TEMA 0 TESTE DE CONCORDANŢĂ Obiective Cuoaşterea coceptelor reritoare la testele de cocordaţă Aaliza pricipalelor teste de cocordaţă Aplicaţii rezolvate Aplicaţii propuse Cupris 0. Cocepte reritoare la testele de cocordaţă 0. 0. Testul χ 0. 0. Testul Hery 0.7 0. Testul Kolmogorov-Smirov 0.9 0. Testul Grubbs 0. 0.6 Cocepte cheie 0.
0. MODULUL METODE DE INFERENŢĂ STATISTICĂ 0. TESTE DE CONCORDANŢĂ 0. Cocepte reritoare la testele de cocordaţă Testele de cocordaţă (î egleză goodess of fit test) e arată modul î care u aumit model statistic (o aumită distribuţie statistică) se potriveşte cu o aumită mulţime de date. Aceste teste pu î evideţă cocordaţa ditre modelul empiric furizat de histogramă şi modelul teoretic pe care îl cosiderăm adecvat petru populaţia di care provi datele statistice observate. U test de cocordaţă costă di verificarea ipotezei ule: H : X F( ) cu ipoteza alterativă: 0 x H : X F( ) x ude F(x) este o aumită fucţie de distribuţie cumulativă. Î cotiuare se calculează statistica testului. La pasul următor se determiă î fucţie de ectivul eşatioului şi de ivelul sau pragul de îcredere α valoarea ă a testului. Decizia de acceptare/respigere a ipotezei H 0 se ia pri compararea ditre statistica testului şi valoarea ă a testului Vom aaliza î cotiuare cele mai uzuale teste de cocordaţă ditre care uele sut geerale (aplicabile petru mai multe distribuţii statistice) iar altele sut specifice (aplicabile umai petru aumite distribuţii statistice). Ditre testele de cocordaţă specifice vom aaliza testele petru verificarea ipotezei ormalităţii. 0. Testul χ Testul de cocordaţă χ ( hi-pătrat ) este u test geeral care poate fi aplicat oricărei distribuţii statistice căreia putem sa îi calculăm fucţia de distribuţie cumulativă. Testul χ se aplică datelor grupate (sau datelor de frecveţă). Dacă datele sut egrupate atuci le putem grupa cu autorul uei histograme. Petru testul χ se aplică următorul algoritm. Algoritm petru testul χ []: Se costruieşte o histogramă cu c clase î care fa c sut frecveţele absolute observate. []: Se calculează frecveţele medii estimate : [ F( lc ) F( lc )] + ude: este ectivul eşatioului; F este fucţia de distribuţie cumulativă testată; lc şi lc + sut limitele clasei. []: Se calculează statistica testului c ( fa ) χ.
[]: Se determiă valoarea ă a testului TEMA 0 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE 0. α ( ; c c + ) χ ude: α este ivelul (pragul) de semificaţie al testului; c este umărul de parametri ai distribuţiei F; c c+ umărul de grade de libertate ale distribuţiei χ. []: Decizia asupra acceptării sau respigerii ipotezei H 0 se ia astl: Dacă ( α; c c + ) χ χ atuci se acceptă ipoteza ulă respectiv datele provi di distribuţia testată. Dacă ( α; c + ) χ > χ c atuci se respige ipoteza ulă respectiv datele u provi di distribuţia testată. Valorile e ale testului χ petru ivelul (pragul) de semificaţie α 00 şi u umăr de 0 grade de libertate sut date î tabelul următor: Grade de libertate α 00 χ 8 99 78 988 070 Grade de libertate 6 7 8 9 0 α 00 χ 9 067 07 699 807 Exemplul 0. Să se aplice testul χ petru verificarea ipotezei ormalităţii petru eşatioul de date şi tabelul de frecveţă di Exemplul.9 petru care avem media 06 şi abaterea stadard 88. Rezolvare: Aplicăm paşii algoritmului descris aterior. [] Utilizăm tabelul de frecveţă di Exemplul.9 petru frecveţele absolute observate. [] Petru frecveţele medii estimate stadardizăm mai îtâi valorile lc 0; lc 0; lc 80; lc 0; lc 60; lc 6 00 şi obţiem: 0 06 0 06 z 8 ; z 8 ; 88 88 80 06 0 06 z 06; z 0 ; 88 88 60 06 00 06 z ; z 6 8. 88 88
0. MODULUL METODE DE INFERENŢĂ STATISTICĂ Atuci di tabelul distribuţiei ormale stadardizate obţiem: [ F( z ) F( z )] [ F( ) ( 8) ] [ 00606 00066] 000. [ F( z) F( z )] [ F( 06) ( ) ] [ 0709 00606] 00. [ F( z ) F( z )] [ F( 0) ( 06) ] [ 06 0709] 06 89. [ F( z ) F( z )] [ F( ) ( 0) ] [ 089 06] 0689 67. [ F( z6 ) F( z )] [ F( 8) ( ) ] [ 098 089] 0090. F F F F F [] Statistica testului este ă î tabelul de frecveţă următor: Clase Itervale de clasă 0 0 0 80 80 0 0 60 60 00 Σ fa 8 7 6 889 67 7 - (fa ) 009 007 078 0068 00 - (fa ) / 0009 0009 0088 000 0 069 Rezultă statistica ă a testului: χ 069. [] Petru α 00 c c rezultă valoarea ă a testului: χ χ ( α; c c + ) χ( 00; + ) ( 00;) 988. [] Decizia ţiâd cot de relaţia: ( 00; ) 9 88 χ 069 < χ este ormalitate cofirmată. Exemplul 0. U zar este arucat de 600 de ori î tabelul următor fiid îregistrate umărul de apariţii (fa 6) ale fiecărei ţe a zarului: 6 fa 9 0 8 99 90 0 Să se aplice testul χ petru verificarea ipotezei uiformităţii respectiv petru a verifica dacă zarul este echilibrat.
TEMA 0 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE 0. Rezolvare: Experimetul arucării uui zar este modelat de distribuţia uiformă. Rezultă frecveţele estimate 00 6. Statistica testului: este ă cu autorul tabelului următor. 6 ( fa ) χ 6 Total fa 9 0 8 99 90 0 600 00 00 00 00 00 00 600 fa 9-6 - -0 - (fa ) 6 6 6 00 6 - (fa ) / 6 06 6 00 06 70 Rezultă statistica ă: χ 70. Numărul de grade de libertate al distribuţiei χ este umărul de clase adică 6. χ 00; şi are loc relaţia: Valoarea ă a testului petru α 00 este ( ) 070 ( 00;) 070 > χ 7 0 χ. calc Rezultă decizia de acceptare a ipotezei uiformităţii adică zarul este echilibrat. Testul χ se aplică şi petru tabelele de cotigeţă petru a stabili dacă există o legătură ître variabilele calitative (omiale) coţiute î aceste tabele. Ipoteza ulă specifică faptul că u există o relaţie ître cele două variabile adică H 0 : Cele două variabile sut idepedete. Ipoteza alterativă specifică faptul că o variabilă este iflueţată de cealaltă: H : Cele două variabile sut depedete. Algoritmul testului χ petru tabele de cotigeţă p q []: Se costruieşte tabelul de cotigeţă cu p coloae şi q liii î care pe coloae îregistrăm valorile variabilei A A A A p iar pe liii îregistrăm valorile variabilei B B B A q. Î celulele tabelului avem frecveţele absolute fa i i q p. Î ultima coloaă avem sumele pe liie i iar î ultima liie sumele pe coloaă m. []: Se calculează frecveţele medii estimate i : i m i i q p ude este totalul geeral al tabelului de cotigeţă. []: Se calculează statistica testului
0.6 MODULUL METODE DE INFERENŢĂ STATISTICĂ q p ( fai i ) χ. i []: Se determiă valoarea ă a testului: ( α ν ) χ ; ude: α este ivelul (pragul) de semificaţie al testului; este umărul de grade de libertate ale distribuţiei χ cu relaţia: i ( p ) ( ) ν q. []: Decizia asupra acceptării sau respigerii ipotezei H 0 se ia astl: Dacă ( α ν ) χ χ ; atuci se acceptă ipoteza ulă respectiv cele două variabile sut idepedete. Dacă ( α ν ) χ > χ ; atuci se respige ipoteza ulă respectiv cele două variabile sut depedete ua fiid iflueţată de cealaltă. Exemplul 0. U distribuitor care primeşte u aumit produs de la doi furizori F şi F a îregistrat reclamaţiile primite î terme de garaţie (TG) petru produsele livrate. Datele obţiute sut î tabelul de cotigeţă următor: Reclamaţii î TG Fără reclamaţii î TG Furizor F 00 6.0 Furizor F.00.70 Să se aplice testul χ petru a verifica dacă reclamaţiile depid de furizorii de produse. Rezolvare: Aplicăm paşii algoritmului descris aterior. []: Avem tabelul de cotigeţă următor î care p şi q iar î celulele tabelului avem frecveţele absolute: Reclamaţii î TG Fără reclamaţii î TG m Furizor F 00 6.0 6.70 Furizor F.00.70.0 i.000 70.000 7.000 []: Calculăm frecveţele medii estimate şi obţiem valorile di tabelul următor: m.000 6.70 7.000
TEMA 0 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE 0.7 m.000.0.6 7.000 m 70.000 6.70 6.06 7.000 m 70.000.0.79. 7.000 Reclamaţii î TG Fără reclamaţii î TG m Furizor F 6.06 6.70 Furizor F.6.79.0 i.000 70.000 7.000 []: Calculăm statistica testului orgaizâd datele î tabelul următor: i fa i 00.00 6.0.70 i.6 6.06.79 (fa i i ) / i 9 0 00 006 Σ 7.000 7.000 96 Am obţiut χ 96. []: Determiăm valoarea ă a testului petru α 00 şi ( ) ( ). Rezultă: []: Am obţiut: ( α; ν ) χ ( 00; ) 8 χ. χ 96 > χ 8 şi î coseciţă decidem asupra respigerii ipotezei ule şi acceptării ipotezei alterative adică reclamaţiile depid de furizorii de produse. 0. Testul Hery Uul di testele de cocordaţă cele mai uzuale şi mai simple petru verificarea ipotezei ormalităţii este aşa-umita dreaptă a lui Hery. Metoda se bazează pe liiarizarea valorilor eşatioului sau a valorilor distribuţiei frecveţei relative. Testul Hery se poate aplica atât petru date egrupate cât şi petru date grupate. Vom prezeta î cotiuare algoritmul de aplicare a testului Hery petru date grupate. Î acest scop vom utiliza gruparea datelor de frecveţă obţiută ca urmare a costrucţiei histogramei frecveţei relative precum şi grila de probabilitate ormală stadardizată prezetată î Tema 6.
0.8 MODULUL METODE DE INFERENŢĂ STATISTICĂ Algoritm petru testul Hery date grupate []: Se determiă limitele itervalelor de clasă (lc ) şi frecveţa absolută (fa ) c coform algoritmului histogramei frecveţei relative []: Se determiă miloacele itervalelor de clasă (m ) cu relaţia: lc + lc + m. []: Se determiă frecveţa cumulată estimată (fce ) cu relaţiile: fce fa fce + fce + fa + fa + K c. []: Se determiă frecveţa cumulată estimată procetuală (fce (%)) cu relaţia: fce fce (%) 00(%) K c. Elemetele de la paşii [] - [] ai algoritmului se calculează îtr-u tabel de frecveţă cumulată estimată de forma: Clase Itervale de clasă m fa fce fce (%) lc lc m fa fce fa fce / 00 lc lc m fa fce fce + fa + fa fce / 00 k lc k lc k+ m k fa k fce k fce k- + fa k- + fa k fce k / 00 c lc c lc c+ m c fa c fce c fce c- + fa c- + fa c fce c / 00 Σ (fce c + fa c ) - []: Se reprezită pe grila de probabilitate ormală puctele de coordoate: ( m fce (%)) c ;. [6]: Se trasează o dreaptă care să treacă pri (apropierea a) cât mai multe pucte. [7]: Decizia asupra ipotezei ormalităţii: Dacă toate puctele se situează î proximitatea dreptei trasate atuci se acceptă ipoteza ormalităţii; Dacă există uul sau mai multe pucte sesibil depărtate de dreapta trasată atuci se respige ipoteza ormalităţii. Exemplul 0. Se cosideră eşatioul de date şi tabelul de frecveţă di Exemplul.9. Să se aplice testul Hery petru verificarea ipotezei ormalităţii avâd î vedere forma aproximativă de clopot a histogramei frecveţei relative. Rezolvare: Î tabelul de frecveţă cumulată estimată următor au fost determiate elemetele de la paşii ai algoritmului calculâdu-se mai îtâi miloacele itervalelor de clasă. După aceea a fost ă frecveţa cumulată estimată a fiecărei clase iar î fial frecveţa cumulată estimată procetuală pri împărţire la şi apoi îmulţire cu 00.
TEMA 0 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE 0.9 Clase Itervale de clasă m fa fce fce (%) 0 0 0 0% 0 80 60 + + 9 80% 80 0 00 8 9 + + 8 0% 0 60 0 7 + 8 + 7 7 70% 60 00 80 7 + 7 + 7 90% Σ (7 + 0) - Î cotiuare va trebui să reprezetăm pe grila de probabilitate ormală stadardizată valorile petru (m ; fce (%)) (Figura 0.). Petru reprezetarea pe ordoată va trebui să ţiem cot că grila este simetrică umai pe ordoata dreaptă pe ordoata stâgă ea avâd itervale de valori dirite respectiv ître două valori (liii) ale grilei fiid valori dirite de la u iterval la altul. Petru o reprezetare corectă şi proporţioală va trebui să facem o iterpolare ître valoarea fce (%)şi limitele ître care reprezetăm această valoare. F(z) % z 9987% 0 998% 977% 0 9% 8% 0 69% 0 000% 00 08% -0 87% -0 668% - 8% -0 06% - 0% -0 m 0 60 00 0 80 Decizie: Normalitate cofirmată Figura 0. Dreapta lui Hery Se observă că toate puctele reprezetate pe grilă sut situate pe dreapta trasată. Î aceste codiţii decizia testului este de ormalitate cofirmată ceea ce îseamă că acceptăm ipoteza că datele eşatioului provi ditr-o populaţie modelată de distribuţia ormală. 0. Testul Kolmogorov-Smirov Testul Kolmogorov Smirov este u test de ormalitate foarte răspâditbazat pe prorietăţile matematice demostrate de cei doi mari matematiciei ruşi. Testul Kolmogorov Smirov este u test util datorită faptului că oră posibilitatea de decizie asupra ipotezei ormalităţii atât aalitic cât şi grafic. Testul utilizează date egrupate fiid relativ dificil de aplicat fără utilizarea uui or electroic.
0.0 MODULUL METODE DE INFERENŢĂ STATISTICĂ Algoritm petru testul Kolmogorov Smirov date egrupate []: Se calculează media şi dispersia eşatioului de date egrupate x x x xi i x s i ( x i x). : []: Se ordoează crescător valorile eşatioului de date şi se obţie eşatioul ordoat: x x x. ( ) () ( ) []: Se calculează fucţia de distribuţie cumulativă empirică a eşatioului ordoat crescător: []: Se calculează statistica testului: D i F ( x) i. max F ( x ) F0 ( x ) ude F 0 (x ) este fucţia de distribuţie cumulativă ormală. []: Decizia asupra ipotezei ormalităţii se ia î fucţie de valoarea ă a testului d α (ude α este eroarea iar α ivelul de îcredere al testului) astl: Dacă D d α atuci se acceptă ipoteza ormalităţii; Dacă D > d atuci se respige ipoteza ormalităţii. α [6]: Petru reprezetarea grafică se calculează două limite irioară şi superioară astl: ( x i ) d LI F 0 α ( x i ) + d LS F0 α. Decizia grafică de respigere a ormalităţii se adoptă atuci câd fucţia de distribuţie cumulativă empirică iese î afara limitelor irioară şi superioară. Valorile e aproximative ale testului Kolmogorov Smirov sut date î tabelul următor î fucţie de ectivul eşatioului şi ivelul de îcredere α: α d α 080 07 08 090 09 6 099 6 Exemplul 0. Se cosideră eşatioul de date egrupate di Exemplul.9. Să se aplice testul Kolmogorov-Smirov petru verificarea ipotezei ormalităţii avâd î vedere forma aproximativă de clopot a histogramei frecveţei relative. Rezolvare: Petru eşatioul dat avem media 06 şi abaterea stadard 88.
TEMA 0 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE 0. Î tabelul următor sut e pe fiecare liie petru valorile ordoate ale eşatioului fucţia de distribuţie cumulativă empirică şi teoretică statistica testului şi limitele irioară şi superioară. i x i x (i) F (x i ) F 0 (x i ) F 0 (x i )-F (x i ) LI LS 0 0 000 00 0079 0000 09 0080 008 009 0000 00 00 00668 00 0000 088 6 7 060 0 009 0000 097 9 6 000 069 008 0000 09 6 66 7 00 06 0007 0000 006 7 76 080 098 000 0000 08 8 8 8 00 09 0067 00 06 9 9 060 069 0009 0097 06 0 0 000 006 0006 079 076 0 00 069 009 097 07 0 0 080 078 0006 006 070 7 0 00 0877 00 06 0797 7 060 07 0007 08 087 8 0600 0607 0007 0 0879 6 80 060 067 0007 07 097 7 0 0680 06 0087 079 09 8 9 070 077 000 06 0989 9 70 0760 07 006 0 0997 0 0800 0808 0008 0 0000 8 9 080 080 0000 068 0000 0 0880 0878 0008 0600 0000 0 66 090 0980 0000 066 0000 76 70 0960 09 0088 069 0000 80 000 097 009 068 0000 Rezultă statistica testului (valoarea maximă a direţei ditre fucţiile de distribuţie empirică şi teoretică) D 00. Petru şi ivelul de îcredere α 09 avem valoarea ă d α d 09; 07. Atuci coform criteriului de decizie al testului se adoptă decizia ormalitate cofirmată. Reprezetarea grafică a testului este redată î Figura 0.. Se observă că fucţia de distribuţie empirică se apropie de fucţia teoretică şi u depăşeşte limitele e. 00 080 060 00 F(xi) F0(xi) LI LS 00 000 000 00 000 00 000 Figura 0. Testul Kolmogorov-Smirov
0. MODULUL METODE DE INFERENŢĂ STATISTICĂ 0. Testul Grubbs Testul Grubbs este cel mai des folosit test petru verificarea existeţei valorilor extreme (deumite şi valori aberate î egleză outliers) respectiv a valorilor care se îdepărtează de restul populaţiei şi care u caracterizează di puct de vedere statistic acea populaţie. Aceste valori trebuie elimiate ( discardate ) petru a u iflueţa rezultatele aalizei şi ale ireţei statistice. Algoritm petru testul Grubbs []: Se ordoează crescător valorile x x x ale eşatioului de date şi se obţie eşatioul ordoat crescător x( ) x() x( ) urmâd a se decide asupra elimiării evetuale a valorilor x max x( ) ca valoare extremă maximă respectiv x mi x ( ) ca valoare extremă miimă. []: Se calculează media şi abaterea stadard ale eşatioului de date: xi i x []: Se calculează statistica testului: x v ( s ) x s i ( x i x) x x() v. s []: Decizia de păstrare/îdepărtare a valorii x max x( ) (sau x mi x ( ) ) ca valoare extremă (aberată) maximă (sau miimă) se ia astl: Dacă v > ξ ( ; α) (sau v > ξ ( ; α) ) atuci x max x( ) (sau x mi x ( ) ) se elimiă ca fiid valoare extremă (aberată) maximă (sau miimă) Dacă v ξ ( ; α) (sau v ξ ( ; α) ) atuci x max x( ) (sau x mi x ( ) ) se păstrează. Valorile e ale testului Grubbs ξ ( ; α) î fucţie de ectivul eşatioului şi ivelul de îcredere α sut date î tabelul următor.. α 0900 090 097 0990 7 099 8 000 00 9 66 8 0 9 0 77 96 8 79 00 0 8 60 7 08 Exemplul 0.6 Să se aplice testul Grubbs petru elimiarea valorilor aberate petru eşatioul de de valori di Exemplul.9. Rezolvare: Aplicăm paşii algoritmului.
[]: Ordoăm crescător eşatioul. Obţiem: TEMA 0 VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE 0. x x 80 x x 0. max () mi () []: Petru eşatioul dat avem media x 0 6 şi abaterea stadard s 88. []: Se calculează statisticile testului. Obţiem: x() x 80 06 v 78 s 88 x x() 06 0 v 09. s 88 []: Petru şi ivelul de îcredere α 09 rezultă di tabelul valorilor e: v 78< ξ ( ; α) ξ (;09) 66 v 09 < ξ ( ; α) ξ (;09) 66 ceea ce e duce la cocluzia că u există valori extreme maxime (sau miime) care să fie elimiate. 0.6 Cocepte cheie Test de cocordaţă Statistica testului Valoare ă Nivel (prag) de semificaţie Nivel de îcredere Frecveţă cumulată estimată Testul χ Testul Hery Deapta lui Hery Testul Kolmogorov -Smirov Valoare extremă (aberată) Testul Grubbs
0. MODULUL METODE DE INFERENŢĂ STATISTICĂ