi a, b, c G cu proprietatea că a b = c şi c b = a. Demostraţi că a = c. b) Găsiţi 3 elemete a, b, c di (Z 4, +) petru care a + b = c, c + b = a şi a c. Prelucrare, Gazeta Matematică 2. Vom spue că fucţia f : R R are proprietatea (P) dacă este cotiuă şi f(x) = x 2 f(t)dt, x 0. x 0 a) Determiaţi fucţiile poliomiale care au proprietatea (P). b) Dacă f are proprietatea (P), demostraţi că f este de două ori derivabilă pe R, f este cotiuă pe R şi f(0) = 0. c) Determiaţi toate fucţiile f cu proprietatea (P) petru care există şi sut fiite limitele: lim x f (x), lim f (x). x Nelu Chichirim, Costaţa 3. Petru u iel A otăm Z(A) = {x A : xy = yx, y A} şi I(A) = { x A : x 2 = x }. a) Notăm G = Z(A) G(A). Pe G defiim legea x y = x + y 2xy, x, y G. Demostraţi că (G, ) este grup abelia. b) Arătaţi că dacă Z(A) G(A) este o mulţime fiită, atuci umărul elemetelor acestei mulţimi este de forma 2 k, k N. Marcel Ţea, Bucureşti, Gazeta Matematică 4. Fie f : (0, ) R cotiuă, cu proprietatea că există: şi există şi este fiită: lim f(x) = 0 x

20 Examee şi Cocursuri Defiim şirul a = lim xf(x). x 0 f(x)dx, N. Demostraţi că (a ) este coverget la 0. Soluţii Clasa a XI-a. a) Di ipoteză avem: x k+ x s x s+ x k x k x s k s, k s deci: x k+ x s+ x k x s, k s. k s de ude: Fie y = x +,. Obţiem: x y k y s k s, k s, y k y k, k 2. Rezultă că: lim y k = y. k Petru s fixat, obţiem la fel: lim y k = y s. k Nelu Chichirim, Costaţa Rezultă y s = y, s N, deci (x ) este progresie geometrică. 2. Cum B 2 = A 2 + A + I, rezultă AB = BA. Deoarece: A 2007 + A 2008 + A 2009 = O vom avea: Rezultă: Obţiem: A 2007 B = O. (AB) 2007 = A 2007 B 2007 = A 2007 B B 2006 = O. I (AB) 2007 = I,

Cocursul Facultăţii de Matematică şi Iformatică, Costaţa, 2009 2 deci (I AB) ( I + AB + + (AB) 2006) = I. Rezulă că I AB este iversabilă. 3. Deoarece f este strict mootoă, rezultă că f admite limite laterale fiite î orice x 0 (0, ). Fie y = x 0. Obţiem: [f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 )][g(x 0 )f(x) g(x)f(x 0 )] 0, x R. Trecâd la limită câd x x 0, x < x 0, rezultă: g 2 (x 0 )[f(x 0 0) f(x 0 )] 2 0 f(x 0 0) = f(x 0 ). Aalog, vom avea f(x 0 + 0) = f(x 0 ). Deci f este cotiuă î x 0. Cum x 0 este arbitrar, rezultă că f este cotiuă pe (0, ). 4. Să observăm că, dacă X M 2 (C), cu proprietatea că det(x + I 2 ) = = det(x I 2 ), rezultă că Tr(X) = 0. Ţiâd cot de această observaţie şi de ipoteza problemei, rezultă că Tr(A m ) = 0 şi Tr(A ) = 0. Di relaţia Hamilto-Cayley obţiem A 2m = d m I 2 şi A 2 = d I 2, ude d = det A. Fără a micşora geeralitatea, presupuem m par şi impar. Vom arăta că d = 0. Presupuem d 0. Rezultă că A este iversabilă. Cum (m, ) =, rezultă că există k, s Z astfel îcât mk + s =. Obţiem: A 2mk = ( ) k d mk I 2, A 2s = ( ) s d s I 2 şi: A 2 = ( ) k+s d I 2. Rezultă că A 2m = d m I 2 şi apoi d m I 2 = d m I 2. Deci d = 0 şi obţiem imediat că A 2 = O 2.

22 Examee şi Cocursuri Clasa a XII-a. a) Se ştie că G = 2k +, k N. Cum a b = c şi c b = a, rezultă că (c b) b = c. Di această egalitate şi di faptul că (G, ) este grup, rezultă b b = e. Ţiâd cot că G = 2k + obţiem imediat că b = e. Reveid î a b = c, rezultă că a = c. b) Se observă că (spre exemplu) a = 0, b = 2, c = 2 îdepliesc codiţiile cerute. 2. a) Fie f(x) = a 0 + a x +... + a x, x R. Îlocuid î (P) se obţie: de ude a k x k = k=0 k=0 a k 2 k+ k + xk, x R, k+ 2 a k = a k, k = 0,. k + Rezultă că fie a k = 0, fie 2 k+ = k +. Folosid faptul că 2 2, N, 4 (sau alte argumete) se demostrează uşor că sigurele soluţii îtregi ale ecuaţiei mai sus meţioate sut k =, respectiv k = 3. Obţiem că a k = 0, k / {, 3}, de ude f(x) = a x+a 3 x 3, a, a 3 R. b) Cum f este cotiuă rezultă că fucţia F : R R, F (x) = F (0) = 0, este o primitivă a lui f. Obţiem că fucţia f, f(x) = F (x 2) x x este derivabilă pe R şi f (x) = f(x 2) x 2 F (x 2) x 2, x 0. Rezultă că f este derivabilă pe R şi f este cotiuă pe R. Vom avea: F (x 2) lim = lim f(x) lim x 0 x x 0 F (x 2) x 0 x 2 2 = f(0) F (0) 2 = f(0) f(0) 2 = f(0) f(0) = 0. 0 f(t)dt, c) Utilizâd fucţia de la puctul aterior şi derivâd de două ori, obţiem: f(x) = F (x 2), x R xf(x) = F (x 2), x R x xf (x) + 2f (x) = 2f (x 2), x R f (x) = 2 [ f (x ] 2) f (x), x R. x

Cocursul Facultăţii de Matematică şi Iformatică, Costaţa, 2009 23 Fie x > 0 fixat. Aplicâd Teorema lui Lagrage şi ţiâd cot de egalitatea aterioară, se obţie: c (x, x 2) a.î. f (x) = 2 x f (c ) x( 2 ) f (x) = 2f (c ) ( 2 ), c 2 (c, c 2) a.î. f (c ) = 2 [ ] f (c 2) f (c ) = 2( 2 )f (c 2 ), c ş.a.m.d, f (x) = Rezultă că există: [ 2( 2 )] f (c ), x < c < c 2 <... < c. lim c = l, cu l (0, ) sau l =. Dacă l (0, ) vom avea f (c ) f (l) R. Dacă l = rezultă f (c ) lim f (x) R. x Deci, şirul (f (c )) este coverget. Avem atuci: f (x) = lim 2 ( 2 ) f (c ) = 0. Obţiem f (x) = 0, x > 0, de ude f(x) = ax + c, cu a, c R, a 0. Aalog rezultă f (x) = 0, x < 0, de ude f(x) = bx + d, cu b, d R, b 0. Tiâd cot de faptul că f este cotiuă î 0, rezultă c = d = 0, deci { ax, x 0 f(x) = bx, x > 0. 3. a) Petru orice x, y G vom avea (x y) 2 = (x+y 2xy) 2 = x 2 +y 2 +4x 2 y 2 +2xy 4x 2 y 4xy 2 = x+y 2xy = x y. Deci x y G. Se demostrează rapid că legea,, este asociativă pe G, comutativă pe G şi că 0 este elemet eutru petru,, pe G. Î plus: x x = x + x 2x 2 = 0 Deci, orice x G este simetrizabil î raport cu,, şi simetricul său este x = x. Obţiem că (G, ) este grup abelia. b) Presupuem că G u este o putere a lui 2 şi otăm cu k cea mai mare putere a lui 2 cu proprietatea că 2 k divide G. Rezultă că G = 2 k (2l + ), l N. Fie p u divizor atural prim al lui 2l+. Coform Teoremei lui Cauchy, rezultă că exista x G astfel icât ord G (x) = p.

24 Examee şi Cocursuri Tiâd cot de faptul că x x = e şi p este impar rezultă imediat că x = e şi p =. Am ajus la cotradicţie cu faptul că p este prim. Deci, presupuerea facută este falsă. Rezultă că G este o putere a lui 2. 4. a) Se aplică Criteriul Cesàro-Stolz petru şirurile (x ), (y ), ude x = f(x)dx, y =. Avem: x + x y + y = + + f(x)dx f(x)dx = + f(x)dx + + f(x)dx. Notăm: I = + f(x)dx, J = + f(x)dx. Aplicâd Teorema de medie, există c [, + ] astfel îcât J = f(c ). Deci c şi aplicâd ipoteza rezultă J 0. Deoarece: lim x 0 (xf(x)) R rezultă că există δ > 0, M > 0 astfel îcât xf(x) M, x (0, δ). Există 0 N astfel îcât < δ. [ 0 Dacă 0, rezultă că + ; ] (0, δ). Obtiem: I + f(x) dx + ( M + dx = M l x ) 0. Aplicâd Criteriul majorării rezultă că lim I = 0, deci: x + x lim = 0. y + y Coform Criterilui Cesàro-Stolz, rezultă că există lim a = 0. Problemele propuse spre rezolvare elevilor la această ediţie a cocursului au fost cu u grad mai scăzut de dificultate faţă de cele propuse î ediţiile aterioare, acest lucru ducâd la obţierea uor puctaje mai bue de către participaţi. Î cotiuare evideţiem elevii premiaţi la acest cocurs.

Rezolvarea problemelor di G. M.-B r. 6/2009 25 Clasa a XI-a Premiul I: Velicu Adrei, C. N.,,Mircea cel Bătrâ, Costaţa Premiul II: Cocalea Adrei, C. N.,,Mircea cel Bătrâ, Costaţa Premiul III: Ocioiu Aamaria Raluca, C. N.,,Mircea cel Bătrâ, Costaţa Premiul Societăţii de Ştiite Matematice, filiala Costaţa: Hudişteau Aamaria Premiul Facultăţii de Matematică şi Iformatică: Sav Adria Clasa a XII-a Premiul I: Burtea Cosmi, C. N.,,Mircea cel Bătrâ, Costaţa Premiul II: Goga Steliaa, C. N.,,Mircea cel Bătrâ, Costaţa Premiul III: Drăga Moica, C. N.,,Mircea cel Bătrâ, Costaţa Premiul Societăţii de Ştiite Matematice, filiala Costaţa: Capalasiu Adela Premiul Facultăţii de Matematică şi Iformatică: Necşulescu Maria Meţiui: Zechiu Maria, Mutu Rareş, Cocu Ioaa PROBLEME REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN GAZETA MATEMATICĂ Nr.6/2009 E:3839. restul b. PROBLEME PENTRU GIMNAZIU Clasa a V-a Determiaţi umerele de forma ab care împărţite la a b dau Ştefa Marica, Drobeta Turu-Severi Soluţie. Avem ab = abx + b, cu codiţia evidetă b < ab. Di ab = abx + b obţiem 0a + b = abx + b sau 0 = bx. Di ultima relaţie deducem următoarele situaţii: ) b = ; x = 0 şi umerele sut: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; 2) b = 2; x = 5 şi umerele sut: 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92; 3) b = 5; x = 2 şi umerele sut:25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95. E:3840. Aflaţi umerele aturale a, b, c, cu a < b c, astfel îcât: 2 a + 2 b + 2 4 5 b = 2009. Emil Vlad, Zimicea, Teleorma Soluţie. Dacă umerele 2 a ; 2 b ; 2 4 5 b sut umere pare, atuci egalitatea este imposibilă. Îseamă că uul ditre ele trebuie să fie impar. Cum b > 0, reiese că 2 a =. Î acest caz obţiem a = 0 şi relaţia di euţ devie 2b + 2 4 5 b = 2008 sau