ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A στω µια συν ρτηση f, η οποία είναι ορισµ νη σε ένα κειστό δι στηµα [α, β] Αν: η f είναι συνεχής στο [α, β] και fα fβ δείξτε ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των fα και fβ υπάρχει ένας, τουάχιστον α, β τέτοιος, ώστε f η Μονάδες Α Πότε η ευθεία y β έγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f στο ; Μονάδες 4 B Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακοουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη έξη Σωστό ή Λάθος δίπα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] µε fα < και υπάρχει ξ α, β ώστε fξ, τότε κατ ανάγκη fβ > Μον δες β Αν υπάρχει το lim f g lim f και lim g, τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα Μονάδες γ Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f - και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σηµείο Α µε την ευθεία y, τότε το σηµείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f - Μονάδες δ Αν lim f και f > κοντά στο, τότε lim f Μονάδες ε Αν η f είναι µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα και α είναι ένα σηµείο του, τότε ισχύει f d f f a για κάθε a Μονάδες Τεχνική Επεξεργασία: Kyson
ΘΕΜΑ στ Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δε µηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηαδή διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα Μονάδες ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,, µε α είξτε ότι: β είξτε ότι ο αριθµός είναι πραγµατικός γ είξτε ότι: Μονάδες 7 Μονάδες Μονάδες ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f, > α είξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Μονάδες β είξτε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y Βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου επαφής Μ Μονάδες 7 γ είξτε ότι το εµβαδόν Ε του χωρίου, το οποίο περικείεται µεταξύ της γραφικής παράστασης της f, της εφαπτοµένης της στο σηµείο Μ και του άξονα y y, είναι E Μονάδες 8 E δ Υποογίστε το lim ηµ Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson
ΘΕΜΑ 4 Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση f f για κάθε και f α Να δειχθεί ότι: f ln β Nα βρεθεί το: f d lim ηµ γ ίδονται οι συναρτήσεις: 7 5 h f d και g 7 είξτε ότι h g για κάθε δ είξτε ότι η εξίσωση, Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 7 5 f d έχει ακριβώς µία ύση στο 8 Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κειστό διάστηµα [α, β] Αν: η f είναι συνεχής στο [α, β] και fα fβ τότε, για κάθε αριθµό η µεταξύ των fα και fβ υπάρχει ένας, τουάχιστον α, β τέτοιος ώστε f η Α Η ευθεία y β έγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο, αν lim [ f β ] Β α Λ, β Λ γ Σ δ Σ ε Λ στ Σ ΘΕΜΑ α Από τη σχέση έχουµε: β Αρκεί * να δειχθεί ότι: Όµως,, αφού Άρα * Ισχύει ότι IR γιατί αν α βi τότε α βi άρα βi Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 4
Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 5 Έτσι IR β γ α' τρόπος Είναι: 7 β' τρόπος Είναι: 8 8 8 8 Η τεευταία ισχύει προφανώς, άρα και η αρχική ΘΕΜΑ α H f είναι παραγωγίσιµη στο ως σύνθεση παραγωγισίµων συναρτήσεων σ' αυτό, µε f, Είναι >, > για κάθε, οπότε f > για κάθε Άρα f γνησίως αύξουσα στο β Έστω, f οι συντεταγµένες του σηµείου Μ Τότε η εξίσωση της εφαπτοµένης στο Μ είναι ε: y f f y Για να διέρχεται η ε από την αρχή των αξόνων πρέπει και αρκεί:
γ Έτσι η ε γίνεται: y y Οι συντεταγµένες του Μ είναι: M, y ε B, M, ' O A, Το ζητούµενο εµβαδόν όπως φαίνεται από το σχήµα ισούται µε: OAMB OAM d y' δ Είναι Για κάθε > είναι: ηµ ηµ ηµ < Όµως lim lim, οπότε µε βάση το κριτήριο παρεµβοής είναι ηµ ηµ lim, ενώ > Έτσι lim και αφού > προκύπτει τεικά ότι ηµ E lim ηµ Παρατήρηση: Για την εύρεση του εµβαδού του χωρίου Ε είναι δυνατόν να µη χρησιµοποιηθεί το σχήµα ως εξής: Για την f είναι f και f > για κάθε Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 6
Έτσι η f είναι κυρτή στο οπότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο της, βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση µε εξαίρεση το σηµείο επαφής Σχόιο σε 74 σχοικού βιβίου Έτσι f f για κάθε Η συνάρτηση g f είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων στο, οπότε το ζητούµενο εµβαδόν ισούται µε: Ε f d d K ΘΕΜΑ 4 α Από τη δοσµένη σχέση f ή f f f ή f f ή f ή f f C, C f f για κάθε έχουµε: Για έχουµε: f C η οποία όγω του ότι f γράφεται: C C C f f Οπότε: Άρα: f ln β Θέτουµε u ιαφορίζουµε την τεευταία και βρίσκουµε du d Επιπέον για είναι u, ενώ για είναι u Έτσι: f d f u du Εποµένως: f u du Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 7
f d f u du lim lim ηµ ηµ Η f είναι συνεχής στο, οπότε η f u du είναι παραγωγίσιµη στο µε f u du f Επειδή η f u du είναι παραγωγίσιµη στο θα είναι και συνεχής σ' αυτό f u du f u du Εποµένως: lim lim f f lim f ηµ ηµ συν συν Η f είναι παραγωγίσιµη στο, άρα είναι και συνεχής σ' αυτό γ Είναι h 5 fd 5 fd 5 fd 5 fd Αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση φ 5 f η h γράφεται: h φd φd 5 fd Η φ 5 f είναι συνεχής στο, άρα η συνάρτηση κ φd είναι παραγωγίσιµη στο µε κ φ 5 f, όπως επίσης είναι παραγωγίσιµη και η συνάρτηση κ φd ως σύνθεση των παραγωγισίµων, κ, µε κ φ φ Εποµένως h κ κ φ φ 5 f 5 f 5 5 5 5 ln ln ln ln 5 5 5 5 ln ln ln Ακόµα η 7 6 g είναι παραγωγίσιµη στο µε g 7 7 7 Επειδή h g για κάθε είναι h g c, c Όµως για είναι h g, άρα c Εποµένως h g για κάθε 6 6 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 8
5 δ Η εξίσωση f d όγω του ερωτήµατος γ γράφεται ισοδύναµα 8 7 8 7 7 7 8 Θεωρούµε τη συνάρτηση P 8 7 7, [, ] Η P είναι συνεχής στο, άρα και στο [, ] ως πουωνυµική P 7 < κ' P > Εποµένως, σύµφωνα µε το θεώρηµα Bolano υπάρχει ένα τουάχιστον, τέτοιο ώστε P Επιπέον η P είναι παραγωγίσιµη στο ως πουωνυµική, άρα και στο [, ] µε P 8 7 6 Είναι P > για κάθε, οπότε η P είναι γνησίως αύξουσα στο, Άρα η P έχει ακριβώς µία ρίζα στο, Τεχνική Επεξεργασία: Kyson