Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R sau K=C). Se umeşte produs scalar pe V o aplicaţie < : V V K care are următoarele proprietăţi:. <x, x 0 petru orice x V; <x, x= 0 x = 0 V.. <x + y, z = <x, z + <y, z petru orice x, y, z V. 3. <λx, y = λ<x, y petru orice λ K şi x V. 4. <x, y = < y, x petru orice x, y V. Perechea (V,<, ) se umeşte spaţiu prehilbertia real dacă K= R, respectiv complex dacă K= C. Dacă V este u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R sau K=C), îzestrat cu produsul scalar <,, atuci:. două elemete x şi y di V se umesc ortogoale (şi se foloseşte otaţia x y) dacă <x, y = 0.. spuem că vectorul x V este ortogoal pe submulţimea evidă A a lui V şi otăm x A, dacă <x, y=0 petru orice y A. 3. două submulţimi evide A şi B ale lui V sut ortogoale şi se otează A B, dacă <x, y=0 petru orice x A şi orice y B. 4. o familie {x i } i I de elemete ale lui V se umeşte sistem ortogoal sau familie ortogoală dacă <x i, x j =0 petru orice i j, i,j I.
Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială 5. u sistem ortogoal {x i } i I se umeşte ortoormat dacă x i = petru orice i I. U spaţiu vectorial real (respectiv complex)iit dimesioal, dotat cu u produs scalar se umeşte spaţiu vectorial euclidia (respectiv spaţiu uitar). Observaţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R sau K=C) îzestrat cu produsul scalar <,. Atuci. <0, y = <x, 0 = 0 petru orice x, y V. (Îtr-adevăr, aplicâd proprietatea 3 a produsului scalar petru λ = 0, obţiem <0, y = 0; ţiâd cot de proprietatea 4, rezultă < x, 0 = < 0, x = 0). <αx + βy, z = α< x, z + β < x, z petru orice α, β K şi x, y, z V. (Afirmaţia rezultă di proprietăţile şi 3 ale produsului scalar). 3. <x, αy + βz = α < x, y + β < x, z petru orice α, β K şi x, y, z V. Îtr-adevăr, <x, αy + βz = < αy + βz, x = α < y,x +β < z, x = α < y, x + β < z, x = α<x, y + β<x, z. 4. Dacă K = R, atuci <x, y = <y, x petru orice x, y V. De aici rezultă <x, αy + βz = α < x, y + β < x, z petru orice α, β K şi x, y, z V. Exemplul 4.... Spaţiul vectorial real R poate fi îzestrat cu produsul scalar (umit produsul scalar stadard sau caoic) < x, y = x y + x y + + x y, ude x = (x, x,, x ) şi y = (y, y,, y ).. Î spaţiul vectorial complex C (K = C) se poate itroduce produsul scalar (umit produsul scalar stadard sau caoic) < x, y = x y + x y + + x y 3
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare ude x = (x, x,, x ) şi y = (y, y,, y ). 3. Fie spaţiul vectorial real C([a, b]) = {f : [a, b] R f cotiuă}, (K = R). Aplicaţia <.,. : C([a, b]) C([a, b]) R, <f, g = f ( x) g( x) este u produs scalar. 4. Cosiderăm spaţiul vectorial real M (R)(mulţimea matricelor de ordiul N * cu elemete di R). Aplicaţia <.,. : M (R) M (R) R, <A, B = Trace(B t A) = i= j= b jia ji b a dx, ude A= (a ij ) i, j şi B= (b ij ) i, j este u produs scalar. 5. Î spaţiul M (C) peste corpul C se poate itroduce produsul scalar <A, B = Trace( B t A) = i= j= b, ude A= (a ij ) i,j şi B= (b ij ) i,j. jia ji 4.. Norma idusă de u produs scalar Teorema 4... (iegalitatea lui Schwarz). Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K = R sau K = C) îzestrat cu produsul scalar <,. Petru orice x, y V, < x, y < x, x < y, y. Egalitatea are loc dacă şi umai dacă vectorii x şi y sut liiar depedeţi. Demostraţie. Dacă <x, y = 0, iegalitatea este evidetă, deci putem presupue <x, y 0 (ceea ce implică x 0 şi y 0). Petru orice λ K, avem <λx + y, λx + y 0, adică λ <x, x + λ <x, y + λ<y, x + <y, y 0. Cosiderâd λ = t y + <y, y 0. < < x, y x, y 4, t R obţiem t <x, x + t <x,
Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială Cum iegalitatea de mai sus are loc petru orice t R, rezultă că discrimiatul 0, ude = 4 <x, y - 4<x, x <y, y. Deci <x, y <x, x <y, y. Presupuem că avem egalitate: <x, y = <x, x <y, y. Atuci discrimiatul = 4 <x, y - 4<x, x <y, y = 0. Ca urmare, există t 0 astfel îcât t 0 <x, x + t 0 <x, y + <y, y = 0. Cosiderâd λ 0 = t 0 < x,y < x,y, obţiem λ 0 <x, x + λ 0 <x, y + λ 0 <y, x + <y, y 0 adică <λ 0 x + y, λ 0 x + y = 0. De aici rezultă că λ 0 x + y = 0 sau, echivalet, x şi y sut liiar depedeţi. Reciproc, dacă x şi y sut liiar depedeţi, atuci există α K astfel îcât y = αx, deci <x, y = <x, αx = α<x, x. Î coseciţă, <x, y = α <x, x =<x, x<αx, αx =<x, x<y, y. Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R sau K=C). Aplicaţia. : V R cu proprietăţile următoare:. x 0, petru orice x V; x = 0 x = 0 V.. α x = α x, petru orice x V şi α K; 3. x + y x + y, petru orice x, y V se umeşte ormă pe V. Spaţiul vectorial pe care s-a defiit o ormă se umeşte spaţiu vectorial ormat. Teorema 4... Orice spaţiu prehilbertia V peste corpul K (K =R sau K = C) poate fi îzestrat cu o ormă: x = < x, x petru orice x V. 5
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare Demostraţie. Verificăm faptul că îdeplieşte proprietăţile uei orme. Evidet x 0 petru orice x V, şi x = 0 dacă şi umai dacă x = 0. Fie α K şi x V, αx = <αx, αx = α α<x,x = α x. Fie x, y V. Avem x + y = <x + y, x + y = <x, x + <x, y + <y, x + <y, y = <x, x + Re<x, y + <y, y <x, x + <x, y + <y, y <x, x + < x,x < y, y + <y, y = x + x y + y = ( x + y ), de ude obţiem x +y x + y (iegalitatea lui Mikowski). Observaţia 4.... Dacă V este u spaţiu prehilbertia şi este orma idusă de produsul scalar <, de pe V ( x = < x, x ), atuci iegalitatea lui Schwarz se scrie <x, y x y, petru orice x, y V.. Orice spaţiu prehilbertia V este u spaţiu metric, putâd fi îzestrat cu distaţa defiită pri d(x, y) = x - y = < x y,x y. petru orice x, y V. Î virtutea acestei proprietăţi se poate vorbi despre şiruri covergete şi şiruri fudametale (sau Cauchy) î V. 4.3. Baze ortoormate Propoziţia 4.3.. Fie V u spaţiu prehilbertia (real sau complex). Orice sistem ortogoal {x, x,, x } de vectori euli di V este liiar idepedet. Demostraţie. Fie scalarii α, α,, α astfel îcât α x + α x +...+ α x = 0 Petru orice j, avem <α x + α x +...+ α x, x j = 0 adică α <x, x j + α <x, x j +...+ α < x, x j = 0. Di codiţia de 6
Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială ortogoalitate deducem că α j <x j, x j = 0. Cum x j 0, rezultă că <x j, x j 0, şi deci α j = 0 petru orice j. Defiiţia 4.3.. O bază {e i } i I a spaţiului prehilbertia V se umeşte bază ortogoală dacă este sistem ortogoal (adică dacă < e i, e j = 0 petru orice i j). Dacă, î plus, e i = petru orice i I, atuci baza {e i } i I se umeşte bază ortoormată. Teorema 4.3.. (procedeul de ortogoalizare Gram-Schmidt) Fie V u spaţiu euclidia sau uitar şi fie {v, v,, v } o bază î V. Atuci există o bază ortoormată {e, e,, e } î V astfel îcât petru orice k, sistemele de vectori {v, v,, v k } şi {e, e,, e k } geerează acelaşi subspaţiu. Demostraţie. Vom costrui mai îtâi o bază ortoormală {f, } î V astfel îcât petru orice k, sistemele de vectori {v, v,, v k } şi {f, k } geerează acelaşi subspaţiu. Baza cu proprietăţile di euţul teoremei se obţie di {f, } defiid e i = fi, i =,..,. f i i α Luăm f i = v i + j= ijf j, i şi vom determia scalarii α ij ( i, j i -) di codiţiile <f i j = 0, i j. Folosim iducţia după k. Petru k =, avem f = v 0, şi deci {f } şi {e } geerează acelaşi subspaţiu. Petru k = = v + α f. Codiţia <f = 0 coduce la α = - < v,f < f,f. 7
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare Cum f = v şi f = v + α f, rezultă că f şi f aparţi spaţiului geerat de {v, v }. Deci spaţiul geerat de {f } este coţiut î spaţiului geerat de {v, v }. Reciproc, deoarece v = f şi v = f - α f, spaţiul geerat de {v, v } este coţiut î spaţiului geerat de {f }. Să presupuem că am costruit vectorii f, k ortogoali doi câte doi şi că, petru orice i k, sistemele de vectori {v, v,, v i } şi {f, i } geerează acelaşi subspaţiu. Avem f k+ = v k+ + α k,jf j, iar relaţiile <f k+ i = k j= + 0, petru orice i k, sut echivalete cu α k+,i = - < + vk < f i,fi, i,f i k. Numitorul <f i i este eul petru i k. Î caz cotrar, spaţiul geerat de vectori {f, i } este egal cu {f, i- } şi, di ipoteza de iducţie, rezultă că {v, v,, v i } şi {v, v,, v i- } geerează acelaşi subspaţiu. Deci v i se scrie ca o combiaţie liiară de vectorii v, v,, v i-, ceea ce cotrazice liiar idepedeţa vectorilor v, v,, v i. Deoarece f k+ = v k+ + α k j= k+,j j f şi spaţiile geerate de {v, v,, v k } şi {f,, f k } coicid, rezultă că spaţiul geerat de {f, k+ } este coţiut î spaţiul geerat de {v, v,, v k+ }. Icluziuea iversă se obţie ţiâd cot de faptul că v k+ = f k+ - α k j= k+,j j f iar spaţiile geerate de {v, v,, v k } şi {f, k } coicid. Î coseciţă, sistemul de vectori {f, } este sistem de geeratori petru spaţiul vectorial V. El este şi sistem liiar idepedet fiid format di vectori ortogoali. Deci {f, } este o bază ortogoală a lui V. Ca urmare, {e, e,, e }, ude 8
Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială e i = fi petru orice i, f i este o bază ortoormată a lui V cu proprietatea că petru orice k, {v, v,, v k } şi {e, e,, e k } geerează acelaşi subspaţiu. Exemplul 4.3.. Fie spaţiul vectorial R 4 îzestrat cu produsul scalar caoic (stadard): 4 < x, y = x iy i petru x = (x, x, x 3, x 4 ), y = (y, y, y 3, y 4 ). i= Fie B = {v, v, v 3, v 3 }, ude v = (-,,, ), v = (-,, -5, -3), v 3 = (-3,, 8, 7), v 4 = (0, -,, 0). Vom aplica bazei B procedeul de ortogoalizare Gram- Schmidt (ca î demostraţia teoremei precedete). Avem f = v = (-,,, ) = v + α f ude α se determiă puâd codiţia ca < f = 0: α = - < v < f 0 = - 0 =. Deci f = v + f =( -, 3, -3, -). Mai departe 3 = v 3 + α 3] f + α 3 f, ude α 3 şi α 3 sut determiate de codiţiile < f 3 i = 0, i =,: α 3i = - < v < f 3 i i i, i =,. Efectuâd calculele obţiem α 3 = - < v < f 3 30 = - = -3 0 α 3 = - < v < f 3-6 = - = şi f 3 = v 3-3f + f = (-, -, -, ). 6 Ultimul vector di baza ortogoală este f 4 = v 4 + α 4] f + α 4 f + α 43 f 3, ude α 4i sut determiate de codiţiile < f 4 i = 0, i =,,3: α 4i = - < v < f 4 i i i, i =,,3. 9
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare Efectuâd calculele obţiem α 4 = - < v < f 4 0 = - = 0, α4 = - 0 < v < f 4-6 = - 6 = 3 3, α43 = - < v < f 4 3 3 3 0 = - = 0 0 3 3 6 4 4 6 şi f 4 = v 4 + 0f + f + 0f 3 = v 4 + f =(-, -,, ). 3 3 3 3 3 3 Baza ortoormată corespuzătoare {e, e, e 3, e 4 } se obţie luâd e i = fi, i =,,3,4. Deci e = f i f = f (-,,, ), 0 e = f = f ( -, 3, -3, -), e3 = 6 f3 = f 3 0 (-, -, -, ) e 4 = f4 = f 4 8 3 6 4 4 (-, -, 3 3 3 6, 3 ) = 8 3 (-3, -,, 3 ) 3 = 6 (-3, -,, 3 ) = (-3, -,, 3 ). 3 6 Teorema 4.3.. Fie V u spaţiu vectorial euclidia sau uitar fiit dimesioal, dim K V =, şi fie V V u subspaţiu al lui V. Atuci există şi este uic u subspaţiu vectorial V V ortogoal pe V (V V ) astfel îcât V = V V. Suspaţiul V, otat şi V, este umit complemetul ortogoal al lui V. Demostraţie. Fie B = {e, e,, e m } o baza ortoormată a lui V. Completăm B la o bază B ={e, e,, e m,..,e } a lui V. Folosid procedeul de ortoormare Gram Schmidt obţiem o bază ortoormată B' ={e, e,, e m m+,..,f } a lui V. Notăm cu V subspaţiul geerat de familia {f m+,..,f }. Î mod evidet V + V = V. Î plus, V V = (0). Îtr-adevăr, dacă x V V, atuci există x i K, i =,.., astfel îcât x 30
m i= Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială = x ie i = x if i. De aici rezultă că avem o combiaţie liiară ulă, m x ie i - i= i= m+ i= m+ x if i = 0, a vectorilor di baza B'. Acest lucru u este posibil decât dacă x i = 0, i =,..,. Deci x = 0 şi V V = (0). Pri urmare V = V V şi existeţa complemetului ortogoal a fost demostrată. Petru a arăta uicitatea, cosiderăm u alt subspaţiu vectorial V 3, V 3 V astfel îcât V = V V 3. Fie v 3 V 3. Cum v 3 V 3 V = V V, v 3 se poate reprezeta uic sub forma v 3 = v + v cu v V şi V. Di faptul că V 3 şi V sut ortogoale pe V rezultă că v 3 - v V şi deci < v 3 - v, v = 0, de ude < v, v = 0, adică v =0. Ţiâd cot că v 3 = v + v, obţiem v 3 = v V. Aalog se demostrează faptul că V V 3. 4.4. Operatori liiari pe spaţii euclidiee sau uitare Defiiţia 4.4.. Fie V şi W două spaţii euclidiee sau uitare şi fie u : V W u operator liiar (trasformare liiară). Trasformarea liiară u* : W V defiită pri <u(x), y = <x, u * (y) petru orice x V şi y W, se umeşte trasformarea adjuctă lui u. U edomorfism u : V V cu proprietatea că uu* = u*u = I (trasformarea liiară idetică) se umeşte operator uitar, dacă V este spaţiu uitar, sau operator ortogoal, dacă V este spaţiu euclidia. U edomorfism u : V V se umeşte autoadjuct dacă u = u *. Î cazul î care V este spaţiu euclidia, u edomorfism autoadjuct se mai umeşte edomorfism simetric, iar i cazul î care V este uitar, u 3
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare edomorfism autoadjuct se mai umeşte edomorfism hermitia. Observaţia 4.4.. Trasformarea adjuctă lui u este bie defiită, î sesul că u * L(V). Îtr-adevăr, dacă x, y, y V şi α, β K (K = R sau C) atuci <x, u * ( αy + βy ) = < u(x), αy + βy = α <u(x), y + β <u(x), y = <x, αu * (y ) + βu * (y ). Î particular, şirul de egalităţi de mai sus are loc şi petru x = u * ( αy + βy ) - αu * (y ) + βu * (y ). Î acest caz avem <x,x = 0, de ude x = 0, adică u * ( αy + βy ) = αu * (y ) + βu * (y ). Demostraţia este termiată î virtutea Observaţiei 3... Propoziţia 4.4.. Fie V u spaţiu euclidia sau uitar. Aplicaţia u u * [: L(V) L(V)] are următoarele proprietăţi:. (u + v) * = u * + v * ;. (uv) * = v * u * ; 3. (u * ) * = u 4. (αv) * = αu *, dacă V este uitar; (αv) * = αu *, dacă V este euclidia 5. I * = I (I este trasformarea liiară idetică pe V) 6. O * = O (O este trasformarea liiară ulă pe V) 7. Dacă u este iversabil, atuci (u - ) * = (u * ) -. Demostraţie. Toate afirmaţiile de mai sus rezultă pri aplicarea directă a proprietăţilor produsului scalar. De exemplu, î cazul proprietăţii, observăm că <(u + v)(x), y = <x, (u + v) * (y), oricare ar fi x, y V. Pe de altă parte, <(u + v)(x), y =<u(x) + v(x), y =<u(x), y + <v(x), y =<x, u * (y) + <x, v * (y) =<x, u * (y) + v * (y) = <x, (u * + v * )(y). Deci, petru orice x, y V, avem <x, (u + v) * (y) = <x, (u * + v * )(y) 3
Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială sau, echivalet, <x, (u + v) * (y) - (u * + v * )(y) = 0. ca şi î observaţia de mai sus luăm x = (u + v) * (y) - (u * + v * )(y) şi obţiem <(u + v) * (y) - (u * + v * )(y), (u + v) * (y) - (u * + v * )(y) = 0, de ude (u + v) * (y) - (u * + v * )(y) = 0 petru orice y. Î coseciţă, (u + v) * = u * + v *. (Restul afirmaţiilor sut lăsate ca exerciţiu cititorului.) Propoziţia 4.4.. Fie V u spaţiu uitar (respectiv euclidia) şi u : V V u edomorfism. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. u este uitar (respectiv ortogoal);. u * u = I (trasformarea liiară idetică); 3. u păstrează produsul scalar ( < u(x), u(y) =< x, y petru orice x, y V); 4. u(x) = x petru orice x V ( x = < x, x ); 5. u trasformă orice bază ortoormată îtr-o bază ortoormată; 6. matricea A a lui u îtr-o bază ortoormată, satisface codiţia t A A = I (respectiv, A t A = I). Demostraţie. Este evidet că " ". Arătăm că " ". Di u * u = I rezultă uşor că u este ijectivă, deoarece I este, î particular, ijectivă. Deoarece V este de dimesiue fiită, rezultă că de fapt u este u operator liiar bijectiv. Î coseciţă, codiţia u * u = I implică u * = u -. Pri urmare uu * = uu - = I, şi deci u este uitar (respectiv, ortogoal). " 3". Petru orice x, y V, <u(x), u(y) = <x, u * (u(y)) = <x, y. "3 ". Petru orice x, y V, <x, y = <u(x), u(y) = <x, u * (u(y)) = <x, u * u(y). Deci, <x, u * u(y) - y = 0 petru orice x, y V. Î particular, petru x = u * u(y) - y, obţiem < u * u(y) - y, u * u(y) - y = 0, de ude 33
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare u * u(y) - y = 0 petru orice y V. Deci u * u = I. "3 4". Petru orice x V, u(x) = <u(x), u(x) = <x, x = x. "4 3". Dacă V este uitar, atuci petru orice x, y V <x, y = (/4)( x + y - x - y + i x + iy - i x - iy ). Deci, petru orice x, y V, avem <u(x), u(y) = (/4)( u(x) + u(y) - u(x) - u(y) + i u(x) + i u(y) - i u(x) - i u(y) ) = (/4)( u(x + y) - u(x -y) + i u(x + iy) - i u(x - iy) ) = (/4) ( x + y - x - y + i x + iy - i x - iy ) = <x, y. Dacă V este euclidia, atuci <x, y = (/4) ( x + y - x - y ), oricare ar fi x, y V. Deci, petru orice x, y V, avem <u(x), u(y) = (/4) ( u(x) + u(y) - u(x) - u(y) ) = (/4) ( u(x + y) - u(x -y) ) =(/4) ( x + y - x - y ) =<x, y. "3 5". Fie {e, e,, e } o bază ortoormată a lui V. Deoarece <u(e i ), u(e j ) = <e i, e j = 0 petru i j şi <u(e i ), u(e i ) = <e i, e i =, rezultă că {u(e ), u(e ),, u(e )} este o bază ortoormată. "5 3". Fie {e, e,, e } o bază ortoormată a lui V şi fie x = xie i V şi y = y ie i V. Avem <u(x), u(y) =<u( x ie i ), u( y ie i ) i= = x <u(e i ), u(e j ) = x = x i= j= i y j i= i y i i= j= i y j i= <e i, e j = <x, y. " 6". Fie B={e, e,, e } o bază ortoormată a lui V şi fie A matricea asociată lui u î baza respectivă. Dacă A = (a ij ) i,j este matricea asociată lui u î baza B, atuci este clar că <u * (e i ), e j = < e i, i= i= u(e j ) = a ji. Dacă V este euclidia atuci a ji = a ji. De aici rezultă că matricea lui u * î baza B este t A dacă V este uitar, respectiv A t dacă V 34
Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială este euclidia. Relaţia u * u = I este echivaletă cu uitar, respectiv cu A t A = I dacă V este euclidia. t A A = I dacă V este 4.5. Vectori şi valori proprii petru edomorfisme autoadjucte Teorema 4.5.. Fie V u spaţiu uitar. Dacă u: V V este u edomorfism hermitia, atuci valorile proprii asociate lui u sut reale. Demostraţie. Fie λ o valoare proprie a lui u şi fie x u vector propriu asociat valorii proprii λ. Avem λ = ( x) < u,x < x,x = ( x) < x, u < x, x = ( x) < u,x < x,x = λ. Deci λ R. Teorema 4.5.. Fie V u spaţiu uitar sau euclidia. Dacă u: V V este u edomorfism autoadjuct, atuci vectorii proprii corespuzători la valorile proprii disticte sut ortogoali. Demostraţie. Fie x şi x vectori proprii corespuzători valorilor proprii λ, respectiv λ. Avem λ <x, x = <λ x, x =<u(x ), x = <x, u(x ) = <x, λ x = λ <x, x = λ <x, x. Dacă λ λ, atuci <x, x = 0. Teorema 4.5.3. Fie V u spaţiu uitar sau euclidia. Dacă u: V V este u edomorfism autoadjuct, atuci există o bază ortoormată a lui V formată di vectori proprii ai lui u. Pri urmare, u este diagoalizabil. Demostraţie. Presupuem că dimesiuea lui V este. Poliomul caracteristic P u (λ) asociat lui u admite cel puţi o rădăciă complexă λ 35
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare (evetual multiplă de ordiul ). Deoarece u este autodjuct, coform Teoremei 4.5., λ este reală (fiid valoare proprie). Valorii proprii λ îi corespude u vector propriu e. Putem presupue că e = (evetual îlocuidu-l cu e ). Fie V, complemetul ortogoal al spaţiului e geerat de e, V ={e }. Subspaţiul V este ivariat la u *). Îtr-adevăr, dacă x V, atuci <u(x), e = <x, u(e ) = <x, λ e = λ <x, e = 0, deci u(x) {e } = V. Dacă u = u V este restricţia lui u la V, atuci u este u edomorfism autoadjuct. Fie e u vector propriu de ormă al lui u (î particular, e este vector propriu al lui u). Deoarece e V, rezultă că e e. Fie V ={e, e }. De asemeea V este subspaţiu ivariat al lui u. Cosiderăm u = u V şi cotiuăm procedeul. La fiecare pas k se obţie u subspaţiu V k = {e, e,,e k } ivariat al lui u, cu proprietatea că e k e i petru orice i k-. Dimesiuea lui V k este - k (deoarece V = V k sp{e, e,,e k }). După paşi se obţie o bază ortoormată a lui V formată di vectori proprii ai lui u. Coform Teoremei 3.7. u este diagoalizabil. 4. 6 Exerciţii. Se cosideră spaţiul vectorial real R 4 dotat cu produsul scalar caoic. Să se determie vectorul x R 4 de ormă, care împreuă cu vectorii a = (, 0,, -) şi b = (0,,, ) formează u sistem ortogoal. *) Subspaţiul V V este ivariat la u L K (V) dacă u(v ) V. 36
Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială R: Dacă x = (x, x, x 3, x 4 ), atuci, impuâd codiţiile cerute, x =, < x, a = 0, < x, b = 0, obţiem sistemul x + x 3 - x 4 = 0, x + x 3 + x 4 = 0, x + x + x 3 + x 4 = 0. Primele două ecuaţii formează u sistem liiar şi omoge, compatibil edetermiat, cu soluţiile x = - α + β, x = - α - β, x 3 = α, x 4 = β ude α, β R. Îlocuid aceste soluţii î ultima ecuaţie a sistemului de mai sus, obţiem 3α + 3β =. Ecuaţiile parametrice ale compoetelor x i, i =,, 3, 4 sut x = (/ 3 )(cos ϕ - si ϕ), x = - (/ 3 ) (cos ϕ + si ϕ), x 3 = (/ 3 )si ϕ, x 4 = (/ 3 /3)cos ϕ.. Să se demostreze că aplicaţia <.,. : C x C C, < z, z = z z este u produs scalar î spaţiul vectorial complex C. R: Se observă că < z, z = z 0, iar < z, z = 0 z = 0. De asemeea < z, z = < z z, şi, cum liiaritatea î primul argumet este u exerciţiu simplu petru cititor, rezultă cocluzia. 3. Să se arate că îtr-u spaţiu vectorial complex, dotat cu produs scalar, are loc idetitatea 4< x, y = x + y - x y + i x + iy - i x iy. R: Avem x + iy = <x + i y, x + iy = x + i < y, x - i < x, y + y şi aalog x iy = x - i < y, x + i < x, y + y, x + y = x + <y, x + < x, y + y, x y = x - <y, x - < x, y + y. Folosid relaţiile de mai sus rezultă cocluzia. 4. Să se verifice dacă aplicaţia <.,. : C x C C < x, y = x y + x y + x y + x y, ude x = (x, x ), y = (y, y ), x, y C, defieşte u produs scalar î spaţiul vectorial complex C. 37
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare R: Avem < x, x = x + Re x x + x, ude am otat pri Re z partea reală a umărului complex z. Deoarece Re x x x x = x x, este clar că < x, x x - x x + x = ( x - x ) 0. Dacă < x, x = 0, atuci, di iegalitatea de mai sus, rezultă că x = x = a. Pe de altă parte, dacă scriem umerele complexe x şi x sub formă trigoometrică, avem x = a(cos ϕ + i si ϕ), x = a(cos τ + i si τ), ϕ, τ [0, π) şi Re x x = a cos (ϕ - τ). Atuci < x, x = 0 a cos (ϕ - τ) = - a ϕ - τ = π. Î cazul particular ϕ = π, τ = 0, a 0, avem x = (-a, a) 0 C şi < x, x = 0. Deci aplicaţia defiită mai sus u este u produs scalar pe C. 5. Să se arate că aplicaţia <.,. : C x C C, <x, y = x y + 3 x y, ude x = (x, x ), y = (y, y ), x, y C, defieşte u produs scalar î spaţiul vectorial complex C. Idicaţie: Se verifică axiomele produsului scalar î maiera prezetată la exerciţiul precedet. 6. Folosid procedeul de ortoormare Gram Schmidt să se ortoormeze sistemele de vectori liiar idepedete de mai jos: a) {e = (, 0, ), e = (,, -3), e 3 = (-,, 0)} R 3 ; b) {e = (, 0,, 0), e = (0,, 0, ), e 3 = (, -, 0, ), e 4 = (,,, -)} R 4 ; c) {e = (,, ), e = (,, 0), e 3 = (3, 0, 0)} R 3 ; d) {e = (, ), e = (, )} R. R: a) Î prima etapă se costruieşte u sistem ortogoal g, g, g 3. Coform procedeului Gram Schmidt, avem g = e. Căutăm g de forma g = e + αe, α R astfel îcât < g, g = 0. Obţiem α = -< e, g / g. Deci α = / iar g = (5/,, 38
Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială -5/). Alegerea lui g 3 se face astfel îcât g 3 = e 3 + αg + β g şi < g 3, g = 0, < g 3, g = 0. De aici rezultă α = - < e 3, g / g = /, β = -< e 3, g / g = /9 şi g 3 = (- /9, 0/9, /9). Sistemul S = {g / g, g / g, g 3 / g 3 } este ortoormat. Deci S = {(/, 0, / ), (5 6 /8, 6 /8, -5 6 /8 ), (- 3 /9, 5 3 /9, 3 /9)}. Procedâd asemăător se vor determia sistemele ortoormate î cazul puctelor b) - d). Astfel, î cazul puctului b) avem sistemul {(/, 0, /, 0), (0, /, 0, / ), (/ 0, -/ 0, -/ 0, / 0 ), (/ 0, / 0, -/ 0, -/ 0 )}, petru c) obţiem {(/ 3, / 3, / 3 ), (0, /, - / ), (/ 6, -/ 6, - / 6 )}, iar î cazul puctului d) avem sistemul ortoormat {(-/ 5, / 5 ), (/ 5, / 5 )}. 7. Fie V mulţimea C 0 ([a, b]) = {f : [a, b] R cotiuă}, a, b R. a) Să se demostreze că V împreuă cu operaţiile de aduare a fucţiilor şi de îmulţire a acestora cu umere reale capătă o structură de spaţiu vectorial real. b) Fie ρ C 0 ([a, b]) o fucţie fixată î V, ρ(x) 0 oricare ar fi x [a, b]. Să se arate că aplicaţia b < f, g ρ = a ρ(x)f(x)g(x)dx defieşte u produs scalar pe V, umit produs scalar cu poderea ρ. Idicaţie: a) Se produsului scalar. verifică axiomele spaţiului vectorial. b) Se verifică axiomele 8. Fie V subspaţiul vectorial al spaţiului V = C 0 ((a, b)), - a < b format di toate polioamele de orice grad cu edetermiata x şi coeficieţi reali. Este uşor de văzut că dacă ρ(x) V, ρ(x) 0 este o podere adecvată (adică ρ(x) este astfel îcât itegrala di formula de mai 39
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare b jos este covergetă), atuci formula < f, g ρ = a ρ(x)f(x)g(x)dx defieşte u produs scalar pe V. Să se ortogoalizeze sistemul S = { f = = x 3 = x 4 = x 3 } folosid procedeul Gram Schmidt, dacă poderea ρ şi valorile a şi b sut cele de mai jos: a) a = -, b =, ρ(x) = ( - x ) ; b) a = 0, b =, ρ(x) = xe -x. R: a) Alegem g =. Costruim g = f + αg astfel îcât < g, g ρ = 0. Avem α = - < f, g ρ / g. Deoarece < f, g ρ = x( - x ) dx = 0 rezultă că g = x. Următorul vector g 3 di sistemul ortogoal va satisface codiţiile g 3 = f 3 + αg + βg, < g, g 3 ρ = 0, < g, g 3 ρ = 0. Deci α = - < f 3, g ρ / g, β = - < f 3, g ρ / g. Avem < f 3, g ρ = x ( - x ) dx = 6/05, g = < g, g ρ = ( - x ) dx = 6/5, < f 3, g ρ = x 3 ( - x ) dx = 0 şi g = < g, g ρ = x ( - x ) dx = 6/05. Obţiem g 3 = x - /7. Aalog g 4 = f 4 + αg + βg + γg 3, ude α = - < f 4, g ρ / g = 0, β = - < f 4, g ρ / g = /3, γ = - < f 4, g 3 ρ / g 3 = 0. Sistemul ortogoal căutat este S' = { g =, g = x, g 3 = x - /7, g 4 = x 3 - /3x}. Polioamele g i, i =,, 3, 4 reprezită primele 4 polioame Jacobi corespuzătoare poderii ρ(x). b) g = ; g = f + αg ude α = - < f, g ρ / g, < f, g ρ = 0 x e -x dx =, g = < g, g ρ = 0 e -x dx =. Deci g = x -. Avem g 3 = f 3 + αg + βg cu α = - < f 3, g ρ / g, β = - < f 3, g ρ / g, < f 3, g ρ = 0 x 3 e -x dx = 6, < f 3, g ρ = 0 x 3 (x - )e -x dx =, g = 0 x(x - ) e -x dx =. Deci g 3 = x - 6(x - ) - 6 = x 40
Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială - 6x + 6. Aalog se stabileşte că g 4 = f 4 + αg + βg + γg 3, ude α = 4, β = -36, γ = -. Deci g 4 = x 3 - x + 36x - 4. Polioamele g, g, g 3, g 4 se umesc polioame Laguerre şi formează sistemul ortogoal căutat. 9. Să se determie adjuctul operatorilor liiari de mai jos relativ la produsul scalar caoic: a) f : R 3 R 3 (x, y, z) = (x + y - z, x - y + z, x + z); b) f : R R 3 (x, y) = (x + y, x - y, x + 3y); c) f 3 : R R 3 (x, y) = (x + y, x); d) f 4 : R 4 R 4 4 (x, y, z, t) = (x - y, y - z, z - t, t - x). R: a) Matricea A = (a ij ) i, j =,, 3, asociată lui f î baza caoică B = {e = (, 0, 0), e = (0,, 0), e 3 = (0, 0, )} a lui R 3, este dată de relaţiile u (e i ) = a i e + a i e + a i3 e 3, i = *,, 3. Deci A = 0. Fie B matricea asociată lui f î baza caoică. Dacă v, w R 3, atuci u (v) = va * (w) = wb, < u (v), w = vaw şi <v * (w) = vb T w. De aici şi di defiiţia operatorului adjuct rezultă că B = A T, adică matricea asociată lui f * este A T. Acum este clar că f * (x, y, z) = (x, y, z)a T. Deci f * : R 3 R 3 * (x, y, z) = (x + y + z, x - y, - x + y + z). b) f * : R 3 R * (x, y, z) = (x + y + z, x - y + 3z); c) f * 3 : R R * 3 (x, y) = (x + y, x); d) f * 4 : R 4 R 4 * 4 (x, y, z, t) = (x - t, - x + y, - y + z, - z + t). 0. Se cosideră spaţiul vectorial R [X] al tuturor polioamelor, de grad cel mult, î edetermiata x, dotat cu produsul vectorial defiit la puctul a) al Exerciţiului 8. Să se determie adjuctul operatorului liiar u : R [X] R [X], u(f) = f ' - 3f, ude f ` este derivata poliomului f. R: Se ştie că o bază a spaţiului R [X] este {, x, x }. După cum am arătat deja î exerciţiul 8, o bază ortogoală a acestui spaţiu este B' = { g =, g = x, g 3 = x - /7}. 4
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare Ortoormăm această bază şi obţiem baza B = { g = 5/6, g = 05/6 x, g 3 = 05/6 (x - /7)}. Î această bază operatorul u are matricea asociată A = (a ij ) i, j =,, 3, ude u(g i ) = a i g + a i g + a i3 g 3, i =,, 3. Avem u(g ) = - 45/6, u(g ) = 05/6( - 3x), u(g 3 ) = 05/6 (- 3x + x + 3/7). Deci a = < u(g ), g ρ = - 45/6, a = < u(g ), g ρ = 0, a 3 = < u(g ), g 3 ρ = 0, a = < u(g ), g ρ = 05/8, a = < u(g ), g ρ = -35/6, a 3 = < u(g ), g 3 ρ = 0, a 3 = < u(g 3 ), g ρ = 0, a 3 = < u(g 3 ), g ρ = 05/8, a 33 = < 3/ 4 u(g 3 ), g 3 ρ = - 665/4. Obţiem A = 5/4 7 / 0 asociată operatorului adjuct u * î aceeaşi bază va fi A T. 0 / 4 47 / 0 0. Deci matricea 44 Deoarece = 6/05(7g ), x = 6/05g iar x = 6/05(/g 3 + g ), deducem că u * (ax + bx + c) = 6/05[a/g 3 + a g + b g + 7 c g ] = 6/05[a/ u * (g 3 ) + (a + 7c) u * (g ) + b u * (g ) ] = 4/7[a/(44g 3 ) + (a + 7c) (-3/4g + 7/g ) + b(-/4g + 47/g 3 )] = 665/8(a + 7b)( x - /7) -45/a - 45/6c + 05/6( a - 3b + 4c)x. Deci u * (ax + bx + c) = 665/8(a + 7b)( x - /7) - 45/a - 45/6c + 05/6( a - 3b + 4c)x.. Să se verifice dacă operatorul f : R 3 R 3 (x, y, z) = (/ x + / z, 5 6 /8x + 6 /8y - 5 6 /8 z, - 3 /9x + 5 3 /9y + 3 /9z) este ortogoal. R: Matricea asociată operatorului î baza caoică di R 3 este A = / 5 6 /8 3/ 9 0 6 /8 5 3/9. Deoarece A T = A - se deduce că îtr-adevăr operatorul / 5 6 /8 3/9 f este ortogoal (vezi Propoziţia 4.4.). 4