ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΛΕΜΟΝΙΑ ΓΕΩΡ. ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ Που υποβλήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου ΑΘηνών ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Συμπληρωματικής Ειδίκευσης στη Στατιστική Μερικής Παρακολούθησης Prt-tme Αθήνα Οκτώβριος, 0

ΑΦΙΕΡΩΣΗ Στον Σταύρο και στα τρία μου καμάρια: στο Γιάννη, στο Γιώργο και στο Δημήτρη.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ θερμά την καθηγήτρια του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών κ. Αικατερίνη Δημάκη για την καθοριστική βοήθεια που μου παρείχε σε όλη την διάρκεια του μεταπτυχιακού προγράμματος και ιδιαίτερα κατά την διάρκεια εκπόνησης της παρούσας εργασίας ως επιβλέπουσα. Επίσης πολλά ευχαριστώ στην οικογένειά μου για την υπομονή και την στήριξη που μου παρείχαν τα δύο χρόνια των σπουδών μου. Ι

ΙΙ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονομάζομαι Λεμονιά Γ. Μπούτσκου. Αποφοίτησα από το Λύκειο Αμυνταίου το 984. Στη συνέχεια φοίτησα στο Μαθηματικό τμήμα της Σχολής Θετικών Επιστημών του Α.Π.Θ. και απέκτησα το πτυχίου το 988. Από τότε εργάστηκα σε φροντιστήριο μέσης εκπαίδευσης ως το 005 που διορίστηκα σε Δημόσιο Σχολείο. Το 009 παρακολούθησα το μεταπτυχιακό πρόγραμμα συμπληρωματικής ειδίκευσης στην Στατιστική. Το πρόγραμμα αυτό ολοκληρώνεται με την εκπόνηση της παρούσας εργασίας. III

IV

ABSTRACT Lemo Mpoutskou EXPONENTIAL FAMILY OF DISTRIBUTIONS October, 0 The epoetl fmly of dstrbutos cludes ll these dstrbutos whose probblty desty fucto c be wrtte epoetl form. The lkelhood fuctos d the momet geertg fuctos of these dstrbutos c lso be wrtte epoetl form. My well kow dstrbutos belog to the epoetl fmly of dstrbutos, such s orml, epoetl, Gmm, Bet, Guss, Ch squre, Drchlet, Beroull, boml, multoml, Webull d Posso. Some of these dstrbutos belog by defto to the epoetl fmly, whle some others c be wrtte epoetl form. The frst ctegory cludes the followg dstrbutos tht ths ssgmet wll eme: epoetl, Gmm, Bet, Drchlet, Louvlle, Webull d Ch squre. From the secod ctegory we wll eme the followg dstrbutos: Guss, verse Guss, Beroull, Reylegh, Etreme vlue, double epoetl d Erlg. I ddto to tht, the epoetted epoetl dstrbuto wll be preseted, whch hs some commo chrcterstcs wth Gmm d Webull dstrbutos. V

VI

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Λεμονιά Μπούτσκου ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Οκτώβριος, 0 Η εκθετική οικογένεια κατανομών περιλαμβάνει όλες εκείνες τις κατανομές των οποίων η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μπορεί να γραφεί σε εκθετική μορφή. Σε εκθετική μορφή μπορούν επίσης να γραφούν και οι συναρτήσεις πιθανοφάνειας και ο ροπογεννήτριες αυτών των κατανομών. Πολλές γνωστές κατανομές ανήκουν στην εκθετική οικογένεια κατανομών, όπως η κανονική, η εκθετική, η Γάμμα, η Βήτα, η Guss, η Ch squre, η Drchlet, η Beroull, η διωνυμική, η πολυωνυμική, η Webull και η Posso. Ορισμένες από αυτές τις κατανομές ανήκουν εξ ορισμού στην εκθετική οικογένεια, ενώ μερικές άλλες μπορούν να γραφούν στην εκθετική μορφή. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν οι εξής κατανομές που θα εξετάσουμε: Εκθετική epoetl, Γάμμα Gmm, Βήτα Bet, Drchlet, Louvlle, Webull και Ch squre. Από τη δεύτερη κατηγορία θα εξετάσουμε τις εξής κατανομές: Guss, αντίστροφη Guss, Beroull, Reylegh, Etreme vlue, Διπλή εκθετική και Erlg. Επίσης, παρουσιάζεται και η εκθετικοποιημένη εκθετική κατανομή, η οποία έχει κοινά στοιχεία με τις Γάμμα και Webull. VII

VIII

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Σελίδα ΕΙΣΑΓΩΓΗ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ... 8. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ... 8. GAMMA... 7.3 ΒΗΤΑ... 8.4 DIRICHLET... 36.5 LIOUVILLE... 40.6 WEIBULL... 4.7 CHI SQUARE... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΠΟΥ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΛΑΒΟΥΝ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ... 57 3. GAUSSIAN ΚΑΤΑΝΟΜΗ... 57 3. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ GAUSSIAN INVERSE GAUSSIAN DISTRIBUTION WALD... 6 3.3 BERNOULLI... 64 3.4 REYLEIGH ΚΑΤΑΝΟΜΗ... 67 3.5 ΆΛΛΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ... 69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΚΘΕΤΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ... 76 ΕΠΙΛΟΓΟΣ... 80 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 8 IX

X

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Γράφημα Σελίδα Γράφημα. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της γενικευμένης μορφής και της απλής μορφής της εκθετικής κατανομής... 5 Γράφημα. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανομής... 8 Γράφημα 3. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της εκθετικής κατανομής... 9 Γράφημα 4. Γραφική απεικόνιση της ιδιότητας της απώλειας μνήμης... Γράφημα 5. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Γάμμα κατανομής... 5 Γράφημα 6. Διάφορες συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας της Γάμμα κατανομής... 6 Γράφημα 7. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Γάμμα κατανομής... 7 Γράφημα 8. Δυναμικές μετατροπές της κατανομής Γάμμα... 9 Γράφημα 9. Συνάρτηση κινδύνου της Γάμμα κατανομής... 0 Γράφημα 0. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Βήτα κατανομής... 5 Γράφημα. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Βήτα κατανομής... 6 Γράφημα. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Webull κατανομής.. 36 Γράφημα 3. Αθροιστική συνάρτηση της κατανομής Webull... 38 Γράφημα 4. Webull probblty pper... 4 Γράφημα 5. Νομόγραμμα της Webull κατανομής... 43 Γράφημα 6. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ch squre κατανομής... 44 Γράφημα 7. Αθροιστική συνάρτηση της ch squre κατανομής... 45 Γράφημα 8. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Guss κατανομής 50 XI

Γράφημα 9. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Guss κατανομής. 5 Γράφημα 0. Γραφική απεικόνιση της πολυωνυμικής συνάρτησης... 5 Γράφημα. Συνάρτηση κινδύνου της Guss κατανομής... 53 Γράφημα. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της αντίστροφης Guss κατανομής... 54 Γράφημα 3. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Beroull... 56 Γράφημα 4. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Beroull... 56 Γράφημα 5. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Reylegh κατανομής. 58 Γράφημα 6. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Reylegh κατανομής. 59 Γράφημα 7. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής etreme vlue... 60 Γράφημα 8. Αθροιστική συνάρτηση της etreme vlue κατανομής... 6 Γράφημα 9. Συνάρτηση κινδύνου της etreme vlue... 6 Γράφημα 30. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της διπλής εκθετικής κατανομής... 63 Γράφημα 3. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής Erlg... 64 Γράφημα 3. Αθροιστική συνάρτηση της κατανομής Erlg... 65 Γράφημα 33. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικοποιημένης εκθετικής κατανομής... 67 Γράφημα 34. Συνάρτηση κινδύνου... 68 XII

XIII

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παρούσα εργασία πραγματεύεται μερικές από τις κατανομές πιθανότητας που ανήκουν στην εκθετική οικογένεια κατανομών. Η εκθετική οικογένεια κατανομών έχει γενικά την εξής μορφή Goordz και Jfrpour, 009: Τ p η h ep η t η η οποία εναλλακτικά γράφεται και ως εξής Goordz και Jfrpour, 009: α η η Τ log h ep t d Μία κατανομή ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανομών όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που έχει μπορεί να γραφεί σε εκθετική μορφή. Για παράδειγμα, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της διωνυμικής κατανομής μπορεί να γραφεί ως εξής Wolpert, 0: Η κατανομή Posso μπορεί να γραφεί επίσης σε εκθετική μορφή Wolpert, 0: θ θ e ep[logθ θ ]!! Άλλα παραδείγματα κατανομών που μπορούν να γραφούν σε εκθετική μορφή είναι τα εξής http://www.cs.columb.edu/~jebr/477/tutorls/lecture.pdf: Guss µ /σ p e πσ Beroull p Πολυωνυμική p!!!...! Μερικές από τις κατανομές που θα εξετάσουμε στην παρούσα εργασία και ανήκουν στην εκθετική οικογένεια κατανομών είναι οι εξής:. Εκθετική epoetl

. Γάμμα Gmm 3. Βήτα Bet 4. Drchlet 5. Webull 6. Ch squre Παράλληλα, θα παρουσιάσουμε και ορισμένες ακόμα κατανομές, οι οποίες μπορούν επίσης να λάβουν εκθετική μορφή, αποτελώντας, με αυτόν τον τρόπο, μέλη της εκθετικής οικογένειας κατανομών:. Guss. Αντίστροφη Guss 3. Beroull 4. Reylegh 5. Etreme vlue 6. Διπλή εκθετική 7. Erlg ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Σύμφωνα με τους Clrk και Thyer 004, η οικογένεια εκθετικών κατανομών περιλαμβάνει όλες εκείνες τις συνεχείς, διακριτές ή μικτού τύπου κατανομές, των οποίων η συνάρτηση πιθανότητας ή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μπορεί να γραφεί ως εξής στη γενική της μορφή geerl form: f y; θ ep[ d θ e y g θ h y ] όπου οι d, e, g και h είναι όλες γνωστές συναρτήσεις και έχουν την ίδια μορφή για όλα τα y.

Ο Crg 009 αναφέρει πως η εκθετική οικογένεια κατανομών είναι μία οικογένεια συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας για μία τυχαία μεταβλητή Χ, η οποία έχει την παρακάτω μορφή: p θ f g θ ep{ c ϕ h k j j j j } Σύμφωνα με έναν άλλον ορισμό, μία συνάρτηση πιθανότητας μπορούμε να ισχυριστούμε ότι ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανομών αν ισχύουν τα παρακάτω http://eclss.uo.gr/modules/documet/fle.php/math6/54.%0%ce%a3%cf %84%CE%B%CF%84%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE %0%CE%99/E.O.K.pdf:. Το πεδίο ορισμού { R : f, θ > 0} της τυχαίας μεταβλητής Χ δεν θα S f πρέπει να εξαρτάται από τις άγνωστες παραμέτρους θ, θ,, θ s. Αν μπορεί να γραφεί στην παρακάτω μορφή α ή σε κάποια από τις εναλλακτικές που δίνονται παρακάτω β δ s α f, θ ep{ η θ T X B θ } h s β f, θ ep{ η θ T X B θ Η } s γ f, θ ep{ η θ T X } β θ h s δ f, θ ep{ η θ T X H } β θ Εκτός από τη γενική μορφή της εκθετικής οικογένειας κατανομών, υπάρχει και κανονική μορφή που δίνεται από τον τύπο: s f, η ep{ η T X Α η} h Η παραπάνω κανονική μορφή της εκθετικής κατανομής προκύπτει από τη γενική ως εξής

http://eclss.uo.gr/modules/documet/fle.php/math6/54.%0%ce%a3%cf %84%CE%B%CF%84%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE %0%CE%99/E.O.K.pdf: Στη γενική μορφή θέτουμε: η θ η από την οποία προκύπτει ότι θ θ η και ότι η η θ, η θ,..., η. Τότε, η Β θ παίρνει τη μορφή Α η και η s θ συνάρτηση πιθανότητας, ή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, της εκθετικής οικογένειας κατανομών έχει την εξής μορφή: f s, η ep{ η T X Α η} h Το παρακάτω Γράφημα απεικονίζει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της γενικευμένης μορφής συμπαγής γραμμή και της απλής εκθετικής κατανομής διακεκομμένη γραμμή για τις εξής περιπτώσεις αντίστοιχα Johso et l., 994, σελ 556:. λ 0, και λ 0, και s 0,5. λ 0, και λ 0, και s Γράφημα. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της γενικευμένης μορφής και της απλής μορφής της εκθετικής κατανομής

Πηγή: Johso et l., 994, σελ. 556 Η συνάρτηση πιθανοφάνειας για την εκθετική οικογένεια κατανομών έχει την εξής μορφή Wolpert, 0: j j h B t f ] ep[ θ θ η θ Για τα μέλη της εκθετικής κατανομής ισχύει η εξής σχέση Θαλασσίας, 0, σελ. : 0 l l 0 l θ θ θ θ θ θ L E L E L E Ως εκ τούτου, έχουμε Θαλασσίας, 0, σελ. : θ θ θ µ ' b d db y Ε

'' φ α θ µ φ α θ φ α θ θ d d b d b d y Vr Επίσης, θα πρέπει να σημειώσουμε ότι και οι ροπογεννήτριες των κατανομών που ανήκουν στην εκθετική οικογένεια έχουν εκθετική μορφή, σύμφωνα με την κανονική μορφή που αναφέρθηκε παραπάνω Wolpert, 0. Πιο αναλυτικά, εφόσον ισχύει h e f A ηt η η τότε έχουμε t A d h e e η η Επομένως ισχύει ότι Wolpert, 0: ] [ st e E s M η η χ τ σ η η η η A s A A A t st e d h e e d h e e Επίσης, αν μία τυχαία μεταβλητή μπορεί να γραφεί σύμφωνα με την κανονική μορφή της εκθετικής οικογένειας κατανομών, τότε ο λογάριθμος της συνάρτησης πιθανοφάνειας είναι της εξής μορφής http://www.stt.tmu.edu/~suhs/techg63/epoetl_fmly.pdf:

Η εκτιμήτρια συνάρτηση πιθανοφάνειας της οικογένειας των εκθετικών κατανομών είναι http://www.stt.tmu.edu/~suhs/techg63/epoetl_fmly.pdf: Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι http://www.stt.tmu.edu/~suhs/techg63/epoetl_fmly.pdf: ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ.. Γενικά στοιχεία για την εκθετική κατανομή Η εκθετική κατανομή έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της μορφής: λ λe, 0 f 0, < 0 Γράφημα. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανομής

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/epoetl_dstrbuto Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας έχει τη μορφή: F e λ f d 0, < 0, 0 Γράφημα 3. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της εκθετικής κατανομής

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/epoetl_dstrbuto Ο μέσος, η διακύμανση, η κύρτωση, η ασυμμετρία και η ροπογεννήτρια της εκθετικής κατανομής δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Μέσος / λ Διακύμανση / λ Ασυμμετρία Κύρτωση 6 Ροπογεννήτρια t λ Αναφορικά με την ιδιότητα της εντροπίας, για την εκθετική κατανομή η συνάρτηση αυτή δίνεται από τον ακόλουθο τύπο Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 6: H V ep{ }logλ d logλ λ λ λ Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης αυτής είναι: p ep C C

υπό τους εξής περιορισμούς: α p > 0 για 0 και p 0 για < 0 β 0 p d C με C μία θετική σταθερά Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δύο παραμέτρων της εκθετικής κατανομής δίνεται από τη σχέση Krshmmorthy, 006, σελ. 79: α με > α και b > 0 F, b ep / b.. Ιδιότητες της εκθετικής κατανομής Ορισμένες περιπτώσεις όπου η εκθετική κατανομή χρησιμοποιείται είναι για να εκφράσει www.des.uptrs.gr/mm/dsklk/usefuldstrbutos_006.pdf: Το χρόνο αφίξεων διαφορετικών πελατών σε ένα κατάστημα Το χρόνο μίας τηλεφωνικής συνομιλίας Το χρόνο ζωής των κομματιών μίας ηλεκτρονικής συσκευής. Η εκθετική κατανομή είναι η μοναδική συνεχής κατανομή που έχει την ιδιότητα της έλλειψης μνήμης memoryless, σύμφωνα με την οποία ισχύει P X > s t X > t P X > s Ακολουθεί η απόδειξη ης εν λόγω ιδιότητας. P X > s t X > t P X > s PX > s t,x > t P X > t P X > s t P X > t e e e λ s t λt λs P X > s Γράφημα 4. Γραφική απεικόνιση της ιδιότητας της απώλειας μνήμης

Πηγή: www.mst.queesu.c/~stt455/lectureotes/set4.pdf. Σύμφωνα με μία άλλη ιδιότητα της εκθετικής κατανομής, οι χρόνοι αναμονής μεταξύ δύο διαδοχικών συμβάντων σε μία διαδικασία Posso είναι εκθετικά κατανεμημένοι. Αυτό σημαίνει ότι αν Νt με t 0 είναι μία διαδικασία Posso με μέσο ρυθμό ν, Τ είναι ο χρόνος αναμονής μέχρι το πρώτο συμβάν και Τ είναι ο χρόνος αναμονής από το μέχρι το οστό συμβάν όταν, 3., τότε οι τυχαίες μεταβλητές Τ, T.. είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με κοινή εκθετική κατανομή Εν www.des.uptrs.gr/mm/dsklk/usefuldstrbutos_006.pdf. 3. Αν Χ,.Χ είναι ανεξάρτητες μεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανομή με ep0, b, τότε η X κατανέμεται σύμφωνα με την Γάμμα, b 4. Μία ακόμη ιδιότητα της εκθετικής κατανομής είναι η εξής. Αν X,..., X είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με το X να έχει μία εκθετική κατανομή λ, τότε η κατανομή της ελάχιστης X,..., X είναι επίσης εκθετική λ... λ με η πιθανότητα ότι η ελάχιστη τιμή θα είναι X είναι λ/λ... λ. Η απόδειξη της εν λόγω ιδιότητας έχει ως εξής www.mst.queesu.c/~stt455/lectureotes/set4.pdf:

Η πιθανότητα ότι X είναι η ελάχιστη τιμή μπορεί να συμβεί αν υποθέσουμε ότι www.mst.queesu.c/~stt455/lectureotes/set4.pdf: < < 0 dt e t X j X X P j X X P t j j λ λ για για > < 0 0 j j t t j dt t X P e dt e j X t P λ λ λ λ για 0 j t t dt e e λ λ j λ 0... dt t e λ λ λ λ λ λ... 5. Αν Υ Ελ, τότε η συνάρτηση Lplce φ Υ s Εe -sy έχει την ακόλουθη μορφή Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 59: 0 ep s d s s Y λ λ λ λ φ Αν V αυ, τότε V Eα, λ και κατά συνέπεια:

φ s V Ee sv e s Ee sv s e λs..3 Συνάρτηση πιθανοφάνειας Η συνάρτηση πιθανοφάνειας για την παράμετρο λ, με δεδομένο ένα ανεξάρτητο κατανεμημένο δείγμα,, είναι της μορφής http://e.wkped.org/wk/epoetl_dstrbuto: όπου Η παράγωγος του λογαρίθμου της συνάρτησης πιθανοφάνειας είναι http://e.wkped.org/wk/epoetl_dstrbuto: και άρα η εκτιμήτρια της συνάρτησης μέγιστης πιθανοφάνειας είναι:..4 Διάστημα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης σε α για το b είναι το εξής Krshmmorthy, 006, σελ. 8:

Επειδή ισχύει τότε το διάστημα εμπιστοσύνης γράφεται και ως εξής:..5 Σχέσεις με άλλες κατανομές. Αν η μεταβλητή Χ ακολουθεί την Preto κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας λσ λ λ /, > σ τότε η Υ lx ακολουθεί την εκθετική κατανομή α, b με α lσ και b /λ. Αν η Χ μεταβλητή ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα p, τότε ισχύει P X k p P Y k όπου η μεταβλητή Υ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέσο b* [-l p] -

. GAMMA.. Γενικά στοιχεία της Γάμμα κατανομής Μία μεταβλητή Χ είναι μία Gmm μεταβλητή όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι της παρακάτω μορφής: f λe Γ α όπου Γ α e d, > 0 με α παράμετρος μορφής και β παράμετρος κλίμακας 0 λ λ α, λ > 0, α > 0 Γράφημα 5. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Γάμμα κατανομής

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/gmm_dstrbuto Όταν α, τότε Γ και η κατανομή γίνεται εκθετική με λ / β Όταν α >, τότε η κατανομή είναι μονοκόρυφη με κορυφή στο βα- Όταν α είναι ακέραιος, τότε Γα α! και η κατανομή είναι γνωστή ως κατανομή Erlg www.des.uptrs.gr/mm/dsklk/usefuldstrbutos_006.pdf. Γράφημα 6. Διάφορες συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας της Γάμμα κατανομής

Πηγή: Johso et l., 994, σελ. 34 Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας είναι της μορφής: Γ y α y e dy 0 Γράφημα 7. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Γάμμα κατανομής

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/gmm_dstrbuto Η αθροιστική συνάρτηση προκύπτει ως εξής. Αν στην αρχική μορφή αντικαταστήσουμε yλ, τότε έχουμε dy λd ή ότι d /λdy και ότι y/λ κα άρα έχουμε την εξής σχέση www.mst.queesu.c/~stt455/lectureotes/set4.pdf: 0 α λ χ Γ α α e λχ d 0 α λ y Γ α λ e α λy / λ dy λ Γ α 0 y e y dy Ο μέσος, η διακύμανση, η κύρτωση, η ασυμμετρία και η ροπογεννήτρια της Γάμμα κατανομής δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Μέσος αθ Διακύμανση αθ

Ασυμμετρία Κύρτωση Ροπογεννήτρια / α 6 / α θt -α για t < / θ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Γάμμα κατανομής τριών παραμέτρων είναι της μορφής Krshmmorthy, 006, σελ. 87: f, b, c Γ e c c / b με α > 0, b > 0, > c α b Η συνάρτηση η οποία συνδέει τη Γάμμα κατανομή με την Posso είναι η εξής Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 80: F Γ e 0! t e... e e Γ 0 dt Αν Χ κατανέμεται σύμφωνα με την Γάμμαα, 0,, τότε η συνάρτηση Lplce φ s της μεταβλητής Χ δίνεται από τον παρακάτω τύπο Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 8: φ s Ee Γ α 0 sx s e s d

Δεδομένης της παραπάνω συνάρτησης, η χαρακτηριστική συνάρτηση της Γάμμα κατανομής είναι της μορφής Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 8: ή αλλιώς f f Y t φ t t t Ee ιτυ t e λt Οι Johso και Kotz 97, όπως παρατίθενται στους Johso et l., 994, σελ. 389 μελέτησαν δυναμικές μετατροπές των μεταβλητών α και β της κατανομής Γάμμα, οι οποίες οδηγούν στις γενικευμένες Γάμμα κατανομές, κάτι το οποίο απεικονίζεται στο παρακάτω Γράφημα. Όπως μπορούμε να δούμε, οι περιοχές β,β αντιστοιχούν σε κατανομές [gmmα] λ. Γράφημα 8. Δυναμικές μετατροπές της κατανομής Γάμμα Πηγή: Johso et l., 994, σελ. 390

Η συνάρτηση κινδύνου της Γάμμα κατανομής απεικονίζεται στο παρακάτω Γράφημα. Γράφημα 9. Συνάρτηση κινδύνου της Γάμμα κατανομής Πηγή: Evs et l., 000, σελ. 0.. Ιδιότητες της Γάμμα κατανομής. Έστω Νt, t 0 είναι μία διαδικασία Posso ρυθμού ν και W είναι ο χρόνος αναμονής μέχρι την εμφάνιση του οστού συμβάντος. Τότε, η W έχει κατανομή Γάμμα με α και β /ν κατανομή Erlg και ισχύει η παρακάτω σχέση www.des.uptrs.gr/mm/dsklk/usefuldstrbutos_006.pdf: f w ν t t! 0, αλλού e tν, t > 0

. Μία ενδιαφέρουσα ιδιότητα της Γάμμα κατανομής είναι η ιδιότητα της αναδρομής recursve property. Αυτό σημαίνει ότι για α > μπορούμε να ξεκινήσουμε να αξιολογήσουμε το ολοκλήρωμα που χαρακτηρίζει την εν λόγω κατανομή, ήτοι ισχύει ότι www.mst.queesu.c/~stt455/lectureotes/set4.pdf: Έχουμε ότι u y α- και dv e -y dy τα οποία μας δίνουν du α y α- dy και v -e -y. Έτσι παίρνουμε την παρακάτω σχέση: Αν α με, τότε με την ιδιότητα της αναδρομής έχουμε τη σχέση: Γ Γ...... Γ! Γ Ωστόσο, ισχύει ότι Και για αυτό έχουμε Γ! Για. Όμως, εφόσον ισχύει Γ 0! στην ουσία έχουμε Γ! για κάθε > 0. 3. Σύμφωνα με μία άλλη ιδιότητα της συγκεκριμένης κατανομής, αν οι F, και f α, υποδηλώνουν την αθροιστική συνάρτηση και τη συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας της Γάμμα κατανομής αντίστοιχα, μίας μεταβλητής Χ με παραμέτρους α, b, τότε ισχύει ότι Krshmmorthy, 006, σελ. 9: F, F, f, 4. Αν Χ, Χ κ είναι ανεξάρτητες και τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν τη Γάμμα κατανομή με την ίδια παράμετρο κλίμακας, αλλά διαφορετική παράμετρο μορφής με α,. α κ αντίστοιχα, τότε η k X κατανέμεται σύμφωνα με την Γάμμα, b k..3 Συνάρτηση πιθανοφάνειας Η συνάρτηση πιθανοφάνειας της Γάμμα κατανομής είναι της μορφής http://e.wkped.org/wk/gmm_dstrbuto: Ν κ, θ L ι της οποίας η λογαριθμική συνάρτηση είναι: f ; k, θ Η εκτιμήτρια της συνάρτησης πιθανοφάνειας είναι: Αν αντικαταστήσουμε την εκτιμήτρια στη λογαριθμική συνάρτηση της συνάρτησης πιθανοφάνειας, έχουμε: N l k l Nk Nk l N l Γ κ kn Αν στην τελευταία συνάρτηση βρούμε τη μέγιστη τιμή, θέτοντας την παράγωγο ίση με το 0, τότε έχουμε l k ψ k l N όπου N N l N

Γ' κ ψ k Γ κ και η οποία ονομάζεται συνάρτηση δίγαμμα...4 Διάστημα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης α b L, b U ικανοποιεί τις εξής σχέσεις Krshmmorthy, 006, σελ. 90: P S S b / o U και P S S b / o L Επομένως, δίνεται από τον τύπο..5 Σχέσεις με άλλες κατανομές. Αν Χ και Υ είναι ανεξάρτητες Γάμμα, τυχαίες μεταβλητές, τότε ισχύει. Αν α / και b, τότε η Γάμμα κατανομή γίνεται ch squre κατανομή με df. 3. Αν Χ, Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανομή με μέσο b, τότε ισχύει ότι η X κατανέμεται σύμφωνα με την Γάμμα, b 4. Αν Χ και Υ είναι ανεξάρτητες, τυχαίες μεταβλητές Γάμμα,, τότε η

/ XY Y X κατανέμεται σύμφωνα με την t.3 ΒΗΤΑ.3. Γενικά στοιχεία της Βήτα κατανομής Μία μεταβλητή Χ είναι μία Βήτα μεταβλητή όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι της παρακάτω μορφής:, β β B f με α>0, β>0 και Β 0, d β β Πιο αναλυτικά, ισχύουν τα εξής: 0, ; du u u f β β β Γ Γ Γ β α β α β, Β β α β α Γράφημα 0. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Βήτα κατανομής

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/bet_dstrbuto Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας είναι της παρακάτω μορφής και απεικονίζεται στο Γράφημα που ακολουθεί:,,,, ; β α β α β α β F Ι Β Β Γράφημα. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Βήτα κατανομής

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/bet_dstrbuto Ιδιαίτερα χρήσιμη είναι η παρακάτω σχέση, η οποία συνδέει τις συναρτήσεις Βήτα και Γάμμα:, β α β α β α Γ Γ Γ B Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί και στην παρακάτω εκθετική μορφή Wolpert, 0: Γ Γ Γ Γ Γ Γ ] log log ep[ β χ β α α χ β α β α β β α ] log log ep[ α χ β α β β α Γ Γ Γ Ο μέσος, η διακύμανση, η κύρτωση, η ασυμμετρία και η ροπογεννήτρια της Βήτα κατανομής δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Μέσος Διακύμανση

Ασυμμετρία Κύρτωση Ροπογεννήτρια Σύμφωνα με τους Blkrsh και Nevzorov 003, σελ. 40, μία τυχαία μεταβλητή Χ έχει την Βήτα κατανομή, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που είναι της μορφής:, q p q p Y h q p B h p Γ Γ Γ q p q p h q p h q p Για την παραπάνω σχέση ισχύει ότι α < χ < α h Μία άλλη έκφραση της Βήτα κατανομής δίνεται από τον εξής τύπο Evs et l., 993, σελ. 37: / 0 cos s, π ω ν θδθ θ ω B ν 0 ν ν ω y dy y.3. Εκτιμήτριες της Βήτα κατανομής Αν υποθέσουμε ότι ο μέσος και η διακύμανση του δείγματος είναι

Τότε οι εκτιμήτριες της Βήτα κατανομής είναι οι εξής: http://e.wkped.org/wk/bet_dstrbuto Επίσης, αν Χ Βήταp, q, τότε η χαρακτηριστική της συνάρτηση είναι της μορφής Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 47: f tx t Ee e B p, q 0 t p Ο Krysck 999, όπως παρατίθεται στους Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 48 επισημαίνει ότι αν Χ Βήταp, q, τότε για, 3,. Η μεταβλητή μπορεί να γραφεί στη μορφή q d p k q όπου η Χ κ κατανέμεται σύμφωνα με την bet, Ακόμα, οι Johso και Kotz 990, όπως παρατίθεται στους Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 48 έδειξαν ότι αν οι τυχαίες μεταβλητές Χ 0 και Χ έχουν κοινή betp, q κατανομή, τότε και η μεταβλητή έχει κατανομή betp, pq. Ενδιαφέρουσες είναι και οι σχέσεις που παρουσιάζει η Βήτα κατανομή με άλλες κατανομές. Για παράδειγμα, αν η τυχαία μεταβλητή V ακολουθεί τη διωνυμική Β,

p κατανομή και η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί τη Βήτα κατανομή betm, m, με m και 0 < p <, τότε Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 49: P { V m} P{ X < p} Η χαρακτηριστική συνάρτηση της Βήτα κατανομής έχει την εξής μορφή Krshmmorthy, 006, σελ. 97: Γ α b Γ k t Γ α Γ α β κ Γ κ κ 0.3.3 Ιδιότητες της Βήτα κατανομής Αν F α, b υποδηλώνει την αθροιστική συνάρτηση της Βήταα, b που σημαίνει ότι F α, b PX α, b, τότε ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις Krshmmorthy, 006, σελ. 0:.3.4 Σχέσεις με άλλες κατανομές. Αν Χ και Υ είναι τυχαίες ανεξάρτητες μεταβλητές που ακολουθούν την ch squre κατανομή, τότε η Χ Χ Υ κατανέμεται σύμφωνα με την bet m/, /.. Αν η t είναι μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κατανομή studet t με df, τότε P t P Y / για κάθε > 0 και με την Υ να ακολουθεί την Βήτα/, /.

3. Όταν α και b, τότε η Βήταα, b μετατρέπεται σε ομοιόμορφη κατανομή 0, 4. Αν η μεταβλητή Χ ακολουθεί τη Βήταm/, / τυχαία μεταβλητή, τότε η X m X κατανέμεται σύμφωνα με την F m, 5. Αν η Χ τυχαία μεταβλητή ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με, p, τότε για ένα δεδομένο k ισχύει ότι P X k, p P Y p όπου η Υ είναι μεταβλητή που ακολουθεί την Βήταk, k, ενώ παράλληλα P X k, p P W p όπου η W είναι μεταβλητή που ακολουθεί την Βήταk, k. 6. Αν η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την αρνητική διωνυμική κατανομή r, p, τότε P X k r, p P W p όπου η W είναι μία Βήτα τυχαία μεταβλητή με παραμέτρους r και k. 7. Αν οι Χ και Υ είναι ανεξάρτητες Γάμμα μεταβλητές με την ίδια παράμετρο κλίμακας, b, αλλά διαφορετικές παραμέτρους μορφής, α, τότε η σύμφωνα με την bet,. Χ Χ Υ κατανέμεται.4 DIRICHLET.4. Γενικά στοιχεία της Drchlet κατανομής Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Drchlet κατανομής είναι της μορφής:

K k k B f,..., ;,..., Ως μέλος της οικογένειας εκθετικών κατανομών, η Drchlet μπορεί να γραφεί και στην εξής μορφή http://johw.org/publctos/thess/w03_ppedces.pdf: log log... log... ep,... Γ Γ k k T k u k u U p p u u bf p p Dr Ο μέσος, η διακύμανση, η κύρτωση, η ασυμμετρία και η ροπογεννήτρια της Drchlet κατανομής δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Μέσος 0 Διακύμανση ] [ 0 0 0 0 X E X E Η γενικευμένη μορφή της κατανομής Drchlet έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που είναι της μορφής: [ ], [ k b b k j j k b k k p p p b B Όταν α > 0 τότε η κατανομή γίνεται o formtve. Αυτό σημαίνει ότι όλα τα p είναι τα ίδια αν όλα τα α κλιμακώνονται με την ίδια πολλαπλασιαστική σταθερά. Οι διακυμάνσεις, ωστόσο, γίνονται μικρότερες καθώς οι παράμετροι α μεγαλώνουν. Σε αυτήν την περίπτωση, οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας με συγκεκριμένες τιμές απεικονίζονται στα παρακάτω διαγράμματα. α 0,5 α

α α 6 Πηγή: http://users.cs.tkk.f/hokel/dpp/ode95.html Η κατανομή Drchlet είναι μία γενικευμένη μορφή της κατανομής Βήτα και για πολλές μεταβλητές δηλώνει ότι οι πιθανότητες των Ν ενδεχομένων είναι με δεδομένο ότι κάθε ενδεχόμενο έχει παρατηρηθεί ακριβώς α φορές. Είδαμε παραπάνω ότι από την Βήτα κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Γ Γ Γ b b b p α α με 0<χ< και α, b > 0 μπορούμε να λάβουμε τη Βήτα κατανομή δευτέρου είδους, αν Υ Χ / -Χ, οπότε και έχουμε b Y y y b b y p Γ Γ Γ α α με y > 0 και α, b > 0

Ομοίως και στην περίπτωση της Drchlet κατανομής μπορούμε να λάβουμε την Drchlet κατανομή δευτέρου είδους. Έτσι, αν Χ D α,., α με α κ > 0 κ, και θέσουμε X X X Y X X X Y...,...,... ή αλλιώς Y Y Y X Y Y Y X...,...,... τότε, η εξής συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Γ Γ Γ p,,...,............, α α α α με,..., 0 και 0 γίνεται ως εξής Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 75:...,,...,..............., Γ Γ Γ Y Y y y y y y y p α α α α με 0,..., > y y και 0,..., >

.5 LIOUVILLE Η κατανομή Louvlle είναι μία γενικευμένη μορφή της κατανομής Drchlet, θέτοντας ότι Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 76: h X X d d f <............... dt t t f h Γ Γ Γ 0......... α α α α Πράγματι, αν θέσουμε h και t t f, τότε η παραπάνω συνάρτηση παίρνει τη γενική μορφή της Drchlet: Αν h τότε έχουμε τη γενική μορφή Louvlle 0 0............ d d f Γ Γ Γ 0......... dt t t f α α α α

Από αυτήν προκύπτει η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής Louvlle που είναι:.,,.........,..., Cf p με χ,.,χ > 0 και α,..,α > 0.6 WEIBULL.6. Γενικά στοιχεία της Webull κατανομής Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Webull κατανομής για δύο παραμέτρους είναι της μορφής: < 0 0, 0,, ; / e k k f k λ κ λ λ λ

Όταν κ, τότε η κατανομή είναι εκθετική με λ /λ www.des.uptrs.gr/mm/dsklk/usefuldstrbutos_006.pdf. Γράφημα. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Webull κατανομής Πηγή: http://e.wkped.org/wk/webull_dstrbuto Τα παρακάτω γραφήματα απεικονίζουν τη συνάρτηση πυκνότητας της Webull κατανομής για διάφορα c ή αλλιώς κ.

Πηγή: Johso et l., 994, σελ. 63 63 Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι της μορφής: για 0 και F; κ; λ 0 για < 0. F ; k, λ e / λ k

Γράφημα 3. Αθροιστική συνάρτηση της κατανομής Webull Πηγή: http://e.wkped.org/wk/webull_dstrbuto Ο μέσος, η διακύμανση, η κύρτωση, η ασυμμετρία και η ροπογεννήτρια της Webull κατανομής δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Μέσος λ Γ κ Διακύμανση λ Γ/κ-μ Ασυμμετρία 3 3 Γ λ 3µσ κ 3 σ 3 µ

Κύρτωση 6Γ 4 Γ Γ [ Γ 3Γ Γ ] 4Γ Γ 3 Γ 4 Ροπογεννήτρια 0 t λ! Γ k με κ Στην περίπτωση τριών παραμέτρων η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Webull κατανομής δίνεται από τον τύπο http://www.webull.com/lfedtweb/webull_probblty_desty_fucto.htm: Τγ β Τ γ β η f T e η η β όπου ft 0, T 0 ;h γ, β > 0, η > 0 και - <γ < και η παράμετρος κλίμακας scle prmeter β κλίση γ παράμετρος τοποθεσίας locto prmeter Αν στην παραπάνω συνάρτηση θέσουμε γ 0 και β σταθερά, τότε προκύπτει η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μίας παραμέτρου, της η, που δίνεται από τον τύπο http://www.webull.com/lfedtweb/webull_probblty_desty_fucto.htm: C Τ f T η η C e Τ η C Αν 0 < p <, τότε η αντίστροφη συνάρτηση πιθανότητας τριών παραμέτρων παίρνει τη μορφή F p b, c, m m b l p c Επίσης, η συνάρτηση επιβίωσης είναι της μορφής: P X > ep{ / b c }

.6. Συνάρτηση πιθανοφάνειας και εκτιμήτριες της Webull κατανομής Αν υποθέσουμε ένα δείγμα παρατηρήσεων της Webull κατανομής Χ, Χ με γνωστό το m και Ζ Χ m, όπου m είναι μίας γνωστή παράμετρος τοποθεσίας, και Υ lz, τότε η αμερόληπτη εκτιμήτρια της θ /c δίνεται από τον τύπο Krshmmorthy, 006, σελ. 66: Επιπρόσθετα, η εκτιμήτρια κατανέμεται σύμφωνα με την κανονική κατανομή με διακύμανση. / c. Όταν το m είναι γνωστό, η εκτιμήτρια της c της συνάρτησης πιθανοφάνειας είναι η λύση της εξίσωσης: Τέλος, η εκτιμήτρια b δίνεται από την εξίσωση:.6.3 Ιδιότητες της Webull κατανομής. Αν η Χ τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την Webull κατανομή με b, c, m, τότε ισχύει Krshmmorthy, 006, σελ. 69: η X m b ep. Αυτό σημαίνει ότι είναι η εκθετική κατανομή με μέσο m. c κατανέμεται σύμφωνα με την X m c. Ισχύει ότι Krshmmorthy, 006, σελ. 69: η ep[ ] κατανέμεται b σύμφωνα με την U0, και ως εκ τούτου ισχύει ότι η X m b[ l U ] c κατανέμεται σύμφωνα με την Webull b,c,m, όπου η U υποδηλώνει την ομοιόμορφη 0, τυχαία μεταβλητή.

.6.4 Σχέση της Webull κατανομής με άλλες κατανομές Η σχέση της κατανομής Webull με άλλες κατανομές και πιο συγκεκριμένα με την Gmm και την log orml απεικονίζεται στο παρακάτω Γράφημα. Πηγή: Johso et l., 994, σελ. 636.6.5 Webull probblty pper Για την κατασκευή του οι Johso et l. 994, σελ. 677 χρησιμοποιούν την αρχική μορφή της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής και επισημαίνουν ότι ισχύει: ξo loglog{ F } clog με > ξ 0 Η παραπάνω σχέση γράφεται και ως εξής: loglog{ } clog 0 clog Αν θέσουμε F log{ } w F log και ξ με > ξ 0

log ξ 0 v τότε έχουμε την εξής γραμμική σχέση: w cv clog με α > 0 Το Webull problty pper απεικονίζεται στο παρακάτω Γράφημα. Γράφημα 4. Webull probblty pper Πηγή: Johso et l., 994, σελ. 678.6.7 Νομόγραμμα της Webull κατανομής O Kotel kov 964, όπως παρατίθεται στους Johso et l., 994, sel. 675 παρουσίασε ένα νομόγραμμα για την εύρεση του F δεδομένο του μέσου μ και της διακύμανσης σ. Για την εύρεση του νομογράμματος, το οποίο απεικονίζεται στο πιο κάτω Γράφημα, χρησιμοποιήθηκε η παρακάτω μορφή της αθροιστικής συνάρτησης της Webull κατανομής:

Γ[ / c] F ep{ [ ]} ' µ Γράφημα 5. Νομόγραμμα της Webull κατανομής Πηγή: Johso et l., 994, σελ. 676.7 CHI SQUARE.7. Γενικά στοιχεία της Ch squre κατανομής Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ch squre κατανομής, η οποία είναι ειδική περίπτωση της Γάμμα κατανομής, δίνεται από τον τύπο: f ; k 0 k k Γ k e, 0

Γράφημα 6. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ch squre κατανομής Πηγή: http://e.wkped.org/wk/ch-squre_dstrbuto Η αθροιστική συνάρτηση της συγκεκριμένης κατανομής είναι της παρακάτω μορφής: k γ, F ; k Γ k / k P, Γράφημα 7. Αθροιστική συνάρτηση της ch squre κατανομής

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/ch-squre_dstrbuto Ο μέσος, η διακύμανση, η κύρτωση, η ασυμμετρία και η ροπογεννήτρια της Ch - squre κατανομής δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Μέσος Διακύμανση Ασυμμετρία Κύρτωση κ κ 8 k / κ Ροπογεννήτρια t k Η χαρακτηριστική συνάρτηση της ch squre δίνεται από τον τύπο Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 39:

f t Ee t Ee t Ee t m t m Σύμφωνα με την παραπάνω συνάρτηση, η μεταβλητή Χ έχει ch squre κατανομή, με m βαθμούς ελευθερίας. Από την άλλη, αν Χ και Χ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, με την Χ να έχει μία τυχαία κατανομή και Χ Χ Χ να έχει την ch squre κατανομή με m βαθμούς ελευθερίας, τότε η χαρακτηριστική συνάρτηση της Χ είναι της μορφής Blkrsh και Nevzorov, 003, σελ. 39: f t f f t t t t m t m Αυτό σημαίνει ότι η μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με την Χ m. Η κατανομή ch squre ονομάζεται από ορισμένους συγγραφείς και ως κατανομή της διακύμανσης, γιατί η διακύμανση από ένα τυχαίο δείγμα της κανονικής κατανομής ακολουθεί την κατανομή ch squre. Πιο συγκεκριμένα, αν Χ,., Χ είναι ένα τυχαίο δείγμα από την κανονική κατανομή με μέσο μ και διακύμανση σ, τότε ισχύει Krshmmorthy, 006, σελ. 57: X X Η σ σ S κατανέμεται σύμφωνα με την Χ.7. Ιδιότητες της ch squre κατανομής Η κατανομή ch squre παρουσιάζει τις παρακάτω ιδιότητες Krshmmorthy, 006, σελ. 58:. Αν Χ,., Χ κ είναι ανεξάρτητες ch squre μεταβλητές με βαθμούς ελευθερίας,.,, τότε ισχύει ότι η k X κατανέμεται σύμφωνα με την m όπου m k

. Αν F υποδηλώνει την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ τότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: α F / e F Γ F β k f k F Φ γ F Γ / δ 0 k k /! Γ /.7.3 Σχέσεις με άλλες κατανομές Η κατανομή ch squre συνδέεται με άλλες κατανομές ως εξής Krshmmorthy, 006, σελ. 59:. Αν Χ και Y είναι ανεξάρτητες ch squre τυχαίες μεταβλητές με βαθμούς ελευθερίας m και αντίστοιχα, τότε η η X X Y X / m Y / κατανέμεται σύμφωνα με την betm/, /. κατανέμεται σύμφωνα με την F m,, όπου. Αν Χ,., Χ κ είναι ανεξάρτητες ch squre μεταβλητές με βαθμούς ελευθερίας,.,, και ορίσουμε ότι X... X W με,,,,,,, κ X... X τότε οι τυχαία μεταβλητή W,., W κ- είναι ανεξάρτητη και η W κατανέμεται σύμφωνα με την m... m m bet, με,,,,,,, κ

3. Η Γάμμα κατανομή με παράμετρο μορφής α και παράμετρο κλίμακας b αποτελεί μία ch squre κατανομή με df όταν α / και b. Τότε ισχύει ότι η gmm /, κατανέμεται σύμφωνα με την X 4. Αν Χ μία τυχαία μεταβλητή με ζυγούς βαθμούς ελευθερίας < τότε θα ισχύει η παρακάτω σχέση: P X > / k 0 e k! k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΠΟΥ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΛΑΒΟΥΝ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Υπάρχουν ορισμένες κατανομές που δεν είναι άμεσα εκθετικές, αλλά μπορούν να λάβουν μία τέτοια μορφή. Μία από αυτές είναι και η κατανομή Guss, ή αλλιώς η κανονική κατανομή, η αντίστροφη συνάρτηση Guss, αλλά και η Reylegh. Καθώς η παρούσα εργασία εστιάζει ως επί το πλείστον στις κατανομές εκείνες που λόγω της μορφής που εξαρχής έχουν ανήκουν στην εκθετική οικογένεια κατανομών και όχι επειδή μπορούν να γραφούν και σε εκθετική μορφή, οι κατανομές που αναφέρονται στο παρόν κεφάλαιο δεν αναλύονται διεξοδικά. 3. GAUSSIAN ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κατανομή Guss είναι της μορφής:

] ep[, µ γ π γ γ µ N P Ως μέλος της εκθετικής οικογένειας κατανομών, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί στην εξής κανονική μορφή http://johw.org/publctos/thess/w03_ppedces.pdf: log log ep{, π γµ γ γ γµ γ µ Ν Τ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι της μορφής http://e.wkped.org/wk/norml_dstrbuto: /, ; σ µ πσ σ µ e f σ µ χ φ σ Γράφημα 8. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Guss κατανομής

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/fle:norml_dstrbuto_pdf.svg Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Guss κατανομής είναι της μορφής http://e.wkped.org/wk/norml_dstrbuto: Φ π χ e t / [ erf χ dt ] Γράφημα 9. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Guss κατανομής

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/fle:norml_dstrbuto_pdf.svg Ο μέσος, η διακύμανση, η κύρτωση, η ασυμμετρία και η ροπογεννήτρια της Guss κατανομής δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Μέσος μ Διακύμανση σ Ασυμμετρία 0 Κύρτωση 0 Ροπογεννήτρια ep{ µ t σ t Αυτό που θα πρέπει να σημειωθεί είναι ότι η Guss κατανομή απορρέει από την «εκθετικοποίηση» της γνωστής τετραγωνικής qudrtc, ή αλλιώς πολυωνυμικής, συνάρτησης και η οποία μας δίνει: f e b c Η qudrtc συνάρτηση f b c απεικονίζεται στο παρακάτω Γράφημα. Γράφημα 0. Γραφική απεικόνιση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/fle:polyomldeg.svg Η χαρακτηριστική συνάρτηση της Guss κατανομής για μέσο μ και διακύμανση σ είναι της μορφής http://e.wkped.org/wk/norml_dstrbuto: φ t; µ, σ e t πσ e µ / σ d e µ t σ t Η συνάρτηση κινδύνου της κατανομής Guss απεικονίζεται στο παρακάτω Γράφημα. Γράφημα. Συνάρτηση κινδύνου της Guss κατανομής

Πηγή: Evs et l., 000, σελ. 48 3. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ GAUSSIAN INVERSE GAUSSIAN DISTRIBUTION WALD Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της αντίστροφης συνάρτησης Guss είναι της μορφής Johso et l., 994, σελ. 6: λ λ λ λ µ p, [ ] / ep{ } [ ] / µ λ µ ep{ 3 3 π µ π µ µ } Γράφημα. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της αντίστροφης Guss κατανομής

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/fle:pdf_vguss.pg Εναλλακτικά, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εν λόγω κατανομής μπορεί να γραφεί και στις ακόλουθες τρεις μορφές Johso et l., 994, σελ. 6: µφ, [ ] / φ µ p µ φ e ep{ φ } 3 π µ p όταν IGμ, φμ λ, [ ] / φ φ λ φ λ e ep{ } 3 όταν IGλ/φ, λ π λ λ λ p, [ ] / ep[ { / λ α α }] 3 π α όταν IGα /, λ Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής δίνεται από τον τύπο Johso et l., 994, σελ. 6: F µ, λ Φ{ λ χ } e m λ / µ Φ{ λ } µ Ο μέσος, η διακύμανση, η κύρτωση, η ασυμμετρία και η ροπογεννήτρια της Guss κατανομής δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Μέσος μ Διακύμανση μ 3 / λ Ασυμμετρία 3μ/λ / Κύρτωση 5μ / λ Ροπογεννήτρια λ µ t { µ λ / } Η χαρακτηριστική συνάρτηση της αντίστροφης Guss κατανομής έχει ως εξής Johso et l., 994, σελ. 63: λ µ t ep[ { µ λ 3.3 BERNOULLI Η Beroull μπορεί επίσης να γραφεί σε εκθετική μορφή. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Beroull είναι της μορφής http://e.wkped.org/wk/beroull_dstrbuto: / }] q p, k o f k; p p, k Γράφημα 3. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Beroull

Πηγή: http://www.boost.org/doc/lbs/_38_0/lbs/mth/doc/sf_d_dst/html/mth_toolkt/d st/dst_ref/dsts/beroull_dst.html Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας είναι της μορφής http://e.wkped.org/wk/beroull_dstrbuto: q p, k o f k; p p, k 0, αλλιώς Γράφημα 4. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Beroull Πηγή: http://www.boost.org/doc/lbs/_38_0/lbs/mth/doc/sf_d_dst/html/mth_toolkt/d st/dst_ref/dsts/beroull_dst.html Η παραπάνω κατανομή μπορεί να γραφεί σε εκθετική μορφή αν στην συνάρτηση της παρακάτω μορφής, η οποία είναι κοινή μορφή για όλες τις κατανομές που ανήκουν στην εκθετική οικογένεια κατανομών ή μπορούν να γραφούν ως τέτοιες, Τ p yη h yep{ η Τ y A η} ορίσουμε ότι ισχύουν τα παρακάτω http://pges.cs.wsc.edu/~drzeje/lmml/epfmly-glms.pdf:. Τyy suffcet sttstc. hy bse mesure

3. θ η θ log turl prmeter θ θ 4. A [ η θ ] log ep[ η θ ] log log θ log prtto θ fucto Επομένως έχουμε http://pges.cs.wsc.edu/~drzeje/lmml/ep-fmly-glms.pdf: y p yθ θ θ ep{ y logθ y ylog θ } θ ep{ y log log θ } θ

3.4 REYLEIGH ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι Evs et l., 000, σελ. 67: ep[ b Γράφημα 5. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Reylegh κατανομής ] Πηγή: Evs et l., 000, σελ. 68 Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας είναι Evs et l., 000, σελ. 67: ep[ ] b b Γράφημα 6. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Reylegh κατανομής

Πηγή: Evs et l., 000, σελ. 69 Ο μέσος, η διακύμανση, η κύρτωση και η ασυμμετρία απεικονίζονται στον παρακάτω πίνακα. Μέσος / b π Διακύμανση π/b Ασυμμετρία / π 3 π 3/ 4 π Κύρτωση 3 3π 4 π 3.5 ΆΛΛΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Υπάρχουν και άλλες κατανομές που ανήκουν στην εκθετική οικογένεια κατανομών. Σύμφωνα με τους Johso et l. 994, σελ. 55 αυτές είναι οι εξής:. Etreme vlue form Αν η Y e -X ακολουθεί μία εκθετική κατανομή της παρακάτω μορφής p σ ep με, σ > 0, τότε η Χ κατανέμεται σύμφωνα με την etreme σ vlue form, της οποίας η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής αντίστοιχα είναι οι εξής http://e.wkped.org/wk/geerlzed_etreme_vlue_dstrbuto:

Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: µ f ; µ, σ, ξ [ ξ ] σ σ / ξ µ ep{ ξ ] σ / ξ Γράφημα 7. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής etreme vlue } Πηγή: Krshmoorthy, 006, σελ. 70 Πηγή: Evs et l., 000, σελ. 87 Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι της μορφής: µ f ; µ, σ, ξ ep{ ξ ] σ / ξ Γράφημα 8. Αθροιστική συνάρτηση της etreme vlue κατανομής }

Πηγή: Evs et l., 000, σελ. 87 Η χαρακτηριστική συνάρτηση της κατανομής etreme vlue είναι Krshmoorthy, 006, σελ. 70: epαtγ bt Η αντίστροφη συνάρτηση επιβίωσης και η συνάρτηση κινδύνου της κατανομής etreme vlue είναι οι εξής Krshmoorthy, 006, σελ. 70: Αντίστροφη συνάρτηση επιβίωσης: α bl[-l p] Συνάρτηση κινδύνου: ep[ α / b] b{ep[ep / b] } Γράφημα 9. Συνάρτηση κινδύνου της etreme vlue

Πηγή: Evs et l., 000, σελ. 88 Οι εκτιμήτριες της κατανομής etreme vlue είναι οι εξής Krshmoorthy, 006, σελ. 70:. Διπλή εκθετική κατανομή double ή blterl epoetl dstrbuto Η κατανομή αυτή είναι γνωστή και ως πρώτος νόμος λάθους του Lplce Lplce s frst lw of error, όπου η κατανομή Lplce s secod lw of error είναι η κανονική κατανομή. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εν λόγω κατανομής είναι της μορφής Johso et l., 994, σελ. 55: σ ep θ σ p με σ > 0

Γράφημα 30. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της διπλής εκθετικής κατανομής Πηγή: http://e.wkped.org/wk/fle:lplce_dstrbuto_pdf.pg 3. Γενική Γάμμα ή Γενική Erlg κατανομή Geerl Gmm Αν Χ, Χ,.., Χ είναι ανεξάρτητες εκθετικές μεταβλητές, τότε η γραμμική συνάρτηση Y λ j X j με λ j λ k j έχει την εξής συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας:

j j k y j k j Y j e y p / λ λ λ λ Γράφημα 3. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής Erlg Πηγή: http://e.wkped.org/wk/erlg_dstrbuto Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της κατανομής Erlg είναι:!,, ; k k k F λ γ λ Γράφημα 3. Αθροιστική συνάρτηση της κατανομής Erlg

Πηγή: http://e.wkped.org/wk/erlg_dstrbuto ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΚΘΕΤΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η εκθετικοποιημένη εκθετική κατανομή ανήκει και αυτή στην εκθετική οικογένεια κατανομών. Έχει δύο παραμέτρους, μία παράμετρο κλίμακας scle και μία παράμετρο μορφής shpe που είναι όμοιες με τις παραμέτρους της Γάμμα και της Webull κατανομής. Ο λόγος για τον οποίο θα αναφερθεί συνοπτικά αυτή η οικογένεια κατανομών είναι ότι μοιράζεται πολλές κοινές ιδιότητες με τις δύο προαναφερθείσες κατανομές και για αυτόν τον λόγο συχνά αναφέρεται και ως εναλλακτική της Γάμμα ή της Webull κατανομής Gupt και Kudu, 00, σελ. 7.

Όπως μπορεί κανείς να διαπιστώσει από το παρακάτω Γράφημα, η εκθετικοποιημένη εκθετική κατανομή δύο παραμέτρων αντιπροσωπεύει τις παραμέτρους κλίμακας και Γράφηματος όπως μία κατανομή Γάμμα ή Webull. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ποικίλει ανάλογα με την παράμετρο μορφής, ενώ το ποσοστό αποτυχίας flure rte αυξάνεται ή μειώνεται με βάση επίσης την παράμετρο μορφής. Η συνάρτηση κατανομής είναι της μορφής: F,, λ E λ e με α, λ, > 0 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι της μορφής: f E,, λ λ e λ e λ Γράφημα 33. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικοποιημένης εκθετικής κατανομής

Πηγή: Gupt και Kudu, 00, σελ. 9 Η συνάρτηση επιβίωσης είναι της μορφής: λ S E,, λ e Η συνάρτηση κινδύνου hzrd fucto, που απεικονίζεται στο παρακάτω Γράφημα, είναι της μορφής: h E λ αλ e, α, λ e όπου α είναι η παράμετρος μορφής και λ είναι η παράμετρος κλίμακας. Όταν α τότε η εκθετικοποιημένη εκθετική κατανομή αντιπροσωπεύει την εκθετική οικογένεια κατανομών Gupt και Kudu, 00, σελ. 9. λ e λ Γράφημα 34. Συνάρτηση κινδύνου

Πηγή: Gupt και Kudu, 00, σελ. 0 Ο παρακάτω πίνακας απεικονίζει τις διαφορετικές συναρτήσεις κινδύνου στις τρεις κατανομές που εξετάζονται στο παρόν κεφάλαιο. Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε, η συνάρτηση κινδύνου της εκθετικοποιημένης εκθετικής κατανομής συμπεριφέρεται όπως και η αντίστοιχη της Γάμμα κατανομής. Παράμετρος Γάμμα Webull Εκθετικοποιημένη εκθετική α Σταθερή Σταθερή Σταθερή α > Αυξάνεται από το Αυξάνεται από το Αυξάνεται από το 0 0 στο λ α < Μειώνεται από το στο λ Πηγή: Gupt και Kudu, 00, σελ. 0 στο Μειώνεται από το στο 0 στο λ Μειώνεται από το στο λ Η ροπογεννήτρια, ο μέσος και η διακύμανση της εκθετικοποιημένης εκθετικής κατανομής μπορούν να γραφούν σε όρους της Γάμμα κατανομής Gupt και Kudu, 00, σελ.. Η αρχική συνάρτηση της εκθετικοποιημένης εκθετικής κατανομής είναι της μορφής: E k k λ λ αλ e e d 0

Η ροπογεννήτρια, ο μέσος και η διακύμανση γράφονται ως εξής: Μέσος E [ ψ α ψ ] λ Διακύμανση Vr [ ψ ' ψ ' α ] λ Ροπογεννήτρια tx k λ tλ M E e αλ e e d Πηγή: Gupt και Kudu, 00, σελ. 0 όπου ψ. είναι η συνάρτηση dgmm. Τέλος, η συνάρτηση πιθανοφάνειας της εν λόγω κατανομής είναι η εξής Gupt και Kudu, 00, σελ. 3: L λ, λ l l λ α l λ e ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η εκθετική οικογένεια κατανομών, η οποία μπορεί να είναι μίας ή περισσοτέρων παραμέτρων, περιλαμβάνει μεταξύ άλλων τις εξής κατανομές: Beroull, διωνυμική, Posso, γεωμετρική, Γάμμα, αντίστροφη Guss, Drchlet και Wshrt Evs et l., 00, σελ. 8. Όλες οι κατανομές που εξετάστηκαν στην παρούσα εργασία, εκθετική, Γάμμα, Βήτα, Drchlet, Louvlle, Webull, Ch squre ανήκουν άμεσα στην εκθετική οικογένεια κατανομών. Ωστόσο, υπάρχουν και άλλες, όπως η Guss, η αντίστροφη Guss, η Beroull, η Reylegh, η etreme vlue, η διπλή εκθετική, η Erlg, οι οποίες αν και δεν ανήκουν άμεσα στην εκθετική οικογένεια κατανομών, μπορούν να λάβουν εκθετική μορφή.

Τέλος, η παρούσα εργασία παρουσίασε σύντομα την εκθετικοποιημένη εκθετική κατανομή, η οποία ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανομών, αλλά παράλληλα συνιστά μία νέα γενιά εκθετικών κατανομών, που έχουν στοιχεία τόσο από τη Γάμμα όσο και από τη Webull κατανομή. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Θαλασσίας, M. 0. Γενικευμένα γραμμικά μοντέλα & Παραγοντικοί Σχεδιασμοί. Εθνικό Μετσόβειο Πολυτεχνείο. Διαθέσιμο στην ιστοσελίδα dspce.lb.tu.gr. Blkrsh, N., Nevzorov, V.B. 003. A prmer o sttstcl dstrbutos. New York: Joh Wley & Sos 3. Clrk, D.R., Thyer, C.A. 004. A Prmer o the Epoetl Fmly of Dstrbutos. Διαθέσιμο στην ιστοσελίδα http://www.csct.org/pubs/dpp/dpp04/04dpp7.pdf 4. Crg, P. 009. Hdout o epoetl fmly popultos d cocl cojugte pror dstrbutos. Διαθέσιμο στην ιστοσελίδα http://mths.dur.c.uk/stts/courses/byesstts/efcp.pdf

5. Evs, M., Hstgs, N., Pecock, B. 000. Sttstcl dstrbutos. New York: Joh Wley & Sos 6. Goordz, H., Jfrpour, S. 009. Epoetl fmly d geerlzed ler models. Διαθέσιμο στην ιστοσελίδα http://www.cs.prceto.edu/courses/rchve/spr09/cos53/scrbe/lecture.pd f 7. Gupt, R.D., Kudu, D. 00. Epoetted Epoetl Fmly: A Altertve to Gmm d Webull Dstrbutos. Bometrcl Jourl, 43, σελ. 7 30 8. Johso, N.L., Kotz, S., Blkrsh, N. 994. Cotuous uvrte dstrbutos. New York: Joh Wley & Sos 9. Krshmmorthy, K. 006. Hdbook of sttstcl dstrbutos wth pplctos. New York: Chpm & Hll/CRC 0. Wolpert, R.L. 0. Epoetl Fmles. Διαθέσιμο στην ιστοσελίδα http://www.sds.duke.edu/courses/sprg/st4/lec/epofm.pdf Διαδίκτυο. «The Epoetl Dstrbuto». Διαθέσιμο στην ιστοσελίδα http://www.mst.queesu.c/~stt455/lectureotes/set4.pdf. «Uform d Epoetl Dstrbutos». Διαθέσιμο στην ιστοσελίδα http://hegyvr.web.elte.hu/uform%0d%0epoetl%0dstrbuto.p df 3. «The epoetl fmly of dstrbutos». Διαθέσιμο στην ιστοσελίδα http://www.stt.tmu.edu/~suhs/techg63/epoetl_fmly.pdf 4. http://www.cs.columb.edu/~jebr/477/tutorls/lecture.pdf 5. http://eclss.uo.gr/modules/documet/fle.php/math6/54.%0%ce%a3 %CF%84%CE%B%CF%84%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%B A%CE%AE%0%CE%99/E.O.K.pdf 6. http://www.stt.tmu.edu/~suhs/techg63/epoetl_fmly.pdf 7. http://e.wkped.org/wk/epoetl_dstrbuto 8. http://e.wkped.org/wk/gmm_dstrbuto

9. http://e.wkped.org/wk/bet_dstrbuto 0. http://e.wkped.org/wk/webull_dstrbuto. http://www.webull.com/lfedtweb/webull_probblty_desty_fucto. htm. http://e.wkped.org/wk/ch-squre_dstrbuto 3. http://e.wkped.org/wk/norml_dstrbuto 4. http://e.wkped.org/wk/fle:polyomldeg.svg 5. http://e.wkped.org/wk/fle:pdf_vguss.pg 6. http://e.wkped.org/wk/beroull_dstrbuto 7. http://www.boost.org/doc/lbs/_38_0/lbs/mth/doc/sf_d_dst/html/mth_to olkt/dst/dst_ref/dsts/beroull_dst.html 8. http://pges.cs.wsc.edu/~drzeje/lmml/ep-fmly-glms.pdf 9. http://e.wkped.org/wk/fle:lplce_dstrbuto_pdf.pg 30. http://e.wkped.org/wk/erlg_dstrbuto 3. www.des.uptrs.gr/mm/dsklk/usefuldstrbutos_006.pdf 3. www.mst.queesu.c/~stt455/lectureotes/set4.pdf 33. http://johw.org/publctos/thess/w03_ppedces.pdf 34. http://users.cs.tkk.f/hokel/dpp/ode95.html