CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă adică X ese omogenă adică K X Observaţie Cele două condiţii po i înlocuie prin: K X Deiniţia Fie X K un spaţiu vecorial de dimensiune n : X K o uncţională liniară G { g g } g n o baă a spaţiului liniar X K Noăm ai gi i n Aunci A a a a n se numeşe vecorul aaşa uncţionalei liniare în baa G
POBLEME EZOLATE Sabiliţi dacă urmăoarele aplicaţii sun uncţionale liniare şi în ca airmaiv scrieţi vecorul aaşa uncţionalei în baa canonică a spaţiului liniar şi în baa G { g g g } a : b : eolvare: a ese uncţională liniară dacă şi Fie prin urmare ese uncţională liniară ecorul aaşa uncţionalei în baa canonică a spaţiului ese orma din coeicienţii uncţionalei : A ecorul aaşa uncţionalei în { g g g} B g g g Avem că: G ese g 8 g g 6 prin urmare B 8 6 b Fie şi Avem că:
şi prin urmare eulă că nu ese uncţională liniară Arăaţi că aplicaţia : [ X ] P P d ese o uncţională liniară şi scrieţi vecorul aaşa uncţionalei în baa canonică a spaţiului liniar [ X ] şi în baa G { g X g X X g X } eolvare: ese uncţională liniară dacă P Q P Q P Q [ X ] Avem că: P Q P Q d P d Q d P Q prin urmare ese uncţională liniară Baa canonică a spaţiului liniar [ X ] ese E { e e X e X } ecorul aaşa uncţionalei în baa E noa A ese: A e e e Avem că e d e d e d prin urmare vecorul aaşa uncţionalei
în baa canonică ese A Analog se obţine că vecorul aaşa uncţionalei în baa G ese: g g g şi va reula: B B 6 POBLEME POPUSE Să se sabilească dacă urmăoarele aplicaţii sun uncţionale liniare şi în ca airmaiv să se scrie vecorul aaşa uncţionalei în K : baa canonică şi în baa G a spaţiului liniar a : { g g g } K b : { g g g } K c : g g g 6 g 8 K G G { } G 6 d : { G g g } K : a ese uncţională liniară maricea uncţionalei în baa canonică ese A B maricea uncţionalei în baa G ese
Să se arae că aplicaţia : n [ X ] P P ese o uncţională liniară şi să se scrie vecorul aaşa uncţionalei în baa n X X G g g X g gn! n! : ecorul aaşa uncţionalei în baa G ese A!! n! Să se deermine uncţionala liniară : şiind că 6 : Se cauă de orma a b c unde a b c şi se găseşe Să se arae că aplicaţia : [ X ] P P' d ese o uncţională liniară şi să se scrie vecorul aaşa uncţionalei în baa canonică a spaţiului liniar [ X ] şi în baa { g X g X X g X X } G g
FUNCŢIONALE BILINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie X K şi K Y două spaţii vecoriale de dimensiune iniă O aplicaţie : X Y K se numeşe uncţională biliniară dacă ese liniară în rapor cu iecare argumen adică: K X Y K X Y Deiniţia Fie X K un spaţiu vecorial de dimensiune m Y K un spaţiu vecorial de dimensiune n : X Y K o uncţională biliniară E { e e e n } X K G { g g } o baă a spaţiului liniar Y K o baă a spaţiului liniar g n Noăm aij ei g j i m j n Aunci A a ij i m se j n numeşe maricea aaşaă uncţionalei biliniare în baele E şi G Modiicarea maricei unei uncţionale biliniare la schimbarea baelor în care se repreină În condiţiile deiniţiei ie A maricea aaşaă uncţionalei biliniare în baele E şi G şi B maricea aaşaă uncţionalei biliniare în baele F şi H Fie C maricea de recere de la baa E la baa F şi D maricea de recere de la baa G la baa H Aunci B C A D
POBLEME EZOLATE Se consideră aplicaţia : a Să se arae că ese o uncţională biliniară b Să se scrie maricea uncţionalei în baele canonice ale spaţiilor liniare şi c Să se scrie maricea uncţionalei în baele { } e e E şi { } g g g G eolvare: a ese uncţională biliniară dacă ese liniară în iecare argumen adică: Fie Avem că: Din şi reulă că ese uncţională biliniară
b Maricea uncţionalei în baele canonice ale ormaă din coeicienţii uncţionalei: şi ese A a ij unde a i ij ese j coeicienul lui i j Obţinem: A c Meoda I Maricea uncţionalei corespunăoare baelor E şi G ese B unde b e g Obţinem că: b ij i j ij i j e g b b e g prin urmare B Meoda II Folosim ormula de ransormare a maricei uncţionalei la schimbarea baelor: B C A D Maricea de recere de la baa canonică a spaţiului la baa E ese C iar maricea de recere de la baa canonică a spaţiului la baa G ese D eulă că B C A D Demonsraţi că : [ X ] [ X ] P Q P' Q' d ese o uncţională biliniară simerică şi scrieţi maricea uncţionalei în
baa canonică a spaţiului [ X ] şi în baa G { g X g X g X X } eolvare: Trebuie să araăm că : P Q T P T Q T P Q T [ X ] P Q T P T Q T P Q T [ X ] P Q Q P P Q [ X ] Fie Avem că: P Q T P Q' T ' d P' T ' d Q' T ' d P T Q T Analog se araă şi în concluie reulă că ese uncţională biliniară Fie P Q [ X ] Avem că: P Q P' Q' d Q' P' d ese uncţională biliniară simerică Q P prin urmare Baa canonică a lui [ X ] : E { e e X e X } Maricea lui în baa E ese A aij i j aij ei e j i j Avem că: a e e ' ' d a a a a
a d a a d a Obţinem că A Analog B bij b g g i j i j ij i j POBLEME POPUSE Să se arae că aplicaţia : ese o uncţională biliniară şi să se scrie maricea uncţionalei în baele canonice ale spaţiilor liniare şi şi în baele E { e e e } { şi } G g g : Maricea uncţionalei în baele canonice ale spaţiilor liniare şi ese: A maricea uncţionalei în baele E şi G ese B 6 Să se arae că aplicaţia : ese o uncţională biliniară şi să se scrie maricea uncţionalei în baa
canonică a spaţiului liniar şi în baa G { g g g } : Maricea uncţionalei în baa canonică a spaţiului liniar ese A maricea uncţionalei în baa G ese 6 6 B Să se demonsree că aplicaţia : [ X ] [ X ] P Q P' Q' d ese o uncţională biliniară simerică şi să se scrie maricea uncţionalei în baa canonică a spaţiului liniar [ X ] şi în baa G { g X g X X g X X g } Să se demonsree că aplicaţia : [ X ] [ X ] P Q P Q' d ese o uncţională biliniară şi să se scrie maricea uncţionalei în baa canonică a spaţiului liniar [ X ] şi în baa G { g X g X X g X X }
FUNCŢIONALE PĂTATICE BEIA TEOETIC Fie : X X K o uncţională biliniară simerică esricţia uncţiei la diagonala produsului careian X X deiniă prin diag X X { / X } se numeşe uncţională păraică epresia uncionalei păraice în puncul se noeaă sau mai simplu cu : X K Deiniţia Fie X K un spaţiu vecorial unde K { C} Deiniţia Fie : X o uncţională păraică se numeşe poiiv deiniă dacă > X se numeşe semipoiiv deiniă dacă X se numeşe negaiv deiniă dacă < X se numeşe seminegaiv deiniă dacă X se numeşe nedeiniă dacă X aî > şi < Observaţie: Maricea asociaă unei uncţionale păraice înr-o anumiă baă ese maricea asociaă uncţionalei biliniare asociae în baa respecivă Observaţie: Se spune că uncţionala păraică : X a os adusă la orma canonică dacă s-a deermina o baă G a spaţiului X penru care n λ i i unde G n i
Aducerea unei uncţionale păraice la orma canonică se poae ace prin: Meoda Jacobi : Se calculeaă K n unde i ese deerminanul orma din primele i linii şi coloane ale maricii A -maricea asociaă uncţionalei n Dacă i i n o baă a spaţiului în care uncţionala se scrie : n L n Meoda Gauss: Se cauă i n asel încâ coeicienul lui n i să ie nenul şi se grupeaă oţi ermenii ce conţin i din aceşia se ormeaă un păra ermenii rămaşi nu vor mai conţine i Se repeă procedeul anerior până la obţinerea ormei canonice Observaţie În caul în care uncţionala păraică ese degeneraă adică aij i j se alege k l asel încâ a kl şi i< j n se olosesc ransormările k k l l k l i i i n i k i l Asel uncţionala devine nedegeneraă adică i n asel încâ a ii şi poae i adusă la orma canonică prin una din meodele cunoscue
POBLEME EZOLATE Se consideră uncţionala păraică : a Să se scrie maricea uncţionalei în baa canonică a spaţiului b Să se deermine naura uncţionalei eolvare: a Maricea uncţionalei în baa canonică a spaţiului ese A a ij i j a ij unde a ij ese: coeicienul lui i daca i j coeicienul lui daca i j i j Aunci A b Penru a sabili naura uncţionalei calculăm minorii principali ai maricei A unde i ese orma din primele i linii şi coloane ale maricii A Dacă oţi i > uncţionala păraică ese poiiv deiniă Dacă i alerneaă ca semn începând cu - aunci uncţionala ese negaiv deiniă Orice ală combinaţie de semne cu i implică apul că uncţionala ese nedeiniă
deci uncţionala păraică ese nedeiniă Să se deermine a asel încâ uncţionala păraică: a : a b : a să ie : poiiv deiniă negaiv deiniă eolvare: a a a A ese poiiv deiniă > > > a ese negaiv deiniă < > < a b a a A eulă că: ese poiiv deină a
ese negaiv deiniă a Să se reducă la orma canonică uncţionalele păraice: a : b : şi să se sabilească naura acesora olosind meoda Jacobi eolvare: a Se calculeaă 8 A Deoarece i i o baă a spaţiului în care uncţionala se scrie : 8 Deoarece oţi coeicienţii uncţionalei în noua baă sun sric poiivi reulă că ese poiiv deiniă b Α prin urmare ese negaiv deiniă Să se reducă la orma canonică olosind meoda Gauss urmăoarele uncţionale păraice: a 6 : b 8 :
c : d : e 6 : 8 6 : g 6 : eolvare: a Deoarece coeicienul lui ese nenul se grupeaă ermenii care conţin variabila : 6 Se ormeaă un păra care să cuprindă oţi ermenii în care apare variabila şi se obţine: 6 Se repeă procedeul penru variabila şi se obţine: eulă că orma canonică a uncţionalei păraice ese
unde prin urmare ese nedeiniă b 8 8 6 8 6 8 8 8 8 eulă că uncţionala păraică ese nedeiniă c :
Observăm că nu eisă i asel încâ i Folosim ransormarea: 8 8 unde eulă că uncţionala ese nedeiniă d Folosim ransormarea:
6 8 8 8 Funcţionala ese nedeiniă e 6 6 6 6
6 6 6 deci uncţionala ese nedeiniă unde am noa: Să se reducă la orma canonică uncţionalele păraice olosind meoda lui Gauss şi să se găsească baa în care ese scrisă orma canonică: : eolvare: 8 6 [ ] 6
8 Deci unde sau Noăm cu E baa canonică şi cu { } g g g G baa în care ese scrisă orma canonică a uncţionalei Coordonaele vecorului în baa E sun iar coordonaele vecorului în baa G sun Avem că: G E C unde C ese maricea de recere de la baa E la baa G
Din relaţia scrisă mai sus reulă că: C om olosi meoda Gauss-Jordan penru a obţine maricea C ale cărei coloane sun chiar vecorii baei G C I - -/ / - -/ - -/ / / / -/ / / / / I C Obţinem C deci baa în care ese scrisă orma canonică ese: G g g g
POBLEME POPUSE Se consideră uncţionala păraică : Scrieţi maricea uncţionalei în baa canonică a spaţiului şi sabiliţi naura uncţionalei : A uncţionala păraică ese nedeiniă Să se deermine a asel încâ uncţionala păraică: : a să ie poiiv deiniă : a Să se deermine a asel încâ uncţionala păraică: : a a să ie nedeiniă : a Să se deermine a asel încâ uncţionala păraică: : a a să ie negaiv deiniă : 8 6 8 6 a
Să se reducă la orma canonică urmăoarele uncţionale păraice: a : b : c : d : şi să se sabilească naura acesora olosind meoda Jacobi : a 6 uncţională poiiv deiniă b uncţională nedeiniă c uncţională negaiv deiniă d uncţională poiiv deiniă 6 Să se reducă la orma canonică urmăoarele uncţionale păraice prin meoda Gauss să se preciee naura uncţionalelor şi să se găsească baa în care ese scrisă orma canonică: a : b : c : d : 6 e : : a unde baa ese G { g g g }
b unde baa ese G { g g g } c unde baa ese G { g g g }