Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι άνω ϕράγµα του B. ϐ) Για κάθε ε > 0 υπάρχει x B µε x > 5 ε. α) Για κάθε x B ισχύει x < 5 (άρα x 5), συνεπώς ο αριθµός 5 είναι άνω ϕράγµα του B. ϐ) Εστω ε > 0. Εφόσον 5 ε < 5, από την πυκνότητα των ϱητών στους πραγµατικούς υπάρχει x Q µε 5 ε < x < 5. Ετσι, εφόσον x Q και x < 5, ϑα έχουµε x B, ενώ από την επιλογή του x ισχύει x > 5 ε. Εποµένως sup B = 5. Θέµα (,5 µονάδα) Να δείξετε πως αν η συνάρτηση f : R R είναι συνεχής στο σηµείο a, τότε για κάθε ακολουθία (x n ) n N µε lim x n = a ισχύει lim f(x n) = f(a). Απάντηση : Εστω (x n ) n N ακολουθία πραγµατικών µε lim x n = a. Θα δείξουµε ότι lim f(x n ) = f(a). Εστω ε > 0. Εφόσον η f είναι συνεχής στο a, υπάρχει δ > 0 ώστε για κάθε x R µε x a < δ να ισχύει f(x) f(a) < ε. Αφού lim x n = a υπάρχει n 0 N ώστε για κάθε n N µε n n 0 να ισχύει x n a < δ. Ετσι, για κάθε n N µε n n 0, (εφόσον x n a < δ) ϑα έχουµε f(x n ) f(a) < ε. Εποµένως lim f(x n ) = f(a). Θέµα 3 ( µονάδα) Να δοθεί ο ορισµός της αντίστροφης τριγωνοµετρικής συνάρτησης arcsin x και να υπολογιστεί η παράγωγός της. Απάντηση : Ονοµάζουµε f τον περιορισµό της συνάρτησης sin στο [ π, π ]. Ετσι f : [ π, π ] R µε f(x) = sin x. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη µε f (x) = cos x. Παρατηρούµε ότι για κάθε x ( π, π) έχουµε f (x) = cos x > 0. Συνεπώς η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [ π, π] (άρα -) συνεπώς είναι αντιστρέψιµη. Παρατηρούµε ότι f([ π, π ]) = [, ]. Η συνάρτηση arcsin ορίζεται να είναι η αντίστροφη της f, δηλαδή arcsin = f : [, ] [ π, π ]. Για κάθε y 0 (, ) είναι y 0 = f(x 0 ) = sin x 0 για κάποιο x 0 ( π, π ). Επίσης f (x 0 ) = cos x 0 = sin x 0 (διότι cos x 0 > 0
εφόσον x 0 ( π, π )). Ετσι, από το ϑεώρηµα παραγώγισης αντίστροφης συνάρτησης προκύπτει ότι (arcsin) (y 0 ) = (f ) (y 0 ) = f (x 0 ) = cos x 0 = sin x 0 = y 0. Στο σηµείο = f( π ) και στο = f(π ) η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιµη (πάλι σύµφωνα µε το ϑεώρηµα παραγώγισης αντίστροφης συνάρτησης), διότι f ( π ) = 0 και f ( π ) = 0. Θέµα 4 (,5 µονάδα) ίνεται ένα σηµείο A(0, a) πάνω στον άξονα y y, όπου a >. Να ϐρεθούν τα πλησιέστερα σηµεία της παραβολής y = x στο σηµείο A. Απάντηση : Η απόσταση ενός σηµείου µε συντεταγµένες (x, y) από το A(0, a) είναι (x 0) + (y a). Αν το σηµείο αυτό ϐρίσκεται πάνω στην παρα- ϐολή της εκφώνησης τότε y = x και άρα η απόστασή του από το A(0, a) ϑα είναι ίση µε x + (x a). Αναζητούµε τα x R για τα οποία η παραπάνω απόσταση γίνεται ε- λάχιστη. Λόγω του γεγονότος ότι η συνάρτηση φ : [0, + ) [0, + ) µε φ(ρ) = ρ είναι γνησίως αύξουσα, αρκεί να ϐρούµε τα x R για τα οποία η ποσότητα x + (x a) γίνεται ελάχιστη. Ορίζουµε τη συνάρτηση f : R R µε f(x) = x + (x a) = x + x 4 ax + a = x 4 + ( a)x + a. Η f είναι παραγωγίσιµη µε f (x) = 4x 3 + ( a)x = 4x ( x (a )). Με δεδοµένο ότι a >, η παραπάνω παράσταση γράφεται f (x) = 4x(x a )(x+ a ). Παρατητούµε ότι για x < a ισχύει f (x) < 0, όταν a < x < 0 τότε f (x) > 0, όταν 0 < x < a τότε f (x) < 0, ενώ για x > a έχουµε f (x) > 0. Συνεπώς η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο (, a ], γνησίως αύξουσα στο [ a, 0], γνησίως ϕθίνουσα στο [0, a ] και γνησίως αύξουσα στο [ a, + ). Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι το ολικό ελάχιστο της f προκύπτει σε ένα από τα σηµεία a, a εξετάζοντας σε ποιο σηµείο από αυτά η f παίρνει µικρότερη τιµή. Οµως f( a ) = a + = f( a a ) και άρα η f έχει ολικό ελάχιστο στα σηµεία και a. Για x = a προκύπτει y = x = a, ενώ για x = a έ- χουµε y = x = a. Συνεπώς τα δύο πλησιέστερα σηµεία της υπερβολής
y = x προς το σηµείο A(0, a), όταν a >, είναι αυτά µε συντεταγµένες ( a, a ) και ( a, a ) ( και µάλιστα, σύµφωνα µε αυτά που είδαµε παραπάνω, απέχουν απόσταση a + από το A(0, a)). Σηµείωση : Ενας εναλλακτικός (και µάλλον πιο εύκολος) τρόπος να ϐρε- ϑούν τα Ϲητούµενα σηµεία είναι ο εξής. Εφόσον η απόσταση του σηµείου µε συντεταγµένες (x, y) από το A(0, a) είναι (x 0) + (y a) και το ση- µείο ανήκει στην παραβολή y = x η απόσταση είναι ίση µε y + (y a). Εφόσον y = x 0, αναζητούµε για ποιο y 0 ελάχιστοποιείται η ποσότητα y + (y a), το οποίο, συµφωνα µε το επιχείρηµα που αναπτύξαµε παραπάνω, ταυτίζεται µε το σηµείο y 0 για το οποίο ελαχιστοποιείται η ποσότητα y + (y a). Ορίζουµε g : [0, + ) µε g(y) = y + (y a). Η g είναι παραγωγίσιµη µε g (y) = + (y a) = [y (a )]. Λαµβάνοντας υπόψη ότι a >, έχουµε ότι όταν 0 < y < a ισχύει g (y) < 0, ενώ όταν y > a ισχύει g (y) > 0. Συνεπώς η g είναι γνησίως ϕθίνουσα στο [0, a ] και γνησίως αύξουσα στο [a, + ). Εποµένως η g έχει ολικό ελάχιστο στο σηµείο y = a. Εφόσον y = x ϑα έχουµε x = a ή x = a. Ετσι τα δύο πλησιέστερα προς το A(0, a) σηµεία της παραβολής ϑα είναι αυτά µε συντεταγµένες ( a, a ) και ( a, a ). Θέµα 5 ( µονάδα) Να ϐρείτε τιµές για τις σταθερές a, b, c ώστε οι γραφικές παραστάσεις των πολυωνύµων f(x) = x +ax+b και g(x) = x 3 c να τέµνονται στο σηµείο (, ), και να έχουν σε αυτό κοινή εφαπτόµενη. Απάντηση : Εφόσον οι γραφικές παραστάσεις των f και g περνούν από το σηµείο (, ), ϑα έχουµε f() = και g() =, ενώ από το γεγονός ότι έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο αυτό προκύπτει ότι f () = g (). Αφού f (x) = x + a και g (x) = 3x, προκύπτει το εξής σύστηµα των τριών εξισώσεων : f() = + a + b = a = g() = c = b = 0 f () = g () + a = 3 c = Θέµα 6 (,5 µονάδα) Να δείξετε πως αν < b < τότε η εξίσωση x 3 3x + b = 0 έχει ακριβώς µία λύση στο διάστηµα [, ]. Απάντηση : Θεωρούµε τη συνάρτηση f : [, ] R µε f(x) = x 3 3x+b. Η f είναι συνεχής ως πολυωνυµική, ενώ f( ) = ( ) 3 3 ( )+b = +b > 0 (εφόσον b > ) και f() = 3 3 + b = + b < 0 (εφόσον b < ).
Εποµένως από το ϑεώρηµα Bolzano (ή το ϑεώρηµα ενδιαµέσων τιµών) η f έχει µια τουλάχιστον ϱίζα στο (, ). Εφόσον f (x) = 3x 3 = 3(x + )(x ) < 0 για κάθε x (, ) (διότι x + > 0 και x < 0 για κάθε x (, )) και η f είναι συνεχής στο [, ], έπεται ότι η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο [, ] και άρα σε αυτό το διάστηµα έχει το πολύ µία ϱίζα. Από τα προηγούµενα έπεται ότι η f ϑα έχει ακριβώς µία ϱίζα στο [, ], δηλαδή η εξίσωση x 3 3x + b = 0 έχει ακριβώς µία λύση στο διάστηµα [, ]. Σηµείωση : Ενας εναλλακτικός τρόπος να αποδειχθεί η µοναδικότητα της λύσης είναι ο εξής. Υποθέτουµε ότι x, x είναι δύο ϱίζες της f στο [, ] µε x < x. Εφόσον f(x ) = 0 = f(x ) και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [x, x ] και παραγωγίσιµη στο (x, x ), από το ϑεώρηµα Rolle υπάρχει ξ (x, x ) ώστε f (ξ) = 0. Το (x, x ) είναι υποσύνολο του (, ) και άρα ξ (, ). Οµως f (x) = 3x 3 και άρα 3ξ 3 3 = 0, συνεπώς ξ = ή ξ =, άτοπο. Θέµα 7 (,5 µονάδα) Να δειχθούν οι ανισότητες e x > + x για κάθε x 0. e x < + x + x για κάθε x < 0. Απάντηση : Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R µε f(x) = e x x. Η f είναι παραγωγίσιµη µε f (x) = e x. Παρατηρούµε ότι f(x) > 0 e x > e x > e 0 x > 0 και οµοίως f(x) < 0 x < 0. Από τα παραπάνω, και λόγω της συνέχειας της f, έπεται ότι η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα (, 0] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0, + ). Ετσι για κάθε x < 0 ϑα ισχύει f(x) > f(0) και για κάθε x > 0 ϑα ισχύει f(x) > f(0). Συνεπώς για κάθε x 0 έχουµε f(x) > f(0) και εφόσον f(0) = e 0 0 = 0 ϑα ισχύει e x x > 0 για κάθε x 0, δηλαδή e x > x + για κάθε x 0. Για να αποδείξουµε τη δεύτερη ανισότητα ϑεωρούµε τη συνάρτηση g : (, 0] R µε g(x) = e x x x. Η g είναι παραγωγίσιµη µε g (x) = e x x. Προηγουµένως αποδείξαµε ότι e x > + x για κάθε x 0 και άρα για κάθε x < 0. Ετσι g (x) < 0 για κάθε x < 0, συνεπώς (λόγω και της συνέχειας της g) η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο (, 0]. Εποµένως για κάθε x < 0 ϑα ισχύει g(x) < g(0), δηλαδή e x x x < 0 (εφόσον g(0) = 0) από όπου προκύπτει ότι e x < + x + x για κάθε x < 0.
Θέµα 8 ( µονάδα) Να ϐρεθεί το πολυώνυµο Taylor ϐαθµού n = 3 της συνάρτησης f(x) = cos 4x στο σηµείο π 6. Απάντηση : Το Ϲητούµενο πολυώνυµο είναι το P (x) = f( π 6 ) + f ( π 6 )! (x π 6 ) + +f ( π 6 )! (x π 6 ) + f ( π) 6 (x π 3! 6 )3. f(x) = cos 4x, f (x) = 4 sin 4x, f (x) = 6 cos 4x και f (x) = 64 sin 4x. Ετσι Συνεπώς f( π 6 ) = cos(4 π 6 ) = cos π 3 = cos(π π 3 ) = cos π 3 = f ( π) = 4 sin π = 4 sin(π π) = 4 sin π = 4 3 = 3 6 3 3 3 f ( π) = 6 cos π = 6 ( ) = 8 6 3 f ( π) = 64 sin π 3 = 64 = 3 3. 6 3 P (x) = + 3 (x π 6 ) + 8 (x π 6 ) + 3 3 (x π 6 6 )3 = 3(x π 6 ) + 4(x π 6 ) + 6 3 (x π 3 6 )3.