3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă pe R petru α > şi avem: ' cos si f ( ), α α = = R şi α >. 3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Seriile de puteri reprezită o geeralizare aturală a fucţiilor poliomiale şi î acelaşi timp, o clasă particulară de serii de fucţii. Di acest motiv, seriile de puteri posedă toate proprietăţile seriilor de fucţii şi uele proprietăţi speciale care le leagă de fucţiile poliomiale (cotiue, itegrabile, idefiit derivabile etc.). Serii de puteri Defiiţia VI.4. O serie de puteri (serie îtregă) este o serie de fucţii f ( ) f ( ) = a, R şi a R. Şirul umeric (a ) se umeşte şirul cu ( ) de coeficieţi ai seriei de puteri: (VI.7) a = a + a +... + a +... Observaţii: 448

. O serie de puteri a este uic determiată de şirul coeficieţilor săi ( ) a R.. Orice serie de puteri este covergetă î = cu suma egală cu a. 3. Petru R fiat, se pot cosidera serii de puteri de forma geerală: ( ) a. 4. Toate rezultatele teoretice petru serii de puteri a sut valabile şi ( ) î cazul geeral, petru serii de forma: a. 5. Vom studia, î mod special, structura mulţimii de covergeţă a uei serii de puteri şi apoi proprietăţile geerale ale acestei clase particulare de serii de fucţii. Teorema VI.4. (Lema lui Abel). Fie seria de puteri a cu ( a ) R şi, R. (i) Dacă seria umerică a,( ) este covergetă, atuci seria de puteri este absolut covergetă î orice R cu proprietatea: (VI.8) < ( (-, )). (ii) Dacă seria umerică a,( ) este covergetă, atuci petru α R cu < α < seria de puteri este absolut şi uiform (ormal) covergetă pe compactul [-α, α] (-, ). 449

(iii) Dacă seria umerică a,( ) este divergetă, atuci seria de puteri a este divergetă î orice R cu proprietatea: (VI.9) > ( (-, - ) (, + )). Demostraţie: mărgiit î R. ( a ) ec ( ) (i) Dacă a covergetă lim a = ( a şir margiit î R M > a. î. a M, N de ude, avem: M (VI.) a, N şi R. Fie R cu proprietatea (VI.8) <, adică (-, ) şi cosiderăm ec ) seria modulelor = a a care verifică codiţiile: a = a = a M = Mq şi N cu < q< şi Mq este covergetă cr.weierstrass a este covergetă î cu proprietatea (VI.8) a este absolut covergetă î R cu proprietatea (VI.8) (i). (ii) Petru R cu [-α, α] (-, ), avem: α f( ) = a = a a α M = Mq cu 45

< q ( <α< ) Mq < şi este covergetă cr. Weierstrass f( ) = a este absolut şi uiform (ormal) covergetă pe compactul [-α, α] (-, ). (iii) Fie R cu proprietatea (VI.9) şi presupuem, pri reducere la absurd, că eistă R cu > ( a,( ) divergetă) a. î. a covergetă. După cazul (i) avem R cu proprietatea (VI.8) faţă de, deci a este absolut covergetă, ceea ce cotrazice ipoteza Petru R cu proprietatea (VI.9) seria de puteri este divergetă. Observaţii:. Aalizâd afirmaţiile di Lema lui Abel găsim următoarele cazuri: I. a covergetă umai î = şi divergetă R. Eemplu :! = +! +! +... este covergetă î = cu suma S=.Petru R fiat avem lim a = lim! a este divergetă î R. II. a este absolut covergetă pe R. 45

Eemplu : = + + +... şi R, aplicăm seriei!!! a =! criteriul raportului: + f ( ) +! l = lim = lim = lim =, R f ( ) ( + )! + a este covergetă î R este absolut covergetă pe R.! III. Eistă u elemet r [,] a. î.:. seria a este absolut covergetă petru R care satisface < r ( (-r, r));. seria a este divergetă petru R cu > r( (-,-r) (r, +)); 3. dacă = r se va preciza atura seriilor umerice ar şi a ( ) r. Eemple: 3), eistă = - a. î. ( ) covergetă TVI..4 este absolut covergetă î cu proprietatea: < = - = şi cum ( ) covergetă, iar divergetă, mulţimea de covergeţă petru este [-, ). 45

( ) 4), eistă = + a. î. ( ) covergetă ( ) LemaAbel este absolut covergetă î R cu < = şi cum = - avem ( ) ( ) ( ) = divergetă şi covergetă î =, atuci mulţimea de covergeţă a seriei ( ) este (-, ]. 5., eistă = + şi = - cu seriile umerice covergetă ( ) LemaAbel şi covergetă este absolut covergetă î R cu = ' =, deci pe [-, ].. Lema lui Abel afirmă eisteţa lui r [,] di cazul III. Defiiţia VI.5. Fie a cu a R. ] Elemetul r [,] defiit pri: ( ) (VI.) r = sup { R şi a = a covergetă} se umeşte raza de covergeţă, iar itervalul (-r, r) R se umeşte iterval (disc) de covergeţă al seriei de puteri a. ] Se umeşte mulţime de covergeţă sau domeiu de covergeţă al seriei de puteri mulţimea: a otat Dc (care are iteriorul, otat ) o D ) dat pri c 453

) {}; o r = (5) D = ; r. c R = ( rr, ); < r < 3] Fucţia f : D c R se umeşte suma seriei de puteri, otată D a = f( ), c. Teorema VI.5. (Teorema I a lui Abel) Fie seria de puteri a cu raza de covergeţă r, atuci avem: ) a este absolut covergetă î R cu < r. ) seria a este divergetă petru R cu > r; 3) a este absolut şi uiform covergetă pe orice compact [-α, α] (-r, r) cu < α < r. Demostraţie. ) Fie R fiat cu <r fiat. Dacă avem <ρ<r di defiiţia lui r (VI.) rezultă că seria a ρ este covergetă, deci a este covergetă a este absolut covergetă î R cu <r. () Fie R fiat cu >r. Dacă avem <ρ <, di defiiţia lui r (VI.) rezultă că seria a ρ este divergetă, deci a este 454

divergetă cu lim a lim a şi atuci a este divergetă î R cu >r. 3) Afirmaţia coicide cu (iii) di Lema lui Abel (teorema VI.4) deja demostrată. Teorema VI.6. Fie seria de puteri covergeţă Dc, atuci avem: a cu raza de covergeţă r şi mulţimea de I. Dacă r = D c ={}; II. Dacă r = D c =R; III. Dacă < r < (-r, r) D c [-r, r]. Demostratia este imediată folosid teorema I a lui Abel şi defiiţia lui D c di (VI.). Observaţii:. Î capetele itervalului de covergeţă (-r, r): = r şi = -r seria de puteri are aceeaşi atură cu seriile umerice ar şi a ( r) care sut: fie covergete, fie divergete.. Di acest motiv mulţimea de covergetă a seriei de puteri poate fi de forma: D c = o ) D = (-r, r); D c = c o ) =[-r, r); D c = D {-r, r} = [-r, r]. c c o ) D {r} = (-r, r]; D c = o ) D {-r} = c 3. Eemplele aalizate după lema lui Abel cuprid toate situaţiile de mai sus (eemplele ) 5)). 455

4. Vom studia mai departe procedeele de calcul petru raza de covergeţă r şi proprietăţile speciale ale seriilor de puteri. Teorema VI.7. (Teorema Cauchy - Hadamard) Fie seria de puteri a cu raza de covergeţă r. Dacă l = a, lim atuci avem: (i) (VI.3) ; dacă l = r = ; dacă l = (cu coveţiile = ; = ) ; ; dacă < l < l (ii) Dacă eistă l = lim a, atuci r = şi au loc situaţiile di (VI.3). l Demostraţie. (i) Dacă avem: < l < seria a ρ cu ρ R + este covergetă (după criteriul rădăciii al lui Cauchy de la serii umerice) petru ρ < şi divergetă petru ρ >. După defiiţia lui r, avem: l r şi respectiv r deci r = (după teorema de caracterizare l l l a margiii superioare î R). l Petru l = seria a ρ cu ρ R este covergetă petru + ρ, deci r =. Î cazul l = + seria a ρ cu ρ R este divergetă petru + orice ρ >, deci r =. 456

fiat seriei petru (ii) Dacă eistă l = lim a aplicăm criteriul rădăciii î ficare a şi avem covergeţă petru > ; î acest caz l = l şi au loc situaţiile di (VI.3). l Teorema VI.8. Fie seria de puteri a cu raza de covergeţă r. < şi divergetă l Dacă: a lim + =, l a l a lim + = şi a a l lim + = atuci avem: a r si r = l l l Demostraţie: î toate situaţiile di (VI.3). a+ a Avem lim lim + l = a lim = l r şi urmează a a l l discuţia di demostraţia teoremei Cauchy Hadamard (teorema VI.7). Dacă eistă a l lim + = aplicâd î fiecare seriei a a criteriul raportului al lui D Alembert se obţi situaţiile di (VI.3). Eemple: + cu + 6) ( ) r = = seria este absolut covergetă pe (-, ). l Petru = ( ) covergetă şi = - + + ( ) covergetă + D c = [-, ]. 457

( ) ( ) α α... α 7) + + cu α R cu! r = = seria este absolut l α α... α covergetă pe (-, ). Î =, avem+ + aplicâd! ( ) ( ) criteriul Raabe Duhamel: lim a = α + Seria este absolut a + covergetă petru α şi simplu covergetă după criteriul lui Leibiz petru < α <. + α α α ) covergetă petru α.! Î = -, avem ( )( )...( Avem D c = [-, ] petru α şi D c = (-, ] petru α (, ). + 8) ( ) cu α R are a ( ) ( l ) α + = cu şi α ( l ) a ( ) α ( + ) + ( l ) + ( + )( + ) + a = l = = α l l( ) + lim lim a α = a este absolut covergetă pe (-, ), α R. Î =, avem: ( ) petru α >. + covergetă dupa criteriul Leibiz α ( l ) Î = -, avem: + covergetă petru α > (după criteriul α ( l ) Bertrad: dacă eistă a lim l ( + ) l( + ) = µ seria a+ 458

a ( a > ) este covergetă petru µ > şi divergetă petru µ < ). Mulţimea de covergeţă Dc = [-, ] petru α > şi D c = (-, ] petru α>. 9) ; = 3k ; = 3k ; 3k ; 3k 3 k 3 cu a = a = 3 l = lim a = ma, r 3 = = 3 3 3 covergetă pe (, ) = 3 avem )! cu ; î şi seria este absolut = 3 avem divergetă şi î ( ) 3 3 3 divergetă. Î acest caz D c = (, ). a { } l a r ; k =! ; k =! = a = ; k!;!;... ;!;!;... { } k { } = lim = ma, = = şi cum petru =, = - seriile umerice corespuzătoare sut divergete, avem D c =(-, ). ) cu ( + ) 3 a = ( + ) 3 şi l a = = r = şi petru + lim a = seria ( ) covergetă, iar petru = ( ) 3 + ( ) 3 + covergetă, rezultă că: D c =,. 459

Cosiderăm o serie de puteri a cu raza de covergeţă r, r (, ) şi fucţia sumă f: (-r,r) R cu f() = a, care pe itervalul de uiformă covergeţă [-α, α] (-r, r) ( < α < r) are proprietăţile fucţiilor termei derivabile, f itegrabile. Teorema VI.9 Fie seria de puteri f ( ) = a : f cotiue, f derivabile chiar idefiit a cu raza de covergeţă r şi suma f, atuci f este cotiuă pe [-α, α] (-r, r). Demostraţie Fie (-r, r) < r şi di defiiţia margiii superioare pri (VI.) eistă α > cu < α < r a este uiform covergetă pe compactul [-α, α] şi suma sa f este cotiua pe [-α, α] ( f ( ) = a sut cotiue R) f cotiuă î (-r, r) f cotiuă pe (-r,r). Teorema VI.3. (Teorema a doua a lui Abel) Fie (respectiv a cu raza de covergeţă r şi suma f. Dacă seria a ( r) ) este covergetă, atuci suma f este cotiuă î puctul = r (respectiv = -r). Demostraţie: Presupuem că ar ar este o serie umerică covergetă şi vom dovedi că seria de puteri a este uiform 46

covergetă pe compactul [, r]. Avem: a = ar r cu [, r] şi sut îdepliite codiţiile di coseciţa a treia a criteriului Abel Dirichlet: ar este uiform covergetă şi şirul r este mooto descrescător uiform mărgiit pe [, r] a este uiform covergetă pe [, r] şi f cotiuă pe [, r] este fucţie cotiuă î puctul = r. Observaţii: Teorema a II-a a lui Abel permite determiarea sumei uor serii umerice, obţiute di serii de puteri a cu = fiat.. Petru seria a cu raza de covergeţă r şi suma f faptul că este covergetă î = r (respectiv = - r) implică: lim f ( ) = f( r) (respectiv lim f ( ) = f( r) ) (VI.4). r < r 3.Seria de puteri a r > r este uiform covergetă pe mulţimea sa de covergeţa Dc, dacă şi umai dacă, avem: D c =[- r, r]. 4. Di ultimele două teoreme avem: o serie de puteri este uiform covergetă pe orice compact coţiut î mulţimea sa de covergeţă, iar suma seriei este o fucţie cotiuă pe mulţimea sa de covergeţă. 46

Teorema VI.3. Fie dată suma de puteri au loc afirmaţiile: a cu raza de covergeţă r şi suma f, atuci i) Seria derivatelor a are aceeaşi rază de covergeţă r şi avem: (VI.5) a = ( a ) = a = f ( ), [ α, α] [-r,r]. ii) Seria itegralelor avem: a + are aceeaşi rază de covergeţă r şi + (VI.6) a a t dt = a t dt = = f () t dt, + + [,] (-r, r). iii) Fucţia sumă f este idefiit derivabilă pe [-α, α] (-r, r) cu: (VI.7) ( ) k k ( ) = ( )...( ), k f k a k şi ( ) (VI.8) a = f(), N.! Demostraţie: (i) şi (ii) Petru seria derivatelor a otăm raza de covergeţă: r = = = r. lim a lim a Seria itegralelor a + are raza de covergeţă: + 46

r = lim = a lim a + + = r. Petru α cu < α < r seria de fucţii a este uiform covergetă pe [-α, α] şi seria derivatelor a este uiform covergetă pe acelaşi compact deci se poate deriva terme cu terme, suma sa f este derivabilă şi are loc egalitatea (VI.5). Seria a este uiform covergetă pe [, ] (-r, r) şi f fucţii cotiue, se poate aplica itegrarea terme cu terme şi sut valabile egalităţile (VI.6). (iii) Seriile a şi a sut uiform covergete pe compactul [- α, α] (-r, r) şi după (VI.5), avem: = α a a, [, ] ( ) α şi f a =. Demostraţia petru (VI.7) se obţie pri iducţie asupra lui k. Di (VI.7) petru =, [-α, α] (-r, r), avem Observaţii: f = k a k (VI.8) a ( k ) ()! k, ( ) f() =, N.!. Orice serie de puteri a cu raza de covergeţă r şi mulţimea de covergeţă Dc este uiform covergetă pe orice iterval compact 463

[α, β] D c ; pe [α, β] sut valabile proprietăţile de cotiuitate, derivabilitate şi itegrabilitate ale fucţiei sumă f ( f: D c R).. Fucţia f C (( r, r)) di covergeţa seriilor umerice ar şi = r. a ( r) u rezultă, î geeral, derivabilitatea lui f î puctele = -r şi 3. O serie de puteri a cu raza de covergeţă r, va putea fi derivată terme cu terme umai pe (-r, r). 4. Coeficieţii uei serii de puteri sut uic determiaţi pri valorile sumei f şi a derivatelor sale f î =. ( k ) () 5. Dacă este dată seria a cu raza de covergeţă r şi suma f, pri formulele (VI.8) se pot determia valorile derivatelor lui f î = : f = k!a k cu k N, deci ( k ) () a k ( k ) f() =, k N. k! Teorema VI.3. (Operaţii cu serii de puteri). Fie date seriile de puteri a cu raza de covergeţă r şi suma f şi b cu raza de covergeţă r şi suma g, atuci au loc afirmaţiile: ) Dacă r = r = r şi f() = g(), (-r, r), atuci a = b, N. 464

) Seriile de puteri a şi ( λ a ) (λ R) au aceeaşi rază de covergeţă r şi fucţia λf este suma seriei de puteri ( λa ) pe (-r, r ). ( ) 3) Seria de puteri a + b are raza de covergeţă r mi{r,r } şi suma f + g, pe (-r, r). 4) Seria produs după Cauchy c ude : (VI.9) c = a b = a b + ab +... + a b, N are raza de k k k = covergeţă r mi{r,r } şi suma egală cu f g, pe (-r, r). Demostraţie: ) Dacă f = g pe (-r, r) di (VI.8) avem: a! f = b! g, N, a = b, N. ( ) ( ) () () ) Demostratia este directă deoarece, avem: k S ( ) = a şi σ ( ) = ( λ a ) =λs ( ) k = k k k adică cele două şiruri k = pc pc coverg şi diverg simulta ( S f şi σ (, ) λ f etc.). ( rr, ) rr 3) Fie r = mi{r,r }. Dacă < r, atuci < r şi < r, deci a şi b sut absolut covergete î cu proprietatea < r şi după operaţiile cu serii umerice covergete seria ( + ) este, absolut covergetă î aceste pucte. Raza de covergeţă a seriei de a b 465

puteri ( a + b) este r cu r < r, atuci ( - r, r ) (-r, r), deci r r ; evidet suma seriei este fucţia f + g, pe (-r, r). 4). Fie r = mi{r,r } şi R fiat cu < r, atuci < r şi < r seriile a şi b sut absolut covergete î. După teorema lui Mertes, care afirmă că produsul Cauchy a două serii absolut covergete este o serie absolut covergetă, rezultă: c cu c dată pri (VI.9) este o serie absolut covergetă î ; avem ( - r, r ) (-r, r), deci r r. Se otează: c = a b. Observaţii:. Relaţia r mi{r,r } di 3) şi 4) poate fi strictă. Eemplu: şi ( ) au r =r = şi seria: ( ) ( ) a + b = = are r = ; deci î acest caz r = > >mi{r,r } =.. Dacă seriile a şi b au razele de covergeţă r r, otăm cu r = mi{r,r }. Presupuem r < r, atuci petru R cu proprietatea ( ) r < <r, seria a + b este divergetă ( a este divergetă şi b este covergetă). Petru raza de covergeţă r a seriei 466

( a + b) avem r r şi cum r < r r= r = = mi{r,r } (-r, r) = =( - r, r ) ( - r, r ). 3. Se poate cosidera produsul după Cauchy: a c ( aa aa... aa ). = = + + + 4. După formula (VI.8), avem: ( ) () (VI.3) a = = f( ), ( rr, ) f.! Serii Taylor. Aplicaţii. ( ) f () Vom etide reprezetarea (VI.3): f ( ) = = a, (-r, r)! a sumei uei serii de fucţii f cu f C (( r, r)) la cazul geeral f C ( I) cu I R iterval şi I ( = puct iterior itervalului I). Defiiţia VI.6 Fie I R iterval, I şi f: I R cu f C ( I). Se umeşte serie Taylor asociată fucţiei f î jurul puctului =, seria de puteri: (VI.3) ( ) ( ) f() f () f() = f() + +... + +..., I.!!! Studiul seriilor Taylor asociate fucţiilor de clasă C pe u iterval cu = puct iterior, ridică două probleme eseţiale: I. Seria (VI.3) este covergetă î puctele I cu, deci raza de covergeţă este r (r (, ])? II. Seria (VI.3) are ca sumă chiar fucţia geeratoare f pe itervalul de covergeţă (-r, r)? 467

) Eemple: f = e f C R f e ( ) ( ) cu ( ) ( ),avem ( ) =, f = deci: ( ) ( ) () + +... + +... şi r = lim =. Deci D c =R şi seria Taylor asociată!! a+ a lui f ( ) = e coverge î R; vom dovedi că suma acestei serii Taylor este f ( ) = e.. e ; (,] f( ) = este derivabilă pe [-, ] cu ( f ) ( ) =, [-, ) ; [, ] şi N. Fucţia f admite f ' s () = şi să dovedim că f este derivabilă î =. Avem ' e t fd () = lim = limte =, t = cu > şi cum t > f s' () = f ' () =. Petru (,], f este derivabilă ca o compuere de fucţii reale derivabile şi f este derivabilă pe [-, ]; î acelaşi mod se arată că f C ([,) ] ( ) şi avem f ( ) =, =,,... iar seria Taylor asociată lui f î = este de forma: () + +... + +... cu suma S=. Fucţia f!! u este suma seriei Taylor asociată î jurul lui =, deoarece f u este idetic egală cu zero pe [-, ]. Teorema VI.33. (Teorema de reprezetare a fucţiilor de clasă C pri serii Taylor) Fie I R u iterval, = puct iterior lui I şi f C ( I). Dacă eistă M > a. î. 468

(VI.3) ( f ) ( ) M, I şi N atuci seria Taylor (VI.3) este uiform covergetă pe I cu suma f, adică: ( ) ( ) f() f () f() VI.33 f ( ) = = f() + +... + +..., ( a, a) I!!! Demostraţie: Î ipotezele teoremei, seria (VI.33), are şirul ( ) sumelor parţiale ( ) f () f() S ( ) = f() + +... + şi după formula!! Maclauri, avem: S ( ) = f( ) R ( ) f( ) S ( ) = R ( ), I ude ( ξ) ( + ) f R ( ) = ( + )! + cu ξ ître şi ( ξ = θ, < θ < ). Petru (-a, a) < a, avem: ( ξ) ( + ) f + + a f( ) S( ) = R( ) = M = ( + )! ( + )! Mb + şi cum: uc lim b = lim f S = S f şi atuci are loc egalitatea ( aa, ) (VI.33). Aplicaţii: I. Seria biomială Fie α R şi seria de puteri: (VI.34) α α( α ) α( α )...( α + ) + + + + + umită seria!!!...... biomială.avem r = = seria (VI.34) este absolut covergetă α lim + pe (-, ) cu suma f: (-, ) R deci: (VI.34') α α( α ) α( α )...( α + ) f = + + + + +!!! ( )...... Pri derivare di (VI.34') avem: 469

α α( α ) α( α )...( α + ) () f ( ) = + +... + +...!!! de ude pri îmulţirea cu ( ), se obţie: α α( α ) α( α )...( α + ) () f ( ) = + +... + +...!!! Aduâd () şi () se obţie: ( ) αα ( ) αα ( ) ( ) αα ( )( α ) + =α+ α+ + + +...!! + ( ) f α( α )...( α ) α( α )...( α + ) + + +..., (,) ude:! ( )! α( α )...( α k) α( α )...( α k+ ) α( α )...( α k+ ) α k + = + = k! k! k! k ( k ) ( ) ( ) αα ( )...( α k + ) =, k N ( + ) f ( ) =αf( ), (,).! Cum f(), (-,) şi f() >, avem: f ( ) α =, (-,) f ( ) + l f ( ) =α l( + ) + l c f( ) = c( + ) α, (-,) şi f() = = c f() = ( + ) α, (-,). Seria biomială (VI.34) are suma f()=( + ) α, petru (-,) şi are loc egalitatea: α α αα ( ) αα ( )...( α + ) (VI.3") ( + ) = + + +... + +..., şi!!! (,), α R. Formula (VI.3 ) este o geeralizare a formulei biomului lui Newto adevărată petru α N şi di acest motiv seria (VI.34) se umeşte seria biomială. 47

II. Cazuri particulare ale seriei biomiale. α = - () = + +... + ( ) +... = ( ), (-,). +. Î seria () trecem = - pe (-, ) şi obţiem: () = + + +... + +... =, (-,). 3. Fie [, ] (-, ) şi itegrâd terme cu terme seria (), obţiem: I. (3) 3 l( + ) = + +... + ( ) +... = ( ) 3, (-,). La fel pe [, ] (-, ) şi itegrâd terme cu terme seria (), avem: II.(4) 3 l( ) =...... = 3, (-,). III. Aduâd membru cu membru seriile (3) şi (4) pe (-,), rezultă: (5) 4 l... +... = + + + + =, (-,). 3 5 + + VI. Î seria (3) trecem pe (-, ) şi avem: (6) 4 l( + ) = +... + ( ) +... = ( ), (-,). 4. Petru α = di seria biomială obţiem: 3 3... ( ) 7 + = + + +... + +..., (,)!!! ( ) ( ) 5. Petru α = - di seria biomială obţiem: 3 3...( ) 8 = + +... + +..., (,) +!!! ( ) ( ) Î seria (8) trecem pe - cu (-, ) şi avem: 47

3 3...( ) 9 = + + +... + +..., (,)!!! ( ) 6. Î seria () trecem pe (-, ) şi avem: 4 6 () = + +... + ( ) +... = ( ) (-,). + Petru [, ] (-, ) itegrăm terme cu terme seria () şi obţiem: () 3 5 + + arctg = +... + ( ) +... = ( ) (-,). 3 5 + + 7. Î seria (9) trecem pe (-, ) şi avem: 3 3... ( ) = + + +... + +..., (,)!!! ( ) Pri itegrare [, ] (-, ) di (), avem: (3) 3 5 + 3 3... ( ) arcsi = + +... + +...!3!5! + (-,). Di seria (3)se obţie după teorema a II-a a lui Abel: π lim arcsi = arcsi = = < 3 3... ( ) ( )!! = + + +... + = +!3!5!! + ( )!! (4) π= + +! care permite să se calculeze cu o aproimaţie precizată umărul real π. 47

III. Calculul umeric al logaritmilor aturali Avem (3) 3 l( + ) = + +... + ( ) +... = ( ) 3, petru (-,). Fie a u umăr pozitiv cuoscut şi să determiăm l(a+), avem: l( a+ ) l a= l( + ) şi petru a > di (3) se obţie: a l + = + +... + ( ) +... care este o serie îcet 3 a a a 3 a a covergetă, mai ales dacă a este u umăr mic. Vom folosi seria (5) 4 l... +... = + + + + =, (-,) şi 3 5 + + otăm: + = + = şi obţiem dezvoltarea: a a+ (5) l + = + +... + +... care este 3 a a 3 (a ) (a ) + + + + + o serie rapid covergetă. Petru a =, di (5) se obţie: l 3 3 3 +... + +... 5 3 + 3 = + + 3 5 + şi folosid metodele de calcul aproimativ al sumei uei serii umerice cu termei pozitivi covergetă, se poate calcula l cu u umar precizat de zecimale eacte. IV. Dezvoltarea î serie Taylor a uor fucţii elemetare. f ( ) = e cu R şi ( ) f ( ) = e, R, N f C ( R) şi ( f ) () =, N. Petru a >, avem: ( ) a f ( ) = e e, (-a, a) şi 473

= + + + + = R şi cum r =, are!!! deci e......, ( a, a) loc egalitatea: e =, R.! Petru = e = = + +... +... şi se poate calcula umărul e!!! cu u umăr precizat de zecimale eacte.. f()= si, R cu π ( ) = si +, R, N şi ( ) = ( ) ( ) f f π = si +, R, N f C ( R ) cu : k ( ) π ( ) ; = k+ f() = si =, deci avem: ; = k 3 5 + si = + +... = ( ), R. 3! 5!! ( + ) 3. f()= cos, R cu π ( ) = cos +, R, N şi ( ) = ( ) ( ) f f π = cos +, R, N f C ( R ) cu : f ( ) () k π ( ) ; = k = cos =, deci avem: ; = k+ cos = + +... = ( )! 4! 4, R. 4. f()= arctg, R. Notăm y = arctg = tg y şi avem: 474

y + + tg π y ( y ) = = = cos y = cos si + y ( ) π arată că, avem: f ( ) ( )!cos ysi( y ) = + = ( )!cos π ( arctg ) si ( arctg ). Pri metoda iducţiei se = + petru R, N f C ( R) ; are loc şi relaţia: ( ) = ( )! si arctg +, R, N. Petru = ( + ) π ( ) ( ) f ; ( ) () ( )!si π = k f = = şi se obţie: ( ) k ; = k + 3 5 + arctg = + +... + ( ) + R + ( ), R ude : 3 5 + + R ( ) = si (+ ) arctgθ + + ( +θ ) π ( ) + + ( +θ ) + + π R + ( ) = si ( ) ( arctg + ) + θ + + + ( +θ ) + = b + + + ( ). Petru fiecare R, fiat, şirul b ( ) = este descrescător şi mărgiit iferior de zero pc b R deci R + ( ) pc R şi avem: arctg = ( ), R cu raza r= + seria este uiform covergetă pe [-α, α] (-, ). 475

5. Să se determie seria de puteri asociată fucţiei f ( ) = l ( + + ) cu (-, ). De la seria biomială α αα ( )...( α + ) + =,cu (,) (-, +) petru α = -! ( ) = avem: 3 3...( ) () = + +... + ( ) +..., (,) +!!! şi trecâd pe î î egalitatea () se obţie: 3 3...( ) = + +... + +..., +!!! ( ) ( ) Petru > cu (-, ) itegrâd pe compactul [, ] (-, ) se obţie: 3 dt 3 5 3...( ) + + t = + +... + ( ) +... 3! 5! +! ( ) dt dar = l ( t+ + t ) +C şi cum f () t l ( t t ) + t = + + are proprietatea f ()= l = se va cosidera C =. Fucţia f este suma seriei de puteri: 3 ( ) 5 ( ) 3 3...( ) + l + + = + +... + ( ) +... 3! 5! +! pe (-, ). 6. Să se determie raza de covergeţă şi suma seriei de puteri = cu <. Avem: r = = = şi r =, deci seria dată ρ lim este absolut covergetă pe (-,) şi fie f suma sa: f() =, = 476

(-,). Fie seria de puteri cu raza de covergeţă r = şi S() = = =, (-, ) care pri derivare coduce la egalitatea: = S () =, cu (-, ) şi atuci S () = =, cu (-, ). = Avem: S () = ( ) = egalitatea: S () + S () = ( ), cu (-, ) şi pri aduare rezultă + = = f(), = = = (-, ). Di S() =, (-, ) se obţie: S () = ( ) şi S () = 3 ( ) (-, ) deci, suma seriei date este: f() = S () + +S () = ( ) 3 + ( ) = 3 ( ), (-, ) = 3 = ( ), (-, ). 4. Serii trigoometrice. Serii Fourier. Aplicaţii. Studiul seriilor trigoometrice şi î particular, al seriilor Fourier este legat de reprezetarea semalelor periodice î desfăşurarea uor feomee di realitate, cu posibilităţi de adaptare la tehicile modere de calcul. G. Cator a itrodus operaţiile algebrice cu mulţimi; reuiue, itersecţie, difereţa etc. plecâd de la studiul mulţimii de covergeţă a uor serii trigoometrice. 477