3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού αναλογικού σήµατος, ο οποίος παρέχει τη δυνατότητα µετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Δώσουµε τη φυσική σηµασία του αναπτύγµατος σε σειρά Fourier και του µετασχηµατισµού Fourier. 1 Εφαρµόσουµε το παραπάνω ανάπτυγµα/µετασχηµατισµό στις περιπτώσεις α) του περιοδικού τετραγωνικού σήµατος, β) του τετραγωνικού παλµού και γ) του αιτιατού εκθετικού σήµατος. Θα αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier. Υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier µερικών βασικών συναρτήσεων. Επεκτείνουµε τις έννοιες της ενέργειας και της ισχύος τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων. 2 1
Στο χώρο των n-διαστάσεων κάθε διάνυσµα παριστάνεται ως Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ορίζεται από τη σχέση Για µια ορθοκανονική βάση διανυσµάτων οι συντεταγµένες, ενός διανύσµατος., είναι οι προβολές του σε κάθε ένα από τα διανύσµατα βάσης και προσδιορίζονται από τη σχέση Το µέτρο (norm) ή µήκος ενός διανύσµατος, ορίζεται από τη σχέση καλεί- Ένα σύνολο διανυσµάτων ται ορθοκανονικό όταν a k, a m = δ ( k m) = 1, k = m 0, k m x (t) = n =1 x (t),y(t) = x n = x (t),ψ n (t) = x n ψ n (t) b a b a x (t) y * (t) dt x (t) ψ n (t) dt x (t) 2 = x (t),x (t) 1 2 = x(t) 2 dt a b 3 Περιγραφή των σηµάτων στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας Υπάρχουν δύο τρόποι περιγραφής ενός αιτιοκρατικού σήµατος. Ο πρώτος τρόπος περιγραφής πραγµατοποιείται στο πεδίο του χρόνου, ενώ ο δεύτερος στο πεδίο της συχνότητας. Ο πρώτος τρόπος είναι άµεσα αντιληπτός και η χρονική µεταβολή του σήµατος δίδεται είτε µέσω αναλυτικής σχέσης (µαθηµατικός τύπος) είτε µε γραφική παράσταση. 4 2
Η περιγραφή των σηµάτων στο πεδίο της συχνότητας περιλαµβάνει, κατά περίπτωση, τη χρήση της σειρά ή του µετασχηµατισµού Fourier µέσω των οποίων ένα σήµα περιγράφεται από το φασµατικό του περιεχόµενο. Η συνάρτηση η οποία περιέχει τη φασµατική περιγραφή ενός σήµατος ονοµάζεται φάσµα του σήµατος. Πλάτος Φάση Συχνότητα Συχνότητα Το φάσµα του σήµατος x(t) 5 Χρόνος Συχνότητα Πλάτος Πλάτος Πλάτος Συχνότητα Χρόνος Συχνότητα Χρόνος 6 3
Το σύνολο των ορθογωνίων αναλογικών εκθετικών περιοδικών σηµάτων Για τα εκθετικά σήµατα,,, παρατηρούµε Τα εκθετικά σήµατα,,, σε οποιοδήποτε πεπερασµένο χρονικά διάστηµα, διάρκειας, καλούνται αρµονικά συσχετιζόµενα εκθετικά σήµατα και σχηµατίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο. Εποµένως κάθε σήµα x(t) στο χρονικό αυτό διάστηµα εκφράζεται x (t) = k = a k e j kω 0 t 7 Το περιοδικό σήµα x(t) µπορεί να περιγραφεί από την περίοδό του T 0 (ή από τη θεµελιώδη συχνότητα f 0 ) και από την ακολουθία των µιγαδικών αριθµών {α k }, (των συντελεστών του αναπτύγµατος ), δηλαδή, να περιγραφεί στο πεδίο συχνότητας. Για να περιγράψουµε το x(t) αρκεί να προδιορίσουµε ένα αριθµήσιµο σύνολο (ενγένει µιγαδικών) αριθµών. Αυτό οδηγεί σε σηµαντική µείωση της πολυπλοκότητας της περιγραφής του σήµατος x(t), αφού για να ορίσουµε το x(t) για κάθε χρονική στιγµή t, πρέπει να προσδιορίσουµε τις τιµές του σε ένα µη αριθµήσιµο σύνολο τιµών. 8 4
Έστω τώρα ένα σήµα x(t) στο διάστηµα [t 0, t 0 + T ], και ας υποθέσουµε ότι είναι δυνατόν να αναπτυχθεί σε άθροισµα εκθετικών στοιχειωδών σηµάτων, Ο υπολογισµός των συντελεστών α k γίνεται αν πολλαπλασιάσουµε και τα δύο µέλη της µε και ολοκληρώσουµε από t 0 έως t 0 + T, δηλαδή, αν υπολογίσουµε το εσωτερικό γινόµενο του x(t) µε το. = +a n 1 e j(n 1)ω 0 t e jnω 0 t + a n e jnω 0 t e jnω 0 t + a n +1 e j(n +1)ω 0 t e jnω 0 t + 9 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER Εκθετική σειρά Fourier x t + ( ) = a k e jkω o t k = Εξίσωση σύνθεσης a k = 1 T t 0 +T t 0 x(t)e j kω 0 t dt Εξίσωση ανάλυσης 10 5
Η σειρά αποτελεί την εκθετική σειρά Fourier ή το ανάπτυγµα Fourier του σήµατος Οι µιγαδικοί συντελεστές καλούνται συντελεστές Fourier ή φασµατικές γραµµές του και ορίζουν το φάσµα του σήµατος Η σταθερά φάσµατος a 0 είναι η συνεχής ή η σταθερά συνιστώσα του Κάθε δηλώνει το φασµατικό περιεχόµενο του σήµατος. στη συχνότητα και ονοµάζεται αρµονική συνιστώσα 11 Το σύνολο των ορθογωνίων αναλογικών τριγωνοµετρικών περιοδικών σηµάτων. Για τα σήµατα, sin (kω 0 t) και cos (kω 0 t), παρατηρούµε ότι sin (kω 0 t),sin (mω 0 t) = T 2 δ ( k m) cos (kω 0 t),cos (mω 0 t) = T 2 δ ( k m) sin (kω 0 t),cos (mω 0 t) = 0, k, m Τα σήµατα, sin (kω 0 t) και cos (kω 0 t),, σε οποιοδήποτε πεπερασµένο χρονικά διάστηµα, διάρκειας. καλούνται αρµονικά συσχετιζόµενα σήµατα και σχηµατίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο. Εποµένως κάθε σήµα x(t) στο χρονικό αυτό διάστηµα εκφράζεται x(t) = a 0 + b k cos( kω 0 t) + c k sin kω 0 t k =1 k =1 ( ) 12 6
Τριγωνοµετρική σειρά Fourier x(t) = a 0 + b k cos( kω 0 t) + c k sin kω 0 t k =1 k =1 ( ) Η Μέση Τιµή του σήµατος b k = 2 T t 0 +T x(t) cos( kω 0 t ) dt, k =1, 2, t 0 c k = 2 T t 0 +T x(t) sin( kω 0 t ) dt, k =1, 2, t 0 13 Αν χρησιµοποιήσουµε την γνωστή τριγωνοµετρική ταυτότητα b cos ϕ + c sin ϕ = A cos (ϕ+θ) όπου και Γενικά x(t) = A 0 + k =1 A k = b 2 2 k +c k και A k cos( kω 0 t +θ k ) tanθ k = c k b k 14 7
Σειρές Fourier µη περιοδικών σηµάτων a k = 1 T t 0 +T t 0 x(t)e j kω 0 t dt Ορίσαµε το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier ενός µη περιοδικού σήµατος σ ένα διάστηµα [t 0, t 0 +T]. Έξω από το διάστηµα αυτό η σειρά Fourier δεν συγκλίνει κατ ανάγκη στο σήµα x(t), δηλαδή, x(t) = a k e j kω 0 t, t 0 t t 0 + T k = 15 Σειρές Fourier περιοδικών σηµάτων a k = 1 T t 0 +T t 0 x(t)e j kω 0 t dt Σηµειώνουµε ότι όταν το σήµα είναι περιοδικό, η ολοκλήρωση στις εξισώσεις ανάλυσης µπορεί να γίνει σ ένα αυθαίρετο διάστηµα εύρους Τ 0. Ορίσαµε το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier ενός περιοδικού σήµατος, x(t + T) = x(t), σ ένα διάστηµα [t 0, t 0 +T ]. Παρατηρούµε ότι η σειρά Fourier συγκλίνει στο σήµα x(t) για κάθε χρονική στιγµή t, δηλαδή, 16 8
Ύπαρξη σειράς Fourier 1. 1. Ικανή Συνθήκη: Σε κάθε περίοδο το σήµα x (t) να είναι απόλυτα ολοκληρώσιµο: 17 2. Ικανή Συνθήκη: Το σήµα x (t) σε κάθε πεπερασµένο χρονικό διάστηµα είναι συνεχές ή να περιέχει πεπερασµένο αριθµό ασυνεχειών, κάθε µια απο τις οποίες να είναι πεπερασµένου ύψους. 18 9
3. Ικανή Συνθήκη: Το σήµα σε κάθε πεπερασµένο χρονικό διάστηµα να είναι φραγµένης κύµανσης, δηλαδή να υπάρχουν πεπερασµένος αριθµός µεγίστων και ελαχίστων στο διάστηµα. 19 Κατασκευή του σήµατος x(t) από αρµονικά συσχετιζόµενα συνηµίτονα. Φυσική σηµασία της εκθετικής σειράς Fourier. 20 10
ή x( t) =1+ cos (2πt) + 1 3 cos (6πt) + 1 cos (10πt) 5 21 Σειρές Fourier Παρατηρούµε ότι τα πλάτη του τριγωνοµετρικού αναπτύγµατος A k είναι ίσα µε το διπλάσιο των αντιστοίχων συντελεστών του εκθετικού αναπτύγµατος a k. 22 11
Παράδειγµα Να υπολογιστεί η µέση ισχύς κάθε όρου της εκθετικής σειράς Fourier Απάντηση 23 Ταυτότητα του Parseval Η ολική µέση ισχύς ενός περιοδικού σήµατος είναι ίση µε το άθροισµα των ισχύων όλων των όρων της εκθετικής σειράς Fourier, πράγµατι, Αν το σήµα είναι πραγµατικό λόγω της α k * = α -k έχουµε 24 12
Παράδειγµα Να υπολογιστεί η µέση ισχύς κάθε όρου της τριγωνοµετρικής σειράς Fourier Απάντηση 25 Παράδειγµα Να υπολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς Fourier για τα σήµατα: 26 13
Να υπολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς και της τριγωνοµετρικής σειράς Fourier για το περιοδικό ορθογώνιο σήµα 27 Περιβάλλουσα 1 2 3 4 5 Η συνεχής συνιστώσα του φάσµατος είναι Η θεµελειώδης συχνότητα είναι Η απόσταση µεταξύ των φασµατικών γραµµών είναι Ο πρώτος µηδενισµός της περιβάλλουσας του φάσµατος γίνεται όταν Η συχνότητα του πρώτου µηδενισµού είναι 28 14
29 Φαινόµενο Gibbs Ας προσπαθήσουµε να προσεγγίσουµε το περιοδικό σήµα το πεπερασµένο άθροισµα από Το σφάλµα προσέγγισης είναι Εφαρµογή Για έχουµε x N ( ) ( t) = 1 2 + 2 π cos ω t 0 30 15
x N ( ) ( t) = 1 2 + 2 π cos ω t 0 31 32 16
Στα σηµεία ασυνεχείας του το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier δίνει τη µέση τιµή του αριστερού και του δεξιού ορίου του σήµατος, δηλαδή, ( t) = 1 2 x t x N [ ( ) + x( t + )] 33 Ο Μετασχηµατισµός Fourier ή το φάσµα του x(t) ή Η συνάρτηση X(ω) αποτελεί την εξίσωση ανάλυσης και είναι ο Μετασχηµατισµός Fourier (ΜF) του σήµατος x(t). Ακριβέστερα, µετασχηµατισµός Fourier είναι ο κανόνας εύρεσης της X(ω) από την x(t). ή Η εξίσωση αποτελεί την εξίσωση σύνθεσης και ανασυνθέτει το σήµα στο πεδίο του χρόνου 34 17
Στο µετασχηµατισµό Fourier, η εξίσωση ανάλυσης αναλύει ένα µη περιοδικό σήµα x(t) στο διάστηµα περιοδικών εκθετικών σηµάτων. σ ένα συνεχές φάσµα X(ω) είναι το φασµατικό περιεχόµενο στο απειροστό διάστηµα συχνοτήτων [ω, ω + dω]. Η συνεισφορά των συχνοτήτων [ω, ω + dω] έχει πλάτος Ο µετασχηµατισµός Fourier X(ω) είναι η φασµατική πυκνότητα πλάτους. Όταν x(t) είναι σήµα τάσης, τότε ο X(ω) έχει µονάδα µέτρησης Volts ανά µονάδα συχνότητας. 35 36 18
Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του τετραγωνικού παλµού διάρκειας x (t) = 1, t < T 1 0, otherwise Απάντηση 37 Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του αιτιατού εκθετικού σήµατος x(t) = e at u(t) a R Απάντηση 38 19
Ο µετασχηµατισµός Fourier παρέχει τη δυνατότητα µετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας. Με το µετασχηµατισµό Fourier αναλύουµε µη περιοδικά σήµατα µε εκθετικά σήµατα και µε το τρόπο αυτό αποκαλύπτεται το φασµατικό τους περιεχόµενο. Το αιτιατό εκθετικό σήµα έχει µετασχηµατισµό Fourier Το αιτιατό εκθετικό σήµα x(t). Το πλάτος του MF του σήµατος x(t). H φάση του MF του σήµατος x(t). 39 Να υπολογιστεί το σήµα, του οποίου ο µετασχηµατισµός Fourier είναι, παράθυρο συχνοτήτων µε πλάτος W, δηλαδή, Απάντηση ( ) = 1, ω < W X ω 0, otherwise 40 20
Συνάρτηση Δειγµατοληψίας sinc( x) 41 Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier x (t) F X( ω) F{ x (t)} = X ( ω) Συζυγία Γραµµικότητα 42 21
Άρτιο-περιττό µέρος σήµατος. Πραγµατικόφανταστικό µέρος φάσµατος Ολίσθηση στο χρόνο για κάθε πραγµατικό αριθµό 43 Ολίσθηση συχνότητας Η ιδιότητα αυτή αποτελεί τη βάση της διαµόρφωσης που χρησιµοποιείται ευρέως στις τηλεπικοινωνίες. 44 22
Εφαρµογή: Αν το σήµα µηνύµατος m(t) έχει φάσµα M(ω) το µέτρο του οποίου είναι Το φάσµα του µηνύµατος για ένα αυθαίρετο σήµα m(t). Να βρεθεί το φάσµα του σήµατος z(t) = x(t) cos(ω 0 t) Το φάσµα του διαµορφωµένου σήµατος. 45 Αλλαγή κλίµακας στο χρόνο και τη συχνότητα - Ανάκλαση x (at) F 1 a X ( ω a ) και 46 23
Ανάκλασης Θεώρηµα της Συνέλιξης 47 Θεώρηµα του Parseval 48 24
Παραγώγιση α) στο πεδίο του χρόνου β) στο πεδίο συχνότητας Ολοκλήρωση Συµµετρίες για πραγµατικά σήµατα 49 Δυϊσµός Το σήµα έχει µετασχηµατισµό Fourier: 50 25
Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του τριγωνικού παλµού διάρκειας 2T 1. Ο τριγωνικός παλµός διάρκειας 2T 1. Η πρώτη παράγωγος του τριγωνικού παλµού διάρκειας 2T 1. Η δεύτερη παράγωγος του τριγωνικού παλµού διάρκειας 2T 1. 51 Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος Το σήµα x(t) γράφεται και ως εποµένως ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος είναι Ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος x(t) = cos (ω 0 t). 52 26
Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος Το σήµα x(t) γράφεται και ως εποµένως ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος είναι Διακριτό τµήµα του φάσµατος Συνεχές τµήµα του φάσµατος 53 Μετασχηµατισµός Fourier περιοδικών σηµάτων Όπως γνωρίζουµε ένα περιοδικό σήµα αναπτύσσεται σε σειρά Fourier Παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier επεκτείνεται και στα περιοδικά σήµατα. 54 27
Ο µετασχηµατισµός Fourier για το περιοδικό ορθογώνιο κύµα Το φάσµα ενός περιοδικού σήµατος µε περίοδο T 0 αποτελείται από συναρτήσεις δέλτα οµοιόµορφα κατανεµηµένες σε απόσταση ω 0 = 2π / Τ 0 µε πλάτος 2π φορές το αντίστοιχο πλάτος του συντελεστή της εκθετικής σειράς Fourier του σήµατος. 55 Συναρτήσεις Συσχέτισης Για ένα σήµα ενέργειας ορίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Για ένα σήµα ισχύος ορίζεται η µέση χρονική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R x (τ) εξαρτάται από το πλάτος του σήµατος x(t). Ορίζεται ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ο οποίος είναι ανεξάρτητος από το πλάτος του σήµατος. 56 28
Ιδιότητες της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Η ενέργεια, E x, σήµατος, x(t), είναι ίση µε τη τιµή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του σήµατος, R x (τ), για τ = 0. Ο MF της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός σήµατος ισούται µε τη φασµατική πυκνότητα ενέργειας του σήµατος. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της εξόδου ΓΧΑ συστήµατος ισούται µε τη συνέλιξη της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της εισόδου µε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της κρουστικής απόκρισης του συστήµατος Σχέσεις µεταξύ των συναρτήσεων εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος. 57 Ιδιότητες της µέσης χρονικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Η µέση ισχύς, P x, σήµατος είναι αυτοσυσχέτισης, R x (τ), για τ = 0. είναι ίση µε τη µέση χρονική συνάρτηση Ο µετασχηµατισµός Fourier της µέσης χρονικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, ισούται µε τη φασµατική πυκνότητα ισχύος του σήµατος. Η συνάρτηση S x (ω) περιγράφει τον τρόπο µε τον οποίο κατανέµεται η ισχύς του σήµατος στο χώρο των συχνοτήτων. Σχέσεις µεταξύ των συναρτήσεων εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος. 58 29
Αρχή λειτουργίας Radar Με τη βοήθεια ενός radar είναι δυνατή η µέτρηση της απόστασης στην οποία βρίσκεται ένας στόχος (π.χ. αεροπλάνο). Το σήµα εκποµπής αποτελείται από ορθογώνιους παλµούς διάρκειας T, οι οποίοι επαναλαµβάνονται µε περίοδο Τ 0. Υποθέτουµε ότι ο στόχος βρίσκεται σε απόσταση d. Το χρονικό διάστηµα Δτ από τη στιγµή εκποµπής του παλµού µέχρι τη στιγµή που φτάνει η ηχώ του στόχου είναι όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός. Η διάταξη προσδιορίζει το χρονικό διάστηµα Δτ, και στη συνέχεια προσδιορίζει την απόσταση d. Ο παλµός εκποµπής x t (t), και ο παλµός λήψης r(t), σε ένα ιδανικό σύστηµα Radar. 59 Η ηχώ του σήµατος εκποµπής από το στόχο διαβρώνεται από θόρυβο. Εποµένως ο προσδιορισµός του Δτ πρακτικά είναι αδύνατο να προσδιορισθεί απευθείας από το σήµα εκποµπής και από την ηχώ του. Ο παλµός εκποµπής x t (t), και ο παλµός λήψης r(t), σε ένα πραγµατικό σύστηµα Radar. Το σήµα ηχούς, r(t) εφαρµόζεται στη είσοδο ενός ΓΧΑ συστήµατος το οποίο ονοµάζεται προσαρµοσµένο φίλτρο (matched filter). Η κρουστική απόκριση του προσαρµοσµένου φίλτρου είναι η ανάκλαση του σήµατος εκποµπής x t (t), δηλαδή, Προσαρµοσµένο φίλτρο στο σήµα 60 30
Η έξοδος του προσαρµοσµένου φίλτρου y(t), είναι η συνέλιξη του σήµατος ηχούς r (t), µε την κρουστική απόκριση h(t), δηλαδή, y(t) = r(t) * h(t). Ο παλµός εκποµπής x t (t), και ο παλµός λήψης r(t), και η έξοδος του προσαρµοσµένου σήµατος y(t), σε ένα πραγµατικό σύστηµα Radar. Το χρονικό διάστηµα Δτ είναι ίσο µε τη χρονική στιγµή κατά την οποία η έξοδος του προσαρµοσµένου φίλτρου αποκτά τη µέγιστη τιµή της. 61 Η διαµόρφωση και η αποδιαµόρφωση στη µετάδοση σήµατος. Η διαµόρφωση χρησιµοποιεί το σήµα πληροφορίας m(t) για να µεταβάλλει το πλάτος ενός ηµιτονοειδούς φέροντος cos(ω c t). Κανάλι Χαµηλοπερατό Φίλτρο (α) Διαµορφωτής (β) Σύγχρονη (ή σύµφωνη) αποδιαµόρφωση Το διαµορφωµένο σήµα είναι Το λαµβανόµενο σήµα απουσία θορύβου µέσω ιδανικού καναλιού είναι Το αποδιαµορφωµένο σήµα είναι Το σήµα αυτό διέρχεται µέσα από ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο µε εύρος-ζώνης W. Η έξοδος του φίλτρου είναι 62 31
Μελέτη της διαµόρφωσης και αποδιαµόρφωσης στο πεδίο συχνότητας Το φάσµα του µηνύµατος για ένα αυθαίρετο m(t) Το φάσµα U( f ) του διαµορφωµένου σήµατος απόκριση φίλτρου διέλευσης χαµηλ. συχν. Το φάσµα Ζ( f ) του σήµατος στην είσοδο του φίλτρου 63 32