Uniaea e înăţare nr. 3 DINAMICA Cuprins Pagina Obieciele uniăţii e înăţare nr. 3 4 3. Principiul relaiiaii in mecanica clasica 4 3. Formalismul lui Newon 43 3.3 Formalismul lui agrange 46 3.4 Formalismul lui Hamilon 53 ucrare e erificare uniaea e înăţare nr. 3 58 Răspunsuri şi comenarii la înrebările in esele e auoealuare 59 Bibliografie uniaea e înăţare nr. 3 6 Fizica Curs şi aplicaţii 4
OBIECTIVEE uniăţii e înăţare nr. 3 Principalele obiecie ale Uniăţii e înăţare nr. sun: Familiarizarea cu problema mecanicii clasice; Familiarizarea cu principiile lui Newon, cu principiul minimei aciuni, cu formalismul agrange si cu cel al lui Hamilon penru eerminarea sarii mecanice in iior, aica penru rezolarea problemei aminie; Aplicarea acesor meoe in rezolarea e probleme. 3. Principiul relaiiaii in mecanica clasica Problema pe care mecanica o rezola se enuna asfel: aca se cunosc ineraciunile (forele) pe care un sisem mecanic le are cu meiul exerior, sa se eermine cinemaica sa, aica sa se afle legea e miscare cu ajuorul careia puem preeea poziia si ieza in iior. Uneori problema se pune iners: cunoscan legea e miscare sa se afle ineraciunile. Prima aa aceasa problema a fos rezolaa e care Newon. Cele paru principii pe care le-a pus la baza eoriei sale au permis aniciparea miscarii sisemelor mecanice. Foare imporan ese principiul funamenal care posuleaza relaia inre fora si acceleraie: F( r,, ) ma (3..) Faa e siseme e referina iferie aceasa lege nu are o forma aa e simpla. Exisa o caegorie e siseme e referina in care spaiul ese omogen (are aceleasi proprieai in oae puncele sale) si izorop (are aceleasi proprieai in oae ireciile), iar impul ese uniform (oae momenele sun echialene). Acesa ese spaiul mecanicii clasice, eucliian si riimensional, un caru care conine subsana si raiaia fara a ineraciona cu ele. Timpul ese uniimensional si oriena inspre recu spre iior, fara a fi, nici el, influena e maerie. Sisemele e referina menionae, in care legile mecanicii au cea mai simpla forma, se numesc siseme e referina ineriale (SRI). Exisa si siseme e referina in care spaiul ese neomogen si anizorop, impul ese neuniform iar legile mecanicii au forme complicae: acesea se numesc siseme e referina neineriale (SRN). In cele ce urmeaza le om prefera pe cele ineriale. Din fapul ca spaiul ese omogen si izorop iar impul ese uniform rezula ca penru un punc maerial liber (asupra caruia nu acioneaza nici o fora) miscarea se face cu ieza consana (ese recilinie si uniforma) in rapor cu un SRI. Acesa ese principiul ineriei al lui Galilei. Daca luam in consierare un al sisem e referina care, faa e primul are o miscare e ranslaie uniforma, principiul ineriei ramane alabil, chiar aca ieza relaia a puncului maerial ese ala: eci al oilea sisem e referina ese o inerial. Asfel, exisa o infiniae e siseme e referina care au o miscare e ranslaie uniforma unele relai la alele. Spaiul ese omogen si izorop iar impul ese uniform, legile mecanicii aan aceeasi forma, cea mai simpla. Acesa ese principiul relaiiaii in mecanica clasica. 4 Fizică Curs şi aplicaţii
El a fos exins e care Einsein la oae legile fizicii. Asa cum am azu in capiolul al oilea poziiile unui mobil faa e oua siseme e referina ineriale se po corela prin relaia: r r ' + r r ' + V (3..) Daca se consiera si principiul impului absolu (impul curge la fel in cele oua siseme e referina): (3..3) impreuna cu relaia 3.. aem ransformarile lui Galilei care leaga cooronaele unui eenimen (r,) faa e un referenial e cooronaele aceluiasi eenimen faa e celalal referenial (r, ). Pricipiul relaiiaii se poae enuna si asfel: legile mecanicii nu-si schimba forma in urma ransformarilor lui Galilei. 3. Formalismul lui Newon Penru a puea anicipa poziia si ieza unui sisem mecanic, Newon a formula paru principii (Mahemaical Principles of Naural Philosophy, 685): - Orice punc maerial isi pasreaza sarea e repaus, sau e miscare recilinie uniforma, aaa imp ca nu inerin fore in exerior (principiul ineriei); - Variaia impulsului ese proporionala cu fora aplicaa si are irecia si sensul forei (principiul funamenal): p F (3..) Aceasa relaie eine: F m a, aca masa nu se moifica. - Penru fiecare aciune exisa o reaciune egala si e sens opus (principiul aciunilor reciproce); - Daca asupra unui punc maerial acioneaza simulan mai mule fore, fiecare ii imprima propria acceleraie, inepenen e prezena celorlale fore, acceleraia puncului maerial fiin egala cu suma ecoriala a acceleraiilor inepenene (principiul suprapunerii forelor). Vom exemplifica moul in care Newon eermina ieza si legea e miscare a unui sisem mecanic, in coniiile in care cunoasem forele care acioneaza asupra lui, rezolan urmaoarea problema: consieram o naa propulsaa e o fora orizonala consana F, care inampina o rezisena la inainare proporionala cu paraul iezei: R -a, une semnul minus inica fapul ca fora se opune iezei, iar a ese o consana. Trebuie sa aflam cum epine poaziia naei e imp si cum epine ieza ei e imp, in ipoeza unei miscari recilinii. Pe ericala, greuaea si fora lui Arhimee isi fac echilibru (suma lor ese zero). Meoa lui Newon pornese e la principiul funamenal: Fizica Curs şi aplicaţii 43
m F a (3..) Dinamica Imparim la masa m relaia anerioara si noam F/m b si a/f c. Ecuaia e miscare eine: (3..3) b( c Aceasa ese o ecuaie ifereniala cu oua ariabile, ieza si impul, pe care le separam: Acum puem sa inegram ecuaia: c Prima inegrala se calculeaza apelan la un arificiu: ) b (3..4) b (3..5) c + c c + c c + c + c b : (3..6) Vom calcula prima inegrala in paraneza facan subsiuia - c u. Difereniin-o, obinem: -c u, aica -u/c. Inegrala eine: u u u u c lnu ln ln (3..7) c c u c u u c u c c In mo analog, a oua inegrala eine: u u u u lnu ln ln c c u c u + c u c u + Aunan cele oua inegrale obinem: c c + + + c c + c c ln c c + c c b Daca naa pleaca in repaus (, la ), rezulaul pe care il obinem a fi: + c ln b c c De aici exragem ieza naei ca funcie e imp: (3..8) (3..9) (3..) 44 Fizică Curs şi aplicaţii
+ c c e cb e c e cb cb e + c e cb cb e + e cb cb c sinh cosh Dinamica cb anh cb cb c (3..) Am inrous funciile hiperbolice: sinh x (e x e -x ) /, cosh x (e x + e -x ) / si anh x (e x e -x ) / (e x + e -x ). Graficul iezei in funcie e imp (Figura 3..) ese graficul funciei angena hiperbolica aan ca argumen prousul cb: Figura 3.. Reprezenarea grafica a legii iezei Obseram ca aunci can impul, ieza ine spre aloarea limia: Fizica Curs şi aplicaţii c F a lim, (3..) eoarece angena hiperbolica se apropie asimpoic e aloarea can argumenul ine la infini. Deci, in final naa se eplaseaza cu o ieza consana, ieza limia, pe care o ainge can fora e rezisena, al carei moul crese cu ieza, eine egala cu fora e propulsie, F, acceleraia anulanu-se: F a lim. Urmaorul obieci ese sa aflam cum epine cooronaa e imp. Aceasa se obine inegran legea iezei: x anh cb x c c anh cb x x anh cb c (3..3) x Ca si prima aa, am separa ariabilele si acum rebuie sa calculam cele oua inegrale obinan rezulaul: cosh cb x x ln cosh cb ln ln cosh cb (3..4) cosh cb 45
In expresia 3..4 a legii e miscare am consiera. Cu acese rezulae: 3.. si 3..4, puem calcula poziia si ieza naei la orice momen e imp. 3.3 Formalismul lui agrange Problema mecanicii poae fi rezolaa mai elegan cu ajuorul principiului minimei aciuni, enuna e Hamilon. Acesa ofera o formulare a mecanicii clasice mul mai flexibila si mai puernica eca cea a lui Newon, care s-a oei uila si in eoria relaiiaii, in eoria cuanica a campurilor si in eoria pariculelor elemenare. Aces principiu ese echialen celor paru principii ale lui Newon si se enuna asfel: Orice sisem mecanic ese caraceriza e o funcie bine eerminaa e coorinae (), ieze ( ) si eenual e imp, numia funcia lui agrange, sau lagrangeianul sisemului: (,, ). Daca la momenele si sisemul ocupa poziiile cunoscue () si respeci (), inre acese oua poziii sisemul se misca asfel inca inegrala: S[ ] (,, ), (3.3.) numia aciune, ia o aloare exrema (uneori minima). Figura 3.3. Traiecoria reala si o raiecorie iruala a unui corp lansa in camp graiaional 46 Fizică Curs şi aplicaţii
In Figura 3.3. am reprezena cu o linie plina parabolica raiecoria reala a unei mingi e baske lansaa e un spori in camp graiaional. Daca om calcula inegrala aciunii pe aceasa raiecorie si pe o ala raiecorie, esenaa cu linie puncaa si numia raiecorie iruala, om obine o aloare minima pe raiecoria reala iniferen e forma raiecoriei iruale. In opica exisa un principiu asemanaor, numi principiul lui Ferma: Traiecoria reala a razei e lumina reprezina o exremala a rumului opic : B ns saionar (3.3.) A In aceasa expresie n c / (c ese ieza luminii in i, iar ese ieza luminii in meiul respeci) se numese inice e refracie al meiului iar s reprezina elemenul infiniezimal e raiecorie. Deoarece prousul ns (c / )s c (s / ) c, principiul se mai enuna ca o coniie ca impul in care lumina se propaga inre oua punce ale unui meiu opic ransparen sa fie exrem (in paricular minim). Puem euce in coniia ca impul sa fie exrem, legea lui Snell referioare la fenomenul e refracie a luminii: Figura 3.3. Traiecoria reala (ANB) si raiecorii iruale ale unei raze e lumina care se propaga e la A la B inersecan suprafaa plana e separaie inree oua meii opic ransparene cu inicii e refracie n si respeci n In Figura 3.3. lumina se propaga e la A la B pe raiecoria (ANB) pe care impul e parcurgere ese un exrem. Traiecoria (AB) implica un rum mai lung prin meiul cu inicele e refracie n (une ieza ese mai mare) si mai scur prin meiul al oilea une ieza luminii ese mai mica. Traiecoriile (ACB) sau (ADB) implica rumuri mai lungi prin meiul al oilea une ieza ese mai mica si rumuri mai scure prin meiul une ieza ese mai mare. Traiecoria pe care impul ese minim (ANB) ese un compromis inre cele oua. Coniia e exrem conuce la relaia: n sin i n sin r, numia legea lui Snell. Cele oua Fizica Curs şi aplicaţii 47
48 Fizică Curs şi aplicaţii Dinamica unghiuri: i unghiul e inciena si r unghiul e refracie sun efinie in figura 3.3. cu ajuorul normalei la suprafaa e separae inre cele oua meii (linia inrerupa). Richar Feynman, parinele elecroinamicii cuanice, ne asigura ca foonii parcurg oae raiecoriile posibile inre puncele A si B, ar conribuia ecisia la rezulaul final proine e la raiecoriile penru care impul ese exrem, celelale raiecorii anulanu-si reciproc conribuiile. Inorcanu-ne la mecanica, se pune problema moului in care consruim funcia agrange penru iferiele siseme mecanice. Din consierene e omogeniae si izoropie a spaiului si e uniformiae a impului puem euce ca penru un punc maerial izola (in absena forelor) funcia agrange are expresia: m (3.3.3) aica ese egala cu energia cineica a pariculei. Daca aem mai mule punce maeriale care nu ineracioneaza cu nimeni, funcia agrange rebuie sa fie aiia, aica in ecuaiile e miscare ale unei paricule sa nu apara marimi referioare la paricule cu care aceasa nu ineracioneaza: N m i i (3.3.4) i Daca aem un sisem izola e punce maeriale, care ineracioneaza inre ele, ar nu si cu meiul exerior, in funcia agrange anerioara a aparea un ermen suplimenar care escrie ineraciunea inre paricule si care epine oar e poziiile acesora: N mii U ( r, r,...) (3.3.5) i Aces ermen, U ( r, r,...), se numese energia poeniala e ineraciune. In cazul in care sisemul mecanic se misca inr-un camp e fore exerioare prouse e un al sisem a carui miscare se cunoase (e exemplu Pamanul se misca in campul graiaional prous e Soare) funcia agrange are expresia: N mi i U ( r, r,..., ) (3.3.6) i Aceasa expresie ifera e 3.3.5 prin fapul ca, acum, energia poeniala ar puea epine si e imp. In cazul in care forele prouse e al oilea sisem nu epen e imp, aces lucru nu se inampla. In cazul mingii aruncae in Figura 3.3. funcia agrange are expresia: m mgy Principiul minimei aciuni, fapul ca inegrala aciunii are un exrem pe raiecoria reala, conuce la nise ecuaii care, prin inegrare, permi aflarea epenenei e imp a poziiei si a iezei. Acese ecuaii se numesc ecuaiile Euler-agrange si le om euce in cele ce urmeaza. a incepu,insa, om iscua espre cooronaele, iezele si acceleraiile generalizae. Asa cum am azu, poziia unui punc maerial liber ese efinia cu ajuorul a rei coorinae (x, y, z) inr-un sisem carezian e cooronae. Daca folosim cooronaele sferice, (x, y, z) sun inlocuie e (r, θ, φ) o isana si oua unghiuri (laiuinea si longiuinea) sau, aca folosim cooronaele cilinrice, e (ρ, φ, z) oua isane si un unghi (Figura 3.3.3):
Figura 3.3.3 Specificarea poziiei puncului maerial A in cooronae careziene (x,y,z), in cooronae sferice (r, θ, φ) si in cooronae cilinrice (ρ, φ, z). Spunem ca puncul maerial liber are rei grae e liberae (numarul paramerilor inepeneni cu care specificam unioc poziia puncului). In general un sisem alcaui in mai mule punce maeriale libere (N) ar aea 3N grae e liberae. Daca ese supus unor legauri (fire, ije, consrangeri) care limieaza posibiliaile e miscare ale sisemului, numarul graelor e liberae se micsoreaza corespunzaor: e exemplu, un inel, obliga sa culiseze pe o ija fixa, are un singur gra e liberae. In concluzie, puem specifica unioc poziia unui sisem mecanic cu ajuorul cooronaelor careziene, sferice, cilinrice sau cu orice ale cooronae alcauie in unghiuri si isane inenae e noi. Ese imporan penru un sisem a ca numarul lor sa fie acelasi: numarul graelor e liberae ale sisemului respeci. Prin efiniie cooronaele generalizae ale unui sisem cu s grae e liberae sun cei s parameri oarecare,,..., s care specifica unioc poziia sisemului. Deriaele la imp ale cooronaelor se numesc ieze generalizae: i, i,,..., s. Deriaele la imp ale iezelor se numesc acceleraii generalizae: i, i,,..., s. Vom consiera un sisem cu un gra e liberae, s, a carui poziie a fi precizaa e o singura cooronaa,, si care a aea o singura ieza generalizaa,. Inr-un spaiu ale carui axe sun cooronaele generalizae, numi spaiul configuraiilor, un punc reprezina poziia unui sisem la un momen a, iar o curba ese raiecoria lui. Si aici aem o raiecorie reala si raiecorii iruale (Figura 3.3.4). Vom noa () legea e miscare pe raiecoria reala si cu ( ) ( ) + εη( ) cea corespunzaoare unei raiecorii iruale. ε ese un parameru pozii mic, iar η() o funcie coninua impreuna cu eriaa ei e orinul inai, care saisface coniiile la capee: η( ) η( ). Prousul εη() exprima iferena inre cele oua raiecorii, iar la capee, une curbele coinci, se anuleaza. Aciunea pe raiecoria iruala eine o funcie e paramerul ε: Fizica Curs şi aplicaţii 49
5 Fizică Curs şi aplicaţii + + ),, ( ),, ( ) ( S η ε εη ε (3.3.7) Figura 3.3.4 Traiecoria reala si raiecorii iruale in spaiul configuraiilor. Coniia ca aciunea sa aiba un exrem pe raiecoria iruala, conuce la ecuaia e miscare: + + + + S ε ε ε ε ε ε η η η η η η η η η ε ε (3.3.8) Deoarece η() ese o funcie arbirara, in acor cu eorema funamenala a calculului ariaional, anularea inegralei implica anularea paranezei in inegrala, aica: (3.3.9) Aceasa ese ecuaia lui agrange. Inegrarea ei permie aflarea funciei () si eci puem si poziia sisemului in iior. Primul ermen ese fora generalizaa iar al oilea reprezina eriaa la imp a impulsului generaliza. Consanele e inegrare se eermina aca sim poziia si ieza sisemului la un momen a. Daca sisemul are mai mule grae e liberae,
s >, poziia a fi specificaa e mai mule cooronae generalizae, i (), i,,.., s. Vom aea s ecuaii Euler-agrange: (3.3.) i i Vom aplica meoa lui agrange in rezolarea problemei lui Kepler: sa se eermine miscarea unei paricule in camp e fore exerioare in care energia poeniala U epine oar e isana r la un punc fix numi cenrul campului. Spunem ca aem un camp e fore cenrale si U U(r), iar fora ese aa e : F r U r U r r r (3.3.) In problema lui Kepler ese orba espre aracia graiaionala uniersala: U iar fora e aracie are expresia: F Mm K r α r, (3.3.) Mm r K r r (3.3.3) Momenul acesei fore in rapor cu cenrul campului ese nul (fora ese aniparalela cu raza ecoare). Consecina ese ca momenul cineic al puncului maerial se consera si eci raiecoria ese plana. Ne alegem axele in planul miscarii (care conine raza ecoare plecaa in cenrul campului si ieza pariculei). Miscarea fiin plana, sisemul are oua grae e liberae si ese porii sa alegem cooronaele generalizae r si θ, cooronaele polare (Figura 3.3.5): Figura 3.3.5 Planul miscarii si cooronaele polare r si θ. Funcia agrange a aea expresia: Fizica Curs şi aplicaţii 5
m U m α + r (3.3.4) Vom exprima ieza careziana cu ajuorul iezelor generalizae: r si θ. x + y x + y x ( r cosθ ) + ( r sinθ ) [ r cosθ r θ sinθ ] + [ r sinθ + r θ cosθ ] r + r θ Dinamica (3.3.5) Funcia agrange eine: iar ecuaiile Euler-agrange: ein: m r θ ( r + r ) α θ + r (3.3.6) r r θ Inegran a oua ecuaie obinem:, r θ α mr ( mr θ ) mr θ M consan (3.3.7) (3.3.8), (3.3.9) aica expresia momenului cineic M M z mr sin α, une α ese unghiul inre raza ecoare si ieza, exprimaa in cooronae polare. Daca eliminam impul in cele oua ecuaii 3.3.8 obinem ecuaia raiecoriei, r r(θ): r p ( + ecosθ )) (3.3.) Geomeria analiica ne inaa ca eceasa ese ecuaia unei seciuni conice (Figura 3.3.6): - hiperbola, aca e >, - parabola, aca e, - elipsa, aca < e <, - cercul, aca e. Consanele e si p se numesc excenriciaea orbiei, respeci paramerul ei: 5 Fizică Curs şi aplicaţii
EM iar e + mα p (3.3.) M mα In acese expresii, E ese energia puncului maerial, iar M momenul cineic. Figura 3.3.6 Traiecorii posibile in camp graiaional (seciuni conice). Kepler a escoperi, prin obseraii asronomice, legile care ii poara numele si care au fos euse apoi e care Newon pe baza analizei prezenae mai sus: - Planeele se misca pe raiecorii elipice, aan Soarele inr-unul in focare; - Raza ecoare maura arii egale in inerale e imp egale; - Paraul perioaei e reoluie in jurul Soarelui ese proporional cu semiaxa mare a elipsei la cub. 3.4 Formalismul lui Hamilon Sarea mecanica a unui sisem ese efinia prin poziie (cooronaele generalizae) si prin ieza (iezele generalizae). Cunoaserea sarii mecanice la un momen a ese necesara penru a afla consanele e inegrare in soluiile ecuaiilor Euler-agrange, scopul fiin aflarea sarii mecanice la un momen ulerior. Uneori ese mai como sa escriem sarea mecanica cu ajuorul cooronaelor generalizae si al impulsurilor generalizae. In formalismul Hamilonian se face o schimbare e ariabila e la ieze la impulsuri. Consecina Fizica Curs şi aplicaţii 53
ese ca funcia agrange, (,, ) H (, p, ) 54 Fizică Curs şi aplicaţii Dinamica, a fi inlocuia e funcia Hamilon, iar ecuaiile Euler-agrange or fi inlocuie e ecuaiile lui Hamilon, numie ecuaiile canonice. In maemaica aceasa schimbare a ariabilelor inepenene se numese ransformare egenre. Vom scrie ifereniala funciei agrange upa coorinae si ieze: s [ i + i ] (3.4.) i i i Deriaele funciei agrange in rapor cu iezele se numesc impulsuri generalizae: i i Ecuaiile Euler-agrange se po rescrie: p (3.4.) i i (3.4.3) i i i Cu noaiile 3.4. si 3.4.3 ifereniala funciei agrange eine: s [ p ii + pi i ] (3.4.4) i Al oilea ermen poae fi exprima (folosin formula e eriare a unui prous): pi i ( pi i ) ipi (3.4.5) Inlocuim in 3.4.4 : s [ p ii + ( pi i ) ipi ] (3.4.6) i Al oilea ermen in membrul rep se rece in membrul sang si oaa ecuaia se inmulese cu -: s s pi i [ p ii + ipi ] (3.4.7) i i Caniaea e sub semnul ifereniala in menbrul sang se numese funcia lui Hamilon si reprezina energia sisemului: s H ( p, ) p p p, (3.4.8) i i i Difereniala ei se poae exprima sub forma: s H H s H i + pi [ p ii + ipi ] (3.4.9) i i pi i Egalan coeficienii lui i si p i obinem ecuaiile canonice: H i si pi H p i, i,,.,s (3.4.) i
Ele formeaza un sisem e s ecuaii ifereniale e orinal inai. Prin inegrarea lor eucem funciile () si p p(). Consanele e inegrare se afla aca se au coniiile iniiale: si p la un momen a. Vom exemplifica aplican aces formalism in problema oscilaorului liniar armonic (Figura 3.4.): Fizica Curs şi aplicaţii Figura 3.4. Oscilaorul liniar armonic Sabilim ca sisemul mecanic, corpul e masa m in figura, are un singur gra e liberae: se misca pe axa Ox. Poziia lui a fi escrisa e cooronaa x, iar impulsul a fi p m m x/. Funcia lui Hamilon, energia are expresia: H T + U p /m + kx /. Am exprima energia cineica T m / p /m cu ajuorul impulsului p, asa cum cere formalismul Hamilon. De asemenea energia poeniala a unui arc eforma ese kx /. Ecuaiile canonice ein: H p x p m H p kx x (3.4.) Penru a rezola sisemul e ecuaii mai eriam la imp o aa prima ecuaie si inlocuim in a oua: k mx + kx x + x x + ω x m, (3.4.) une am noa cu ω raporul k / m. Ulima expresie se numese ecuaia oscilaorului liniar armonic. Funciile care, upa ce au fos eriae e oua ori si auna cu ele insele, ne au rezulaul zero, sun funciile armonice, sinus si cosinus. Inr-aear, soluiile acesei ecuaii sun sin ω si cos ω, si eci si o combinaie liniara a lor: x a sin ω + b cosω (3.4.3) 55
une a si b sun oua consane e inegrare.daca noam a a + b mai simpla: cosϕ Dinamica a b si A +, iar sinϕ, expresia 3.4.3 capaa o forma a b + b ( ω +ϕ) x Asin (3.4.4) In care A ese ampliuinea oscilaiilor, ω ese frecena unghiulara, φ ese faza iniiala, iar ω+φ ese faza oscilaiilor. Deriaa la imp a soluiei 3.4.4 ne ofera legea iezei: x ω Acos( ω + ϕ) (3.4.5) Penru a eermina consanele e inegrare rebuie sa cunoasem poziia si impulsul sau ieza la momenul zero. Sa ne imaginam ca miscarea a incepu asfel: am ras corpul lega e resor spre reapa pana in poziia x > si l-am elibera in repaus, eci. Ecuaiile 3.4.4 si 3.4.5 ein: x Asinϕ ωacosϕ (3.4.6) Din a oua ecuaie euce cos φ, eci φ ±π/. Deoarece in prima ecuaie x ese pozii, alegem semnul plus, iar prima ecuaie 3.4.6 ne a aloarea ampliuinii: A x. Acum puem prezena rezulaul final: x x x sin k m k m cos π + k π + m cu ajuorul caruia puem eermina sarea mecanica in iior. (3.4.7) 56 Fizică Curs şi aplicaţii
De reţinu! egile mecanicii au cea mai simpla forma in sisemele e referina ineriale. Scopul mecanicii ese acela e a eermina poziia si ieza unui sisem mecanic la iferie momene e imp. Penru aceasa: - Newon scrie o ecuaie care leaga acceleraia sisemului e fora rezulana care acioneaza asupra lui. Fora epine e poziie, e ieza si eenual, e imp. Inegran aceasa ecuaie se afla legea iezei si legea e miscare. Consanele e inegrare se eermina cunoscan sarea mecanica la un momen a. - agrange conine un se e ecuaii eriae in principiul minimei aciuni. Penru a le rezola se consruiese mai inai funcia agrange ca iferena inre energia cineica si energia poeniala. Apoi se inegreaza sisemul aflan legea e miscare si legea iezei. - Hamilon consruiese funcia care-i poara numele ca suma inre energia cineica si poeniala, exprimae cu ajuorul cooronaelor si impulsurilor. Apoi inrouce aceasa funcie in ecuaiile canonice, le inegreaza si afla legile e miscare si legile iezei. Tes e auoealuare.. De aanul unui auomobil in miscare acceleraa cu a 4. m/s ese suspena cu ajuorul unui fir, inexensibil si usor, o bila cu masa e, kg. Deerminai unghiul cu care eiaza firul faa e ericala si ensiunea in fir.. Se ă sisemul e corpuri in figura, compus inr-o prismă care are unghiul α, înălţimea h şi gre uaea G, care se mişcă pe un plan orizonal şi un corp e greuae P, care se mişcă pe prismă. Neglijân frecările se cere să se afle legea e mişcare a sisemului ( acceleraţiile ). Fizica Curs şi aplicaţii 57
3. Funcţia lui Hamilon penru o paricul ǎ ese H ap +bx +cx, une x ese cooronaa, p impulsul, iar a, b, c sun consane poziie. Sǎ se afle legea e mişcare a pariculei şi raiecoria puncului figurai în spaţiul fazelor. ucrare e erificare la Uniaea e înăţare nr.. In cazul oscilaorului armonic liniar sa se emonsreze ca formalismele agrange si Hamilon conuc la aceleasi ecuaii e miscare.. Un punc maerial se misca in plan upa ecuaiile x A cos (π/) si y B sin (π/). Care ese raiecoria puncului maerial? Care sun componenele ecorului ieza, moulul sau, componenele ecorului acceleraie si moulul sau? 58 Fizică Curs şi aplicaţii
Răspunsuri şi comenarii la înrebările in esele e auoealuare.soluie: In figura am reprezena sisemul analiza (bila) si forele care acioneaza asupra ei: greuaea mg si ensiunea T in fir. Sisemul e referina in care priim se afla pe marginea rumului, in repaus, acceleraia camionului faa e acesa fiin a. Alegan axa Ox orizonala, spre reapa si axa Oy ericala in sus, proieciiile relaiei ecoriale: ma T + mg pe cele oua axe sun: Ox: ma T sin α, Oy: T cos α mg. Rezolan sisemul e ecuaii aflam : a g g α, si T m a +g. Calculul numeric ne ofera alorile: α si T. N. Am aproxima g m/s..soluie: Problema are ouă grae e liberae. Se aleg rep cooronae generalizae paramerii liniari şi ( fig. ). Energia cineică a sisemului ese G P E + p. Penru eerminarea iezei a) g g p se po folosi ouă meoe: p x p + y p x p cosα ; y p h sinα ; e une: x p cosα ; y p sinα ; eci: p cosα +. Energia cineică ese: Fizica Curs şi aplicaţii 59
E c G g P + ( + cosα). g Energia poenial graiaional ese: h U m gyk G P( h sinα), 3 k si funcia agrange eine: G P h Ec U + ( + cosα) + G + P( h g g 3 Ecuaiile lui Euler-agrange sun: si Calculan eriaele gasim: G P P + cosα g g g P ( cosα) sinα P g Rezolan sisemul, obinem: Psin α a g, ( G + Psin α) ( P + G)sinα a g. G + Psin α sin α ) 3.Soluie: Ecuaiile canonice sun: H H x ap ; p bx c. Deriam prima ecuaie la imp p x si inem con e a oua: x + 4abx ac. Soluia ecuaiei omogene ese: x Asin( ab + ϕ) iar penru ecuaia neomogena cauam o soluie Asin( ab + ϕ ) + α e forma: x si inlocuin in ecuaie gasim αc/b. Deci Soluia generala a fi: x Asin( ab + ϕ ). Impulsul c b x b a fi: p A cos( ab + ϕ). Daca eliminam impul in ulimele a a oua expresii gasim ecuaia unei elipse: 6 Fizică Curs şi aplicaţii
c b x + A p + a b a Dinamica, care reprezina raiecoria in spaial ale carui axe sun cooronaele si impulsurile, numi spaial fazelor. Recapiulare Problema mecanicii clasice consa in eerminarea poziiei si a iezei (impulsului) unui sisem mecanic plecan e la cunoaserea sarii lui mecanice la un momen a si e la cunoaserea ineraciunilor sale cu exeriorul. Aceasa problema ese rezolaa in formalismele Newon, agrange, Hamilon. In formalismul lui Newon se sabilesc ineraciunile inre sisem si meiul exern, se scrie legea a oua R ma, une R ese rezulana forelor exerne, si upa aflarea acceleraiei, prin inegrare se afla legea iezei si legea e miscare. In rezolarea problemei in formalismele agrange si Hamilon se parcurg urmaoarele eape: În primul rân, se scriu energiile cineică şi poenţială ale sisemului în funcţie e ( cooronaele careziene ) ale puncelor maeriale: N m x y z T i i + i + i si U U ( x y z ) i, i, i, (a) i În al oilea rân, se scriu ecuaţiile e legăură: f n (x i, y i, z i ), une n,, 3,...m. Numarul graelor e liberae ese s 3N m. În al reilea rân, se aleg cele s cooronae generalizae şi se exprimă cooronaele careziene în funcţie e acesea: x i x i ( i ), y i y i ( i ), z i z i ( i ) (b) şi se calculează iezele: x i x i ( i, i ), y i y i ( i, i ), z i z i ( i, i ) (c) În al parulea rân, se subsiuie (b) şi (c) în (a) penru a se obţine expresiile în formalism agrange ale energiei cineice şi poenţiale: T T (, ) si U U (, ) si se scrie expresia funciei agrange in ermeni e cooronae si ieze generalizae: (,, ) T U. Dacă problema se rezolă în formalismul agrange, se scriu ecuaţiile agrange:, care prin inegrare conuc la aflarea i i cooronaelor si a eriaelor lor la imp,, ca funcii e imp. Dacă se urmăreşe rezolarea problemei în formalismul Hamilon, upă scrierea funcţiei agrange urmează un al cincilea pas care consă în găsirea expresiilor impulsurilor generalizae: Fizica Curs şi aplicaţii 6
Dinamica pi şi apoi se exprimă iezele generalizae în funcţie e i acesea: i i ( i, pi ), care se subsiuie in energia cineica si se poae scrie funcia lui Hamilon: H (, p) T (, p) U (, ). Urmeaza ecuaiile lui Hamilon: H H i si p i, care,prin inegrare, conuc la aflarea pi i cooronaelor si a impulsurilor p ca funcii e imp. Concluzii Daca cinemaica suiaza miscarea fara a consiera cauzele ei, inamica ne inaa cum sa eerminam marimile cinemaice pornin e la ineraciunile sisemului cu meiul exerior. Cunoaserea acesor funcii ne permie sa anicipam miscarea sisemului mecanic suia: e exemplu, ne puem planifica marsul spre o anumia esinaie, ec. Bibliografie - Serway/Jewe, Physics for scieniss an engineers, Seenh Eiion, E.Brooks/Cole; - anau si ifsis, Mecanica, E. Tehnica, 966; - Arnol, Meoele maemaice ale mecanicii clasice, E. Siinifica si Enciclopeica; - 6 Fizică Curs şi aplicaţii