Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου u Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ u Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος σε Αναλογικό (D/A Conversion) Συστήµατα (στο χώρο συχνότητας) από δειγµατοληπτικά δεδοµένα Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές
Κλασσική Μορφή Συστήµατος Ελέγχου µε Η/Υ u Ο Αναλογοψηφιακός Μετατροπέας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 2
u Κεφάλαιο 2: Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Μετατροπέας A/D (A/D converter) : µετατρέπει ένα αναλογικό σήµα (δηλ. µία συνάρτηση συνεχούς χρόνου και µε συνεχές πεδίο τιµών) σε ψηφιακό (συνάρτηση διακριτού χρόνου και µε διακριτό πεδίο τιµών), δηλαδή σε µία χρονοσειρά από bytes. Δρα σαν ενδιάµεσος φορέας (interface) µεταξύ ενός αναλογικού συστήµατος & ενός ψηφιακού συστήµατος που οδηγείται από το αναλογικό. Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3
Αναλογοψηφιακή Μετατροπή u u Η συσκευή δειγµατοληψίας & παρακράτησης σήµατος (Sample & Hold - S/H): τµήµα του A/D που χρησιµοποιείται για πραγµατοποίηση ταχείας δειγµατοληψίας ενός αναλογικού σήµατος και παρακράτηση του δείγµατος µέχρι που να ζητηθεί η επανάληψη νέας δειγµατοληψίας. Αυτό γίνεται γιατί ο κβαντιστής, που ακολουθεί, απαιτεί κάποιο χρόνο για να µετατρέψει τα αναλογικά σήµατα εισόδου σε ψηφιακά και αν το σήµα εισόδου του άλλαζε κατά την διάρκεια αυτού του χρόνου θα έδινε εσφαλµένα αποτελέσµατα. u u Ο κβαντιστής (quantier) είναι το τµήµα του A/D που λαµβάνει ως είσοδο το σήµα (διακριτού χρόνου) δειγµατοληψίας από τον S/H και το κωδικοποιεί σε διακριτό πεδίο τιµών. Ένας από τους κλασσικούς κβαντιστές είναι αυτός του τύπου διαδοχικής προσέγγισης (successive approximation). Quantier S/H Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4
Αναλογοψηφιακοί Μετατροπείς: Χαρακτηριστικά u u Εύρος Εισόδου Διακριτότητα ή επίπεδο κβαντισµού, q. Το επίπεδο κβαντισµού είναι πολύ µικρό όταν ο αριθµός των bits που χρησιµοποιείται για την παράσταση του ψηφιακού σήµατος είναι µεγάλος πράγµα που ισχύει στην σύγχρονη τεχνολογία όπου (Ν = 32, 64, 28). u Χρόνος Μετατροπής Λόγω της σύγχρονης τεχνολογίας ηλεκτρονικών ο χρόνος µετατροπής είναι πολύ µικρός. f f t q = υ υ max min ( N 2 ) f(0) f() f(2) f(n) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 5
Αναλογοψηφιακοί Μετατροπείς: Απλοποιηµένο Μοντέλλο Δειγµατολήπτη f(0) f() f(2) f(n) f f t Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 6
Αναλογοψηφιακοί Μετατροπείς: Χαρακτηριστικά f(0) f() f(2) f(n) f = f ( 0) δ + f ( ) δ ( t ) + f + f ( 2 ) δ ( t 2 ) + k=0 = f ( k ) δ t k f F = L f = L f ( k) δ ( t k) = k= 0 δ = f k L t k = k= 0 ks F s = Lf t = f k e k= 0 f t Από τις ιδιότητες του Μ/σµου Laplace ks ( ) = L δ t k e Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 7
Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Ο Μετασχηµατισµός Ζ u Είναι προφανής η σηµασία της περιόδου δειγµατοληψίας Τ στην παράσταση του σήµατος από δειγµατοληψία. u Θεώρηµα Δειγµατοληψίας : (Nyquist - Shannon) Εάν ένα αναλογικό σήµα δεν εµπεριέχει καµιά συχνότητα υψηλότερη της ω c (rad/sec), τότε µπορεί να χαρακτηρισθεί εντελώς από τις τιµές του σήµατος που µετρώνται σε στιγµές που ισαπέχουν κατά s = π / ω c. u Στην πράξη << s. Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 8
H Σηµασία της Δειγµατοληψίας στην Ορθή Καταγραφή Πληροφορίας: Ένα Παράδειγµα Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 9
Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Ο Μετασχηµατισµός Ζ u Η προηγούµενη µορφή της F = f ( k ) e k s δεν είναι ανάλογη των γνωστών µας πολυωνυµικών. k=0 u ΟΜΩΣ µέσω της σύµµορφης απεικόνισης s = e s= ln τότε F s = ln = k=0 f k Αυτός είναι ο µετασχηµατισµός-ζ του που ορίζεται ως! Z f F = F s s= = L f t ln s= ln k = F ( ) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 0
Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετασχηµατισµός Ζ & Συναρτήσεις Μεταφοράς r t R s r R G(s) y Y y t Y s Παραδειγµα: Για Τ= και Y ( ) = G( ) R( ) = Y ( ) = G( ) = 0.632 2 ( ) 2 0.736 + 0.368 2 0.736 + 0.368 Y ( ) = () Y s G s R s = Y( ) = G( ) R( ) 0.632 2 0.736 + 0.368 0.632 = A + B + C 2 0.736 + 0.368 ( e 0.5 cos) 2 2 e 0.5 cos+ e = y k Αυτο ευρίσκεται από την G(s) µέσω της µεθοδολογίας Απλών ή Πολλαπλών πόλων του Παραρτήµατος = Z Y ( ) µε είσοδο r = u s R( ) = A =, B =, C = 0.368 e 0.5 cos 2 e 0.5 cos+ e 2 { } = e 0.5 k cos k Από τη 7 η περίπτωση του πίνακα Μ/σµών Ζ : Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές
Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετασχηµατισµός Ζ & Συναρτήσεις Μεταφοράς r t R s r R G(s) y Y y t Y s = () Y s G s R s Y( ) = G( ) R( ) r t R s r R G (s) d d D D G 2 (s) y Y y t Y s = Y G D 2 = D G R } Y = G2 G R r t R s r R G (s) d D G (s) y Y y t Y s GG G G 2 2 = = Y ZG2 s G s R GG 2 R Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 2
Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετασχηµατισµός Ζ & Συναρτήσεις Μεταφοράς Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3
Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετασχηµατισµός Ζ & Συναρτήσεις Μεταφοράς Παράδειγµα-: (s) Ε(s) Ε * (s) M(s) Y ( ) = G( ) E( ) E = R M E( ) = R( ) M ( ) G(s) H(s) Y(s) M = GH E( ), GH! Z G s H s E( ) = R( ) GH ( ) E( ) E( ) = + GH ( ) R( ) Y ( ) = R( ) G + GH Παράδειγµα-2: R(s) Ε(s) Ε * (s) M(s) G (s) E( ) = R( ) HG 2 G Y ( ) = G 2 G ( ) E H(s) E G 2 (s) E( ) = Y(s), G 2 G + HG 2 G! Z G 2 G = R M E( ) = R( ) M ( ) E s M ( ) = HG 2 G R( ) Y E( ), HG 2 G ( )! Z H G 2 G s = G 2 G + HG 2 G R( ) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4
Κλασσική Μορφή Συστήµατος Ελέγχου µε Η/Υ u Ο Ψηφιαναλογικός Μετατροπέας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 5
Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος σε Αναλογικό (D/Α Conversion) u Ψηφιοαναλογικός Μετατροπέας (D/A converter): συσκευή µετατροπής ενός ψηφιακού σήµατος (συνάρτηση διακριτού χρόνου - διακριτού πεδίου τιµών) σε αναλογικό (δηλ. συνάρτηση συνεχούς χρόνου - συνεχούς πεδίου τιµών). Αυτή η συσκευή είναι απαραίτητη σαν ενδιάµεσος φορέας (interface) µεταξύ ενός αναλογικού συστήµατος και ενός ψηφιακού συστήµατος που οδηγεί το αναλογικό. χρησιµοποιείται για µετατροπή ψηφιακών τιµών σε τιµή τάσης χρησιµοποιείται για προσέγγιση του σήµατος µεταξύ των στιγµών ανανέωσης κρατώντας ουσιαστικά σταθερή την τελευταία τιµή Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 6
Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή u Ηλεκτρονική Υλοποίηση u Μαθηµατική Ανάλυση Διαδικασίας D/A DECODER υ 0 ZOH u Ο αριθµός bits που χρησιµοποιείται για την παράσταση του ψηφιακού σήµατος είναι µεγάλος (Ν = 32, 64, 28) Για µία ψηφιακή τιµή έχουµε b n b n b n 2!b = υ b R R + b υ R 2 2R + + b N Και κατά συνέπεια η έξοδος είναι: n i= υ R 2 N 2 R + b N u b i 2 i Μπορεί εποµένως να αγνοηθεί ο decoder οπότε αρκεί να δούµε την επίδραση του ΖΟΗ, το οποίον µαθηµατικά περιγραφουµε ως... υ R 2 N R = υ 0 R F /, ( ) ) uk t = u t t k k+ = = u k us t us t Κων/νος υ 0 = 2R Fυ R b Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 7 R 2 + b 2 2 + + b N 2 2 + b N N 2 N
Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή... την επίδραση του ΖΟΗ περιγράφει η συνάρτηση... o u s (t) συµβολίζει την «συναρτηση βαθµίδας» (step function) και ΔΕΝ έχει καµµία σχέση µε /, ( ) ) uk t = u t t k k+ = = u k us t us t Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 8 τη συνάρτηση εισόδου u (t), u(t).
Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή /, ( ) ) uk t = u t t k k+ = u k us t us t u(k ) Gh o u k (t) k = 0,, s e e Gh = L u o s t us t = L us t L us t = = s s s { } { s s } { } { } Z Gh s Z L u o = s t us t = = Z L u t L u t = = Z L us t Z L us t Z{ L us } = Z = s Z f ( t n) = F( ) Z u ( t ) = G = n s Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 9 h o s
Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή: Πως Βρίσκουµε τη, µέσω Μετ/σµου-Ζ, περιγραφή του Διακριτού Αναλόγου Δεδοµένης Εγκατάστασης? r R r R.ο.h. h H G h H y Y y Y = R( ) H = Z G s Y G ho s R = G R Από την 4 η ιδιότητα των Μ/σµων-Ζ s s e G s e G s G s G ( ) = Z G Z Z ( ) Z s = = s s s Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 20
Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή: Παράδειγµα r R r R.ο.h. h H / s h H y Y y Y = R( ) H = Z G s Y G ho s R = G R ( ) Z ( ) s ( ) s s e G s e G s G s G ( ) = Z G Z Z ( ) Z s = = = s s s = = = Κων/νος 2Ι. Κυριακόπουλος 2Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 2
Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή: Παράδειγµα r R r R.ο.h. h H / s h H y Y y Y G Αν ( ) = r t τότε οπότε = u s R = s R( ) = Y ( ) = G = k y k R = ( ) 2 ΔΕΝ δείχνει το y(t) ΑΛΛΑ το y (t) Μεταξύ των χρονικών στιγµών k? Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 22
Παράρτηµα: ο Μετασχηµατισµός Ζ = Z f F = F s s= = L f t ln = s= ln L k=0 f k δ t k s= ln = = f k k=0 L δ t k = f ( k ) e k s = f k s= ln k=0 s= ln k=0 k Παράδειγµα: Να ευρεθεί ο Μ/σµος-Ζ της συνάρτησης «ραµπας» Z t =? f ( k ) = k f = k δ ( t k ) F k=0 = k e ks = e s e ks = k k=0 F = k k = + 2 2 + 3 3 +! k=0 Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 23
Παράρτηµα: ο Μετασχηµατισµός Ζ F F( ) = + 2 2 + 3 3 +! F( ) = + 2 + 3 2 +! F( ) = + + 2 +! F( ) = + + 2 +! = ( ( ) + + 2 +! ) = Z[ t] = F( ) = ( ) 2 ( ) 2 Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 24
Παράρτηµα: ο Μετασχηµατισµός Ζ, συνεχ. Ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του µετασχηµατισµού Ζ, F(), µίας συνάρτησης f (t) µε N s µετασχηµατισµό Laplace F = µε k πόλους είναι: D s ξ n n =,2,!,k Απλοί Πόλοι F ( ) = k n= N ξ n D ξ n e ξ n Παράδειγµα: Z us t =? N s L us = = Dʹ ( ξ ) = s D F( ) = ξ = 0 Μπορούµε επίσης να χρησιµοποιήσουµε και Πίνακα... Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 25
Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 26
Παράρτηµα: ο Μετασχηµατισµός Ζ, συνεχ. Ενώ όταν οι πόλοι έχουν πολλαπλότητα F Παράδειγµα: Z [ t] sin ω =? s= ln mn ο καθένας m n i mn i i mn m d k n ( ) K s d ( n ) ni e s ξ F s = K m n = n i i i n= i= ( mn i)! ds ( i )! ds s= s ξn s= ξ n ω N s L[ sinωt] = = ξ 2 2,2 =± jω s + ω D s Dʹ ( ξ) = 2ξ Dʹ ( ξ,2 ) =± 2jω sinω F( ) = = 2 2 j ω jω j e e 2cosω + Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 27
Παράρτηµα: Ιδιότητες Μετασχηµατισµού Ζ. Z f t 2. Z a f t ± f 2 3. Z f t n Z f t + n 4. Z e a f t 5. f 0 = F ± F 2 = a F = n F = n F = lim f ( k ) = lim k 0 = lim 6. lim k f k 7. Z f t,a a = F e± a n f k F F = F,a a k=0 k if lim F ( ) exists if lim k 8. F ( ) F 2 ( ) = Z f ( n ) f 2 ( k n ) 9. Z t f t n=0 df = d F exists Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 28
Ο «Αντιστροφος- Ζ» παρέχει την f(k) και οχι την f(t) Παράρτηµα: Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Ζ Z F ( ) f k Ο πιο συνήθης τρόπος αντίστροφου µετασχηµατισµού είναι η αποσύνθεση σε απλά κλάσµατα και παράγοντες που είναι σε µία από τις µορφές που ευρίσκονται σε ένα πίνακα µετασχηµατισµών. Παράδειγµα-: f k F( ) = 0.5 ( 0.5) ( 0.7) = A 0.5 Z ( 0.5) ( 0.7) 0.5 + Από τη 3 η περίπτωση του πίνακα Μ/σµών Ζ : Z Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 29 B 0.7 = 2.5 0.5 + 2.5 0.7 F( ) = 2.5 0.5 + 2.5 0.7 K = Z K ( K )k k = 0,,2,!
Παράδειγµα-2: Παράρτηµα: Αντίστροφος f ( k ) = 2.5 ( 0.5) k + 2.5 ( 0.7) k f f Μετασχηµατισµός Ζ = f ( k ) δ ( t k ) = 2.5 0.5 k=0 k=0 ( a e ) ( )( a e ) k + 2.5 ( 0.7) k δ ( t k ) = 0 δ + 0.5 δ ( t ) + 0.6 δ ( t 2 ) + 0.545 δ ( t 3 ) +! f ( k ) = Z =? F( ) A B = + F( ) = f ( k) = e a a e e ak Back Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 30
r t R s r R G(s) y Y y t Y s r R r R.ο.h. h H / s h H y Y y Y Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3