ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 8 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πραγματικοί αριθμοί Συναρτήσεις Ερωτήσεις θεωρίας Πως ορίζεται το σύνολο των πραγματικών αριθμών, πως το σύνολο των ρητών, πως το σύνολο των ακεραίων, πως το σύνολο των φυσικών αριθμών,ποια σχέση συνδέει αυτά τα σύνολα και πως συμβολίζονται αυτά τα σύνολα όταν λείπει το μηδέν; Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται με τα σημεία ενός άξονα, τ ο υ ά ξ ο ν α τ ω ν π ρ α γ μ α τ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν 5 e π 5 Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή α, όπου α, β ακέραιοι με β Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται β με Είναι, δηλαδή, α α,β ακέραιοι με β β Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των ακέραιων αριθμών είναι το {,,,,,,,,}, ενώ το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το {,,,,} Για τα σύνολα,, και ισχύει: Τα σύνολα {}, {}, και {} τα συμβολίζουμε συντομότερα με *, *,και * αντιστοίχως Ν Ζ Q R Ποιες πράξεις ορίστηκαν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και ποιες είναι οι σπουδαιότερες ιδιότητες της διάταξης ;

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με τη βοήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση Οι ιδιότητες των πράξεων αυτών είναι γνωστές από προηγούμενες τάξεις Στη συνέχεια ορίστηκε η έννοια της διάταξης, οι σπουδαιότερες ιδιότητες της οποίας είναι οι: ) Aν α β και β γ, τότε α γ ) α β α γ β γ ) α β αγ βγ ενώ α β αγ βγ,, όταν όταν γ γ ) Αν Aν α β και γ δ, τότε α β και γ δ και, τότε α,β,γ,δ α γ β δ αγ βδ 5) Αν α,β και ν, τότε ισχύει η ισοδυναμία: α 6) αβ και β ) β α β α 7) Aν αβ, τότε ισχύει η ισοδυναμία ν β α β α β ν Τι καλούμαι διαστήματα πραγματικών αριθμών, ποια είναι αυτά,τι καλούμαι μη φραγμένα διαστήματα και τι καλούμαι εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος Δ; Αν α,β με α β, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α,β καθένα από τα παρακάτω σύνολα: α,β ) { α β}: ανοικτό διάστημα [ α,β ] { α β}: κλειστό διάστημα [, ) { } κλειστό-ανοικτό διάστημα α,β ] { α β} ανοικτό-κλειστό διάστημα a a a a β β β β

Αν α, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: α, ) { α} [ α, ) { α}, α) { α}, α] { α} Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο το συμβολίζουμε με, ) Τα σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονται εσωτερικά σημεία του Δ a a a a Τι καλούμε απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,τι παριστάνει αυτή, πως παριστάνεται η απόσταση δύο πραγματικών αριθμών και ποιες είναι οι ιδιότητες της απόλυτης τιμής; Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που συμβολίζεται με α, ορίζεται ως εξής: α, α α, αν αν α α Γεωμετρικά, η απόλυτη τιμή του α παριστάνει την απόσταση του αριθμού α από το μηδέν, a α ενώ η απόλυτη τιμή του β α β παριστάνει την απόσταση των αριθμών α και aβ β α Μερικές από τις βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής είναι οι εξής: ) α α ) α α ) αβ α β ) α α β β 5) <θ -θ<χ<θ με θ> 6) >θ χ<-θ ή χ>θ με θ> 7) α β α β α β 8) δ δ δ, δ 5

5 Να γραφούν υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τα σύνολα: i) A ii) A ΛΥΣΗ i) Eίναι Άρα A,) [, ) ) και ή ii) Είναι Άρα A, 6 Πως ορίζεται η πραγματική συνάρτηση και τι γνωρίζετε γι αυτή; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με ) Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : A ) Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα, που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με D Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα A, λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με A) Είναι δηλαδή: ΠΡΟΣΟΧΗ A) { ) για κάποιο A} Στα επόμενα και σε όλη την έκταση του βιβλίου : Θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων Οταν θα λέμε ότι Η συνάρτηση είναι ορισμένη σ ένα σύνολο Β, θα εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της Στην 6

περίπτωση αυτή με B) θα συμβολίζουμε το σύνολο των τιμών της σε κάθε B Είναι δηλαδή: B) { ) για κάποιο B} Είδαμε παραπάνω ότι για να οριστεί μια συνάρτηση, αρκεί να δοθούν δύο στοιχεία: το πεδίο ορισμού της και η τιμή της, ), για κάθε του πεδίου ορισμού της Συνήθως, όμως, αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση δίνοντας μόνο τον τύπο με τον οποίο εκφράζεται το ) Σε μια τέτοια περίπτωση θα θ ε ω ρ ο ύ μ ε σ υμ β α τ ι κ ά ότι το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, για τους οποίους το ) έχει νόημα Έτσι, για παράδειγμα, αντί να λέμε δίνεται η συνάρτηση θα λέμε δίνεται η συνάρτηση με τύπο συνάρτηση ) ) :,], με ), ή δίνεται η συνάρτηση ή, πιο απλά, δίνεται η ΛΥΣΗ 7 Ποιo είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο: i) ) ii) ) ln i) H συνάρτηση ορίζεται, όταν και μόνο όταν και Το τριώνυμο όμως έχει ρίζες τους αριθμούς και Έτσι, η ανίσωση αληθεύει, όταν και μόνο όταν ή Επομένως, το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο A,),] [, ) ii) Η συνάρτηση ορίζεται, όταν και μόνο όταν Είναι όμως ln ln ln ln lne e Επομένως, το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο A, e] 7

8 Πως ορίζεται η γραφική παράσταση συνάρτησης πως μπορούμε πρακτικά να εξετάσουμε αν μία «καμπύλη» είναι γραφική παράσταση συνάρτησης και τι πληροφορίες δίνει η γραφική παράσταση για τις συναρτήσεις; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο Το σύνολο των σημείων M, ) για τα οποία ισχύει ), δηλαδή το σύνολο των σημείων M, )), A, λέγεται γραφική παράσταση της και συμβολίζεται συνήθως με C Η εξίσωση, λοιπόν, ) επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C Επομένως, η ) είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τετμημένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της το πολύ ένα κοινό σημείο Σχ 7α) Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης Σχ 7β) 7 C C Α a) β) Οταν δίνεται η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης, τότε: α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C β) Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο A) των τεταγμένων των σημείων της C γ) Η τιμή της στο A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας και της C Σχ 8) 8 C Α) C ) C A, )) Α α) β) γ) 9 Πως μπορούμε δεδομένης της γραφικής παράστασης C, μιας συνάρτησης μπορούμε να σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και 8

Όταν δίνεται η γραφική παράσταση να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, και α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία M, )) που είναι συμμετρικά των M, )), ως προς τον άξονα Σχ 9) Μ,)) Μ,)) 9 ) ) β) Η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν Σχ ) ) ) Ποιες οι γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων; Στην παράγραφο αυτή δίνουμε τις γραφικές παραστάσεις μερικών βασικών συναρτήσεων, τις οποίες γνωρίσαμε σε προηγούμενες τάξεις Η πολυωνυμική συνάρτηση ) α β a> a< a Η πολυωνυμική συνάρτηση ) α, α α> α< 9

Η πολυωνυμική συνάρτηση ) α, α α> α< Η ρητή συνάρτηση α ), α α> Οι τριγωνικές συναρτήσεις : α< ) ημ, ) συν, ) εφ 6 π π ημ α) π π συν β) π/ π/ π/ εφ γ) Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις ) ημ και ) συν είναι περιοδικές με περίοδο T π, ενώ η συνάρτηση ) εφ είναι περιοδική με περίοδο T π 5

Η εκθετική συνάρτηση ) α, α 7 α α α> α) <α< β) Υπενθυμίζουμε ότι: αν α, τότε: α α ενώ αν α, τότε: α α Η λογαριθμική συνάρτηση ) log, α α 8 α α α> α) <α< β) Υπενθυμίζουμε ότι: ) log α ) log α ) log α log α α ) α log log α και α α 5) log α log α log α k ) log α α και log α 6) log α κlog α 7) αν α, τότε: log α log α ενώ αν α, τότε : log α log α lnα lnα 8) α e, αφού α e 5

Οι παραπάνω τύποι ισχύουν με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων μπορούμε να σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων Να παραστήσετε γραφικά κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις: i) ), ii) g ), iii) h ) - ΛΥΣΗ i) Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτηση φ ) και έπειτα την ) φ ) 9 ii) Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτηση φ ) και έπειτα την g ) φ ) iii)επειδή h ) g ),η γραφική παράσταση της h προκύπτει, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της g κατά μία μονάδα προς τα δεξιά Πως ορίζεται η ισότητα συναρτήσεων και τι ισχύει σε ειδικές περιπτώσεις; Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει ) g ) 5

Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες γράφουμε g Έστω τώρα, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β Αν για κάθε Γ ισχύει ) g ), τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες στο σύνολο Γ Σχ ) Έστω οι συναρτήσεις: ) και g ) Παρατηρούμε ότι: οι συναρτήσεις και g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο A και για κάθε A ισχύει ) g ), αφού Ο Γ B A ) ) g ) Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις ) και g ), που έχουν πεδία ορισμού τα σύνολα A { } και B {} αντιστοίχως, είναι ίσες στο σύνολο Γ {,}, αφού για κάθε Γ ισχύει ) g ) Πως ορίζουμε τις πράξεις με συναρτήσεις; Ορίζουμε ως άθροισμα g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο συναρτήσεων, g τις συναρτήσεις με τύπους g) ) ) g ) g) ) ) g ) g) ) ) g ) g δύο Το πεδίο ορισμού των g ) ) g ) g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το A B, εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g ), δηλαδή το σύνολο Έστω οι συναρτήσεις { A και B, με g ) } 5

και οι ), g ) φ ), φ ), φ ) Παρατηρούμε ότι:, φ ) α) Το πεδίο ορισμού των φ,φ και φ είναι το σύνολο [,], που είναι η τομή των πεδίων ορισμού A, ] και B [, ) των, g, ενώ το πεδίο ορισμού της φ είναι το σύνολο,], που είναι η τομή των Α, Β αν εξαιρέσουμε τα για τα οποία ισχύει g ), και β) φ ) ) g ), φ ) ) g ), φ ) ) g ), ) φ ) g ) Τις συναρτήσεις φ, φ, φ και φ τις λέμε άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο αντιστοίχως των, g Πως ορίζεται η σύνθεση συναρτήσεων; Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με go, τη συνάρτηση με τύπο go ) ) g )) A A) ) B gb) g g g )) A Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A { A ) } Είναι φανερό ότι η go ορίζεται αν ΠΡΟΣΟΧΗ B A, δηλαδή αν A) B Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου, θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που οι συνθέσεις τους έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων Έστω η συνάρτηση φ ) Η τιμή της φ στο μπορεί να οριστεί σε δύο φάσεις ως εξής: α) Στο αντιστοιχίζουμε τον αριθμό και στη συνέχεια β) στο αντιστοιχίζουμε τον αριθμό, εφόσον 5

g g Στη διαδικασία αυτή εμφανίζονται δύο συναρτήσεις: α) η ), που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A α φάση) και β) η g ), που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο B [, ) β φάση) Έτσι, η τιμή της φ στο γράφεται τελικά φ ) g )) Η συνάρτηση φ λέγεται σύνθεση της με την g και συμβολίζεται με go Το πεδίο ορισμού της φ δεν είναι ολόκληρο το πεδίο ορισμού Α της, αλλά περιορίζεται στα A για τα οποία η τιμή ) ανήκει στο πεδίο ορισμού Β της g, δηλαδή είναι το σύνολο A [, ) 5 Έστω οι συναρτήσεις ) ln και g ) Να βρείτε τις συναρτήσεις: i) go ii) og ΛΥΣΗ Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το D, ), ενώ η g το [ ) i) Για να ορίζεται η παράσταση g )) πρέπει: ή, ισοδύναμα, D και ) Dg D ) ) ln δηλαδή πρέπει Επομένως, ορίζεται η go και είναι go ) ) g )) gln ) ln, για κάθε [ ) ii) Για να ορίζεται η παράσταση g )) πρέπει: ή, ισοδύναμα, g ) D g και g ) D δηλαδή πρέπει Επομένως,ορίζεται η og και είναι og) ) g )) ) ln, για κάθε ),, g 55

6 Ισχύει η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα στην σύνθεση συναρτήσεων; Στην παραπάνω εφαρμογή παρατηρούμε ότι go og Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι go και og, τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι- κ ά ίσες Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho go ), τότε ορίζεται και η hog)o και ισχύει ho go ) hog) o Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, g και h και τη συμβολίζουμε με hogo Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις 56

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πραγματικοί αριθμοί Συναρτήσεις Α ΟΜΑΔΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ i) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ) Οι ρίζες του τριωνύμου + είναι και Πρέπει + και Άρα D, ), ), + ) ii) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ) Πρέπει και και Άρα D [, ] iii) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ) Πρέπει και Άρα D [, ), ] iv) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ) ln Πρέπει e > e < e < e < Άρα D, ) e ) 57

i) Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης ) + βρίσκεται πάνω από τον άξονα Πρέπει ) > + > ο εκτός των ριζών του τριωνύμου, δηλαδή < ή < Άρα D, ), + ) ii) Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης ) βρίσκεται πάνω από τον άξονα Πρέπει ) > > + ) ) > < < Άρα D, ) iii) Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης ) e βρίσκεται πάνω από τον άξονα Πρέπει ) > e > e > e > e > Άρα D, + ) i) Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης ) + + βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g) + Πρέπει ) > g) + + > + + > + ) > > 58

ii) Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης ) + βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g) + Πρέπει ) > g) + > + > ) > > > Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν ότι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις : Α),89 + 7,6 για τους άνδρες) και Γ),75 + 7,8 για τις γυναίκες) όπου σε εκατοστά το μήκος του βραχίονα Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους,5 m α) Αν προέρχεται από άνδρα, ποιο ήταν το ύψος του; β) Αν προέρχεται από γυναίκα, ποιο ήταν το ύψος της; α) Α5),89 5 + 7,6,69 cm β) Γ5),75 5 + 7,8 95, cm 5Σύρμα μήκους cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη και ) cm Mε το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων Η πλευρά του τετραγώνου είναι, άρα το εμβαδόν του είναι 6 Η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου είναι, άρα, από τον τύπο Ε, το εμβαδόν του είναι ) Επομένως το άθροισμά τους είναι Σ) 6 + ) με < < 6i) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ) + D, ), + ), όταν ), όταν 59

, όταν >, όταν <, όταν >, όταν < 6ii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση D, όταν ) ), όταν <, όταν, όταν < ) - 6iii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ), όταν <, όταν 6iv) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση D, + ) ) ln ) ln, όταν ln, όταν 5 7Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι g Στις περιπτώσεις που είναι g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του, στο οποίο ισχύει ) g) i) ) και g) 6

ii) ) iii) ) και g) και g) + i) D, D, + ) Άρα g g Το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του, στο οποίο ισχύει ) g) είναι το, + ), αφού για κάθε, + ) ισχύει ) g) ii) Για το Για το Άρα ) D : Πρέπει + D : Πρέπει g D D g iii) Για το ) ) ) D : Πρέπει και + + ) g) για κάθε * και και Άρα D [, ), + ) D [, + ) g Άρα g Για κάθε [, ), + ) είναι ) ) ) + g) Επομένως, το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του, στο οποίο ισχύει ) g) είναι το [, ), + ) 8 Δίνονται οι συναρτήσεις ) + και g) Να βρείτε τις συναρτήσεις + g, g, g και D * και D g Κοινό πεδίο ορισμού το D, g 6

Για κάθε D είναι + g)) ) + g) + + ) ) ) Για κάθε D είναι g)) ) g) + ) ) ) ) ) Για κάθε D είναι g)) ) g) Για κάθε D είναι ) g ) g) 9 Δίνονται οι συναρτήσεις ) + και g) Να βρείτε τις συναρτήσεις + g, g, g και D D, + ), ) g, g) Για κάθε, + ) είναι + g)) ) + g) + g Για κάθε, + ) είναι g)) ) g) Για κάθε D είναι g)) ) g) 6

Για να ορίζεται η συνάρτηση Για κάθε D είναι g πρέπει g) ) g ) g) i) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση go, αν ) D, D [, + ) g D go D με ) Dg go)) g με [, ) g ) ii) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση go, αν ) ημ g) D Για το Άρα D, πρέπει g D [, ] g D go D με ) Dg go)) g με ημ [, ] gημ) και g) και iii) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση go, αν ) D, D g k, k g με k g εφ D go D με ) D go)) g και g) εφ Δίνονται οι συναρτήσεις ) + και g) Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις go και og D, D [, + ) g με με D go D με ) Dg 6

go)) g g + ) D og D g με g) D με ή, ] [, + ) [, + ) με [, + ) og)) g ) + + Να εκφράσετε τη συνάρτηση ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, αν i) ) ημ + ), ii) ) + iii) ) ln e ), iv) ) ) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση g) + και τη συνάρτηση h) ημ Τότε hog)) h g h + ) ημ + ) ) ii) Θεωρούμε τις συναρτήσεις g), h) ημ και φ) + Τότε φοhog)) φ h g φ iii) Θεωρούμε τις συναρτήσεις g), h) Τότε φοhog)) φ Για να ορίζεται ο ln e h g φ ) πρέπει h φημ) + ) h φ e e > e > e e > > > e και φ) ln ) ln e ) iv) Θεωρούμε τις συναρτήσεις g), h) ημ και φ) Τότε φοhog)) φ h g φ h φημ) ) 6

Β Ομάδας Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση είναι: i) ii) iii) Ο i) Έστω τα σημεία Α, ), Β, ), Γ, ) και Δ, ) Είναι Εξίσωση της ευθείας ΑΒ: ) + Εξίσωση της ευθείας ΓΔ: ) +, < ), < ii) Έστω τα σημεία E, ) και Ζ, ) Είναι E και EZ Εξίσωση της ευθείας ΟΕ: Εξίσωση της ευθείας ΕZ: ) + ),, iii) ), < ή <, < ή < Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης cm και όγκο 68 cm Το υλικό των βάσεων κοστίζει λεπτά του ευρώ, ανά cm, ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας,5 λεπτά του ευρώ, ανά cm Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίνα βάσης 5 cm και ύψος 8 cm; Εμβαδόν των δύο βάσεων π Ο όγκος 68 του κυλίνδρου εμβαδόν βάσης επί ύψος h 68 π h h 68 Εμβαδόν της κυλινδρικής επιφάνειας μήκος κύκλου βάσης επί ύψος 65

πh π Συνολικό κόστος Κ) π +,5 8 π + 5, > Για τον κύλινδρο με ακτίνα βάσης 5 cm και ύψος 8 cm, θα έχουμε Εμβαδόν των δύο βάσεων π π 5 5π Εμβαδόν της κυλινδρικής επιφάνειας πh π 5 8 8π Συνολικό κόστος 5π + 8π,5 π + 5π π 9 λεπτά, ευρώ Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ, ΑΓ και ΓΔ Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του ΑΜ, όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ Όταν < Το τρίγωνο ΑΜΝ είναι όμοιο με το ΑΒΕ Τότε Ε) AM)MN) Α MN Ν Μ Ε Β Γ Δ ΜΝ Όταν < Ε) ABE) + BMNE) Ε Ν Δ AB)BE) + BM)MN) + ) + Α Β Μ Γ Ε), <, < Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης ΒΓ cm και ύψους ΑΔ 5 cm Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε και την περίμετρο Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του Τρίγωνο ΑΝΜ όμοιο του ΑΒΓ B Ν Κ A Δ E Λ Μ Γ 66

NM NM 5 5 5ΝΜ 5 ) NM 5 ) E) 5 ), < < AΔ 5 P) 5 ) + +, < < AΔ 5 5i) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ) Από τη γραφική παράσταση της, να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της Όταν < ) Όταν < ) - Όταν, ) Το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το διάστημα [, + ) 5ii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ), [, π] Από τη γραφική παράσταση της, να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της Όταν < π ) ημ Ο 5 Όταν π π π ) Το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το διάστημα [, ] 6 Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε : i) og)) + +, αν g) + ii) og)), αν g) iii) go)), αν g) i) D og, D g Θέτουμε g) +, οπότε με 67

og)) ii) + + g)) ) + ) + D og, D g ) ) Θέτουμε g), οπότε og)) iii) g)) + + + +, με, ] ), με, ] D go, D g [, ] αφού πρέπει Στον τύπο g) g)) θέτουμε όπου, ) με και βέβαια με )[, ] ), αλλά δίνεται go)), άρα [ )] [) ] [) ] [) ] ) 68, χ αφού για κάθε χ ικανοποιείται ο περιορισμός )[, ] 7 Δίνονται οι συναρτήσεις ) + και g) α + Για ποια τιμή του α ισχύει og go D, D g με g) D og D g με g) D D go D με g) Dg με g) og go g)) g)) για κάθε α + ) g + ) α + + α + ) + 8Δίνονται οι συναρτήσεις ) Να αποδείξετε ότι α + α + α + α α) )), για κάθε β) gg)), για κάθε [, ] α) D,, με β και g) + και

D D με ) D o α+β με α με α+β με β ) )) ) ) β) D g [, + ) και g) ) + ) D gog D g με g) Dg [, ) με [, ) με με ) [, + ) gg)) - g) ) ) ) ) [ ) ] + ) αφού [, ] 9 Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός Ρ της πόλης είναι εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη Ν ) χιλιάδες αυτοκίνητα Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτη από σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα είναι t + εκατοντάδες χιλιάδες άτομα i) Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του t ii) Πότε θα υπάρχουν στην πόλη χιλιάδες αυτοκίνητα; i) Έστω N Ν) και t) t +, t Η σύνθεση Νt) Nt)) ) t ) t, 69

ii) Θα λύσουμε την εξίσωση Νt) t 8 t 6 t t 9 t εκφράζει αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του t t 9 t t 9 t t + 9 t + ) t + 9 t + 7 t ) + 9 t - 5 Δ 8 + 8 89, t Άρα t 6 9 89 9 7 ή απορρίπτεται 7

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση Ερωτήσεις θεωρίας Τι γνωρίζετε για την μονοτονία της συνάρτησης; Μια συνάρτηση λέγεται: γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: ) ) Σχ α) γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: ) ) Σχ β) ) ) ) ) Ο Δ a) Ο Για να δηλώσουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε Δ αντιστοίχως Δ) Δ β) Για παράδειγμα, η συνάρτηση ) : είναι γνησίως αύξουσα στο [, ), αφού για έχουμε, δηλαδή ) ) είναι γνησίως φθίνουσα στο,], αφού για έχουμε, οπότε, δηλαδή ) ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ και η είναι γνησίως μονότονη σ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η είναι γνησίως μονότονη 7

Μια συνάρτηση λέγεται, απλώς,: αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε ) ) φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε ) ) Δ, με Δ, με ισχύει ισχύει Τι γνωρίζετε για τα ακρότατα της συνάρτησης; Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο Παρουσιάζει στο A ολικό) μέγιστο, το ), όταν ) ) για κάθε A Σχ 7α) A ολικό) ελάχιστο, το ), όταν ) ) για κάθε A Σχ 7β) 7 ) ) ) C ) a) C β) Για παράδειγμα: Η συνάρτηση ) Σχ 8α) παρουσιάζει μέγιστο στο, το ), αφού ) ) για κάθε Η συνάρτηση ) Σχ 8β) παρουσιάζει ελάχιστο στο, το ), αφού ) ) για κάθε + 8 γ) δ) Η συνάρτηση ) ημ Σχ 9α) παρουσιάζει μέγιστο, το, σε καθένα από π τα σημεία kπ, k και ελάχιστο, το, σε καθένα από τα σημεία k, αφού ημ για κάθε R π kπ, 7

Η συνάρτηση ) Σχ 9β) δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, αφού είναι γνησίως αύξουσα π/ π/ π ε) π/ ημ π 5π/ Όπως είδαμε και στα προηγούμενα παραδείγματα, άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο Το ολικό) μέγιστο και το ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ολικά) ακρότατα της στ) 9 Τι γνωρίζετε για την συνάρτηση Έστω η συνάρτηση ) Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε ισχύει η συνεπαγωγή: που σημαίνει ότι:, Aν, τότε ) ), Τα διαφορετικά στοιχεία, D έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες Λόγω της τελευταίας ιδιότητας η συνάρτηση προς ένα) Γενικά: ) λέγεται συνάρτηση Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ) ) Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: ένα, A Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: Έτσι για παράδειγμα: αν ) ), τότε Η συνάρτηση ) α β, με α είναι συνάρτηση Σχ α, β) ) ) ) ) ) ) β a) β) γ) 7

αφού, αν υποθέσουμε ότι ) ), τότε έχουμε διαδοχικά: α β α β α α Η συνάρτηση ) β δεν είναι συνάρτηση - Σχ γ), αφού ) ) β για οποιαδήποτε,, Η συνάρτηση ) Σχ ) δεν είναι συνάρτηση, αφού ) ) αν και είναι ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση ) έχει ακριβώς μια λύση ως προς Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο Σχ α) A B συνάρτηση - συνάρτηση όχι - Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση " " Έτσι, οι συναρτήσεις ) α β, α, ) α, α, ) α, α και ) log α, α, είναι συναρτήσεις Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για παράδειγμα, η συνάρτηση g ) Σχ ), g) \ 7

Πως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση και ποια η σχέση των γραφικών παραστάσεων της συνάρτησης και της αντιστροφής της; Έστω μια συνάρτηση : A Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι, τότε για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών, A), της υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει ) Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g : A) με την οποία κάθε A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό A για το οποίο ισχύει ) Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών A) της, έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της και ισχύει η ισοδυναμία: ) g ) ) 5 Αυτό σημαίνει ότι, αν η αντιστοιχίζει το στο, τότε η g αντιστοιχίζει το στο και αντιστρόφως Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της και συμβολίζεται με Επομένως έχουμε ) ) οπότε )), A και )), A ) Για παράδειγμα, έστω η εκθετική συνάρτηση ) α Όπως είναι γνωστό η συνάρτηση αυτή είναι με πεδίο ορισμού το και σύνολο τιμών το, ) Επομένως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της Η συνάρτηση αυτή, σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως, R log a -,+) a 6β έχει πεδίο ορισμού το, ) έχει σύνολο τιμών το και αντιστοιχίζει κάθε, ) στο μονάδικό για το οποίο ισχύει α Επειδή όμως α log α 75

θα είναι ) log ) α, α Επομένως, η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης α, είναι η λογαριθμική συνάρτηση g ) log Συνεπώς α logα log και α,, ) α, α Ας πάρουμε τώρα μια συνάρτηση και ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και C των και της στο ίδιο σύστημα αξόνων Σχ 7) Επειδή ) ), αν ένα σημείο M α, β) ανήκει στη γραφική C παράσταση C της, τότε το σημείο Μ β, α) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της και αντιστρόφως Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και C Mα,β) 7 M β,α) Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων α, είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία ) α και g ) log α, 5 Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση ) e είναι και να βρεθεί η αντίστροφή της Έστω, με ) ) Θα δείξουμε ότι Πράγματι έχουμε διαδοχικά: e e ) ) e e e e Για να βρούμε την αντίστροφη της θέτουμε ) και λύνουμε ως προς Έχουμε λοιπόν: ) e e 76

e ln, ln, ln, Επομένως, συνάρτηση ) ln,, οπότε η αντίστροφη της είναι η ) ln, 77

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες i) ) ii) ) ln ) iii) ) e + iv) ) ), i) Πρέπει Άρα D, ] Έστω τυχαία, D με < > > > ) > ) Άρα γνησίως φθίνουσα ii) Πρέπει > > Άρα D, + ) Έστω τυχαία, Άρα γνησίως αύξουσα iii) D Έστω τυχαία, Άρα γνησίως φθίνουσα D με < < ln ) < ln ) ln ) < ln ) ln ) < ln ) ) < ) D με < > > e e > e e > e + > e + ) > ) 78

iv) Έστω τυχαία, με < < ) > ) ) > ) ) > ) Άρα γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, ] Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι και για κάθε μια απ αυτές να βρείτε την αντίστροφή της i) ) v) ) ln ) ii) ) + vi) ) e + iii) ) ) ) + vii) ) e e iv) ) viii) ) i) D Θεωρούμε την εξίσωση ) και τη λύνουμε ως προς + ) Βλέπουμε ότι για κάθε τιμή του η εξίσωση έχει μοναδική λύση την Άρα η συνάρτηση είναι και έχει σύνολο τιμών το Από την ) έχουμε ) Ή, αν θέλετε, ) με πεδίο ορισμού το το σύνολο τιμών της ) ii) ος τρόπος D Θεωρούμε την εξίσωση ) και τη λύνουμε ως προς + +, ου βαθμού ως προς, με Δ ) Λύνουμε την ανίσωση Δ > < > Επομένως υπάρχουν τιμές του οι μεγαλύτερες του ), για τις οποίες η διακρίνουσα της εξίσωσης ) είναι θετική, οπότε η εξίσωση θα έχει δύο λύσεις ως προς Άρα η συνάρτηση δεν είναι ος τρόπος D Για, είναι ) + Για, είναι ) ) + 79

Παρατηρούμε ότι για έχουμε ) ) Άρα η συνάρτηση δεν είναι iii) D Για, είναι ) Για, είναι ) Παρατηρούμε ότι για έχουμε ) ) Άρα η συνάρτηση δεν είναι iv) Πρέπει Άρα D, ] Θεωρούμε την εξίσωση ) και τη λύνουμε ως προς 8 ) Αλλά που ισχύει για κάθε Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το Βλέπουμε ότι για κάθε τιμή του η εξίσωση ) έχει μοναδική λύση την Άρα η συνάρτηση είναι Από την ) έχουμε Ή, αν θέλετε, ) ) με πεδίο ορισμού το το σύνολο τιμών της ) v) Πρέπει > < Άρα D, ) Θεωρούμε την εξίσωση ) και τη λύνουμε ως προς ln ) e e ) Αλλά < e < e < που ισχύει για κάθε Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το Βλέπουμε ότι για κάθε τιμή του η εξίσωση ) έχει μοναδική λύση, την e Άρα η συνάρτηση είναι Από την ) έχουμε ) e Ή, αν θέλετε, ) e με πεδίο ορισμού το το σύνολο τιμών της ) vi) D Θεωρούμε την εξίσωση ) και τη λύνουμε ως προς e + ln ) με > ln ) με > ) e Βλέπουμε ότι για κάθε τιμή του, + ), η εξίσωση ) έχει μοναδική λύση την ln ) Άρα η συνάρτηση είναι και έχει σύνολο τιμών το διάστημα, + ) Από την ) έχουμε Ή, αν θέλετε, της ) ) ) ln ) με > e με πεδίο ορισμού το, + ) το σύνολο τιμών

vii) D Θεωρούμε την εξίσωση ) και τη λύνουμε ως προς e e e + e - ) e e e + ) e με ln με > ln με + ) ) > ln με < < ) Βλέπουμε ότι για κάθε τιμή του, ), η εξίσωση ) έχει μοναδική λύση την ln Άρα η συνάρτηση είναι και έχει σύνολο τιμών το διάστημα, ) Από την ) έχουμε Ή, αν θέλετε, της ) ) ln ) ln με < < με πεδίο ορισμού το, ) το σύνολο τιμών vii) ος τρόπος D Θεωρούμε την εξίσωση ) και τη λύνουμε ως προς ή - με + ή με Επομένως υπάρχουν τιμές του οι μεγαλύτερες του ), για τις οποίες η εξίσωση ) θα έχει δύο λύσεις ως προς Άρα η συνάρτηση δεν είναι ος τρόπος D Για, είναι ) ) Για, είναι ) ) Παρατηρούμε ότι για έχουμε ) ) Άρα η συνάρτηση δεν είναι 8

Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g, φ και ψ g φ h - q ψ Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις, g, φ, ψ έχουν αντίστροφη και για καθεμία απ αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της Η οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη στον άξονα τέμνει τις 8 C, C, C το πολύ σε ένα σημείο Άρα οι συναρτήσεις, φ, ψ είναι και επομένως αντιστρέφονται Οι γραφική παράσταση των συναρτήσεων,, είναι συμμετρική των C, C, C αντίστοιχα, ως προς τη διχοτόμο Για τη συνάρτηση g, υπάρχει ευθεία παράλληλη στον άξονα, που τέμνει τη C σε τουλάχιστον δύο σημεία g Άρα η συνάρτηση g δεν είναι και επομένως δεν αντιστρέφεται Να δείξετε ότι : i) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ ii) Αν δύο συναρτήσεις, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση + g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ iii) Αν δύο συναρτήσεις, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ) και g) για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Ανάλογα συμπεράσματα διατυπώνονται, αν οι, g είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ i) Έστω τυχαία, Δ με < γνησίως αύξουσα στο Δ ) < )

) > ) ) ) > ) ) γν φθίνουσα στο Δ ii) Έστω τυχαία, Δ με < γνησίως αύξουσα στο Δ ) < ) ) g γνησίως αύξουσα στο Δ g ) < g ) ) ) + ) ) + g ) < ) + g ) + g) ) < + g) ) + g γνησίως αύξουσα στο Δ iii) Έστω τυχαία, Δ με < γνησίως αύξουσα στο Δ ) < ) ) g γνησίως αύξουσα στο Δ g ) < g ) ) ) ) ) g ) < ) g ) g) ) < g) ) g γνησίως αύξουσα στο Δ 8

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όριο συνάρτησης στο χ ο Ερωτήσεις θεωρίας Πως γεννήθηκε η έννοια του ορίου; Η έννοια του ορίου γεννήθηκε στην προσπάθεια των μαθηματικών να απαντήσουν σε ερωτήματα όπως: Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού; Tι ονομάζουμε εφαπτομένη μιας καμπύλης σε ένα σημείο της; Τι ονομάζουμε εμβαδό ενός μικτόγραμμου χωρίου; Πως προσεγγίζεται διαισθητικά η έννοια του ορίου; Έστω η συνάρτηση ) Η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D { } και γράφεται ) ) ), Επομένως, η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία σημείο A,) Σχ 8) Στο σχήμα αυτό, παρατηρούμε ότι: με εξαίρεση το Καθώς το, κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό, το ), κινούμενο πάνω στον άξονα, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό Και μάλιστα, οι τιμές ) είναι τόσο κοντά στο όσο θέλουμε, για όλα τα που είναι αρκούντως κοντά στο Στην περίπτωση αυτή γράφουμε και διαβάζουμε Γενικά: ) το όριο της ), όταν το τείνει στο, είναι Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό, καθώς το προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό, τότε γράφουμε ) ) 8 8

και διαβάζουμε ) το όριο της ), όταν το τείνει στο, είναι ) το όριο της ) στο είναι ) ) ή 9 ) ) ) ) a) ) β) γ) Ποιες προϋποθέσεις πρέπει να ισχύουν για να ορίσουμε το όριο της στο ; Για να αναζητήσουμε το όριο της στο, πρέπει η να ορίζεται όσο θέλουμε κοντά στο, δηλαδή η να είναι ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής α, ), ) ή α, ) ή, β) β Το μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης Σχ 9α, 9β) ή να μην ανήκει σ αυτό Σχ 9γ) Η τιμή της στο, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο Σχ 9α) ή διαφορετική από αυτό Σχ 9β) Πως προσεγγίζονται διαισθητικά,πως ορίζονται τα πλευρικά όρια και τι ισχύει γι αυτά; Έστω, τώρα, η συνάρτηση, ), 5, της οποίας η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ημιευθείες του διπλανού σχήματος Παρατηρούμε ότι: Όταν το προσεγγίζει το από αριστερά ), τότε οι τιμές της προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: ) Οταν το προσεγγίζει το από δεξιά ), τότε οι τιμές της προσεγγίζουν όσο θελουμε τον πραγματικό αριθμό Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: Γενικά: ) 85 ) )

Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό, καθώς το προσεγγίζει το από μικρότερες τιμές ), τότε γράφουμε: ) και διαβάζουμε: το όριο της ), όταν το τείνει στο από τα αριστερά, είναι Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό, καθώς το προσεγγίζει το από μεγαλύτερες τιμές ), τότε γράφουμε: και διαβάζουμε: ) το όριο της ), όταν το τείνει στο από τα δεξιά, είναι ) ) ) ) ) a) ) β) ) γ) Τους αριθμούς ) και ) τους λέμε πλευρικά όρια της στο και συγκεκριμένα το αριστερό όριο της στο, ενώ το δεξιό όριο της στο Από τα παραπάνω σχήματα φαίνεται ότι: ), αν και μόνο αν ) ) Για παράδειγμα, η συνάρτηση δεν έχει όριο στο, αφού: ) Σχ ) για είναι ), οπότε ) ενώ για είναι ), οπότε ) και έτσι ) ),, ) ) 5 Πως ορίζεται το όριο στο, ποιες είναι οι συνέπειες του ορισμού αυτού, 86

Στα προηγούμενα γνωρίσαμε την έννοια του ορίου διαισθητικά Είδαμε ότι, όταν γράφουμε ), εννοούμε ότι οι τιμές ) βρίσκονται όσο θέλουμε κοντά στο, για όλα τα κοντά στο γλώσσα εργαζόμαστε ως εξής: τα οποία βρίσκονται αρκούντως Για να διατυπώσουμε, τώρα, τα παραπάνω σε μαθηματική Στη θέση της φράσης οι τιμές ) βρίσκονται οσοδήποτε θέλουμε κοντά στο χρησιμοποιούμε την ανισότητα ) ε, ) όπου ε οποιοσδήποτε θετικός αριθμός Στη θέση της φράσης για όλα τα που βρίσκονται αρκούντως κοντά στο χρησιμοποιούμε την ανισότητα δ, ) όπου δ είναι ένας αρκούντως μικρός θετικός αριθμός Η ανισότητα δηλώνει ότι ) Για να συνδέσουμε τις δυο αυτές φράσεις σύμφωνα με τον διαισθητικό ορισμό λέμε ότι για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε μπορούμε να βρούμε έναν θετικό αριθμό δ τέτοιον ώστε, αν το ικανοποιεί τη ), τότε το ) θα ικανοποιεί την ) Έχουμε δηλαδή τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α, ), β) Θα λέμε ότι η έχει στο όριο, όταν για κάθε ε υπάρχει δ τέτοιος, ώστε για κάθε α, ), ), με δ, να ισχύει: β ) ε Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση έχει όριο στο, τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με ) Στη συνέχεια, όταν γράφουμε της στο και είναι ίσο με ), θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες: α) β) ) ) ) ) h) h ε ) ε ) δ +δ Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής, β) και την ανισότητα δ την αντικαταστήσουμε με την δ, τότε έχουμε τον ορισμό του ), ενώ αν η είναι ορισμένη σε ένα διάστημα 87

της μορφής α, ) και την ανισότητα δ την αντικαταστήσουμε με την δ, τότε έχουμε τον ορισμό του ) Αποδεικνύεται ότι: Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α, ), β), τότε ισχύει η ισοδυναμία: ) ) ) Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής, β), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής α, ), τότε ορίζουμε: Για παράδειγμα, ) ) Σχ ) Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής α, ), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής, β), τότε ορίζουμε: 5 Για παράδειγμα, ) ) Σχ 5) 6 Ποια η σχέση του ορίου με τα άκρα του πεδίου ορισμού των συναρτήσεων, πότε λέμε ότι μια συνάρτηση έχει κοντά στο μια ιδιότητα, Αποδεικνύεται ότι το ) είναι ανεξάρτητο των άκρων α, β των διαστημάτων α, ) και, β) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η Έτσι για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης ) στο, περιοριζόμαστε στο υποσύνολο, ),) του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αυτή παίρνει τη μορφή ) ) Επομένως, όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα, το ζητούμενο όριο είναι ) Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση έχει κοντά στο μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες: 6 88

α) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α, ), ) και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ β β) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α, ), έχει σ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής, β) γ) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής, β), έχει σ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής α, ) Για παράδειγμα, η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο π π,, ημ ) είναι θετική κοντά στο και είναι θετική σε αυτό, αφού 7 Τι ισχύει για τα όρια της ταυτοτικής και της σταθερής συνάρτησης; Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι: c c ) 7 ) c ) a) β) Η πρώτη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης ) Σχ 7α) στο είναι ίσο με την τιμή της στο, ενώ η δεύτερη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της σταθερής συνάρτησης g ) c Σχ 7β) στο είναι ίσο με c 89

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όριο συνάρτησης στο χ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε το o και το ), εφόσον υπάρχουν, όταν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι: α) β) ) ) γ) δ) ) ),,, α) ) και ) β) ) και ) γ) ), ) άρα δεν υπάρχει το ), είναι δε ) 9

) ) άρα δεν υπάρχει το ), ) δεν ορίζεται δ) ), ), ) ) άρα δεν υπάρχει το ) άρα δεν υπάρχει το ), ) δεν ορίζεται ), είναι δε ) ), είναι δε ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και με τη βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το ), όταν: i) ) iii) ) 5 6,, o, ii) ) iv) ) +,,,, i) D, ) ) ) ) - - ii) D ) iii) Η δεν έχει όριο στο iv) D ) +, <, H δεν έχει όριο στο, <, - - 9

Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και με τη βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το ), όταν: o i) ), ή ii) ) ) 9 6, i) D, ) ) ) ) ) + ) και ) - ) ) ii) ) ) )[ )], < +)), >, < +, > / -/ / ) και ), άρα η δεν έχει όριο στο 9

Δίνεται η συνάρτηση που είναι ορισμένη στο [, + ) και έχει γραφική παράσταση, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Να εξετάσετε ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς i) ) ii) ) iii) ) iv) v) ) ) - vi) ) i) Αληθής ii) Ψευδής iii) Ψευδής iv) Αληθής v) Ψευδής vi) Αληθής 5Δίνεται μια συνάρτηση ορισμένη στο α, ), β), με και ) λ Να βρείτε τις τιμές του λ ) Πρέπει και αρκεί ) ) 6 λ λ 6 λ ή λ ) 6, για τις οποίες υπάρχει το 9

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ιδιότητες ορίων Ερωτήσεις θεωρίας Τι ισχύει για το όριο και την διάταξη; Για το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν ), τότε ) κοντά στο Σχ 8α) Αν ), τότε ) κοντά στο Σχ 8β) C C 8 α β α β ΘΕΩΡΗΜΑ ο a) Αν οι συναρτήσεις τότε, g έχουν όριο στο και ισχύει ) g ) κοντά στο, ) g ) β) C C 9 C g C g α β α β a) β) 9

95 Τι ισχύει για το όριο και τις πράξεις; Τα δύο βασικά όρια, c c και το θεώρημα που ακολουθεί διευκολύνουν τον υπολογισμό των ορίων ΘΕΩΡΗΜΑ Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο, τότε: ) ) )) ) g g ) )) κ κ, για κάθε σταθερά κ ) ) )) ) g g ) ) ) ) g g, εφόσον ) g 5 ) ) 6 k k ) ), εφόσον ) κοντά στο Οι ιδιότητες και του θεωρήματος ισχύουν και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις Άμεση συνέπεια αυτού είναι: ν ν ) )] [, * ν Για παράδειγμα, ν ν Να αποδείξετε ότι ) ) P P και ) ) ) ) Q P Q P, εφόσον ) Q Έστω το πολυώνυμο ) α α α α P ν ν ν ν και Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε: ) ) α α α P ν ν ν ν ) ) α α α ν ν ν ν α α α ν ν ν ν ) P α α α ν ν ν ν Επομένως,

Για παράδειγμα, 6 P ) P ) 7 ) 6 7 Έστω η ρητή συνάρτηση με Q ) Τότε, P ) ), όπου P ), Q ) πολυώνυμα του και Q ) Επομένως, Για παράδειγμα, P ) P ) P ) ) Q ) Q ) Q ) P ) P Q ) Q ), εφόσον Q ) ) 8 9 ΣΧΟΛΙΟ Όταν Q ), τότε δεν εφαρμόζεται η ιδιότητα ) ), g ) g ) εφόσον g ) Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε όπως στην εφαρμογή ii), που ακολουθεί Nα βρεθούν τα παρακάτω όρια: i) Έχουμε 9 i) [ ) ] ii) 5 6 9 9 [ ) ] ) iii) 9 [ ) ] ) 9 ii) Επειδή ), δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου ιδιότητα ) Παρατηρούμε όμως ότι για μηδενίζονται και οι 5 6 δύο όροι του κλάσματος Οπότε η συνάρτηση ), για, γράφεται: 96

97 ) ) ) ) ) ) ) 6) 5 ) Επομένως, ) iii) Για μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με και έτσι έχουμε: ) ) ) ) ) ) ) ) ) Επομένως, 6 ) ) ) ) 5 Nα βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο της συνάρτησης,, ) Αν, τότε ), οπότε ) ) Αν, τότε ), οπότε ) Επομένως )

6 Πως ορίζεται διαισθητικά και αυστηρά το κριτήριο παρεμβολής; Υποθέτουμε ότι κοντά στο μια συνάρτηση εγκλωβίζεται Σχ 5) ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις h και g Αν, καθώς το τείνει στο, οι g και h έχουν κοινό όριο, τότε, όπως φαίνεται και στο σχήμα, η θα έχει το ίδιο όριο Αυτό δίνει την ιδέα του παρακάτω θεωρήματος που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεμβολής ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συναρτήσεις τότε, g, h Αν h ) ) g ) κοντά στο και h ) g ), Για παράδειγμα, ημ οπότε ) Πράγματι, για έχουμε ημ ημ, ημ Επειδή ), σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε: ημ 7 Ποιες ιδιότητες ισχύουν για τα τριγωνομετρικά όρια Το κριτήριο παρεμβολής είναι πολύ χρήσιμο για τον υπολογισμό ορισμένων τριγωνομετρικών ορίων Αρχικά αποδεικνύουμε ότι: ημ, για κάθε η ισότητα ισχύει μόνο όταν ) Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας και του κριτηρίου παρεμβολής θα αποδείξουμε ότι: ημ ημ συν συν ημ συν C g C C h 5 α β 98

8 Πως ορίζεται το όριο συνθέτου συναρτήσεως; Όταν θέλουμε να υπολογίσουμε το g )) στο σημείο, τότε εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε u g) Υπολογίζουμε αν υπάρχει) το u g ) και Υπολογίζουμε αν υπάρχει) το u) uu, της σύνθετης συνάρτησης g Αποδεικνύεται ότι, αν g ) u κοντά στο, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με, δηλαδή ισχύει: g )) u) ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφής g )) με τα οποία θα ασχοληθούμε θα είναι τέτοια, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη: g ) u κοντά στο και γι αυτό δεν θα ελέγχεται Για παράδειγμα: uu α) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο ημ π Αν θέσουμε u, τότε π u π π, οπότε ημ π π ημu ημ π u β) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο Είναι Έτσι, αν θέσουμε ημ ημ ημ u, τότε u ημ ημ ημu u u, οπότε 99

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ιδιότητες ορίων Να βρείτε τα όρια: 5 i) + 5) iii) v) vii) i) ii) iii) iv) v) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 5 Α ΟΜΑΔΑΣ 8 + + ) iv) 5 ii) vi) viii) 5 + 5) + 5 5 + ) + 8 + + 8 ) [ + + ) ] [ 5 ) 5 + ) [ 5 ) ] [ ) 8 + ) + ] [ + ] ] 5 ) 5 ) { ) 9 6 { ) 5) ) 5 vi) vii) 9 viii) 8 8

Έστω μια συνάρτηση με i) g) ) iii) g) i) ii) iii) g) g) g) ) Να βρείτε το ) ) 5 ii) g) [) ) 5] ) ) [ Να βρείτε τα όρια i) 6 8 iii) 5 7 ) ] + ) ) 6 ii) iv) ) 7 i) 6 6 8 8 απροσδιοριστία 6 ) ) ) ) ) 8 ) ) g), αν: ) ) ) ) 8 8 ii) απροσδιοριστία ) ) ) ) iii) απροσδιοριστία ) ) ) 7 ) 7 iv) 7 7 απροσδιοριστία ) 7 ) 7 )

)[ ) ) ] [ + ) + + ) + 9 ] + ) + + ) + 9 9 + 9 + 9 7 Να βρείτε τα όρια i) 9 9 iii) 5 ii) iv) 5 i) 9 9 9 9 9 9 9 απροσδιοριστία 9 9 9 9 6 ii) iii) 5 5 απροσδιοριστία ) ) ) 5 ) ) 9 απροσδιοριστία ) ) 5 ) 5 ) ) 5 ) ) 5 ) 5 9) ) ) 5 ) ) ) ) 5 ) ) ) ) 5 ) ) 5 ) ) 6 6 8

iv) 5 5 απροσδιοριστία 5 ) ) ) ) ) ) ) ) 5Να βρείτε αν υπάρχει), το όριο της στο αν: i) ) ii) ) i), 5, >, < +, ) ) και και 5) 5 Επομένως δεν υπάρχει το όριο της στο ii) ) ) ) ) + ) + Επομένως ) 6Να βρείτε τα όρια i) iv) ii) v) i) ) Θέσαμε u, οπότε u ii) u iii) vi) u u 5 5 iii) Αλλά )

) iv) v) ) vi) 5 5 ) 5 5 ) 5 ) 5 ) 5 5 ) 5 5 5 5 5 5 5 ) 5 ) + ) 7Να βρείτε τα όρια i) ii) iii) i) ) ) συν) ) ii) εφ iii) 8Να βρείτε το ), αν : i) ) + ii) ) για κάθε για κάθε,

i) ) και + ) άρα ) ii) ) και άρα ) 9Δίνεται η συνάρτηση ), Να βρείτε τις τιμές των α+β, α, β, για τις οποίες ισχύει ) ) ) και α + β) 6α + β και α + β ) και α + β) β 6α και α + 6α) β 6α και α + 8α β 6α και 5α - β 6α και α β 6 και α β και α 5

Β ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τα όρια i) 8 i) ii) ii) ) iii) ) ) 8 ) ) 7 ) ) ) ) ) ) [ + + ) ν ] + + + ) ν ν ν iii) Θέτουμε u, οπότε u και έχουμε u u u u u u u u u u )u ) u u )u u ) u u u u Να βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν i) 5 5 5 ii) 5 5 5 iii) 5 5 5 5 i) Θεωρούμε τη συνάρτηση ) ) 5 5) 5 ) 5 5 ) και 5 iv), 5, 5 5 5 5 5 ), 5 5 6

Άρα δεν υπάρχει το όριο της στο 5 ii) < 5 οπότε 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5) 5 5 5 iii) > 5 οπότε 5 5 5 5 5 5 iv) Θέτουμε 5 5 5) ) + ) 5 + 7 5 5 5 u, οπότε u και έχουμε u u u u uu ) u u uu )u u ) u u [u u + u + )] + + ) u Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με γ Να υπολογίσετε τα όρια: i) α β) ii) ) iii) Γ β A α γ θ B Είναι γ α συνθ και εφθ α συνθ και εφθ α και β εφθ i) α β) ) 7

ii) iii) ) ) ) ) ) ημθ ημ ) Να βρείτε το ), αν: i) ) + ) - ii) ) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση g) ) +, κοντά στο Η υπόθεση γίνεται Επομένως g) + ) ) g) + ) g) ) g) + ) + ) 8 ) ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση g) ), κοντά στο ) g) ) Η υπόθεση γίνεται g) Επομένως ) [g) )] g) )] ) 8

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μη πεπερασμένο όριο στο χ ο Ερωτήσεις θεωρίας Πως ορίζεται διαισθητικά και αυστηρά το μη πεπερασμένο όριο στο χο καθώς και στα πλευρικά όρια; Στο σχήμα 5 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης κοντά στο Παρατηρούμε ότι, καθώς το κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό, οι τιμές ) αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση έχει στο όριο και γράφουμε ) Στο σχήμα 55 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης κοντά στο Παρατηρούμε ότι, καθώς το κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό, οι τιμές ) ελαττώνονται απεριόριστα και γίνονται μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό M M ) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση έχει στο όριο και γράφουμε ) ) M -M ) 5 55 ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α, ), ) Ορίζουμε β ), όταν για κάθε α, ), ), με δ να ισχύει β M υπάρχει δ τέτοιο, ώστε για κάθε ) M 9

), όταν για κάθε α, ), ), με δ να ισχύει β M υπάρχει δ τέτοιο, ώστε για κάθε ) M Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν όταν και 56 C C C g C g a) β) Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής α, ), β), ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: ) ) ) ) ) ) Ποιες ιδιότητες αποδεικνύονται με τη βοήθεια του ορισμού και ποιες οι άμεσες συνέπειες αυτών; Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες: Αν ), τότε ) κοντά στο, ενώ αν ), τότε ) κοντά στο Αν ), τότε )), ενώ αν ), τότε )) Αν ) ή, τότε ) Αν ) ) και ) κοντά στο, τότε και ) κοντά στο, τότε ) ), ενώ αν Αν ) ή, τότε )

Αν ), τότε k ) Σύμφωνα με τις ιδιότητες αυτές έχουμε: και γενικά ν, * Σχ 57α) 57 α) β) και γενικά και γενικά ν, ενώ ν, Σχ 57β) Επομένως, δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της ), ν Ποια θεωρήματα ισχύουν για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων και τι είναι οι απροσδιοριστίες; Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα: ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο αθροίσματος) Αν στο το όριο της είναι: α α - - και το όριο της g είναι: - - - τότε το όριο της είναι: g - - ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γινομένου) Αν στο R, το όριο της είναι: και το όριο της g είναι: τότε το όριο της g είναι: α> α< α> α< + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - +

Στους πίνακες των παραπάνω θεωρημάτων, όπου υπάρχει ερωτηματικό, σημαίνει ότι το όριο αν υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουμε Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι: ) ) και ) Επειδή g g) και, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της g g διαφοράς και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι: Για παράδειγμα: ) ), ) ) και, αν πάρουμε τις συναρτήσεις ) και g ), τότε έχουμε: και ενώ, ), g ) ) g )) αν πάρουμε τις συναρτήσεις ) και g ), τότε έχουμε: και ), g ) ) g )) Ανάλογα παραδείγματα μπορούμε να δώσουμε και για τις άλλες μορφές Nα βρεθούν τα όρια: i) 5 6 ii) ) i) Επειδή και κοντά στο, είναι Eπειδή επιπλέον είναι 5 6), έχουμε: 5 6 5 6) ii) Επειδή ) και ) κοντά στο, είναι ) Επειδή επιπλέον είναι ), έχουμε

) ) ) 5 Να βρεθούν τα πλευρικά όρια της συνάρτησης ) στο και στη συνέχεια να εξετασθεί, αν υπάρχει το όριο της ) στο Επειδή ) επιπλέον ) και για, είναι, έχουμε Επειδή ) Επειδή ) επιπλέον ) και για, είναι, έχουμε ) Επειδή Παρατηρούμε ότι τα δύο πλευρικά όρια δεν είναι ίσα Επομένως δεν υπάρχει όριο της στο

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ιδιότητες ορίων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 6 Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε αν υπάρχει) το όριο της στο όταν: i) ) 5, ii) ) ) iii) ),, i) Για κάθε κοντά στο είναι ) + 5) + 5) 5 > ) ) με + ) Από ), ) ) + > κοντά στο ii) Για κάθε κοντά στο είναι ) ) ) ) < ) [ ) ] με ) > κοντά στο + ) ) Από ), ) ) iii) Για > είναι ) ) ) Για < είναι ) + ) ) Από ), ) δεν υπάρχει το όριο της στο

Να βρείτε αν υπάρχει) το όριο της στο όταν: i) ) iii) ),, ii) ) i) Για κάθε κοντά στο είναι ) ) ) ) ) ) ) ) Αλλά > ) ) με < Από ), ) Ομοίως ) + ) Άρα δεν υπάρχει το όριο της στο ii) Για > είναι ) + ) + ) < και + Για < είναι ) + ) ) + ) + ) > και + Από ), ) δεν υπάρχει το όριο της στο +, ) ) ) ) + ) iii) Για κάθε κοντά στο είναι ) + ) + ) > και + ) + + ) > και ) Άρα δεν υπάρχει το όριο της στο 5

Β ΟΜΑΔΑΣ 9 Να βρείτε εφόσον υπάρχει) το 8 ) 9 8 9 9 ) ) ) ) 9 ) ) ) 9 9 ) ) ) ) 9 9 9 < ) με ) > + ) Επομένως ) Να αποδείξετε ότι : i) Η συνάρτηση ) εφ δεν έχει όροι στο ii) Η συνάρτηση ) σφ δεν έχει όροι στο i) ) εφ ημ Για < < π είναι συν με συν < αλλά ημ >, άρα Για < < Από ), ) είναι αλλά συν με συν > ημ >, άρα η ) εφ δεν έχει όριο στο ii) ) σφ συν Για < < είναι ημ με ημ > αλλά συν >, άρα ) ) + ) + ) + ) + ) Για < < είναι ημ με ημ < και συν >, άρα ) ) Από ), ) η ) σφ δεν έχει όριο στο 6

Δίνονται οι συναρτήσεις ) ) και g) Να βρείτε τις τιμές των λ, μ για τις οποίες υπάρχουν στο τα όρια ) και g) Στη συνέχεια να υπολογίσετε τα παραπάνω όρια Έστω ) ) Κοντά στο είναι ) ) ) λ ) + [ ) ) )] λ + [λ ) + ] ) λ ) + λ λ ) Για λ έχουμε ) ) ) ) ) ) ) Έστω g ) Κοντά στο είναι g) g) + + μ [g) ] + + μ) g) + + μ μ μ Για μ έχουμε g) + g ) + ) + Να βρείτε τα i) ), όταν: + ii) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση g) iii) κοντά στο [ ) )] + 7

Τότε g) + και g) ) g) > κοντά στο και ) ) g g) + η ) g ) ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση h) και επειδή κοντά στο Τότε h) και h) + ) ) ) και επειδή + ) + >, η ) ) [ h) + ] g ) ), iii) Θεωρούμε τη συνάρτηση ω) ) ) κοντά στο ) Τότε ω) + Είναι ) κοντά στο και > ) ) ω) ) ) + 8